Chuyen de day so cap so cong va cap so nhan toan 11 knttvcs

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

II

DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
BÀI 5: DÃY SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương  * được gọi là một dãy số vơ hạn.
Kí hiệu:
u : * → 

n  u ( n).

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
u1 , u2 , u3 , ..., un , ...,
trong đó un  u n  hoặc viết tắt là un , và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số
hạng tổng quát của dãy số.
Chú ý: Nếu ∀n ∈ * , un =c thì un là dãy số khơng đổi.
Mỗi hàm số u xác định trên tập M  1,2,3,..., m với m   * được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , ..., un , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.
2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng
b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
d) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
Cho số hạng đầu.

Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.
3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số un  được gọi là dãy số tăng nếu ta có un 1  un với mọi n   * .
Dãy số un  được gọi là dãy số giảm nếu ta có un 1  un với mọi n   * .

Sưu tầm và biên soạn

Page 1


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số un  với un  3n tức là
dãy 3,9, 27,81,... không tăng cũng không giảm.
Dãy số un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
*

un  M , n   .

Dãy số un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
un  m, n   * .
Dãy số un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số
m, M sao cho

m  un  M , n   * .
Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u1
+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u1

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Bài toán 1: Cho dãy số (un ) : un = f (n) . Hãy tìm số hạng uk .

1

PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Thay trực tiếp n = k vào un .
MTCT: Dùng chức năng CALC:
Nhập: f ( x)
Bấm r nhập X = k
Bấm = → Kết quả

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.
n
n
1  1 + 5   1 − 5  

 −
  . Tìm số hạng u6 .
5  2   2  



Câu 1:

Cho dãy số=
(un ) biết un

Câu 2:

Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un =

2n + 1
167
. Số
là số hạng thứ mấy?
n+2
84

u1 = a
Bài toán 2: Cho dãy số (un ) cho bởi 
. Hãy tìm số hạng uk .
un +1 = f (un )
Sưu tầm và biên soạn

Page 2


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

1

PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt u2 ; u3 ;...; uk bằng cách thế u1 vào u2 , thế u2 vào u3 , …, thế uk −1 vào
uk +1 .
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a =

- Nhập biểu thức của un +1 = f ( un )
- Lặp dấu = lần thứ k − 1 cho ra giá trị của số hạng uk .

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 3:

 u1 = 1

Cho dãy số (un ) biết 
un + 2 . Tìm số hạng u10 .
 un +1 = u + 1
n


Câu 4:

u1 = 1
Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
. Tìm số hạng u50 .
un + 2
1
un +=

=
, u2 b
u1 a=
Bài toán 3: Cho dãy số (un ) cho bởi 

. Hãy tìm số hạng uk .
un + 2 = c.un +1 + d .un + e

1

PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt u3 ; u4 ;...; uk bằng cách thế u1 , u2 vào u3 ; thế u2 , u3 vào u4 ; …; thế
uk −2 , uk −1 vào uk .
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập C =c.B + d .A + e : A =B : B =C
- Bấm r nhập B = b , ấn =, nhập A = a ấn =
- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ k − 2 giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng
uk .

2
Câu 5:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.
u1 1;=
u2 2
=
Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
. Tìm số hạng u8 .
un + 2 = 2un +1 + 3un + 5

Sưu tầm và biên soạn

Page 3

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
u1 = a
Bài toán 4: Cho dãy số (un ) cho bởi 
. Trong đó f
un +1 = f ({n, un })
tính theo un và n . Hãy tìm số hạng uk .

({n, u }) là kí hiệu của biểu thức u
n

n +1

PHƯƠNG PHÁP.

1

Tự luận: Tính lần lượt u2 ; u3 ;...; uk bằng cách thế {1,u1} vào u2 ; thế {2,u2 } vào u3 ; …; thế

{k − 1, uk −1} vào uk .
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của un
C : chứa giá trị của un+1

- Lập cơng thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo
của dãy
- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ k − 1 thì đó là giá trị của số hạng
uk .

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2
Câu 6:

u1 = 0

. Tìm số hạng u11 .
Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
n
u
u
1
=
+
(
)
n
+
1
n

n +1

Câu 7:

1

u1 =
Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
. Tìm số hạng u50 .

2
un +=
un + 2n
1

DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

1

PHƯƠNG PHÁP.

Cách 1: Xét hiệu un +1 − un
 Nếu un +1 − un > 0 ∀n ∈ * thì (un ) là dãy số tăng.
 Nếu un +1 − un < 0 ∀n ∈ * thì (un ) là dãy số giảm.
Cách 2 : Khi un > 0 ∀n ∈ * ta xét tỉ số

un +1
un

Sưu tầm và biên soạn

Page 4


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
 Nếu

un +1
> 1 thì (un ) là dãy số tăng.
un

 Nếu

un +1
< 1 thì (un ) là dãy số giảm.
un

Cách 3 : Nếu dãy số (un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh un +1 > un ∀n ∈ *
* Cơng thức giải nhanh một số dạng tốn về dãy số
Dãy số (un ) có u=
an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0
n
Dãy số (un ) có un = q n
 Khơng tăng, không giảm khi q < 0
 Giảm khi 0 < q < 1
 Tăng khi q > 1
Dãy số (un ) có un =

an + b
với điều kiện cn + d > 0 ∀n ∈ *
cn + d

 Tăng khi ad − bc > 0
 Giảm khi ad − bc < 0
Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

)

(

Nếu dãy số (un ) tăng hoặc giảm thì dãy số q n .un khơng tăng, khơng giảm

a > 0
a > 0
Dãy số (un ) có u=
; giảm nếu 
và không tăng
aun + b tăng nếu 
n +1
u2 − u1 > 0
u2 − u1 < 0
không giảm nếu a < 0

aun + b

un +1 = cu + d
Dãy số (un ) có 
tăng nếu
n
c, d > 0, u > 0 ∀n ∈ *
n


ad − bc > 0
và giảm nếu

u2 − u1 > 0

ad − bc > 0


u2 − u1 < 0

aun + b

un +1 = cu + d
Dãy số (un ) có 
khơng tăng khơng giảm nếu ad − bc < 0
n
c, d > 0, u > 0 ∀n ∈ *
n


(un ) ↑
Nếu 
thì dãy số ( un + vn ) ↑
(vn ) ↑

(un ) ↓
Nếu 
thì dãy số ( un + vn ) ↓
(vn ) ↓

Sưu tầm và biên soạn

Page 5


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
*

(un ) ↑; un ≥ 0 ∀n ∈ 
Nếu 
thì dãy số ( un .vn ) ↑
*
(vn ) ↑; vn ≥ 0 ∀n ∈ 

*
(un ) ↓; un ≥ 0 ∀n ∈ 
Nếu 
thì dãy số ( un .vn ) ↓
*
(vn ) ↓; vn ≥ 0 ∀n ∈ 

Nếu (un ) ↑ và un ≥ 0 ∀n ∈ * thì dãy số

Nếu (un ) ↓ và un ≥ 0 ∀n ∈ * thì dãy số

(

( u )↑
n

(

)

1
Nếu (un ) ↑ và un > 0 ∀n ∈ * thì dãy số 
 un

Câu 8:

n

)

và dãy số (un ) m ↓ ∀m ∈ *

và dãy số (un ) m ↑ ∀m ∈ *

2

( u )↓


↓


1
Nếu (un ) ↓ và un > 0 ∀n ∈ * thì dãy số 
 un


↑


BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Xét tính đơn điệu của dãy số (un ) biết u=
3n + 6 .
n

n+5
.
n+2
5n
Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số (un ) biết un = 2 .
n
u1 = 2

Câu 11: Cho dãy số (un ) biết (un ) : 
.
3un −1 + 1
=
∀n ≥ 2
un
4
Câu 9:

Xét tính đơn điệu của dãy số (un ) biết un =

DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

1

PHƯƠNG PHÁP.
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Cách 1: Dãy số (un ) có un = f (n) là hàm số đơn giản.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức =
un f (n) ≤ M , ∀n ∈ * hoặc =
un f (n) ≥ m, ∀n ∈ *

Cách 2: Dãy số (un ) có un = v1 + v2 + ... + vk + ... + vn
Ta làm trội vk ≤ ak − ak +1
Lúc đó un ≤ ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) + ... ( an − an +1 )
Suy ra un ≤ a1 − an +1 ≤ M , ∀n ∈ *
Cách 3: Dãy số (un ) có un = v1.v2 v3 ...vn với vn > 0, ∀n ∈ *
Ta làm trội vk ≤
Lúc đó un ≤

ak +1
ak

a2 a3 an +1
. ...
a1 a2 an

Sưu tầm và biên soạn

Page 6


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Suy ra un ≤

an +1
≤ M , ∀n ∈ *
a1

Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số (un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (un ) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un ) tăng thì bị chặn dưới
* Công thức giải nhanh một số dạng tốn về dãy số bị chặn
Dãy số (un=
) có un q n

( q ≤ 1) bị chặn

Dãy số (un ) =
có un q n

( q < −1) khơng bị chặn

Dãy số (un ) có un = q n với q > 1 bị chặn dưới
Dãy số (un ) có u=
an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0
n
Dãy số (un ) có un = an 2 + bn + c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0
Dãy số (un ) có u=
am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên nếu
n
am < 0

(

)

un q n am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a0 với am ≠ 0 và q < −1 khơng bị chặn
=
Dãy số (un ) có
Dãy số (un ) có=

un
Dãy số (un ) có=
un

am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a0 bị chặn dưới với am > 0
3

am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên

nếu am < 0
Dãy số (un ) có un =

P (n)
trong đó P ( n ) và Q ( n ) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P ( n )
Q (n)

nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q ( n )
Dãy số (un ) có un =

P (n)
trong đó P ( n ) và Q ( n ) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn
Q (n)

trên nếu bậc của P ( n ) lớn hơn bậc của Q ( n )

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

−1

.
2n + 3
4n + 5
Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số (un ) biết un =
.
n +1

Câu 12: Xét tính bị chặn của dãy số (un ) biết un =

Sưu tầm và biên soạn

Page 7


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
n3
.
n2 + 1
1 1 1
1
Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số (un ) biết un = + 2 + 2 + ... + 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
2 2 3
n

Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số (un ) biết un =

DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ
Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều

1

PHƯƠNG PHÁP.
Giải sử cần tính tổng: S = a1 + a2 + ... + an . Trong đó: =
an an −1 + d
- Tự luận:
Ta có: 2 S = ( a1 + an ) + ( a2 + an −1 ) + ... + ( an + a1 ) = n ( a1 + an )
Từ đó suy ra: S =

n . ( a1 + an )
2

- Trắc nghiệm:
Cơng thức tính nhanh:
+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là: un = u1 + ( n − 1) d với d là khoảng cách giữa 2 số
hạng
+ Số số hạng =: + 1
+ Tổng = •: 2
- Casio
Bước 1: Từ cơng thức của tổng tìm số hạng tổng qt của tổng và số số hạng.
Bước 2: Sử dụng công cụ tính:

∑

y nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1

tới n = số số hạng y =.

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 16: Tính S = 1 + 3 + 5 + ... + 4001 ?
Câu 17: Cho tổng S (n) = 2 + 4 + 6 + ... + 2n . Khi đó S30 bằng?
Câu 18: Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 150 và =
un un −1 − 3 với mọi n ≥ 2 Khi đó tổng 100 số hạng
đầu tiên là:
Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp

1

PHƯƠNG PHÁP.

Sưu tầm và biên soạn

Page 8


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Giả sử cần tính tổng: S = a1 + a2 + ... + an .
- Tự luận:
Bước 1: Ta tìm cách tách: a1= b1 − b2 ; a=
b2 − b3 ;.
2
Bước 2: Rút gọn: S = b1 − b2 + b2 − b3 + ... + bn − bn +1 = b1 − bn +1
- Trắc nghiệm:
+ Một số công thức tách thường sử dụng:
•

a
1

1
2a
1
1
=
−
•
= −
n(n + a) n n + a n(n + a)(n + 2 a) n(n + a ) (n + a )(n + 2a )

•

2na + a 2
1
1
=
−
• n.n ! = (n + 1)!− n !
2
2
2
n (n + a)
n (n + a)2

+ Nhận định kết quả của tổng là: S= b1 − bn +1
- Casio:
Làm tương tự như dạng 1

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2
2
2
2
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
97.99
1
1
1
1
+
+
+ ... +
Câu 20: Cho tổng S=
. Khi đó cơng thức của S n là:
n
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2)

Câu 19: Tính tổng sau: S =

Câu 21: Cho tổng S n =

3
5

7
2n + 1
+
+
+ ... +
. Tính S10
2
2
2
(1.2) (2.3) (3.4)
[ n(n + 1)]2

Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính

1

PHƯƠNG PHÁP.
Giả sử cần tính tổng: S = a1 + a2 + ... + an .
- Tự luận:
Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S
- Trắc nghiệm:
2

Tổng có dạng: S = u1 + u1a + u1a + ... + u1a ⇒ S =
n

u1 ( a n +1 − 1)
a −1

với a ≠ 1

- Casio:
Làm tương tự như dạng 1

Sưu tầm và biên soạn

Page 9


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2
50
Câu 22: Tính tổng: S = 1 + 3 + 3 + ... + 3 ?
1 
1 1 1
Câu 23: Tính tổng
=
S 4.5100.  + 2 + 3 + ... + 100  + 1 ?
5 
5 5 5
1 
 1  1  1

Câu 24: Tính tổng: S = 1 −  + 1 −  + 1 −  + ... + 1 − n  . Tính S10
 2  4  8

 2 
Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết

1

PHƯƠNG PHÁP.
Giải sử cần tính tổng: S n = a1 + a2 + ... + an .
- Tự luận:
Tìm cách tách: S n = S1 + S 2 + S3 + ... . Trong đó: S1 ; S 2 ;S 3 ... đã biết cơng thức tính tổng.
- Trắc nghiệm:
Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng.
- Casio:
Làm tương tự như dạng 1

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 25: Tính: S n = 1.3 + 2.5 + 3.7 + ... + n(2n + 1) . Biết rằng:
n(n + 1) n 2
n(n + 1)(2n + 1)
i
=+
1
2
+
3
+
...
+

n
=
; ∑ i =+
1 22 + 32 + ... + n 2 =
∑
2
6
i 1=
i 1
n

Câu 26: Cho: S n = 1.2 + 3.4 + 5.6 + ... + (2n − 1).2n . Tính S100 biết rằng:
n

n

∑ 2i =2 + 4 + 6 + ... + 2n =n(n + 1); ∑ i
i 1 =i 1

2

n(n + 1)(2n + 1)
.
=+
1 22 + 32 + ... + n 2 =
6

*
Câu 27: Cho tổng: S n = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n.(3n + 1) với n ∈  . Biết: S k = 294 . Giá trị của k là:

DẠNG 5: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

1

PHƯƠNG PHÁP.
 Nếu ( un ) có dạng un = a1 + a2 + ... + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu
gọn un .

Sưu tầm và biên soạn

Page 10


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
 Nếu dãy số ( un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự
đốn cơng thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngồi
ra cũng có thể tính hiệu un +1 − un dựa vào đó để tìm cơng thức tính ( un ) theo n.

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 28: Cho dãy số ( an ) có ak =

n
1
. Đặt un = ∑ ak . Xác định cơng thức tính ( un ) theo n.
k ( k + 1)
k =1

u1 = 3
Câu 29: Xác định cơng thức tính số hạng tổng qt un theo n của dãy số sau: 
.
un + 2
1
un +=
u1 = 1
∀n ≥ 1.
Câu 30: Xác định cơng thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau: 
3
u
u
n
=
+
n
 n +1

Sưu tầm và biên soạn

Page 11


CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

II

DÃY SỐ

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
BÀI 5: DÃY SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương  * được gọi là một dãy số vơ hạn.
Kí hiệu:
u : * → 

n  u ( n).

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
u1 , u2 , u3 , ..., un , ...,
trong đó un  u n  hoặc viết tắt là un , và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số
hạng tổng quát của dãy số.
Chú ý: Nếu ∀n ∈ * , un =c thì un là dãy số khơng đổi.
Mỗi hàm số u xác định trên tập M  1,2,3,..., m với m   * được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , ..., un , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.
2. CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng
b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
d) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
Cho số hạng đầu.
Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.
3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số un  được gọi là dãy số tăng nếu ta có un 1  un với mọi n   * .
Dãy số un  được gọi là dãy số giảm nếu ta có un 1  un với mọi n   * .

Sưu tầm và biên soạn

Page 1


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số un  với un  3n tức là
dãy 3,9, 27,81,... không tăng cũng không giảm.
Dãy số un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
*

un  M , n   .

Dãy số un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
un  m, n   * .
Dãy số un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số
m, M sao cho

m  un  M , n   * .
Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u1
+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u1

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP.
DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

Bài toán 1: Cho dãy số (un ) : un = f (n) . Hãy tìm số hạng uk .

1

PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Thay trực tiếp n = k vào un .
MTCT: Dùng chức năng CALC:
Nhập: f ( x)
Bấm r nhập X = k
Bấm = → Kết quả

2
Câu 1:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Cho dãy số=
(un ) biết un

n
n
1  1 + 5   1 − 5  

 −
  . Tìm số hạng u6 .
5  2   2  



Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:

Sưu tầm và biên soạn

Page 2

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
6
6

1 1  5  1 5  
  
   8 .
Thế trực tiếp: u6 

5  2   2  



Cách 2: Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay:
x
x
1  1 + 5   1 − 5  
Nhập:

 −
 
5  2   2  



Bấm CALC nhập X = 6
Máy hiện: 8
Câu 2:

Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un =

2n + 1
167
. Số
là số hạng thứ mấy?
n+2
84
Lời giải

Cách 1: Giải theo tự luận:
1Giả sử un=
Vậy

167
2n + 1 167
⇔
=
⇔ 84(2n + 1)= 167(n + 2) ⇔ n =
250 .
n+2
84
84

167
là số hạng thứ 250 của dãy số (un ) .
84
Cách 2: Sử dụng MTCT:
Nhập:

2x + 1
x+2

Bấm CALC nhập X = 250
Máy hiện:

167
84

u1 = a
Bài toán 2: Cho dãy số (un ) cho bởi 
. Hãy tìm số hạng uk .
un +1 = f (un )

1

PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt u2 ; u3 ;...; uk bằng cách thế u1 vào u2 , thế u2 vào u3 , …, thế uk −1 vào
uk +1 .

MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a =
- Nhập biểu thức của un +1 = f ( un )
- Lặp dấu = lần thứ k − 1 cho ra giá trị của số hạng uk .

Sưu tầm và biên soạn

Page 3

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

2
Câu 3:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.
 u1 = 1

Cho dãy số (un ) biết 
un + 2 . Tìm số hạng u10 .
 un +1 = u + 1
n

Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:
u2
=

u1 + 2
=
u1 + 1

=
u5

u4 + 2
=
u4 + 1

3
+2
u3 + 2
u2 + 2 2
7
1+ 2 3
;
;
=
= =
u3
=
u4
=
=
u2 + 1 3 + 1 5
u3 + 1
1+1 2
2
41
99
17
+2
+2
+2
2
u
+
2
u

+
239
99
41
70
29
5
6
12
; u6 =
; u7 =
=
=
=
=
=
17
u6 + 1 99 + 1 169
u5 + 1 41 + 1 70
+ 1 29
70
29
12

7
+2
5= 17 ;
7
+ 1 12
5

239
577
1393
+2
+2
+2
u9 + 2 985
u7 + 2 169
u8 + 2 408
3363
577
1393
; u9 =
; u10 =
=
=
=
u8 =
=
=
=
u9 + 1 1393 + 1 2378
u7 + 1 239 + 1 408
u8 + 1 577 + 1 985
985
169
408
Cách 2: Sử dụng MTCT:
Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau:

Nhập: 1 = (u1 )
Nhập

ANS + 2
ANS + 1

Lặp dấu = ta được giá trị số hạng u10 =
Câu 4:

3363
.
2378

u1 = 1
Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
. Tìm số hạng u50 .
u
=
u
+
2
1
n
+
n

Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:
Từ giả thiết ta có:

u1 = 1
u2= u1 + 2
u=
u2 + 2
3
...
u=
u49 + 2
50
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:
Sưu tầm và biên soạn

Page 4


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
u50 =
1 + 2.49 =
99
Cách 2: Sử dụng MTCT:
Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau:
Nhập: 1 = (u1 )
Nhập ANS + 2
Lặp dấu = ta được giá trị số hạng u50 = 99 .

=
, u2 b
u1 a=
Bài toán 3: Cho dãy số (un ) cho bởi 
. Hãy tìm số hạng uk .

un + 2 = c.un +1 + d .un + e

1

PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt u3 ; u4 ;...; uk bằng cách thế u1 , u2 vào u3 ; thế u2 , u3 vào u4 ; …; thế
uk −2 , uk −1 vào uk .
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập C =c.B + d .A + e : A =B : B =C
- Bấm r nhập B = b , ấn =, nhập A = a ấn =
- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ k − 2 giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng
uk .

2
Câu 5:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.
u1 1;=
u2 2
=
Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
. Tìm số hạng u8 .
un + 2 = 2un +1 + 3un + 5
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:
u3= 2u2 + 3u1 + 5= 12 u4= 2u3 + 3u2 + 5= 35 u5= 2u4 + 3u3 + 5= 111
u6= 2u5 + 3u4 + 5= 332 u7= 2u6 + 3u5 + 5= 1002 u8= 2u7 + 3u6 + 5= 3005
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay:
Sử dụng 3 ơ nhớ: A : chứa giá trị của un
B : chứa giá trị của un +1

C : chứa giá trị của un + 2

Lập quy trình bấm máy:
Sưu tầm và biên soạn

Page 5


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Nhập: C =
2B + 3A+5 : A ==
B:B C
Bấm CALC nhập B = 2 , ấn = , nhập A = 1 ấn =
Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 6 thì đó là giá trị của số hạng u8 bằng
3005.
u1 = a
Bài toán 4: Cho dãy số (un ) cho bởi 
. Trong đó f
un +1 = f ({n, un })
tính theo un và n . Hãy tìm số hạng uk .

1

({n, u }) là kí hiệu của biểu thức u
n

n +1

PHƯƠNG PHÁP.
Tự luận: Tính lần lượt u2 ; u3 ;...; uk bằng cách thế {1,u1} vào u2 ; thế {2,u2 } vào u3 ; …; thế

{k − 1, uk −1} vào uk .
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Sử dụng 3 ơ nhớ: A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của un
C : chứa giá trị của un+1

- Lập cơng thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo
của dãy
- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ k − 1 thì đó là giá trị của số hạng
uk .

2
Câu 6:

BÀI TẬP TỰ LUẬN.
u1 = 0

. Tìm số hạng u11 .
Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 
n
=
un +1 n + 1 ( un + 1)
Lời giải

Cách 1: Giải theo tự luận:

u=
2

1
1
2
3
3
4
(u3 + 1)
=
u=
(u4 + 1)
= 2
(u1 + 1)=
u=
(u2 + 1)
= 1 u=
4
3
5
4
2
5
2
2
3

u=
6

5
5

6
7
7
8
(u5 + 1)
=
u=
(u6 + 1)
= 3 u=
(u7 + 1)
=
u=
(u8 + 1)= 4
8
7
9
6
2
7
8
2
9

u=
10

9
9
10
(u9 +=

1)
=
u11
(u10 +=
1) 5
10
2
11
Sưu tầm và biên soạn

Page 6


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay:
Sử dụng 3 ơ nhớ: A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của un
C : chứa giá trị của un +1

Lập quy trình bấm máy:

A
Nhập: C =
( B + 1) : A =A + 1: B =C
A +1
Bấm CALC nhập A = 1 , ấn =, nhập B = 0 ấn =
Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 10 thì đó là giá trị của số hạng u11 bằng 5.
Câu 7:

1


u1 =
Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
. Tìm số hạng u50 .
2
un +=
un + 2n
1
Lời giải

Cách 1: Giải theo tự luận:
Từ giả thiết ta có:
1
2
u2= u1 + 2.2
u1 =

u=
u2 + 2.3
3
...
u=
u49 + 2.50
50

Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:
u50 =

50
1

1
+ 2.(2 + 3 + ... + 50) = + 2.∑ x = 2548,5
2
2
x=2

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay:
Nhập: C =
B + 2A : A =
A + 1: B =
C
Bấm CALC nhập B =

1
, ấn =, nhập A = 1 ấn =
2

Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 49 thì đó là giá trị của số hạng u50 bằng
2548,5 .

DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

1

PHƯƠNG PHÁP.

Sưu tầm và biên soạn

Page 7

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Cách 1: Xét hiệu un +1 − un
 Nếu un +1 − un > 0 ∀n ∈ * thì (un ) là dãy số tăng.
 Nếu un +1 − un < 0 ∀n ∈ * thì (un ) là dãy số giảm.
Cách 2 : Khi un > 0 ∀n ∈ * ta xét tỉ số

un +1
un

 Nếu

un +1
> 1 thì (un ) là dãy số tăng.
un

 Nếu

un +1
< 1 thì (un ) là dãy số giảm.
un

Cách 3 : Nếu dãy số (un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh un +1 > un ∀n ∈ *
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
Dãy số (un ) có u=
an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0
n
Dãy số (un ) có un = q n
 Không tăng, không giảm khi q < 0

 Giảm khi 0 < q < 1
 Tăng khi q > 1
Dãy số (un ) có un =

an + b
với điều kiện cn + d > 0 ∀n ∈ *
cn + d

 Tăng khi ad − bc > 0
 Giảm khi ad − bc < 0
Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

(

)

Nếu dãy số (un ) tăng hoặc giảm thì dãy số q n .un không tăng, không giảm

a > 0
Dãy số (un ) có u=
; giảm nếu
aun + b tăng nếu 
n +1
u2 − u1 > 0
không giảm nếu a < 0
aun + b

un +1 = cu + d
Dãy số (un ) có 
tăng nếu

n
*
c, d > 0, u > 0 ∀n ∈ 
n


a > 0
và không tăng

u2 − u1 < 0

ad − bc > 0
và giảm nếu

u2 − u1 > 0

ad − bc > 0

u2 − u1 < 0

aun + b

un +1 = cu + d
Dãy số (un ) có 
khơng tăng không giảm nếu ad − bc < 0
n
c, d > 0, u > 0 ∀n ∈ *
n

Sưu tầm và biên soạn

Page 8


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

(un ) ↑
Nếu 
thì dãy số ( un + vn ) ↑
(vn ) ↑

(un ) ↓
Nếu 
thì dãy số ( un + vn ) ↓
(vn ) ↓

(un ) ↑; un ≥ 0 ∀n ∈ *
Nếu 
thì dãy số ( un .vn ) ↑
*
(vn ) ↑; vn ≥ 0 ∀n ∈ 

(un ) ↓; un ≥ 0 ∀n ∈ *
Nếu 
thì dãy số ( un .vn ) ↓
*
(vn ) ↓; vn ≥ 0 ∀n ∈ 

Nếu (un ) ↑ và un ≥ 0 ∀n ∈ * thì dãy số

Nếu (un ) ↓ và un ≥ 0 ∀n ∈ * thì dãy số

(

( u )↑
n

(

)

1
Nếu (un ) ↑ và un > 0 ∀n ∈ * thì dãy số 
 un

Câu 8:

n

)

và dãy số (un ) m ↓ ∀m ∈ *

và dãy số (un ) m ↑ ∀m ∈ *

2

( u )↓



↓


1
Nếu (un ) ↓ và un > 0 ∀n ∈ * thì dãy số 
 un


↑


BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Xét tính đơn điệu của dãy số (un ) biết u=
3n + 6 .
n
Lời giải
Ta có un = 3n + 6 ⇒ un +1 = 3 ( n + 1) + 6 = 3n + 9
Xét hiệu un +1 − un = ( 3n + 9 ) − ( 3n + 6 ) = 3 > 0 ∀n ∈ *
Vậy (un ) là dãy số tăng
Giải nhanh: Dãy này có dạng u=
an + b ; a= 3 > 0 nên dãy số tăng
n

Câu 9:

Xét tính đơn điệu của dãy số (un ) biết un =

n+5
.
n+2

Lời giải

3
3
n+5
1+
1+
⇒ un +1 =
Ta có un = =
n+2
n+2
n+3
un
Xét hiệu un +1 − =

3
3
− =
n+3 n+2

−3
< 0 ∀n ∈ *
( n + 2 )( n + 3)

Vậy (un ) là dãy số giảm
Giải nhanh: Dãy này có dạng un =

an + b
cn + d

Mẫu n + 2 > 0 ∀n ∈ * và ad − bc =2 − 5 =−3 < 0 nên (un ) là dãy số giảm
Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số (un ) biết un =

5n
.
n2
Lời giải

Sưu tầm và biên soạn

Page 9


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Ta có un=

5n
> 0, ∀n ∈ * ⇒ un +1=
2
n

u
Xét =
tỉ số n +1
un
= 1+

5n +1

( n + 1)

2

n 2 + 2n + 1 + 4n 2 − 2n − 1
5n +1 n 2
5n 2
=
=
.
2
n 2 + 2n + 1
( n + 1) 5n n2 + 2n + 1

2n ( n − 1) + 2n 2 − 1
> 1, ∀n ∈ *
2
n + 2n + 1

Vậy (un ) là dãy số tăng
u1 = 2

Câu 11: Cho dãy số (un ) biết (un ) : 
.
3un −1 + 1
=
∀n ≥ 2
un
4
Lời giải

Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm
Ta có un − u=
n −1

3un −1 + 1
1 − un −1
− u=
n −1
4
4

Do đó, để chứng minh dãy (un ) giảm ta chứng minh un > 1 ∀n ≥ 1 bằng phương pháp quy nạp
toán học. Thật vậy
Với n =1 ⇒ u1 =2 > 1

uk +1
Giả sử uk > 1 ⇒ =

3uk + 1 3 + 1
>= 1
4
4

Theo nguyên lí quy nạp ta có un > 1 ∀n ≥ 1
Suy ra un − un −1 < 0 ⇔ un < un −1 ∀n ≥ 2 hay dãy (un ) giảm
Giải nhanh: Dãy (un ) có dạng u=
aun + b
n +1
Ở đây a=

7
1
3
> 0 và u2 − u1 = − 2 =− < 0 Suy ra dãy số giảm
4
4
4

u1= c > 1

Tổng quát ta có thể chứng minh dãy số (un ) : 
giảm tương tự như
aun −1 + b
, ( a,b>0 ) ∀n ≥ 2
=
un
a+b
trên.

DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

1

PHƯƠNG PHÁP.
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Cách 1: Dãy số (un ) có un = f (n) là hàm số đơn giản.
Sưu tầm và biên soạn

Page 10

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức =
un f (n) ≤ M , ∀n ∈ * hoặc =
un f (n) ≥ m, ∀n ∈ *
Cách 2: Dãy số (un ) có un = v1 + v2 + ... + vk + ... + vn
Ta làm trội vk ≤ ak − ak +1
Lúc đó un ≤ ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) + ... ( an − an +1 )
Suy ra un ≤ a1 − an +1 ≤ M , ∀n ∈ *
Cách 3: Dãy số (un ) có un = v1.v2 v3 ...vn với vn > 0, ∀n ∈ *
Ta làm trội vk ≤

ak +1
ak

Lúc đó un ≤

a2 a3 an +1
. ...
a1 a2 an

Suy ra un ≤

an +1
≤ M , ∀n ∈ *
a1

Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số (un ) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (un ) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un ) tăng thì bị chặn dưới
* Cơng thức giải nhanh một số dạng tốn về dãy số bị chặn
Dãy số (un=
) có un q n

( q ≤ 1) bị chặn

Dãy số (un ) =
có un q n

( q < −1) không bị chặn

Dãy số (un ) có un = q n với q > 1 bị chặn dưới
Dãy số (un ) có u=
an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0
n
Dãy số (un ) có un = an 2 + bn + c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0
Dãy số (un ) có u=
am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên nếu
n
am < 0

(

)

un q n am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a0 với am ≠ 0 và q < −1 không bị chặn
=
Dãy số (un ) có
Dãy số (un ) có=

un
Dãy số (un ) có=
un

am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a0 bị chặn dưới với am > 0
3

am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên

nếu am < 0

Sưu tầm và biên soạn

Page 11


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Dãy số (un ) có un =

P (n)
trong đó P ( n ) và Q ( n ) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P ( n )
Q (n)

nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q ( n )
Dãy số (un ) có un =

P (n)
trong đó P ( n ) và Q ( n ) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn
Q (n)

trên nếu bậc của P ( n ) lớn hơn bậc của Q ( n )

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Câu 12: Xét tính bị chặn của dãy số (un ) biết un =

Ta có 2n + 3 ≥ 5, ∀n ∈ * ⇒ 0 <

−1
.
2n + 3
Lời giải

1
1
1
−1
≤ , ∀n ∈ * ⇒ − ≤
< 0, ∀n ∈ *
2n + 3 5
5 2n + 3

1
⇒ − ≤ un < 0
5
Suy ra dãy số (un ) bị chặn
Giải nhanh: dãy số (un ) có un có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên bị chặn
Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số (un ) biết un =

un
Ta có=
un =

4n + 5
.
n +1
Lời giải

4n + 5
> 0, ∀n ∈ *
n +1

4n + 5 4(n + 1) + 1
1
1 9
9
=
= 4+
≤ 4 + = ⇒ un ≤ , ∀n ∈ *
n +1
n +1
n +1
2 2
2

9
Suy ra 0 < un ≤ , ∀n ∈ *
2

Vậy dãy số (un ) bị chặn
Giải nhanh: dãy số (un ) có un có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn
Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số (un ) biết un =

Ta có=
un

n3
.
n2 + 1
Lời giải

n3
> 0, ∀n ∈ * ⇒ (un ) bị chặn dưới
2
n +1

Sưu tầm và biên soạn

Page 12


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số (un ) biết un =

Xét

1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

2 2 3
n
Lời giải

1
1
1
1
<
=
− , ∀k ≥ 2
2
k
( k − 1) k k − 1 k

Suy ra un <

1  1 1 1 1 1 1 1
1 3 1 3
 1
+ 1 −  +  −  +  −  +  −  + ... + 
− = − <
2  2  2 3 3 4 5 6
 n −1 n  2 n 2

3
⇒ 0 < un < , ∀n ∈  *
2
Vậy (un ) bị chặn
DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ

Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều

1

PHƯƠNG PHÁP.
Giải sử cần tính tổng: S = a1 + a2 + ... + an . Trong đó: =
an an −1 + d
- Tự luận:
Ta có: 2 S = ( a1 + an ) + ( a2 + an −1 ) + ... + ( an + a1 ) = n ( a1 + an )
Từ đó suy ra: S =

n . ( a1 + an )
2

- Trắc nghiệm:
Cơng thức tính nhanh:
+ Số hạng tổng qt của dãy số cách đều là: un = u1 + ( n − 1) d với d là khoảng cách giữa 2 số
hạng
+ Số số hạng =: + 1
+ Tổng = •: 2
- Casio
Bước 1: Từ cơng thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng.
Bước 2: Sử dụng cơng cụ tính:

∑

y nhập số hạng tổng qt của dãy số y nhập x chạy từ 1

tới n = số số hạng y =.

2

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Sưu tầm và biên soạn

Page 13


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Câu 16: Tính S = 1 + 3 + 5 + ... + 4001 ?

Lời giải

(1 + 4001) + (3 + 3999) + (5 + 3997) + ... + (4001 + 1) =
4002 ⋅ 2001
Ta có: 2 S =
4002.2001
= 4004001
2
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:

=
⇒ S

=
n
Số số hạng:
=
Tổng: S

4001 − 1
=
+ 1 2001
2

(1 + 4001).2001
= 4004001
2

+) Giải theo Casio
Công thức số hạng tổng quát của dãy là: un =u1 + (n − 1)d =1 + (n − 1).2 =2n − 1
Số số hạng của dãy là 2001
Nhập máy tính cho ta kết quả: 4004001
+) Những sai lầm thường gặp:
- Tính sai số số hạng của dãy
- Tìm sai cơng thức số hạng tổng quát của dãy số khi làm với máy tính Casio
Lời bình: Nhận thấy việc tìm số hạng tổng quát của dãy đối với HS trung bình, yếu là tương
đối khó khăn. Vì thế ta nên sử dụng cơng thức giải nhanh để tìm số số hạng và tổng của dãy
một cách nhanh chóng. Ở bài tập này thì việc vận dụng cơng thức tính nhanh sẽ nhanh hơn
Casio nhé các em!
Câu 17: Cho tổng S (n) = 2 + 4 + 6 + ... + 2n . Khi đó S30 bằng?
Lời giải
Ta có: S50 = 2 + 4 + 6 +…+ 60
 2 S =(2 + 60) + (4 + 58) + (6 + 56) +…+ (60 + 2)
(2 + 60).30
= 930
2
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:

 S ( n)
=

Số hạng thứ 30: =
Tổng: S
u50 2.30
= 60 Số số hạng: n = 30=

(2 + 60).30
= 930
2

+) Giải theo Casio
Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 2n
Số số hạng của dãy là: 30
Nhập máy tính cho ta kết quả: 930
Những sai lầm thường gặp:
- Tìm sai số hạng thứ n .
Sưu tầm và biên soạn

Page 14