phương pháp tính tích phân từng phần

1



I. LÝ THUYẾT
ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số
   
,u u x v v x
xác định trên
K
. Khi đó ta có:
1.
 
u v dx udx vdx  
  

2.
kvdx k vdx

, với
k
là hằng số.
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
Hàm số
Nguyên hàm
Hàm số
Nguyên hàm
1
xc

k

kx c



x


1
1
1
xc






 
ax b



 
 
1
1

1
ax b c
a






1
x

ln xc

1
ax b

1
ln ax b c
a


1
2 x

xc

1
2 ax b

1
ax b c
a


sin x

cosxc 

 
sin ax b

 
o
1
csa
a
x b c 

cosx

sin xc

 
cos ax b

 
1
sin ax b c
a



2
1
sin x

tan xc

 
2
sin
1
ax b

 
n
1
ta a
a
x b c

2
1
cos x

cot xc 

 
2
cos

1
ax b

 
o
1
cta
a
x b c 

x
e

x
ec

ax b
e


1
ax b
ec
a



x
a

1
ln
x
ac
a


x
a



1
ln
x
ac
a





Trong đó:
c
là hằng số.


TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

2

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần.
Công thức của từng phần :
udv uv vdu


Chú ý: dv = v’(x).dx; du = u’(x).dx
Cần phải lựa chọn u và dv hợp lý sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

 dễ tính hơn


Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần.
1.
 
sin xfx xd


, đặt
 
sin x
u f x
dxdv









2.
 
cos xfx xd


, đặt
 
cos x
u f x
dxdv









3.
 
x
fxe dx


, đặt
 
x

u f x
dv de x







4.
sin
x
de xx



, đặt
sin
x
xdx
ue
dv











5.
cos
x
de xx



, đặt
cos
x
xdx
ue
dv









6.
ln
x
dxe x



, đặt
ln
x
ux
dv e dx










7.
 
ln xf x xd


, đặt
 
lnux
dv f dxx










TÍCH PHÂN
Công thức Newton – leibnizt:
       
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  


Tích phân từng phần:
 
bb
b
a
aa
udv uv vdu


Định lí quan trọng:
     
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
  
với
a c b

   
ba
ab
f x dx f x dx


II. BÀI TẬP
Tnh cc tch phân sau:
a/
1
2
2
0
( 1)
x
xe
dx
x 

đă
̣
t
2
2
( 1)
x
u x e
dx

dv
x










3

b/
3
8
43
2
( 1)
x dx
x 

đă
̣
t
5
3
43
( 1)

ux
x dx
dv
x









c/
1 1 1 1
2 2 2
12
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x

    
   
   

Tính I

1
1
2
0
1
dx
x



bằng phương pha
́
p đô
̉
i biến số
Tính I
2
=
1
2
22
0
(1 )
x dx
x

bằng phương pha
́
p tư
̀

ng phần : đă
̣
t
22
(1 )
ux
x
dv dx
x









Bài tập tự luyện:
1.
3
3
1
ln
e
x
dx
x

2.

1
ln
e
x xdx


3.
1
2
0
ln( 1)x x dx

4.
2
1
ln
e
x xdx


5.
3
3
1
ln
e
x
dx
x


6.
1
ln
e
x xdx


7.
1
2
0
ln( 1)x x dx

8.
2
1
ln
e
x xdx


9.
2
0
( osx)sinxx c dx



10.
1

1
( )ln
e
x xdx
x



11.
2
2
1
ln( )x x dx

12.
3
2
4
tanx xdx




13.
2
5
1
ln x
dx
x


14.
2
0
cosx xdx




4

15.
1
0
x
xe dx

16.
2
0
cos
x
e xdx



17.

1
0

3
. dxex
x
18.


2
0
cos)1(

xdxx
19.


6
0
3sin)2(

xdxx

20.

2
0
2sin.

xdxx

21.


e
xdxx
1
ln
22.


e
dxxx
1
2
.ln).1(
23.

3
1
.ln.4 dxxx

24.


1
0
2
).3ln(. dxxx
25.


2
1

2
.).1( dxex
x
26.


0
.cos. dxxx

27.

2
0
2
.cos.

dxxx
28.


2
0
2
.sin).2(

dxxxx

29.
2
5

1
ln x
dx
x

30.
2
2
0
x cos xdx


31.
1
x
0
e sin xdx

32.
2
0
sin xdx



33.
e
2
1
x ln xdx


34.
3
2
0
x sin x
dx
cos x



35.
2
0
xsin xcos xdx



36.
4
2
0
x(2 c os x 1)dx



37.
2
2
1

ln(1 x)
dx
x


38.
1
2 2x
0
(x 1) e dx


39.
e
2
1
(xln x) dx

40.
2
0
cos x.ln(1 cosx)dx




41.
2
1
ln

( 1)
e
e
x
dx
x 

42.
1
2
0
xtg xdx

43.


1
0
2
)2( dxex
x
44.


1
0
2
)1ln( dxxx

45.


e
dx
x
x
1
ln
46.


2
0
3
sin)cos(

xdxxx


5

47.


2
0
)1ln()72( dxxx
48.


3

2
2
)ln( dxxx

49.



+
1

2



2
1
50.


5
. 

3

0
1

51.



5

 + 



1

52.

+




3
3

3

0
3

53.

ln (+

1+
2

)

3


3
1

54.

(
2
+

 1
3
1
0
) 
55.


 + 
3


sin  
1
0

56.



1 + 
2


1
0

57.



3
+1



1

58.


3

2



1

59.


4 1


2
1

60.

ln 

+1

8
3