Buổi 1 giải tích 1 21h00 thứ 5 13 7

Học online tại:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

LIVESTREAM BUỔI 1 – TOÁN CAO CẤP
DÃY SỐ THỰC - GIỚI HẠN DÃY SỐ

I. DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Định nghĩa: Một dãy số thực (nói ngắn gọn là dãy số) là một ánh xạ từ N* vào R:
n  N* → xn R

Người ta thường dùng ký hiệu: xn  ; n = 1, 2,... , hoặc x1 ,x2 ,...,xn ,... để chỉ dãy số. Số i = 1, 2, …, n,
… được gọi là chỉ số.
Chú thích: Trong nhiều tài liệu, dãy số cũng có thể bắt đầu từ chỉ số 0, khi đó, tập N* trong định
nghĩa nói trên được thay bằng N.
Ví dụ:
a) xn  ; xn =

1
1
1
; x1 = 1; x2 = ;...; xn = ;...
n
2
n

b) xn  ; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1;...; xn = 1;...
c) xn  ; xn = ( −1) ; x1 = −1; x2 = 1;...; xn = ( −1) ;...
n

n

d) xn  ; xn = n2 ; x1 = 1; x2 = 4;...; xn = n2 ;...
2

2


1
9

1
e) xn  ; xn =  1 +  ; x1 = 2; x2 = ;...; xn =  1 +  ;...
4
 n
 n

f) xn  ; xn = n ( −1) ; x1 = −1; x2 = 2; x3 = −3;...;n ( −1) ;...
n

n

● Dãy đơn điệu:
• Dãy tăng: xn+1  xn : n  N *
• Dãy giảm: xn+1  xn : n  N *
● Dãy bị chặn:
Dãy (xn) gọi là bị chặn trên ( dưới, bị chặn) nếu tập hợp xn : n  N là bị chặn trên (dưới, bị
chặn) nghĩa là: C  R, n  N : xn  C (  C,C  0 )

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA
1


Học online tại:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Giới hạn dãy số

(

Định nghĩa: Dãy {xn} gọi là hội tụ nếu  a  ε  0  nε  n  nε  xn − a  ε

)

Ta cũng nói rằng dãy {xn} hội tụ đến a, hay a là giới hạn của dãy {xn} và viết xn → a
khi n →  hay lim xn = a
n →

● Nếu dãy {xn} không hội tụ, ta nói rằng nó phân kỳ

Chú ý: Ta hồn tồn có thể sử dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn dãy số
Ví dụ 1: Chứng minh: lim

1
=0
n

Ví dụ 2: Chứng minh lim k

1
n

= 0, k  N

3. Các tính chất và phép tốn của dãy hội tụ
a) xn → a,xn → a'  a' = a (tính chất duy nhất)
b) xn → a  ( xn − a ) → 0
c) n : xn = c  xn → c ( c = const )
d) xn → a, zn → a, xn  yn  zn  ( yn → a ) : nguyên lý kẹp
e) xn → a  c  0, n : xn  c
f) xn → a, a  p (  p )  n0 , n  n0 : xn  (  p )
g) xn → a, yn → b  xn  yn → a  b
h) xn → a, yn → b  xn .yn → a.b
i) xn → a, yn → b,b  0, xn / yn → a / b

Bài tập ví dụ: Tìm giới hạn của dãy số
1. lim

7n2 + 5n + 3
5n2 + 3

2. lim

sin n
n

3. lim

n cos n

n+1

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA
2


Học online tại:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Giới hạn vô hạn và các dạng vô định
a) Giới hạn vô hạn
Định nghĩa: Dãy (xn) gọi là có giới hạn bằng dương vơ cùng (âm vô cùng) nếu:
M  0, n0 , n  n0  M(  − M0 )

Ký hiệu: lim xn = +  ( −) hay xn → +  ( −)
Các tính chất:
1. xn → + ( − ) , n; yn  xn (  xn )  yn → + ( − )
2. xn → + ( − ) , n : yn  c  xn + yn → + ( − )
3. xn → + ( − ) , yn → + ( − )  xn + yn → + ( − )
4. xn → + ( − ) , yn → a  0 ( a  0 ) , xn yn → + ( − ) − ( + )
5. xn → + ( − ) , yn → + ( − ) − ( + )  xn yn → + ( − )
6. xn → + ( − )  1/ xn → 0; xn → 0
xn  0 (  0 )  1/ xn → + ( − )

Ví dụ:
2. xn  ; xn = 2n + 1

1. xn  ; xn = n

3. xn  ; xn =

n3 + n
2n2 − 3

4. xn  ; xn =

n2 + 1 + 3
n3 + n − n

b) Các dạng vô định
Xét hai dãy xn  và yn  , các dạng vơ định sẽ có dạng:

0 
; ; 0. ;  − 
0 

→ Khi tìm giới hạn, gặp các dạng này ta phải biến đổi để khử chúng đi, sau đó áp dụng các tính

chất của dãy hội tụ ta sẽ tìm được giới hạn cụ thể.
Ví dụ:

(

1. xn  ; xn = n − n − n + n
2

4

3

)

4n4
1 − 10n3
2. xn  ; xn = 2
+
2n + 3 5n + 1
___HẾT___

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA
3