Một số vấn đề ổn định và động lực học của môi trường đàn-dẻo và composite

ĐẠI HOC QUỐC GIA HÀ NÒI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
1

♦!♦

-
—
MỘT SỔ VẤN ĐE V Í ỔN ĐỊNH VÀ ĐỘNG Lực HỌC
CỦA MÔI TRƯỜNG ĐÀN - DẺO VÀ COMPOSITE
Mã s ố : QT-00-01
Chủ trì đề tài: PGS-TS ĐAO VÃN DŨNG
Các cán bô tham gia :
GS.TSKH ĐAO HUY BÍCH
PGS.TS PHẠM CHÍ VĨNH
Hà Nội. 2001
BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỂ t à i h a i n ă m
2000 - 2001
1. Tên đề tài
Một số vấn để về ổn định và động lực học của
môi trường đàn - dẻo và composite.
(Some stability and dynamic problems in the eỉastoplastic
and composite media)
Mã số : QT- 00- 01
2. Chủ trì đề t à i : PGS - TS ĐÀO VĂN DŨNG
3. Các cán bộ tham gia
GS.TSKH Đào Huy Bích Đại học Khoa học Tự nhiên
PGS.TS Phạm Chí Vĩnh Đại học Khoa học Tự nhiên
4. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu
Vấn đề ổn đinh và động lực học của các môi trường đàn hồi, dẻo,
composite là một trong những lĩnh vực được nhiều nhà cơ học quan tâm, một

mặt do ý nghĩa khoa học, mặt khác do vai trò ứng dụng của chúng. Do vậy đề
tài nghiên cứu các vấn đề sau đây:
• Ổn định đàn dẻo của bản dưới tác dụng của lực trượt có tính đến dạng
vồng thực của bản.
• Phương pháp giải bài toán ổn định của vỏ trụ với vật liệu nén được
chịu tải phức tạp.
• ứng dụng phương pháp thuần nhất hoá vào bài toán truyền sóng trong
môi trường phân lớp.
• Phương pháp biến thể nghiệm đàn hồi giải các bài toán đàn hồi dẻo
của các kết cấu chịu tải phức tạp.
5. Các kết quả đạt được
a) Phuơng pháp biến thể nghiệm đàn hồi được ứng dụng để giải các bài
toán hai, ba chiều của các kết cấu chịu tải phức tạp rất có hiệu quả. Ớ đây
chứng minh sự hội tụ của phương pháp đối với vật liệu tái bền. Khảo sát bài
toán đối với vật thể tròn xoay chịu tải khôns đối xứng.
1
b) Hệ các phương trình ổn định của vỏ trụ đàn dẻo, vật liệu nén được đã
được xây dựng, ở đây nghiên cứu phương pháp giải bài toán và tìm cách xác
định lực tới hạn của kết cấu chịu quá trình tải phức tạp. Các kết quả thu được
mô tả ảnh hưởng của tính nén được của vật liệu đến sự ổn định của vỏ trụ. Đã
giải một số bài toán cụ thể và lập trình tính toán bằng số. Các kết quả phù hợp
với ý nghĩa cơ học của kết cấu.
c) Sử dụng lý thuyết quá trình đàn dẻo và phương pháp biến thể nghiệm
đàn hồi để khảo sát bài toán ổn định ngoài giới hạn đàn hồi của bản dưới tác
dụng của lực trượt có tính đến dạng vổng thực của nó sau khi mất ổn định. Đã
nhận được biểu thức xác định lực tới hạn. Đã thực hiện các tính toán bằng số
qua đó khẳng định sự hội tụ của phương pháp.
d) Giải bài toán truyền sóng trong môi trường đàn hồi không nén được
với biến dạng ban đầu trong trường hợp xấp xỉ sóng dài. Đã sử dụng phương
pháp thuần nhất hóa của phương trình đạo hàm riêng. Đã tìm được công thức

vận tốc sóng.
Các kết quả nghiên cứu thể hiện trên các công bố sau:
1) DAO HUY BICH: Modified elastic solution method in solving
elastoplastic problems of structures components subjected to complex loading
(Viet nam Journal of Mechanics, NCST of Vietnam Vol. 22,2000, N°3 (133 - 148).
2) DAO VAN DUNG: Method of solution for stability problem of
elastoplastic cylindrical shell with compressible material subjected to complex
loading processes (Part I) (Báo cáo hội nghị khoa học, Khoa Toán-Cơ-Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 23 -
24/11/2000).
3) PHAM CHI VINH: An application of homogenization method to the
problem on wave propagations in a composite layer (Nhatrang 2000
international colloquium).
4) DAO HUY BICH : On the elastoplastic stability of a plate under shear
forces, taking into account its real bending form (Vietnam Journal of
Mechanics, NCST of Vietnam, Vol. 23, 2001, N°1 (6 - 16).
5) DAO VAN DUNG: Solving mothod for stability problem of
elastoplastic cylindrical shells with compressible material subjected to
complex loading processes (Vietnam Journal of Mechanics, NCST of Vol 23,
2001, N°2 (69 - 86).
6. Tình hình kinh phí
+ Chi cho hoạt động xẽmina 20 buổi thuyết trình
(mỗi buổi 50.000đ)
+ Chạy chương trình trên máy tính
+ In ấn tài liệu, đánh máy
1.000.000đ
1.500.000đ
1.000.000đ
+ Chi 5 báo cáo khoa học (mỗi báo cáo 300.000đ) 1.500.000đ
+ Bồi dưỡng chuyên môn

+ Các bài báo khoa học
+ Hội nghị và các chi phí khác
2.000.000đ
2.000.000đ
5.000.000đ
Tổng cộng hai năm 14.000.000đ
7. Nhận xét và đánh giá kết quả thực hiện đề tài
• Đã hoàn thành tốt các mục tiêu nghiên cứu, các mức dự kiến, vượt
chỉ tiêu về số lượng bài báo và báo cáo khoa học.
• Các vấn đề nghiên cứu có tính thời sự và có khả năng ứng dụng trong
thực tiễn.
• Sinh hoạt học thuật đều đặn thông qua các xêmina khoa học góp
phần nâng cao chuyên môn cũng như đào tạo cao học, NCS. Góp
phần phát triển ngành cơ học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội.
XÁC NHẬN CỦA BAN CHỦ NHIỆM KHOA CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI
PGS.TS Đào Văn Dung
HuLt Co >\£ị
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG
SOME STABILITY AND DYNAMIC PROBLEMS IN THE ELASTOPLASTIC
AND COMPOSITE MEDIA
DAO VAN DUNG, DAO HUY BICH, PHAM CHI VINH
In this project, our staff have studied the following topics
1. Modified elastic solution method in solving elastoplastic problems
of structures components subjected to complex loading
2. Solving method for stability problem of elastoplastic cylindrical
shells with compressible material subjected to complex loading
prosesses.
3. On the eỉastoplastic stability of a plate under shear forces, taking
into account its real bending form.

4. An application of homogenization method to the problem on wave
propagations in a composite layer.
Results : 3 research papers have been published in Vietnam Journal of
Mechanics and 2 research reports presented in the national
and International conferences.
V ietnam Jo urn al of M echanics, NCST of V ietnam Vol. 22, 2000, No 3 (133 - 148)
MODIFIED ELASTIC SOLUTION METHOD IN
SOLVING ELASTOPLASTIC PROBLEMS OF
STRUCTURE COMPONENTS SUBJECTED
TO COMPLEX LOADING
D ao H uy B ic h
Vietnam National University, Hanoi
SUMM ARY. Modified elastic solution method in the eiastoplastic process theory has
been proposed by the author [2j and was applied in solving some 2D and 3D elastoplastic
problems of structure components subjected to complex loading. The method makes use
of an algorithm in which a step is made in the loading process and iterations are carried
out on this step. The performance of the method was fulfilled and the convergence of the
method was considered numerically. In this paper the other performance of this method is
presented and the convergence of the method is proven theoretically in the general case of
a hardening body which obeys the elastoplastic process theory. The more complicated 3D
problem of bodies of revolution subjected to non-axially symmetric load is investigated.
1. B o u n d ary value problem of the elasto plastic process the o ry and
m odified elastic solution m ethod
The form ulation of the boundary value problem of the elastoplastic process
theory and analysis of the existence and uniqueness theorems have been carried
out in [3, 4|.
Let Kt(x, t) and be external volume and surface forces that act on
the body and let pi(x,t) be displacement on the body’s surface. It is necessary to
find displacem ents u t(x ,i), strain tensor and stress tensor Ơtj(x .i), where
t - the loading parameter, that satisfy the following equations

IG n,
i GH,
(1.1)
(1.2)
Sij = ^Atij + {P - A)
(1.3)
ơ = 3Ke = K9.
133
and the boundary conditions
where
OijTi] = Ft, X € sơ,
tlị = X £ )
n = nus, sơusu = s, sơnsu=(ò, teịo.r],
= Ị Vudt = Ị (gẽ yéi;) dt-
0 0
tVio n r n r o c c t K o n n j n f a v p r a ơ p <
(1.5)
(1.6)
c _ 5ijC,;
COS 0] —
Remark. If we are concerned with the process theory of average curvature, then
in relationship (1.3) we put
For later use, for setting up the modified elastic solution method, we represent
A = 3G(1 — Wj), P = 3 G ( 1 - w 2), 0 < Wj < 1, 0 < w2 < 1,
then for the genera] elastoplastic process theory
1 — cos 61 \ a'
- f r - — ) h - f 1— * * 9')'
V 3Gs) t V 2. )3Gs Ì t V 2- J
= (i - — ) fi Í1 ~ cosei)^ '
V 3 G ) . 2& cos 01 .

(1.7)
2^C0SỚ! .
and for the process theory with average curvature
W| = 1 -
o.
= 1 _ i l
3Gi ’ 3G
(1.8)
The stress-strain relationship (1.3), (1.4) can be rewritten as following
Ơ«J =
Dljk(ẻkt — (Etjki — Htjki)Ẻkíì
134
(1.9)
where
Eijki — (K — -G^ỏiiỏkt -f- G(6ikSjt + SilSjk),
2 s s (l-10 )
Hijkt — — -Gui\6ij6ki + Guji(6ikSji + ỏiiỏịk) + 3G(u2 — '
3 ơắ
For any sym m etric tensor Eij we have
2
Dijki£kt£ij — 2GeijEij + — -G^ớ2
— 2Gu>i (eịjEtj — -(efcfc)2) •+■ 3G(w2 — wi)~—~ \ 7'
L 3
Since UJ2 > Wi, sxj£ ij

Ớ2 > 0, thus the expression in the square brackets is
positive. On the other hand,
Dijki£%i£kL > + K82 — 2G (l — Ui2)£ij£xj + KO2
Ó
> (1 - u2) [2GeijSij + ( i f - ^ g ) ổ 2' .

Consequently,
(1 ^2)Eijkỉ_£ki£ij ^ Di] — Eijkieki€ij■
Now w e subdivide the range of variation of the loading parameter t into N parts
and denote t at the nodes by tn (n = 0,1,2,, N). Denote respectively
Ui(x,tn) = uỊn) = uị0) + A uịm) = + A u ịn),
m= 1
r ỷ ) = - *-(°) 4 V 4. A f*n)
etj(x,tnỊ = eỴj - 4- 2 ^ * eij - eij + A Sy ’
m= 1
n
\ _ _ ( n ) (0) , V - " ' A _ ( m ) _ (n — !) , A (n )
msl
jr ,(x ,í„ ) = ft-,*"1. F,(z,t„) = FỈn\ <ữ,(x,t„) = v ỉn>-
At each step n = 1 ,2 , ,N of the change in the above - mentioned quantities,
from (1.1) - (1-6) and talking into account (1.9) we set up the following system of
equations
135
dxj
x e n ,
(1.12)
where {Htjkt^n^ is an average quantity of Htjki in the interval (in_ i , i n) which
In approximation we take {Hxjià) lj ■ the system of equations (1 .12 )
car be considered as a system of equations for a certain inhomogeneous anisotropic
elastic body with additional volume and surface forces. This system of equations
is solved step by step, beginning from the first step n = 1. At the n-th step,
E*"-1 ', are known functions, which have been determined at the
(n - 1 )-th step, the problem leads to determine and At
each step in the loading the problem generally is nonlinear, so we will solve it by
using an iterative method - a modified elastic solution method |2, 3] - which is
analogous to the elastic solution method in the deformation theory of plasticity

i 1, 5, 8,. Non-linearity of the problem is expressed in the constitutive equations,
i.e. the third relation of (1.12). The procedure of the modified elastic solution
method on this relation is written as follows
where k 1 ,2 , IS the number of iteration on the n-th step of the change in the
loading parameter. In the result at n-th step and k-th iteration, we can write the
system of equations in the form
can be taken as ị{Hịjkil) + Hịịkt)-
(n,k) = (n—1)
+ pK\n) = 0, ien,
(1.14)
136
(1.15)
The system of equation (1.14) and the boundary conditions (1.15) represent
a boundary value problem for an elastic body with the same elasticity constants
Exjkt 35 the initial body but with changed volume and surface forces.
After the system of equations has been solved, i.e. Au-"^ known, the displace
ment is represented as = uịn ^ + A u-n^. The strains axe determined
from the Cauchy equations, these strains are then substituted into the constitutive
equations (1.3), from where are obtained.
2. O n th e convergence of the modified elastic solution m ethod
The modified elastic solution method was applied in considering stress and
strain states of some 2D and 3D bodies subjected to complex loading [3, 9, 10,
11]. From obtained numerical results, we can talk about the convergence of the
m ethod. Generally, results of the third and fourth iterations are already closer to
each other; they diSer from each other with small errors.
Now we introduce the proof of the convergence of the method theoretically.
For this aim we bring into use the functional Hilbert space H(n) with the
norm
n
Let A v be any smooth vector function such that

A v = |A u ,} and A u,-= 0 on Su,
A v is considered as a variation of the displacement increment. M ultiplying the
first equation of (1.14) by Av, and integrating which over the entire volume fl of
the body we obtain
(2.1)
/ + / pK,Avidn = o.
137
I ( £ , , « - =
n
- - f a{n-l)Aetj{v)dii + Ị pKiAvidn + J FtAvidS. (2.2)
Analogously (3], we can show that the expression on the left hand side is a linear
and continuous functional on tf(n ). It follows from Riesz’s theorem th at there
exists an operator A : H{n) - H'(n), where B ‘{n) is the dual functional space
of H{n ), such that
(Au,v)fỉ = Ị (Eijki ~ Hiiki)A£ij{u)AEij[v)dri.
n
Let known function ữ\" £ L2 and Ki E Lp (p > 6/ 5), Ft € Lq {q > 4 /3 ), then
the expression at the right hand side of (2.2) is also a linear continuous functional
on H{n ), and there exists an operator L : E —*• H' such that
- / í - ' ) A ^ - r Ị pKt&Vidĩl + Ị FtAvtdS = (L, tij'g
n n s„
The equation (2.2) reduces to an equivalent operator equation
Au = L, u e H{n ). (2.3)
A generalized solution of the boundary value problem (1.14) - (1.15) is also a
solution of the operator equation (2.3) and conversely.
In the case, when iterations are carried out, we put Hijki = . Using
the inequality (1.11) we can prove that, the operator equation (2.3) has a unique
solution (similarly [3, 7]).
Now consider the convergence of the above mentioned method. Because of
the scalar product in # ( n )

J Ei)kt&Ekt{u)Aeij(v)dũ = (u,ư)tf,
n
and from the existence of the fundamental operator A, then
y ir ‘"ũ,>A£M(u)Aeiy{r)án = (B-u,v)„,
n
Using the divergence theorem and the boundary conditions (1.15) we have
138
the equation (2.3) is rewritten in another form
Au = u — B*u = L,
(2.4)
or u = B*xi + L = Qu.
'U _ _
.
' T he algorithm of the modified elastic solution method for solving the equation
(2.4) is as follows: on the fc-th iteration to seek from the equation
I u(fc) = ộ u (fc_1). (2.5)
From (2.4), (2.5) we have
(Ui*+1) = (QU(*)- Q ^ k~l\ v ) H = {Bmnw - B , vl^ - x\ v)h
= I (“ ) - - ffíỷfc£l)A 4 ĩ " 1)(u) ) A et7(u)dn
Ỉ n
■ = j H ^ l)A£kí(u{k]-u^k~l))A£ij{v)díì.
n
Using the inequality (1.11) into the last equation, it follows
(u (fc+0 < max(w2) Ị £,,w A £W(u(fc) - u1*-1))Aety(v)<ifi.
n
By putting u = the obtained result reduces to
||u(*+1) _tt(fc)||^ < maxw2
Ị E i
Aevj(u^"t'1^ —
n

(2.6)
Further, applying the Bunhiakovsky, Cauchy-Schwarz inequalities into functional
n
= I 2GAeij{u{k) - n {k- l))*Cij{u[k+l) - u w )dil
n
+ 9K I A e (u W -u (fc_1))Ae(u(fc+1) - u(fc))<in
a
139
we obtain
I < ( j 2GAe i(u,*> - - u '‘ - ‘>)<in) 1/2
n
X ( í 2GAemn{u{k+l) - u W )Atmn{u{k+l) -u W )d n )
+ ( Í 9KAe2[uW - u {k- l))dũỴ/2( Ị 9KAe2{u^k+í) - u ^ )d ũ Ỵ /2
< ( f 2GAeiy(u ^ _ u^-'))Atl](uW - u ^ ) d n + 9 K I Ac2(u(k) - u ^ ) d n
X ( f 2GAemn(u(fc+1> - u^')A emri(ti^+^ - u(fc)) ^
Since max(u*2) < 1, the operator Q is compressible, from (2.7) one can lead the
is equivalent to 4>'{s) > 0, i.e. the material must be hardening.
3. Perform ance of the modified elastic solution m ethod for the prob 
lem in curvilinear coordinates
On curvilinear coordinates the system of equations (1.14) is of the form
or
U(k+1) _ < m axw 2|lu^ — u^k
(2.7)
convergence of the iterative method. The condition m axu 2 = max ( 1 — < 1
(3.1)
(3.2)
and boundary conditions
(3.3)
140
where

Ei’kt = \g'’gkt + G ( i‘V * + s ’V ‘ ),
j-jM = A o j j i g * + Gw.tsV' + s'Vlt) + 3G(*2 - « 0^ 4 ^ ,
3 ' <72
Vj denotes the covariant derivative with respect to X1;
gtJ - metric tensor of curvilinear coordinate.
For investigation of the body of revolution subjected to complex loading, we
usually consider the problem in a cylindrical coordinate
{r,<p,z) : g11 =
1
, g22 =
4
, g33 =
1
, glj =
0
(t Ỷ j).
r
Denote A u r = A u, Au^, = Aư, Aur = Aw, the strain increment components are
determ ined by Cauchy equations (3.2):
dA u 1 ỚAv Au dAitf
^ rr = ~ = — H ~ , Aéĩzz — — ,
ơr r ƠV3 r az
1/1 dAu dAv At/\ 1 / dAv ldA w \ In A\
A £- = z ( r i r + a T r )■ A£- = 2 ( 1 7 + r i r ) ' ( M
1 /dătv <9Au\
A e" = 2 \ ~ ã T ' ,' ~ ã 7 ) '
The system of equations (3.1 ) in this case reduces to
0 1 />/đn)
R*z (n 'k ~ l)
VAw1,1 + ——

=





+
1 — 2z/ dz G G
(V * - ± ) A u < -‘ > - + ĩ ^ ^ Ị r - =
y-(n ) J?{n~ 1)
p a ; rtr (3.5)
G G G ’
, , 1 . . . . 2 ỞAttt"**) 1 1 Ở A d ^
(V 2 - _|_ JL

Z-

+ . 1 — L

=
V r2> r2 dip 1 - 2u r dip
pKi"' s i r 1' , K i*'k~‘)
~ G G + G '
where
dAw dAu A u 1 dAv
A0 =

4 . - 4 .

V 2 =
dz dr T r dip
3
ỏ2 1 —
1
d
dz2 dr2 r dr r2 dip2 '
141
*<»-!) = + 1 (3.6)
2 dz T dr r dtp
(m n dơị"~1^ 1 dịrơir , 1 dơịp ^ ơ£<p ■*
* < n -„ = — ^ + 7 ^ - - ^
p (n -l) d g £ . 1 d[rơrỳ ) 1 ơơỉpy , grg
J ^ dz T dr r dip r
-R*, J2‘ , 7?^, have similar forms to (3.6), where
a't] = 2Gw1(A e1-y - + 2G(u>2 - m ) 5ijSfc*A g -■ { i j = r,<p,z). (3.7)
By combining with boundary' conditions, we have the solving equations. Conse
quently, at each iteration it is necessary to solve a problem of linear elasticity with
new supplementary volume and surface forces.
4. P articular case. Numerical example
A short cylinder of radius R and length L rotates with angle velocity u(t)
and is subjected to axesymmetrically with respect to axis z tangential and normal
z r
forces. Introduce variables f = —, p — —, ip and Í, the stress and strain compo-
K R
nents do not depend on variable <p, furthermore, there are no torsional forces, the
stress state is determined by ơzz, ơrr, av<p. orz, the strain state - by eZZf e rr, E ,^ ,

Crz and radial displacement - Ru. axial displacement - Rw.
The system of solving equations (3.5) becomes
V 2A „,l t) . 1 aA 0l"'t| ÃẮ""11
1 - 2 *'Bí a + G '
(v » - 1 ) A . ( . « + , i _ 9 A *,n't) = _ p n M _ Ể ỊỊ H + « (*,‘ “ ) .
V pV 1-21/ ôp p G G

’
where
dAti A u dAu;
A0 =

1- —- -j

dp p df
U'2i22 7
n =
G s ’
d o lT l) dainr l) < 4 r 1} (4,2)
dp df
ag<;-
dp d£-
JJ(— II = ft’- ' 11 ^ a ^ r 11 _
p
142
£ * (n,k 1)^ £•(»>* 1) have g^niiaj forms to (4.2) where
*(«,*-!) = 2Gu;in- 1)(A e (n’;c- 1) - - Ao ^ -vỏ ii)
q(n—l) c(n—l) . (n,k—l)
L 7 r i , i » - 0 . .(*-t)\a»V /• ■ V
{. 2 - “ i J—*

—(" l l h 2

’ (*\j = r,<p,z).
K )
Boundary conditions are of the form:
a) w ith p = 1
l - u dAu<n’*) I/ ỠAu7<n-*>\ F,(n) ơí?“ 1} <r;r(n,;c_1)



1



I —

+

I =

—— J

L—

l - 2 u dp I - 2v \ p df T 2G 2G 2G
1.(dAw^'V , dAu<n’kh FÍn) a í r 1} . ơ‘rịn'k~l)
2 I dp + / ~2G 2G + 2G ’ ^4'3^
b) w ith c = = t
1 —t/ dAu)(n’^ ư /<9 A u(n,lz} Au(n’^ \ ^3^ ffiz ^ &'zzn,it ^

ĩ - 2i/ dc + I — 2u \ dp + ~p ) ~ 2G 2G + 2G
l/ỡ t u < n-*> a A u W N F4(n) Ơ&T0 , ơ‘r(2n'k~l)
2 V dp + d f / ~2G 2G r 2G ’ (4’4)
c) w ith f = 0
1 — ỉ/ dAuj(n'k) ư (dùíu(n,ki Au^n,;cK Fj"* ơzin,lz~L^
1 - 2i/ dị + 1 - 2 iA dj, 1 "ạ Ì ~ ~2G 2G 4 2G ’
1 /dAw<"'‘> dAul”^ F,<*> air" , a;*"’* -11
l ( 3p ' H i f ) = 2G 2G ~ 2G ’ (4-5)
where Ft (i = 1 ,2 )- normal and tangential forces acting on cylinder surface /7 = 1 ;
F, (i = 3 — 6) - forces acting on butt-ends of cylinder; ^ - known values of
stress com ponents at preceding step (n — 1-th step); ơ‘ìjn,k ^ - also known values
at considering step (n-th step) but on preceding iteration (k - 1-th iteration).
Following [6Ị in order to solve the homogeneous system of equations (4.1) we
express surface forces F[n\ Fịn^ and
in Fourier series
•f'" ’ = f > i , c o s J : tC, f i 4- ' ! = f ^ n a a k i i ,
.=1 »=1
F2(n) = f £ - 1) -
1 = 0 »= 1
(4.6
and the solution of the homogeneous system of equations corresponding to penodii
surface forces is of the form
oc
Aw™ = ~ Y t[CipIi{kip) + (C
»=]
A u ^ =
^ 2
ịCiPlo{kip) -rCĩỉiịkiP)
1=1
4 — C2 ) ỉoi^ip)

ki
cos kịỊ,
sin /Cjf,
(4.7
where /c, = — , /, - modified Bessel functions of first type, ĩ-degree.
t
A particular solution with respect to volume force has the form
Aw{n) = 0,
Au™ = -
n 1 - 21/
16 1 — ỉ'
(4.8
For seeking a particular solution with respect to supplementary volum e forces
G G ~ G ’ G + G ~ G
we express them into series
^ { gi0} + 5 Z G! i ) j o(AJp )| sinfcif,
*=1 j= i
ỹ = L E c!?Ji (aj/,) cosìc‘í ’
(4.
i=lj=l
where
144
(1 ) = ọ _ ọ .
ÌN
p^ sin kị$dpd$
"i0 - 1 I
Ị Ị psin2 ki$dpd<;
Pi.:
0 0
/ / — smkiỉdpdỊ

(!) _ 0 0
Í- ' 1 n \
aij ~ I £ ’ (*» J — 1 5 2, . . . )
1 £
J y ^ o (A ;p )psin 2 kitdpds
0 0
/ / cos k<SdPdS
= 0 0 7 7
, (i = 0 ,1 ,2 ,. . . j = 1 ,2 ,3 , )
1 Í
Ị Ị ^ (A jp J p cos2 kt$dpd<;
0 0
here Aj is a solution of the equation
J, (A,■)=<>,
Jt- - Bessel function of i-degree.
A particular solution with respect to these forces has the form
re
oo oo
Au;(if) = n + ^ ftiy) j o(A ;P )}sm fc1-f,
t=i ;=1
A u (k) = ^ b\f Ji{\jp) cos/ctf,
1=0j= l
(4.10)
where
, m - [I1 - 2")*? +■ 2<1 - ^ K ” ,, _ , „ , . , _ „ , „ ,
*■» = 2(1 - Ĩ Ẹ ỉ - Af)

, (. = 1 ,2 ,3 , ; ; = 0 , 1 , 2 , . . . ) ,
kiXjoQ* - [(1 - 2u)\2 + 2(1 - u)kf}a[f .
l(2) _ • £ 0 lv

_____________
’ J ;
__________
/ t J i; It = 0 1 2 • 7 — 1 9 3 1
b\‘ =

2 ( 1 - ! ,) ( * ? + xf) ; u -0,1 ,2 , ; J - 1,2,3, ).
145
The general solution (4.7) contains undetermined constants, which can satis _
boundary conditions on p = 1, taking into account expansion (4.6) with kx -r 0.
But with Jfc, = 0 it must be to seek a part of the solution of homogeneous (4.1) m
elementary functions
Atu(s) = Al f , (4 1 1 )
Au^s ^ = Ai P-
Hence, the general solution of the system (4.1) as follows
Ail> = &W{T) -p Au>(5) + Au;(n) + Au;(K), 12J
Au = A + Au<s) + Ati<n) + A u (ỉf), '
■which contains 4 arbitrary constants Ci,C2,A\,A2- They are sufficient to satisfy
exactly boundary conditions at p = 1 and integrally boundary conditions at butt-
ends of the cylinder.
Numerical calculation was carried out for cylinder made of steel 15X18H12C4TIO
L ộ' _ I
with the following characteristics: — = 4. os = 800 MPa, -=r = 0.32, 1 — -
R 4
(incompressible material) and under externa] loading
_ / 2z \
Fi (z, t) = 0, F2{z,t) = T2(í)ơs sm 7r( ^ - l),
^ ( M ) = F5[r,t) = p3{t)ơ„,
FA{ơ,t) = -Fe[r,t) = r 4(í)ơaJi(A ir),
where 72(i), Pz{t), T4 (i) may depend arbitrary on a parameter t. It m eans that

the loading process may be complicated.
Calculations in solving the problem have been fulfilled on PC with PASCAL
programme |9]- .Subdivide loading parameter t into steps, increasing from 0 to 40
and solve the problem step by step. At each step 4 iterations were carried out.
From the results it can be seen that
a) The error between two successive approximations decreases when the number
of iterations increases, i.e. the condition (2.7) is satisfied. It is shown th at the
modified elastic solution method can be applied to this problem and. its convergence
Las been proved.
b) When the cylinder IS subjected to th6 sains loading process, if we subdivide the
loading process into smaller steps, the error between two iterations of all quantities
is also smaller, i.e. the error decreases.
c) With the same value of load, the plastic deformation region in the cylinder
appears differently depending on the character of the loading process which reaches
146
that value: the loading process is more complicated, so the plastic region is more
enlarging. Under com plex loading the body works more weakly.
d) E stablished calculations may give a picture of elasto-plastic states of the cylinder
under axesym m etrical loads. Further we can consider elasto-plastic problems of
the cylinder under non-axesymmetrical loads by the above mentioned method.
5. Conclusions
a) Another performance of the modified elastic solution method in theory of
elastoplastic process is presented.
b) The convergence of this method is proved theoretically in the general case
of a hardening body with a supplementary assumption in approximation.
c) The application of the method to the more complicated 3D problem of
bodies of revolution is considered.
This paper is completed with financial support from the National Basic Re
search Program in Natural Sciences.
REFERENCES

1. Birger I. A. Some general methods for solving problems in plasticity theory.
J. Appl. M ath. & Mech. Vol 15, No 6, 1951, 765-770.
2. Dao Huy Bich. The modified method of elastic solution in the elastoplas-
tic deformation process theory. Journal of Sciences, Hanoi University, series
M ath, and Phys. No 2, 1985, pp. 1-6, in Vietnamese.
3. Dao Huy Bich. Research on boundary value problem of the local theory of
elastoplastic deformation processes. Dr. Sc. Thesis. The Moscow State
University 1988, in Russian.
4. Dao Huy Bich. A boundary value problem of the elasto-plastic deformation
theory: Existence and uniqueness theorems. J. of Australian Math. Society,
Vol. 35. part 4, 1994, pp. 506-524.
5 Ilyushin A. A. Plasticity. Gostechizdat, Moscow 1998, in Russian.
6 Lurie A. I. Space problems of elasticity theory. Gostechizdat, Moscow 1965,
in Russian.
7 Pobedrya B. E. Numerical methods in the theory of elasticity and plasticity.
Publ. House of Moscow State University 1995, in Russian.
3 Vorovich I. I., Krasovsky Yu. p. On the method of elastic solutions. Dokl.
147
Acad. Nauk SSSR, Vol. 126, No 4, 1959, pp. 740-743, in Russian.
9. Vu Khar Bay. Elastoplastic state of a short cylinder under complexAloadmg.
J. of Mechanics, Vol. 17, No 1, 1995, pp. 1-8, in Vietnamese.
10. Vu Khac Bay. Investigation of elastoplastic states of some structures subjected
to complex loading by the modified elastic solution method. Ph. D Thesis,
Hanoi 1996. in Vietnamese.
11. Vu Khac Bay, Dao Huy Bich. Investigation of elasto -plastic state of cylin
drical] shell subjected to complex loading by the modified method of elastic
solution. Proceeding of the NCST of Vietnam, Vol. 8, No 9, 1996, pp. 3-14.
Received August 17, 2000
PHƯƠNG PHÁP BIẾN THỂ NGHIÊM ĐÀN HÒI GIẢI CÁC BÀI TOÁN
ĐÀN HỎI DÈO CỦA CÁC KẾT cấ u ch iu tải p h ứ c t ạ p

Phương pháp biến thể nghiệm đàn hôi trong lý thuyết quá trình dàn dẻo do
tác giả đề xuất đả dược ứng dụng để giải một sỗ bài toán đàn hồi dèo 2 chiều và
3 chiều của các kết cẩu chịu tải phức tạp. Phương pháp này cho ta thuật toán
giải tiến bước theo tham sỗ tải và tại mỗi bước (giai đoạn đặt tải) thực hiện phép
lặp gằn đúng lién tiếp, tại mỗi gần đúng ta có bài toán đàn hồi tuyến tính thuần
nhát nhưng với lực khối và lực mặt thay dổi. Đã tiến hành cách thể hiện phương
pháp và khảo sát sự hội tụ của phương pháp qua các thí dụ bang số. Trong bài
báo này trình bày một cách thể hiện khác của phương pháp và chứng minh chặt
chẽ sự hội tụ của phưcmg pháp trong trường hợp vật liệu tái bền và tuân theo lý
thuyết quá trình đàn dèo. Bài toán ba chiều phức tạp hom đổi với vật thể tròn
xoay chịu tải không đối xứng trục đã được đề cặp đến.
148
Hội nghị khoa học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
Hà Nội 23-24/11/2000
METHOD OF SOLUTION FOR STABILITY PROBLEM
OF ELASTOPLASTIC CYLINDRICAL SHELL WITH
COMPRESSIBLE MATERIAL SUBJECTED TO
COMPLEX LOADING PROCESSES
(Part I)
DAO Van Dung
Vietnam National University, Hanoi
A DSTR AC T. The system of stability equations of elasto plastic cylinfitic.ll shrll m.vlr
of compressible material was established in work Ị31. Ill the present paprr, VVI- study
the solution and methods for determining critic.il load of structures snbjectrrl to rnmplex
loading processes. The results obtained describe the influence of the comprrssiliilily of
material on the stability of shell. Wlicn a material is incompressible. WP can rrrovr, from
these results, the previous well-known ones (see |1, i, 5|).
1. Stability problem
Let’s consider a cylindrical shell of length L, radius R and t.liickucss /(. Wo
clioosc X\ lying along the generatrix of the shell, Ti — R0\ with 01 - Llip angle of

circular arc and 2 in the direction of the normal to the middle surface.
Assume that a material is compressible and a stress state in the plructurp is
<1 mrmbrĩine plane stress state. We consider the shell being acted by the rxternal
forcos Pn, p 12, P22 which depend arbitrarily on some loading parameter t. One of
the main aims of the stability problem is to find the moment when the instability
of structure happens and respectively the critical loads í 4, p't] = Suppose
that the unloading does not happen in the structure. We use f.he r-rilrrion of
bifurcation of equilibrium state to study the proposed problem.
An analysis of the elastoplastic stability problem is always made ill two parts:
pre-buckling process and post-buckling process.
1.1. Pre-btickling procoss
Suppose that at any moment t there exists a membrane plane stress slntr in
thp shell
St) that
ơị 1 f- Ơ22 Pi 1 t- P22
Ơ —

-

—

3 3
ơ« - y ° n - ƠMƠ22 I- ƠJ2 + 3ơ?2 = \/p Ĩi — P11P22 + P22 + 3P|2 •
The components of deformation velocity tensor determined according to thf* theory
of elaatoplastic processes Ịl| are of the form
é It - ~ P\\ I- -P22) - Q(-S,0 (pn - -P22) - '*■ P” )’
É22 = — ( - P22 + - ^ (s'0(p22 - -P ll) . - ^ ( p 11 ■*' i’72)'
£-13 = 1 1 P22) +■ -Q (s,i)(pil + P22) - ^ ( p u + P22),
ẻ!2 = - ^ r - ^ (M ) p ,2. (1-2)
where

~ (^' ~~ "v ) ~T (Pll^n + P22P22 - ~PuP22 - “ P22PII 4- 3P(2Pl2)i
5
D ie arc-lcĩigth of the strain trajectory is given respectively by the formula
(is \Ỉ2 */2
= — (ẻi I — ẻ2ĩ)2 + [Ẻ72 - £33)2 + (ẻ33 - éi 1 )2 + 6éỊ2 = F{s,t). (1.3)
(it 3 i
So, WP can determine, Trom obtained equations, stress and strain stairs of the
cylindrical shell in the pre-buckling process.
1.2. Post - bu ck ling process
As shown ill |3|, the system of stability equations of the cylindrical slieil is
written in the form
d*ip ^'P n d“V
"11 = P i l l 17 1 2 — ~P\2, Ơ22 = —P22) ơ 1 3 = ơ23 = Ơ . T 3 = 0. ( 1 - 1)
d'V a n d'V n dA<p
dx\ 2 dx\dx2 1 3dx]dx%^~ A dx\dx\
d*tp N d2Sw
♦-fcaif+R f e T " 0, (M|
d*6w d^Sw d*bw d^Sw d^bw
a ' dx \ ^ ° 7 dx^dx2 3 diịdxị + dx\dx\ + 0:5 dxị
9 / d25w d25w d26ui 1 d2'p\
ụ ĩĩh A p" ^ 1+2p,íã ^ ã ĩ I + '’” l j ĩ Ị r t ã ĩ ỉ J " °-
2
where
/?, = 1 I i f / : . - Q f 2£ L r Ơ11) 2 +
4 \ <£' A £fu / g / f ’
f t = - n ( ^ - i ) g i i ! g »
* = 2(‘ * £ ) +ì(ỹ ♦ < - o r a ' -
„ - 1//V .\/2 ơ |l~ Ơ 2 7 \^
9ft ’
0,1 i/v

a 7 =

4/V
ry-1 a s

4/V
( Ỡ II Ơ 11 — ^ 12^ 22 ) - 77* + 2 D i 3 — D
K
2( 1 ơ| 1 - D I 2Ơ22 ) + 2 £>31 —~ r ~ - 4 z?32 — 2Ư33
M
(^22 ^11
1ƠI1 - ^ 12ơ22 ) "Y + ^13 - 2^14 + (— i?2lơị! f IJ22ơ22 ) 2
u
Ơ?,
- 2 D23 'I' ^24 'I '1JƯ3| ~z* I- 2D 34
ƠÍ
=
«5 =
4/v
3
4/v
2( —/^2IƠ1 ] ^ D22Ơ22) ~~T 2z?3 1 —

2Z?32 - 4ZJ33
Ơ22
( —D 2 1 Ơ11 -t- u 2 2 Ơ 2 2 ) —y — D23 4- 2 D 24
TIic coefficients Dij in (1.6) are calculated as follows ị3|
ƠƠ22 \ _ A ( B ƠƠH )
3 Kơị)' C\ZIC ĩKơịì'
„ u í. . u . t ơcr22 \ B ( B ƠƠỊI \

D '3 ~ c \ + ĨK + ' 3ĩ<ơ2J ' U ~C\2K+ 3Kơịì'
t>n = i l ể + * ỉ £ ) -
o \ j /1 o i \ u Ũ 7
( 1.6)
A ( B
D" = c(l + ấ +
D r . D
c
A ( B
(1.7)
„ D / D ƠƠ22 \
c u / f 3 Kơịì'
A2 ơ(ơu +ơ2ĩ)
D^ - ‘A ~ C 3 Kcl
B ( B
c
A
c
D
^ A I . . B . ƠƠ11 \
” ~ c i 1 + 2K + yl3JYỜ0’
D Ị D ƠƠỊI \
Dỉí = c ( 1 + ế +/1^ ỉ ) '
/1B ƠƠ12 /1B ơơ,2
L/t? — —~

r , U'X'X ~ —

T .
c 3/íơỉ’ c IKơị

2D ơ(Ơ 11 “f" 2 2) / 2
In order to solve the stability problem of shell, we suppose that the kinematic
boundary condition is simply supported at the planes Ij = 0 and I | = ỈJ.
2. Method of solution
We find the solution 8w in the form
e
_
J . /mirx Ị nx2 \
(2.1)
It is easy to see that this solution satisfies the kinematic boundary condition in
the sense of Saint-Venant.
Using the expression of ỎĨV and the equation (1.4), we obtain a relation for
determining the function ip. The particular solution of this equation is of Hie form
. fmirxi nx2 \
¥’ = u’""sin( L + n )■
(2 .2 )
where
N
- 1
(2.3)
Substituting (2.1) and (2.2) into the stability equation (1.5) and taking into ac
count the existence of non-trivial solution i.e. Amn r 0, we receive the expression
Tor defining critical loads
/rmr\2 (m n \/n \ , r t \ 2
p ,,( t ) + 2',i3 ( ' r H r t ) ’hP22(n ) =
( h2 r /m 7r\'1 /77i7r\3/r c \ / mir\2/ n \ 2
^ Í ìtH t ) M x ) (£) + “’(t ) (ỉ )
+ + ữ3n’+
ữti ò i y +0i ( ò i )
‘l ’

(2.4)
, miĩR 3 R
Uy putting rị) = rí , 0 = — — , t = — (called the stiffness of the shell), the
Ji /y /l
relation (2.1) is written in the form
/V
P u 0 2 ■+■ tprtfl + p22
( a i /?4 + o n P 3 a 3 0 2 -f 0 40 4- 0:5)1/;
______________ __________________
(/? 1 /54 T- 4- 0202 4- Õạ0 + Õĩý)ìị)
(2.5)
ị