skkn giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tạo độ

SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
Tên đề tài :
Một số kinh nghiệm
GIẢi BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
KÝ HIỆU :
LOẢI ÂÃƯ TI : KINH NGHIÃÛM GING DẢY
T
á
c giả : Lê Thừa Thành
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị : Trường THPT Nguyễn Hiền
Đăng ký ngày : Góp ý ngày :
Kiểm tra thực tế ngày : Hồn chỉnh
bài viết ngày :
NHÁÛN XẸT, ÂẠNH GIẠ, XÃÚP LOẢI
TỔ CHUN MƠN
Nhận xét :










Xếp loại :
Ng
à

y
th
á
ng năm
2004
Tổ trưởng CM
HỘI ĐỒNG KHGD TRƯỜNG
Nội dung đề tài :





Chất lượng thực hiện :



Ý kiến đề xuất :



Xếp loại :
Ng
à
y th
á
ng
năm 2004
HIỆU TRƯỞNG
1

SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
NĩI DUNG TRầNH BAèY
Phỏửn I : T VN ệ
01 -
02
Phỏửn II : GIAI QUYT VN ệ
03 -
27
A- Toùm từt caùc kióỳn thổùc cồ baớn vóử phổồng phaùp toaỷ õọỹ
trong khọng gian
03
B- Quy trỗnh giaới caùc baỡi toaùn Hỗnh hoỹc khọng gian bũng
phổồng phaùp toaỷ õọỹ
12 -
27
I. Xỏy dổỷng hóỷ toaỷ õọỹ óửcac vuọng goùc trong mọỹt baỡi toaùn hỗnh
hoỹc khọng gian
12 -
15
II. Sổỷ chuyóứn õọứi tổỡ ngọn ngổợ hỗnh hoỹc thọng thổồỡng
sang ngọn ngổợ toaỷ õọỹ
15 -
18
III. Caùc vờ duỷ minh hoaỷ 18 -
27
C. Bióỷn phaùp tióỳn haỡnh vaỡ hióỷu quaớ õaỷt õổồỹc 28 -
29
I- Bióỷn phaùp tióỳn haỡnh 28
II - Caùc hióỷu quaớ õaợ õaỷt õổồỹc 29
Phỏửn III : KT LUN CHUNG

30
Phỏửn 1
2
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài toán Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
ÂÀÛT VÁÚN ÂÃÖ
Năm 1619 , Rơ-nê Đêcac (RENÉ DESCARTES 1596-1650 ) sáng
tạo ra môn hình học giải tích ,chứa đựng dưới dạng phôi thai nhiều ý kiến
thúc đẩy việc cách mạng hoá toán học và vật lý học .Cơ sở của môn này
là phương pháp tọa độ(PPTĐ)do chính ông phát minh .Nó cho phép
nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ và phương pháp của đại số , qua
đó ông đã kết hợp và mở rộng cả hai môn đại số và hình học . Ăngghen
đã gọi phát minh của Đêcac là “ Bước ngoặt trong sự phát triển của
Toán học thế giới “
Kể từ khi PPTĐ được phát minh và công bố rộng rãi thì nó nhanh
chóng được ứng dụng vào trong nhiều lĩnh vực của tất cả các ngành
khoa học .Và cũng từ đó , nó ngày càng được phát triển và càng có
nhiều ứng dụng quan trọng , là nền tảng cho nhiều phát minh và khám
phá ra các qui luật tự nhiên trong các ngành khoa học , đặc biệt là toán
học . PPTĐ nhanh chóng trở thành một phương pháp quan trọng , phổ
biến trong toán học ,và bộ môn hình học giải tích sớm trở thành một
phần chính không thể thiếu trong chương trình giảng dạy toán học ở
bậc đại học và đặc biệt là ở bậc PTTH .
Trong cấu trúc của chương trình toán THPT hiện hành ( không
phân ban ) , PPTĐ trong mặt phẳng đã được đưa vào ở lớp 10 với việc
nghiên cứu véctơ và các kiến thức liên quan ,bước đầu để học sinh làm
quen với PPTĐ và làm cơ sở cho việc HS sẽ được tiếp tục học kỷ hơn
sau này. Chương trình HÌNH HỌC LỚP 12 chính là HÌNH HỌC GIẢI
TÍCH ( phẳng và không gian ) , được trình bày khá trọn vẹn với các kiến
thức cơ bản nhất .
PPTĐ, ngoài việc giải quyết các nội dung cơ bản của hình học giải

tích thuần tuý , nó đã được người ta nghiên cứu và vận dụng nhiều vào
việc giải quyết các kiến thức ,nội dung toán học khác như : chứng minh
bất đẳng thức ; tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một hàm số ; bài
toán cực trị trong hình học ; giải phương trình và bất phương trình …
Đặc biệt , phương pháp tọa độ đã giải quyết được nhiều bài toán
hình học không gian mà HS được học ở năm l1 – Đây là loại toán
khó và đòi hỏi ở học sinh khả năng tư duy tưởng tượng phong
phú , nên trong thực tế đa số học sinh đều “sợ “ môn học này .
Cũng trên tinh thần đổi mới và khẳng định vị thế , vai trò của hình
học giải tích và PPTĐ trong chương trình toán PTTH hiện nay , nên
những năm gần đây trong các bộ đề tuyển sinh đại học trên toàn quốc
đã có nhiều bài toán hình học không gian –mà nếu như thí sinh dùng
3
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
PPT hoc kt hp phng phỏp ny cựng phng phỏp hỡnh hc
truyn thng n thun thỡ bi toỏn s tr nờn d gii hn .
Nh vy ,vic ỏp dng c v bit cỏch ỏp dng phng
phỏp ta mt cỏch cú hiu qu vo vic gii quyt mt s bi
toỏn hỡnh hc khụng gian tr thnh mt nhu cu ca hc sinh cui
cp PTTH hin nay .
Tuy vy , qua thc t ging dy tụi thy hc sinh ó gp mt s
khú khn sau:
*Khi gp mt bi toỏn hỡnh hc khụng gian thỡ nhng du
hiu , tớn hiu no nhn bit phỏt hin c rng nú cú th
gii bng PPT ?
*Nu dựng PPT thỡ HS phi t xõy dng mt h to
ờcac gii toỏn .Vn l xõy dng h to ú nh th
no ?
*Vn cũn li l t bi bng ngụn ng hỡnh hc tng
hp thun tuý nh vy , nu chuyn i qua ngụn ng ta thỡ

chuyn i th no ,vn dng c nhng kin thc no m cỏc
em ó c hc trong b mụn hỡnh hc gii tớch khụng gian ?
Qua thi gian ging dy , tụi ó tớch lu c mt vi kinh
nghim nhm giỳp hc sinh gii quyt mt phn cỏc khú khn
trờn.
Hổồớng ổùng phong traỡo vióỳt saùng kióỳn kinh nghióỷm do
Sồớ GDT Thaỡnh phọỳ aỡ Nụng phaùt õọỹng cng nh mong
mun c úng gúp mt phn nh bộ ca mỡnh vo vic nõng
cao cht lng dy tt - hc tt , nay tụi vit ti ny vi tờn
gi :
Mt s kinh nghim
4
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
Giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp toạ độ “
Ỉåïc må thç låïn nhỉng kh nàng v kinh nghiãûm cng nhỉ
sỉû têch ly kiãún thỉïc chỉa phi l nhiãưu , nhỉỵng pháưn täi
trçnh by tiãúp theo, chàõc l v âỉång nhiãn cn nhiãưu khiãúm
khuút . Täi ráút mong qu tháưy cä v bản b âäưng nghiãûp giụp
âåỵ, âọng gọp kiãún cho chun âãư ny , âãø täi cọ thãø tiãúp
tủc hon chènh nọ trong quạ trçnh ging dảy ca mçnh.
Giạo viãn thỉûc hiãûn
LÃ THỈÌA THNH
Pháưn 2
GI ẢI QUY ẾT V ẤN Đ Ề
A. TĨM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ
PHỈÅNG PHẠP TA ÂÄÜ TRONG KHÄNG GIAN
I.VECTÅ TRONG KHÄNG GIAN:
Ở lớp 10, học sinh đã biết khái niệm về vectơ trong mặt
phẳng và các phép tốn trên các vectơ. Đó là những khái niệm sau
đây : vectơ, các vectơ cùng phương , các vectơ cùng hướng , độ

dài vectơ , vectơ bằng nhau , phép cộng vectơ và các tính chất ,
5
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
phép trừ vectơ và các tính chất , phép nhân vectơ với một số, tích
vơ hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng .
Lên lớp 11 ,học sinh được học HHKG mà các đối tượng mà
các đối tượng nghiên cứu của nó có thể khơng cùng nằm trong
nằm trong một mặt phẳng. Chẳng hạn nếu ta lấy ba vectơ
, ,AB AC AD
uuur uuuur uuuur
trên ba cạnh của tứ diện ABCD thì được ba vectơ
khơng cùng nằm trên một mặt phẳng. Từ đó hình thành khái niệm
vectơ trong khơng gian mà HS được học ở lớp 12.
Tuy nhiên , khái niệm vectơ trong khơng gian và những phép
tốn trên nó đều được định nghĩa hồn tồn như trong hình học
phẳng. Do đó , để tập trung vào nội dung chính cần trình bày , ở
đây tơi sẽ khơng nhắc lại các định nghĩa của các khái niệm nói trên
,chỉ trình bày thêm phần khái niệm các vectơ đồng phẳng .
BA VECTÅ ÂÄƯNG PHÀĨNG:
a) ÂN : Ba vectå
a
,
b
,
c
âỉåüc gi l âäưng phàóng nãúu ba
âỉåìng thàóng chỉïa chụng cng song song våïi mäüt màût
phàóng.
b) Cạc âënh lê: Cho
a

,
b
,
c
våïi
b
,
c
khäng cng phỉång.
a
,
b
,
c
âäưng phàóng ⇔ ∃!(m, n) våïi m,n∈ R :
a
= m.
b
+ n.
c
Bäún âiãøm A, B, C, D âäưng phàóng ⇔
AD,AC,AB
âäưng phàóng
c) Phán têch mäüt vectå theo ba vectå khäng âäưng phàóng : Cho
a
,
b
,
c
khạc

0
v khäng âäưng phàóng. Khi âọ: Våïi
u
l mäüt vectå
báút kç thç
u
ln âỉåüc phán têch mäüt cạch duy nháút dỉåïi
dảng :
u
= x.
a
+ y.
b
+ z.
c
IV. ÂỈÅÌNG THÀĨNG TRONG KHÄNG GIAN
Trong khäng gian cọ hãû trủc ta âäü Oxyz
1- PHỈÅNG TRÇNH CA ÂỈÅÌNG THÀĨNG
1.1 PHỈÅNG TRÇNH THAM SÄÚ - PHỈÅNG TRÇNH CHÊNH TÀÕC.
Âỉåìng thàóng d qua âiãøm M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) v cọ mäüt vectå chè phỉång
d
=

(a, b, c)
a) Phỉång trçnh tham säú l:
6
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
x = x
0
+ ta
d : y = y
0
+ tb t : tham sọỳ ; t R
z = z
0
+ tc a
2
+ b
2
+ c
2


0
b) Phổồng trỗnh chờnh từc :
d :
c
zz
b
yy
a
xx
000

=

=

(a, b, c 0)
Qui ổồùc rũng : vồùi phỏn sọỳ
B
A
, nóỳu B = 0 thỗ A = 0
1.2. PHặNG TRầNH TỉNG QUAẽT CUA ặèNG THểNG
ổồỡng thúng d õổồỹc xem laỡ giao tuyóỳn cuớa hai mỷt phúng :
(
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 vaỡ (
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2

z + D
2
= 0
nón coù PTrỗnh :

( õióửu kióỷn la ỡ
2
i
2
i
2
i
CBA ++
0,i = 1,2 vaỡ A
1
: B
1
: C
1
A
2
:
B
2
: C
2
)
Mọỹt vectồ chố phổồng cuớa d õổồỹc xaùc õởnh nhổ sau:
'd
=

22
11
22
11
22
11
BA
BA
;
AC
AC
;
CB
CB

2- Vậ TRấ TặNG I CUA ặèNG THểNG VAè MT
PHểNG
Cho õổồỡng thúng d:
c
zz
b
yy

a
xx
000

=

=

(= t)
vaỡ mỷt phúng () : Ax + By + Cz + D = 0
d cừt ()

Aa +Bb +Cc

0
d // ()




+++
=++
0
0
000
DCzByAx
CcBbAa
d

()

=+++
=++
0
0
000
DCzByAx
CcBbAa
ỷt bióỷt : d

()

a : b : c =A : B : C
7
d :



=+++
=+++
)2(0
)1(0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH

* Cọ thãø dng cạch sau âãø xẹt vë trê tỉång âäúi ca
âỉåìng thàóng v màût phàóng:
Xẹt phỉång trçnh :
A(x
0
+ ta) + B(y
0
+ tb) + C(z
0
+ tc) + D = 0
⇔ mt + n = 0 (áøn t) (1)
Säú giao âiãøm ca d v () l säú nghiãûm ca (1)
3. VË TRÊ TỈÅNG ÂÄÚI CA HAI ÂỈÅÌNG THÀĨNG
• Giỉỵa hai âỉåìng thàóng trong khäng gian cọ hai vë trê tỉång
âäúi, âọ l:
+ Hai âỉåìng thàóng khäng âäưng phàóng (cn gi chẹo nhau)
+ Hai âỉåìng thàóng âäưng phàóng : Trong trỉåìng håüp ny hai
âỉåìng thàóng cọ thãø càõt nhau, song song nhau hồûc trng nhau.
Cho hai âỉåìng thàóng : d
1
qua M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) cọ phỉång
1

v
= (a
1
,
b
1
, c
1
) v d
2
qua M
2
(x
2
, y
2
, z
2
) cọ phỉång
2
v
= (a
2
, b
2
, c
2
)
d
1

v d
2
âäưng phàóng
⇔
[ ]
0.,
2121
=MMVV
rrr
d
1
v d
2
càõt nhau
⇔
[ ]



≠
=
222111
2121
::::
0.,
cbacba
MMVV
rrr
d
1

// d
2

⇔
)(:)(:)(::::
121212222111
zzyyxxcbacba −−−≠=
d
1

≡
d
2

⇔
)(:)(:)(::::
121212222111
zzyyxxcbacba −−−==
d
1
v d
2
chẹo nhau
⇔
[ ]
0.,
2121
≠MMVV
rrr
4- GỌC GIỈỴA ÂỈÅÌNG THÀĨNG V MÀÛT PHÀĨNG:

d cọ mäüt vectå chè phỉång
v
= (a, b, c) ,() cọ mäüt phạp
vectå
n
= (A, B, C)
Gọc nhn
ϕ
giỉỵa d v () âỉåüc tênh båíi :
8
d
1
d
2
ϕ
ϕ
α
d
d'
d
1
d
2
d
2
d
2
d
1
d

1
Sin
ϕ
= |cos (
v
,
n
)| =
222222
CBAcba
|cCbBaA|
++++
++

2
∆
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
5- GỌC GIỈỴA HAI ÂỈÅÌNG THÀĨNG :
d
1
cọ vectå chè phỉång
1
v
= (a
1
, b
1
, c
1
)

d
2
cọ vectå chè phỉång
2
v
= (a
2
, b
2
, c
2
)
Gọc nhn
ϕ
giỉỵa d
1
, d
2
tênh båíi :
6. KHONG CẠCH TỈÌ MÄÜT ÂIÃØM ÂÃÚN MÄÜT ÂỈÅÌNG
THÀĨNG:
Våïi I(x
0
, y
0
, z
0
) v d :
c
zz

b
yy
a
xx
111
−
=
−
=
−
a) Cạch 1:
Viãút phỉång trçnh màût phàóng
)(
α
qua I v
)(
α
⊥ d
Xạc âënh giao âiãøm H ca d v
)(
α

Khi âọ : d (I, d) = IH
b) Cạch 2 :
Âỉåìng thàóng d âi qua âiãøm A(x
1
, y
1
, z
1

) v cọ VTCP
);;( cbau =
r
Khong cạch tỉì I âãún âỉåìng thàóng d l :
[ ]
u
uAI
dId
r
r
r
,
),(
=
7.KHONG CẠCH GIỈỴA HAI ÂỈÅÌNG THÀĨNG CHẸO
NHAU:
Cho hai âỉåìng thàóng
21
, ∆∆
chẹo nhau
(
1
∆
)
1
∆


qua M(x
1

, y
1
, z
1
) cọ phỉång
1
V
= (a
1
, b
1
, c
1
)
(
2
∆
)

2
∆
qua N(x
2
, y
2
, z
2
) cọ phỉång
2
V

r
= (a
2
, b
2
, c
2
)
Gi d(
21
, ∆∆
) l khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng
21
, ∆∆
thç:
[ ]
[ ]
21
21
21
,
.,
),(
VV
NMVV
d
rr
rrr
=∆∆
V-MÀÛT CÁƯU

9
I
H
d
I
A
d
H
u
r

Cos
ϕ
= cos(
1
v
,
2
v
)| =
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1

2
1
212121
.
||
cbacba
ccbbaa
++++
++
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
Trong khäng gian Oxyz
1. PHỈÅNG TRÇNH CA MÀÛT CÁƯU:
a)
Tám I(a, b, c), bạn kênh R
b)
Tám I(a, b, c), bạn kênh R =
dcba
222
−++
(Våïi âiãưu kiãûn a
2
+ b
2
+ c
2
- d > 0)
2. VË TRÊ TỈÅNG ÂÄÚI CA MÀÛT PHÀĨNG V MÀÛT CÁƯU
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 Màût cáưu (S) tám I(a, b, c), bạn kênh
R
Âàût d = d (I, (P)) =

222
CBA
|CcBbAa|
++
++
a) Nãúu d > R thç (P) khäng càõt (S)
b) Nãúu d = R thç (P) tiãúp xục (S) tải 1 âiãøm T
(P) cn gi l tiãúp diãûn ca (S) tải âiãøm T.
c) Nãúu d < R thç (P) càõt (S) theo giao tuún l mäüt âỉåìng
trn (C) cọ phỉång trçnh l :

(C ) cọ tám H l hçnh chiãúu vng gọc ca I trãn (P) bạn kênh r =
22
dR −
3. VË TRÊ TỈÅNG ÂÄÚI CA ÂỈÅÌNG THÀĨNG V MÀÛT CÁƯU:
x = x
0
+ ta
1

∆
: y = y
0
+ ta
2
, (S) : (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)

2
= R
2
z = z
0
+ ta
3

Xẹt phỉång trçnh :
(x
0
- a + ta
1
)
2
+ (y
0
- b + ta
2
)
2
+ (z
0
- c + ta
3
)
2
= R
2

⇔
0
2
=++
γβα
tt
(*)
Säú giao âiãøm ca
∆
v (S) l säú nghiãûm ca (*)
10
I
H M N
d
R
(S) : (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2

(S) : x
2
+ y
2
+ z
2

- 2ax - 2by - 2cz + d = 0
(C):



=+++
=+−−−++
0
0222
222
DCzByAx
dczbyaxzyx
y
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
•
• Nãúu
∆
càõt (S) tải hai âiãøm M, N
thç âäü di âoản MN âỉåüc tênh
båíi : MN = 2
22
dR −
B. QUI TRÇNH GII BI TOẠN HHKG BÀỊNG
PHỈÅNG PHẠP TA ÂÄÜ
I.XÁY DỈÛNG HÃÛ TA ÂÄÜ ÂÃƯ CẠC VNG GỌC
trong mäüt bi toạn Hçnh hc Khäng gian:
Nhỉỵng bi toạn hçnh hc khäng gian cọ thãø gii bàòng
phỉång phạp ta âäü ;m theo hỉåïng gii quút ny s dãù
thỉûc hiãûn hån so våïi cạch gii hçnh hc truưn thäúng thäng
thỉåìng ,khi trong gi thiãút bi toạn cọ chỉïa âỉûng hồûc cọ

thãø lm xút hiãûn mäüt tam diãûn vng.Khi âọ ta chn âènh
tam diãûn lm gäúc ta âäü ,cn cạc trủc honh ,trủc tung,trủc
cao ca hãû thäúng s láưn lỉåüt nàòm trãn cạc cảnh ca tam diãûn
vng âọ.Do âo,ï phỉång phạp ta âäü ny hay âỉåüc sỉí dủng
âãø gii quút cạc váún âãư vãư âënh tênh,âënh lỉåüng ca cạc
úu täú v dỉỵ liãûu trong mäüt hçnh láûp phỉång,hçnh häüp
chỉỵ nháût,hồûc ca mäüt váût thãø khäng gian âỉåüc càõt ra
tỉì cạc hçnh âọ,hồûc trong mäüt hçnh chọp hay làng trủ cọ
dảng âàûc biãût, Váún âãư âàût ra l phi “khẹo lẹo” chn ( v
âáy l c mäüt”nghãû thût” ) hãû ta âäü vng gọc Oxyz sao cho
cạc gi thiãút bi toạn,cạc u cáưu âãư bi âỉåüc chuøn qua
ngän ngỉỵ ta âäü mäüt cạch dãù dng v thûn tiãûn.
Dỉåïi âáy l mäüt säú vê dủ vãư cạch chn hãû trủc ta âäü
Âãư cạc vng gọc trong khäng gian thỉåìng gàûp:
Vê dủ 1:
Cho hçnh häüp chỉỵ nháût ABCD.A’B’C’D’ cọ cạc kêch thỉåïc láưưn
lỉåüt l :
AB = a; AD = b; AA’ = c.
Ta láûp hãû ta âäü Axyz cọ:
Ax chỉïa AB , chiãưu dỉång tỉì A âãún B
Ay chỉïa AD , chiãưu dỉång tỉì A âãún D
Az chỉïa AA’ , chiãưu dỉång tỉì A âãún A’
Våïi hãû ta âäü Axyz âọ thç :
A(0;0;0) , B(a;0;0) , C(a;b;0)
D(0;b;0) , A’(0;0;c) , B’(a;0;c)
C’(a;b;c) , D’(0;b;c)

11
A
B C

A’
B’
C’
D’
D
c
a
b
x
z
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
Vồùi hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.ABCD coù caỷnh bũng a
.Ta cuợng lỏỷp hóỷ toỹa õọỹ óử caùc vuọng goùc nhổ trón vaỡ
toỹa õọỹ caùc õióứm laỡ:
A(0;0;0) , B(a;0;0) , C(a;a;0) , D(0;a;0) , A(0;0;a) ,
B(a;0;a) , C(a;a;a) vaỡ D(0;a;a)
Vờ duỷ 2:
Cho tổù dióỷn ABCD coù caùc caỷnh AB,AC,AD õọi mọỹt vuọng
goùc vồùi nhau vaỡ AB = m ; AC = n ; AD = p.
Ta lỏỷp hóỷ toỹa õọỹ Axyz coù :
Ax chổùa AB , chióửu dổồng tổỡ A õóỳn B
Ay chổùa AC , chióửu dổồng tổỡ A õóỳn C
Az chổùa AD , chióửu dổồng tổỡ A õóỳn D;
Thỗ coù:
A(0;0;0) , B(m;0;0) ,
C(0;n;0) , D(0;0;p)
Vồùi hỗnh choùp õốnh S coù õa giaùc ỏy nũm trón mỷt phúng (P) thỗ
ta thổồỡng xỏy dổỷng hóỷ toỹa õọỹ óử caùc vuọng goùc trong khọng
gian nhổ sau:
* Xaùc õởnh hỗnh chióỳu vuọng goùc H cuớa õốnh S trón (P)

* Trón mp (P),choỹn (dổỷng) hai õổồỡng thúng a,b vuọng goùc vồùi
nhau taỷi H
* Dổỷng hóỷ toỹa õọỹ vuọng goùc Hxyz vồùi Hx nũm trón õổồỡng
thúng a ,Hy nũm trón õổồỡng thúng b , Hz nũm trón õổồỡng
thúng HS
Vờ duỷ 3: Hỗnh choùp S.ABCD coù õaùy ABCD laỡ
hỗnh vuọng caỷnh a vaỡ SA = SB = SC = SD = a
2
.
Goỹi I,J lỏửn lổồỹt laỡ trung õióứm cuớa AD vaỡ BC.

Goỹi O laỡ tỏm hỗnh vuọng ABCD .
Tổỡ giaớ thióỳt ,ta coù:
SA=SB=SC=SD=BD=AC= a
2
nón
caùc tam giaùc SAC vaỡ
SBD laỡ caùc tam giaùc õóửu.
=>SO

AC vaỡ SO

BD
12
z
y
S
D
A
B

C
O
I
J
x
z
D
B
C
x
A
p
n
m
y
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
=>SO

mp (ABCD)
Xỏy dổỷng hóỷ truỷc
toỹa õọỹ vuọng goùc
Oxyz nhổ hỗnh veợ .
Vồùi hóỷ toỹa õọỹ naỡy ta coù :
O(0;0;0) , A(0;-a
2
2
;0) , B(a
2
2
;0;0) , C(0; a

2
2
;0) , D(-a
2
2
;0;0) , S(0;0;a
2
6
) ; I(-a
4
2
;-a
4
2
;0) vaỡ J(a
4
2
; a
4
2
;0)
*Tuy vỏỷy , coù khi choỹn gọỳc toỹa õọỹ khọng phaới laỡ hỗnh chióỳu H
cuớa S trón (P) maỡ laỡ mọỹt õióứm õỷc bióỷt naỡo õoù trón (P) (thổồỡng
laỡ mọỹt õốnh cuớa õa giaùc õaùy) cuỡng caùch choỹn cỷp õổồỡng thúng
a,b trón (P) vuọng goùc vồùi nhau taỷi õióứm gọỳc õoù mọỹt caùch hồỹp
lyù thỗ vióỷc tỗm toỹa õọỹ caùc õióứm seợ trồớ nón dóự daỡng hồn vaỡ toỹa
õọỹ caùc õióứm cuợng coù daỷng õồn giaớn hồn.
Vờ duỷ 4:
Cho hỗnh choùp S.ABC , õaùy ABC laỡ tam giaùc vuọng cỏn õốnh C
; CA=CB=a; õốnh S coù hỗnh chióỳu trón õaùy laỡ troỹng tỏm G cuớa

tam giaùc ABC ; SG=h
Ta coù thóứ lỏỷp hóỷ toỹa õọỹ óử caùc vuọng goùc trong khọng
gian nhổ sau:
Caùch 1: Lỏỷp hóỷ truỷc toỹa õọỹ vuọng goùc Gxyz , coù Gx // CB
,chióửu dổồng tổỡ C õóỳn B ; Gy // AC ,chióửu dổồng tổỡ A õóỳn
C ; Gz coù chióửu dổồng tổỡ G õóỳn S.
Ta coù : G(0;0;0)
A(-
3
a
;-2
3
a
;0)
B(2
3
a
;
3
a
;0) C(-
3
a
;
3
a
;0) , S(0;0;h)
Caùch 2: Lỏỷp hóỷ truỷc toỹa õọỹ vuọng goùc Axyz ,
coù Ax // CB ,chióửu dổồng tổỡ C õóỳn B ; Ay
chổùa AC ,chióửu dổồng tổỡ A õóỳn C ; Az coù

chióửu dổồng tổỡ G õóỳn S . Khi õoù ta coù:
A(0;0;0) ,
B(a;a;0) ,
C(0;a;0) ,
13
S
A
G
x
S
z
y
G
C
A
B
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
S(
3
a
;2
3
a
;h)
*Nháûn xẹt:
Våïi cạch 2 thç ta âäü cạc âiãøm cáưn dng dãù tçm hån v cọ
dảng âån gin hån
II. SỈÛ CHUØN ÂÄØI TỈÌ "NGÄN NGỈỴ" HÇNH HC THÄNG
THỈÅÌNG SANG "NGÄN NGỈỴ" TA ÂÄ Ü:
Âáy l váún âãư cäút li v âënh hỉåïng âãø ngỉåìi gii toạn

xạc láûp cạc úu täú cáưn thiãút, hçnh thnh nãn “ dn “ ca näüi
dung cạch gii bàòng PPTD , tỉì âọ váûn dủng hiãûu qu cạc âënh
l, cäng thỉïc tênh toạn â cọ sàơn trong phỉång phạp ta âäü :
tçm ta âäü âiãøm v vectå, phỉång trçnh âỉåìng thàóng v màût
phàóng, tênh diãûn têch tam giạc, thãø têch tỉï diãûn v thãø têch
hçnh häüp, cạc vë trê tỉång âäúi giỉỵa âỉåìng thàóng v âỉåìng
thàóng, âỉåìng thàóng v màût phàóng, màût phàóng v màût
phàóng, màût phàóng v màût cáưu, cạc cäng thỉïc tênh gọc, cäng
thỉïc tênh khong cạch vo gii toạn.
Viãûc lm ny âỉåüc thỉûc hiãûn theo hỉåïng:
+Bàòng ngän ngỉỵ hçnh hc thäng thỉåìng, ta täøng håüp
cạc cạch gii quút cọ thãø cọ, tỉång ỉïng våïi viãûc xáy
dỉûng cạc biãøu tỉåüng trỉûc quan.
+Trãn cå såí phán têch täøng håüp de tim cac moi lien he cua
cac yeu to hinh hoc thong qua cạc biãøu tỉåüng trỉûc quan ,hçnh
thnh nãn sỉû diãùn âảt bàòng "ngän ngỉỵ" ta âäü
Âãø lm r âiãưu ny, täi xin minh ha bàòng bi toạn :
Tçm khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau AB
v CD.
a.TÄØNG HÅÜP CẠC HỈÅÏNG GII QUÚT:
Khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau AB v CD
âỉåüc xạc âënh bàòng cạc cạch sau:
14
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
Cạch 1: Khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau AB
v CD bàòng âäü di ca âoản thàóng MN, våïi MN l âỉåìng vng
gọc chung ca AB v CD (hçnh 1)
Cạch 2: Khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau AB
v CD bàòng khong cạch tỉì mäüt trong hai âỉåìng thàóng âọ tåïi
màût phàóng âi qua âỉåìng thàóng thỉï hai v song song våïi âỉåìng

thàóng thỉï nháút (hçnh 2).
Cạch 3: Khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau AB
v CD bàòng khong cạch giỉỵa hai màût phàóng song song láưn
lỉåüt chỉïa hai âỉåìng thàóng âọ (hçnh 3).
Cạc cạch xạc âënh nãu trãn âỉåüc
phạt biãøu bàòng "ngän ngỉỵ" hçnh hc
täøng håüp ph håüp våïi biãøu tỉåüng
trỉûc quan tỉång ỉïng thãø hiãûn trãn
cạc mä hçnh 1, 2, 3.
PHỈÅNG PHẠP TA ÂÄÜ
Viãûc xạc âënh khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo
nhau AB v CD bàòng PPTÂ cọ thãø tiãún hnh theo hỉåïng chuøn
trỉûc tiãúp cạch xạc âënh diãùn âảt bàòng "ngän ngỉỵ" hçnh hc
thong thuong ra "ngän ngỉỵ" ta âäü nhåì sỉí dủng cạc biãøu
tỉåüng trỉûc quan hçnh thnh trãn cå såí phán têch täøng håüp cạc
hçnh 1, 2, 3.Cu the la :

ÅÍ hçnh 1: Âỉåìng thàóng MN vng gọc våïi AB v CD, do váûy
MN ⊥ mp (R) song song AB v CD, k hiãûu  l âỉåìng thàóng
vng gọc våïi mp (R) thç MN // , nghéa l âỉåìng thàóng MN cọ
phỉång hon ton xạc âënh.
Âãø tênh âäü di âoản thàóng MN ta
tçm cạch xạc âënh âỉåìng thàóng MN l
âỉåìng vng gọc chung ca hai âỉåìng
thàóng chẹo nhau AB v CD (hçnh 4).
15
Hçnh 2 Hçnh 3
Hçnh 1
A M
B

C

N

D

A K
B
C
D
H
p
P
C
D
F
Q
E
A B
A M
B
C

N

D

C

A'

B'

D

R

∆

SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
Sổớ duỷng kióỳn thổùc õaợ bióỳt vóử õổồỡng thúng kóỳt hồỹp
vồùi sổỷ phan tich hỗnh 4 ta coù õổồỹc caùc bióứu tổồỹng khaùc nhau
vóử caùc caùch xaùc õởnh õổồỡng thúng trong khọng gian "ổồỡng
thúng õổồỹc xaùc õởnh bồới hai mỷt phúng; ổồỡng thúng xaùc
õởnh bồới mọỹt õióứm vaỡ vuọng goùc vồùi mọỹt mỷt phúng hay song
song vồùi mọỹt õổồỡng thúng. ổồỡng thúng xaùc õởnh bồới hai õióứm
phỏn bióỷt.
óứ laỡm roợ vai troỡ "chố dỏựn" cuớa bióứu tổồỹng trổỷc quan,
trong mọựi caùch giaới sau, trổồùc hóỳt toi xin õổồỹc nóu bióứu tổồỹng
trổỷc quan sau õoù laỡ nọỹi dung caùch giaới bũng PPT.
Kyù hióỷu caùc vectồ chố phổồng cuớa caùc õổồỡng thúng AB, CD
vaỡ tổồng ổùng laỡ
c,b,a
vồùi
c
= [
b,a
]. ọỹ daỡi MN coù thóứ tờnh
bũng caùc caùch sau:

* Caùch 1:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: ổồỡng thúng MN laỡ giao tuyóỳn
cuớa mỷt phúng chổùa AB song song vaỡ mỷt phúng chổùa
CD song song .
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT:
+Lỏỷp phổồng trỗnh mp () chổùa A coù cỷp vectồ chố phổồng
c,b
.
+Hóỷ hai phổồng trỗnh mp () vaỡ mp () laỡ phổồng trỗnh
õổồỡng thúng MN.
+Toỹa õọỹ caùc õióứm M vaỡ N laỡ nghióỷm cuớa caùc hóỷ phổồng
trỗnh gọửm phổồng trỗnh õổồỡng thúng MN tổồng ổùng vồùi phổồng
trỗnh caùc õổồỡng thúng AB vaỡ CD.
* Caùch 2:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: Xaùc õởnh mp (R) song song vồùi AB,
CD, veợ õổồỡng thúng mp (R); Xaùc õởnh mp () chổùa AB song
song vồùi , N laỡ giao õióứm cuớa õổồỡng thúng CD vồùi mp ().
ổồỡng thúng MN xaùc õởnh bồới õióửu kióỷn õi qua õióứm N song
song vồùi ().
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT: Lỏỷp phổồng trỗnh mp ()
chổùa coù cỷp vectồ chố phổồng
a
vaỡ
c
. Tỗm toỹa õọỹ giao õióứm
N cuớa õổồỡng thúng CD vồùi mp (). Lỏỷp phổồng trỗnh õổồỡng
16
Hỗnh 4
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
thúng MN õi qua N coù vectồ chố phổồng laỡ vectồ

c
. Xaùc õởnh M laỡ
giao õióứm cuớa õổồỡng thúng MN vaỡ õổồỡng thúng AB.
* Caùch 3:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: M thuọỹc õổồỡng thúng AB, N
thuọỹc õổồỡng thúng CD. ổồỡng thúng MN vuọng goùc AB vaỡ CD.
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT: Lỏỷp phổồng trỗnh tham
sọỳ t
1
, t
2
cuớa caùc õổồỡng thúng AB vaỡ CD. Xaùc õởnh toỹa õọỹ M
thuọỹc AB theo t
1
, xaùc õởnh toỹa õọỹ N thuọỹc CD theo t
2
. Tờnh toỹa
õọỹ vectồ
MN
. Bióứu dióựn õióửu kióỷn MN AB, MN CD dổồùi
daỷng toỹa õọỹ õóứ tờnh t
1
, t
2
tổỡ õoù tờnh õổồỹc toỹa õọỹ caùc õióứm
M, N vaỡ tờnh õổồỹc khoaớng caùch giổợa hai õióứm M vaỡ N.
* hỗnh 2:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: MN bũng khoaớng caùch tổỡ õổồỡng
thúng AB tồùi mp (P) chổùa CD song song vồùi AB.
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT:

+Lỏỷp phổồng trỗnh mp (P) chổùa CD song song vồùi AB. +Choỹn
K thuọỹc AB.
+Lỏỷp cọng thổùc tờnh khoaớng caùch tổỡ K tồùi mp (P).
* hỗnh 3:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: MN bũng khoaớng caùch giổợa hai
mỷt phúng song song: mp (P) chổùa CD song song vồùi AB vaỡ mp
(Q) chổùa AB song song vồùi CD.
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT:
+Lỏỷp phổồng trỗnh mp (P) chổùa CD song song vồùi AB.
+Lỏỷp phổồng trỗnh mp (Q) chổùa AB song song vồùi CD. Lỏỷp
cọng thổùc tờnh khoaớng caùch giổợa hai mỷt phúng song song laỡ mp
(P) vaỡ mp (Q).
*
* * *
Túm li , theo ý kin ch quan ca cỏ nhõn tụi thỡ quy trỡnh gii
mt bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng PPT cú th gm cỏc bc c
bn sau :
*Xõy dng mt h tr trc ta khụng gian Oxyz thớch hp v
thun li trong vic biu din ta ca cỏc im v cỏc vect cú liờn
quan trong vic gii quyt ni dung chớnh ca bi toỏn .
*Phõn tớch bi chuyn cỏc gi thit ,yờu cu t ngụn ng hỡnh
hc thụng thng qua ngụn ng ta thụng qua cỏc biu tng trc
quan ó c hỡnh thnh trc ú.õy l bc quan trng ,l dn ý
ca ni dung gii bng PPT.
*Vn dng cỏc kin thc ca PPT trong khụng gian (nhu vit PT
ng thng ,mt phng ,ta im v vect, tớnh din tớch tam giỏc,
17
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
thể tích tứ diện và thể tích hình hộp , các vị trí tương đối , các cơng thức
tính góc và khoảng cách ….) vào việc hồn chỉnh các nội dung đã đặt ra

ở trên.
III.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA :
Sau đây là một số bài tốn HHKG đượcdùng PPTĐ( hoặc phối
hợp cùng PPHH thơng thường ) để giải quyết .
Bi toạn 1:
Cho hçnh häüp chỉỵ nháût
ABCD.A'B'C'D' cọ AB = a, BC =
b, CC' = c. Tênh khong cạch
giỉỵa hai âỉåìng thàóng BC' v
CD'.
Låìi gii:
Chn hãû ta âäü Oxyz, våïi C ≡ B,
trủc Ox, Oy, Oz tỉång ỉïng l :
BA, BC, BB'. Ta cọ B (0, 0, 0) ;
C' = (0, b, c); C = (0, b, 0); D' = (a, b, c);
)c,0,a('CD;)c,b,0('BC ==
Mat phang () l mặt phẳngđi qua C va cọ càûp vectå chè phỉång l
'BC
v
'CD
nãn cọ mäüt vectå phạp tuún l n = [ BC’,CD’ ] = (bc ,
ac , -ab)
Vç váûy mp () cọ phỉång trçnh l: (): bcx + acy - abz - abc =
0.
Khong cạch giỉỵa BC' v CD' bàòng khong cạch tỉì B tåïi
mp ().
d(B,()) =
222222
accbba
|abc|

++
−
=
222222
accbba
abc
++
Bi toạn 2:
Cho mäüt làng trủ tam giạc âãưu
ABC.A'B'C' cọ táút c cạc cảnh âãưu
bàòng a. Hy tênh khong cạch giỉỵa
hai âỉåìng thàóng A'B v B'C.
Låìi gii:
V BB
1
// B'C, v B'K ⊥ A'B
1
Theo gi thiãút B'B ⊥ (A'B'C')
⇒ B'B ⊥ A'B
1
nãn (B'BK) ⊥ (BA'B
1
) (1),
v B'H ⊥ BK (2)
Tỉì (1) v (2): B'H ⊥ (BA'B
1
)
Do (BA'B
1
) // B'C nãn khong

cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng B'C
18
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
v BA' bàòng khong cạch tỉì B' tåïi
mp (BA'B
1
) tỉïc l bàòng B'H.
Xẹt hãû ta âäü Oxyz våïi O ≡
B'; trủc Ox trng våïi B'B
1
, Oy ⊥ B'B
1
,
trủc Oz trng våïi B'B.
Ta cọ B'(0, 0, 0) ; B(0, 0, a) ; A' = (
2
3a
;a
2
1 −
−
, 0)
C(-a, 0, a) ;
C'B
= (-a, 0, a);
B'A
= (
2
3a
;a

2
1 −
, a)
Gi () l màût phàóng chỉïa B' cọ càûp vectå chè phỉång l
C'B
,
B'A
⇒ () cọ mäüt vectå phạp tuún l :
n = (
3;3;3
).

Gi () l màût phàóng chỉïa B cọ càûp vectå chè phỉång l
C'B
,
B'A
⇒ mp()//mp() nãn (cọ mäüt vectå phạp
tuún l n
Phỉång trçnh màût phàóng () va mp () :
mp () :
z3y3x3 ++
= 0
mp () :
z3y3x3 ++
-
3a
= 0
Vi mp () // mp ()nãn khong cạch giỉỵa B'C v A'B bàòng
khong cạch giỉỵa hai mp () v mp ().Tuc la :
d((), ()) =

5
5a
5
a
)3(3)3(
|3a|
222
==
++
−
BI 3: Cho gọc tam diãûn vng Oxyz. Trãn Ox, Oy,Oz
láúy láưn lỉåüt cạc âiãøm A, B, C cọ OA = a, OB = B, OC = c (a,
b, c > 0).
1) C/m ràòng tam giạc ABC cọ ba gọc nhn.
2) Gi H l trỉûc tám ca tam giạc ABC. Hy tênh OH
theo a, b, c.
3) C/m ràòng bçnh phỉång diãûn têch tam giạc ABC bàòng
täøng bçnh phỉång diãûn têch cạc màût cn lải cu
tỉï diãûn OABC.
(ÂH An Ninh - Khäúi D)
Gii:1.Theo âënh l cosin ta cọ: cosA=
ACAB
BCACAB
.2
222
−+
=
( ) ( )
ACAB
cbcaba

.2
)(
222222
+−+++
=
ACAB
a
.2
2
2
>0 =>
A
ˆ
nhn
Tỉång tỉû cng chỉïng minh âỉåüc
CB
ˆ
,
ˆ
âãưu nhn
2.Âỉa vo hãû toả âäü Âãư cạc vng gọc
Oxyz : O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0)
C(0;0;c)
19
z
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
H laỡ trổỷc tỏm cuớa
HABC
laỡ giao õióứm cuớa
2 õổồỡng cao AK,CI

Theo õởnh lyù ba õổồỡng vuọng goùc ,ta coù:
AB

OI,BC

AK=> AB

mp (COI),
BC

mp(AOK) => AB

OH,BC

OH
=>OH

mp(ABC) .Tổỡ õoù OH laỡ khoaớng
caùch tổỡ O õóỳn mp (ABC).
Ta coù phổồng trỗnh cuớa mp(ABC) laỡ:
0
1
=++
=++
abcabzacybcx
c
z
b
y
a

x
Vỏỷy OH =
222222222222
000
accbba
abc
bacacb
abc
++
=
++
++
3.Ta coù S
OAB
=
2
1
ab ;S
OBC
=
2
1
bc;S
OCA
=
2
1
ac
S
2

OAB
+S
2
OBC
+S
2
OCA
=
( )
222222
4
1
accbba ++
Ta coù V
OABC
=
ABC
SOH
ab
c .
3
1
2
.
3
1
=
)(
4
1

4
1
.
4
1
222222
2
222
2
22222
accbba
OH
cba
S
SOHcba
ABC
ABC
++==
=
Tổỡ õoù:

2222
OCAOBCOABABC
SSSS ++=
(õpcm)
BAèI 4: Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C

1
D
1
, bióỳt baùn kờnh hỗnh
cỏửu nọỹi tióỳp trong tổù dióỷn ACB
1
D
1
laỡ r.
Tờnh dióỷn tờch toaỡn phỏửn cuớa tổù dióỷn ACB
1
D
1
vaỡ thóứ tờch
hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
(HY Thaùi Bỗnh)
Giaới :
ABCD.A
1
B
1
C

1
D
1
laỡ hỗnh lỏỷp phổồng
nón tỏm I cuớa hỗnh cỏửu nọỹi tióỳp trong tổù
dióỷn ACB
1
D
1
laỡ giao õióứm caùc õổồỡng
cheùo cuớa hỗnh lỏỷp phổồng.
ổa vaỡo hóỷ toỹa õọỹ óử caùc vuọng
goùc Dxyz : gọỳc taỷi D(0; 0; 0), A(a; 0; 0),
C(0; a; 0) , D
1
(0; 0; a), trong õoù seợ tờnh a
theo r sau. Khi õoù coù I






2
a
;
2
a
;
2

a
vaỡ mỷt
phúng (ACD
1
) coù phổồng trỗnh :
a
z
a
y
a
x
++
= 1 x + y + z - a = 0
Ta coù r laỡ khoaớng caùch tổỡ I õóỳn mỷt phúng (ACD
1
)
20
C
K
B
y
A
x
O
H
I
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
r =
32a
32

a
111
a
2
a
2
a
2
a
222
==
++
++
r
Dóự nhỏỷn thỏỳy rũng 4 mỷt cuớa tổù dióỷn laỡ 4 tam giaùc õóửu
bũng nhau coù caỷnh laỡ
r622a =
, suy ra dióỷn tờch mọựi tam giaùc
õoù bũng :

2
r36r62
2
3
.r62
2
1
=

Vỏỷy dióỷn tờch toaỡn phỏửn cuớa tổù dióỷn ACB
1
D
1
laỡ : S =
2
r36
x 4 =
2
r324
Thóứ tờch hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
laỡ : V = a
3
= (
3
)r62
=

3
r648
BAèI 5 : Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD. A'B'C'D' vồùi caỷnh bũng a.
Giaớ sổớ M vaỡ N lỏửn lổồỹt laỡ trung õióứm cuớa BC vaỡ DD'.
1/ C/m rũng MN song song vồùi mỷt phúng (A'BD).
2/ Tờnh khoaớng caùch giổợa hai õổồỡng thúng BD vaỡ MN theo a.
(H Ngoaỷi thổồng HCM - Khọỳi A, B)
Giaới :
ổa vaỡo hóỷ toỹa õọỹ óử caùc Axyz : A(0; 0; 0) ,
B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A'(0; 0; a)
1/ Mỷt phúng (A'BD) coù phổồng trỗnh :

1
a
z
a
y
a
x
=++
x + y + z - a = 0
vaỡ coù vectồ phaùp tuyóỳn
n
= (1; 1; 1)
Ta coù : M(a ;
2
a
; 0) , N(0; a;
2
a

)
MN
= (-a;
2
a
;
2
a
) =
2
a
(-2, 1, 1)
Tổỡ õoù
MN.n
=
2
a
[(-2). 1 + (1).1 + (1).1] = 0
Vỏỷy MN song song vồùi mỷt phúng (A'BD)
2/ MN // mp (A'BD), mp (A'BD) chổùa BD nón khoaớng caùch giổợa
hai õổồỡng thúng BD vaỡ MN bũng khoaớng caùch tổỡ mọỹt õióứm
bỏỳt kỗ thuọỹc MN õóỳn mp (A'BD), khoaớng caùch õoù laỡ:
d = d(M, (A'BD)) =
6
3a
111
a0
2
a
a

222
=
++
++
21
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
BAèI 6: Cho tổù dióỷn SABC coù SC = CA = AB =
2a
. SC (ABC), tam
giaùc ABC vuọng taỷi A, caùc õióứm M thuọỹc SA vaỡ N thuọỹc BC sao cho
AM = CN = t (0 < t , 2a)
a) Tờnh õọỹ daỡi õoaỷn thúng MN.
b) Tỗm giaù trở cuớa t õóứ õoaỷn MN ngừn nhỏỳt.
c) Khi õoaỷn thúng MN ngừn nhỏỳt, chổùng minh MN laỡ õổồỡng
vuọng goùc chung cuớa BC vaỡ SA.
(H aỡ Nụng - Khọỳi A)
Giaới :
ổa vaỡo hóỷ toỹa õọỹ óử caùc
vuọng goùc Axyz, Az // SC A(0; 0; 0),
C(
2a
; 0; 0), B(0;
2a
; 0) , S(
2a
; 0;
2a
)
a) Dóự daỡng tờnh õổồỹc M (
2

2t
; 0
;
2
2t
),
N(
2a
-
2
2t
;
2
2t
; 0)
Tổỡ õoù MN
2
= (
2a
-
2t
)
2
+
2
t
2
+
2
t

2
= 3t
2
- 4at + 2a
2

MN =
22
a2at4t3 +
b) MN ngừn nhỏỳt MN
2
õaỷt giaù trở nhoớ nhỏỳt
t =
3
a2
3.2
a4
=
c) Khi t =
3
a2
(MN ngừn nhỏỳt) ta coù
AM
= (
3
2a
; 0 ;
3
2a
) =

3
2a
(1; 0; 1)
CN
= (-
3
2a
;
3
2a
; 0) =
3
2a
(-1; 1; 0)
MN
= (
3
2a
;
3
2a
; -
3
2a
) =
3
2a
(1 ; 1; -1)
Tổỡ õoù ta coù :
AM

.
MN
=
9
a2
2
[1.1 + 0.1 + 1.(-1)] = 0
CN
.
MN
=
9
a2
2
[(-1). 1 + 1.1 + 0(-1)] = 0
Vỏỷy MN SA, MN CB (õpcm)

22
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
BAèI 7: Cho tổù dióỷn OABC coù caùc caỷnh OA, OB, OC õọi mọỹt vuọng
goùc vồùi nhau vaỡ OA = OB = OC = a. Kờ hióỷu K, M, N lỏửn lổồỹt
laỡ trung õióứm cuớa caùc caỷnh AB, BC, CA. Goỹi E laỡ õióứm
õọỳi xổùng cuớa O qua K vaỡ I laỡ giao õióứm cuớa CE vồùi mỷt
phúng (OMN).
1/ Chổùng minh CE vuọng goùc vồùi mỷt phúng (OMN).
2/ Tờnh dióỷn tờch cuớa tổù giaùc OMIN theo a.
(H Huóỳ - Khọỳi A, V, B)
Giaới :
ổa vaỡo hóỷ truỷc toỹa õọỹ óử
caùc vuọng goùc Oxyz : O(0; 0; 0) , A(0; 0;

a), B(a; 0; 0), C(0; a; 0) K(
2
a
; 0;
2
a
), M(
2
a
;
2
a
; 0), N(0;
2
a
;
2
a
), E(a; 0; a)
1/
OM
= (
2
a
;
2
a
; 0) ,
ON
= (0;

2
a
;
2
a
)

CE
= (a; -a; a) = a(1; -1; 1)
Vectồ phaùp tuyóỳn cuớa mp (OMN) laỡ
n
= [
OM
,
ON
] = (
4
a
2
; -
4
a
2
;
4
a
2
)
=
4

a
2
(1; -1; 1) =
4
a
.
CE
Vỏỷy CE mp (OMN)
2/ mp (OMN) coù phổồng trỗnh : x - y + z = 0
ổồỡng thúng CE coù phổồng trỗnh :
1
z
1
ay
1
x
=


=
Toỹa õọỹ giao õióứm I cuớa CE vaỡ mp (OMN) laỡ nghióỷm cuớa
hóỷ :
x - y + z = 0
1
z
1
ay
1
x
=

=
Tổỡ õoù :
IM
= (
6
a
;-
6
a
; -
3
a
) =
6
a
(1; -1; -2)
IN
= (-
3
a
; -
6
a
;
6
a
) =
6

a
(-2; -1; 1)
Vỏỷy dióỷn tờch tổù giaùc OMIN laỡ :
S
OMIN
= S
OMN
+ S
MIN
=
2
1
|[
ON,OM
]| +
2
1
|[
IM
,
IN
]|
23
I(
)
3
a
;
3
a2

;
3
a
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
=
6
3a
333
72
a
111
8
a
2
222
2
222
2
=+++++
BAèI 8: Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
coù caùc caỷnh bón AA
1
,

BB
1
, CC
1
, DD
1
, vaỡ õọỹ daỡi caỷnh AB = a. Cho caùc õióứm M, N
trón caỷnh CC
1
sao cho CM = MN = NC
1
. Xeùt mỷt cỏửu (K) õi
qua 4 õióứm A, B
1
, M vaỡ N.
a) Chổùng minh rũng caùc õốnh A
1
vaỡ B thuọỹc mỷt cỏửu (K).
b) Tờnh õọỹ daỡi cuớa baùn kờnh mỷt cỏửu (K) theo a.
(H An Giang - Khọỳi A, B)
Giaới :
ổa vaỡo hóỷ toỹa õọỹ óử caùc
vuọng goùc, õỷt gọỳc taỷi A, AB trón Ay,
AD trón Ax, AA
1
trón Az.
Goỹi I laỡ tỏm mỷt cỏửu (K). Khi õoù
I thuọỹc giao õióứm cuớa ba mỷt phúng
trung trổỷc cuớa MN, AB
1

, AM.
Dóự nhỏỷn thỏỳy mỷt phúng
trung trổỷc cuớa MN laỡ Z =
2
a
(do CC
1
//
A
1
A)
Ta coù B
1
(0; a; a), do õoù AB
1
laỡ :
0(x - 0) + a(y -
2
a
) + a(z -
2
a
) = 0 y + z - a = 0
ióứm M coù toỹa õọỹ M(a; a;
3
a
), do õoù AM coù vectồ chố
phổồng
AM
= (a; a;

3
a
)
phổồng trỗnh mỷt phúng trung trổỷc cuớa AM laỡ :
a(x -
2
a
) + a(y -
2
a
) +
3
a
(z -
6
a
) = 0 x + y +
3
1
z -
18
a19
= 0
Vỏỷy toỹa õọỹ cuớa I laỡ nghióỷm cuớa hóỷ :
z =
2
a

y + z - a = 0
x + y +

3
1
-
18
a19
= 0
a) A
1
coù toỹa õọỹ A
1
(0; 0; a) IA
1
=
222
2
a
2
a
18
a7






+

+






= IA
B coù toỹa õọỹ B(0; a; 0) IB =
222
2
a
2
a
18
a7






+

+






= IA
24
I(
18
a7
;
2
a
;
2
a
)
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
Vỏỷy A
1
, B thuọỹc mỷt cỏửu (K)
b) Baùn kờnh mỷt cỏửu (K) laỡ IA =
222
2
a
2

a
18
a7






+






+






=
18
211a
Baỡi 9 : Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.ABCD coù caỷnh bũng
a(a>0).
1.Tờnh goùc vaỡ khoaớng caùch giổợa hai õổồỡng thúng AD ,DC.
2.Goỹi M laỡ trung õióứm cuớa BC ,I laỡ tỏm cuớa mỷt bón CDDC.Tờnh

dióỷn tờch cuớa thióỳt dióỷn taỷo bồới mỷt phúng (AMI) vaỡ hỗnh
lỏỷp phổồng.
Giaới:
Xỏy dổỷng hóỷ toaỷ õọỹ nhổ hỗnh veợ:
1.Tờnh chỏỳt hỗnh lỏỷp phổồng cho ta:
C(a;a;0),C(a;a;a),D(0;a;a)
);0;(');;;0(' aaDCaaAD ==
rr
Goỹi

laỡ goùc giổợa AD vaỡ DC.
Ta coù
0
2
2
60
2
1
2
cos ===

a
a
2.Ta coù : M(a;
2
1
a;0) ,I(
2
1
a;a;

2
1
a)
[ ]
)3;2;1(
4
)
4
3
;
2
;
4
(,
)
2
;;
2
(),0;
2
;(
2222
==
==
aaaa
IAMA
a
a
a
IA

a
aMA
rr
rr
)3;2;1( = n
r
laỡ mọỹt phaùp vectồ cuớa (AMI)
=>(AMI) : x - 2y + 3z = 0
(AMI) cừt CC : x=y=a taỷi õióứm N(a;a;
3
1
a)
vaỡ cừt DD :



=
=
ay
x 0
taỷi õióứm P(0;a;
3
2
a)
Thióỳt dióỷn laỡ tổù giaùc AMNP coù dióỷn tờch: S=S
AMN
+S
ANP
Vồùi
)

3
;;(),0;
2
;(
a
aaNA
a
aMA ==
rr
[ ]
12
14
36
14
4936
,
2
4444
2
a
S
aaaa
ANMA
AMN
=
=++=
r
[ ]
6
14

9
14
9
4
9
,)
3
2
;;0(
2
4
4
44
2
aS
a
a
aa
PANA
a
aPA
ANP
=
=++==
rrr
25
A
B
C
D

A
B C
D
P
I
N
Mx
y
z
K