Một định lí mới về ổn định lũy thừa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC:

MỘT ĐỊNH LÍ MỚI VỀ ỔN ĐỊNH LŨY
THỪA CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HỒN
TRÊN KHƠNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: :
Mã số:
:

....

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Người hướng dẫn
TS.


1

1

PHẦN MỞ ĐẦU

Giải tích Fourier hay giải tích điều hịa đã được khai sinh bằng các cơng
trình của Fourier, Euler và một số nhà toán học khác trên cơ sở nghiên
cứu về chuỗi lượng giác. Vì những ứng dụng quan trọng của nó nên giải
tích Fourier khơng ngừng được mở rộng và phát triển và cho đến nay các
nghiên cứu về giải tích Fourier vẫn là một vấn đề thời sự của tốn học.
Giải tích Fourier là một cơng cụ đắc lực để nghiên cứu phương trình đạo
hàm riêng và lý thuyết số đại số. Nhiều lĩnh vực của toán học được hình
thành từ giải tích Fourier.
493


2

2

Nhóm đối xứng

Trong mục này chúng tơi tính tốn độ giao hốn tương đối của nhóm
con thay phiên An trong nhóm đối xứng Sn .
Định nghĩa 1. Cho n là một số nguyên dương. Một phân hoạch của n
là một dãy không tăng các số nguyên dương (k1 , k2 , . . . , ks ) sao cho
k1 + k2 + · · · + ks = n.

Từ Mệnh đề ?? ta có ngay kết quả sau.
Mệnh đề 1. Với n ⩾ 2
Pr(An , Sn ) =

2c(n)
n!

trong đó c(n) là số các lớp liên hợp của Sn nằm trong An .
Để tính c(n) ta cần kết quả sau.
Mệnh đề 2. Cho n là một số nguyên, n ⩾ 2, và (k1 , k2 , . . . , ks ) là một
phân hoạch của n. Giả sử π ∈ Sn có kiểu là (k1 , k2 , . . . , ks ). Khi đó
π ∈ An khi và chỉ khi s +

k
X

ki là một số chẵn .

i=1

Chứng minh. Vì phép thế π có kiểu là (k1 , k2 , . . . , ks ) cho nên, theo Mệnh
đề ??, ta có
s
P

(ki +1)

sign(π) = (−1)i=1

s+

= (−1)

s
P

i=1

ki

.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Trong ví dụ sau đây chúng tơi tính tốn các giá trị Pr(An , Sn ) với
2 ⩽ n ⩽ 7 bằng cách áp dụng Mệnh đề 29. Với n ⩾ 2, ta liệt kê tất cả
các phân hoạch của n ứng với kiểu của các phép thế của An . Từ đó ta
đếm được c(n) và tính Pr(An , Sn ).
Ví dụ 1.
(i) Với n = 2 ta có đúng một phân hoạch là (1, 1). Do đó c(2) = 1. Cho
nên
Pr(A2 , S2 ) =

2c(2)
= 1.
2!


3

(ii) Với n = 3 ta có 2 phân hoạch là (3), (1, 1, 1). Do đó c(3) = 2. Cho
nên
Pr(A3 , S3 ) =

2
2c(3)
= .

3!
3

(iii) Với n = 4 ta có 3 phân hoạch là
(3, 1), (2, 2), (1, 1, 1, 1).

Do đó c(4) = 3. Cho nên
Pr(A4 , S4 ) =

2c(4)
1
= .
4!
4

(iv) Với n = 5 ta có 4 phân hoạch là
(5), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (1, 1, 1, 1, 1).

Do đó c(5) = 4. Cho nên
Pr(A5 , S5 ) =

2c(5)
1
= .
5!
15

(v) Với n = 6 ta có 6 phân hoạch là
(5, 1), (4, 2), (3, 3), (3, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1).

Do đó c(6) = 6. Cho nên
Pr(A6 , S6 ) =

2c(6)
1
= .
6!
60

(vi) Với n = 7 ta có 8 phân hoạch là
(7),
(5, 1, 1), (4, 2, 1), (3, 3, 1), (3, 2, 2),
(3, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).

Do đó c(7) = 8. Cho nên
Pr(A7 , S7 ) =

2c(7)
1
=
.
7!
315


4

3

Xấp xỉ bởi tích chập trong Lp

Ta thấy rằng, cho f ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞, tồn tại (fh )h ⊂ C0c (Ω) sao
cho fh → f trong Lp (Ω). Ta sẽ chứng minh tính xấp xỉ này, tìm kiếm
xấp xỉ theo các hàm chính quy. Chính xác hơn
Câu hỏi:
(i) Có tồn tại (fh )h ⊂ C1c sao cho fh → f trên Lp (Ω)?
(ii) Có thể xây dựng một cách rõ ràng xấp xỉ thứ h hàm fh cho f ∈
Lp (Ω)?
Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai rất có ý nghĩa trong xấp xỉ số.
Định nghĩa 2 (Friedrichs’ mollifiers). Một dãy của mollifiers là một
dãy các hàm ϱh : Rn → R, (h = 1, 2, . . .) sao cho, với mỗi h,
ϱ ∈ C∞ (Rn );

(M o1)

spt(ϱh ) ⊂ B(0, 1/h);
Z
ϱh dx = 1;

(M o2)

(M o3)

Rn

ϱh (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn .

(M o4)

Ví dụ về mollifiers: Khá đơn giản để xây dựng một dãy mollifiers,

bắt đầu từ hàm không biến mất ϱ : Rn → R thỏa mãn
n
ϱ ∈ C∞
c (R ), spt(ϱ) ⊂ B(0, 1), ϱ ≥ 0.

Ví dụ, cho
ϱ(x) :=



exp

1
2
|x| − 1


nếu |x| < 1
nếu |x| ≥ 1



0

n
Khi đó dễ thấy rằng ϱ ∈ C∞
c (R ). Hơn thế nữa, ta có một dãy mollifiers
được định nghĩa

ϱh (x) := c hn ϱ(hx), x ∈ Rn , h ∈ N

và

−1

Z
c :=

ϱdx
Rn

.


5

Chú ý: Nếu A, B ⊂ Rn , A ± B ký hiệu là tập
A ± B := {a ± b : a ∈ A, b ∈ B}

Bài tập 1. Chứng minh rằng
(i) Nếu A compact và B đóng, khi đó A + B đóng;
(ii) nếu A và B là compact vì là A + B
Mệnh đề 3 (Định nghĩa tính chất của mollifiers đầu tiên). Cho f ∈
L1loc (Rn ) và (ϱh )h là dãy mollifiers. Định nghĩa, cho h ∈ N và x ∈ Rn ,
Z
ϱh (x − y)f (y)dy, ∀x ∈ Rn .
fh (x) := (ϱ ∗ f )(x) :=
Rn

Khi đó

(i) Hàm fh : Rn → R is well defined;
(ii) fh (x) = (ϱh ∗ f )(x) = (f ∗ ϱh )(x) với mọi x ∈ Rn và h ∈ N;
(iii) fh (x) ∈ C0 (Rn ) với mỗi h.
Hàm fh được gọi là mollifiers thứ h của f
Chứng minh. Để đơn giản, ta ký hiệu ϱh ≡ ϱ. (i) Theo (Mo2) và (Mo4),
spt(ϱ) ⊂ B(0, 1/h).
Khi đó
Z

Z
|f (y)ϱ(x − y)|dy =

Rn

|f (y)ϱ(x − y)|dy
B(x,1/h)

Z
≤ sup ϱ
Rn

|f (y)|dy < ∞.
B(x,1/h)

Do đó, ta thay đổi x ∈ Rn , hàm
gx (y) := ϱ(x − y)f (y), y ∈ Rn

là khả tích trên Rn , vì vậy nó xác định tích phân
Z
Z

R∋
gx (y)dy =
ϱ(x − y)f (y)dy = (ϱ ∗ f )f (x), ∀x ∈ Rn .
Rn

Rn


6

(ii) bằng cách thay đổi các biến
Z
(f ∗ ϱ)(x) =

f (x − y)ϱ(y)dy

(z=x=y)

Z
f (z)ϱ(x − z)dz = (ϱ ∗ f )(x).

=

Rn

Rn

(iii) Cho x ∈ Rn và xr → x, ta chứng minh
(ϱ ∗ f )(xr ) → (ϱ ∗ f )(x).

(1)

Chú ý rằng
Z
(ϱ ∗ f )(xr ) − (ϱ ∗ f )(x) =

(ϱ(xr − y) − ϱ(x − y))f (y)dy, ∀r ∈ N.

(2)

Rn

Từ dãy (xr )r bị chặn trong Rn , tồn tại một tập compact K ⊂ Rn thỏa
mãn
B(xr , 1/h) = xr − B(0, 1/h) ⊂ K, B(x, 1/h) ∈ K, ∀r ∈ N.
Đặc biệt
ϱ(xr − y) − ϱ(x − y) = 0, ∀y ∈
/ K, ∀r ∈ N.

(3)

Bởi vì, ϱ ∈ Lip(Rn ), theo (63), tồn tại L > 0 thỏa
|ϱ(xr − y) − ϱ(x − y)| ≤ LχK (y)|xr − x|, ∀y ∈ Rn , ∀r ∈ N.

Vì vậy ta được
|ϱ(xr − y)ϱ(x − y)||f (y)| ≤ LχK (y)|f (y)||xr − x|, ∀y ∈ Rn , ∀r ∈ N

(4)

Từ (62), (63) và định lý tính hội tụ bị trội, theo (61)

Nhận xét 1. Ký hiệu ∗ là tích chập của hai hàm trên khơng gian Rn .
Lưu ý, các kết quả của mệnh đề 24 và giữ nếu f ∈ L1loc (Rn ) và ϱ ≡ ϱh ∈
C0 (Rn ) thỏa (Mo2). Trên thực tế, có thể xác định tích chập giữa hai hàm
g ∈ Lp (Rn ) với 1 ≤ p ≤ ∞ và f ∈ L1 (Rn )
Z
(g ∗ f )(x) :=

g(x − y)f (y)dy
Rn

và nó vẫn giữ
(g ∗ f ) ∈ Lp (Rn ) và ∥g ∗ f ∥Lp (Rn ) ≤ ∥g∥Lp (Rn ) ∥f ∥L1 (Rn ) .


7

Định lý 1 (Friedrichs - Sobolev, Xấp xỉ theo tích chập trong Lp ). Cho
f ∈ L1loc (Rn ) và (ϱh )h là dãy mollifiers. Khi đó
(i) f ∗ ϱh ∈ C ∞ (Rn ) với mỗi h ∈ N.
(ii) ∥f ∗ϱ∥Lp (Rn ) ≤ ∥f ∥Lp (Rn ) với mỗi h ∈ N, f ∈ Lp (Rn ) với mọi p ∈ [1, ∞].
(iii) spt(f ∗ ϱ) ⊂ spte (f ) + B(0, 1/h) với mỗi h ∈ N.
(iv) Nếu f ∈ Lp (Rn ) với 1 ≤ p ≤ ∞, khi đó f ∗ ϱh ∈ C ∞ (Rn ) ∩ Lp (Rn ) với
mỗi h ∈ N, và f ∗ ϱh → f khi h → ∞, trong Lp (Rn ), biết 1 ≤ p < ∞.
Kết quả này cho ta hai kết quả quan trọng.
Định lý 2 (Bổ đề cơ bản của tính tốn các biến). Cho Ω ⊂ Rn là tập
mở và cho f ∈ L1loc (Ω). Giả sử
Z
f φdx = 0, ∀φ ∈ Cc∞ (Ω).

(∗)

Ω

Khi đó f = 0 hầu khắp nơi trong Ω.
Chứng minh. Chứng minh điều kiện đủ
Z
|f |dx = 0 với mỗi tập compact K ∈ Ω.
K

Thật vậy, theo (65), suy ra
f = 0 hầu khắp nơi trong K, với mỗi tập compact K ∈ Ω.

Ta có được kết luận. Ta chứng minh (65).
Cho tập compact K ∈ Ω, định nghĩa g : Rn → R bởi

 f (x)
nếu x ∈ K, f (x) ̸= 0
g(x) :=

|f (x)|
0



nếu ngược lại

Khi đó g ∈ L1 (Rn ) và spte (g) ⊆ K ⊂ Ω. Cho
gh := g ∗ ϱh .

Theo định lý 41 (iii), tồn tại h = h(K) ∈ N sao cho

spt(g ∗ ϱh ) ⊆ spte (g) + B(0, 1/h) ⊆ K + B(0, 1/h) ⊂ Ω

(5)


8

với mỗi h > h. Do đó, theo định lý 30 (i), (ii),
gh ∈ C∞
nếu h > h và |gh (x)| ≤ ∥g∥L∞ (Rn ) = 1, ∀x ∈ Rn , ∀h ∈ N. (6)
c

Từ (∗) ta được
Z
f gh dx = 0, ∀h ≤ h.
Ω

Mặt khác, từ định lý 41 (iv) và (118), ta giả sử, một dãy con tăng, gh → g
hầu khắp nơi trong Rn . Do đó,
Z
Z
Z
f gh dx → 0 =

0=
Ω

|f |dx.

f g dx =

Ω

K

Định lý 3 (Xấp xỉ theo các hàm C∞ trong Lp ). Cho Ω ⊂ Rn là tập mở.
p
Khi đó C∞
c (Ω) là trù mật trong L (Ω), ∥.∥Lp , biết 1 ≤ p < ∞.
Chứng minh. Cho f ∈ Lp (Ω), định nghĩa fe : Rn → R bởi
(
f (x) nếu x ∈ Ω
fe(x) :=
0 nếu x ∈ Rn \ Ω
Chú ý rằng fe ∈ Lp (Rn ).
Cho (Ωh )h là dãy tăng của tập mở bị chặn sao cho
Ω = ∪∞
h=1 Ωh , Ωh ⊂ Ωh ⊂ Ωh+1 , ∀h,

và định nghĩa
gh (x) := χΩh (x)fe(x) và fh,r (x) := (ϱr ∗ gh )(x) nếu x ∈ Rn , h, r ∈ N.

Theo định lý 41 (iii) suy ra
spt(fh,r ) ⊂ B(0, 1/r) + Ωh ⊂ Ω.

(7)

Hơn thế nữa, cho h ∈ N, tồn tại rh = r(h) ∈ N sao cho
rh ≥ h và B(0, 1/rh ) + Ωh ⊂ Ω.

Định nghĩa

fh (x) := (ϱrh ∗ gh )(x), x ∈ Rn , h ∈ N,

(8)


9

để đơn giản, giả sử rằng rh = h. Khi đó, theo định lý 41 (i), (ii) (67),
(68), fh ∈ C∞
c (Ω) và
∥fh − f ∥Lp (Ω) = ∥fh − fe∥Lp (Rn ) ≤ ∥ϱh ∗ gh − ϱh ∗ fe∥Lp (Rn )
+ ∥ϱh ∗ fe − fe∥Lp Rn = ∥ϱh ∗ (gh − fe)∥Lp (Rn ) + ∥ϱh ∗ fe − fe∥Lp (Rn )

(9)

≤ ∥gh − fe∥Lp (Rn ) + ∥ϱh ∗ fe − fe∥Lp (Rn ) , ∀h.

Từ định lý 41 (iv),
ϱh ∗ fe → fe trên Lp (Rn ),

theo định lý hội tụ miền
gh → fe trong Lp (Rn ).

Khi đó theo (69), ta có điều phải chứng minh.

4

Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 3. Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phép

toán mà ta gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn: R là nhóm Abel với
phép tốn cộng, R là nửa nhóm với phép tốn nhân và phép tốn nhân
phân phối với phép toán cộng, nghĩa là
x(y + z) = xy + xz,
(x + y)z = zx + yz

với mọi x, y, z ∈ R.
Phần tử trung hòa của phép cộng được ký hiệu bởi 0 (thường gọi là
phần tử không). Phần tử đơn vị của phép nhân nếu có được ký hiệu bởi
1. Nếu vành có nhiều hơn một phần tử và có đơn vị thì 1 ̸= 0.
Định nghĩa 4. Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu
A là vành đối với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tính
đóng của hai phép tốn trên A).
Định nghĩa 5. Ideal trái (phải) của một vành R là một vành con A
thỏa mãn điều kiện
ra ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R.


10

Vành con I của R vừa là ideal trái, vừa là ideal phải được gọi là ideal
của vành R.
Cho I là một ideal của vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} được
gọi là tập thương của R theo I . Trên tập thương R/I ta xây dựng hai
phép toán
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I,
(x + I)(y + I) = (xy) + I

với mọi x, y ∈ R.
Định nghĩa 6. Tập thương R/I cùng với hai phép toán được xác định

như trên lập thành một vành và được gọi là vành thương của R theo I .
4.0.1

Định lý đồng cấu vành

Định nghĩa 7. Cho R, R′ là hai vành. Ánh xạ f : R → R′ được gọi là
một đồng cấu vành nếu f bảo tồn hai phép tốn cộng và nhân trong R,
nghĩa là
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (xy) = f (x)f (x),

với mọi x, y ∈ R.
4.0.2

5

Một số kết quả liên quan

ĐỊNH LÝ ROLLE

Cơ sở của định lý Rolle dựa trên hai định lý cơ bản là Weierstrass và
Fermat. Định lý Weierstrass khẳng định rằng khi hàm số f liên tục trên
đoạn [a, b] thì nó bị chặn và tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
đoạn đó. Định lý Fermat về điểm cực trị của hàm cũng khẳng định rằng
nếu hàm f khả vi trên khoảng (a, b) và đạt cực trị địa phương (cực đại
địa phương hoặc cực tiểu địa phương) thuộc khoảng đó thì giá trị đạo
hàm tại điểm cực trị địa phương bằng không.
Định lý 4 (Định lý Rolle). Giả sử cho hàm số f liên tục trên [a, b],
khả vi trên khoảng (a, b) và f (a) = f (b). Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
f ′ (c) = 0

11

Chứng minh
Vì f liên tục trên đoạn [a, b]. Theo định lý Weierstrass thì hàm f phải
tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b], nghĩa là tồn
tại x1 , x2 ∈ (a, b) sao cho
f (x1 ) = min f (x) = m, f (x2 ) = max f (x) = M
[a,b]

[a,b]

Có hai khả năng xảy ra:
1) Nếu m = M . Khi đó f (x) = const trên đoạn [a, b]. Nên f ′ (c) = 0 với
mọi c ∈ (a, b)
2) Nếu m < M . Theo giả thiết ta có f (a) = f (b) nên ít nhất một trong
hai điểm x1 , x2 phải thuộc khoảng (a, b). Không mất tính tổng quát ta
giả sử x1 ∈ (a, b). Theo định lý Fermat thì đạo hàm tại điểm này bằng
khơng.
Định lý được chứng minh xong.
Ý nghĩa hình học của định lý Rolle.
Cho C là đường cong trơn với hai đầu mút A, B có cùng "độ cao" (trong
hệ trục tọa độ Descartes) thì trên C tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp
tuyến của C tại điểm đó song song với AB(hay song song với trục hồnh
vì f (a) = f (b)).
Hệ quả 1. Nếu hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) và phương
trình f (x) = 0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) thì phương trình
f ′ (x) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b). (Phương
trình f (k) (x) = 0 có ít nhất n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b)

với (k = 1, 2, ..., n))
Chứng minh
Giả sử phương trình f (x) = 0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b)
đã được sắp thứ tự x1 < x2 < ... < xn . Khi đó ta áp dụng định lý Rolle
cho n − 1 đoạn [x1 , x2 ], [x2 , x3 ], ..., [xn−1 , xn ] thì phương trình f ′ (x) = 0 có
ít nhất n − 1 nghiệm thuộc n − 1 khoảng (x1 , x2 ), (x2 , x3 ), ..., (xn−1 , xn ).
Gọi n − 1 nghiệm đó là ξ1 , ξ2 , ..., ξn−1 thì ta có:
f (ξ1 ) = f (ξ2 ) = ... = f (ξn−1 ) = 0


12

Tiếp tục áp dụng định lý Rolle cho n−2 khoảng (ξ1 , ξ2 ), (ξ2 , ξ3 ), ..., (ξn−2 , ξn−1 )
thì phương trình f ′′ (x) = 0 có ít nhất n−2 nghiệm phân biệt trên khoảng
(a, b).
Tiếp tục quá trình trên thì sau k bước phương trình f (k) (x) = 0 có ít
nhất n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b).
Hệ quả 2. Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm
trên khoảng (a, b). Khi đó nếu phương trình f ′ (x) = 0 có khơng quá n − 1
nghiệm phân biệt trên khoảng (a, b) thì phương trình f (x) = 0 có khơng
q n nghiệm phân biệt trên khoảng đó
Chứng minh
Giả sử phương trình f (x) = 0 có nhiều hơn n nghiệm phân biệt trên
khoảng (a, b), chẳng hạn là n + 1 nghiệm. Khi đó theo hệ quả 1 phương
trình f ′ (x) = 0 có ít nhất n nghiệm thuộc khoảng (a, b). Điều này trái
với giả thiết phương trình f ′ (x) = 0 có khơng q n − 1 nghiệm. Ta có
điều phải chứng minh.

6

Một số kiến thức cơ bản về nhóm

Một nhóm (G, ·) là một tập hợp G ̸= ∅ trên đó đã trang bị một phép
tốn hai ngôi · thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) a · (b · c) = (a · b) · c với mọi a, b, c ∈ G,
(ii) Tồn tại một phần tử e ∈ G sao cho a · e = a = e · a với mọi a ∈ G,
(iii) Với mọi a ∈ G tồn tại phần tử a′ ∈ G sao cho a · a′ = a′ · a = e.
Để đơn giản, ta ký hiệu ab thay cho a · b. Phần tử e xác định trong (ii)
là duy nhất, được gọi là phần tử đơn vị của nhóm G, và thường ký hiệu
là 1. Với mỗi a ∈ G, phần tử a′ xác định trong (iii) là duy nhất, được gọi
là phần tử nghịch đảo của a, và ký hiệu là a−1 . Một nhóm G được gọi là
giao hốn (hay abel ) nếu ab = ba với mọi a, b ∈ G. Nếu nhóm G có hữu
hạn phần tử thì ta gọi G là một nhóm hữu hạn, và gọi số phần tử của G
là cấp của nhóm G, và ký hiệu là |G|.
Cho G là một nhóm, và H là một tập con của G. Ta gọi H là một
nhóm con của G, ký hiệu là H ⩽ G, nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:


13

(i) Phép toán trên G hạn chế lên H cảm sinh một phép toán trên H ,
(ii) H là một nhóm với phép tốn cảm sinh.
Cho G là một nhóm, và H là một tập con của G. ta ký hiệu ⟨S⟩ là
nhóm con bé nhất của G chứa S , và gọi S là một tập sinh của ⟨S⟩. Đặc
biệt, một nhóm có tập sinh chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm xiclíc.
Mệnh đề 4. (Định lý Lagrange). Cho G là một nhóm hữu hạn, và H
là một nhóm con của G. Khi đó |H| là một ước của |G|.
Với G là một nhóm hữu hạn, và H ⩽ G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|,
và gọi là chỉ số của nhóm con H đối với G.
Mệnh đề 5. Cho G là một nhóm, và A, B là hai nhóm con hữu hạn của

G. Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B}. Khi đó
|AB| =

|A||B|
.
|A ∩ B|

Cho G là một nhóm, và a là một phần tử của G. Với u là một phần tử
của G, liên hợp của u bởi a, ký hiệu là ua , được định nghĩa là ua = a−1 ua.
Với H là một nhóm con của G, ta gọi H là một nhóm con chuẩn tắc của
G, ký hiệu là H ◁ G, nếu ha ∈ H với mọi a ∈ G, h ∈ H .
Cho N là một nhóm con chuẩn tắc của G. Ký hiệu
G/N = {aN | a ∈ G}.

Khi đó G/N là một nhóm với phép tốn xác định như sau. Với a, b ∈ G
(aN )(bN ) = abN.

Nhóm G/N được gọi là nhóm thương của G bởi N .
Với S là một tập con của G, tâm hóa của S trong G, ký hiệu là CG (S),
được định nghĩa là
CG (S) = {a ∈ G | ua = u với mọi u ∈ S}.

Trong trường hợp S = {x}, ta dùng ký hiệu CG (x) thay cho CG (S). Tâm
của nhóm G, ký hiệu là Z(G), được định nghĩa là Z(G) = CG (G).
Mệnh đề 6. Cho G là một nhóm khơng giao hốn. Khi đó, nhóm thương
G/Z(G) khơng là nhóm xiclíc.


14

Cho G là một nhóm. Với x và y là hai phần tử của G, giao hoán tử
của x và y , ký hiệu là [x, y], được định nghĩa là
[x, y] = x−1 y −1 xy.

Nhóm con giao hốn tử của G, ký hiệu là G′ , được định nghĩa là nhóm
con sinh bởi tập tất cả các giao hốn tử
{[x, y] | x, y ∈ G}.

Cho hai nhóm G và H . Một ánh xạ f : G → H được gọi là một đồng
cấu nhóm nếu với mọi a, b ∈ G
f (ab) = f (a)f (b).

Nếu đồng cấu f là một đơn ánh (tương ứng, toán ánh, song ánh) thì
ta gọi f là một đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu). Ta ký hiệu
Aut(G) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G.
Cho N và H là hai nhóm bất kỳ, và cho θ : H → Aut(N ) là một đồng
cấu nhóm. Khi đó, tập hợp
G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H}

là một nhóm với phép tốn xác định như sau. Với mọi (x1 , h1 ), (x2 , h2 ) ∈
G,
(x1 , h1 )(x2 , h2 ) = (x1 θ(h1 )(x2 ), h1 h2 ).

Nhóm G được xác định như trên được gọi là tích nửa trực tiếp của
N bởi H ứng với tác động θ, và ký hiệu là G = N ×θ H . Trong trường
hợp đặc biệt khi θ là đồng cấu tầm thường thì tích nửa trực tiếp chính
là tích trực tiếp.
Sau đây là một số kiến thức về p-nhóm và nhóm abel hữu hạn. Cho
p là một số nguyên tố. Một nhóm G được gọi là một p-nhóm nếu |G| là
mơt lũy thừa của p. Ta thấy rằng một nhóm con, một nhóm thương của

một p-nhóm cũng là một p-nhóm.
Mệnh đề 7. Cho p là một số nguyên tố. Khi đó
(i) Mọi nhóm có cấp p đều là nhóm xiclíc.


15

(ii) Mọi nhóm có cấp p2 đều là nhóm abel.

Mệnh đề 8. Mọi nhóm abel hữu hạn G đều có thể biểu diễn được một
cách duy nhất thành tích trực tiếp các nhóm xiclíc
G∼
= Cn1 × Cn2 × · · · × Cnk

trong đó ni ⩾ 2, i = 1, 2, . . . k , và n1 | n2 | · · · | nk .
Sau đây là một số kiến thức về nhóm đối xứng và nhóm thay phiên.
Cho X là một tập hợp. Một song ánh từ tập X đến chính nó được gọi là
một phép thế trên tập X . Ký hiệu S(X) là tập tất cả các phép thế trên
tập X . Khi đó S(X) là một nhóm với phép tốn hợp thành ánh xạ. Ta
gọi S(X) là nhóm đối xứng trên tập X . Ta dùng ký hiệu Sn để chỉ nhóm
đối xứng trên tập X = {1, 2, . . . , n} và gọi Sn là nhóm đối xứng bậc n.
Định lý 5. Mọi phép thế π ∈ Sn với n ⩾ 1 đều được phân tích được
thành một tích các xích rời nhau. Phân tích này là duy nhất nếu khơng
kể đến thứ tự các nhân tử.
Cho π ∈ Sn với n ⩾ 1. Khi đó, theo Định lý ??, ta có phân tích π
thành tích các xích rời nhau
π = (a11 a12 · · · a1k1 )(a21 a22 · · · a2k2 ) · · · (as1 as2 · · · asks )

trong đó ta có thể giả thiết k1 ⩾ k2 ⩾ · · · ⩾ ks . Ta gọi (k1 , k2 , . . . , ks ) là
kiểu của phép thế π .

Mệnh đề 9. Hai phép thế trong nhóm đối xứng Sn với n ⩾ 1 là liên hợp
với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng kiểu.
Cho σ ∈ Sn với n ⩾ 2. Ta nói cặp (σ(i), σ(j)) là một nghịch thế của σ
nếu i < j và σ(i) > σ(j). Dấu của phép thế σ, ký hiệu là sign(σ), được
xác định bởi cơng thức
sign(σ) = (−1)t
trong đó t là số các nghịch thế của σ . Nếu sign(σ) = 1 thì ta gọi σ là một
phép thế chẵn, nếu sign(σ) = −1 thì ta gọi σ là một phép thế lẻ.
Mệnh đề 10. Cho σ, τ ∈ Sn với n ⩾ 1. Khi đó


16

(i) sign(στ ) = sign(σ)sign(τ ).
(ii) Nếu σ là một xích độ dài k thì sign(σ) = (−1)k+1 .

Với n ⩾ 2 ta ký hiệu An là tập các phép thế chẵn bậc n. Khi đó An là
một nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2 của Sn . Ta gọi An là nhóm thay phiên
bậc n.
Cuối cùng trong mục này là một kết quả về độ giao hốn của một
nhóm.
Định nghĩa 8. Cho G là một nhóm. Ký hiệu
C = {(x, y) ∈ G × G | xy = yx}.

Độ giao hoán của G, ký hiệu là Pr(G), được định nghĩa như sau
Pr(G) =

|C|
.
|G|2

5
8

Mệnh đề 11. Nếu G là một nhóm khơng giao hốn thì Pr(G) ⩽ .

7

Khơng gian hữu hạn chiều

Định nghĩa 9. (i) Một không gian vector E trên trường số thực được
gọi là hữu hạn chiều nếu nó chỉ bao gồm hữu hạn vector độc lập
tuyến tính.
(ii) Số lớn nhất của các vector độc lập tuyến tính trong không gian vector
hữu hạn chiều E được gọi là chiều và được ký hiệu là dimR E . Hệ
B ⊂ E được sinh bởi dimR E các vector độc lập tuyến tính gọi là cơ
sở.
Định lý 6. Giả sử E là không gian vector hữu hạn chiều và dimR E = n.
(i) Nếu B ⊂ E là cơ sở, khi đó thì B sinh ra E , cụ thể là spanR B = E .
(ii) E và Rn là đẳng cấu tuyến tính.
(iii) Giả sử ∥.∥1 và ∥.∥2 là hai chuẩn trên E . Khi đó (E, ∥.∥1 ) và (E, ∥.∥2 )
là đẳng cấu topo.


17

(iv) Giả sử ∥.∥ là chuẩn trên E . Khi đó (E, ∥.∥) và (E ′ , ∥.∥E ′ ) là đẳng cấu
topo.
Theo các bài tập trước, không gian định chuẩn hữu hạn chiều (E, ∥.∥)
là đẳng cấu topo với không gian Hilbert Rn . Đây là một đặc trưng rất
mạnh, nhưng nó khơng cịn đúng cho khơng gian định chuẩn vô hạn

chiều.

8

Không gian các hàm liên tục C0 (Ω)

Định nghĩa 10. (i) Cho tập A ⊂ Rn ,
C0 (A) := {f : A → R, f liên tục tại mọi x ∈ A}.
(ii) Cho K ⊂ Rn là tập compact và cho f ∈ C0 (K). Ta ký hiệu ∥f ∥∞ là
một số thực không âm và được xác định bởi
∥f ∥∞ = ∥f ∥∞,K = sup |f (x)|.
x∈K

∥.∥∞ được gọi là chuẩn đều (hay chuẩn vô cùng).

Định lý 7. Cho Ω ⊂ Rn là tập mở và bị chặn. Khi đó (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) là
khơng gian Banach vô hạn chiều.
Chứng minh. Ta sẽ giới hạn khi n = 1 và Ω = (a, b) thì ta phải chứng
minh rằng (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) là không gian định chuẩn vơ hạn chiều trên R.
Ta chứng minh nó là không gian Banach. Nghĩa là phải chỉ ra mỗi dãy
Cauchy (fh )h ⊂ (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) đều hội tụ (tại một phần tử thuộc không
gian). Giả sử (fh )h là dãy Cauchy, theo định nghĩa ta có, ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N
sao cho
∥fh − fk ∥∞ = sup |fh (x) − fk (x)| < ϵ

∀h, k ≥ k.

x∈Ω

Điều đó có nghĩa là

∀ϵ > 0, ∃k ∈ N sao cho |fh (x) − fk (x)| < ϵ

∀h, k ≥ k, ∀x ∈ Ω.

(10)


18

Từ (54), (fh (x))h ⊂ R là một dãy Cauchy. Do dó:
∃f (x) := lim fh (x),
h→∞

∀x ∈ Ω.

(11)

Từ (55), lấy qua giới hạn trong (54), cho k → ∞ ta được
∀ϵ > 0, ∃k ∈ N sao cho |fh (x) − f (x)| ≤ ϵ

∀h ≥ k, x ∈ Ω,

theo định nghĩa thì fh → f đều trên Ω. Do dó f ∈ C0 (Ω).
Tính compact trong (C0 (Ω), ∥.∥∞ ).

Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu đặc trưng của các tập con compact trên
(C0 (Ω), ∥.∥∞ ). Đầu tiên ta sẽ nhớ lại một số khái niệm và kết quả quan
trọng liên quan đến chủ đề compact trong không gian metric.
Định nghĩa 11. Cho (X, d) là không gian metric và ký hiệu B(x, r) là
hình cầu mở trong X , tâm x bán kính r > 0 với x ∈ X .

(i) Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm giới hạn của tập A ⊂ X khi A ∩
(B(x0 , r)\{x0 }) ̸= ∅, ∀r > 0.
(ii) Tập A ⊂ X được gọi là bị chặn nếu tồn tại R0 > 0 sao cho d(x, y) ≤
R0 với mọi x, y ∈ A.
(iii) Tập A ∩ X được gọi là bị chặn hoàn toàn nếu với mỗi ϵ > 0, A được
phủ bởi một họ hữu hạn các hình cầu
B(x1 , ϵ), B(x2 , ϵ), . . . , B(xN , ϵ),

nghĩa là A ⊂ ∪N
i=1 B(xi , ϵ).
(iv) Họ A ⊂ X được gọi là compact dãy nếu mỗi dãy trong A có dãy con
hội tụ về một điểm thuộc A.
(v) Tập A ⊂ X được gọi là có tính chất Bolzano-Weierstrass (BW) nếu
mỗi tập con vơ hạn của A có một điểm giới hạn thuộc A.
Nhận xét 2. Dễ thấy rằng một tập bị chặn hoàn toàn là tập bị chặn,
nhưng điều ngược lại là không đúng. trong không gian topo (X, τ ) các tập
hợp compact và các tập hợp compact dãy có tính chất (BW). Các tính
chất này khơng cịn giữ trong trường hợp tổng quát.


19

Định lý 8 (Các tiên đề chuẩn của tập compact trong không gian metric).
Nếu A là một tập con của khơng gian metric (X, d), ta có các điều sau
đây tương đương:
(i) A compact;
(ii) A là compact dãy;
(iii) (A, d) là đầy đủ và bị chặn hồn tồn;
(iv) A có tính chất BW.
Nhận xét 3. Nếu (X, d) đầy đủ, khi đó A ⊆ X là đóng khi và chỉ khi

(A, d) đầy đủ.
Hệ quả 3. Cho A ⊂ Rn . Khi đó:
A compact ⇔ A đóng và bị chặn.

Định lý 9 (Riesz). Cho (E, ∥.∥) là không gian định chuẩn và ta ký hiệu
BE := {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1}. Khi đó BE compact khi và chỉ khi dimR E < ∞.
Nhận xét 4. Định lý 36 cho rằng một tập A bị chặn trong không gian
định chuẩn vô hạn chiều (E, ∥.∥) không nhất thiết phải bị chặn hồn tồn.
Ví dụ như A = BE .
Định nghĩa 12. Cho A ⊂ Rn . Một họ các tập F ⊂ C0 (A) được gọi là tựa
liên tục nếu với mọi ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 sao cho mỗi f ∈ F, |f (x) − f (y)| < ϵ
với mọi x, y ∈ A thỏa |x − y| < δ .
Ta thêm những tiên đề chuẩn của các tập compact trong (C0 (K), ∥.∥∞ )
khi K ⊂ Rn là compact.
Định lý 10 (Arzelà - Ascoli). Cho K ⊂ Rn là compact và giả sử F ⊂
C0 (K). Khi đó F là compact trong (C0 (K), ∥.∥∞ ) khi và chỉ khi F là:
(i) đóng trên (C0 (K), ∥.∥∞ );
(ii) bị chặn trên (C0 (K), ∥.∥∞ );
(iii) liên tục đều.


20

Hệ quả 4. Cho K ⊂ Rn là compact và cho F ⊂ C0 (K). Giả sử rằng F
bị chặn và liên tục đều. Khi đó F là compact trong (C0 (K), ∥.∥∞ ).
Cụ thể hệ quả này cho ta kết quả đặc biệt sau.
Hệ quả 5. Cho fh : [a, b] → R, (h = 1, 2, . . .) là dãy hàm liên tục. Giả sử
rằng:
(i) ∃M > 0 sao cho |f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b], ∀h.
(ii) (fh )h là liên tục đều, nghĩa là, ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 sao cho |fh (x) −

fh (y)| < ϵ, ∀x, y ∈ [a, b] với |x − y| < δ, ∀h.
Khi đó ta có một dãy con (fhk )k và hàm f ∈ C0 ([a, b]) thỏa mãn fhk → f
đều trên [a, b].
Định lý 11. Giả sử M > 0 là một hằng số cho trước và
F = {f ∈ C1 ([a, b]) : ∥.∥C1 ≤ M }.

Khi đó F là tập compact tương đối trong (C0 ([a, b]), ∥.∥∞ );
Chứng minh định lý 37. Tính đầy đủ: Giả sử có (i), (ii) và (iii) ta chỉ ra
F compact. Theo tính chất của tập compact ở định lý 35 ta có thể chỉ
ra rằng F là một compact dãy. Vì vậy một dãy bất kỳ (fh )h ∈ F có một
dãy con (fhk )k hội tụ về một hàm f ∈ F , nghĩa là,
∥fhk − f ∥∞ → 0 khi k → ∞

Nhớ rằng K là compact và tách được. Giả sử D := {xi : i ∈ N} đếm được
và trù mật trong K . F bị chặn nghĩa là tồn tại M1 > 0 thỏa mãn
∥f − g∥∞ ≤ M1 , ∀f, g ∈ F.

Cụ thể ta thay f0 ∈ F , khi đó:
∥f0 − fh ∥∞ ≤ M1 , ∀h ∈ N.

Hơn nữa
∥fh ∥∞ = ∥(fh − f0 ) + f0 ∥∞ ≤ ∥fh − f0 ∥∞ + ∥f0 ∥∞ ≤ M1 + ∥f0 ∥∞ := M2


21

Do đó ta có hằng số M2 > 0 thỏa mãn
|fh (x)| ≤ M2 , ∀x ∈ K, ∀h.

Bây giờ ta sẽ đi xây dựng một dãy con hội tụ theo quá trình chéo của

Cantor.
Bước 1: (fh (x1 ))h là một dãy số thực trong [−M2 , M2 ]. Suy ra dãy này
có một dãy con (fh(1) (x1 ))h hội tụ trong R;
Bước 2: Xét dãy (fh(1) (x2 ))h ⊂ [−M2 , M2 ]. Do đó dãy con (fh(2) (x2 ))h cũng
hội tụ. Chú ý rằng dãy (fh(2) (x1 ))h cũng hội tụ vì có dãy con (fh(1) (x1 ))h
hội tụ.
Tiếp tục quá trình như trên ta được
Bước k: Một dãy con (fh(k) )h của (fh(k−1) )h thỏa mãn (fhk (xj ))h là hội tụ
với mỗi j = 1, . . . k .
Ta có tình huống sau đây:
Định nghĩa:
gk := fkk : K → R
Lưu ý rằng, mỗi i = 1, 2, . . ., dãy (gk )k≥i là một dãy con của (fki )k≥i . Cụ
thể, dãy (gk )k là dãy con của (fh )h và theo cách xây dựng thì
∀x ∈ D

(12)

(gk )k là hội tụ trong (C0 (K), ∥.∥∞ )

(13)

(gk (x))k là hội tụ trong R

Tiếp tục quá trình và ta chỉ ra rằng

Sử dụng giả thiết F là liên tục đều, tức là
∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 : x, y ∈ K và |x−y| < δ ⇒ |f (x)−f (y)| < ϵ, ∀f ∈ F (14)

Với ϵ > 0 thay đổi tùy ý, khi đó δ cũng thay đổi. Bởi vì K bị chặn hồn

tồn, mỗi σ > 0 có họ hữu hạn các hình cầu B(x1 , σ), . . . , B(xN , σ) của
Rn thỏa mãn N = N (σ), xi ∈ K với mỗi i = 1, . . . , N và
K⊂

n
[
i=1

B(xi , σ).


22

Do tính trù mật của D trong K , tồn tại yi ∈ D ∩ B(xi , σ) với mỗi i =
1, . . . , N . Cụ thể
n
\
K⊂

B(yi , 2σ).

i=1

Vì vậy bây giờ ta chọn σ = δ/2. Khi đó tồn tại N = N (σ) = N (δ) = N (ϵ)
và D′ := {y1 , . . . , yn } ⊂ D thỏa mãn
K⊂

N
[

(15)

B(yi , δ).

i=1

Từ (56) mỗi dãy
(gk (y1 ))k , . . . , (gk (yN ))k ,
¯
hội tụ, sẽ có một số nguyên k¯ = k(ϵ)
với
|gk (yi ) − gr (yi )|, ϵ

¯ ∀i = 1, . . . , N.
∀k, r > k,

Theo (59)
(58)

∀x ∈ K, ∃yi ∈ D′ thỏa |x − yi | < δ ⇒ |gk (x) − gk (yi )| < ϵ, ∀k ∈ N.

Từ đó ta có
|gk (x)−gr (x)| ≤ |gk (x)−gk (yi )|+|gk (yi )−gr (yi )|+|gr (yi )−gr (x)| ≤ ϵ+ϵ+ϵ = 3ϵ ∀x ∈ K
¯
với k, r ≥ k¯. Điều này có nghĩa là mỗi ϵ > 0 tồn tại k¯ = k(ϵ)
thỏa
∥gk − gr ∥∞ ≤ 3ϵ

¯
∀k, r > k.

Nghĩa là (gk )k là dãy Cauchy trong (C0 (K), ∥.∥∞ ). Từ (C0 (K), ∥.∥∞ ) là
đầy đủ và F là đóng, suy ra tồn tại f ∈ F thỏa mãn lim ∥gk − f ∥∞ = 0.
k→∞

Từ (gk )k là dãy con của dãy (fh )h , chúng ta phải chỉ ra rằng F là compact
dãy.
Sự cần thiết: Cần chỉ ra rằng, nếu F là compact trong (C0 (K), ∥.∥∞ )
khi đó ta có được (i), (ii) và (iii). Giả sử F là compact trong khơng gian
metric (C0 (K), ∥.∥∞ ), khi đó, theo tính chất của các tập compact trong
khơng gian metric, F đóng và bị chặn hồn tồn do đó bị chặn. Chỉ ra


23

rằng F liên tục đều, nghĩa là ta phải chứng minh (58). Theo phản chứng,
giả sử
∃ϵ0 > 0 : ∀ > 0, ∃fδ ∈ F, xδ , yδ ∈ K với |xδ −yδ | < δ và |fδ (xδ )−fδ (yδ )| ≥ ϵ0 .

Chọn δ = 1/h và ký hiệu fh := f1/h , xh := x1/h và yh := y1/h . Khi đó ta
xây dựng ba dãy (fh )h ⊂ F, (xh )h , (yh )h ⊂ K
|xh − yh | < 1/h,

|fh (xh ) − f (yh )| ≥ ϵ > 0, ∀h.

(16)

Từ F và K là compact, tồn tại ba dãy con (fh )h ⊂ F, (xh )h , (yh )h ⊂ K
thỏa mãn
lim xh = lim yh = z ∈ K và fh → f ∈ F đều trên K.

h→∞

h→∞

Khi đó tồn tại
lim fh (xh lim fh (yh ) = f (z)

h→∞

h→∞

Lấy qua giới hạn trong (60) ta có mâu thuẫn. Do đó, ta có điều phải
chứng minh.

9

Các đặc trưng của ∆U -vành

Ta biết rằng 1 + J(R) ⊆ U (R). Vành R được gọi là U J -vành nếu U (R) ⊆
1 + J(R), nghĩa là 1 + J(R) = U (R). Lưu ý nếu R là U J -vành khi đó
∆(R) = J(R).
9.1

Các tính chất tổng quát của các ∆U -vành

Bổ đề 1. Cho R là một vành tùy ý, ta có
(1) ∆(R) là vành con của R.
(2) ∆(R) là iđêan của R khi và chỉ khi ∆(R) = J(R).
(3) Với r ∈ ∆(R) và u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R).

Y
Y
Y
(4) Nếu R =
Ri là tích của các vành Ri , khi đó ∆(
Ri ) =
∆(Ri ).
i∈I

i∈I

(5) Nếu R là vành nửa địa phương, khi đó ∆(R) = J(R).

i∈I