CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI DAO ĐỘNG CƠ (BỒI DƯỠNG HSG LÝ)

CHUYÊN ĐỀ HỌC SINH GIỎI DAO ĐỘNG CƠ
Câu2 (3 điểm): Môt thanh kim loại mảnh, tiết diện đều, đồng chất dài l 1m , khối lượng m, có trục quay
 đi qua O vng góc với thanh ( H 1). Biết O ở vị trí sao cho thanh dao động điều hoà quanh O với chu
kỳ nhỏ nhất. Bỏ qua mọi ma sát và lực cản môi trường.
A
Lấy g = 10  2 (m/s2).
a/ Chứng minh vật dao động điều hoà với biên độ nhỏ. Xác định chu kỳ dao động nhỏ nhất của thanh
O o
kim loại trên.
b/ Cơ hệ đặt trong từ trường đều có B = 10-2 Tesla, đường cảm ứng song song với .
G o
Giải
Từ phương trình chuyển động của vật rắn quay: Mp = I.
mgd
I
 ’’ +
 = 0  chu kỳ: T = 2
I
mgd
B
mld
l
1 2
H1
Mặt khác: I =
ml + md2 
 T  2
3
12
g 3
l

1 2
Lúc này:
ml = md2  d =
2 3
12
b/ Khi thanh quay trong từ trường, từ thơng qua diện tích qt là:
1
1
 = B.S = B. .R2  suất điện động cảm ứng e = B. .R2
2
2
1
Bl 2
2
2
 Hiệu điện thế giữa hai điểm AB: U =  e1 – e2  = B. .( R1  R2 ) =
2
2 3
Tính được U
Câu 2. (3 điểm). Một đĩa khối lượng M được treo bằng một sợi dây mảnh, có hệ số đàn hồi k
O
vào điểm O cố định. Khi hệ thống đang đứng n thì một vịng nhỏ có khối lượng m rơi tự do
từ độ cao h (so với mặt đĩa) xuống và dính chặt vào đĩa. Sau đó, hệ dao động theo phương m
thẳng đứng. Xem hình bên.
h
k
a) Tính năng lượng và biên độ dao động của hệ.
M
b) Lực hồi phục tác dụng lên hệ trong quá trình dao động có cơng suất cực đại là bao nhiêu ?
Câu 2 (3 điểm).

a) Sau va chạm:

+ Sự bảo toàn động lượng mv = (m + M)v1 trong đó mgh = mv2/2 nên v1 =
Hệ có động năng ban đầu

m 2gh
m+M

1
(m + M)v12 ..................................................................................... (0,5điểm)
2

+ Cũng ngay sau va chạm, hệ vật + đĩa cịn cách vị trí cân bằng x 1 =

mg
, đó chính là li độ x1 của hệ khi có vận tốc
k

v1. Vậy năng lượng tồn phần của hệ dao động là:

+ Từ E = kA2/2 suy ra biên độ dao động A =

2

2

k  mg 
ghm 2
m 2g 2

.................(0,5điểm)

+
 + 
2  k 
m+M
2k

2E
mg
2kh
=
1+
(1) ..................(0,5điểm)
k
k
(m + M)g

 m 2gh
1
k
1
E =  m + M  v12 + x12 =  m + M  
 m+M
2
2
2


b)

+ Công suất của lực hồi phục có biểu thức P = Fv = kxv (2) . Lấy đạo hàm theo t để tìm cực đại ta có
P' = kx'v + kxv' = 0. Với x' = v và v' = x" = - x2 Ta có kv2 – kx22 = 0 ........................(0,5điểm)
1


+ Mặt khác (m + M)v2/2 + kx2/2 = kA2/2 và 2 = k/(m +M) ta suy ra công suất cực đại khi li độ và vận tốc có giá
A
k
A
trị x =
; v=
.................................................................................(0,5điểm)
2
m+M 2
+ Thay vào (2) ta nhận được Pmax =

A2
2

k3
với A xác định ở (1) ......................................(0,5điểm)
(m + M)

Câu 3. (2 điểm). Một hình trụ đồng chất, khối lượng m, bán kính R có thể lăn khơng trượt
trên mặt phẳng ngang (hình 1). Trục quay G của nó được nối qua lị xo có độ cứng k với
G
một điểm cố định. Hệ được thả khơng có vận tốc ban đầu từ vị trí lị xo giãn một đoạn nhỏ
x0. Chứng minh hệ dao động điều hịa và tìm chu kỳ dao động.
Câu 3
(2 điểm)

Hình 1

+ Khi vật ở li độ x lúc đang dao động, cơ năng của hệ là
mR 2 v2
´ 2
2
2
W = kx2 mv2 I w2 kx2 mv2
…….………….
0,5 điểm
R = kx + 3mv
+
+
=
+
+ 2
2
2
2
2
2
2
2
4
+ Lực ma sát nghỉ có tác dụng giữ cho hình trụ khơng trượt  khơng sinh cơng, cơ năng bảo tồn:
kx2 3mv2
W=
= const.
…………………………………….….………0,5 điểm

+
2
4
3mvv '
2k
+ Vi phân hai vế: kxx '+
= 0. Chú ý v =x '; v ' =x "  x "+
x =0 ….…........0,5 điểm
2
3m
2
3m
2k
 2
 x "+w2x = 0 với w =
 Vậy chu kỳ dao động của hệ là:T 
0,5 điểm

2k
3m
Bài 4 (HSG Lao Cai): Con lắc lò xo đặt thẳng đứng (như hình vẽ 4), đầu dưới gắn chặt vào mặt sàn, đầu
trên gắn vật m1= 300g đang đứng yên ở vị trí cân bằng, độ cứng của lò xo là k = 200 N/m. Từ độ cao h =
3,75cm so với m1, người ta thả rơi tự do vật m2 = 200 g, va chạm mềm với m1. Sau va chạm cả hai vật
cùng dao động điều hoà theo phương thẳng đứng. Lấy g = 10 m/s2, bỏ qua mọi ma sát.
a. Tính vận tốc của m1 ngay sau va chạm.
b. Hãy viết phương trình dao động của hệ hai vật m1 và m2.
GIẢI
3
a. Vận tốc của m2 ngay trước va chạm : v  2 gl 
0,866(m / s )

2
* Xét hệ hai vật m1 và m2 ngay trước và sau va chạm, theo định luật bảo tồn động lượng ta có :
m .v
3
m2 v (m1  m2 ).v0  v0  2
 (m / s ) 20 3(cm / s)
m1  m2
5
Vì va chạm mềm nên ngay sau va chạm cả hai vật chuyển động cùng vận tốc là:
m
v 0 20 3 (cm / s)
h
b. Chọn trục toạ độ Ox có gốc O trùng vời VTCB của hai vật, chiều dương thẳng
đứng hướng lên trên.
Chọn gốc thời gian là lúc hai vật bắt đầu dao động.
m
2

1

* Độ biến dạng của lò xo khi vật m1 cân bằng là :
mg
l1  1 1,5(cm)
k
* Độ biến dạng của lò xo khi hai vật cân bằng là : l 2 

k

(m1  m2 ) g
2,5(cm)

k

Hình vẽ

2


* Tần số góc :  

k
20(rad / s )
m1  m2

 x  A sin  1(cm)
* lúc t = 0 ta có : 
v  Ac cos   20 3 (cm / s)
1
5
 tg 
vì sin   0 và cos   0    (rad )
6
3
1
A
2(cm)
 5 
Biên độ dao động là :
sin  
 6 
5 


 (cm)
* Vậy phương trình dao động là : x 2 sin  20t 
6 

Câu 4 (Đồng Tháp) Cho cơ hệ gồm vật M, các ròng rọc R1, R2 và dây treo có khối lượng
khơng đáng kể, ghép với nhau như hình 1. Các điểm A và B được gắn cố định vào giá đỡ. Vật
M có khối lượng m=250(g), được treo bằng sợi dây buộc vào trục rịng rọc R2. Lị xo có độ
cứng k=100 (N/m), khối lượng không đáng kể, một đầu gắn vào trục ròng rọc R2, còn đầu kia
gắn vào đầu sợi dây vắt qua R1, R2 đầu còn lại của dây buộc vào điểm B. Bỏ qua ma sát ở các
ròng rọc, coi dây không dãn. Kéo vật M xuống dưới vị trí cân bằng một đoạn 4(cm) rồi bng
ra khơng vận tốc ban đầu. Chứng minh rằng vật M dao động điều hồ và viết phương trình
dao động của vật M .
Giải
- Chọn trục Ox thẳng đứng hướng xuống, gốc toạ độ O ở VTCB của M.

 


1)- Tại VTCB của vật M ta có: P  2T0  F0 0 hay P  3F0 0 (1)
- Từ (1) suy ra: mg=3k∆l0 (2)

 


A B


- Tại vị trí vật M có toạ độ x bất kì ta có: P  2T  F ma hay P  3F ma (3)
R

- Chiếu (3) lên trục toạ độ Ox ta có :
1
mg - 3k(∆l0+3x) = ma = mx’’ (4)
9k
9k
2
- Từ (2) và (4) ta có : x ' ' x 0 đặt  
ta có x' ' 2 x 0 (5)
T F
T
m
m
- Phương trình (5) có nghiệm :
R
x = Acos( t   ) trong đó A ,  ,  là những hằng số
2 M
2)- Chọn gốc thời gian là lúc thả vật. Tại thời điểm t =0 ta có:

4 = Acos
0 = -  Asin  .
9k
suy ra A = 4 (cm) và  = 0

60(rad/s)
P
m
Vậy phương trình dao động là x = 4cos 60 t (cm)
Bài 4 (HSG Lào Cai 06-07): Cho hệ dao động như hình vẽ 4. Lị xo có khối lượng khơng đáng kể, độ
cứng k. Vật M = 400g có thể trượt khơng ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Hệ đang ở trạng thái cân
bằng, dùng vật m0 = 100g bắn vào M theo phương ngang với vận tốc v0 = 1m/s, va chạm là hoàn toàn đàn

hồi. Sau va chạm vật M dao động điều hoà, chiều dài cực đại và cực tiểu của của lị xo lần lượt là 28cm và
20cm.
1. Tính chu kỳ dao động của vật và độ cứng của lò xo.
2. Đặt một vật m = 100g lên trên vật M, hệ gồm hai vật m và M đang đứng yên, vẫn dùng vật m0 bắn vào
với vận tốc v0. Va chạm là hoàn toàn đàn hồi, sau va chạm ta thấy cả hai vật cùng dao động điều hồ. Viết
phương trình dao động của hệ hai vật m và M. Chọn gốc toạ độ ở vị trí cân bằng và gốc thời gian là lúc
3


bắt đầu va chạm. Xác định chiều và độ lớn của lực đàn hồi cực đại, cực tiểu mà lò xo tác dụng vào điểm
cố định I trong quá trình hệ hai vật dao động.
3. Cho biết hệ số ma sát giữa vật M và vật m là  = 0,4. Hỏi vận tốc v0 của vật m0 phải nhỏ hơn giá trị
bằng bao nhiêu để vật m vẫn đứng yên (không bị trượt) trên vật M trong khi hệ dao động. Cho g = 10m/s2.
Giải
1. Va chạm đàn hồi nên động lượng và động năng được bảo toàn
m0
M
m0 v 02 m0 v 2 MV
I
k
0
Ta có : m0 v 0 m0 v  MV (1)
(2)


2
2
2
Với v , V lần lượt là vận tốc của các vật m0 và M ngay sau va chạm
2 m0 v 0

Hình vẽ
0,4(m / s) 40(cm / s)
* Giải hệ (1), (2) được : V 
m0  M
* Sau v/c vật M dao động điều hoà, vận tốc cực đại của vật là V = 40(cm/s)
V
l l
Biên độ dao động là : A  max min = 4(cm) Ta có: V = A.     10(rad / s ) => chu kỳ của dao
A
2

động là: T = ( s) Độ cứng của lò xo : k  M . 2 40( N / m) .
5
2.
a. Va chạm đàn hồi nên động lượng và động năng được bảo toàn
m0 v02 m0 v12 ( M  m)Vh2
Ta có : m0 v0 m0 v1  ( M  m)Vh (3)
(4)


2
2
2
Với v1 , Vh lần lượt là vận tốc của các vật m0 và (M + m) ngay sau va chạm
2m 0 v 0
100

(cm / s )
* Giải hệ (3), (4) được : Vh 
m0  M  m

3
* Sau v/c vật (M + m) dao động điều hồ nên phương trình dao động có dạng x  A sin(t   ) .
100
Vận tốc cực đại của hệ vật là : Vh =
(cm/s).
3
k
Tần số góc :  
4 5 (rad / s )
M m

Chọn trục toạ độ có gốc trùng VTCB, chiều dương cùng hướng v 0 .
 0
 A sin  0
sin  0

 
 
Vh
Lúc t = 0 ta có : 
cos   0  A  . cos  3,73(cm / s )
 A cos  Vh



v

* Vậy phương trình dao động của vật là : x 3,73 sin(4 5t )(cm)
b. * Tại các vị trí biên lực đàn hồi của lị xo tác dụng vào điểm cố định là lớn nhất ta có
Fmax k . A 40.3,73.10  2 1,492( N )

Tại vị trí biên bên trái lực đàn hồi hướng sang bên phải
Tại vị trí biên bên phải lực đàn hồi hướng sang bên trái
* Tại VTCB lực đàn hồi của lị xo có giá trị nhỏ nhất : Fmin = 0.
3. Để vật m không bị trượt trên M trong quá trình dao động thì lực ma sát nghỉ cực đại phải có giá trị 
giá trị của lực quán tính cực đại tác dụng lên vật m (Xét trong hệ quy chiếu gắn với vật M) :
Fmsn (max)  Fqt (max) (*)
* Ta có :
Lực ma sát nghỉ CĐ : Fmsn (max)   .N  mg



2
Lực quán tính : Fqt m.a m  A sin(t   )


4


2
Để lực qn tính đạt cực đại thì sin(t   ) 1  Fqt (max) m. A
g
2
* Từ biểu thức (*) ta có : mg m A  A  2

Vmax Vh
2 m0 v 0
 
* Mặt khác: A 

  m0  m  M 

2m0 v 0
g  m0  m  M 
g

 2  v0 
1,34(m / s )
 m0  m  M  
2 m0 
Vậy v0 1,34(m / s) thì vật m khơng bị trượt trên vật M trong q trình hệ dao động.

Câu 4 (HSG Hậu Giang) . Một con lắc đơn có chiều dài l thực hiện dao động điều hoà trên một chiếc xe
đang lăn tự do xuống dốc khơng ma sát. Dốc nghiêng một góc  so với phương nằm ngang.
a) Chứng minh rằng: Vị trí cân bằng của con lắc là vị trí có dây treo vng góc với mặt dốc.
b) Tìm biểu thức tính chu kì dao động của con lắc. Áp dụng bằng số l =1,73 m;  =300; g = 9,8 m/s2.
Đáp án
T
+ Gia tốc chuyển động xuống dốc của xe là a = gsin.
F
Xét hệ quy chiếu gắn với xe
+ Tác dụng lên con lắc tại một thời điểm nào đó có 3 lực:
Trọng lượng P,
P
lực quán tính F

và sức căng T của dây treo.
x
Tại vị trí cân bằng
  
Ta có: P  F  T 0
+ Chiếu phương trình trên xuống phương OX song song với mặt dốc ta có: Psin - F + TX = 0

Mà
F = ma = mgsin
suy ra
TX = 0.
Điều này chứng tỏ ở vị trí cân bằng dây treo con lắc vng góc với Ox
+ Vị trí cân bằng như trên thì trọng lực biểu kiến của con lắc là :
P' = Pcos. Tức là gia tốc biểu kiến là g' = gcos.
l
l
+ Vậy chu kì dao động của con lắc sẽ là
T = 2
= 2
 2,83 (s).
g'
g cos 
Bài 2 (HSG Lào Cai 08-09) Một lò xo lý tưởng treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ cố định,
đầu dưới treo một vật nhỏ có khối lượng m = 100g, lị xo có độ cứng k = 25N/m. Từ vị trí cân bằng nâng
vật lên theo phương thẳng đứng một đoạn 2cm rồi truyền cho vật vận tốc 10 3 cm/s theo phương thẳng
đứng, chiều hướng xuống dưới. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, chọn trục tọa độ có gốc
trùng vị trí cân bằng của vật, chiều dương thẳng đứng xuống dưới. Cho g = 10m/s2;  2 10 .
1. Chứng minh vật dao động điều hòa và viết phương trình dao động của vật.
2. Xác định thời điểm lúc vật qua vị trí mà lị xo bị giãn 6cm lần thứ hai. Xác định hướng và độ lớn
của lực tác dụng lên điểm treo tại thời điểm đó.
Giải
1. Chứng minh vật dao động điều hịa
* Viết phương trình dao động của vật:
Tại VTCB: l 4 (cm) Tần số góc:  5 (rad/s). Tại thời điểm t = 0 ta có:
 x  A cos   2(cm)

v  A sin  10 3 (cm / s)

2
Vì sin   0; cos  0; tan   3   
(rad) Biên độ dao động : A = 4 (cm)
3
5





Vậy phương trình dao động của vật là: x 4 cos 5t 

2 
 (cm)
3 

2. Khi vật qua vị trí mà lị xo bị giãn 6cm lần thứ hai thì vật có li độ x = 2cm và chuyển động theo chiều
âm của trục tọa độ.
Ta có:


2 
1

cos 5t  3   2




sin  5t  2   0


3 



Giải hệ phương trình (lấy giá trị nhỏ nhất) được kết quả: t 0,2 (s)

* Xác định hướng và độ lớn của lực tác dụng lên điểm treo tại thời điểm đó:
- Hướng: Phương thẳng đứng, chiều từ trên xuống dưới.
- Độ lớn: F kl1 25.6.10 2 1,5 (N)
Câu 1 Cho cơ hệ như hình vẽ 1. Hai thanh cứng MA và NB khối lượng không đáng kể,
cùng chiều dài l = 50cm. Đầu tự do của mỗi thanh đều có gắn một quả cầu nhỏ cùng
khối lượng m =100g, đầu M và N của mỗi thanh có thể quay dễ dàng. Lị xo rất nhẹ có
độ cứng k = 100N/m được gắn vào trung điểm C của thanh NB. Khi hệ cân bằng lị xo
khơng biến dạng, hai quả cầu tiếp xúc nhau. Kéo quả cầu A sao cho thanh MA lệch về
bên trái một góc nhỏ rồi thả nhẹ. Coi va chạm giữa các quả cầu là đàn hồi xuyên tâm.
Bỏ qua mọi ma sát, lấy
g = 10m/s2. Hãy mô tả chuyển động và xác định chu kì dao động của hệ .
+ Do A va chạm với
 B là
 đàn hồi nên động lượng và động năng hệ được bảo tồn.
mv1 mv1'  mv2'

M

A

B
k
C

N

Hình 1

mv12 m(v1' ) 2 m(v2' )2


2
2
2
+ Chọn chiều dương cùng chiều với v1 suy ra:
mv1 mv1'  mv2'
mv12 m(v1' ) 2 m(v2' )2


 v1' 0, v2' v1
2
2
2
+Tương tự cho va chạm từ quả cầu B trở lại quả cầu A, ta được:
v1'' v2' , v2'' 0
+ Sau va chạm quả cầu này truyền hoàn toàn vận tốc cho quả cầu kia. Hệ thống dao động tuần hoàn, mỗi
con lắc tham gia một nửa dao động.
1
+ Chu kỳ dao động T  (T1  T2 ) với T1 là chu kì dao động con lắc đơn, T2 là chu kì dao động của con
2
lắc gắn với thanh và lò xo.
l
1, 4( s)
+ Ta biết chu kỳ dao động của con lắc đơn T1 2

g
Ta tìm T2 bằng phương pháp năng lượng:
+Chọn mốc thế năng trọng trường tại mặt phẳng ngang qua m khi cân bằng.
+Xét vật m tại vị trí có li độ x:
mv 2
mgx 2
-Động năng của quả cầu Eđ =
-Thế năng trọng trường Et1= 
2
2l
2
kx
kx 2
-Thế năng đàn hồi: Et2 = 1 
2
8
2
2
2
mv
mgx
kx
Cơ năng của hệ: E = Eđ + Et1 + Et2 =
(1). Do khơng có lực cản nên E = const.

2
2l
8
6

+Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo thời gian t, ta được:

mvv’ -

mgxx ' kxx '

0 Hay x’’+(
l
4

k
g
 ) x 0 .
4m l
+Vậy vật dao động điều hòa với tần số góc  

k
g
và chu kì

4m l

T2 

2
0, 4s


1

+Hệ dao động tuần hoàn với chu kỳ T  (T1  T2 ) = 0,7 + 0,2 = 0,9s
2
3/. Một con lắc đơn được kéo ra khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ 0= 0,1 rad rồi bng khơng có vận tốc
ban đầu. Coi rằng trong q trình dao động lực cản của môi trường tác dụng lên con lắc không đổi và
bằng 1/1000 trọng lượng của con lắc. Hỏi sau bao nhiêu chu kì dao động thì con lắc dừng hẳn lại ?
Câu 3(1,5 điểm):
1
2
+ Năng lượng ban đầu của con lắc là E0 = mgl.(1-cos0) = mglα0 .
2
+ Gọi 1 và 2 là hai biên độ liên tiếp của dao động (một lần con lắc qua vị trí cân bằng). Ta có độ giảm
1
1
2
2
thế năng là ( mglα1 - mglα 2 ).
2
2
+ Độ giảm này bằng công của lực cản môi trường A = Fc.S = Fc.l.(1 + 2).
1
+ Suy ra mg α1  α2  = Fc .
2
+ Độ giảm biên độ góc mỗi lần sẽ là (1-2) = 2Fc/ mg = 2.10-3mg/mg = 2.10-3 rad.
+ Đến khi con lắc ngừng dao động thì số lần đi qua vị trí cân bằng sẽ là N =0 /(1-2) = 50. Tương ứng
với 25 chu kì.
Câu 2. (2,5 điểm)
Cho cơ hệ như hình vẽ 1, lị xo lý tưởng có độ cứng k = 100 (N/m)
k
M
v0

được gắn chặt vào tường tại Q, vật M = 200 (g) được gắn với lò xo
Q
m
bằng một mối nối hàn. Vật M đang ở vị trí cân bằng, một vật m = 50
(g) chuyển động đều theo phương ngang với tốc độ v 0 = 2 (m/s) tới va
( Hình vẽ 1) O
chạm hoàn toàn mềm với vật M. Sau va chạm hai vật dính làm một và
dao động điều hịa. Bỏ qua ma sát giữa vật M với mặt phẳng ngang.
a. Viết phương trình dao động của hệ vật. Chọn trục tọa độ như hình vẽ, gốc O trùng tại vị trí
cân bằng, gốc thời gian t = 0 lúc xảy ra va chạm.
b. Sau một thời gian dao động, mối hàn gắn vật M với lò xo bị lỏng dần, ở thời điểm t hệ vật
đang ở vị trí lực nén của lò xo vào Q cực đại. Sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu
(tính từ thời điểm t) mối hàn sẽ bị bật ra? Biết rằng, kể từ thời điểm t mối hàn có thể chịu
được một lực nén tùy ý nhưng chỉ chịu được một lực kéo tối đa là 1 (N).
Câu 2(2,5 điểm)
Đáp án
Điểm
a. Viết phương trình dao động:
+ Gọi v là vận tốc của hệ vật sau va chạm, sử dụng định luật bảo tồn động lượng ta
có:
mv 0 = ( M + m)v  v = 0,4 m/s = 40 cm/s
0,5
+ Phương trình dao động của hệ hai vật:
 x  A cos(t   )

v  A sin(t   )

Chọn gốc thời gian, trục tọa độ như giả thiết, ta có:
 x  A cos  0(cm)


v  A sin   40(cm / s )

(1)
7

x


=

k
100

20
M m
0,25

rad/s

0,5

(2)

0,5
0,5

Từ (1) và (2) ta tìm được A = 2 cm,  = /2.
+ Phương trình dao động: x = 2cos(20t + /2)(cm)
b. Xác định thời gian ngắn nhất:
+ Lực tác dụng vào mối hàn là lực kéo khi hệ vật (M + m) dao động với

x>0
+ Lực tác dụng vào mối hàn chính là lực đàn hồi của lò xo F đ = k x = kx
y



x’ -2
B

O

0,25

P

2 x





0,25
N

+ Mối hàn sẽ bật ra khi F đ
1N
kx
 1N  x  0,01m = 1 cm
+ Thời gian ngắn nhất từ khi lò xo bị nén cực đại cho tới khi mối hàn bị bật ra là thời
gian vật chuyển động từ B đến P ( x P = 1 cm). Sử dụng hình chiếu chuyển động trịn

đều ta xác định được:
t min = T/3 = /30 (s)
Câu 2(4đ): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nhỏ khối lượng m = 250g và một lò xo nhẹ có độ
cứng k = 100 N/m. Kéo vật m xuống dưới theo phương thẳng đứng đến vị trí lị xo giãn 7,5 cm rồi thả
nhẹ. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng của vật, trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên, gốc
thời gian là lúc thả vật. Cho g = 10m/s2. Coi vật dao động điều hịa
a. Viết phương trình dao động
b. Tính thời gian từ lúc thả vật đến thời điểm vật đi qua vị trí lị xo khơng biến dạng lần thứ nhất.
c. Thực tế trong q trình dao động vật ln chịu tác dụng của lực cản có độ lớn bằng

1
trọng lực
50

tác dụng lên vật, coi biên độ dao động của vật giảm đều trong từng chu kì tính số lần vật đi qua vị
trí cân bằng kể từ khi thả.
Câu 3(4đ): Một con lắc đơn gồm quả cầu kim loại khối lượng m = 0,1kg được treo vào một điểm A cố
định bằng một đoạn dây mảnh có độ dài l = 5m. Đưa quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng cho đến khi dây treo
nghiêng với góc thẳng đứng một góc  0 = 90 rồi bng cho nó dao động điều hịa. Lấy g =2 = 10 m/s2.
a. Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ góc và li độ dài ? Chọn gốc thời gian lúc bng
vật.

b.Tính động năng của nó sau khi buông một khoảng thời gian t =
(s)? Xác định cơ năng toàn
6 2
phần của con lắc?
c. Xác định lực căng của dây treo con lắc khi vật đi qua vị trí cân bằng?
a. Vật chịu tác dụng của 2 lực: trọng lực
và lực đàn hồi của lị xo:
8

•


- Tại VTCB có:

mg kl 0  l 0 

mg
0,025m
k

x

2,5cm

- Phương trình dao động của vât có dạng:
x  A cos(t   )

Với  

k
100

20( rad / s )
m
0,25
 x  (7,5  2,5)  5cm

-Tại lúc t = 0 v 0
Vậy pt: x 5 cos(20t   )(cm)

0

 A 5(cm)
 
  ( rad )

b. Vật bắt đầu chuyển động đến lúc x = 2,5 cm thì lị xo ko giãn lầ thư nhất. khi đó ta có bán kính véc
tơ của chuyển động trịn đều qt được một góc  

2
 
.t  t   ( s )
3
 30

2,5


c.Gọi A1, A2, ….., An là biên độ dao động của vật trong những lần kế tiếp. Mỗi lần vật đi qua vị trí cân
1
2

bằng năng lượng giảm: w  k ( A12  A22 )  AFc 

1
mg ( A1  A2 )  A1  A2 10  3 m 0,1cm
50

A

Vậy số lần vật đi qua vị trí cân bằng là: N  A  A 50 lần
1
2

Câu 3a. Phương trình dao động của con lắc có dạng: s = S0cos( t   ), hoặc   0 cos(t   )
Trong đó  

g
 2 rad/s
l

9
cos( 2t ) rad
Khi t = 0 thì   0 => cos 1 =>  0 =>  
180

=>   cos( 2t ) rad
20


Hoặc: S0 = l.  0 = m => s = cos( 2t ) m
4
4



) =  3 rad
s thì   cos( 2
6 2

20
6 2
40
1
2
Thế năng của vật lúc đó là: wt = mgl = 0,046875J
2
1
2
Cơ năng con lắc là: W = mgl 0 = 0,0625J
2
Động năng của vật lúc đó: wd = W – wt = 0,015625J
b.Sau thời gian t =



9


c. Từ phương trình bảo tồn năng lượng ta có:
mv 2
mgl (1  cos  0 )
2
mv 2
T  mg
Mặt khác ta lại có:
l
Suy ra: T mg (3  2 cos 0 ) =5,123N

Câu 4 (2 điểm): Một vật dao động điều hịa với chu kì T = 0,5s và biên độ A. Biết rằng trong 1 chu kì,

7T
khoảng thời gian để gia tốc của vật biến thiên trên đoạn từ  400 3cm / s 2 đến 400 2cm / s 2 là
. Tìm
12
biên độ dao động của vật.
Câu 4:
M’
Ta có:
M
  2 2
t   
 T

   2
1 2 2A
-2A
7T 
7
a
P’ 0
P

 T

12 
12
Từ hình vẽ ta thấy:
Biểu diễn
gia tốc theo
chuyển động

tròn đều

    1   2   cos  cos  1   2   cos
2

 16 .A    400 3 
2

2

7
sin 1 sin  2  cos1cos 2
12
2

 16 .A   400 2 
2

2

 400 3 400 2
7

.

.
12
16 2 . A
16 2 . A
16 2 . A 16 2 . A

 A 5  cm 
Bài 5:
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nhỏ có khối lượng m = 250g và một lị xo nhẹ có độ
cứng k = 100N/m. Kéo vật m xuống theo phương thẳng đứng đến vị trí lị xo giãn 7,5cm rồi thả nhẹ. Chọn
gốc toạ độ ở vị trí cân bằng của vật, trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương hướng xuống dưới, chọn gốc
 cos

thời gian là lúc thả vật. Lấy g 10m / s 2 và π2 ≈ 10 . Coi vật dao động điều hịa.
a) Viết phương trình dao động
b) Tìm thời gian từ lúc thả vật đến khi vật tới vị trí lị xo không biến dạng lần đầu tiên.
c) Xác định độ lớn lực đàn hồi tại thời điểm động năng bằng ba lần thế năng.
d) Xác định khoảng thời gian lò xo bị giãn trong một chu kì.
5
(2đ)

- Vật m chịu 2 tác dụng: Trọng lực P và lực đàn hồi của lị xo. ở vị trí cân bằng (VTCB)
lị xo giãn một đoạn l , ta có phương trình: P F0  mg kl
mg 0, 25.10
 l 

0, 025 2,5cm
k
100
10


- Phương trình dao động có dạng: x Acos(t  )
k
100


20rad / s
m
0, 25
ở thời điểm thả vật thì lị xo giãn 7,5cm tức là cách VTCB một đoạn
là: 7,5 – 2,5 = 5cm
 Acos =5
 0(rad )


-Asin =0
 A 5cm
a) Do đó phương trình dao động là: x 5cos 20t (cm)
2
2 
b)
t min  3   0,1054(s)
 60 30
c) Tại vị trí có động năng bằng ba lần thế năng:

x

trong đó tần số góc:  

N

-5

0,25

2,5

O

0,25
M5

0,5

0,25

-5
N

2,5

0,25

O
M

x 5

0,5

 w d 3w t
1 1 2
1 2 11 2
A


1 2  w t   kA   kx   kA   x  2,5cm

4 2
2
4 2
2


 w d  w t  2 kA
- Nếu x  2,5cm l  Fdh 0( N )
2
100.5.10  2 5( N )
- Nếu x 2,5cm  Fdh k l  2,5.10





d) Khoảng thời gian lò xo bị giãn trong một chu kì là:
4
4 
t  3   0, 2108(s)
 60 15
Bài 5 (2,0 điểm): Một con lắc đơn dài l = 1 m, quả nặng khối lượng m = 400 g mang điện tích q = - 4.10-6
C. Đặt con lắc vào vùng khơng gian có điện trường đều (có phương trùng với phương của trọng lực) thì
chu kì dao động của con lắc là T = 1,95 s. Xác định hướng và độ lớn của điện trường
Bài 6 (2,0 điểm): Cho cơ hệ như hình vẽ:
m
Hai lị xo nhẹ có độ cứng lần lượt là K1 = 60N/m;
K1
K2
M

M
K2 = 40N/m; M = 100g; m = 300g. Bỏ qua ma sát
giữa M với sàn, lấy g =  2 = 10(m/s2). Tại vị trí cân bằng của hệ hai lị xo khơng biến dạng. Đưa hai
vật lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn 4 cm rồi thả nhẹ, người ta thấy hai vật không trượt đối với nhau.
1. Chứng minh hệ dao động điều hồ, tính chu kì dao động và vận tốc cực đại của hệ.
2. Hệ số ma sát nghỉ giữa m và M phải thoả mãn điều kiện nào để hệ hai vật dao động điều hoà ?
+ Chon trục Ox trùng quỹ đạo, O ≡ VTCB.
11






+ Tại VTCB: hai lị xo khơng biến dạng, nên P  N 0
+ Tại vị trí vật có li độ x:
Lực tác dụng lên vật gồm: P (m  M ).g ; N ; F1  K 1 .x; F2  K 2 .x
   

Theo định luật 2 Niu Tơn: P  N  F1  F2 ( M  m)a
(theo gt hai vật không trượt trên nhau)
Chiếu (1) lên Ox:  K 1 .x  K 2 .x ( M  m).x //
Đặt K  K 1  K 2  x // 


K
.x 0 , chứng
mM

(1)

tỏ vật dao động điều hồ với tần số góc

K
5 (rad / s )
mM

+ Chu kì dao động của hệ: T 

2
0,4( s )


+ Biên độ dao động của hệ: A= x0 = 4cm ( vì v0 = 0)
+ Vận tốc cực đại của hệ: v max A 20 (cm / s )
+ Lực tác dụng lên M: P2 Mg ; phản lực Q của sàn; áp lực mà m đè lên M là N12 = mg; lực ma sát nghỉ
giữa m và M là Fms12
 



+ Theo định luật 2 Niu Tơn: P2  Q  N 12  Fms12 Ma
(2)
Chiếu (2) lên Ox: Fms12 Mx // M .(  2 .x) 

K
.M .x với x    A; A
mM

+ Để hệ dao động điều hồ thì hai vật không trượt trên nhau, nên ma sát giữa hai vật là ma sát nghỉ, cần

điều kiện: Fms12  N 12 mg với x    A; A
K

K .M . A

chỉ cần m  M .M . A  mg    (m  M ).mg 0,333
Giải:
a. Chu kì: T 2

l
2
g

1
1,986( s )
10







b. Khi con lắc đặt vào điện truờng đều E , con lắc chịu tắc dụng của lực điện trường F qE
   

 
Ở vị trí cân bằng: P  T  F 0  T '   P  F 

 

Đặt P'  P  F  mg '
(1)
Ta coi con lắc dao động trong trọng lực hiệu dụng: P ' mg ' , với g ' là gia tốc trọng trường hiệu dụng

 Chu kì của con lắc là:

l
g'

T ' 2

Do T '  T nên g '  g  g '  g 

qE

(2)

m








 F ngược chiều P mà q  0 nên E ngược chiều F . Vậy E cùng chiều P (hay E có hướng

thẳng đứng hướng xuống )
qE


4 2 l
4 2 l  m 
4 2 .1  0,4





g


E

g



10

8,48.10 5 (V / m)
Từ (2) 
2
2 
2 
6


T'

m



T'

 q



2,04  4.10

Bài 2: (4 điểm) Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật m = 250g. Ở VTCB lò xo dãn 2,5cm. Cho
con lắc dddh. Thế năng của nó khi có vận tốc 40 3 cm/s là 0,02J. Lấy g = 10m/s2 và  2 = 10. Chọn gốc
thời gian lúc vật có li độ x = -2cm và đang chuyển động theo chiều dương. Xác định các thời điểm vật có
vận tốc cực đại trong 2 chu kỳ đầu.

k = mg/ l = 100N/m =>  = 20rad/s => T =
s…………………………
10
12


Khi v = 40 3 cm/s =>wd=0,06J => W = wt + wd = 0,08J…………………..
=>A = 0,04m = 4cm………………………………………………………….
Ptdd: x=Acos( t   ); ……………………………………………………..
v=-  Asin   t+  …………………………………….
Khi t = 0 => x = -2cm; v > 0 => cos  = -1/2; sin  < 0 =>  = -2  /3……
=>x=4cos(20t- 2  /3) cm……………………………………………………
Khi vmax => sin (20t - 2  /3) = -1 => 20t - 2  /3 = -  /2 +2n  ……….

=> t =…  /120 + n  /10……………………………………………..
Vì 0  t  2T =  /5s => t = 0,026s; 0,34s; …………………………..
Câu 1 (2 điểm).
Một con lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng M 300 g , lị xo nhẹ có độ cứng
k 200 N / m . Khi M đang ở vị trí cân bằng thì thả vật m 200 g rơi từ độ cao
h 3, 75cm so với M (Hình 1). Coi va chạm giữa m và M là hoàn toàn mềm. Sau va
chạm, hệ M và m bắt đầu dao động điều hịa. Lấy g 10m / s 2 .
a) Tính vận tốc của m ngay trước va chạm và vận tốc của hai vật ngay sau va chạm.
b) Viết phương trình dao động của hệ (M+m). Chọn gốc thời gian là lúc va chạm,
trục tọa độ Ox thẳng đứng hướng lên, gốc O là vị trí cân bằng của hệ sau va chạm.
c) Tính biên độ dao động cực đại của hệ vật để trong quá trình dao động vật m khơng
rời khỏi M
Ý
Lời giải
a

b

m
h
M
k

Hình 1

Vận tốc của m ngay trước va chạm: v  2 gh 50 3cm / s 86, 6cm / s
Do va chạm hồn tồn khơng đàn hồi nên sau va chạm hai vật có cùng vận tốc V
mv
mv ( M  m)V  V 
20 3cm / s 34, 6cm / s

M m
K
Tần số dao động của hệ:  
20rad / s . Khi có thêm m thì lị xo bị nén thêm một đoạn:
M m
mg
x0 
1cm . Vậy VTCB mới của hệ nằm dưới VTCB ban đầu một đoạn 1cm
K
V2
2 (cm)
2
1 2cos

   rad
Tại t=0 ta có: 
3
  2.20sin   0
Tính A: A  x 20 



Vậy: x 2cos  20t   cm
3


c





Phản lực của M lên m là N thỏa mãn: N  mg ma  N  mg ma  m 2 x
 N mg  m 2 x  N min mg  m 2 A
Để m khơng rời khỏi M thì N min 0  A 

g
g
10
Amax  2  2 2,5cm
2 Vậy


20

Câu 3 (2,5 điểm).
Cho con lắc lị xo gồm lị xo nhẹ có độ cứng k 50 N / m , vật nặng kích thước nhỏ
có khối lượng m 500 g (Hình 2). Kích thích cho vật dao động điều hịa theo phương thẳng
đứng. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ x 2,5cm với tốc độ 25 3 cm / s

k
m 13
Hình 2


theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Chọn trục tọa độ Ox theo phương thẳng đứng, chiều dương
hướng lên trên, gốc O trùng với vị trí cân bằng của vật. Lấy g 10m / s 2 .
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1  2,5cm đến vị trí có li độ x2 2,5cm
.
c) Tính quãng đường đi được của vật kể từ lúc bắt đầu dao động đến khi tới vị trí có động năng bằng thế

năng lần thứ hai.
Tần số góc  

k
50

10rad / s
m
0,5

2,5

cos=



 x A cos  2,5
A

 


Tại t = 0, ta có: 
3
25
3
 v  A sin   25 3
sin  
 A 5cm


10A

 Phương trình dao động x 5cos(10t  ) (cm)
3
Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x1 = -2,5cm
đến vị trí có li độ x2 = 2,5cm

t 





 s 0,1s
 3.10 30

-5

- 2,5

O


2,5

5 x


N

M
Quãng đường vật đi từ vị trí ban đầu tới vị trí có động năng bằng
năng lần thứ 2

Wd A 2  x 2
A

1  x 
2,5 2cm
2
Wt
x
2

thế
5

M

2, 5 2 N
2,5

 s 7,5  5  2,5 2 12,5  2,5 2 8,96cm
O

Q
(Lần 1)

-5

P
(Lần 2)

14