Tai lieu chuyen de tich phan va mot so phuong phap tinh tich phan

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
BÀI 2. TÍCH PHÂN

I

LÝ THUYẾT.
Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Nếu F

là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F ( b ) − F ( a ) được gọi là tích phân của hàm số

f từ a đến b và kí hiệu là

b

∫ f ( x ) dx .
a

Ta gọi: a là cận dưới, b là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f ( x ) dx là biểu thức
dưới dấu tích phân, x biến số lấy tích phân.
Nhận xét :
a) Nếu a < b thì ta gọi

b

∫ f ( x ) dx là tích phân của

f trên đoạn [ a; b ] .

a

b) Hiệu số F ( b ) − F ( a ) cịn được kí hiệu là F ( x ) ba . Khi đó :
b

x )dx
∫ f (=

F (=
x ) ba F ( b ) − F ( a ) .

a

c) Tích phân khơng phụ thuộc biến số (điều này sẽ mang lại lợi ích cho ta để tính một số tích
phân đặc biệt), tức là

b

∫

f ( x )dx=

a

Tính chất: Cho k là hằng số

b

∫

f ( t )dt=

a

b

a ) ∫ f ( x)dx = 0

b) ∫ f ( x)dx = −

a

c) ∫ k . f ( x)dx = k
a

∫ f ( u )du=

a

b

∫

...= F ( b ) − F ( a ) .

a

a

b

b

a

∫ f ( x)dx
b

b

d ) ∫ [ f ( x) + g ( x) ]dx =

f ( x)dx

a

a

b

e) Tính chất chèn cận: ∫=
f ( x)dx
a

c

b

a

c

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

b

∫
a

b

f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
a

(chèn cận c )

Page 43


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

II

DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

Câu 1:

Tính các tích phân sau:
1

3 x 2 dx
b) I
∫=

=
a) I

0

4

1
dx
c) I
∫1=
x

π

ln 2

2 x dx
d) I
∫=
0

4

∫ sin xdx
0

Câu 2:

Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e . Tính F ( 2ln 2 ) − F ( ln 2 ) .

Câu 3:

Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

Câu 4:

Chứng minh F ( x ) = ln x + x 2 + 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x

)

(

1

1
thỏa điều kiện F (1) = 2 . Tính F ( e ) .
x
1

x2 + 1

. Từ đó

1

tính tích phân I = ∫

dx.
x2 + 1
1
ax + b
Chứng minh F ( x ) =
là một nguyên hàm của hàm số
ln
ad − bc cx + d
0

Câu 5:

1

f ( x) =

. Từ đó tính tích phân I =

1

( ax + b )( cx + d )

0
DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
Câu 6:

Tính các tích phân sau:
1

 x 1
b) I =
∫1  3 − x  dx

x

0

Câu 7:

Tính=
I

2

∫e
1

Câu 8:

Tính I =

x

π

2

a) I =
∫ ( 4 x − e ) dx
3

1

∫ ( 2 x + 1)( x + 1)dx.
c) I =
∫ ( sin x + 2cos x )dx
0

2

ln xdx + ∫ et (1 − ln t ) dt.
1

π

π

2
t
u
u
sin

ln
t
d
t
+
∫π 2
∫π sin 2  lnu − sin 2  du.
2

DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHÈN CẬN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Tích phân của hàm chứa dấu trị tuyệt đối
b

a) Yêu cầu: Tính tích phân I = ∫ f ( x) dx
a

b) Phương pháp:
+ Bước 1: Xét dấu của f ( x ) trên khoảng ( a; b )
-

Giải phương trình f ( x ) = 0 ⇔ x = xi ∈ ( a; b )

Lập bảng xét dấu của f ( x ) trên khoảng ( a; b )

+ Bước 2: Chèn cận xi và đồng thời bỏ dấu
=
I

(căn cứ vào BXD) ta được các tích phân cơ bản

b

xi

b

a

a

xi

f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
∫=

Chú ý: Nếu f ( x ) không đổi dấu trên đoạn [ a=
; b ] thì I

b

f ( x ) dx
∫=
a

Câu 9:

b

∫ f ( x ) dx
a

Tính các tích phân:
Page 44


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

a) I =

2

∫ x − 1 dx

b) I =

0

I
Câu 10: Tính=

π

∫

3

∫x

2

− x dx

0

2

2

c) ∫ x + 2 x − 3 dx

d ) ∫ 2 x − x + 1 dx

2

−4

−2

1 − cos 2 x dx .

0
π
2

1 − sin 2 x
dx.
2
0
Tích phân của hàm min, max

Câu 11: Tính I = ∫

b

b

a) Yêu cầu: Tính tích phân I = ∫ min { f ( x ) ;g ( x )} dx ; I = ∫ max { f ( x ) ;g ( x )} dx
a

a

b

b

a

a

b) Phương pháp: Tính I = ∫ min { f ( x ) ;g ( x )} dx ( I = ∫ max { f ( x ) ;g ( x )} dx tương tự)
+ Bước 1: Xét dấu của f ( x) − g ( x ) trên khoảng ( a; b )
-

Giải phương trình f ( x) − g ( x ) = 0 ⇔ x = xi ∈ ( a; b )

Lập bảng xét dấu của f ( x) − g ( x ) trên khoảng ( a; b )

+ Bước 2: Chèn cận xi và chọn hàm min { f ( x ) ;g ( x )} như sau:

- Nếu f ( x ) − g ( x ) > 0 trên khoảng K thì min { f ( x ) ;g ( x )} = g ( x ) .

- Nếu f ( x ) − g ( x ) < 0 trên khoảng K thì min { f ( x ) ;g ( x )} = f ( x ) .
Từ đó, ta được các tích phân cơ bản.
2

{

}

Câu 12: Tính I = ∫ min x; x 2 dx.
0

1

Câu 13: Tính I = ∫ max {e x ; 2 x }dx.
−1

Tích phân của hàm số xác định trên từng khoảng
Câu 14: Cho hàm =
số y
Tính I =

 x 2 khi x ≥ 0
f=
x
. Biết hàm số f liên tục trên  .
( ) 
khi
0
x

x
−
≤


1

∫ f ( x ).

−1

3

( 2 x − 1)
Câu 15: Cho hàm =
số y f=
( x)  x

2 − 1

Tính I =

khi x ≥ 1
khi x ≤ 1

. Biết hàm số f liên tục trên  .

3

∫ f ( x ) dx.

−2

Câu 16: Cho hàm =
số y

−
 2 ( x + 1) khi x ≤ 0
f=
x
. Xác định k để
( ) 
2
k
1
x
khi
x
0
−
≥
)
 (

1

∫ f ( x ) dx = 1 .

−1

Page 45


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
MỘT SỐ DẠNG KHÁC
2

5

5

1

2

1

Câu 17: Cho=
∫ f ( x ) dx 3,=
∫ f ( x ) dx 4 . Tính I = ∫ f ( x ) dx.
Câu 18: Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) .
3

3

=
f ( x ) dx 12,
=
f ( x ) dx 2 và F ( 2 ) = 7 . Tính F ( 0 ) .
Biết

∫

∫

0

1

Câu 19: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;10] thỏa mãn
trị của biểu=
thức P

2

10

0

6

10

6

0

2

∫ f ( x ) dx = 7 ; ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính giá

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.

DẠNG 4: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TỐN KHÁC
Câu 20: Cho hàm số g ( x ) =

x2

∫

t sin tdt xác định với x > 0 . Tìm g ′ ( x ) .

x

Câu 21: Cho hàm số g ( x ) =

3x 2

t −1
dt . Tìm g ′ ( x ) .
2
+
1
2x

∫t

x

Câu 22: Cho hàm số f và số thực a > 0 thỏa mãn điều kiện:

∫
a

Tìm a và f .

f (t )
dt + 6 =
2 x với x > 0 .
t2

DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1 ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
b

u cầu : Tính tích phân I = ∫ f1 ( x ) f 2 ( x ) dx
a

Phương pháp:

b

+ Biến đổi về dạng I = ∫ f u ( x )  u ′ ( x ) dx.
a

+ Đặt t= u ( x ) ⇒ dt= u ′ ( x ) dx.
+ Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) = t1 ; x = b ⇒ t = u ( b ) = t 2 .
+ Khi đó: I =

t2

∫ f ( t ) dt là tính phân đơn giản hơn.
t1

Một số dấu hiệu cơ bản và cách chọn t = u ( x )
Dấu hiệu

Cách chọn t

Hàm số chứa mẫu số

t là mẫu số

(

Hàm số chứa căn f x, u ( x)

)

t là căn: t = u ( x)

Hàm số có dạng [ f ( x) ] (xấu)lũy thừa

t là biểu thức (xấu) trong lũy thừa, t = f ( x)

Hàm số lượng giác có góc xấu

t là góc xấu

Hàm số mũ, mà mũ xấu

t là mũ xấu

Hàm số log u mà u xấu

t =u

n

Page 46


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Hàm số f ( x) =
Hàm f ( x) =

a sin x + b cos x
x
=
t tan
c sin x + d cos x + e
2

+ Với x + a > 0 ∧ x + b > 0 , đặt

1

( x + a )( x + b )

Tổng quát đặt t =

x


 cos ≠ 0 
2



t=

x+a +

x+a + x+b

+ Với x + a < 0 ∧ x + b < 0 , đặt

x+b

t = − ( x + a) + − ( x + b)

R(cos x).sin xdx

(theo biến cos x )

Đặt t = cos x

R(sin x).cos xdx

(theo biến sin x )

Đặt t = sin x

1
dx
cos 2 x
1
R (cot x). 2 dx
sin x

Đặt t = tan x

(theo biến tan x )

R(tan x).

Đặt t = cot x

(theo biến cot x )

x
x
Hàm có e , a

x
=
t e=
, t ax
Đặt

Hàm số vừa có ln x vừa có

Đặt t = ln x

1
x

Câu 23: Tính các tích phân sau
2

2

3x + 1
dx
a) ∫ 3
x +x
1

b)

π2

∫

π2

π

1
sin
x

(

2

)

c) ∫ (1 + sin x ) e x −cos x dx

x + 2 dx

0

4
1

1

4x + 6
d) ∫ 2
dx
( x + 3 x + 1) 2017
0

1

f ) ∫ ( x + 1)( x − 1)

e) ∫ x x + 4dx
2

0

π

π

π

2
e tan x
g) ∫
x
h
d
)
sin 3 x.cos xdx
2
∫
cos x
0
0
Câu 24: Tính các tính phân sau (Đặt giảm bậc)
3
1
2x
6 x2 −1
a ) ∫ 4 dx
b) ∫
dx

2
x −1
2
0 3 2 x3 − x
−9

Tích phân có sẵn dạng f ( u ( x ) )
Câu 25: Chứng minh rằng I=

x2

∫

x cos x
dx
x
x
x
+
cos
sin
0
2

i) ∫

)

f ( ax + b )dx=

x1

Câu 26: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và
Câu 27: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và

ax + b

1 2
f ( x ) dx , với a ≠ 0 .
a ax1∫+b
7

3

3
4

1

=
I ∫ f ( 2 x + 1) dx.
∫ f ( x )dx = 2. Tính

∫

f (1 − 2 x )dx =
2. Tính I =

1

Câu 28: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và

3

∫

Câu 29: Cho

∫
0

−1

∫ f ( x ) dx.

−7

f ( 3 x − 1)dx =
3. Tính
=
I

1

1

dx

0

4

(

2017

0

∫ f ( 2 − x ) dx.

−6

π
4

f ( x )dx = 2 Tính I = ∫ f ( cos 2 x ) sin x cos xdx.
0

Page 47


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Tích phân với hàm số chẵn và lẻ
+ Hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn trên đoạn [ −a; a ] khi và chi khi ∀x ∈ [ −a; a ] ta có:

f ( x) .
− x ∈ [ −a; a ] và f ( − x ) =
+ Hàm số y = f ( x ) là hàm số lẻ trên đoạn [ −a; a ] khi và chi khi ∀x ∈ [ −a; a ] ta có:

− f ( x) .

− x ∈ [ −a; a ] và f ( − x ) =
+ Ta có thể thay đoạn [ −a; a ] bằng một tập đối xứng thì định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ vẫn
như trên.
Câu 30: Cho f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [ −a; a ] . Chứng minh rằng:
a

a

−a

0

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx.

Câu 31: Cho f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [ −a; a ] . Chứng minh rằng:
=
I

f ( x)
dx
∫−=
bx +1
a
a

a

∫ f ( x ) dx , với a > 0 , b > 0 .
0

Câu 32: Tính tích phân I =

1

x2
∫−1 2 x + 1 dx .
π

cos x
dx
x
+1

2

∫π e

Câu 33: Tính tích phân I =

−

2

π

Câu 34: Biết hàm số=
y f  x +  là hàm số chẵn trên
2


 π π
 − 2 ; 2  và f ( x ) +

π

f  x +  = sin x + cos x .
2


π
2

Tính I = ∫ f ( x ) dx .
0

Câu 35: Cho f ( x ) là hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [ −a; a ] . Chứng minh rằng:

a

∫ f ( x ) dx = 0.

−a

Câu 36: Tính tích=
phân I

1
2

x





 1+ x 

∫  cos 4 x + sin 2 sin x  ln  1 − x  dx

1
2
2π

−

Câu 37: Tính tích
phân I
=

∫ sin ( sin x + mx ) dx , với m ∈  .
0

Một số kiểu đổi biến đặc biệt
Câu 38: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên [ 0;1] . Chứng minh
rằng: I
=

π

π

2

2

f ( sin x ) dx
∫=
0

Câu 39: Tính=
tích phân I

π
2



∫ f ( cos x ) dx
0



1
∫  cos ( sin x ) − tan ( cos x ) dx .


2

2

0

π

sin 2017 x.cos x
Câu 40: Tính I = ∫ 2016
dx .
sin
x + cos 2016 x
0
2

Câu 41: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;1] . Chứng minh rằng
=
I

π

xf ( sin x ) dx
∫=
0

π

π

2 ∫0

f ( sin x ) dx
Page 48

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
π

x sin x
dx
3 + sin 2 x
0

Câu 42: Tính I = ∫

1 ; g ( 2 ) = 9 ; g ( −1) =
3
Câu 43: Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm số liên tục trên  và f ( 2 ) = 7 ; f ( −1) =
.
Tính I =

2

∫

f ′ ( x) g ( x) − f ( x) g′ ( x)

dx
2
 f ( x ) + g ( x ) 
x ) 3 x5 + 6 x 2 . Biết f ( 0 ) = 2 . Tính f 2 ( 2 ) .
Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x ) . f ′ (=
−1

DẠNG 6: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2 ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
b

u cầu: Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx
a

Phương pháp: Đặt x= ϕ ( t ) ⇒ dx= ϕ ′ ( t ) dt
+ Đổi cận: x = a ⇒ t = t1 ; x = b ⇒ t = t2
t2

+ Khi đó: I = ∫ f ϕ ( t )  ϕ ′ ( t ) dt
t1

Một số cách đổi biển cần nhớ:

2
 π π
+ a 2 + ( bx + c ) : =
bx + c a tan t , t ∈  − ; 
 2 2
2
 π π
a 2 − ( bx + c ) : =
bx + c a sin t , t ∈  − ; 
 2 2
a
2
 π π
+ ( bx + c ) − a 2 : bx

=
+c
, t ∈  − ;  \ {0}
sin t
 2 2

x2

+

a ( x+

x

b

2
∆< 0, a > 0
2a
1
1
dx
=
=
+ Nhớ: ∫ 2
∫  b 2 −∆
ax + bx + c
x1
x1
a x +  +

2a 
4a


−∆
) = tan t
4a

t2

∫
t1

a
dt
−∆

Câu 45: Tính các tích phân sau:
a) I
d) I =

1

1

1
dx
b) I
∫0 =
1 + x2

1
dx
c) I
2
∫0=
x +3

1

1

3

x
∫0 x8 + 1 dx
1

2
g) I =
∫ 2 x − x dx
0

e) I =

∫

1 − x 2 dx

0

f )I =

1

∫ 4x
0

1

∫

2

1
dx
+ 4x + 4

−4 x 2 + 4 x + 1dx

0

2

1
h) I =
∫2 x x 2 − 1 dx
3

Page 49

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Cơng thức từng phần:

b

∫ u ( x ) v′ ( x ) dx =u ( x ) v ( x )
a

b

Viết gọn:

udv ( uv )
∫=
a

b
a

b
a

b

− ∫ v ( x ) u ′ ( x ) dx .
a

b

− ∫ vdu
a

b

Áp dụng: Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx
a

Phương pháp:

b

+ Bước 1: Biến đổi I = ∫ f1 ( x ) . f 2 ( x ) dx
a

du = f1′( x ) dx
u = f1 ( x )
⇒
(Chọn dv sao cho v dễ lấy nguyên hàm)
=
2 ( x ) dx
v ∫ f 2 ( x ) dx
dv f=

+ Bước 2: Đặt 

I

=
+ Bước 3: Khi đó

b

b

( uv ) a − ∫ vdu
a

● Dạng 1. I
=

∫ P ( x ) sin ( ax + b ) dx , trong đó P ( x ) là đa thức.

du = P′ ( x ) .dx
u = P ( x )

⇒
Với dạng này, ta đặt 
.
1
=
− cos ( ax + b )
dv sin ( ax + b ) dx v =
a

● Dạng 2. I ∫ P ( x ) cos ( ax + b ) dx , trong đó P ( x ) là đa thức.
=
du = P′ ( x ) .dx

u = P ( x )

⇒
.
Với dạng này, ta đặt 
1
=
x v
sin ( ax + b )
dv cos ( ax + b ) d=
a

ax + b
● Dạng 3. I = ∫ P ( x ) e dx , trong đó P ( x ) là đa thức.

du = P′ ( x ) .dx
u =P ( x )

⇒
Với dạng này, ta đặt 
.
1 ax +b
ax + b
dv = e dx v = e
a

● Dạng 4. I = ∫ P ( x ) ln g ( x ) dx , trong đó P ( x ) là đa thức.
u = ln g ( x )
Với dạng này, ta đặt 
.

dv = P ( x ) dx
sin x  x
● Dạng 5. I = ∫ 
 e dx .
cos x 


sin x 
u = 

Với dạng này, ta đặt 
cos x  .

x
dv = e dx
Câu 46: Tính các tích phân sau:
=
a) I

e

ln 2

1

0

π

π

2

2

0

0

cos xdx
x ln xdx
b) I ∫=
xe dx
c) I ∫ x=
d )I ∫ e
∫=

Câu 47: Tính các=
tích phân sau: a ) I

1

x

x 2 e 2 x dx
b) I
∫=
0

x

sin xdx

π
2

∫x

2

cos xdx

0

Page 50


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
π

Câu 48: Tính tích phân I = ∫ 2 x sin 3 xdx
0

Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b ] . Chứng minh rằng:
b

x
I=
f ( b ) .eb − f ( a ) e a
∫  f ′ ( x ) + f ( x ) e dx =

a

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;1] thỏa

f ( x + 1) − 2 f ( x )= 6 x 2 − x3 − 7 Tính I =

a) I
=

∫

−1

Câu 51: Tính các tích phân
1

1

π2

x e dx
b) I
∫=

f ′ ( x ) − ln 2. f ( x )
dx.
2x

xdx
c) I

=
∫ sin

3 x2

0

0

ln x.ln ( ln x )
dx
∫e
x

ee

π
3

Câu 52: Tính tích phân I = ∫
Câu 53: Tính tích phân I =

x sin x
dx
cos 2 x

0
ln 3

∫

0

Câu 54: Chứng minh rằng:=
I

xe x
ex + 1

dx

1

2
2
∫ x x + 1d=x
0

1

1
2
−
+
x
x
2
2
1d



∫0
4


π

x2

3

Câu 55: Tính I = ∫
0

( x sin x + cos x )

2

dx

Câu 56: Cho hàm số f ( x ) có nguyên hàm là F ( x ) trên đoạn [1; 2] , biết F ( 2 ) = 1 và
Tính=
I

2

∫ F ( x ) dx = 5 .
1

2

∫ ( x − 1) f ( x ) dx .
1

π
2
sin 2017 x
Câu 57: Cho f ( x ) =
.
Tính
I
=
∫0 xf ′ ( x ) dx .
sin 2017 x + cos 2017 x

DẠNG 7. KỸ THUẬT TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN HÀM ẨN
Câu 58: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

3

∫ x. f ′ ( x ) .e
0

f ( x)

3

f x
dx = 8 và f ( 3) = ln 3 . Tính I = ∫ e ( ) dx.
0

π

 π
Câu 59: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0;  , thỏa mãn
 2

2

∫ f ' ( x ) cos

2

xdx = 10 và f ( 0 ) = 3.

0

π

Tích phân

2

∫ f ( x ) sin 2 xdx bằng
0

Câu 60: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn

2

3 và f (1) = 4.

∫ f ( x − 1) dx =
1

Tích phân

1

∫ x f ' ( x ) dx bằng
3

2

0

Page 51


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 61: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [ 0; 2] . Biết f ( 0 ) = 1 và
f ( x) f (2 − x) =
e

2 x2 − 4 x

2

với mọi x ∈ [ 0; 2] . Tính tích phân I = ∫

(x

3

− 3x 2 ) f ' ( x )

0

f ( x)

dx.

DẠNG 8. TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT
Câu 62: Cho hàm số f ( x ) là hàm số lẻ, liên tục trên

[ − 4; 4 ].

0

Biết rằng

2 và
∫ f ( − x ) dx =

−2
2

4

1

0

4. Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx.
∫ f ( − 2 x ) dx =
Câu 63: Cho hàm số f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên

[ −1;6].

Biết rằng

2

∫ f ( x ) dx = 8

và

−1
3

∫

f ( −2 x ) dx =
3. Tính tích phân I =

1

6

∫ f ( x ) dx.

−1

Câu 64: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [3;7 ] , thỏa mãn f=
( x ) f (10 − x ) với mọi x ∈ [3;7] và
7

∫
3

7

f ( x ) dx = 4. Tính tích phân I = ∫ xf ( x ) dx.
3

Câu 65: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [ −π ; π ] , thỏa mãn
Giá trị của tích phân I =

π

∫ f ( x ) dx = 2018.
0

∫π 2018

−

π

f ( x)
dx bằng
x

+1

π

x sin
x
πa
với a, b ∈  + . Tính =
P 2a + b.
d
x
=
∫0 sin 2018 x + cos2018 x
b

Câu 66: Biết

2018

DẠNG 9. KỸ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH HÀM
 π π
cos x. Tính tích
Câu 67: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  − ;  và thỏa mãn 2 f ( x ) + f ( − x ) =
 2 2
π

phân I =

2

∫π f ( x ) dx.

−

2

1
Câu 68: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ −2; 2] và thỏa mãn 2 f ( x ) + 3 f ( − x ) = 2 . Tính tích
4+ x

phân I =

2

∫ f ( x ) dx.

−2

Câu 69: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn x 2 f ( x ) + f (1 − x ) = 2 x − x 4 . Tính tích
1

phân I = ∫ f ( x ) dx.
0

1 
Câu 70: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  ; 2  và thỏa mãn f ( x ) + 2 f
2 
2
f ( x)
I =∫

dx.
x
1

1
3 x. Tính tích phân
 =
x

2

Page 52


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 71: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn 2 f ( x ) + 3 f (1 − x ) = 1 − x 2 . Tính tích phân
1

I = ∫ f ( x ) dx.
0

DẠNG 10. KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI
x ) 3 x5 + 6 x 2 . Biết rằng f ( 0 ) = 2, tính f 2 ( 2 ) .
Câu 72: Cho hàm số f ( x ) thỏa f ( x ) f ′ (=
f ( x ) thỏa mãn  f ′ ( x )  + f ( x ) . f ′′ ( x ) =
15 x 4 + 12 x với mọi x ∈  và
′ ( 0 ) 1. Giá trị của f 2 (1) bằng
=
f ( 0 ) f=
2

Câu 73: Cho hàm số

Câu 74: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2] và thỏa mãn f ( x ) > 0, ∀x ∈ [1; 2] . Biết
rằng

2

∫

f ′ ( x ) dx = 10 và

1

( )
∫ f ( x ) dx = ln 2. Tính f ( 2 ) .
2

f′ x

1

f ( x)
[ −1;1] , thỏa mãn f ( x ) > 0, ∀x ∈  và
có đạo hàm liên tục trên
Câu 75: Cho hàm số
f (1) = 1
f '( x) + 2 f ( x) =
0
f ( −1)

. Biết rằng
, giá trị của
bằng
f ( x)
0, f ( x ) > 0
( 0; +∞ ) , biết f ' ( x ) + ( 2 x + 3) f 2 ( x ) =
có đạo hàm liên tục trên
Câu 76: Cho hàm số
1
P =1 + f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2018 ) .
với mọi x > 0 và f (1) = . Tính
6
Câu 77: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 0; 3  , thỏa mãn f ( x ) > −1, f ( 0 ) = 0 và
f ′( x) =
x 2 + 1 2 x f ( x ) + 1. Giá trị của f

( 3 ) bằng

Câu 78: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên [1; 4] , đồng biến trên [1; 4] , thoản mãn
4

2
3
x + 2 xf ( x ) =
 f ′ ( x )  với mọi x ∈ [1; 4] . Biết rằng f (1) = , tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx.
2
1

 π
Câu 79: Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên 0;  , thỏa f ( x ) =

. f ' ( x ) cos x 1 + f 2 ( x ) với mọi
2


 π
π 
x ∈ 0;  và f ( 0 ) = 3. Giá trị của f   bằng
 2
2

Câu 80: Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên [ 0;3] , thỏa f (=
x ) . f ′ ( x ) 2 x f 2 ( x ) + 1 với mọi

x ∈ [ 0;3] và f ( 0 ) = 0. Giá trị của f ( 3) bằng
Câu 81: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm khơng âm trên [ 0;1] , thỏa mãn f ( x ) > 0 với mọi x ∈ [ 0;1] và
 f ( x )  .  f ' ( x )  . ( x 2 + 1) =1 +  f ( x )  . Biết f ( 0 ) = 2, hãy chọn khẳng định đúng trong các
khẳng định sau đây.
 \ {0; −1} ,
f ( x)
x ( x + 1) . f ′ ( x ) + f ( x ) =
x2 + x
Câu 82: Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn
với mọi
x ∈  \ {0; −1}
f (1) = −2 ln 2.
f ( 2 )= a + b ln 3
và
Biết

với a, b ∈  , tính P
= a 2 + b2 .
4

2

3

Câu 83: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn f ′ ( 0 ) = −1 và
  f ′ ( x )  2 = f ′′ ( x )


P f (1) − f ( 0 ) , khẳng định nào sau đây đúng?
với mọi x ∈ [ 0;1] . Đặt=

 f ′ ( x ) ≠ 0

Page 53


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 84: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0; 2] , thỏa mãn f ' ( 0 ) . f ' ( 2 ) ≠ 0 và
2

g ( x ) . f ' (=
x ) x ( x − 2 ) e . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) .g ' ( x ) dx.
x

0

1 với mọi
Câu 85: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn af ( b ) + bf ( a ) =
1

a, b ∈ [ 0;1] . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx.
0

DẠNG 11. KỸ THUẬT ĐẠO HÀM ĐÚNG
x 2018 với mọi
Câu 86: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thoả mãn 3 f ( x ) + xf ′ ( x ) =
1

x ∈ [ 0;1] . Tính I = ∫ f ( x ) dx .
0

2018 x 2017 e 2018 x với mọi
Câu 87: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên , thỏa mãn f ' ( x ) − 2018 f ( x ) =
x ∈  và f ( 0 ) = 2018. Tính giá trị f (1) .
Câu 88: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn f ′ ( x ) + xf ( x ) =
2 xe − x và
2

f ( 0 ) = −2. Tính f (1) .
 π
f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên  0;  , thỏa mãn hệ thức
 2
x
π 
π 
f ( x ) + tan xf ′ ( x ) =

. Biết rằng 3 f   − f   =aπ 3 + b ln 3 trong đó a, b ∈ . Tính
3
cos x
3
6
giá trị của biểu thức P= a + b.

Câu 89: Cho hàm số

DẠNG 12. KỸ THUẬT ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG LOẠI 1
π

 π
Câu 90: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên 0;  , thỏa
 2

2


∫  f ( x ) − 2
2

0

2 −π
π 

2 f ( x ) sin  x −   dx =
. Tính
4 

2


π
2

tích phân I = ∫ f ( x ) dx.
0

1

1

2

Câu 91: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa ∫  f 2 ( x ) + 2 ln 2  d=
x 2 ∫  f ( x ) ln ( x + 1)  dx. Tích
e
0 
0
1

phân I = ∫ f ( x ) dx.
0

Câu 92: Cho hàm số
và

thỏa
1

f ( x)

có đạo liên tục trên
f ( 0) = 2
mãn
và

[0;1] , f ( x ) và

f '( x)

1

đều nhận giá trị dương trên
1

2
2 ∫ f ' ( x ) . f ( x ) dx.
∫0  f ' ( x ) .  f ( x ) + 1 dx =
0

[0;1]
Tính

3

I = ∫  f ( x )  dx.
0

Câu 93: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0 ) = 1,
1

1

1

3
2
1

3∫  f ' ( x ) .  f ( x )  +  dx =
2 ∫ f ' ( x ) . f ( x ) dx. Tính I = ∫  f ( x )  dx.
9
0
0 
0

Page 54


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1 và
Câu 94: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [ 0;1] , thỏa f (1) − f ( 0 ) =
1

1

1

0

0

2 ∫ f ' ( x ) f ( x ) dx. Giá trị của tích phân ∫  f ( x ) 
∫ f ' ( x )  f ( x ) + 1 dx =
2

0

3

dx bằng

DẠNG 13. KỸ THUẬT ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG LOẠI 2 - KỸ THUẬT HOLDER
Câu 95: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn

[0;1] ,

1

1

thỏa mãn ∫=
f ( x ) dx

xf ( x ) dx
∫=

1 và

x f ( x ) dx
∫=

1 và

0

1

2

∫  f ( x ) dx = 4 . Giá trị của tích phân
0

1

∫  f ( x )

3

dx bằng

0

1

1

Câu 96: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] , thỏa mãn=
∫ xf ( x ) dx
0

1

∫  f ( x )

2

dx = 5. Giá trị của tích phân

0

1

∫  f ( x )

3

0

dx bằng

0

0

1

Câu 97: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] , thỏa mãn ∫=
xf 2 ( x ) dx
0

của tích phân

1

1
∫ x f ( x ) dx − 16 . Giá trị
2

0

1

∫ f ( x ) dx bằng
0

Câu 98: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [1;8] và thỏa mãn
2

2

8

1

1

1

2
2
38
3
3


f
x
(
)
∫
 dx + 2 ∫ f ( x ) dx = 3 ∫ f ( x ) dx − 15 .
8

∫ f ( x )dx

Tích phân

bằng

1

Câu 99: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn f (1) = 0 ,

1

∫  f ′ ( x )

2

dx = 7 và

0

1

1
∫0 x f ( x ) dx = 3 . Tích phân
2

1

∫ f ( x ) dx bằng
0

Câu 100: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn f (1) = 1 ,

1

11
∫ x f ( x ) dx = 78
5

và

0

1

4
∫ f ′ ( x ) d ( f ( x ) ) = 13 . Tính f ( 2 ) .
0

Câu 101: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên
1

2

∫  f ' ( x ) dx = 4. . Tích phân
0

1

[0;1] ,

f (1) 2,=
f ( 0 ) 0 và
thỏa mãn=

∫  f ( x ) + 2018 x  dx. bằng
3

0

Câu 102: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] , thỏa mãn

2

1
− , f ( 2) = 0
∫ ( x − 1) f ( x ) dx =
3
2

1

2

2

và ∫  f ' ( x )  dx = 7. Tích phân
1

2

∫ f ( x ) dx bằng
1

Page 55


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1

Câu 103: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa
mãn f (1) 1,=
=

∫  f ' ( x ) dx
2

0

1

9
và
5

1

2

∫ f ( x ) dx = 5 . Tích phân ∫ f ( x ) dx bằng
0

0

[0;1] ,

f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

Câu 104: Cho hàm số
1

π

∫ f ' ( x ) cos (π x ) dx = 2

1

∫

và

0

0

1
f ( x ) dx = . Tích phân
2
2

f ( 0 ) + f (1) =
0,

1

∫ f ( x ) dx bằng
0

[0; π ] ,

Câu 105: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

thỏa mãn

thỏa mãn

π

∫ f ' ( x ) sin xdx =

−1 và

0

π

π

2

∫ f ( x ) dx = π . Tích phân ∫ xf ( x ) dx
2

0

bằng

0

1

Câu 106: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1
=
] , thỏa f (1) 0,=

∫  f ' ( x ) dx
2

0

1

1
πx 
∫0 cos  2  f ( x ) dx = 2 . Tích phân

π2
8

và

1

∫ f ( x ) dx bằng
0

Câu 107: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn

1

∫ f ' ( x ) sin (π x ) dx = π

và

0

1

∫

1

f 2 ( x ) dx = 2. Tích phân

x

∫ f  2  dx bằng
0

0

π

Câu 108: Cho hàm số f ( x )

2
 π
π 
có đạo hàm liên tục trên 0;  , =
thỏa f   0,=
f 2 ( x ) dx 3π và
∫
2
2
 



0

π

π

x
6π . Tích phân
 dx =
2


∫ ( sin x − x ) f ′ 
0

Câu 109: Cho hàm số
1

2

∫  f ′′ ( x )

3

dx bằng

0

f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
1

[0;1] ,

thỏa mãn

f (1) = 0 và

1

e2 − 1
. Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx.
∫0  f ' ( x ) dx =
∫0 ( x + 1) e f ( x ) dx =
4
0
2

x

Câu 110: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên
2

 f ' ( x ) 
1
∫0 e x dx = e − 1 . Tích phân
1

∫

0

[0;1] ,

f ( 0 ) 0,=
f (1) 1 và
thỏa mãn =

∫ f ( x ) dx bằng
0

2
1
1 + x 2  f ' ( x )  dx =
. Tích phân
ln 1 + 2

(

f ( 0 ) 0,=
f (1) 1 và
thỏa mãn =

1

Câu 111: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên
1

[0;1] ,

)

1

f ( x)

0

1 + x2

∫

dx bằng

0,
Câu 112: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ −1;1] , thỏa mãn f ( −1) =

1

∫  f ' ( x )

2

dx = 112

−1

và

1

2
∫ x f ( x ) dx =

−1

1

16
. Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx.
3
−1

Page 56


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Câu 113: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn f (1) = 0,
f ( x)
3
và ∫
dx 2 ln 2 − . Tích phân
=
2
2
0 ( x + 1)
1

1

2
3
f
'
x
dx=
− 2 ln 2


(
)


∫0
2

1

∫ f ( x ) dx bằng
0

Câu 114: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] , đồng biến trên [1; 2] , thỏa mãn f (1) = 0 ,
2

2

∫  f ′ ( x ) dx = 2 và
1

2

∫

f ( x ) .f ' ( x ) dx = 1. Tích phân

1

2

∫ f ( x ) dx bằng
1

Câu 115: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn f (1) = 0 ,

1

∫ f ( x ) dx = 1

và

8
∫ x f ( x ) dx = 15

và

2

0

1

∫  f ′ ( x )

2

0

3
f 2 ( x ) dx = . Giá trị của f 2
4

( 2 ) bằng

Câu 116: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0; 2] , thỏa mãn f ( 2 ) = 1 ,

2

2

0

2

∫  f ' ( x )
0

4

dx =

32
. Giá trị của tích phân
5

2

∫ f ( x ) dx bằng
0

Page 57


CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
BÀI 2. TÍCH PHÂN

I

LÝ THUYẾT.
Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Nếu F

là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F ( b ) − F ( a ) được gọi là tích phân của hàm số

f từ a đến b và kí hiệu là

b

∫ f ( x ) dx .
a

Ta gọi: a là cận dưới, b là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f ( x ) dx là biểu thức
dưới dấu tích phân, x biến số lấy tích phân.
Nhận xét :
a) Nếu a < b thì ta gọi

b

∫ f ( x ) dx là tích phân của

f trên đoạn [ a; b ].

a

b) Hiệu số F ( b ) − F ( a ) cịn được kí hiệu là F ( x ) ba . Khi đó :
b

x )dx
∫ f (=

F (=
x ) ba F ( b ) − F ( a ) .

a

c) Tích phân khơng phụ thuộc biến số (điều này sẽ mang lại lợi ích cho ta để tính một số tích
phân đặc biệt), tức là

b

∫

f ( x )dx=

a

b

∫

f ( t )dt=

a

Tính chất: Cho k là hằng số

b

a ) ∫ f ( x)dx = 0

b) ∫ f ( x)dx = −

a

c) ∫ k . f ( x)dx = k

a

a

b

∫

...= F ( b ) − F ( a ) .

a

∫ f ( x)dx
b

b

d ) ∫ [ f ( x) + g ( x) ]dx =

f ( x)dx

a

a

b

e) Tính chất chèn cận: ∫=
f ( x)dx
a

II

∫ f ( u )du=
a

a

b

b

c

b

a

c

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

b

∫
a

b

f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

a

(chèn cận c )

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN
Câu 1:

Tính các tích phân sau:

=
a) I

1

3 x 2 dx
b) I
∫=
0

4

ln 2

1
dx
c) I ∫ =
2 x dx
d) I

∫1=
x
0
Lời giải

π
4

∫ sin xdx
0

Page 1


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1

1

a ) I = ∫ 3 x 2 dx = x 3 =1 − 0 =1.

b) I =

0

0
4

∫
1

4
1
dx= 2 x = 2 ( 2 − 1)= 2.
1
x

1

1

2x
1
1
21 − 20 )=
.
c) I= ∫ 2 dx=
=
(
ln 2 0 ln 2
ln 2
0
x

π

Câu 2:

4
π

1
 1

4 =
d) I =
sin
x
d
x
cos
x
1−
.
=
−
−
− 1 =
∫0
0
2
 2 
Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x . Tính F ( 2ln 2 ) − F ( ln 2 ) .

Lời giải
Vì hàm số f ( x ) = e liên tục trên đoạn [ ln 2; 2 ln 2] nên ta có:
x

ln 4

ln 4

x
F ( ln 4 ) − F ( ln 2 ) =
ex
∫ f ( x ) dx =∫ e dx =
ln 2

Câu 3:

ln 2

Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

ln 4
ln 2

2.
=

1
thỏa điều kiện F (1) = 2 . Tính F ( e ) .
x

Lời giải

Vì hàm số f ( x ) =

F ( e ) − F (1) =

1

liên tục trên đoạn [1;e] nên ta có:
x

e

e

1

1

1

∫ f ( x ) dx = ∫ x dx =

e

ln x 1 = 1.

Suy ra: F ( e ) =1 + F (1) =1 + 2 =3.
Câu 4:

1

1

tính tích phân I = ∫

x2 + 1

0

Ta có:

(

=
F′( x)
Do đó:
I=

1

∫
0

Câu 5:

)

(

Chứng minh F ( x ) = ln x + x 2 + 1 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

x2 + 1

dx = ln x + x 2 + 1

Chứng minh F ( x ) =

f ( x) =
Ta có:
=
F′( x)

1

. Từ đó

Lời giải

)

(

x2 + 1

dx.

x
′ 1+
x + x2 + 1
x2 + 1
=
=
x + x2 + 1
x + x2 + 1

1

1

)

1
0

1
= f ( x).
x2 + 1

(

)

= ln 1 + 2 .

1
ax + b
là một nguyên hàm của hàm số
ln
ad − bc cx + d

( ax + b )( cx + d )

. Từ đó tính tích phân I =

1

1

∫ ( 2 x + 1)( x + 1)dx.
0

Lời giải

1
1  a
c 
ln ax + b − ln
=
cx + d )′
=
−
(


ad − bc
ad − bc  ax + b cx + d 

1
= f ( x).
( ax + b )( cx + d )
Page 2


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Do đó:

1

1

1
1
2x + 1
3
3
I= ∫
dx =
ln
= ln − ln1 = ln .
2 x + 1)( x + 1)
2 −1
x +1 0
2
2
0 (

DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
Câu 6:

Tính các tích phân sau:
1

π

2

1


b) I =∫  3x −  dx
x
1

I =∫ ( 4 x 3 − e x ) dx =
0

c) I =∫ ( sin x + 2cos x )dx
0

Lời giải

1

a ) I =∫ ( 4 x3 − e x ) dx =x

4 1

0

0

−e

x 1
0

=1 − ( e − 1) =2 − e.

2

2

2
1
3x
1
6

b ) I = ∫  3 x −  dx =
− ln x 1 =
− ln 2.
( 9 − 3) − ln 2 =
x
ln 3 1
ln 3
ln 3
1

π

c) I =
− cos x 0 + 2sin x 0 =
2.
∫ ( sin x + 2cos x )dx =
π

π

0

Câu 7:

Tính=
I

2

2

1

1

x
t
∫ e ln xdx + ∫ e (1 − ln t ) dt.

2

2

1

1

2

Lời giải

x
x
x
I=
e 2 e.
∫ e ln xdx + ∫ e (1 − ln x ) dx =
∫ e dx =−

Câu 8:

Tính I =

1

π

π

2
t
u
u
sin
ln
d
t
t
+
∫π 2

∫π sin 2  lnu − sin 2  du.
2

π

Lời giải

π

x
x
x
−
−
sin
ln
x
d
x
sin
ln
x
sin

 dx
∫π 2
∫π 2 
2

I=

2

π

2

π

π

π

2

2

π 1
x
1 − cos x
1
1
=
x
sin x =
+ .
∫π sin 2 dx =
∫π 2 dx =−
π
2 π 2

4 2
2

2

2

DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHÈN CẬN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Tích phân của hàm chứa dấu trị tuyệt đối
b

a) Yêu cầu: Tính tích phân I = ∫ f ( x) dx
a

b) Phương pháp:
+ Bước 1: Xét dấu của f ( x ) trên khoảng ( a; b )
-

Giải phương trình f ( x ) = 0 ⇔ x = xi ∈ ( a; b )

Lập bảng xét dấu của f ( x ) trên khoảng ( a; b )

+ Bước 2: Chèn cận xi và đồng thời bỏ dấu
=
I

b

f ( x ) dx
∫=

a

(căn cứ vào BXD) ta được các tích phân cơ bản
xi

∫
a

Chú ý: Nếu f ( x ) không đổi dấu trên đoạn [ a=
; b ] thì I
Câu 9:

Tính các tích phân:

b

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
xi

b

f ( x ) dx
∫=
a

b

∫ f ( x ) dx
a

Page 3


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2

∫ x − 1 dx

a) I =

b) I =

0

3

∫x

2

1

2

c) ∫ x + 2 x − 3 dx

− x dx

0

2

2

d ) ∫ 2 x − x + 1 dx

2

−4

Lời giải

2

1

−2

2

1 1
a ) I =∫ x − 1 dx =∫ x − 1 dx + ∫ x − 1 dx =− ∫ ( x − 1) dx + ∫ ( x − 1) dx = + =1.
2 2
0
0
1
0
1

 x = 0 (l )

b) Xét trên khoảng ( 0;3) ta có: x 2 − x = 0 ⇔ 
.
x = 1
BXD:
x
1
0
3
2
+
−
0
x −x
Suy ra:
1
3
1 14 29
2
I=
− ∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x 2 − x ) dx =+ = .
6 3
6
0
1
 x = −3
c) Xét trên khoảng ( −2; 2 ) ta có: x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.
x = 1
BXD:
x

−4
1
−3
2
+
+
−
0
0
x + 2x − 3
Suy ra:
−3

1

2

2

7 32 7 46
I = ∫ ( x 2 + 2 x − 3 ) dx − ∫ ( x 2 + 2 x − 3 ) d x + ∫ ( x 2 + 2 x − 3 ) d x = + + = .
3 3 3 3
−4
−3
1

d) Xét trên khoảng ( −2; 2 ) ta có: x + 1 =0 ⇔ x =−1
BXD:
x
−2

−1
+
−
x +1
0
Suy ra:
1

2

1

2

−2

1

−2

1

2

I =∫ 2 x + x + 1 dx + ∫ 2 x − x − 1 dx =∫ 3 x + 1 dx + ∫ x − 1 dx =
I1 + I 2
Ta có:
−

1

1
3

I1 =
− ∫ ( 3 x + 1) dx +
∫ 3 x + 1 dx =
−2

−2

2

1

41

.
∫ ( 3x + 1) dx =
6

−

1
3

2

1
I 2 =∫ x − 1 dx =∫ ( x − 1) dx = .

2
1
1
41 1 22
Vậy: I =
+ =
.
6 2 3
Câu 10: Tính=
I

π

∫

1 − cos 2 x dx .

0

π

I =∫
0

Lời giải
π

π

π

π

2
1 + cos 2 x
dx = ∫ cos 2 xdx = ∫ cos x dx = ∫ cos xdx − ∫ cos xdx = 1 + 1 = 2.
2
π
0
0
0
2

π
2

Câu 11: Tính I = ∫
0

1 − sin 2 x
dx.
2
Page 4


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Lời giải

Ta có:
π


1 − cos  − 2 x 
2
 dx=
2

π

I=

2

∫
0

π
2

∫
0

π

π

sin 2  − x dx=
4


2

π



∫ sin  x − 4  dx.
0

π
π
 π

Xét trên khoảng  0;  , ta có: sin  x −  = 0 ⇔ x = .
4
4
 2

BXD:
x
π
π
0
4
2
+
−
0
π

sin  x − 

4

Suy ra:
π

π

π

π

π
π
π4
π2




cos  x −  − cos  x −  =
2 − 2.
I=
− ∫ sin  x − dx + ∫ sin  x − dx =
4
4
4 0
4π





π
0
4

2

4

4

Tích phân của hàm min, max

b

b

a) Yêu cầu: Tính tích phân I = ∫ min { f ( x ) ;g ( x )} dx ; I = ∫ max { f ( x ) ;g ( x )} dx
a

a

b

b

a

a

b) Phương pháp: Tính I = ∫ min { f ( x ) ;g ( x )} dx ( I = ∫ max { f ( x ) ;g ( x )} dx tương tự)
+ Bước 1: Xét dấu của f ( x) − g ( x ) trên khoảng ( a; b )
-

Giải phương trình f ( x) − g ( x ) = 0 ⇔ x = xi ∈ ( a; b )

Lập bảng xét dấu của f ( x) − g ( x ) trên khoảng ( a; b )

+ Bước 2: Chèn cận xi và chọn hàm min { f ( x ) ;g ( x )} như sau:

- Nếu f ( x ) − g ( x ) > 0 trên khoảng K thì min { f ( x ) ;g ( x )} = g ( x ) .

- Nếu f ( x ) − g ( x ) < 0 trên khoảng K thì min { f ( x ) ;g ( x )} = f ( x ) .
Từ đó, ta được các tích phân cơ bản.
2

{

}

Câu 12: Tính I = ∫ min x; x 2 dx.
0

Lời giải
 x = 0 (l )
Xét trên khoảng ( 0; 2 ) , ta có: x − x 2 =0 ⇔ 
.
x = 1
BXD:
x

1
0
2
+
−
0
x−x

2

Ta có:

x − x 2 > 0 với mọi x ∈ ( 0;1) nên min { x; x 2 } = x 2 .

x − x 2 < 0 với mọi x ∈ (1; 2 ) nên min { x; x 2 } = x.
Suy ra:
1

2

1

2

1 3 11
I = ∫ min { x; x }dx + ∫ min { x; x }dx = ∫ x dx + ∫ xdx = + = .
3 2 6
0
1
0

1
2

2

2

Page 5


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1

Câu 13: Tính I = ∫ max {e x ; 2 x }dx.
−1

Lời giải

Xét trên khoảng ( −1;1) , ta có: e − 2 = 0 ⇔ x = 0
x

BXD:

x
e − 2x

−1

x

0
0

−

x

1

+

Ta có:

e x − 2 x < 0 với mọi x ∈ ( −1;0 ) nên max { x; x 2 } = 2 x.

e x − 2 x > 0 với mọi x ∈ ( 0;1) nên max { x; x 2 } = e x .
Suy ra:
0

1

0

1

0

2x
1
x 1

=
+ e=
+ e − 1.
I ∫ max {e ; 2 }dx + ∫ max {e ; 2 }=
dx ∫ 2 dx + ∫ e =
dx
0
ln 2 −1
2 ln 2
−1
−1
0
0
Tích phân của hàm số xác định trên từng khoảng
x

x

Câu 14: Cho hàm =
số y
Tính I =

x

x

1

∫ f ( x ).
Lời giải

Ta có:
1

0

1

0

1

−1

−1

0

−1

0

1

Tính I =

∫

−2

khi x ≤ 1

. Biết hàm số f liên tục trên  .

Lời giải
3

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
1

1

3

−2

1

x
∫ ( 2 − 1) dx + ∫ ( 2 x − 1) dx =
3

7
+ 78.
2ln 2

−
 2 ( x + 1) khi x ≤ 0
Câu 16: Cho hàm =
số y f=

. Xác định k để
( x) 
2
k (1 − x ) khi x ≥ 0
Ta có:

∫

−1

5

∫ f ( x ) dx.

Ta có:
1

khi x ≥ 1

2

3

−2

1

1

f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ − xdx + ∫ x dx = + = .

∫=
2 3 6

3

( 2 x − 1)
Câu 15: Cho hàm =
số y f=
( x)  x

2 − 1

=
I

x

 x 2 khi x ≥ 0
f=
. Biết hàm số f liên tục trên  .
( x) 
x
khi
x
0
−
≤


−1

=
I

x

1

∫ f ( x ) dx = 1 .

−1

Lời giải

0

1

0

1

−1

0

−1

0

f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =∫ −2 ( x + 1) dx + ∫ k (1 − x 2 ) dx

⇔ 1 =−1 + k

Một số dạng khác

2
⇔ k =3.
3

Page 6


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2

5

1

2

=
∫ f ( x ) dx 3,=
∫ f ( x ) dx 4

Câu 17: Cho

5

2

5

1

1

2

5

I = ∫ f ( x ) dx.

1
. Tính
Lời giải

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 + 4 = 7.
Câu 18: Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) .
3

3

Biết
=
f ( x ) dx 12,
=
f ( x ) dx 2 và F ( 2 ) = 7 . Tính F ( 0 ) .

∫

∫

0

1

Ta có:

F ( 2 ) − F ( 0=
)
=

Lời giải

2

3

2

0

0

3

∫ f ( x )d=x ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

3

3

0

2

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx =

Suy ra:

12 − 2 = 10.

F ( 0) =
F ( 2 ) − 10 =−
7 10 =
−3.

Câu 19: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;10] thỏa mãn
2

10

0

6

10

2

6

0

0

2

trị của biểu=
thức P

10

6

0

2

∫ f ( x ) dx = 7 ; ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính giá

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx.
Lời giải
10

∫ f ( x ) dx = 7 ⇔ 7 = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ⇔ 7 = P + 3 ⇔ P = 4.
6

DẠNG 4: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TỐN KHÁC
Câu 20: Cho hàm số g ( x ) =

x2

∫

t sin tdt xác định với x > 0 . Tìm g ′ ( x ) .

x

Lời giải
Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số f ( t ) = t sin t . Suy ra: F ′ ( t ) = f ( t ) .
Ta có:

=
g ( x)

x2

∫

x

f=
( t ) dt F =
(t ) x F ( x2 ) − F
x2

( x)

( *) .

Lấy đạo hàm hai vế của (*) theo biến x ta được:
1
1
f
=
g ′ ( x ) 2 x.F ′ ( x 2 ) −
F ′ x ⇔ g ′ ( x=
) 2 x. f ( x 2 ) −
2 x
2 x

( )

x ) 2 x.x sin x 2 −
⇔ g ′ (=

1
2 x

4

x sin x ⇔ g ′ ( x=
) 2 x 2 sin x 2 −

( x)
1

2 x
4

sin x .

3x

t2 −1
Câu 21: Cho hàm số g ( x ) = ∫ 2
dt . Tìm g ′ ( x ) .
t
+
1
2x

Lời giải
Page 7


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
t 2 −1
. Suy ra: F ′ ( t ) = f ( t ) .
t2 +1

Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số f ( t ) =
Ta có:

=
g ( x)

3x

∫

2x

3x

f=
( t ) dt F=
( t ) 2 x F ( 3x ) − F ( 2 x )

( *) .

Lấy đạo hàm hai vế của (*) theo biến x ta được:
=
g ′ ( x ) 3.F ′ ( 3 x ) − 2 F ′ ( 2 x ) ⇔ g ′ ( x )= 3. f ( 3 x ) − 2 f ( 2 x )
⇔ g ′ ( x )= 3

9x2 −1
4x2 −1
−2 2 .
9x2 + 1
4x +1

Câu 22: Cho hàm số f và số thực a > 0 thỏa mãn điều kiện:

x

∫

a

Tìm a và f .

f (t )
dt + 6 =
2 x với x > 0 .
t2

Lời giải
f (t )
f (t )
Gọi F ( t ) là một nguyên hàm của hàm số 2 . Suy ra: F ′ ( t ) = 2 .
t
t
Ta có:

2 x −=
6

x

∫
a

f (t )
x
d
t
F

t
F ( x) − F (a)
=
=
(
)
a
t2

( *) .

Lấy đạo hàm hai vế của (*) theo biến x ta được:
f ( x)
1
1
=
⇔ f ( x )= x x .
= F′( x) ⇔
x2
x
x
Với f ( x ) = x x , ta có:

x

x

1
t t
d

6
2
t
x
+
=
⇔
∫a t 2
∫a t dt + =6 2 x

x

⇔ 2 t + 6 = 2 x ⇔ −2 a + 6 = 0 ⇔ a = 9.
a

DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1 ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
b

u cầu : Tính tích phân I = ∫ f1 ( x ) f 2 ( x ) dx
a

Phương pháp:

b

+ Biến đổi về dạng I = ∫ f u ( x )  u ′ ( x ) dx.
a

+ Đặt t= u ( x ) ⇒ dt= u ′ ( x ) dx.
+ Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) = t1 ; x = b ⇒ t = u ( b ) = t 2 .

+ Khi đó: I =

t2

∫ f ( t ) dt là tính phân đơn giản hơn.
t1

Một số dấu hiệu cơ bản và cách chọn t = u ( x )
Dấu hiệu

Cách chọn t

Hàm số chứa mẫu số

t là mẫu số

Page 8


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

(

Hàm số chứa căn f x, u ( x)
Hàm số có dạng [ f ( x) ]

n

)

t là căn: t = u ( x)

t là biểu thức (xấu) trong lũy thừa, t = f ( x)

(xấu)lũy thừa

Hàm số lượng giác có góc xấu

t là góc xấu

Hàm số mũ, mà mũ xấu

t là mũ xấu

Hàm số log u mà u xấu

t =u

Hàm số f ( x) =
Hàm f ( x) =

a sin x + b cos x
x
t tan
=
c sin x + d cos x + e
2

+ Với x + a > 0 ∧ x + b > 0 , đặt

1

( x + a )( x + b )

Tổng quát đặt t =

x


 cos ≠ 0 
2



t=

x+a +

x+b

x+a + x+b

+ Với x + a < 0 ∧ x + b < 0 , đặt

t = − ( x + a) + − ( x + b)

R(cos x).sin xdx

(theo biến cos x )

Đặt t = cos x

R(sin x).cos xdx

(theo biến sin x )

Đặt t = sin x

1
dx
cos 2 x
1
R (cot x). 2 dx
sin x
x
x
Hàm có e , a
R (tan x).

Đặt t = tan x

(theo biến tan x )

Đặt t = cot x

(theo biến cot x )

Hàm số vừa có ln x vừa có

x

=
t e=
, t ax
Đặt

Đặt t = ln x

1
x

Câu 23: Tính các tích phân sau
2

2

3x + 1
dx
a) ∫ 3
x +x
1

b)

π2

∫

π2

π

1
sin
x

(

)

x + 2 dx

2

c) ∫ (1 + sin x ) e x −cos x dx
0

4
1

4x + 6
d) ∫ 2
dx
( x + 3 x + 1) 2017
0
π

e) ∫ x x + 4dx
2

0

π

e tan x
g) ∫
dx
2
x
cos
0
4

=
a) I

1

2

∫x
1

3

1
. ( 3 x 2 + 1) dx
+x

f ) ∫ ( x + 1)( x − 1)

2017

dx

0

π

2

h) ∫ sin 3 x.cos xdx
0

1

Lời giải

x cos x
dx
x
+
x
x
cos
sin
0
2

i) ∫

Đặt t = x3 + x ⇒ dt = ( 3 x 2 + 1) dx .
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 2 ; x = 2 ⇒ t = 10 .
10
10
1
Suy ra:
=
I ∫=
dt ln=
t 2 ln 5.
t
2
Page 9


CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
=
b) I

π2



∫ sin 

x−

π 1

π2

4

π

dx

4 x

1
dx .
4
2 x
x
π2
π
3π
Đổi cận: x=
; x= π 2 ⇒ t =
.
⇒ t=
4
4
4

Đặt t =

x−

1

⇒ dt =

dx ⇒ 2dt =

3π
4

3π

π

4

2 2.
−2 cos t π4 =
Suy ra: I =
∫ 2sin tdt =
4

π

c) I
=

2

∫e

x − cos x

(1 + sin x ) dx

0

Đặt t =x − cos x ⇒ dt =(1 + sin x ) dx .
Đổi cận: x =0 ⇒ t =−1 ; x =

π
2

π

π
2

.

π

2

−1
t
∫ e d=t e 2 − e .

Suy ra: =
I
=
d) I

⇒t =

−1

1

∫ (x
0

2

2
( 2 x + 3 ) dx
+ 3 x + 1) 2017

Đặt t = x 2 + 3 x + 1 ⇒ dt =

( 2 x + 3 ) dx .

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = 5 .
5

5

2
1
1
1  1

Suy ra: I =

−
=
−
 2016 − 1 .
2016
∫1 t 2017 dt =
1008 t
1008  5

1
=
e) I

1

∫

x 2 + 4.xdx

0

Đặt t = x 2 + 4 ⇒ t 2 = x 2 + 4 ⇒ tdt = xdx .
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2 ; x = 1 ⇒ t = 5 .
5

5

t3
5 5 −8
=

I ∫=
t dt =
.
Suy ra:
32
3
2
1

2

f )I =
∫ ( x − 1)

2017

( x + 1) dx

0

Đặt t = x − 1 ⇒ dt = dx và x = t + 1 .
Đổi cận: x =0 ⇒ t =−1 ; x = 1 ⇒ t = 0 .
Suy ra: I =

0

0

∫ t ( t + 2 ) dt = ∫ ( t
2017

−1

2018

+2t

−1

2017

0

0

t 2019
t 2018
1
1
d
t
.
=
+
−
) 2019 1009 = 2019
1009
−1
−1

π
4

g ) I = ∫ e tan x .
0

1
dx
cos 2 x

Đặt t= tan x ⇒ dt=

1
dx .
cos 2 x

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ; x =

π

4

⇒ t = 1.
Page 10