Bài tập đại số tuyến tính uneti

PHẦN BÀI TẬP
Chương 1: Ma trận – Định thức
2 3 
 2 3


1. Cho hai ma trận: A  0 2 , B   1 4  . Tính A.BT.




 3 5 
 2 5 
3 0 2 
 2 1 3
T
2. Cho hai ma trận: A  
, B

 . Tính A B.
5
2
4

3
0
4





 1 4 8 12 
2 1 3 1
.
3. Tìm hạng của ma trận A  
 2 8 16 24 


1 1 2 3
1
3 2 0 

4. Cho hai ma trận: A  
, B 0
1
2
4


 1
 5 1 1
 2 1 3
5. Tìm hạng của hệ ma trận A  
1 3 5

7 7 9

2 3
3 2  . Tính AB.
2 4 
7

4 
.
1

1

7 9 5 
0 3 4
6. Cho hai ma trận: A  8 1 0  , B  
. Tính AB và BA.
5 2 6 

 0 6 3 
5
3

7. Tìm hạng của ma trận A   2

6
 4

2
5
3
3
6

 7
0 1 



8. Cho hai ma trận: A  4 7 B   8



 0
 2 5

 0
9. Cho hai ma trận: A   4

  1

2
1
3

3
3 1 
1 0 .

5 4
2 0 
4

9
1
6

5

0  . Tính AB, BA.
3

9
11 1

0  , B   0 3 . Tính BA, AB.


 1 10 
2 


 2
 5 1 2 
10. Cho hai ma trận: A  
, B 4


3
4 2

1
1

 0

1
 3
11. Tìm hạng của ma trận A  

4

2

2

1
3 
.
5

9

2 2
4 2
2 1
8 1


 3 1 1
12. Cho hai ma trận: A  
, B 3


 2 0 3 


1
 2
13. Tìm hạng của ma trận A  

4

2

1 2
1 1
2 3
0 1

0

1
1

 1

2

 0

0

2 3
2 1
2 1
0 2

4
3 
.

5

1

1

16. a) Cho ma trận A  
. Tính A3 .

 3 2 
1
 2
b)Tìm hạng của ma trận B  
 1

4

2 3 4
2 4 2 
.
4 7 6

2 0 4

 2 3 
. Hãy tính A3 .
0 

17. a) Cho ma trận A  
1

2
2  . Tính AB.
4 

3
3 
.
5

-1

 2
3 1 2 
14. Cho 2 ma trận: A  
, B 4


3
2 0


1
 2
15. Tìm hạng của ma trận A  
4

3

3

0  . Tính AB.
1

1
1
2

2
3  . Tính AB.
5


1 2 1 2 
2 4 3 5 
.
b)Tìm hạng của ma trận B  
3 2 2 7 


8 9 7 10 

 sin  cos  
18. a) Cho ma trận A  
. Hãy tính A2

cos sin  
 1
 1
b) Tìm hạng của ma trận B  
2


2

2 1 3
1 4 0 
.
3 3 3

6 8 6 

Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
4 x  3 y  z  m  1
1.Cho hệ  2 x  2 y  m
 x  y  (m  2) z  1


a. Với m = 1 hãy giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss.
b. Tìm m để hệ có vơ số nghiệm.
 2x - 3y + z   m

2. Cho hệ  x + y  (m  1)z  1
 -3x  2y  m  1


a. Với m = 2 hãy giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss.
b. Tìm m để hệ có vơ nghiệm.
 x - 2y - 3z  2

3. Cho 2x - 5y + mz  1
 5x - 8y - 2z  4



a. Với m = 1 hãy giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
 2 x  2 y  kz  8
4. Cho hệ phương trình  y  3 z  k  2
 x  5 z  2

a. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss với 𝑘 = 5.
b. Tìm k để hệ có nghiệm.


3 x  y  2 z  9
5. Cho hệ phương trình  y  4 z  k  4
 2 x  kz  2


a. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss với 𝑘 = 3.
b. Tìm k để hệ vơ nghiệm.
4 x  2 y  3z  5
6. Cho hệ phương trình  2 y  z  k  4
 3 x  kz  4


a. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss với 𝑘 = 1.
b. Tìm k để hệ phương trình có vơ số nghiệm.
 x  2y  3z=0
7.Cho 
 2 x  3y  z  3
3 x  5y  mz  2



a. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss với 𝑚 = 5.
b. Tìm m để hệ vô nghiệm..
 2 x  y  3z  4

8. Cho 
 4 x  3y  z  2

6 x  7y  mz  1


a.Với m = 2 hãy giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss.
b. Tìm m để hệ có nghiệm.
 2 x  y  3z  4
9. Cho 
 3 x  3y  z  1
5 x  7y  mz  2


a. Với m = 4 hãy giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss.
b. Tìm m để hệ có nghiệm
 x  2y-z  3
10. Cho hệ phương trình 
 3x  5y-4z  2
 2x  3y  mz  4


a. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss với m=2.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.

 x+2y  z  2
11.Cho hệ phương trình 
 3 x  4 y  2 z  8
9x  2 y  mz  11


a.Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss với 𝑚 = 2.
b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
 x+y  2 z  5
12. Cho hệ phương trình 
 2 x  y  3 z  13
5x  2 y  mz  2


a. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss với 𝑚 = −1.
b. Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm.
 x+y  z  5
13. Cho hệ phương trình 
 2 x  y  3z  1
5x  2 y  mz  2


a. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss với m =2.
b. Tìm m để hệ phương trình vơ nghiệm.
 x  4 y  5z  9
14. Cho 2 x  3 y  2 z  3
3 x  2 y  mz  8


a. Với m = 4 hãy giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss.
b. Tìm m để hệ vơ nghiệm.
Chương 3: Khơng gian vectơ
1. Tìm hạng của hệ vectơ. S  {(1,1,2,2), (1,2,3,3), (2,3,5,6), (3,4,7,8)}
2. Cho tập hợp W  {(x,y,z)  R3: 3x+2y-z  0}.
a. Chứng minh rằng W là không gian con của R 3 .
b. Tìm 1 cơ sở và số chiều của W.
3. Cho tập hợp W  {(x,y,z)  R3: 3x+ y-2z  0} .
a. Chứng minh rằng W là không gian con của R 3 .
b. Tìm 1 cơ sở và số chiều của W.
4. Trong không gian P2 cho hệ

H  {q1 (x)  1  3x  x 2 , q 2 (x)  2  7x - x 2 , q 3 (x)  1  x  mx2 } .


a. Tìm m đê H là cơ sở của P2
b. Với m = 1 tìm tọa độ của vectơ q(x) đối với cơ sở H với q(x)  4  13x  x 2 .
5. Trong 𝑅3 cho hệ 𝑆 = {𝑢1 = (0, 5, 1); 𝑢2 = (2, 𝑚 + 2, 2); 𝑢3 = (1; −3; 0)}
và 𝑢 = (8, 7, −2).
a.Tìm m để S là cơ sở của𝑅3
b.Với 𝑚 = 7, tìm tọa độ của vectơ 𝑢 đối với cơ sở S
6. Cho tập hợp 𝑊 = {{(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 | 2𝑥 − 7𝑦 − 4𝑧 = 0}.
a. Chứng minh rằng W là không gian con của R 3 .
b. Tìm 1 cơ sở và số chiều của W.
7. Cho tập hợp 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 | − 8𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 0}
a. Chứng minh rằng W là không gian con của R 3 .
b. Tìm 1 cơ sở và số chiều của W.
8. Trong R3 cho hệ S  u1   3, 4,1 ; u 2   3,1, 0  ; u3   m,5,1 và u  (1,15, 4) .
a. Tìm m để S là cơ sở của R3.

b.Với 𝑚 = 1, tìm tọa độ của vectơ 𝑢 đối với cơ sở S.
9. Cho tập hợp W  {(x;y;z)  R 3: 2 x  y  4 z  0} .
a. Chứng minh rằng W là khơng gian con của R 3 .
b. Tìm 1 cơ sở và số chiều của W.
10. Cho tập hợp A  ( x, y, z )  R3 5 x  y  7 z  0 .
a.Chứng minh rằng: A là khơng gian con của R 3 .
b.Tìm một cơ sở và số chiều của không gian A.
11. Trong không gian vectơ R 3 cho hệ:
S  u1   m, 2,1 ; u 2  1,3,3 ; u3   2,3, 2  và u = (12, 7, 6).

a.Tìm m để S là cơ sở của R 3 .
b.Với m = 1, tìm tọa độ của vectơ u đối với cơ sở S.
12. Trong không gian vectơ R 3 cho hệ:


S  u1  1, 4,1 ; u 2  1,1, 0  ; u3   m,5,1 và u = (-1,5,4).

a) Tìm m để S là cơ sở của R 3 .
b) Với m = -2, tìm tọa độ của vectơ u đối với cơ sở S.
13. Cho tập hợp W  ( x, y, z )  R3 4 x  2 y  z  0 .
a. Chứng minh rằng W là không gian con của R 3 .
b. Tìm 1 cơ sở và số chiều của W.
14. Trong R3 cho hệ S  {u1  (3, 2,1) , u 2  (2, 2,5) , u 3  (2,3,m)} và u  (-3,-2,4) .
a. Tìm m để S là cơ sở của R3.
b. Với m = 1, tìm tọa độ của vectơ u đối với cơ sở S.
15.Trong R3 cho hệ S  {u1  (1, 2,1) , u 2  (2, 2,0) , u 3  (4,10,m)} và u  (3,12,5) .
a.Tìm m để S là cơ sở của R3.
b.Với m = 2, tìm tọa độ của vectơ u đối với cơ sở S.
Chương 4: Ánh xạ tuyến tính
1. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:

f(x, y, z) = (x + y - z, x - 2y + z, 3x + 6y - 5z).
a. Tìm ma trận chính tắc của f.
b. Tìm Ker(f) và cơ sở của Ker(f).
2.Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 cho bởi
f(x, y, z) = (x + 5y - 2z, x - 2y + 5z, 5x + 32y - 17z).
a. Tìm ma trận chính tắc của f.
b. Tìm Im(f).
3. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:
f(x, y, z) = (x - y - z, 2x - y + z, x - 2y - 4z).
a. Tìm ma trận chính tắc của f.
b. Tìm Im(f).
4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4𝑥 + 5𝑦 − 𝑧; 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧; 7𝑥 + 3𝑦).
a.Tìm ma trận chính tắc của f.


b.Tìm Ker(f) và cơ sở của Ker(f).
5. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:

1
f ( x, y, z )  (4 x  2 y  z, 2 x  y  z , 8 x  4 y  2 z ) .
2
a. Tìm ma trận chính tắc của f.
b. Tìm Im(f).
6. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:
f  x, y, z    -4x+5y+3z, 5 x-3y-2z, x  2 y  z .

a. Tìm ma trận chính tắc của f.
b. Tìm Im(f).
7. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:

f  x, y, z    x  4y+2 z, 2 x+3y+5z, 4 x  5y+9z .

a. Tìm ma trận chính tắc của f.
b. Tìm Im(f).
8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:
f  x, y, z    2x  3y+2 z, x – 2y+5z, 2 x  5y+18z  .

a. Tìm ma trận chính tắc của f.
b. Tìm Ker(f).
9. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:
f  x, y, z    x  3y+2 z, x – 2y+5z, 2 x  8y  2 z  .

a. Tìm ma trận chính tắc của f.
b. Tìm Im(f).
10. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:
f  x, y, z   ( x  2 y  3z,  x  3 y  3z,3x  21y  27 z ).

a) Tìm ma trận chính tắc của f.
b) Tìm Imf, dim (Imf).


11. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:
f  x, y, z   ( x  2 y  z,3x  z, 2 x  3 y  2 z ).

a) Tìm ma trận chính tắc của f.
b) Tìm Kerf, dim (Kerf).
12. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R 2 cho bởi f ( x, y, z)  (2 x  y  z, 4 x  2 y  z) .
a) Tìm ma trận chính tắc của f.
b) Tìm Kerf.
13. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:

f  x, y, z   ( x  5 y  3z,3x  3 y  3z,9 x  21y  15z ).

a) Tìm ma trận chính tắc của f.
b) Tìm Imf, dim (Imf).
14. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 xác định như sau:
f  x, y, z   ( x  5 y  6 z,3x  3z,11x  10 y  21z ).

a) Tìm ma trận chính tắc của f.
b) Tìm Kerf, dim (Kerf).
Chương 5: GTR, VTR và dạng toàn phương
 6 2 2 
1.Cho ma trận A   2 5 0  .


 2 0 7 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b.Ma trận A có chéo hóa được khơng ? vì sao?
2 2 0
2.Cho ma trận A  1 3 0  .
 2 4 1 

a. Tìm các giá trị riêng của A.
b. Ma trận A có chéo hóa được khơng ? vì sao?


 1 0 2 
3. Cho ma trận A   2 2 2  .



 0 0 1

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b. Ma trận A có chéo hóa được khơng? vì sao?
3 2 0
4. Cho ma trận A   3 4 0  . Tìm các giá trị riêng của A.


6 4 6 

b. Hãy chéo hóa A và chỉ ra ma trận làm chéo A.
3 0

1

 2 0

2 

5. Cho ma trận A   3 4 3 .


a.Tìm các giá trị riêng của A.
b. Hãy chéo hóa A và chỉ ra ma trận làm chéo A.
2

5

 0

4

6. Cho ma trận A   0 2


5
1  .
3 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b. Hãy chéo hóa A và chỉ ra ma trận làm chéo A.
1 2 1
7. Cho ma trận A  0 3 1  .


 0 1 1 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b. Ma trận A có chéo hóa được khơng ? vì sao?
1 1 1
8. Cho ma trận A   3 3 2  .
0 0 2 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b. Hãy chéo hóa A và chỉ ra ma trận làm chéo A.


 2 1 1
9. Cho ma trận A   0 3 2  .



 0 1 2 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b. Hãy chéo hóa A và chỉ ra ma trận làm chéo A.
 3 2 0 
10. Cho ma trận A   2 3 0  .


 0 0 5 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b.Ma trận A có chéo hóa được khơng, nếu được hãy chéo hóa ma trận A.
2 2 0
11. Cho ma trận A  1 3 0  .


 2 4 1 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b.Ma trận A có chéo hóa được khơng? Nếu được hãy chéo hóa ma trận A.
3 3 0
12. Cho ma trận A   2 4 0  .


1 1 1 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b.Ma trận A có chéo hóa được khơng? vì sao?
 1 2 0

13. Cho ma trận A   4 5 0  .
 1 3 7 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b.Chéo hóa ma trận A.
 4 3 3
14. Cho ma trận A   2 5 6  .
 2 0 1 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b.Chéo hóa ma trận A.


2

0
3 0  .
 2 1 1 

15. Cho ma trận A   2


1

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b.A có chéo hóa được khơng, vì sao?
1 2 1
16. Cho ma trận A   0 3 0  .



 2 5 4 

a. Tìm các giá trị riêng của A.
b. A có chéo hóa được khơng, vì sao ?
 2 0 3
17. Cho ma trận A   4 3 6  .


 0 0 1 

a. Tìm các giá trị riêng của A.
b. Chỉ ra ma trận làm chéo A (nếu có).
1 1 0 
18. Cho ma trận A  8 5 0  .


1 3 2 

a.Tìm các giá trị riêng của A.
b.Hãy chéo hóa A và chỉ ra ma trận làm chéo A.