Tai lieu chuyen de he toa do trong khong gian

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

III

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
I

LÝ THUYẾT.

1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
 Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vng góc nhau.



 Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i = (1;0;0) .



 Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j = (0;1;0) .



 Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k = (0;0;1).
 Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.











2. Tọa độ vectơ: Vectơ u = xi + y j + zk ⇔ u = ( x; y; z ) .



=
a1 ; a2 ; a3 ), b (b1 ; b2 ; b3 ) . Ta có:
Cho a (=
 

 a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )









a kb (k ∈ R)
 a cùng phương b ⇔=


 ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 )

a1 = kb1
a
a a

⇔ a2 = kb2 ⇔ 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ≠ 0).
b1 b2 b3

a3 = kb3

a1 = b1
 

b
b2
 a =⇔
a2 =
a = b
 3 3


 a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3



 a=

 

 a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0



2

2
2
2
2
 a = a = a1 + a2 + a3

a12 + a22 + a22
 
 cos(a=
, b)




a.b

=
a .b

a1b1 + a2b2 + a3b3
2
1

a + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) ⇔ OM =
( x; y; z ) . Cho A( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:



( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )
 AB =

 AB =

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

 x + x y + yB z A + z B
;
M A B; A
2
2
 2


.


( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2

 x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC
G A B C ; A
;
3
3
3



.


QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Page 1


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Chiếu điểm trên trục tọa độ
Chiếu vaøo Ox
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M1 ( xM ;0;0)
( Giữ nguyên x )

Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
Chiếu vào Oxy
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M1 ( xM ; yM ;0)
( Giữ nguyên x , y )

Chiếu vaøo Oy

 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M2 (0; yM ;0)
( Giữ nguyên y )

Chiếu vaøo Oyz
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M2 (0; yM ; zM )
( Giữ nguyên y, z )

Chiếu vào Oz
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M3 (0;0; zM )
( Giữ nguyên z )

Chiếu vào Oxz
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M3 ( xM ;0; zM )
( Giữ nguyên x , z )

Đối xứng điểm qua trục tọa độ

Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ

Đối xứng qua Oxy
Đối xứng qua Ox
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M1 ( xM ; yM ;zM )
 M1 ( xM ; yM ;zM )  M ( xM ; yM ; zM ) 
( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z )
( Giữ nguyên x , y; đổi dấu z )

Đối xứng qua Oy
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M2 (xM ; yM ;zM )
( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z )
Đối xứng qua Oz
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M3 (xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên z; đổi dấu x , y )

Đối xứng qua Oxz
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M2 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên x , z; đổi dấu y )

Đối xứng qua Oyz
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M3 (xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên y, z; đổi dấu x )

4. Tích có hướng của hai vectơ:





 Định nghĩa: Cho a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
 a2 a3 a3 a1 a1 a2 
 
 a , b  =
;

;
( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .

=
b
b
b
b
b
b
2
3
3
1
1
2 

 
 

 

 
 
[a, b] = a . b .sin ( a , b )
 Tính chất:
[ a, b] ⊥ a
[ a, b] ⊥ b
 
 


 Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là
a
,
b
và
là

Điều
kiện
đồng
phẳng
của
ba
vectơ
c

 

  
 a, b  = 0 với 0 = (0;0;0).
[a, b].c = 0.
 
 Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD

 
=  AB, AD  .

  

 Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD ]. AA ' .

 Diện tích tam giác ABC:

S ∆ABC =

1
2

 
 AB, AC  .

 Thể tích tứ diện: VABCD =

1   
 AB, AC  . AD .

6

Chú ý:
– Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương.

Page 2


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN.

DẠNG 1: CÁC CÂU LIÊN QUAN TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ


Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ: =
,b
a (2; −5;3)=
   
Tìm tọa độ vectơ d =a − 4b − 2c .
Câu 2.

( 0;2; −1) ,


c = (1;7;2 ) .

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1;2;4 ) , B ( 2; −1;0 ) , D ( −2;3; −1) .
a/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
b/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD .

Câu 3.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1; −1;5 ) , B ( 3;4;4 ) , C ( 4;6;1) . Tìm tọa độ
điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C ?

Câu 4.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm K ( 2;4;6 ) , gọi K ' là hình chiếu vng góc
của K trên trục Oz . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng OK ' ?

Câu 5.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) , B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1) . Tìm các giá trị
của x để tam giác ABC đều?

Câu 6.

Trong không gian m , cho tam giác ABC có A ( −2;0; −3) , B ( −4;1; −1) , C ( −4; −4;1) . Gọi D là
chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm D.

Câu 7.

Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '
   
1/ Chứng minh: AC ' + CA ' + 2C ' C =
0
2/ Cho A (1;0;1) , B ( 2;1;2 ) , C ' ( 4;5; −5 ) , D (1; −1;1) . Tính tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.

Câu 8.

Trong khơng gian m , cho tam giác đều ABC có A ( 5;3; −1) , B ( 2;3; −4 ) và điểm C nằm trong
mặt phẳng ( Oxy ) có tung độ nhỏ hơn 3 .
1/ Tìm tọa độ điểm C .
2/ Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều.

DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG

Câu 1.


Trong khơng gian m cho tam giác ABC có A ( 2; −1;3) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 5; −1; −6 ) .Tính cos BAC

Câu 2.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A (1;2;3) , B đối xứng với A qua
mặt phẳng ( Oxy ), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O. Tính diện tích tam giác ABC ?

Câu 3.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;1) , C ( −3;6;4 )

. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC = 2 MB . Tính độ dài đoạn thẳng AM .
 
 


Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai vecto a, b thỏa mãn a=
; b 1200=
; a 2;=
b 3

( )

a)




Tính a − 2b .

b)



 
Tính góc giữa hai vecto a và =
x 3a + 2b .
Page 3


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Câu 5. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) , B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1) . Tìm các giá trị
của x để tam giác ABC đều?
Câu 6. Trong khơng gian m , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đỉnh A trùng với gốc O ,

B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; b ) ( a, b > 0 ) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' .Tính thể tích

của khối tứ diện BDA ' M .

Page 4


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

I

LÝ THUYẾT.

I. ĐỊNH NGHĨA
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M
trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính
R.
Kí hiệu: S ( I ; R ) ⇒ S ( I ; R ) =

I R

A

{M / IM = R}

B

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1 : Phương trình chính tắc

Dạng 2 : Phương trình tổng quát

Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R > 0 .

(S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c )
2

2

2

(2)

(S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2by − 2cz + d =
0

⇒ Điều kiện để phương trình (2) là phương trình

=
R2

mặt cầu:

a2 + b2 + c 2 − d > 0

•

(S) có tâm I ( a; b; c ) .

•

(S) có bán kính: R=

a2 + b2 + c 2 − d .

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Cho mặt cầu S ( I ; R ) và mặt phẳng ( P ) . Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên ( P ) ⇒ d =
IH là
khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) . Khi đó :
+ Nếu d > R : Mặt cầu và

mặt phẳng khơng có
điểm chung.

+ Nếu d = R : Mặt phẳng tiếp

xúc mặt cầu. Lúc đó: ( P )

+ Nếu d < R : Mặt phẳng ( P )
cắt mặt cầu theo thiết
diện là đường trịn có
tâm I' và bán kính

là mặt phẳng tiếp diện của
mặt cầu và H là tiếp điểm.

R2 − IH 2

=
r
M1
R

P

H

I

I

M2

R
P

H

I
d

R
r

I'

α

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó
được gọi là đường tròn lớn.
Page 5


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho mặt cầu S ( I ; R ) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ . Khi đó :
+ IH > R : ∆ không cắt mặt
cầu.

+ IH = R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu.

∆ là tiếp tuyến của (S) và H
là tiếp điểm.

∆

+ IH < R : ∆ cắt mặt cầu tại
hai điểm phân biệt.

∆

H

H

I

R

R

R

I

I

Δ
H

B

A

* Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:
+ Xác định: d ( I ; ∆ ) =IH .
+ Lúc đó:

R=

2

 AB 
IH + 

 2 

2

2

2

IH + AH =

V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
mặt cầu

(S ) : ( x – a ) + ( y – b ) + ( z – c )
2

2

2

=
R2 tâm

I ( a ; b; c )

bán kính R và mặt phẳng

0 .
( P ) : Ax + By + Cz + D =
o Nếu d ( I , ( P ) ) > R thì mp ( P ) và mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung.
o Nếu d ( I , ( P ) ) = R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) tiếp xúc nhau. Khi đó (P) gọi là tiếp

diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm

(

)

o Nếu d I , ( P ) < R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) cắt nhau theo giao tuyến là đường trịn
có phương trình :

( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 =
R2

0
 Ax + By + Cz + D =

Trong đó bán kính đường trịn=
r

R 2 − d( I ,( P ))2 và tâm H của

đường trịn là hình chiếu của tâm I mặt cầu ( S ) lên mặt
phẳng ( P ) .

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN.

I. TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU
Page 6


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Kiến thức vận dụng

R2 là phương trình mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) , bán
 Phương trình: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) =
2

2

2

kính R
 Phương trình x 2 + y 2 + z 2 – 2 ax – 2by – 2cz + d =

0 thỏa điều kiện a 2 + b2 + c 2 – d > 0 , là phương
trình trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R=

a2 + b2 + c 2 − d

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu,
nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.

5.
a) ( x − 2 ) + ( y + 3 ) + z 2 =
2

2

b) x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 1 =
0.
c) 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 6 x + 3 y + 21 =
0.
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm

m

để mỗi phương trình sau là phương trình

mặt cầu.

a) x 2 + y 2 + z 2 − 2 mx + 2 ( m + 1) y − 4 z + 1 =
0.
b) x 2 + y 2 + z 2 − 2 ( m − 3 ) x − 4 mz + 8 =
0.

Câu 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để phương

phương trình x + y + z + 2 ( m + 2 ) x – 2 ( m − 3 ) z + m − 1 =
0 là phương trình của mặt cầu có
2

2

2

2

bán kính nhỏ nhất.
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp
Thuật toán 1:

Bước 1: Xác định tâm I ( a; b; c ) .
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

(

) (
2

) (

2

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính R là: x − a + y − b + z − c

)

2

=
R2

Thuật tốn 2:
2
2
2
0
Gọi phương trình (S) : x + y + z − 2 ax − 2by − 2cz + d =

Phương trình (S) hồn tồn xác định nếu biết được a , b , c , d. ( a 2 + b2 + c 2 − d > 0 )

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp
sau:

a) Có đường kính AB với A ( 4; − 3; 7 ) , B ( 2; 1; 3 ) .
b) Có tâm C ( 3; −3;1) và đi qua điểm A ( 5; −2;1) .

Page 7


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

c) Có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và đi qua 3 điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − 3 ) , C ( −1; 0; 2 ) .
d) Có tâm A ( 2; 4; − 5 ) và tiếp xúc với trục Oz .
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 1; 2 ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) . Viết
phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A , B, C và có tâm nằm trên mp ( Oxz ) .
Câu 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

a) (S) qua bốn điểm A ( 1; 2; −4 ) , B ( 1; −3;1) , C ( 2; 2; 3 ) , D ( 1; 0; 4 ) .

b) (S) qua A ( 0; 8; 0 ) , B ( 4; 6; 2 ) , C ( 0;12; 4 ) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
x = t

Câu 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng ∆ :  y =
−1 và (S) tiếp xúc với hai
 z = −t


mặt phẳng (α ) : x + 2 y + 2 z + 3 =
0.
0 và ( β ) : x + 2 y + 2 z + 7 =
Câu 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A ( 2; 6; 0 ) , B ( 4; 0; 8 ) và có tâm thuộc d:
x −1
=
−1

y
=
2

z+5
.

1

Câu 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( 2; 3; −1) và cắt đường thẳng ∆ : x + 1 =y − 1 =z tại hai
điểm A, B với AB = 16 .
Câu 7: Cho hai mặt phẳng
∆:

1

y+ z−6
( P ) : 5x − 4=

−4

1

0, ( Q ) : 2 x −=
y + z + 7 0 và đường thẳng

x −1 y z −1
=
= . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và
7
3
−2

∆ sao cho

(Q) cắt (S) theo một hình trịn có diện tích là 20π .

 x = −t

Câu 8: Cho mặt phẳng ( P) : 2 x − y − 2 z − 2 =
= 2t − 1 .
0 và đường thẳng d :  y

z = t + 2

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P)
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
−1 y +1 z −1
Câu 9: Cho điểm I ( 1; 0; 3 ) và đường thẳng d : x=
. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm
=
2

1

I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho ∆IAB vuông tại I.

2

2
2
2
0 và điểm A ( 4; 4; 0 ) . Viết phương trình mặt
Câu 10: Cho mặt cầu (S): x + y + z − 4 x − 4 y − 4 z =

phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường trịn trong khơng gian.

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường trịn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi

r

là bán kính của (C): =
r

(

)

R2 − d I ; ( P ) 



2

Page 8


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
2
2
2
0 cắt mặt phẳng (P): x − 2 =
Câu 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu (S) : x + y + z − 2 x − 3 =
0 theo

giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
II. SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC
Phương pháp
Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d ( I ; ∆ ) =R.
+ Mặt phẳng (α ) là tiếp diện của (S)

⇔

(

)

d I ; (α ) = R.

* Lưu ý các dạng tốn liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.
2
2
2
0 . Tìm
Câu 1: Cho đường thẳng ( ∆ ) : x = y − 1 = z − 2 và và mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 z + 1 =

2

1

số điểm chung của ( ∆ ) và ( S ) ?

−1

Câu 2: Cho điểm I ( 1; −2; 3 ) . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy
+1 y −2 z + 3
. Viết phương trình
Câu 3: Cho điểm I ( 1; −2; 3 ) và đường thẳng d có phương trình x=
=
2

mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d

1

−1

Câu 4: Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; 3; −1) cắt đường thẳng d : x − 11= y= z + 25 tại 2
2

điểm A, B sao cho AB = 16

1

−2

+5 y−7 z
Câu 5: Cho đường thẳng d : x=
và điểm I (4; 1; 6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) có tâm
=
2

−2

1

I, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . Viết phương trình của mặt cầu ( S )
−1 y −1 z + 2
Câu 6: Cho điểm I ( 1; 0; 0 ) và đường thẳng d : x=
. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có
=
1

2

1

tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều

Page 9


CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

III

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

I

LÝ THUYẾT.

1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
 Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vng góc nhau.



 Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i = (1;0;0) .



 Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j = (0;1;0) .



 Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k = (0;0;1).
 Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.











2. Tọa độ vectơ: Vectơ u = xi + y j + zk ⇔ u = ( x; y; z ) .



=
a1 ; a2 ; a3 ), b (b1 ; b2 ; b3 ) . Ta có:
Cho a (=
 

 a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )









a kb (k ∈ R)
 a cùng phương b ⇔=


 ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 )

a1 = kb1
a
a a

⇔ a2 = kb2 ⇔ 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ≠ 0).

b1 b2 b3

a3 = kb3

a1 = b1
 

b
b2
 a =⇔
a2 =
a = b
 3 3


 a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3



 a=

 

 a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0



2

2

2
2
2
 a = a = a1 + a2 + a3

a12 + a22 + a22
 
 cos(a=
, b)




a.b

=
a .b

a1b1 + a2b2 + a3b3
2
1

a + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) ⇔ OM =
( x; y; z ) . Cho A( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:



( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )

 AB =

 AB =

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

 x + x y + yB z A + z B
;
M A B; A
2
2
 2


.


( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2

 x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC
G A B C ; A
;
3
3
3




.


QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Page 1


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Chiếu điểm trên trục tọa độ
Chiếu vaøo Ox
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M1 ( xM ;0;0)
( Giữ nguyên x )

Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
Chiếu vào Oxy
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M1 ( xM ; yM ;0)
( Giữ nguyên x , y )

Chiếu vaøo Oy
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M2 (0; yM ;0)
( Giữ nguyên y )

Chiếu vaøo Oyz
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M2 (0; yM ; zM )
( Giữ nguyên y, z )

Chiếu vào Oz
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M3 (0;0; zM )
( Giữ nguyên z )

Chiếu vào Oxz
 Điểm M ( xM ; yM ; zM ) 
 M3 ( xM ;0; zM )
( Giữ nguyên x , z )

Đối xứng điểm qua trục tọa độ

Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ

Đối xứng qua Oxy
Đối xứng qua Ox
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M1 ( xM ; yM ;zM )
 M1 ( xM ; yM ;zM )  M ( xM ; yM ; zM ) 
( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z )
( Giữ nguyên x , y; đổi dấu z )
Đối xứng qua Oy
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M2 (xM ; yM ;zM )
( Giữ nguyên y; đổi dấu x , z )
Đối xứng qua Oz
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M3 (xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên z; đổi dấu x , y )

Đối xứng qua Oxz
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M2 ( xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên x , z; đổi dấu y )

Đối xứng qua Oyz
 M ( xM ; yM ; zM ) 
 M3 (xM ; yM ; zM )
( Giữ nguyên y, z; đổi dấu x )

4. Tích có hướng của hai vectơ:





 Định nghĩa: Cho a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
 a2 a3 a3 a1 a1 a2 
 
 a , b  =
;
;
( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .

=
b
b
b
b
b

b
2
3
3
1
1
2 

 
 

 

 
 
[a, b] = a . b .sin ( a , b )
 Tính chất:
[ a, b] ⊥ a
[ a, b] ⊥ b
 
 

 Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là
a
,
b
và
là

Điều

kiện
đồng
phẳng
của
ba
vectơ
c

 

  
 a, b  = 0 với 0 = (0;0;0).
[a, b].c = 0.
 
 Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD

 
=  AB, AD  .

  

 Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD ]. AA ' .

 Diện tích tam giác ABC:

S ∆ABC =

1
2

 
 AB, AC  .

 Thể tích tứ diện: VABCD =

1   
 AB, AC  . AD .

6

Chú ý:
– Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương.

Page 2


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN.

DẠNG 1: CÁC CÂU LIÊN QUAN TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ


Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ: =

,b
a (2; −5;3)=
   
Tìm tọa độ vectơ d =a − 4b − 2c .

( 0;2; −1) ,


c = (1;7;2 ) .

Lời giải


Ta có: =
a

( 2; −5;3)


=
4b

( 0;8; −4 )


2c = ( 2;14;4 )

   
Suy ra: d =a − 4b − 2c

=

( 2; −5;3) − ( 0;8; −4 ) − ( 2;14;4 )

=

( 2 − 0 − 2; −5 − 8 − 14;3 + 4 − 4 )

=
Câu 2.



d ( 0; −27;3) .
( 0; −27;3) . Vậy =

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1;2;4 ) , B ( 2; −1;0 ) , D ( −2;3; −1) .
1/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
2/ Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD .
Lời giải
−3
xC − xB + x A =
 xD =
 

1/ Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ AD = BC ⇔  yD = yC − yB + y A = 6 ⇒ D ( −3;6;3)
z = z − z + z = 3
C
B
A

 D

2/ Điểm I là tâm hình bình hành ABCD

x A + xC

 xI = 2

y A + yC

 1 5 3
⇒ I − ; ;  .
⇒ I là trung điểm của AC ⇒ =
 yI
2
 2 2 2

z A + zC

 zI = 2

Câu 3.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1; −1;5 ) , B ( 3;4;4 ) , C ( 4;6;1) . Tìm tọa độ
điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) và cách đều các điểm A, B, C ?
Lời giải
Gọi M ( x; y;0 )∈ ( Oxy ) , ( x, y ∈ ; x 2 + y 2 ≠ 0 ) là điểm cần tìm.

Page 3

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
2
2
 AM = BM
Vì M cách đều A, B, C nên ta có: MA
= MB
= MC ⇔ 
2
2
 AM = CM

( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( 0 − 5 )2 = ( x − 3)2 + ( y − 4 )2 + ( 0 − 4 )2
⇔
2
2
2
2
2
2
( x − 1) + ( y + 1) + ( 0 − 5 ) = ( x − 4 ) + ( y − 6 ) + ( 0 − 1)

14 0
5y 7 =
4 x + 10 y −=
2 x +=
 x 16
.
⇔
⇔

⇔
0
6
−5
2 x + 4 y − 12 =
x + 2 y =
y =
Vậy M (16; −5;0 ) .
Câu 4.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm K ( 2;4;6 ) , gọi K ' là hình chiếu vng góc
của K trên trục Oz . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng OK ' ?
Lời giải
Vì K ' là hình chiếu vng góc của K ( 2;4;6 ) lên trục Oz nên K ' ( 0;0;6 ) .
Gọi I ( x1; y1; z 1 ) là trung điểm OK '. Suy ra I ( 0;0;3) .

Câu 5.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) , B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1) . Tìm các giá trị
của x để tam giác ABC đều?
Lời giải
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB
5 1

Ta có: M  −2; ; −  , AB = 2 , CM =
2 2


( x + 2) 2 +

1
2

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi
CM =AB

 x = −1
3
1
6
⇔ ( x + 2) 2 + = ⇔ ( x + 2) 2 =1 ⇒ 
2
2
2
 x = −3

 x = −1
là các giá trị cần tìm.
Vậy: 
 x = −3
Câu 6.

Trong không gian m , cho tam giác ABC có A ( −2;0; −3) , B ( −4;1; −1) , C ( −4; −4;1) . Gọi D là
chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm D.
Lời giải
A

B

D

C

Theo tính chất phân giác trong, ta có:


DB AB
AB 
= ⇒ DB =
−
DC (1)
DC AC
AC
Page 4


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

AB 3;=
AC 6
Mà:=
−2 ( xB − xD )
 xC − xD =



2 1

Từ (1) ⇒ DC =−2 DB ⇔  yC − yD =−2 ( yB − yD ) ⇒ D  −4; − ; −  .
3 3



−
=
−
−
z
z
z
z
2
(
)
B
D
 C D
Câu 7.

Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '
   
1/ Chứng minh: AC ' + CA ' + 2C ' C =
0
2/ Cho A (1;0;1) , B ( 2;1;2 ) , C ' ( 4;5; −5 ) , D (1; −1;1) . Tính tọa độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.
Lời giải
 
     
1/ Ta có: AC
=' AC + CC ' ; CA
=' CC ' + C ' A và C ' A ' = CA
  

    
Suy ra: AC ' + CA ' + 2C ' C = 2CC ' + AC + CA + 2C ' C = 0 (đpcm)
2/ Sử dụng công thức hai vecto bằng nhau ta được:

C ( 2;0;2 ) , B ' ( 4;6; −5 ) , A ' ( 3;5; −6 ) , D ' ( 3;4; −6 )

Câu 8.

Trong không gian m , cho tam giác đều ABC có A ( 5;3; −1) , B ( 2;3; −4 ) và điểm C nằm trong
mặt phẳng ( Oxy ) có tung độ nhỏ hơn 3 .
1/ Tìm tọa độ điểm C .
2/ Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là tứ diện đều.
Lời giải
1/ Vì C ∈ ( Oxy ) nên C ( x; y;0 ) .



Ta có: AB =( −3;0; −3) , AC =( x − 5; y − 3;1) , BC =( x − 2 y; y − 3;4 )
2
=
=
AC 2
 AB AC
 AB
Tam giác ABC đều nên 
⇔ 2
2
 AC = BC
 AC = BC

( x − 5 )2 + ( y − 3)2 + 1 =
18
=
 x 1=
x 1
.
⇔
⇔
∨
2
2
2
2
 y 4=
y 2
( x − 5 ) + ( y − 3) + 1 = ( x − 2 ) + ( y − 3) + 16 =

Vì C có tung độ nhỏ hơn 3 nên C (1;2;0 ) .
2/ Gọi D ( x; y; z ) .



Khi đó: AD =( x − 5; y − 3; z + 1) ; BD =( x − 2; y − 3; z + 4 ) ; CD =( x − 1; y − 2; z ) .
Vì tam giác ABC đều nên tứ diện ABCD đều khi và chỉ khi AD
= BD
= CD
= AB
= 3 2
( x − 5 )2 + ( y − 3)2 + ( z + 1)2 = ( x − 2 )2 + ( y − 3)2 + ( z + 4 )2


2
2
2
2
2

⇔ ( x − 5 ) + ( y − 3) + ( z + 1) = ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2

2
2
2
18
( x − 5 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
Page 5


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

10

x = 3
z = 1− x
z =
1− x
2 
x =

2




⇔  y =−
⇔  y =∨
− .
16 5 x
6 y =
⇔  y =16 − 5 x
3
3 x 2 − 16 x + 20 =



2
2
2
0
 z = −1 
18

( x − 5 ) + ( y − 3) + ( z + 1) =
7
z = − 3

 10 2 7 
Vậy: D ( 2;6; −1) ∨ D  ; − ; −  .
 3 3 3

DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG
Câu 1.


Trong khơng gian m cho tam giác ABC có A ( 2; −1;3) , B ( 3;0; −2 ) , C ( 5; −1; −6 ) .Tính cos BAC


Ta có: AB =
(1;1; −5) ; AC =
( 3;0; −9 )

Lời giải

 
 
AB. AC
16
 cos AB
.
Suy ra: cos
BAC
; AC
=
=
=
AB. AC 3 30

(

Câu 2.

)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A (1;2;3) , B đối xứng với A qua
mặt phẳng ( Oxy ), C đối xứng với B qua gốc tọa độ O. Tính diện tích tam giác ABC ?
Lời giải
Theo đề bài: B đối xứng với A qua mặt phẳng ( Oxy ) ⇒ B(1;2; −3)
C đối xứng với B qua gốc tọa độ O ⇒ C(−1; −2;3)



1  
⇒ AB =(0;0; −6); AC =(−2; −4;0) ⇒ S∆ABC =  AB; AC  =6 5 .
2
Câu 3.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 2;0;0 ) , B ( 0;3;1) , C ( −3;6;4 )
. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MC = 2 MB . Tính độ dài đoạn thẳng AM .
Lời giải


Vì điểm M thuộc cạnh BC nên MC = −2 MB , suy ra tọa độ điểm M là


 xM =


=
 yM


=
 zM



xC − (−2) xB
= −1
1 − (−2)
yC − (−2) yB
= 4 .
1 − (−2)
zC − (−2) z B
= 2
1 − (−2)

Vậy độ dài AM bằng:

( xM − xA ) + ( yM − y A )
2

2

+ ( zM − z A ) 2 =

( −1 − 2 )2 + ( 4 − 0 )2 + (2 − 0) 2 = 29 .

 
 


Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai vecto a, b thỏa mãn a=
; b 1200=
; a 2;=

b 3

( )

Page 6


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1)



Tính a − 2b .

2)



 
Tính góc giữa hai vecto a và =
x 3a + 2b .
Lời giải

  
 
Ta có: a.b = a . b .cos a; b = −3

( )

1)

 
⇒ a − 2b

(

)

2

2
  2
 
= a − 4a.b + 4b = 52 ⇒ a − 2b = 2 13 .


  

2

2) Ta có: a.x =a a − 2b =a − 2a.b =6 và x =

(

)





(3a + 2b )

2

= 6.


 
 
a.x
1
⇒ cos a; x =
600 .
  =⇒ a; x =
2
a.x

( )

( )

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−2;2; −1) , B ( −2;3;0 ) , C ( x;3; −1) . Tìm các giá trị
của x để tam giác ABC đều?
Lời giải
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .
5 1

Ta có: M  −2; ; −  , AB = 2 , CM =
2 2


( x + 2) 2 +

1
.
2

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi
CM =AB

 x = −1
3
1
6
.
⇔ ( x + 2) 2 + = ⇔ ( x + 2) 2 =1 ⇒ 
2
2
2
 x = −3

 x = −1
Vậy: 
là các giá trị cần tìm.
 x = −3
Câu 6. Trong khơng gian m , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đỉnh A trùng với gốc O ,

B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; b ) ( a, b > 0 ) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' .Tính thể tích

của khối tứ diện BDA ' M .

Lời giải
b

Ta có : C ( a; a;0 ) , C ' ( a; a; b ) ⇒ M  a; a;  .
2


 BD = ( −a; a;0 )
   ab ab


2
( −a;0;b )
  
 ; ; a  ; BA ' =
b  ⇒  BD, BM  =−
2
2


BM
=
a
0;
;



2



  
3a 2b
⇒  BD, BM  .BA ' =
−
2

1    a 2b
 BD, BM  .BA '
=
Vậy thể tích của khối tứ diện BDA
.
' M là: VBDA ' M =

6
4
Page 7


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

I

LÝ THUYẾT.

I. ĐỊNH NGHĨA
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M
trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính

R.
Kí hiệu: S ( I ; R ) ⇒ S ( I ; R ) =

I R

A

{M / IM = R}

B

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1 : Phương trình chính tắc

Dạng 2 : Phương trình tổng quát

Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R > 0 .

(S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c )
2

2

2

(2)

(S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2by − 2cz + d =
0

⇒ Điều kiện để phương trình (2) là phương trình

=
R2

mặt cầu:

a2 + b2 + c 2 − d > 0

•

(S) có tâm I ( a; b; c ) .

•

(S) có bán kính: R=

a2 + b2 + c 2 − d .

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Cho mặt cầu S ( I ; R ) và mặt phẳng ( P ) . Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên ( P ) ⇒ d =
IH là
khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) . Khi đó :
+ Nếu d > R : Mặt cầu và
mặt phẳng khơng có
điểm chung.

+ Nếu d = R : Mặt phẳng tiếp

xúc mặt cầu. Lúc đó: ( P )

+ Nếu d < R : Mặt phẳng ( P )
cắt mặt cầu theo thiết
diện là đường trịn có
tâm I' và bán kính

là mặt phẳng tiếp diện của
mặt cầu và H là tiếp điểm.

R2 − IH 2

=
r
M1
R

P

H

I

I

M2

R
P

H

I
d

R
r

I'

α

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó
được gọi là đường tròn lớn.
Page 8


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho mặt cầu S ( I ; R ) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ . Khi đó :
+ IH > R : ∆ không cắt mặt
cầu.

+ IH = R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu.
∆ là tiếp tuyến của (S) và H
là tiếp điểm.

∆

+ IH < R : ∆ cắt mặt cầu tại
hai điểm phân biệt.

∆

H

H

I

R

R

R

I

I

Δ
H

B

A

* Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:
+ Xác định: d ( I ; ∆ ) =IH .

+ Lúc đó:

R=

2

 AB 
IH + 

 2 

2

2

2

IH + AH =

V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
mặt cầu

(S ) : ( x – a ) + ( y – b ) + ( z – c )
2

2

2

=

R2 tâm

I ( a ; b; c )

bán kính R và mặt phẳng

0 .
( P ) : Ax + By + Cz + D =
o Nếu d ( I , ( P ) ) > R thì mp ( P ) và mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung.
o Nếu d ( I , ( P ) ) = R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) tiếp xúc nhau. Khi đó (P) gọi là tiếp

diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm

(

)

o Nếu d I , ( P ) < R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) cắt nhau theo giao tuyến là đường trịn
có phương trình :

( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 =
R2

0
 Ax + By + Cz + D =

Trong đó bán kính đường trịn=
r

R 2 − d( I ,( P ))2 và tâm H của

đường trịn là hình chiếu của tâm I mặt cầu ( S ) lên mặt
phẳng ( P ) .

Page 9


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP Ự LUẬN.

I. TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU
Kiến thức vận dụng

R2 là phương trình mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) , bán
 Phương trình: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) =
2

2

2

kính R
 Phương trình x 2 + y 2 + z 2 – 2 ax – 2by – 2cz + d =
0 thỏa điều kiện a 2 + b2 + c 2 – d > 0 , là phương
trình trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) , bán kính R=

a2 + b2 + c 2 − d

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu,
nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.

5.
a) ( x − 2 ) + ( y + 3 ) + z 2 =
2

2

b) x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 1 =
0.
c) 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 − 6 x + 3 y + 21 =
0.
Lời giải:

5 có dạng ( x – a ) + ( y − b ) + ( z − c )
( x − 2 ) + ( y + 3) + z =
phương trình mặt cầu có tâm I ( 2; −3; 0 ) và bán kính R = 5
2

a) Phương trình

2

2

2

2

2

R2 nên là
=

b) Phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 1 =
0 có dạng x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2by − 2cz + d với
a=
1, b =
−2, c =
3, d =
1 ⇒ a 2 + b2 + c 2 − d = 13 > 0 .

Vậy phương trình cho là phương trình mặt cầu có tâm I ( 1; −2; 3 ) và bán kính R = 13 .
2
2
2
0 ⇔ x2 + y 2 + z2 − 2x + y + 7 =
0 có dạng
c) Phương trình 3 x + 3 y + 3 z − 6 x + 3 y + 21 =

23
1
x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d với a ==
1, b − , c =
0, d =
7 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 − d =−
<0.
2

Vậy phương trình cho khơng phải là phương trình mặt cầu.
Câu 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm

m

4

để mỗi phương trình sau là phương trình

mặt cầu.

a) x 2 + y 2 + z 2 − 2 mx + 2 ( m + 1) y − 4 z + 1 =
0.
b) x 2 + y 2 + z 2 − 2 ( m − 3 ) x − 4 mz + 8 =
0.
Lời giải:

a) Phương trình x + y + z − 2 mx + 2 ( m + 1) y − 4 z + 1 =
0 có dạng
2

2

2

x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2by − 2cz + d với a =
m, b =
− ( m + 1) , c =
2, d =

1.

ĐK: a 2 + b2 + c 2 − d > 0 ⇔ m2 + ( m + 1) + 2 2 − 1 > 0 ⇔ 2 m2 + 2 m + 4 > 0 ⇔ m ∈  .
2

b) Phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 ( m − 3 ) x − 4 mz + 8 =
0 có dạng
m − 3, b =
0, c =
2m, d =
8.
x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2by − 2cz + d với a =
Page 10


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


1
2
2
m<
2

⇔
m
−
3
+
2

m
−
8
>
0
ĐK: a + b + c − d > 0
⇔ 5m − 6 m + 1 > 0 ⇔
( ) ( )
5.

 m > 1
2

2

2

Câu 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương
phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( m + 2 ) x – 2 ( m − 3 ) z + m2 − 1 =
0 là phương trình của mặt cầu có
bán kính nhỏ nhất.
Lời giải:
Chọn D.
Phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( m + 2 ) x – 2 ( m − 3 ) z + m2 − 1 =
0 có dạng:
x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax – −2by − 2cz + d = 0 với a =
− (m + 2) , b =
0, c =−
m 3, d =
m2 − 1 .

(

)

ĐK để pt cho là pt mặt cầu: a 2 + b2 + c 2 − d > 0 ⇒ ( m + 2 ) + ( m − 3 ) − m2 − 1 > 0
2

2

⇔ m2 − 2 m + 14 > 0 ⇔ m ∈  .
Khi đó bán kính mặt cầu là R=
Do =
đó min R

m2 − 2 m + 14 =

( m − 1)

2

+ 13 ≥ 13

=
13 khi m 1 .

II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp
Thuật toán 1:

Bước 1: Xác định tâm I ( a; b; c ) .
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

R2
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính R là: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) =
2

2

2

Thuật toán 2:
Gọi phương trình (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2by − 2cz + d =
0
Phương trình (S) hồn tồn xác định nếu biết được a , b , c , d. ( a 2 + b2 + c 2 − d > 0 )
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp
sau:

a) Có đường kính AB với A ( 4; − 3; 7 ) , B ( 2; 1; 3 ) .
b) Có tâm C ( 3; −3;1) và đi qua điểm A ( 5; −2;1) .
c) Có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và đi qua 3 điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − 3 ) , C ( −1; 0; 2 ) .
d) Có tâm A ( 2; 4; − 5 ) và tiếp xúc với trục Oz .
Lời giải:

a) Có đường kính AB với A ( 4; − 3; 7 ) , B ( 2; 1; 3 ) .
 Tâm I của mặt cầu là trung điểm của AB ⇒ I ( 3; −1; 5 ) .
Page 11


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

 Bán kính mặt cầu là R=

1
1
AB=
2
2

( 2 − 4 ) + (1 + 3 ) + ( 3 − 7 ) =
2

2

2

3.

Vậy phương trình mặt cầu là: ( x – 3) + ( y + 1) + ( z – 5 ) =
9.
2

2

2

b) Có tâm C ( 3; −3;1) và đi qua điểm A ( 5; −2;1) .
 Tâm của mặt cầu là C ( 3; −3;1) .
 Bán kính mặt cầu là R= CA=

( 5 − 3 ) + ( −2 + 3 ) + (1 − 1)=

2

2

2

5.

5.
Vậy phương trình mặt cầu là: ( x – 3 ) + ( y + 3 ) + ( z – 1) =
2

2

2

c) Có tâm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và đi qua 3 điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − 3 ) , C ( −1; 0; 2 ) .
 Gọi phương trình mặt cầu dạng: x 2 + y 2 + z 2 – 2 ax – 2by – 2cz + d =
0 , a2 + b2 + c 2 − d > 0 .
 Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) ∈ mp ( Oxy ) ⇒ c =
0 ( 1) .
 Mặt cầu qua 3 điểm A ( 1; 1; 1) , B ( 2; − 1; − 3 ) , C ( −1; 0; 2 ) , suy ra:
 3 − 2 a − 2b − 2c + d =
0

0 (2)
14 − 4 a + 2b + 6c + d =
 5 + 2 a − 4c + d =
0


7
12
32
Từ ( 1) và ( 2 ) ta tìm được: a =
,b =
− ,c =
0, d =
− .
10
5
5

7
24
32
 Vậy PTMC là: x 2 + y 2 + z 2 − x +
z−
0.
=
5
5
5

d) Có tâm A ( 2; 4; − 5 ) và tiếp xúc với trục Oz .
 Tâm mặt cầu là A ( 2; 4; − 5 ) .

 Gọi H là hình chiếu của A lên trục Oz ⇒ H ( 0; 0; −5 )
Bán kính mặt cầu là R = AH =

( 0 − 2 ) + ( 0 − 4 ) + ( −5 + 5 )
2

2

2

=

20

20 .
 Vậy PTMC là: ( x – 2 ) + ( y − 4 ) + ( z + 5 ) =
2

2

2

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1;1; 2 ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1;0;1) . Viết
phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A , B , C và có tâm nằm trên mp ( Oxz ) .
Lời giải:
 Gọi phương trình mặt cầu dạng: x 2 + y 2 + z 2 – 2 ax – 2by – 2cz + d =
0 , a2 + b2 + c 2 − d > 0 .
 Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) ∈ mp ( Oxz ) ⇒ b =
0 ( 1) .
 Mặt cầu qua 3 điểm A ( 1;1; 2 ) , B ( 1;1; −1) , C ( −1; 0;1)

Page 12

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
6 − 2 a − 2 b − 4 c + d =
0

Suy ra: 3 − 2 a − 2b + 2c + d =
0 (2) .
 2 + 2 a − 2c + d =
0


Từ ( 1) và ( 2 ) ta tìm được: a =

3
1
5
, b = 0, c = , d = − .
4
2
2

3
5
 Vậy PTMC là: x 2 + y 2 + z 2 − x − z − =
0.
2
2

Câu 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

a) (S) qua bốn điểm A ( 1; 2; −4 ) , B ( 1; −3;1) , C ( 2; 2; 3 ) , D ( 1; 0; 4 ) .

b) (S) qua A ( 0; 8; 0 ) , B ( 4; 6; 2 ) , C ( 0;12; 4 ) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Lời giải:
a) Cách 1: Gọi I ( x; y ; z ) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
 IA 2 = IB2
 IA =IB
− y + z =−1  x =−2
 2



2
Theo giả thiết:  IA =IC ⇔  IA =IC ⇔  x + 7 z =−2 ⇔  y =1 .

 IA 2 = ID 2
y=
z 0
=
 IA ID
 − 4z 1 =



Do đó: I ( −2;1; 0 ) và =
R IA
=

26 .
26 . Vậy (S) : ( x + 2 ) + ( y − 1) + z 2 =

2

2

Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 ax − 2by − 2cz + d =
0,

(a

2

)

+ b2 + c 2 − d > 0 .

Do A ( 1; 2; −4 ) ∈ ( S ) ⇔

−2 a − 4b + 8c + d =−21

Tương tự: B ( 1; −3;1) ∈ ( S ) ⇔ −2 a + 6b − 2c + d = −11
C ( 2; 2; 3 ) ∈ ( S ) ⇔ −4 a − 4b − 6c + d =−17

(1)
(2)

(3)

D ( 1; 0; 4 ) ∈ ( S ) ⇔ −2 a − 8c + d = −17 (4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a , b , c , d , suy ra phương trình mặt cầu (S) :

( x + 2 ) + ( y − 1)
2

2

+ z2 =
26 .

b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) ⇒ I ( 0; b; c ) .
2
 IA 2 IB
b 7
=
=
Ta có: IA =
.
IB =
IC ⇔  2
⇔

2
c = 5
 IA = IC

26.
Vậy I ( 0; 7; 5 ) và R = 26 . Vậy (S): x 2 + ( y − 7 ) + ( z − 5 ) =
2

2

Page 13


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
x = t

Câu 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng ∆ :  y =
−1 và (S) tiếp xúc với hai
 z = −t


mặt phẳng (α ) : x + 2 y + 2 z + 3 =
0.
0 và ( β ) : x + 2 y + 2 z + 7 =
Lời giải:
Gọi I ( t ; −1; −t ) ∈ ∆ là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

(

) (

)

Theo giả thiết: d I , (α=
) d I ,(β ) ⇔

(

)

Suy ra: I ( 3; −1; −=
I , (α )
3 ) và R d=

1−t
=
3

5−t
3

1 − t = 5 − t
⇔
⇒
=
t 3.
1 − t = t − 5

2
2
2
4
2
. Vậy (S) : ( x − 3 ) + ( y + 1) + ( z + 3 ) =.
9
3

Câu 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A ( 2; 6; 0 ) , B ( 4; 0; 8 ) và có tâm thuộc d:
x −1 y z + 5

.
= =
−1
2
1

Lời giải:
 x= 1 − t

Ta có d :  y = 2t . Gọi I ( 1 − t ; 2t ; −5 + t ) ∈ d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
 z =−5 + t



Ta có: IA = ( 1 + t ; 6 − 2t ; 5 − t ) , IB = ( 3 + t ; −2t ;13 − t ) .

BI
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B ⇔ AI =
⇔

(1 + t ) + ( 6 − 2t ) + ( 5 − t )
2

2

2

=

(3 + t)

2

+ 4t 2 + ( 13 − t )

2

29
178 − 20t ⇔ 12t =
⇔ 62 − 32t =
−116 ⇔ t =
−
3

 32 58 44 
R IA
= 2 233 .
⇒ I  ; − ; −  và =
3
3 
 3
2

2

2


32  
58  

44 
Vậy (S):  x −  +  y +  +  z +  =
932 .
3  
3  
3 


Câu 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( 2; 3; −1) và cắt đường thẳng ∆ :
điểm A, B với AB = 16 .


Chọn M ( −1;1; 0 ) ∈ ∆ ⇒ IM =

x +1 y −1 z
=
= tại hai
1
−4
1

Lời giải:

( −3; −2;1) .


Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là u=
∆

(1; −4;1) .

Page 14


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
 
Ta có:  IM
=
, u∆ 



(I , ∆)
( 2; 4;14 ) ⇒ d=


 IM , u 
∆

=
2 3.

u∆

Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : =
R

2
AB2
d ( I , ∆ )  + = 2 19.



4

76 .
Vậy (S): ( x − 2 ) + ( y − 3 ) + ( z + 1) =
2

2

2

y+ z−6
( P ) : 5x − 4=

Câu 7: Cho hai mặt phẳng

0, ( Q ) : 2 x −=
y + z + 7 0 và đường thẳng

x −1 y z −1
== . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và ∆ sao cho
−2
7
3
(Q) cắt (S) theo một hình trịn có diện tích là 20π .
∆:

Lời giải:
 x= 1 + 7 t


Ta có ∆ :  y =
. Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
3t
 z= 1 − 2t


 x= 1 + 7 t

 y = 3t

 z= 1 − 2t
5 x − 4 y + z − 6 =
0

(1)
(2)
(3)
(4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5 ( 1 + 7 t ) − 4 ( 3t ) + ( 1 − 2t ) − 6 = 0 ⇔ t = 0 ⇒ I ( 1; 0;1) .
Ta có : d ( I , ( Q ) ) =

5 6
.
3

Gọi r là bán kính đường trịn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:
20π= π r 2 ⇔ r= 2 5.
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

(

)

2

d I , ( Q=
)  + r 2


=
Theo giả
thiết: R

2
2
330
110
. Vậy (S) : ( x − 1) + y 2 + ( z − 1) = .
3
3

 x = −t

Câu 8: Cho mặt phẳng ( P) : 2 x − y − 2 z − 2 =
0 và đường thẳng d :  y= 2t − 1 .
z = t + 2


Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao
tuyến là đường trịn có bán kính bằng 3.
Lời giải:
Gọi I ( −t ; 2t − 1; t + 2 ) ∈ d : là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).

(

(

)

2

d I ; ( P )  + r 2 =



Theo giả thiết : R =

)

Mặt khác: d I ; ( P ) = 2 ⇔

4+9 =

−2t − 2t + 1 − 2t − 4 − 2
4 +1+ 4

13 .

 1
t = 6
= 2 ⇔ 6t + 5 = 6 ⇔ 
t = − 11
6

Page 15


CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
2

2

2

 1 2 13 
1

1 
2 
13 
* Với t = : Tâm I1  − ; − ;  , suy ra ( S1 ) :  x +  +  y +  +  z −  =
13 .
6
6 
3 
6 
 6 3 6 


2

2

2

 11 2 1 
11
11  
2 
1

* Với t = − : Tâm I 2  ; − ;  , suy ra ( S 2 ) :  x −  +  y +  +  z −  =
13 .
3 6
6
6 
3 
6

 6
x −1 y +1 z −1
. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm
Câu 9: Cho điểm I ( 1; 0; 3 ) và đường thẳng d : = =
2
1
2
I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho ∆IAB vng tại I.

Lời giải:


Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u = ( 2;1; 2 ) và P ( 1; −1;1) ∈ d .


Ta có: IP =


( 0; −1; −2 ) ⇒ u , IP  =


u , IP 


=

u

d ( I; d)
( 0; −4; −2 ) . Suy ra: =

20
.
3

Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, ∆IAB vuông tại I

⇒

1
1

1
2
=
+ 2=
⇔ R=
2
2
IH
IA
IB
R2

40
3

2d ( I , d ) =

2 IH =

2
2
40
Vậy (S) : ( x − 1) + y 2 + ( z − 3 ) = .
9

Câu 10: Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 4 y − 4 z =
0 và điểm A ( 4; 4; 0 ) . Viết phương trình mặt
phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Lời giải:
(S) có tâm I ( 2; 2; 2 ) , bán kính R = 2 3 . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).

Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp =
R/

(

)

( )

Khoảng cách : d I ; ( P ) = R2 − R /

2

=

2
3

OA 4 2
.
=
3
3

.

(

Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ax + by + cz
= 0 a2 + b2 + c 2 > 0

) (* )

Do (P) đi qua A, suy ra: 4a + 4b =
0 ⇔ b =−a .

(

)

Lúc đó: d I ; ( P ) =

2 (a + b + c)
a2 + b2 + c 2

=

2c
2a2 + c 2

⇒

2c
2a2 + c 2

=

2
3

c = a
. Theo (*), suy ra ( P ) : x − y + z =
⇒ 2 a 2 + c 2 = 3c 2 ⇒ 
0.
0 hoặc x − y − z =
c
1
=
−

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường trịn trong khơng gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường trịn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Page 16