Logic vị từ - Trần Văn Hoài

TS. Trần Văn Hoài
Logic vị từ
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Điểm yếu của logic mệnh đề (1)
☞ Không thể hiện được các phát biểu có các bi ến
Ví dụ:
x = y + 3
x > 3
Bởi vì các biến chưa có giá trị. Tuy nhiên, phát biểu dạng
như trên xuất hiện rất nhiều
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Điểm yếu của logic mệnh đề (2)
☞ Những sự tương đương sau không biểu diễn được bằng
logic mệnh đề
"Không phải tất cả bán h đều ăn được" và "Chỉ một số bánh ăn
được"
"Not all integers are even" và "Some integers are not even"
Để suy diễn, mỗi mệnh đ ề phải được liệt kê riêng lẽ
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Logic vị từ
☞ Khắc phục các điểm yếu nêu trên
☞ Phát biểu x > 3 có 2 phần:
• Biến x
• Tính chất của biến x (> 3), được gọi là
vị từ (predicate)
☞ Nói cách khác
Predicate là vị từ mô tả tính chất của những đối
tượng, hoặc quan hệ giữa chúng

☞ Ký hiệu phát biể u P (x)
⇒ P (2), P (4) là mệnh đề
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Ví dụ
Xét các câu sau
• "The car Tom is driving is blue"
• "The sky is blue"
• "The cover of this book is blue"
Chúng ta có thể có 1 vị từ "is b lu e", viết tắt là B.
B(x) nghĩa là "x is blue "
Khi đó, ta có thể biể u diễn các câu như sau
• B(The car Tom is driving)
• B(The sky)
• B(The cover of this book)
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Dạng tổng quát
☞ Một phát biểu có n biến x
1
, x
2
, . . . , x
n
được ký hiệu là
P (x
1
, x
2
, . . . , x

n
) được gọi là hàm mện h đ ề (propositional
function)
P được gọi là
vị từ
Ví dụ:
P (x, y, z) : x + y = z
P (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) :

n
i=1
x
i
= 1
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Vị từ không phải là mệnh đề
☞ Phát biểu x > 1 không phải là mệnh đề
☞ Để biến x > 1 thành mệnh đề, một trong 2 cách sau phải
thực hiện
➠ Gán giá trị cụ thể cho x
➠ Chuyển phát biểu sang dạng
There is a number x for w hi ch x > 1
hoặc là

For every number x, x > 1 h o l d s
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Lượng từ (quantifier)
☞ Gán giá tr ị cho tất cả các biến của P ⇒ mệnh đề
☞ Cách khác là dùng các
lượng từ
• ∀: với mọi ∀ xP (x) = P (x) là Tvới mọi x
• ∃: tồn tại ∃xP (x) = Tồn tại x sao cho P (x) là T
⇒ Cần một miền giá trị cho x (universe of discour se )
Miền giá trị là tập các đối tượng quan tâm củ a một
biến
Mệnh đề chỉ có giá trị Thay F
nếu miền giá trị đã được xác
định
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Ví dụ toán tử "với mọi" (∀)
☞
Ví dụ: Mọi sinh viên máy tính phải học môn logic
P (x) = "x phải học môn logic"
Mệnh đề: ∀xP (x)
☞
Ví dụ: Chính xác hơn
S(x) = x là sinh viên máy tính
P (x) = x phải học môn logic
Mệnh đề: ∀x(S(x) → P (x))
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Ví dụ toán tử " tồ n tại" (∃)

☞
Ví dụ: P (x) = ”x > 3”
Miền giá trị x ∈
Mệnh đề: ∃xP (x) là T
☞
Ví dụ: Q(x) = ”x = x + 1”
Miền giá trị x ∈
Mệnh đề: ∃xQ(x) là F
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Tầm vực của lượng từ
☞ Ký hiệu bởi [] hoặc (), nếu không có thì tầm vực là công
thức
nhỏ nh ất ngay sau lượng từ
☞ Biến x là
bound nếu
• Biến x được gán giá trị
• Biến x được lượng từ hóa
☞ Biến x là
free nếu nó không bound
Ví dụ:
➳ ∀xP (x, y) thì x là bound và y là free
➳ ∀x(∃yP (x, y)∨Q(x, y)) thì x, y trong P (x, y) là bound , t ro ng
khi y trong Q(x, y) là free
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Xác định chân tr ị
☞ ∀xP (x) = P (x
1
) ∧ P (x

2
) ∧ . . . ∧ P (x
n
)
☞ ∃xP (x) = P (x
1
) ∨ P (x
2
) ∨ . . . ∨ P (x
n
)
Trong đó x
1
, x
2
, . . . , x
n
là liệ t kê các giá trị có thể có của x
➳ Thử tất cả các x
i
với ∀ để xác định T
➳ Tìm một x
i
với ∃ để xác định T
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Thứ tự các lượng từ
☞ Thứ tự của lượng từ là quan trọng, chỉ trừ khi
Tất cả các lượng từ là "với mọi " hoặc tất cả là "tồn tại"
☞ Đọc từ trái sang phải , áp dụng từ trong ra

Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Ví dụ thứ tự khác nhau
☞
Ví dụ:
∀x∀y(x + y = y + x)
Tvới tất cả x, y ∈
☞
Ví dụ:
∀x∃y(x + y = 0) là T,
trong khi
∃y∀x(x + y = 0) là F
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Diễn giải ý nghĩa (1)
☞
Ví dụ: ∀x∀y(x + y = y + x), x, y ∈
x + y = y + x với tất cả các số th ực
☞
Ví dụ: ∀x∃y(x + y = 0), x, y ∈
Với mọ i số thực x, tồn tại số th ực y thỏa mãn x + y = 0
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Diễn giải ý nghĩa (2)
Diễn giải phát b iểu sau:
∀x(C(x) ∨ ∃y(C(y) ∧ F (x, y))))
Trong đó:
• C(x): x có máy tính
• F (x, y): x, y là bạn
• x, y ∈ tất cả sinh viên trong trường

Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Diễn giải ý nghĩa (2)
Diễn giải phát b iểu sau:
∀x(C(x) ∨ ∃y(C(y) ∧ F (x, y))))
Trong đó:
• C(x): x có máy tính
• F (x, y): x, y là bạn
• x, y ∈ tất cả sinh viên trong trường
Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máy
tính,
hoặc tồn tại sinh viên y có máy tính và sinh
x, y là bạn.
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Diễn giải ý nghĩa (3)
Diễn giải phát b iểu sau:
∃x∀y∀z(((F (x, y) ∧ F (x, z) ∧ (y = z)) → ¬F (y, z)))
Trong đó:
• F (x, y): x, y là bạn
• x, y, z ∈ tất cả sinh viên tr o n g trường
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Diễn giải ý nghĩa (4)
Diễn giải phát b iểu sau:
∃x∀y∀z(((F (x, y) ∧ F (x, z) ∧ (y = z)) → ¬F (y, z)))
Trong đó:
• F (x, y): x, y là bạn
• x, y, z ∈ tất cả sinh viên tr o n g trường
Tồn tại một sinh viên x, sao cho với mọi sinh viên

y, với mọi sinh viên z khác y, nếu x là bạn của y và
x là bạn của z thì y, z không là bạn của nhau.
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Hình thức hóa ngôn ng ữ (1)
(1) "Có sinh viên nào đó trong lớp đã tham quan Hà Nội"
(2) "Mọi sinh viên trong lớp đã thăm Nha Trang hoặc Vũng
Tàu"
Nếu ta đặt câu:
C(x): x đã thăm Hà Nội
D(x): x đ ã thăm Nha Trang
E(x): x đã thăm Vũng Tàu
Ta có:
(1): ∃xC(x)
(2): ∀x(D(x) ∨ E(x))
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Hình thức hóa ngôn ng ữ (2)
"Mọi ng ười đều có một người bạn tốt nhất"
Nếu ta đặt câu:
• B(x, y): y là bạn tốt nhất của x
Ta có:
∀x∃y∀z(B(x, y) ∧ ((y = z) → ¬B(x, z)))
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Hình thức hóa ngôn ng ữ (3)
"Nếu một người là phụ nữ và là cha mẹ, thì người này là mẹ
của ai đó"
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài

Hình thức hóa ngôn ng ữ (3)
"Nếu một người là phụ nữ và là cha mẹ, thì người này là mẹ
của ai đó"
Nếu ta đặt câu:
• C(x): x là phụ nữ
• D(x): x là cha mẹ
• E(x, y): x là mẹ của y
Ta có:
∀x((C(x) ∧ D(x)) → ∃yE(x, y))
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Tóm tắt ý nghĩa của lượng từ
Phát biểu Khi nào đúng ? Khi nào sai ?
∀x∀yP (x, y) P (x, y) là T Có một cặp x, y l àm cho
∀y∀xP (x, y) với mọi x, y P (x, y) là F
∀x∃yP (x, y) Với mọi x, tồn tại y Có một x sao cho P (x, y)
làm cho P (x, y) là T là Fvới mọi y
∃x∀yP (x, y) Tồn tại x sao cho Với mọi x, tồn tại y
P (x, y) là Tvới mọi y làm cho P (x, y) là F
∃x∃yP (x, y) Tồn tại một cặp x, y P (x, y) là Fvới
∃y∃xP (x, y) sao cho P (x, y) là T mọi x, y
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009
TS. Trần Văn Hoài
Phủ định của lượng từ
"Mọi sinh viên máy tính đ ều học môn logic toán"
∀xP (x)
"Không phải là mọi sinh viên máy tính đều học môn logic
toán"
∃x¬P (x)
Phủ đị nh Mệnh đề tương đương

¬∃xP (x) ∀x¬P (x)
¬∀xP (x) ∃x¬P (x)
Predicate logic (Logic vị từ) 2008-2009