đẳng thức lượng giác cơ bản và nâng cao

ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
10:41 - 05/01/2011 LoveSick Chưa có chủ đề
Định nghĩa
Xem thêm các hàm lượng giác
[sửa] Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:
Tuần hoàn (k nguyên) Đối xứng Tịnh tiến

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:
với
[sửa] Đẳng thức Pytago
Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago.
Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).
[sửa] Tổng và hiệu của góc
Xem thêm Định lý Ptolemaios
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.

với
và
[sửa] Công thức góc bội
[sửa] Bội hai
Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de
Moivrevới n = 2.
Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì
(a
2
− b
2
, 2ab, c
2
) cũng vậy.

[sửa] Tổng quát
Nếu T
n
là đa thức Chebyshev bậc n thì
công thức de Moivre:
Hàm hạt nhân Dirichlet D
n
(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:
Hay theo công thức hồi quy:
sin( n x) = 2sin(( n − 1) x)cos( x) − sin(( n − 2) x)
cos( n x) = 2cos(( n − 1) x)cos( x) − cos(( n − 2) x)
[sửa] Bội ba
[SỬA] CƠ BẢN
Ví dụ của trường hợp n = 3:
[SỬA] NÂNG CAO
[sửa] Công thức hạ bậc
Giải các phương trình ở công thức bội cho cos
2
(x) và sin
2
(x), thu được:
[sửa] Công thức góc chia đôi
Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:
Dẫn đến:
Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:
Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:
Suy ra:
Nếu
thì:
and and

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x)
và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng.
[sửa] Biến tích thành tổng
Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.
[sửa] Biển tổng thành tích
Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:
[sửa] Hàm lượng giác ngược
[sửa] Dạng số phức
với
[sửa] Tích vô hạn
Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:
[sửa] Đẳng thức số
[sửa] Cơ bản
Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:
Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:
Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:
.
Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:
Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy:
hay dùng công thức Euler:
Một số đẳng thức khác:
Dùng tỷ lệ vàng φ:
[sửa] Nâng cao
•
•
•
•
•
•
•

•
•
•
•
•
•
•
•
•
[sửa] Giải tích
Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian
Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:
Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh
sách tích phân với hàm lượng giác ngược.
[sửa] Hàm lượng giác nghịch đảo
Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền của hàm. Dươi
đây là định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:
Giới hạn miền Định nghĩa
-π/2 < y < π/2 y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
0 < y < π y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2 y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)
Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin
−1
hay cos
−1
thay cho arcsin và arccos. Việc dùng
ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo
hàm của các hàm khác.
Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức:
[sửa] Một số đẳng thức
Xem thêm Đẳng thức lượng giác
Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác, Danh sách tích phân với hàm lượng
giác ngược