SKKN Phương pháp tính tích phân từng phần và một số sai lầm khi tính tích phân THPT THIỆU HÓA 1

Tên đề tài :
“PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VÀ NHỮNG
SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN”
PHẦN A : ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong đề thi tốt nghiệp Bổ túc trung học phổ thổng
(BTTHPT),Trung học phổ thông (THPT) , Đại học , cao đẳng và
trung học chuyên nghiệp của các năm bài toán tích phân hầu như
không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT , BTTHPT bài toán
tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự linh
hoạt của định nghĩa,tính chất và các phương pháp tính tích
phân.Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức
máy móc đó là : tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân
rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc các phương pháp tính tích
phân như đổi biến hoặc từng phần.
Khi học sinh dùng phương pháp từng phần gặp nhiều khó khăn
trong quá trình tính như Đặt u bằng đại lượng nào? dv bằng đại
lượng nào học sinh rất mơ hồ trong cách đặt và dạng bài tập nào là
phải dùng tích phân từng phần.
Hoặc là trong quá trình tính tích phân học sinh cứ việc tính mà
không để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên
hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không?phép đổi
1
biến đã đổi cận hay chưa?phép đặt biến mới trong phương pháp đổi
biến số có nghĩa không?phép biến đổi hàm số có tương đương
không?
Vì vậy trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải
những sai lầm dẫn đến lời giải sai.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rõ điều này của học
sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Phương pháp tính tích
phân từng phần và một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính

tích phân.Nhằm giúp học sinh khắc phục được những điểm yếu nêu
trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải toán tích phân nói riêng và
đạt kết quả cao trong học tập nói chung.
Qua đề tài này tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về
vấn đề này , tự phân loại được một số dạnh toán tích phân , nêu lên
một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập.từ đó giúp cho học
sinh có thể dể dành hơn trong quá trình tính tích phân.Qua nội dung
này tôi hy vọng học sinh phát huy được khả năng phân tích , tổng
hợp , khái quát hóa các bài tập nhỏ , phân dạnh bài tập.Từ đó hình
thành cho học sinh khả năng tư duy sánh tạo trong học tập.
II . NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Các phương pháp tính tích phân : phương pháp đổi biến , phương
pháp tính tích phân từng phần , tích phân hàm lượng giác , …
- Kỹ năng tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản.
2
III . ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Học sinh BTTHPT
- Các phương pháp tính tích phân trong chương trình lớp 12.
IV . PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu,đúc rút kinh nghiệm,tổng kết
kinh nghiệm,kiểm tra kết quả.dự giờ,kiểm tra chất lượng học
sinh,nghiên cứu hồ sơ giảng dạy,điều tra trực tiếp thông qua các giờ
dạy học, thể hiện ở nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh
khá,giỏi,trung bình,yếu về môn toán.
- Cho học sinh phân dạng bài tập nào thì dùng tích phân từng phần để
giải và cách đặt như thế nào?cho các ví dụ cụ thể để học sinh áp dụng
cách đặt trên
- Lựa chọn các ví dụ cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh
vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỷ năng vận dụng kiến thức
của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng.

V . PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Giới hạn ở vấn đề giảng dạy Nguyên hàm – Tích phân trong chương
trình lớp 12 ở BTTHPT,THPT
3
PHẦN B: NỘI DUNG
I . CƠ SỞ KHOA HỌC
Dưa trên nguyên tắc nhận thức của con người đi từ “cái tổng quát đến
cái cụ thể, từ cái sai đến cái gần đứng rồi mới đến cái đúng”,các
nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh.
II . NỘI DUNG CỤ THỂ.
1. Tích phân bằng phương pháp từng phần
4
Công thức từng phần :
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Phương pháp :
B1/ Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính d
u
.
Phần còn lại là d
v
, tìm v.
B2/ Dùng công thức tính tích phân từng phần.

B3/ Tính và suy ra kết quả.
Chú ý. Lý thuyết là vậy,nhưng trong thực tế học sinh gặp rất nhiều
khó khăn trong việc tính toán,học sinh rất mỏ hồ về cách đặt u và
d
v
.học sinh chưa phân biệt được trong bài toán cụ thể nên đặt u bằng
biểu thức nào, d
v
bằng biểu thức nào.Vì lẻ đó tôi manh dạn đưa ra hai
loại bài tập về tích phân từng phần mà học sinh thường gặp phải,mà
trong chương trình phổ thông không đua ra công thức
Loại 1:
∫
b
a
dxxgxf ).().(
Trong đó : -
)(xf
là một hàm đa thức
-
)(xg
là một trong các hàm số :
)(cos
1
;
)(sin
1
);sin();cos(;
22
baxbax

baxbaxe
bãx
++
++
+
- Đặt



=
=
dxxgdv
xfu
).(
)(

Nếu bậc của
)(xf
là 2;3;4 thì ta tính từng phần 2;3;4 lần theo cách đặt
trên.
Loại 2 :
∫
b
a
dxxgxf ).(ln).(
5
Trong đó : -
)(xf
là một hàm đa thức
Đặt :




=
=
dxxfdv
xgu
).(
)(ln
Ví dụ : tính các tích phân sau:
a/ I =
∫
2
0
cos.
π
xdxx
b/ J =
( )
dxxx .sin12
2
0
2
∫
−
π
c/ K =
∫
1
0

3
dxex
x
giải
a/ Đặt :



=
=
dxxdv
xu
.cos



=
=
⇔
xv
dxdu
sin
vậy : I =
1
2
cos
2
.sinsin.
2
0

2
0
2
0
−=+=−
∫
ππ
π
π
π
xdxxxx
b/ Đặt :



−=
=
⇔



=
−=
xv
dxxdu
dxxdv
xu
cos
.4
.sin

12
2
Vậy : J =
( )
52)1
2
(41.cos.4cos12
2
0
2
0
2
−=−+−=+−−
∫
π
π
π
π
dxxxxx
c/ Đặt :





=
=
⇔




=
=
x
x
ev
dxdu
dxedv
xu
3
3
3
1
.
Vậy : K =
)1.2(
9
1
9
1
.
9
1
.
3
1
.
9
1
.

3
1
.
3
1

3
1
3331
0
33
1
0
31
0
3
+=+−=−=−
∫
eeeeedxeex
xxx
Ví dụ 2 ; tính các tích phân sau
a/ I =
∫
e
dxxx
1
.ln.
b/ J =
∫
+

1
0
2
).1ln(. dxxx
giải
6
a/ Đặt :







=
=
⇔



=
=
2
.
1
.
ln
2
x
v

dx
x
du
dxxdv
xu
vậy : I =
)1(
4
1
4
1
42
.
4
1
2
.
2
1
ln.
2
2
22
1
2
2
1
1
2
+=+−=−=−

∫
e
ee
x
e
dxxx
x
e
e
e
b/ Đặt :







=
+
=
⇔



=
+=
2
.
1

2
.
)1ln(
2
2
2
x
v
dx
x
x
du
dxxdv
xu
Vậy : J =
dx
x
x
xdx
x
x
x
x
).
1
(2ln
2
1
.
1

)1ln(.
2
1
0
2
1
0
2
3
1
0
2
2
∫∫
+
−−=
+
−+
=
2
1
2ln)]1ln(.
2
1
.
2
1
[2ln
2
1

1
0
22
−=+−− xx
Một số bài tập tương tự
Bài 1.tính các tích phân
a/ I =
dxex
x
)1(
1
0
22
∫
+
b/ J =
∫
3
4
2
sin
.
π
π
x
dxx
c/ K =
dxxx .cos.)13(
2
0

∫
+
π
Bài 2: tính các tích phân sau
a/ I =
∫
e
dxx
1
.ln
b/ J =
∫
e
dx
1
3
.ln
d/ K =
dxxx
e
.)1ln(.
1
2
∫
−
2 . Một số sai lầm khi tính tích phân:
Ví dụ 1: Tính tích phân : I =
∫
−
+

1
3
2x
dx
• Sai lầm thường gặp : I =
3ln2ln
2
1
3
1
3
=+=
+
−
−
∫
x
x
dx
7
• Nguyên nhân sai lầm: hàm số
2
1
+
=
x
y
không xác định tại
]1;3[2 −∈−=x

suy ra không liên tục trên [-3;1] nên không sử dụng được công thức
newton – leibnitz như cách giải trên.
• Lời giải đúng : hàm số
2
1
+
=
x
y
không xác định tại
]1;3[2 −∈−=x
suy ra
không liên tục trên [-3;1] do đó không tồn tại tích phân trên.
Chú ý : Khi tính tích phân
∫
b
a
dxxf ).(
, cần chú ý xem hàm số
)(xfy =
có liên
tục trên đoạn [a;b] không?
- Nếu có thì ta áp dụng phương pháp đã họcđể tính tích phân đó.
- Nếu không thì kết luận ngay hàm số này không tồn tại.
• Một số bài tập tương tự
Tính các tích phân sau
1./ I =
( )
∫
−

2
0
3
1x
dx
2./ J =
dxxx .1
2
3
2
−
∫
−
3./ K =
∫
2
0
6
sin
π
x
dx
Ví dụ 2. Tính tích phân : I =
∫
−
2
0
cos2
sin
π

x
xdx
• Sai lầm thường gặp : Đặt :
xu cos2
−=
x
du
dxdxxdu
sin
.sin =⇒=⇔
Đổi cận :
2
2
;10 =⇒==⇒= uxux
π
Vậy : I =
2lnln
sin.
.sin
2
1
2
1
2
1
===
∫∫
u
u
du

xu
dux
• Nguyên nhân sai lầm : vì khi đổi cận về 1 và 2 thì trong biểu thức vẫn
còn chứa x
8
• Lời giải đúng :
xu cos2
−=
dxxdu .sin
=⇔
Đổi cận :
2
2
;10 =⇒==⇒= uxux
π
Vậy : I =
2lnln
2
1
2
1
==
∫
u
u
du
Chú ý : Khi làm bài tập về tích phân đổi biến cần chú ý
- Đổi cận.
- sau khi đổi cận ta làm hoàn toàn trên biến mới và cận mới mà không
còn biến cũ suất hiện trong phép tính tích phân khi ta đã đổi cận.

Ví dụ 3 : Tính tích phân sau : I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
* Sai lầm thường gặp : Đặt :
dx
x
dx
x
dt
x
t ).1
2
(tan
2
1
.
2
cos
2
2
tan
2
2
+==⇒=
thì
2

1
2
t
dt
dx
+
=
Mà :
2
2
)1(
1
sin1
1
t
t
x
+
+
=
+
Do đó ta có :
( ) ( )
c
t
tdt
t
dt
t
dt

t
t
x
dx
+
+
−=++=
+
=
+
+
+
=
+
∫∫ ∫∫
−
1
2
)1(.)1(2
1
2
1
2
.
1
1
sin1
2
222
2

Suy ra :
0tan1
2
2
tan1
2
2
tan1
2
sin1
0
0
+
+
+
−
=
+
−=
+
∫
π
π
π
x
x
dx
Do tan
2
π

không tồn tại nên tích phân trên không xác định.
• Nguyên nhân sai lầm :
Đặt :
2
tan
x
t =
, vì
];0[
π
∈x
tại
π
=x
thì
2
tan
x
không có nghĩa.
9
• Lời giải đúng
I =
∫∫∫∫∫
−
−
=
−
=
−+
=

−+
=
+
πππππ
π
π
πππ
0
2
0
2
000
)
42
(cos
)
42
(
)
42
(cos2)
42
(2cos1)
2
cos(1
sin1
x
x
d
x

dx
x
dx
x
dx
x
dx
=
2
4
tan
4
tan
42
tan
0
=






−−=







−
πππ
π
x
• Chú ý : Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x)
phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a;b]
• Bài tập tương tự.
Tính tích phân : J =
∫
+
π
0
cos1 x
dx
Ví dụ 4 : Tính tích phân sau
a.) I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
b.) J =
dxxx .12
2
0
2
∫
+−
Sai lầm thường gặp :

I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
=
2
.
2
cos
2
sin2.
2
cos
2
sin
2
0
2
0
2
x
d
xx
dx
xx
∫∫







+=






+
ππ
= 2
( ) ( )
40sin0cos2sincos2
2
sin
2
cos
2
0
=+−−+−=







+−
ππ
π
xx
Nguyên nhân sai lầm :
2
.
2
cos
2
sin2.
2
cos
2
sin
2
0
2
0
2
x
d
xx
dx
xx
∫∫







+=






+
ππ
Nhớ lại rằng :
AA =
2
do đó
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
xxxx
+=







+
Lời giải đúng :
I =
dxx.sin1
2
0
∫
+
π
=
dx
xx
dx
xx
.
2
cos
2
sin.)
2
cos
2
(sin
2
0
2
0
2

∫∫
+=+
ππ
10
=






+






+=






+
∫∫
42
.
42

sin22.
42
sin2
2
0
2
0
πππ
ππ
x
d
x
dx
x
=






+






+−







+






+
∫∫
42
.
42
sin22
42
.
42
sin22
2
2
3
2
3
0
ππππ
π

π
π
x
d
xx
d
x
=
24
42
cos22
42
cos22
2
2
3
2
3
0
=






++







+−
π
π
π
ππ
xx
b. Sai lầm thường gặp :
J =
( ) ( ) ( )
( )
0
2
1
)1(.1.1.1.12
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2

=
−
=−−=−=−=+−
∫∫∫∫
x
xdxdxxdxxdxxx
* Nguyên nhân sai lầm :
Phép biến đổi
( )
11
2
−=− xx
, với
]2;0[∈x
là không tương đương.
Lời giải đúng :
J =
( ) ( ) ( )
dxxdxxdxxdxxdxxx .1.1.1.1.12
2
1
1
0
2
0
2
0
2
2
0

2
∫∫∫∫∫
−+−−=−=−=+−
=
( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
=+=
−
+
−
−
xx
Chú ý : + đối với giá trị tuyệt đối
( )
)()(
2

2
xfxf
n
n
=
, với
Nnn ∈≥ ,1
+
( )
dxxfdxxf
b
a
b
a
n
n
.)(.)(
2
2
∫∫
=
Ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
[a;b] rồi dùng tính chất tích phân tách I thàh tổng các phần không
chứa dấu giá
trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự: tính các tích phân sau
1.) I =
dxx.2sin1
0
∫

−
π
2.) J =
dxxx .44
2
3
0
+−
∫
11
3.)
dxxx .2cottan
3
6
22
∫
−+
π
π
Ví dụ 5.Tính tích phân : I =
dx
x
x
.
1
1
1
1
4
2

∫
−
+
−
• Sai lầm thường gặp :
I =
dx
x
x
x
x
x
x
.
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2

∫∫
−−
−






+






−
=
+
−
Đặt : t =
dx
x
dt
x
x .
1
1
1
2







−=⇒+
Đổi cận :
21
−=⇒−=
tx
;
21
=⇒=
tx
Ta có : I =
( )
2
2
2
2
2
2
2
2ln2ln
22
1
.
2
1

2
1
22
1
2
−
−−
−−+
−
=






−
−
+
−=
−
∫∫
ttdt
tt
t
dt
=
2
2
2

2
ln
22
1
−
−
+
−
t
t
= -
22
1
ln
22
22
ln
22
1
22
22
−−
+−
+
−
+
=
223
223
ln

22
1
+
−
• Nguyên nhân sai lầm :
Khi ta chia cả tử và mẫu của biểu thức :
4
2
1
1
x
x
+
−
cho
2
x
là sai vì trong [-
1;1] chứa
0
=
x
nên ta không thể chia cả tử và mẫu cho
2
x
được.
• Lời giải đúng :
Ta thấy
12
12

ln
22
1
)(
2
2
++
+−
=
xx
xx
xF
có đạo hàm
12

4
2
,
2
2
,
1
1
12
12
ln
22
1
)(
x

x
xx
xx
xF
+
−
=








++
+−
=
Do đó : I =
223
223
ln
22
1
12
12
ln
22
1
.

1
1
1
1
2
2
1
1
4
2
+
−
=
++
+−
=
+
−
−
−
∫
xx
xx
dx
x
x
• Chú ý : Khi tính tích phân mà ta cần chia cả tử và mẫu của hàm
số dưới dấu tích phân cho x ta cần để ý rằng trong đoạn lấy tích
phân phải không chứa điểm x = 0.
III . HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGIỆM

1. Kết quả thực tế:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những
dạng tích phân như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên hướng dẫn học sinh tỉ
mỉ cách phân tích một bài toán tích phân,lựu chọn phương pháp phù
hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra cách đặt u,dv(đối với những bài toán
sử dụng phương pháp từng phần), đưa ra những sai lầm mà học sinh
thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích
phân.Từ đó các em có nhưng lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh và yêu cầu học sinh giải một số bài tập
tích phân trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 , một số bài tập tích
phân trong sách bài tập Giải tích lớp 12 cơ bản , nâng cao và một số
bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học , cao đẳng và trung học
chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã làm tốt khi trình bày
cách giải,biết phân loại bài tâp, đặt u , dv rất thành thạo , không mắc
phải các sai lầm đáng tiếc.
13
2. Kết quả thực nghiệm
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2011 – 2012
Kiểm tra trên lớp 12B(41 học sinh) không áp dụng sáng kiến .cho kết
quả
Xếp
loại
Đối tượng
Giỏi Khá TB Yếu
12B 0% 2% 38% 60%
Kiểm tra trên lớp 12B(41 học sinh) áp dụng sáng kiến.Cho kết quả như
sau:
Xếp
loại
Đối tượng

Giỏi Khá TB Yếu
12B
55% 35% 10% 0%

Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm học sinh học tập rất tích cực
và hứng thú,đặc biệt là các bài toán về tích phân từng phần các em
rất thành thạo phân loại bài tập, cách đặt u,dv. Và các em cũng rất
thận trọng trong quá trình tính tích phân,các em hiểu rỏ bản chất
14
của vấn đề chứ không rập khuôn một cách máy móc như trước,đó là
việc phát huy tính tích cụa,chủ động,sáng tạo của học sinh.
15
PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Nguyên cứu , phân tích phương pháp tính tích phân từng phần và
những sai lầm khi tính tích phân của học sinh có ý nghĩa rất quan
trọng trong quá trình dạy và học vì khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và
những hiểu biết thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát
huy ở học sinh tư duy độc lập , năng lực suy luận , tích cực chủ
động củng cố trau dồi thêm kiến thức về tích phân từ đó làm chủ
được kiến thức , đạy được kết quả cao trong quá trình học tập và
các kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học , cao đẳng .
II. KIẾN NGHỊ
Hiện nay Trung Tâm GDTX Tĩnh Gia đã có một số cuốn sách
tham khảo, nhưng chưa phong phú đặc biệt chưa có một cuốn
sách nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán.vì vậy Trung
Tâm cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo
16
loại này để học sinh được tìm tòi về các cách tính tích phân từng

phần và những sai lầm khi tính tích phân.
17
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải tích cơ bản 12. TRần Văn Hạo – Vũ Tuấn ( Nhà Suất bản :
Giáo Dục )
2. Bài tập Giải tích cơ bản 12 . Vũ Tuấn – Lê Thị Thiên Hương
( Nhà Suất Bản Giáo Dục )
3. Bài tập giải tích nâng cao 12 . Nguyễn Huy Đoan – Đoàn Quỳnh
( Nhà Suất Bản Giáo Dục )
4. Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp môn toán lớp 12. Phạm Vĩnh Phúc
( Nhà Suất Bản Giáo Dục )
5. Phương pháp tính tích phân. Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc ( Nhà
suất Bản Hà Nội)
6. Giải Tích Nâng Cao 12 . Nguyễn Huy Đoan – Đoàn Quỳnh ( Nhà
Suất Bản Giáo Dục )
18
MỤC LỤC:
PHẦN A: ĐẶT VẤN
ĐỀ……………………………………………… 1
19
I. Lý do chọn đề
tài……………………………………………… 1
II. Nhiệm vụ nghiên
cứu…………………………………………… …1
III. Đối tượng nghiên
cứu……………………………………… …… 2
IV. Phương pháp nghiên cứu………………………………………
… 2
V. Phạm vi nghiên
cứu 2

PHẦN B: NỘI
DUNG… 3
I Cở sở khoa
học 3
II. Nội dung cụ
thể 3
1.Tính tích phân bằng phương pháp từng
phần 3
2.Một số sai lầm khi tính tích
phân 5
III. Hiệu quả của sáng kiến kinh
nghiêm 9
20
1. Kết quả thực
tế 9
2. Kết quả thực
nghiệm 9
PHẦN C: KẾT LUẬN VÀ
KIẾNNGHỊ 11
I. Kết
luận
.11
II. Kiến
nghị 11
Tài liệu tham
khảo 12
21