Chuyên đề Dãy số rất đầy đủ

Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
Chương 3:
DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC – DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương pháp chứng minh quy nạp
1.1. Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến
( )
A n
là một mệnh đề đúng với mọi giá trị ngun dương
n
, ta thực hiện như sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với
1n
=
.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số ngun dương
n k
=
tuỳ ý
( )
1k ≥
, chứng minh rằng mệnh đề
đúng với
1n k= +
.
1.2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề
( )
A n
là đúng với với mọi số ngun dương
n p≥

thì :
• Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với
n p=

• Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số ngun dương bất kì
n k p= ≥
và phải chứng minh mệnh
đề đúng với
1n k
= +
.
2. Dãy số
2.1. Định nghĩa : Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên

: *
( )
u
n u n
→¥ ¡
a
2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm
•
( )
n
u
là dãy số tăng
*
1
,
n n

u u n
+
⇔ > ∀ ∈¥

( )
*
1
*
1
0,
1 , 0 ,
n n
n
n
n
u u n
u
u n
u
+
+
⇔ − > ∀ ∈
⇔ > > ∀ ∈
¥
¥
•
( )
n
u
là dãy số giảm

*
1
,
n n
u u n
+
⇔ < ∀ ∈¥

( )
*
1
*
1
0,
1 , 0 ,
n n
n
n
n
u u n
u
u n
u
+
+
⇔ − < ∀ ∈
⇔ < > ∀ ∈
¥
¥
2.3. Dãy số bị chặn

•
( )
n
u
là dãy số bị chặn trên
*
: ,
n
M u M n⇔ ∃ ∈ ≤ ∀ ∈¥¡
.
•
( )
n
u
là dãy số bị chặn dưới
*
: ,
n
m u m n⇔ ∃ ∈ > ∀ ∈¥¡
.
•
( )
n
u
là dãy số bị chặn
*
, : ,
n
m M m u M n⇔ ∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈¥¡
.

B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP :
1. Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp

1.1. Phương pháp : Ta thực hiện đúng theo 2 bước :
• Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi
1n =
(hoặc
n p=
) .
• Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi
n k=
với
1k ≥

( )
hay k p≥
,ta phải chứng minh
đẳng thức đó cũng đúng khi
1n k
= +
.
1.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi
*
n ∈¥
:
a)
( 1)
1 2 3
2

n n
n
+
+ + + + =LL
(1) ; b)
2 2 2
( 1)(2 1)
1 2
6
n n n
n
+ +
+ + + =LL
(2) .
TTLT - 1A – Tan Hai
35
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
Ví dụ 2. Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi
*
n ∈¥
:
a)
( 1)( 2)
1.2 2.3 ( 1)
3
n n n
n n
+ +
+ + + + =
(1) ; b)

1 1 1

1.2 2.3 ( 1) 1
n
n n n
+ + + =
+ +
(2) .
Ví dụ 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
3
2 3 1 , 8
n
n n
−
> − ∀ ≥
(1) ; b)
*
1 1
1 2 ,
2
n n
n
+ + + < ∀ ∈¥
(2) .
Ví dụ 4. Chứng minh các mệnh đề sau :
a)
3 2
3 5
n

u n n n= + +
chia hết cho 3 ,
*
n∀ ∈¥
b)
2 1 2
3 2
n n
n
v
+ +
= +
chia hết cho 7 ,
*
n∀ ∈¥

2. Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng qt của dãy số khi cho bằng hệ thức truy hồi .

2.1. Phương pháp :
• Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm , nếu dãy số cho dưới dạng tổng qt thì
muốn tìm số hạng thứ
k
ta chỉ việc thay
n k
=
vào cơng thức tổng qt . Nếu dãy số cho dưới dạng
truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm .
• Để tìm số hạng tổng qt của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều cách nhưng
thơng thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đốn cơng thức và chứng minh lại bằng quy nạp .
2.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 5. Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số
( )
n
u
biết :
a)
2
1
1
n
n
u
n
−
=
+
; b)
( )
1 2
2 1
15 , 9
:
n
n n n
u u
u
u u u
+ +
= =



= −

.
Ví dụ 6. Tìm số hạng tổng qt của dãy số
( )
n
u
biết :
a)
( )
1
1
1
:
2 3
n
n n
u
u
u u
+
=


= +

; b)
( )
1

2
1
3
:
1
n
n n
u
u
u u
+
=



= +


.
3. Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số .

3.1. Phương pháp :
• Dựa theo định nghĩa :
o
( )
n
u
là dãy số tăng
*
1

,
n n
u u n
+
⇔ > ∀ ∈¥

( )
*
1
*
1
0,
1 , 0 ,
n n
n
n
n
u u n
u
u n
u
+
+
⇔ − > ∀ ∈
⇔ > > ∀ ∈
¥
¥
o
( )
n

u
là dãy số giảm
*
1
,
n n
u u n
+
⇔ < ∀ ∈¥

( )
*
1
*
1
0,
1 , 0 ,
n n
n
n
n
u u n
u
u n
u
+
+
⇔ − < ∀ ∈
⇔ < > ∀ ∈
¥

¥
o
( )
n
u
là dãy số bị chặn
*
, : ,
n
m M m u M n⇔ ∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈¥¡
.
3.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 7. Xét tính tăng , giảm của các dãy số
( )
n
u
biết :
a)
2 1
3 2
n
n
u
n
+
=
−
; b)
2
n

n
u
n
−
=
; c)
( 1)
2
n
n
u
n
−
=
+
.
Ví dụ 8. Xét tính bị chặn của các dãy số
( )
n
u
biết :
a)
2
2
2
1
n
n n
u
n n

+
=
+ +
; b)
2
2
n
n
u
n n n
=
+ +
; c)
( 1) cos
2
n
n
u
n
π
= −
.
TTLT - 1A – Tan Hai
36
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau đúng
*
n∀ ∈¥
:

a)
2
1.4 2.7 (3 1) ( 1)n n n n+ + + + = +
;
b)
( ) ( )
1 2
( 1)
1 3 6 10
2 6
n n n
n n
+ +
+
+ + + + + =LL
;
c)
( )
2
2
2 2 2
(4 1)
1 3 5 2 1
3
n n
n
−
+ + + + − =LL
;
d)

( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 1 2 1
2 4 6 2
3
n n n
n
+ +
+ + + + =LL
;
e)
( ) ( )
( )
( ) ( )
3
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 . 1 . 2 4 1 2
n n
n n n n n
+
+ + + + =
+ + + +
L
;
f)
2
1 1 1 1
1 1 1

4 9 2
n
n n
+
    
− − − =
 ÷ ÷  ÷
    
LL
;
g)
( )
1
sin .sin
2 2
sin sin 2 sin
sin
2
n x
nx
x x nx
x
+
+ + + =LL
;
h)
( )
1
2 2 2 2 2cos
2

n
n
π
+
+ + + + =LL
1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3
dấu căn
.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
2 *
2 2 5 ,
n
n n
+
> + ∀ ∈¥
;
b)
2 2
1 1 1
1 2 , 2
2
n
n n
+ + + < − ∀ ≥L
;
c)
1 3 5 2 1 1
2 4 6 2
3 1

n
n
n
−
× × × × <
+
L
,
*
n∀ ∈¥
;
d)
1 1 1 13
1 2 2 24n n n
+ + + >
+ +
L

, 2n∀ ≥
;
e)
( )
1
3 2 , 4
n
n n n
−
> + ∀ ≥
.
f)

1 1 1 1
1
1 2 3 3 1n n n n
+ + +…+ >
+ + + +
,
*
n∀ ∈¥
.
Bài 3. Chứng minh các mệnh đề sau đúng
*
n∀ ∈¥
:
a)
3
2n n+
chia hết cho 3 ; b)
2 2 2 1
7.2 3
n n− −
+
chia hết cho 5 ;
c)
3
11n n+
chia hết cho 6 ; d)
13 1
n
−
chia hết cho 6 ;

e)
1 2 1
11 12
n n+ −
+
chia hết cho
133
; f)
3 2 3 1
5 2 3
n n− −
× +
chia hết cho 19 .
Bài 4. a) Cho số thực
1a > −
. Chứng minh rằng :
( )
1 1 ,
n
a na n+ ≥ + ∀ ∈¥
.
b) Chứng minh rằng nếu
*
0 , 0 ,a b n> > ∈¥
thì ta có :
2 2
n
n n
a b a b+ +
 

≥
 ÷
 
c) Cho
n
số thực
( )
1 2 3
, , , , 0 ;1
n
x x x x ∈L
. Chứng minh rằng :

( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 1 1 1 , 2
n n
x x x x x x n− × − × × − > − − − − ∀ ≥L L
.
Bài 5. (*) Tìm số hạng tổng qt của dãy số
( )
n
u
biết :
a)
( )
1
1
1
:

2 1
n
n n
u
u
u u
+
= −


= +

; b)
( )
1
1
5
4
:
1
2
n
n
n
u
u
u
u
+


=



+

=


;
TTLT - 1A – Tan Hai
37
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
c)
( )
1
1
1
:
5
n
n n
u
u
u u
+
=


= +


; d)
( )
1
1
1
:
1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
+
=



=

+

;
e)
( )
2 2 2 2

n
n
u = + + + +L
1 4 4 44 2 4 4 4 43
dấu căn
; f)
( )
1
1
1
:
5
n
n n
u
u
u u
+
=


=

.
Bài 6. Xét tính tăng , giảm của dãy số
( )
n
u
biết :
a)

2
2
1
1
n
n n
u
n
+ +
=
+
; b)
4 1
4 5
n
n
n
u
−
=
+
;
c)
3
n
u n n= + −
; d)
11
n
n

u
n
+
=
;
e)
( )
1
1
3
:
2
3
n
n
n
n
u
u
u
u
u
+
=



=

+


; f)
( )
1
1
6
:
6
n
n n
u
u
u u
+

=


= +


.
Bài 7. Xét tính bị chặn của các dãy số
( )
n
u
biết :
a)
1
( 1)

n
u
n n
=
+
; b)
2
4
n
u n= +
;
c)
1 1
cos
n
u
n n
= +
; d)
2
2
3 2 1
2
n
n n
u
n
+ +
=
+

.
Bài 8. Xét tính bị chặn của các dãy số
( )
n
u
biết :
a)
( ) ( )
1 1 1
1 3 3 5 2 1 2 1
n
u
n n
= + + +
× × − +
LL
;
b)
2 2 2
1 1 1
1 2
n
u
n n n n
= + + +
+ + +
LL
.
Bài 9. (*) Xét tính tăng , giảm và bị chặn của các dãy số sau :
a)

( )
1
1
2
:
2
n
n n
u
u
u u
+

=


= +


; b)
1 1 1
1 2 2
n
u
n n n
= + + +
+ +
LL
.
Bài 10. Cho dãy số :

( )
1
1
2
1
:
2
1
n
n
n
u
u
u
u
+
=



=

+

. Chứng minh
( )
n
u
là dãy số khơng đổi (dãy số có tất cả các số hạng
đều bằng nhau) .

Bài 11.(*) Cho dãy số
( )
n
u
biết
2
2
2 1
3
n
b n
u
n
× +
=
+
và
b
∈
¡
. Hãy xác định
b
để
a)
( )
n
u
là dãy số giảm ;
b)
( )

n
u
là dãy số tăng .
Bài 12.Cho dãy số
( )
n
u
biết
( )
sin 4 1
6
n
u n
π
= −
. Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số trên :
15 1 2 15
S u u u= + + +L
.

TTLT - 1A – Tan Hai
38
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
§2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Cấp số cộng
1.1. Định nghĩa : Dãy số
( )
n
u

là cấp số cộng
*
1
,
n n
u u d n
+
⇔ = + ∀ ∈¥
d
là số khơng đổi , gọi là cơng sai của cấp số cộng .
1.2. Số hạng tổng qt :
( )
*
1
( 1) , 2 ,
n
u u n d n n= + − ∀ ≥ ∈¥
.
1.3. Tính chất :
( )
*
1 1
, 2 ,
2
k k
k
u u
u k k
− +
+

= ∀ ≥ ∈¥
.
1.4. Tổng n số hạng đầu tiên :

[ ]
1
1
1 2
2 ( 1)
( )

2 2
n
n n
n u n d
n u u
S u u u
+ −
+
= + + + = =
2. Cấp số nhân
2.1. Định nghĩa : Dãy số
( )
n
u
là cấp số nhân
( )
*
1
,

n n
u u q n
+
⇔ = × ∀ ∈¥
q
là số khơng đổi , gọi là cơng bội của cấp số nhân .
2.2. Số hạng tổng qt :
( )
1 *
1
. , 2 ,
n
n
u u q n n
−
= ∀ ≥ ∈¥
.
2.3. Tính chất :
( )
2 *
1 1
. , 2 ,
k k k
u u u k k
− +
= ∀ ≥ ∈¥
.
2.4. Tổng n số hạng đầu tiên :

1 2 1

1
1 2
khi 1
(1 )
1
1
n n
n
n n
S u u u nu q
u q
S u u u q
q
= + + + = =


−

= + + + = ≠

−

khi
.
B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP :
1. Chứng minh các dãy số là cấp số

1.1. Phương pháp : Dựa theo định nghĩa của cấp số cộng và cấp số nhân để chứng minh
•
( )

*
1 1
,
n n n n n
u u u d u u d n
+ +
⇔ = + ⇔ − = ∀ ∈÷ ¥
, (
:d
khơng đổi) .
•
*
1
1
,
n
n n
n
u
u u q q n
u
+
+
⇔ = × ⇔ = ∀ ∈¥
&&
&&
−
, (
:q
khơng đổi) .

1.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số cộng , nếu phải hãy tìm cơng sai của cấp số cộng đó :
a)
1
2
n
n
u = −
; b)
7 3
2
n
n
u
−
=
;
c)
( )
1 2
n
n
u n= − +
; d)
( )
1
1
3
1 , 1
n n

u
u u n
+
=



= − ≥


Ví dụ 2. Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số nhân , nếu phải hãy tìm cơng bội của cấp số nhân đó :
a)
5
2
n
n
u =
; b)
3 1
( 1) .3
n n
n
u
+
= −
;
c)
3
n
u n= +

; d)
( )
1
1
1
2
, 1
5
n n n
u
u u u n
+
=



= + ≥


2. Tìm
1 n
u ; d ; q ; S
của cấp số

2.1. Phương pháp : Dựa vào các cơng thức về số hạng tổng qt , tổng của
n
số hạng đầu tiên của cấp số cộng
hoặc cấp số nhân để suy ra kết quả .
TTLT - 1A – Tan Hai
39

Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
2.1.1. Nếu
( )
n
u
là cấp số cộng thì :
•
*
1
( 1) , 2 ,
n
u u n d n n= + − ∀ ≥ ∈¥
•
[ ]
1
1
1 2
2 ( 1)
( )

2 2
n
n n
n u n d
n u u
S u u u
+ −
+
= + + + = =
.

2.1.2. Nếu
( )
n
u
là cấp số nhân thì :
•
1 *
1
. , 2 ,
n
n
u u q n n
−
= ∀ ≥ ∈ ¥
.
•
1 2 1
1
1 2
khi 1
(1 )
1
1
n n
n
n n
S u u u nu q
u q
S u u u q
q

= + + + = =


−

= + + + = ≠

−

khi
2.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 3.Tìm
1 15 20
, , ,u d u S
của các cấp số cộng sau :
a)
( )
: 2,5,8,11,
n
u LL
; b)
( )
n
u
biết
9 2
13 6
5
2 5
u u

u u
=


= +

.
Ví dụ 4.Tìm
1
,u d
của các cấp số cộng biết :
a)
1 5 3
1 6
10
7
u u u
u u
+ − =


+ =

; b)
7 3
2 7
8
. 75
u u
u u

− =


=

;
c)
3 5
12
14
129
u u
S
+ =


=

; d)
16
21 10
152 2
3
3
S
S S

=




=

.
Ví dụ 5.a) Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 25 và tổng các bình phương của
chúng là 165 ;
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là
10
−
và tổng các bình phương của
chúng là
70
.
Ví dụ 6.Tìm
1 15 20
, , ,u q u S
của các cấp số nhân sau :
a)
3 5
2 6
90
240
u u
u u
+ =


− =

; b)

1 3 5
1 7
65
325
u u u
u u
− + =


+ =

.
Ví dụ 7.Tìm
1
,u q
biết
( )
1
0u >
của các cấp số nhân biết :
a)
1 5
2 3 4
. 25
31
u u
u u u
=



+ + =

; b)
1 2 3
1 2 3
14
. . 64
u u u
u u u
+ + =


=

.
Ví dụ 8.a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là
14
và tổng các bình phương của
chúng là
84
.
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là
15
và tổng các bình phương của chúng
là
85
.
3. Các bài tốn ứng dụng tính chất của cấp số

3.1. Phương pháp : Dựa vào các cơng thức về tính chất các số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân :

• Nếu
( )
n
u
là cấp số cộng thì :
( )
*
1 1
, 2 ,
2
k k
k
u u
u k k
− +
+
= ∀ ≥ ∈¥
• Nếu
( )
n
u
là cấp số nhân thì :
( )
2 *
1 1
. , 2 ,
k k k
u u u k k
− +
= ∀ ≥ ∈¥

.
3.2. Chú ý : Ta có thể dễ dàng chứng minh được :
•
, ,a b c
lập thành cấp số cộng
2a c b⇔ + =
.
•
, ,a b c
lập thành cấp số nhân
2
.a c b⇔ =
.
3.3. Các ví dụ minh họa :
TTLT - 1A – Tan Hai
40
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
Ví dụ 9. Cho ba số
, ,a b c
lập thành cấp số cộng . Chứng minh các hệ thức sau:
a)
2 2
2 2a bc c ab+ = +
; b)
( )
2
2
8 2a bc b c+ = +
.
Ví dụ 10. Cho ba số

2 2 2
, ,a b c
lập thành một cấp số cộng có cơng sai
0d ≠
. Chứng minh rằng ba số
1 1 1
, ,
b c c a a b+ + +
cũng lập thành một cấp số cộng.
Ví dụ 11. Cho ba số
, ,a b c
lập thành cấp số nhân .Chứng minh các hệ thức sau:
a)
2 2 2 2 2
( ).( ) ( )a b b c ab bc+ + = +
; b)
2 2 2
4 4 8 ( 2 2 )a c ab bc a b c+ − + = − −
.
Ví dụ 12. Chứng minh rằng nếu 3 số
2 1 2
, ,
y x y y z− −
lập thành một cấp số cộng thì 3 số
, ,x y z
lập thành một
cấp số nhân .
Ví dụ 13. Tìm các số dương
a
và

b
sao cho
2 1 , 2 , 2 1a a b b+ − +
lập thành một cấp số cộng và
( ) ( )
2 2
3 , 4 , 1b ab a+ + −
lập thành một cấp số nhân.
4. Tính tổng hữu hạn
4.1. Phương pháp: Để tính một tổng có hữu hạn phần tử ta có thể làm như sau:
• Xét xem các số hạng của nó có lập thành một cấp số cộng hoặc cấp số nhân hay khơng , nếu chưa hãy
biến đổi các số hạng hoặc tách thành các tổng khác nhau mà các số hạng của chúng tạo thành cấp số .
• Dựa và cơng thức số hạng tổng qt của cấp số để tìm xem các tổng cần tính có bao nhiêu số hạng .
• Tính các tổng trên dựa vào các cơng thức tính tổng
n
số hạng đầu tiên của cấp số , rồi suy ra kết quả .
4.2. Chú ý :
•
( )
n
u
lập thành cấp số cộng thì :

[ ]
1
1
1 2
2 ( 1)
( )

2 2
n
n n
n u n d
n u u
S u u u
+ −
+
= + + + = =
.
•
( )
n
u
lập thành cấp số nhân thì :

1 2 1
1
1 2
khi 1
(1 )
1
1
n n
n
n n
S u u u nu q
u q
S u u u q
q

= + + + = =


−

= + + + = ≠

−

khi
.
4.3. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 14. Tính các tổng sau :
a)
15 20 25 7515A = + + + +L
;
b)
2 2 2 2 2 2
1000 999 998 997 2 1B = − + − + + −L
.
Ví dụ 15. Tính các tổng sau :
a)
27 81 243 531441 A = − + − + +L
; b)
( )
9
9 99 999 99 9
n
B = + + + +L L
số

.
Ví dụ 16. Tính các tổng sau :
a)
2 99
1 2.2 3.2 100.2A = + + + +
;
b)
2 2 2
2
2
1 1 1
3 3 3
3 3 3
n
n
B
     
= + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
L
.
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Trong các dãy số
( )
n
u
dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và cơng sai của nó:
a)
5 3

n
u n= −
; b)
2 1
3
n
n
u
+
=
; c)
3
n
u n=
;
d)
4 1
n
n
u = +
; e)
4 3
5
n
n
u
−
=
; f)
( )

1
1
2
:
3
n
n n
u
u
u u
+
=


= −

.
Bài 2. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:
TTLT - 1A – Tan Hai
41
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
a)
1 5 3
2 5
10
7
u u u
u u
+ − =



+ =

; b)
2 5 3
4 6
10
26
u u u
u u
+ − =


+ =

; c)
2 4
2 2
1 5
5
25
u u
u u
+ =


+ =

Bài 3. a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.
b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng.

Bài 4. a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của
chúng là 293.
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 28 và tổng các bình phương của
chúng bằng 1176 .
Bài 5. a) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có cơng sai
0
3d =
. Tìm số đo
của các góc đó.
b) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm
số đo các góc đó.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu 3 số
, ,a b c
lập thành một cấp số cộng thì :

( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
3 6a b c a b a b c+ + − − = + +
.
Bài 7. Chứng minh rằng nếu 3 số
, ,a b c
lập thành một cấp số cộng thì các số
, ,x y z
cũng lập thành một cấp
số cộng , biết :
a)
2 2 2 2 2 2
; ;x b bc c y c ca a z a ab b= + + = + + = + +

.
b)
2 2 2
; ; .x a bc y b ca z c ab= − = − = −
Bài 8. Tìm
x
để 3 số
, ,a b c
lập thành một cấp số cộng , với:
a)
2
10 3 ; 2 3 ; 7 4 .a x b x c x= − = + = −
b)
2
1 ; 3 2 ; 1a x b x c x= + = − = −
.
Bài 9. Tìm các nghiệm số của phương trình:
3 2
4 6 6 14 6 0x x x− + − =
, biết rằng các nghiệm số phân biệt và
tạo thành một cấp số cộng.
Bài 10.Tìm các giá trị của
m
để phương trình :
( )
4 2
2 2 2 3 0x m x m− + + + =
có 4 nghiệm phân biệt lập thành
một cấp số cộng .
Bài 11. Cho dãy số

( )
( )
( )
1
1
,
:
3 2 , 1
n
n n
u a a
u
u u n
+
= ∈


= − ≥


¡
.
Tìm các giá trị của
a
để dãy số
( )
n
u
là cấp số cộng .
Bài 12.Cho cấp số cộng

( )
n
u
a) Chứng minh :
( )
*
, , ,
2
k m k m
k
u u
u m k m k
− +
+
= ∀ ∈ <¥
.
b) Tính tổng
2 1k −
số hạng đầu tiên của
( )
n
u
, biết
k m k m
u u a
− +
+ =
.
Bài 13. Cho dãy số
( )

n
u
, biết tổng
n
số hạng đầu tiên :
( )
1 2
2
n
n n
S
−
=
a) Hãy xác định số hạng tổng qt của
( )
n
u
.
b) Chứng minh
( )
n
u
là một cấp số cộng , tìm cơng sai của nó .
Bài 14.Cho cấp số cộng
( )
n
u
. Chứng minh :
a)
1 2 2 3 1 1

1 1 1 1
. . .
n n n
n
u u u u u u u u
−
−
+ + + =LL
.
b)
( )
1 2 2 3 1 1
1 1 1 1
, 0
n
n n n
n
u
u u u u u u u u
−
−
+ + + = >
+ + + +
L
Bài 15. Cho dãy số
( )
( )
1
1
2

:
3 2 , 1
n
n n
u
u
u u n n
+
=



= + − ∀ ≥



Xét dãy số
( )
n
v
biết :
( )
1
, 1
n n n
v u u n
+
= − ∀ ≥

TTLT - 1A – Tan Hai

42
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
a) Chứng minh dãy số
( )
n
v
là cấp số cộng , tìm số hạng đầu và cơng sai của nó.
b) Tìm số hạng tổng qt của dãy số
( )
n
u
.
Bài 16. Trong các dãy số sau đây dãy nào là cấp số nhân , nếu phải hãy tìm cơng bội của nó .
a)
1
3.
2
n
n
u
 
=
 ÷
 
; b)
3
n
u n= +
;
c)

1
2
1
2
n n
u
u u
+
=


=

; d)
1
1
1
2
5
n n n
u
u u u
+
=



= +



.
Bài 17.Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân, biết:
a)
1 3
2 2
1 3
10
50
u u
u u
+ =



+ =


; b)
( )
1 2 3
1 2 3
21
, 0
1 1 1 7
12
u u u
q
u u u
+ + =



>

+ + =


;
c)
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
30
340
u u u u
u u u u
+ + + =



+ + + =


; d)
1 2 3
1 2 3
. . 64
14
u u u
u u u
=



+ + =

.
Bài 18.a) Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân .
b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân.
Bài 19.Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216.
Bài 20.a) Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng cơng bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng
cuối là 486 .
b) Tìm cơng bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889 .
Bài 21.Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35, còn
số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560.
Bài 22.Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các số
hạng có chỉ số lẻ. Xác định cơng bội của cấp số nhân đó.
Bài 23.Bốn số
, , ,a b c d
lập thành cấp số nhân . Chứng minh :
a)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
b c c a d b a d− + − + − = −
;
b)
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
ab bc cd a b c b c d+ + = + + + +
.

Bài 24. Chứng minh :
a) Nếu
, ,a b c
lập thành một cấp số nhân thì
2
, ,ab b cb
cũng lập thành một cấp số nhân .
b) Nếu bốn số dương
, , ,a b c d
lập thành cấp số nhân thì ba số :
, ,ab bc cd
cũng lập thành cấp số
nhân .
Bài 25.Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là
148
9
, đồng thời, theo thứ tự, chúng
là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Bài 26.Cho dãy số
( )
n
u
, biết tổng
n
số hạng đầu tiên :
1
5 3
5
n
n

n
S
−
−
=
a) Hãy xác định số hạng tổng qt của
( )
n
u
.
b) Chứng minh
( )
n
u
là một cấp số nhân , tìm cơng bội của nó .
Bài 27.Cho cấp số nhân
( )
n
u
có
1
0 , 0q u≠ ≠
a) Chứng minh :
( )
*
, , ,
k k m k m
u u u m k m k
− +
= × ∀ ∈ <¥

.
b) Chứng minh :
k m
k m
u u q
−
= ×
.
b) Tính tổng
k
số hạng đầu tiên của
( )
n
u
, biết
, 0
k m k m
u u a q
− +
× = >
.
Bài 28. Cho dãy số
( )
( )
1 2
1 1
1 , 2
:
3 2 , 2
n

n n n
u u
u
u u u n
+ −
= =



= − ∀ ≥


.
Xét dãy số
( )
n
v
biết :
( )
1
, 1
n n n
v u u n
+
= − ∀ ≥

TTLT - 1A – Tan Hai
43
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
a) Chứng minh dãy số

( )
n
v
là cấp số nhân.
b) Tìm số hạng tổng qt của dãy số
( )
n
u
.
Bài 29.Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một
cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân.
Bài 30.Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số hạng kế tiếp
của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24.
Bài 31.Tìm các số
,x y
sao cho
3 , 5 2 , 3x y x y x y+ − +
lập thành một cấp số cộng và
( ) ( )
2 2
1 , 3 , 2x xy y− − +
lập thành một cấp số nhân .
Bài 32.Chứng minh các dãy
( )
n
u
sau vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân
a)
( )
( )

1
2
1
2
:
4
, 1
4
n
n
n
u
u
u
u n
+
=



+
= ∀ ≥


; b)
( )
( )
1
1
4

:
12 , 1
n
n n
u
u
u u n
+
=



= + ∀ ≥


.
Bài 33.Tính các tổng sau :
a)
( )
7
7 77 777 777 7
n
A = + + + +
1 2 3
số
;
b)
( )
5
15 155 1555 1555 5

n
B = + + + + L
14 2 43
số
;
c)
( )
2 2 2
2 2010
2 2010
1 1 1
, 0C x x x x
x x x
     
= + + + + + + ≠
 ÷  ÷  ÷
     
L
;
d)
2 2009
1 2.3 3.3 2010.3D = + + + +L
;
e)
( )
2
1 4.3 7.3 3 2 .3
n
E n= + + + + −L
;

f)
2 3
1 3 5 2 1
2 2 2 2
n
n
F
−
= + + + +L
.
g)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 1 2 2 2 3 2 1G n n n n= − − + − − − + + −L
.
TTLT - 1A – Tan Hai
44
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
Đề 3:
1) Chứng minh
( )
sin 3 1
lim 0
2 1
n
n
+
=
−

.
2) Tính các giới hạn sau :
a)
( )
lim 0,23
n
b)
3 1
lim
2
n
n
+
+
c)
2
2
5 3 1
lim
2 5
n n
n n
+ +
+ −
d)
( )
2
lim 3n n n+ − −
e)
( )

lim 5 7
n n
−
f)
2
2011 5 1
lim
2010 2
n n
n
+ +
+
.
3) Tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn là 10 , tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là
155
16
. Tìm
1
,u q
của cấp số nhân
( )
n
u
đó .
4) Cho
( )
2
2
sin 3 1
2011 5

3
n
n
n
u
n
n
+
+
= −
+
. Tìm
lim
n
u
.
Đề 4:
1) Cho hình lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
. Gọi
' , ' ' , ' 'A A a A B b A C c= = =
uuuur uur uuuuur uur uuuuur ur
a) Hãy biểu thị mỗi véc tơ
' , 'BC B C
uuuur uuuur
qua các véc tơ
, ,a b c
uur uur ur
.
b) Gọi

G
là trọng tâm tam giác
ABC
. Hãy biểu thị véc tơ
'A G
uuuur
qua các véc tơ
, ,a b c
uur uur ur
.
2) Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh là
a
.
a) Tính
.AB DC
uuur uuur
.
b) Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
,AD BC
.
+ Chứng minh
( )
1
2
MN AB DC= +
uuuur uuur uuur

.
+ Tính độ dài của véc tơ
MN
uuuur
.
3) Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,I J
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,DC AB
. Biết
D 2 , 3A BC a IJ a= = =
. Tìm góc giữa
AD
và
BC
.
4) Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi ,
,SD AD SD AB= ⊥
.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng
,SC AB
.
b) Gọi
, : / /M SA N SC MN AC∈ ∈
. Chứng mi nh rằng góc giữa
BD

và
MN
khơng phụ thuộc vào vị
trí của
,M N
.
TTLT - 1A – Tan Hai
45