bài tập lượng giác từ cơ bản đến nâng cao

Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
1
RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A-
CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT
.

I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:













I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC:
1. Công thức quy đổi độ – Rađian:
180
a




( a tính bằng độ,

tính bằng rad)
2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian.

0


6


4


3


2

2
3

3
4



3
2

2

sin
0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

0
–1
0
cos
1
3
2

2
2

1
2

0

1
2


2
2

–1
0
1
tan
0
3
3

1
3


 3

–1
0

0
cot

3

1
3
3

0

3
3

–1

0


Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
2
sđ(ox, ot) = a
0
+ k360
0
hoặc sđ(ox, ot) =

+ k2


, k  Z. (với 0
0
 a < 360
0
, 0
0


< 2)

sđ AB = a
0
+ k360
0
hoặc sđ AB =

+ k2

, k  Z. ( với 0
0
 a < 360
0
, 0
0


< 2)
3. Công thức tính độ dài cung: l =


.R (

tính bằng rad)

II. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1:
1. Hằng đẳng thức lượng giác:
 sin
2
x + cos
2
x = 1






22
22
sin x 1 cos x
cos x 1 sin x

2
2
1
1

  



  

xx
xx
sin co s
co s sin

 1+tan
2
x =
2
1
cos x
 cos
2
x =

2
1
1 tan x
 cosx =


2
1
1 tan x

 1+cot
2
x =

2
1
sin x
 sin
2
x =

2
1
1 cot x
 sinx =


2
1
1 cot x

 tanx.cotx = 1  tanx =

sinx 1
cosx cot x
 cotx =

cosx 1
sinx tanx

 Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu () , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận
xét giá trị của cung x trên đường tròn lượng giác.
2. Cung liên kết:

–x
π
– x
π
2
– x
π
+ x
π
2
+ x
sin
–sinx
sinx
cosx
–sinx
cosx
cos
cosx
–cosx
sinx
–cosx
–sinx
tan
–tanx
–tanx
cotx
tanx
–cotx

cot
–cotx
–cotx
tanx
cotx
–tanx
3. Chú ý:
a + b =   180
0

cosb = –cosa
sinb = sina
a + b =

2
 90
0

cosb = sina
sinb = cosa
ABC
sin(B + C) =
sinA
cos(B + C) = –
cosA
tan(B + C) = – tanA


B C A
sin cos

22



B C A
cos sin
22



B C A
tan cot
22

sin(x + k2) = sinx
cos(x + k2) = cosx
tan(x + k) = tanx
cot(x + k) = cotx

III. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2:
1.Công thức cộng:
cos(a  b) = cosa.cosb sina.sinb sin(a  b) = sina.cosb  sinb.cosa
tan(a  b) =
tana tanb
1 tana.tanb

2.Công thức nhân:
cos2a = cos
2
a – sin

2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a =


2
2
1 tan a
1 tan a

Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
3
sin2a = 2sina.cosa =

2
2tana
1 tan a
; tan2a =

2
2tana
1 tan a

3.Công thức hạ bậc:



2
1 cos2a
sin a
2
;


2
1 cos2a
cos a
2
;



2
1 cos2a
tan a
1 cos2a

4.Công thức tính theo t :

a
t tan
2





2
2t
sina
1t




2
2
1t
cosa
1t



2
2t
tana
1t

5. Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]
2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)
6. Công thức biến đổi tổng thành tích:



a b a b

cosa cosb 2cos cos
22


  
a b a b
cosa cosb 2sin sin
22
tana + tanb =
ab
ab
sin( )
cos .cos





a b a b
sina sinb 2sin cos
22



a b a b
sina sinb 2cos sin
22
tana – tanb =
ab
ab

sin( )
cos .cos


Hệ quả: cosx + sinx =
2 sin( x) 2cos( x)
44

  
cosx – sinx =
2 sin( x) 2 cos( x)
44

  

III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ABC:
1. Định lý hàm số sin và cos:
a b c
2R
sinA sinB sinC
  

2 2 2
a b c 2bc.cosA  

2 2 2
b a c 2ac.cosB  

2 2 2
c a b 2ab.cosC  

2. Chuyển cạnh sang góc:
a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC
3. Chuyển góc sang cạnh:
a
sinA
2R


2 2 2
b c a
cosA
2bc



4. Công thức diện tích:
     
a b c
1 1 1 1 1 1
S a.h b.h c.h bcsinA acsinB absin C
2 2 2 2 2 2


abc
S pr p(p a)(p b)(p c)
4R
     
, với



a b c
p
2

R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ABC
5. Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ABC:



2 2 2
2
a
b c a
m
24



2 2 2
2
b
a c b
m
24



2 2 2
2

c
a b c
m
24
(m
a
, m
b
, m
c


độ dài trung tuyến)



a
2bc A
l cos
b c 2



b
2ac B
l cos
a c 2




c
2ab C
l cos
a b 2
(l
a
, l
b
, l
c


độ dài phân giác)
B.
BÀI TẬP
.
VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1. Tính giá trị lượng giác của cung sau.
1) sina =
3
5
với 0 < a <
2

2) tana = -
2
với < a <


3) cosa =

5
1
với -
2

< a < 0 4) sina =
3
1
với a  (
2

,  ) 5) tana = 2 với a (,
2
3
)
Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
4
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin
2
x + tan
2
x =
2
1
cos x
- cos
2

x 2) tan
2
x - sin
2
x = tan
2
xsin
2
x 3)
2
2
tan3 3 tan
tan 1 3tan
xx
xx




4)
22
22
cos sin
cot tan
xx
xx


= sin
2

xcos
2
x 5)
2
2
2
1
(1 cot )( 1)
cos
1 tan
x
x
x


= 1
6) cosx + cos(2/3 - x) + cos(2/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin
2
a -sin
2
b = cos
2
b - cos
2
a
8)
22
22
tan tan
1 tan tan

ab
ab


= tan(a +b)tan(a - b) 9) cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
1
4
sin4x
10)
cos sin
cos sin
xx
xx


=
1
cos2x
- tan2x 11)
sin 2 2sin
sin 2 2sin
xx
xx


= -tan

2
2
x

12) sin3xcos
3
x + sin
3
xcos3x =
3
4
sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
3
2
x
cosxsin
2
x

14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos
2
x 15)
4 4 2
2
2
sin cos cos
cos
2(1 cos ) 2
x x x x
x





3. Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = sin(x +
5
2

) - 3cos(x -
7
2

) + 2sin(x +  ) 2) B=
 
11
sin cos 5sin
22
x x x


   
    
   
   

3)
     
os os 2 sin os
2

C c c c

      

       


4) D= 2cosa-3cos(+a)-5sin(/2-a)+cot(
3
2

- a)
5) cos( - a) - 2sin(3/2 + a) + tan(
3
2

- a ) + cot(2 - a)
4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos
4
a + cos
2
asin
2
a +sin
2
a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin
2
a
3) C = 2(sin

6
a + cos
6
a) - 3(sin
4
a + cos
4
a) 4) D =
1 cot
1 cot
a
a


-
2
tan 1a 

5) E =
2
sin4 4cosaa
+
42
cos 4sinaa
6) F = cos
2
a + sin(30
0
+ a)sin(30
0

- a)
7) G = sin
6
a + cos
6
a + 3sin
2
acos
2
a 8) H =
44
66
sin cos 1
sin cos 1
aa
aa



9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b

k và m


1 thì biểu thức:
A =
1
1 sin2ma
+

1
1 sin 2mb
(m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
5. Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin
3
a -cos
3
a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
1 cos2
cot tan
22
a
aa



3) Biết
cos( )
cos( )
ab
ab


=
p
q
. Tính tana.tanb
Lê Trinh Tường THPT

Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
5
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b)

k2 tính tan
2
a
.tan
2
b

5) Tính sin2x nếu: 5tan
2
x - 12tanx - 5 = 0 (
4

< x <
2

)
6. Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức :
1) A = cos20
0
cos40
0
cos60
0
cos80
0

2) B = cos
7

.cos
4
7

.cos
5
7


3) C = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
4) Tính: E = sin5
0
.sin15
0
sin25
0
.sin35
0
. sin85
0

5) Tính: F = sin
18

.sin
3
18

.sin
5
18

.sin
7
18

. sin
9
18

6) A = sin37
0
.cos53
0
+ sin127
0
.cos397
0

7) A = tan110

0
+ cot20
0
8) Tính sin15
0
và cos15
0

8) A = tan20
o
.tan40
o
.tan60
o
.tan80
o


b) B =
1
2sin10
o
- 2sin70
o
, M = cos
5

- cos
2
5




c) C = sin
4
16

+ sin
4
3
16

+ sin
4
5
16

+ sin
4
7
16


d) D = tan
2
12

+ tan
2
3

12

+ tan
2
5
12


e) E = tan9
o
- tan27
o
- tan63
o
+ tan81
o
. f) F = cos
6
16

+ cos
6
3
16

+ cos
6
5
16


+

cos
6
7
16


g) G
1
= sin18
o
.cos18
o
; G
2
= sin36
o
.cos36
o


h) H = cos
2
7

+ cos
4
7


+ cos
6
7


i) I = sin
5

+ sin
23
5

+ sin
6

+ cos
13
5

k) K = cos
5

+ cos
2
5

+ cos
3
5


+ cos
4
5


9. Với a ≠ k (k  Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a cos16a =
sin32
32.sin
a
a
b) cosa.cos2a.cos4a cos2
n
a =
1
1
sin 2
2 sin
n
n
a
a



10. Tính: A = cos20
o
.cos40
o
.cos60

o
. 11. Tính: A = sin6
o
.sin42
o
.sin66
o
.sin78
o
.
12. Tính: A = cos
7

. cos
4
7

. cos
5
7

. 13. Tính: cos
65

. cos
2
65

. cos
4

65

. cos
8
65

. cos
16
65

. cos
32
65

.
14.Tính: sin
18

.sin
3
18

.sin
5
18

.sin
7
18


. sin
9
18

. 15. Tính: cos
15

.cos
2
15

.cos
3
15

.cos
4
15

cos
7
15

.
16. Tính: sin5
o
. sin15
o
.sin25
o

sin85
o
. 17. Tính: 96
3
.sin
48

.cos
48

. cos
24

. cos
12

. cos
6

.
18. Tính: 16.sin10
o
.sin30
o
.sin50
o
.sin70
o
. 19. Tính: sin10
o

.sin20
o
.sin30
o
sin80
o
.
20. Tính: cos9
o
. cos27
o
. cos45
o
. cos63
o
. cos81
o
. cos99
o
. cos117
o
. cos135
o
. cos153
o
. cos171
o
.
21. Tính: A = cos
5


+ cos
2
5

B = cos
5

+ cos
3
5


7. Chú ý các công thức sau:
1) 4sinx.sin(
3

- x)sin(
3

+ x) = sin3x 2) 4cosx.cos(
3

- x)cos(
3

+ x) = cos3x
3) tanx.tan(
3


- x)tan(
3

+ x) = tan3x 4) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
1
1
sin 2 .
2 sin
n
n
a
a



Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
6

5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)
n
. cos(a +nx).
thì nhân 2 vế với 2cos
2
x
nếu cos
2
x


0.
8.Các bài tập khác:
1. Chứng minh rằng :
a)
cos15 sin15
cos15 sin15
oo
oo


=
3
b)
sin 75 cos75
cos75 sin75
oo
oo


=
1
3

2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3
x b) B =
1 cos

sin
x
x

[1 +
2
2
(1 cos )
sin
x
x

]
c) C = cos3x.cos
3
x - sin3x.sin
3
x

3. Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(
3

- x).cos(
3

+ x) = cos3x. b) 4.sinx.sin(
3

- x).sin(

3

+ x) = sin3x.
c) tanx.tan(
3

- x).tan(
3

+ x) = tan3x. Áp dụng tính:
A = sin20
o
.sin40
o
.sin80
o
. B = cos10
o
.cos20
o
.cos30
o
cos80
o
. C = tan20
o
.tan40
o
.tan60
o

.tan80
o
.
4. Chứng minh rằng :
a) sin
6
x + cos
6
x =
5
8
+

3
8
cos2x b) tanx =
1 cos2
sin 2
x
x

Áp dụng tính:
A = sin
6
(
24

) + cos
6
(

24

) B = tan
2
(
12

) + tan
2
(3.
12

) + tan
2
(5.
12

)
5. Chứng minh rằng:
a) sin
4
x =
3 1 1
cos2 cos4
8 2 8
xx
b) sin
8
x + cos
8

x =
35 7 1
cos4 cos
64 16 16
xx

Áp dụng tính A = sin
8
(
24

) + cos
8
(
24

) B = sin
4
(
16

) + sin
4
(3.
16

) + sin
4
(5.
16


) + sin
4
(7.
16

)
6. Tính: cos(
2
7

) + cos(
4
7

) + cos(
6
7

) 22. Tính cos(
5

) + cos(
2
5

) + cos(
3
5


) + cos(
4
5

)
7. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính: tana.tanb. 24. CMR:
00
00
sin75 cos75
sin75 cos75


=
1
3


VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC.
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
+ A + B + C =  +
ab
< c < a + b + a
2
= b
2
+ c
2
- 2a.b.cosC
+
2

sin sin sin
a b c
R
A B C
  
+ S =
11
. .sin ( ) .
2 2 4
aa
abc
a h ab C pr p a r
R
    

Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
7
S =
( )( )( )p p a p b p c  
Trong đó: p =
2
abc

r: bán kính đường tròn nội tiếp r
a
: bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A.
+ Đường trung tuyến :
m

a
2
=
2 2 2
24
b c a

m
b
2
=
2 2 2
24
a c b

m
c
2
=
2 2 2
24
b a c


+ Đường phân giác:
l
a
=
2 .cos
2

A
bc
bc
l
b
=
2 .cos
2
B
ac
ac
l
a
=
2 .cos
2
C
ab
ab

+ Mở rộng định lí sin và cosin:
cotA =
2 2 2
4
b c a
s

cotB =
2 2 2
4

a c b
s

cotC =
2 2 2
4
a b c
s


II-BÀI TẬP : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1. sinA + sinB + sinC = 4cos
2
A
.cos
2
B
.cos
2
C
. 2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
3. sin3A+sin3B+sin3C = -4cos
3
2
A
cos
3
2
B
cos

3
2
C
. 4. sin4A+sin4B+sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.
5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2
A
.4sin
2
B
.4sin
2
C
. 6. cos2A+cos2B+cos2C = -1-4cosA.cosB.cosC.
7. cos3A+cos3B+cos3C =1- 4sin
3
2
A
sin
3
2
B
sin
3
2
C
. 8. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC.
9. cos4A+cos4B+cos4C = -1+ 4cos2Acos2Bcos2C. 10. tan2A +tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C.
11. cotA.cotB + cotB.cotgC + cotC.cotA = 1 12. tan
2

A
tan
2
B
+ tan
2
B
tan
2
C
+ tan
2
C
tan
2
A
=1
13. cot
2
A
+cot
2
B
+ cot
2
C
= cot
2
A
cot

2
B
cot
2
C
. 14. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 - 2cosA.cosB.cosC.
15. cos
2
2A + cos
2
2B + cos
2
2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C. 16.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m

=
3
4
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
17. la =
2 .cos
2
A
bc
bc
=
2
bc
. . .( )bc p p a
. 18. r = p.tan
2
A
tan
2
B
tan
2
C
=

sin sin
22
cos
2
BC
a
A
.
19. R =
C
4.cos .cos .cos
2 2 2
p
AB
. 20. r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C
.
III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:
S =
22
( ).sin .sin
2.sin( )

a b A B
AB


=
1
4
(a
2
sin2B + b
2
sin2A) = p
2
.tan
2
A
tan
2
B
tan
2
C
= 2R
2
.sinA.sinB.sinC.
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
8

a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cot
2
A
+(c - a)cot
2
B
+ (a - b)cot
2
C
= 0.
c) (b
2
- c
2
)cotA +(c
2
- a
2
)cotB+(a
2
- b
2
)cotC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC.
e) sin
2
BC
=
bc
a


cos
2
A
. f) cos
2
BC
=
bc
a

sin
2
A
. g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
h) cosA + cosB = 2
ab
c

sin
2
2
C
. i)
1
r
=
1
a
h
+

1
b
h
+
1
c
h
.
3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC. b) tan
2
B
. tan
2
C
=
1
3
.
4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
của tam giác. Chứng minh rằng:
a) r = 4R.cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C

. b) IA.IB.IC = 4Rr
2
. c) cosA + cosB + cosC = 1 +
r
R

5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng
đó được xác định theo công thức sau: d =
3
2
r(tan
2
C
- tan
2
A
)
6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. CMR : b
2
+ c
2
= 5a
2
.
7. Chứng minh rằng:
cos
2
a
A
l

+
cos
2
b
B
l



cos
2
c
C
l
=
1
a


+
1
b
+
1
c
.
8. Ch. minh rằng các trung tuyến AA' và BB' vuông góc với nhau khi: cotC = 2(cotA + cotB).
9. Cho
c
b

=
b
c
m
m
≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC.
10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi  =
AMB
. Chứng minh rằng:
a) cot =
22
4
bc
s

. b) cot = cotC - cotB. c) cot =
2sin( )
2sin sin
Bc
BC


11. Chứng minh rằng
c
b
là nghiệm của phương trình:
(1 + x
2
-2xcosA)(b
2

- bc) = a
2
(1 - x).
12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x
2
- 2x +2);
(x
2
+ 2x + 2). Với giá trị nào của x (dương) thì tam giác đó tồn tại.
13. Cho m
a
= c. Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB. b) tanB = 3tanC. c) sinA = 2sin(B - C).
14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước.
CMR :a) tanB.tanC = 1 + k. b) tanB + tanC = ktanA c) cos(B - C) = (1+
2
k
)cosA.
15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Chứng minh rằng : cot
2
A
cot
2
C
= 3.
16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA.tanB = 6;
tan
tan
A

C
=3. Chứng tỏ rằng: tanA, tanB, tanC
theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng.
Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
9
17. Tam giác ABC có cot
2
A
, cot
2
B
, cot
2
C
theo thứ tự lập một cấp số cộng. CMR : a, b, c theo thứ
tự cũng lập một cấp số cộng.
18. Tam giác ABC có: cotA, cotB, cotC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng a
2
,
b
2
, c
2
theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC. Chứng minh rằng :
a) tanB.tanC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA.
IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:

1. atanA+btanB =(a+b)tan
2
AB
2. 2tanB + tanC = tan
2
B.tC. 3.
sin sin 1
(tan tan )
cos cos 2
AB
AB
AB




4.
22
22
22
cos cos 1
(cot cot )
sin sin 2
AB
AB
AB



5.

2sin .sin
cot
2 sin
C A B
C


6. sin
33
.cos sin .cos
2 2 2 2
A B B A

7. (p - b)cot
.tan
22
CB
p
8.
22
1 cos 2
sin
4
B a c
B
ac




9. a
2
sin2B +b
2
sin2A=c
2
cot
2
C
10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
11.
sin
33
.cos sin .cos
2 2 2 2
A B B A

12. a = 2b.cosC. Chứng minh  ABC cân tại A.
B. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
1.
2
2
sin tan
sin tan
BB
CC

2. (b
2
+ c

2
)sin(C-B) = (C
2
- B
2
)sin(B- C)


3.
2
2
( ) 1 cos( )
2.
1 cos2
b c B C
bB
  


4. sin(B - C)=
22
2
bc
a


V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:
1. cos2a + cos2B + cos2C = -1 2. tan2A + tan2B + tan2C = 0
3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC

B. Chứng minh tam giác vuông khi:
1.
cos cos sin .sin
b c a
B C B C

2. cot
2
B
=
ac
b

3.
1
cot ( )
sin
a
A c b
A c b
  


Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
10
4.
1
cot

sin
bc
A
Aa


5. cot2C =
1
(cot cot )
2
CB
6.
cos( )
tan
sin sin( )
BC
B
A C B




7.
sin cos
sin cos
AB
tgA
BA




8. sin
2
B
=
2
ac
a

9. cos
22
B c a
a


10. tan
2
B c a
ca




11. cos(B - C) =
2
2bc
a
12. S =
2
1

sin 2
4
aB
13.
sin sin
sin .cos .cos
11
cos cos
BC
A B C
BC




14. 1 + cot(45
0
- B) =
2
1 cot A
15. sin
4
C + 2sin
4
A + 2sin
4
B = 2sin
2
C(sin
2

A + sin
2
B)
16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17. cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.
1. sin3A + sin3B + sin3C = 0 2. sin4A + sin4B + sin4C = 0
3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4. a
3
= b
3
+ c
3
5. c = Ccos2B + Bsin2B 6. (1+cotA)(1 + cotB) = 2
7. sin
2
A + sin
2
B =5sin
2
C 8.
1 1 1
a
b c l

9. sin
2
A + sin
2
B + sin

2
C  2
10. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C  1
11. Ch.minh nếu  ABC có: sin
2
A
= sin
2
B
.sin
2
C
thì tan
2
B
. tan
2
C
=
1
2
và ngược lại.
12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a
2

= bc + c
2

Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
11
13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD. Chứng
minh rằng tanB.tanC = 2.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng: sin
2
B
.sin
2
C
= l
b
.
2
4
c
l
a

15. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi  là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền. Chứng minh rằng: tan
2

= tan

2
BC

16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
a) tgB = 3tgC b) sin A = 2sin(B - C)
17. Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam
giác ABC đều là có hệ thức.
1 1 1
(cot cot cot ) 3
sin sin sin
A B C
a B C
     

18. Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn. CMR: (sinA)
2sinB
+ (sinB)
2sinC
+ (sinC)
2sinA
> 2
Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?
VI. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Hàm lồi lõm. ( Không có trong chương trình HS dùng tham khảo)
+ Tính chất hàm lồi:
12
( ) ( )
()
22

f x f x x y
f


, x, y  R
+ tính chất hàm lõm:
12
( ) ( )
()
22
f x f x x y
f


, x, y  R
Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
12
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. sinA + sinB +sinC 
33
2
2. 1 < sin
2
A
+ sin
2
B

+ sin
2
C

3
2

3. 1 < cosA + cosB + cosC 
3
2
4. Sin
2
A + Sin
2
B + Sin
2
C ≥
9
4

5. 2 < cos
2
2
A
+ cos
2
2
B
+ cos
2

2
C

9
4
6.
3
4
 sin
2
2
A
+ sin
2
2
B
+ sin
2
2
C
< 1.
7. sin
2
A
. sin
2
B
. sin
2
C


1
8
8. sinA.sinB.sinC 
33
3

9. cosA.cosB.cosC 
1
8
10. cos
2
A
. cos
2
B
. cos
2
C

33
3

11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥
3
.sinA.sinB.sinC 12.
1
cos A
+
1

cos B
+
1
cosC
≥ 6
13.
1
sin
2
A
+
1
sin
2
B
+
1
sin
2
C
≥ 6 14.
2.sin .sin .sin
sin sin sin
A B C
A B C

1
33

15. (1 +

1
sin A
) + (1 +
1
sin B
) + (1 +
1
sinC
) ≥ 5 +
26 3
9

16. tan
2
A
+ tan
2
B
+ tan
2
C
≥
3
17. tan
2
2
A
+ tan
2
2

B
+ tan
2
2
C
≥ 1
19. tanA + tanB + tanC ≥ 3
3
. (Với

ABC nhọn). 20. tan
2
A + tan
2
A + tan
2
A ≥ 9. (Với ABC nhọn.)
Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
13
21. tan
2
A
tan
2
B
tan
2
C

≥
1
33
22. cos
3
A + cos
3
A +

cos
3
A 
9
4
+
1
4
(cos3A + cos3B + cos3C).
23. 36r
2
 ab + bc + ca  9R
2
. 24. (a + b + c)(h
a
+ h
b
+ h
c
) ≥ 18S.
25. h

a
+ h
b
+ h
c
≥ 9r (
1
r
=
1
a
h
+
1
b
h
+
1
c
h
) 26. (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)  abc
27. a
2
(b+c-a)+ b
2
(a+c-b)+c
2
(a+b- c)  3abc. 28. a(b
2
+c

2
-a
2
)+b(a
2
+c
2
-b
2
)+c
2
(a
2
+b
2
-c
2
)  3abc
29. a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
+c(a -b)
2
+4abc≥ a
3
+b
3
+c
3

30.
c
ab
l
+
a
bc
l
+
b
ac
l
 6R.
31.
1
a
r
+
1
b
r
+
1
c
r
≥ 3
2
3
4
()

R
r a b c abc
32.
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
≥
3
s

33. a
4
+ b
4
+ c
4
≥ 16S
2
. 34. tg
2
A
+ tg

2
B
+ tg
2
C
+ cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
≥ 4
3

35. a
2
+ b
2
+ c
2
≥ 4S
3
36. a
2
b
2
+ b

2
c
2
+ c
2
a
2
≥ 16S
2
.
CHỨNG MINH ABC ĐỀU KHI THÕA MÃN CÁC ĐIỀU KIỆN SAU
1. R = 2r 2. S =
2
3
R
2
(sin
3
A + sin
3
B + sin
3
C) 3.
cos cos .cos
sin sin sin
a A b B c C
a B b C c A


=

2
9
p
R

3 3 3
2
4.
2 cos
b c a
a
b c a
a b C









5.
3 3 3
2
3
sin .sin
4
abc
a

abc
BC











6.
3 3 3
2
1
cos .cos
4
BC
abc
a
abc













7. A, B, C là nghiệm của phương trình: tanx - tan
2
x
=
23
3

Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
14
8. 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c 9. sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.
10. cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0 11. cot
2
A + cot
2
B + cot
2
C = 1
12.
cos cos .cosa A b B c C
abc


=

1
2
13.
sin sin 2sin
cos cos 2cos
A B C
A B C






14.
cos cos cos
sin sin sin
A B C
A B C


= 3.cotA.cotB.cotC, với ABC nhọn
15. 3tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C = tan
2
A. tan

2
B. tan
2
C 16.
2
1
sin A
+
2
1
sin B
+
2
1
sin C
=
1
2sin sin sin
2 2 2
A B C

17. cot
2
A
+ cot
2
B
+ cot
2
C

= tanA + tanB + tanC.
18. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cot
2
A
+ cot
2
B
cot
2
C
= 9 Chứng minh  ABC là
tam giác đều.
19. Cho tam giác ABC thỏa mãn:
.cos .cos .cos 1
2
a A b B c C
abc



(A, B, C là các góc của tam
giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều.
20. Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là: p + R = (2 + 3
3
).r
21. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA.sinB.sinC +
3
(sinA + cosB + cosC) =
17
4

Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh.
22. Các góc của tam giác ABC thỏa mãn: cotA + cotB + cotC = tan
2
A
+ tan
2
B
+ tan
2
C

Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
15
Chứng minh tam giác ABC đều.
23. CMR,tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện: sinA+ inB+sinC =sin2A+sin2B+sin2C
thì tam giác ABC là tam giác đều.
25. Tam giác nhọn ABC có các góc thỏa mãn:

1 1 1 1 1 1
cos cos cos
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
    
. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
26. CMR, nếu  ABC thỏa mãn điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều.

27. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn:
222
1 1 1 1
sin 2 sin 2 sin 2 2.cos .cos .cosA B C A B C
  

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
28. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thỏa mãn hệ thức:
cos2A +
3
(cos2B + cos2C) +
5
2
= 0
29. Cho tam giác ABC thỏa : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB. CMR,  ABC vuông.
30. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ
dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác
ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:
sin sin sin
3
a b c
A B C
m m m
  

31. CMR, không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó đều là nghiệm của phương trình:

2
1
(4cos 1)(7sin sin2 6) 0

2
x x x   

Lê Trinh Tường THPT
Trưng Vương QN
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
16