BÀI TOÁN XÂU TRONG CỰC ĐẠI

NỘI DUNG TRÌNH BÀY

Phát biểu bài toán

Giới thiệu phương pháp thực hiện

Phân tích bài toán

Giải pháp đệ quy

Áp dụng vào bước tạo bảng

Tạo bảng

Tổng hợp kết quả

Minh họa bằng ví dụ

Phân tích độ phức tạp thời gian, không gian
PHÁT BIỂU BÀI TOÁN
Xâu con cực đại:
S là xâu con của T nếu S nhận được bằng cách
xoá đi một số ký tự nào đó trong T.
Ví dụ: ‘EAC’ là xâu con của ‘CEAEEC’
Xâu con chung:
Nếu xóa một số ký tự của hai xâu thì hai xâu con
còn lại của chúng bằng nhau
Ví dụ: S1=‘ABCDAE’ và S2=‘XYACADK’ có xâu
‘ACD’ là xâu con chung có độ dài cực đại.
Bài toán đặt ra:

Cho 2 xâu S
1
, S
2
. Tìm một xâu S là xâu con chung
của S
1
và S
2
có độ dài cực đại.
PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN

Phân tích bài toán (biểu diễn bài toán dưới dạng một bài toán nhiều
mức)

Xây dựng giải pháp đệ quy (lập công thức truy hồi)

Lập bảng (sử dụng các mảng để tính toán các giá trị theo kiểu dưới-
lên)

Tổng hợp kết quả (kiến tạo một lời giải cho bài toán từ các thông tin
đã tính toán)
PHÂN TÍCH BÀI TOÁN

Giả sử ta có:

Xâu A có độ dài xâu là m

Xâu B có độ dài xâu là n,


L(k, h) là bài toán xâu con chung cực đại, với
k ∈ N*: Độ dài dãy a
1
a
2
…a
k
( k ≤ m )
h ∈ N*: Độ dài dãy b
1
b
2
…b
h
(h ≤ n)
 Bài toán ban đầu là L(m, n)

Các giá trị cần tìm:
LCS [k,h]: độ dài cực đại của xâu con chung của
L(k, h)
s: xâu con chung của bài toán L(k, h)
GIẢI PHÁP ĐỆ QUY

Trường hợp đơn giản nhất
Nếu (i=0) hoặc (j=0) thì L(i,j)=0

Nếu (i>0) and (j>0) and(a
i
<> b
j

)
LCS(i,j) = Max(LCS(i-1,j), LCS(i,j-1))

Nếu (i>0) and (j>0) and (a
i
=b
j
)
LCS(i,j)= 1 + LCS(i-1,j-1)
 Độ phức tạp cao và dễ tràn stack do
phải tính lại nhiều lần kết quả các bài
toán con
ÁP DỤNG VÀO TẠO BẢNG

Nếu a
i
=b
j
, lúc này LCS S của A và B có
thể tính bằng LCS S’ của A
i-1
và B
j-1
,
đồng thời nối a
i
vào cuối, tức S = [S’,
a
i
]


Nếu a
i
<>b
j
, lúc này cho S
1
là LCS của A
i-1
và B
j
, và S
2

là LCS của A
i
và B
j-1
. S sẽ là giá trị lớn hơn
trong 2 giá trị S
1
và S
2
.
TẠO BẢNG

Cho L[i, j] = LCS[i, j], lúc này
 L[i, j] sẽ phụ thuộc vào 3 giá trị sau

Phần tử L[i-1, j]


Phần tử L[i, j-1]

Phần tử L[i-1, j-1]
TẠO BẢNG – Giả mã
LCS-Length(A; B; m; n)
1: L[i; 0] ← 0 for each i = 0, …, m;
2: L[0; j] ← 0 for each j = 0 , …, n;
3: for i ← 1 to m do
4: for j ← 1 to n do
5: if a
i
= b
j
then
6: L[i; j] ← 1 + L[i - 1; j – 1]
7: else
8: max (L[i - 1; j] , L[i; j - 1]);
9: end if
10: end for
11: end for
Lúc này, L[m, n] (hay
L[length(A), length(B)] sẽ
cho kết quả là độ dài của
xâu con chung lớn nhất
TỔNG HỢP KẾT QUẢ

Để tìm xâu kết quả S

Đi ngược từ ô l[m. n] hướng về l0, 0]


Nếu a
i
= b
j
thì đặt a
i
hoặc b
j
vào bên trái dãy
S (ở đầu xâu)

Nếu a
i
<> b
j
thì

lùi về L[i - 1, j] trong trường hợp L[i - 1, j] > L[i, j – 1]

ngược lại, lùi về L[i, j – 1] trong trường hợp L[i - 1, j]
≤ L[i, j – 1]
Ví dụ

File đầu vào: gồm 2 xâu:

S1: CARROT

S2: PARTY


File kết quả

Xâu con chung lớn nhất

Bảng p (được tạo ra từ bước lập bảng)
CHƯƠNG TRÌNH THỰC HIỆN

Các thủ tục chính

Procedure Lapbang; <Tương ứng với
bước Lập bảng>

Procedure XauConLonNhat; <Tương ứng
với bước Tổng hợp kết quả>

Một số thủ tục/hàm khác:

Function Max(a, b):byte;

Procedure DocDuLieu;

Procedure InKetQua;
KHAI BÁO
Const
FILE_INP = 'XauChung.INP';
FILE_OUT ='XauChung.OUT';
MAX_N = 50;
Type
Mang = Array[0 MAX_N,0 MAX _N] of Byte;
Var

L : Mang;
s1, s2, s3 : String;
m, n, i, j : Byte;
f: text;
THỦ TỤC LapBang
Procedure LapBang;
Var
i,j: Byte;
Begin
FillChar(L, SizeOf(L), 0);
For i:=1 to m do
For j:=1 to n do
if s1[i] = s2[j] then
L[i,j]:= 1 + L[i-1,j-1]
else
L[i,j]:= max (L[i,j-1] , L[i-1,j]);
End;
THỦ TỤC X auConLonNhat
Procedure XauConLonNhat;
Var
i,j :byte;
Begin
s3[0]:=chr(L[m, n]);
i:=m;
j:=n;
Repeat
if s1[i]=s2[j] then
Begin
Insert(s1[i], s3, 1);
dec(i);

dec(j);
End
else
Begin
if L[i, j]= L[i-1, j] then dec(i)
else dec(j);
End;
Until (i=0) or (j=0);
End;
0
P
1
A
2
R
3
T
4
Y
5
0
0 0 0 0 0 0
C 1
0 0 0 0 0 0
A 2
0 0 0 0 0 0
R 3
0 0 0 0 0 0
R 4
0 0 0 0 0 0

O 5
0 0 0 0 0 0
T 6
0 0 0 0 0 0
S1(i)
S2(j)
Max (L[i, j-1,
L[i -1, j])
0 0 0 0 0
0
1 + L[i-1, j-1]
If s1[i] <> s2[j]
If s1[i] = s2[j]
1 1 1 1
0 1 2 2 2
0 1 2 2 2
0 1 2 2 2
0 1 2 3 3
If L[i, j] = L[i-1, j]
then dec(i)
If L[i, j] <> L[i-1, j] then dec(j)
3
S3 = “”S3 = 3
2
3
S3 = 3T
1
D ng vì i = 0ừ
S3 = 3RTS3 = 3ART
If s1[i] = s2[j] then dec(i); dec(j)

XÂU CON
LỚN NHẤT
HÀM Max
Function max(Var a, b: byte):byte;
Begin
if a>b then max:=a
else
max:=b;
End;
THỦ TỤC DocDuLieu
Procedure DocDuLieu;
Var
f : Text;
Begin
Assign(f, FILE_INP); Reset(f);
Readln(f, s1);
Readln(f, s2);
m:=Length(s1);
n:=Length(s2);
Close(f);
End;
THỦ TỤC InKetQua
Procedure Inketqua;
Begin
Assign(f, FILE_OUT); Rewrite(f);
Writeln(f, 's1 = ',s1);
Writeln(f, 's2 = ',s2);
Writeln(f, 'Xau chung dai nhat:', s3);
Writeln(f);
Writeln(f,'Bang p:');

for j:=1 to n do Write(f, s2[j]:7); Writeln(f);
for i:=1 to m do
begin
Write(f, s1[i]:3);
write(f, L[i, 1]:4);
for j:=2 to n do
Write(f, L[i, j]:7);
writeln(f);
end;
Close(f)
End;
CHƯƠNG TRÌNH CHÍNH
Begin
DocDuLieu;
LapBang;
XauConLonNhat;
InKetQua;
End.
PHÂN TÍCH ĐỘ PHỨC TẠP

Điền vào bảng L[0 m, 0 n] mất O(m.n) thời gian, đây cũng là thời
gian chạy của thủ tục Tạo bảng

Không gian được yêu cầu là O(m.n)
XIN CẢM ƠN !!!