dạy - học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH






NGUYỄN THỊ KIM CÚC






DẠY - HỌC GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG





Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG













Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


MỤC LỤC
0TMỤC LỤC0T 2
0TDANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT0T 4
0TLỜI CẢM ƠN0T 5
0TMỞ ĐẦU0T 6
0TI. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:0T 6
0TII. Phạm vi lý thuyết tham chiếu0T 7
0TIII. Mục đích và phương pháp nghiên cứu0T 7
0TIV. Tổ chức của luận văn0T 8
0TCHƯƠNG 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ0T 9

0T1.1.Phương diện khoa học luận0T 9
0T1.2. Phương diện thể chế:0T 11
0T1.2.1 Về chương trình:0T 11
0T1.2.2 Về lý thuyết:0T 11
0T1.2.3. Về các tổ chức toán học:0T 13
0T1.2.4. Về các hợp đồng didactic0T 14
0T1.2.5. Về quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn:0T 14
0T1.3.Các đồ án didactic đã xây dựng:0T 15
0T1.4.Các khái niệm có liên quan:0T 16
0T1.5.Về vai trò của máy tính bỏ túi:0T 16
0T1.6. Kết luận:0T 17
0T1.7. Câu hỏi nghiên cứu:0T 17
0TCHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT
NAM HIỆN HÀNH
0T 18
0T2.1. Phân tích chương trình0T 19
0T2.2. Phân tích SGK0T 24
0T2.2.1. Khái niệm giới hạn vô cực của dãy số0T 24
0T2.2.1.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm:0T 24
0T2.2.1.2 Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của dãy số:0T 26
0T2.3.1.3 Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của dãy số được
nêu trong các SGK mà chúng tôi chọn để phân tích.
0T 27
0T2.2.1.4. Phân tích phần bài tập :0T 31
0T2.2.2. Giới hạn vô cực của hàm số0T 32
0T2.2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm:0T 32
0T2.2.2.2. Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.0T 33


0T2.2.2.3. Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của hàm số được

nêu trong các SGK mà chúng tôi chọn để phân tích.
0T 35
0T[SCL, tr122]0T 36
0T2.2.2.4. Phân tích phần bài tập:0T 38
0T2.2.3. Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số với vai trò công cụ0T 42
0T2.2.3.1 Vai trò của 0T
lim ( )
xa
fx
→
= ±∞
42
0T2.2.3.2. Vai trò của 0T
lim ( )
x
fx
→±∞
= ±∞
46
0T2.3. KẾT LUẬN PHÂN TÍCH THỂ CHẾ0T 52
0TCHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM0T 56
0T3.1 Mục đích thực nghiệm :0T 56
0T3.2 Hình thức thực nghiệm:0T 56
0T3.3 Giới thiệu bộ câu hỏi thực nghiêm0T 56
0T3.4 PHÂN TÍCH THỰC NGHIỆM0T 57
0T3.5 KẾT LUẬN THỰC NGHIỆM0T 68
0TKẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA CỦA LUẬN VĂN0T 69
0TKết luận:0T 69
0THướng mở ra của luận văn:0T 70
0TTài liệu tham khảo0T 71

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK: Sách giáo khoa
SGV: Sách giaó viên
SGKHH: Các sách giáo khoa hiện hành
SGVHH: Các sách giáo viên hiện hành
SCL: Sách giaó khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000
CTCLHN: Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000
CTHH: Chương trình hiện hành
SGK.C11: Sách giáo khoa đại số và giải tích cơ bản lớp 11
SGK.N11: Sách giáo khoa đại số và giải tích nâng cao lớp 11
SGV.C11: Sách giáo viên đại số và giải tích cơ bản lớp 11
SGV.N11: Sách giáo viên đại số và giải tích nâng cao lớp 11
SGK.C12: Sách giáo khoa giải tích cơ bản lớp 12
SGK.N12: Sách giáo khoa giải tích nâng cao lớp 12
SGV.C12: Sách giáo viên giải tích cơ bản lớp 12
SGV.N12: Sách giáo viên giải tích nâng cao lớp 12
SGKCB: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ
bản.
SGVCB: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ
bản.
SGKNC: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12
nâng cao.
SGVNC: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12
nâng cao.
SKG Mỹ: Sách giáo khoa Mỹ
KNV: Kiểu nhiệm vụ
NV: Nhiệm vụ

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH, Khoa Toán-Tin Trường ĐHSP TP.HCM
đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học.
- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Bình Sơn, tỉnh Kiên Giang đã
tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình.
- Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi học tập và nghiên cứu về didactic toán
trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô Trường THPT Bình Sơn, Trường THPT Hòn Đất, tỉnh
Kiên Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Trân trọng cảm ơn:
- PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần
Lương Công Khanh, đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất
thú vị về didactic toán, đóng góp cho chúng tôi những chỉ dẫn cần thiết và hiệu quả để thực hiện
việc nghiên cứu.
- GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI đã cho chúng tôi những nhận xét và gợi ý
hữu ích để thực hiện nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình
hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã
luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt.
Nguyễn Thị Kim Cúc


MỞ ĐẦU

I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:
Các nghiên cứu dạy học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lý hợp nhất (từ 2000-
2006) cho thấy rằng học sinh chỉ hiểu khái niệm giới hạn như là việc thực hiện các thao tác đại số
trên biểu thức để tính giới hạn (Lê Thái Bảo Thiên Trung 2004).
Trong chương trình hiện hành, khái niệm giới hạn được đưa vào chương IV sách giáo khoa
lớp 11 với mục tiêu của chương là “ đưa vào các khái niệm cơ sở của giải tích (giới hạn dãy số, giới
hạn hàm số, hàm số liên tục) qua đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô
hạn và liên tục”.
Theo Lê Văn Tiến (năm 2000) thì khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích, những
kĩ thuật đặc trưng của giải tích là: chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ và dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ
dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ
,
εδ
hay
, N
ε
.
Tuy nhiên vì mục đích giảm tải sách giáo viên Toán 11 của chương trình hiện hành nêu chú ý rằng :
“không định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số bằng ngôn ngữ
,
εδ
”.
Các thực nghiệm trong các nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành
Long (2004) đối với chương trình chỉnh lý hợp nhất và Lê Thành Đạt (2011) đối với chương trình
hiện hành chỉ giới hạn trên khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Như vậy, sự tiến triển của
chương trình (từ chỉnh lý hợp nhất đến hiện hành) và các nghiên cứu riêng biệt trên khái niệm giới
hạn vô cực chưa được quan tâm đúng mức.
Trên cơ sở đó chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu như sau:
- Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các sách giáo khoa hiện hành (SGKHH) có
tiến triển gì so với sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000(SCL)? Học sinh có “bước đầu hình

thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục” như thể chế mong muốn
không?
- Mối quan hệ giữa khái niệm giới hạn vô cực với các khái niệm liên quan khác như: khái
niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận, vai trò của giới hạn vô cực của
hàm số trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được các sách giáo khoa hiện hành
tính đến như thế nào?
- Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ như hiện nay, khi mà hầu như mỗi
học sinh đều có một máy tính bỏ túi thì vai trò của máy tình bỏ túi có được sách giáo khoa tính đến
trong việc dạy học các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số không, nếu có thì được tính đến như
thế nào?


II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu là:
- Lý thuyết nhân học, nhằm:
+ Tổng hợp phân tích các đặc trưng khoa học luận và chướng ngại khoa học luận của
các khái niệm giới hạn trong các luận văn đã có.
+ Tổng hợp các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong SCL.
+ Phân tích các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong các SGK
hiện hành.
- Lý thuyết về học tập - sai lầm, nhằm giải thích các quy tắc hành động sai lầm của học sinh.
- Lí thuyết tình huống để: xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả
thuyết đưa ra trong quá trình nghiên cứu.
III. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là nhằm làm rõ sự tiến triển thể chế đối với khái niệm
giới hạn vô cực của hàm số từ chương trình chỉnh lý hợp nhất (2000) đến chương trình hiện hành
(2006), từ đó xác định một phần mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này trong chương trình hiện
hành. Việc xác định mối quan hệ thể chế bằng cách phân tích các SGK và ảnh hưởng của mối quan
hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực nghiệm cho phép hiểu được thực
trạng của việc dạy học khái niệm này để từ đó có cách cải tiến cho phù hợp.

Phương pháp nghiên cứu:
- Tổng hợp các công trình nghiên cứu để rút ra chướng ngại khoa học luận và đặc trưng khoa
học luận của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Tổng hợp quan hệ thể chế, quan hệ cá
nhân đối với khái niệm giới hạn trong các luận văn đã nghiên cứu.
- Sử dụng những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn làm tri thức tham chiếu để
phân tích chương trình, sách giáo khoa hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế, mối quan hê
cá nhân đối với khái niệm giới hạn.
- Trên cơ sở phân tích chướng ngại khoa học luận, phân tích các mối quan hệ thể chế ở trên
chúng tôi xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đã nêu ra trong quá trình
phân tích.
- Từ việc phân tích quan hệ thể chế với yêu tố tin học, máy tính bỏ túi và quan hệ thể chế đối
với khái niệm giới hạn xây dựng và thực hiện công đoạn dạy học khái niệm giới hạn theo
quan điểm xấp xỉ trong môi trường máy tính bỏ túi.


IV. Tổ chức của luận văn
Phần mở đầu: chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và
phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn.
Chương 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ
Trình bày tổng hợp nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học và quan hệ cá nhân, quan
hệ thể chế từ việc nghiên cứu các công trình sau:
+ Luận án và luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004, 2007).
+ Luận văn của Nguyễn Thành Long (2004).
+ Luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005).
Từ đó đưa ra các kết luận và các câu hỏi nghiên cứu.
Chương 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT
NAM HIỆN HÀNH
Tiến hành phân tích sâu chương trình và SGK toán phổ thông Việt Nam nhằm trả lời các câu
hỏi nghiên cứu về việc làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn. Đồng thời xem xét sự lựa

chọn khác của một SGK của Mỹ.
Ở phần cuối của chương, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu.
Chương 3: THỰC NGHIỆM
Trình bày thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu.
Phần kết luận : Tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở
ra từ luận văn.



CHƯƠNG 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ
Mục tiêu của chương :
Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế ở chương 2, ở chương này chúng tôi tổng hợp các kết
quả nghiên cứu đã có về giới hạn trên các phương diện :
- Khoa học luân.
- Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô hạn của chương trình chỉnh lí hợp nhất 2000.
- Các đồ án didactic đã xây dựng.
- Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm
2000.
- Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi, vai
trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
- Và xem xét những khái niệm liên quan đến khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.
Trên cơ sở đó đặt ra các câu hỏi mới cho các nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi.
1.1.Phương diện khoa học luận
Dựa vào các nghiên cứu đã có của Cornu (1983), luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung
(2004) đã đạt được những kết quả sau:
Tổng kết và đặt tên lại ba quan điểm khoa học luận về khái niệm vô hạn:
♥ Quan điểm đại số: Nó vận hành theo nguyên tắc “ không làm rõ bản chất của đối
tượng mà nó vận hành” (Dahan-Dalmedico, 1982)
♥ Quan điểm xấp xỉ x: “Chính là biến số sẽ kéo hàm số”
“ Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này ( theo nghĩa x nhận các

gía trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng
x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị b. Nếu x dần dần xích gần lại
giá trị a, đại lượng y xích gần lại b”.
♥ Quan điểm xấp xỉ f(x): “Chính là độ xấp xỉ mong muốn sẽ kéo biến số”

(Bkouche, 1996)
“Quan điểm này được minh họa bởi sự xấp xỉ thập phân của một số a bằng một dãy
các số thập phân (a
R
n
R)” (Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2004)
Định nghĩa bằng ngôn ngữ (ε, δ) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa của khái niệm
xấp xỉ này (Bkouche, 1996)


Nếu trong quan điểm xấp xí x, biến số sẽ kéo hàm số thì trong quan điểm xấp xỉ f(x),
chính độ xấp xỉ mong muốn của f(x) sẽ qui định độ xấp xỉ của x.(trang 3)
Chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn là khía cạnh vô hạn được
Cornu (1983) cụ thể thành một số chướng ngại như sau:
- Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: làm sao chắc chắn được rằng một số
tồn tại nếu ta không tính được nó, làm sao suy luận trên các tiến trình vô hạn. Đây lại là một
kiểu mới của những suy luận toán học đòi hỏi phải áp dụng.
- Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa
bằng không, nhưng chúng không thể gán được nữa? có tồn tại hay không các đại lượng “tan
dần” mà chỉ qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? Có phải một số nhỏ hơn tất cả
các đại lượng dương cho trước thì bằng không.
- Một giới hạn có thể đạt tới hay không?
- Các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu; một tổng vô hạn có thể là một số hữu hạn;
hai đại lượng tiến về không nhưng tỷ số của chúng lại tiến về một lượng hữu hạn. (trang 2)
Nhóm nghiên cứu của Bosch (2002) đã đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu của khái

niệm giới hạn sau đây:
- OM
R
1
R đại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại bằng các thao tác đại
số.
- OM
R
2
R tôpô các giới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số.
Hai TCTH này đã được Lê Thái Bảo Thiên Trung (năm 2004) làm rõ như sau:
“Đại số các giới hạn (OM
R
1
R) là kết quả của việc mô hình hóa các quy tắc đại số về sự chuyển
qua giới hạn trong các phép toán hàm số. OM1, xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, xuất
phát từ sự giả sử sự tồn tại giới hạn hàm số và chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của
những hàm số quen thuộc. Vấn đề này được xử lí qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn của hàm
số f(x) khi x->a, với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm
hay vô cực. Những kĩ thuật toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản dựa trên sự thực hiện
các thao tác đại số trên biểu thức f(x). Công nghệ tối thiểu của OM1 gỉai thích cho các kĩ thuật có
thể được miêu tả, chẳng hạn, bằng một hệ thống tiên đề của Lang trong quyển Calculus(1986). OM
R
1
R
cho phép tránh vấn đề vô hạn của khái niệm giới hạn và gắn ký hiệu
hoặc với một số thực
hoặc với vô cùng.
OM2, xoay quanh bản chất topo của khái niệm giới hạn, có ý định muốn đề cập đến bản
chất của đối tượng “giới hạn hàm số” và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một

kiểu xác định các hàm số. Câu hỏi này được xử lí qua một số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự tồn
tại hay không tồn tại giới hạn của một hàm số f(x) khi x -> a với a là số thực hữu hạn hay vô cực;
xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực; chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại các
giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp xác định các hàm số; chứng minh các tính chất
về các phép toán trên các giá trị giới hạn của các hàm số, một cách đặc biệt bao gồm sự chứng minh
các quy tắc tính toán, là công nghệ tối thiểu của OM1. Công nghệ tối thiểu của OM2 (giải thích cho
các kĩ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ này) được tập trung trên việc sử dụng các tính chất
giới hạn của dãy số và trên định nghĩa cổ điển bằng ngôn ngữ
ε
,
δ
.
Như vậy có thể nói OM1 là một phần chứa trong OM2. Hai TCTH này chứa đựng một hệ
thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng các số thực. Hai TCTH địa phương này được kết
hợp trong một miền trả lời, chẳng hạn cho câu hỏi về sự khả vi của một kiểu hàm số, hay trả lời cho
câu hỏi về sự khả tích.
Người ta sử dụng cấu trúc đã mô tả của TCTH tham chiếu để giải thích cho TCTH cần giảng
dạy bằng cách xác định:
- Những gì là dấu vết của OM1 trong thể chế dạy học
- Những gì là dấu vết của OM2 trong thể chế dạy học
1.2. Phương diện thể chế:
Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) đã thực hiện nghiên cứu trên
chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau:
1.2.1 Về chương trình:
- Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn là: Giới hạn dãy số
→
Giới hạn hàm số
→

Hàm số
liên tục.
- Giới hạn dãy số được khẳng định là công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số. Chương trình
còn yêu cầu không dùng ngôn ngữ
,
εδ
để định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và
yêu cầu thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn.
Như vậy chương trình năm 2000 đã yêu cầu nhấn mạnh quan điểm đại số của khái niệm giới hạn
và tránh quan điểm xấp xỉ.
 Còn chương trình hiện hành thì sao?
1.2.2 Về lý thuyết:
- Khái niệm dãy số có giới hạn là a được đưa ra theo hình thức ngôn ngữ
,
ε
Ν
dựa vào việc
kết hợp minh họa hình học, thao tác đại số trên khoảng cách, thao tác với
,
ε
Ν
. Định nghĩa


này thể hiện quan điểm xấp xỉ x và quan điểm xấp xỉ f(x). Như vậy ở đây có sự mâu thuẫn
giữa chương trình và SGK, chương trình yêu cầu không dùng ngôn ngữ
,
εδ
để định nghĩa
giới hạn nhưng SGK vẫn dùng ngôn ngữ hình thức này.

- Các định lí về giới hạn dãy số được đưa ra nhưng không chứng minh.
- Khái niệm dãy số dần tới vô cực được định nghĩa bằng ngôn ngữ (M,N) sau khi xét một dãy
số mà dạng khai triển của nó cho thấy
n
u
có thể lớn bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn.
- Khái niệm giới hạn hàm số: “Sách giáo khoa định nghĩa giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
tới a thông qua giới hạn của hàm số (f(x
R
n
R)) và (xR
n
R)”, như vậy đã né tránh quan điểm xấp xỉ
f(x) mà nhấn mạnh quan điểm xấp xỉ x.
- Sách giáo khoa còn giới thiệu tường minh các dạng vô định:
0
0
; ;0 à yx
0
v khi x x ha
∞
×∞ ∞−∞ → →∞
∞
.
- Trong sách giáo khoa tồn tại kí hiệu
∞
và không phân biệt
à+v−∞ ∞
,
∞

tùy trường hợp có
thể được hiểu là
−∞
hoặc
+∞

-
lim ( )
xa
fx
→
= ∞
(a hữu hạn hoặc vô hạn) chỉ là kí hiệu, viết như thế thực ra hàm số f(x) không có
giới hạn khi x dần đến a.
 Các yếu tố này được thể hiện trong phần giới hạn vô cực của hàm số ở SGK hiện
hành như thế nào?
Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Phương Mai (2004) về “Quan niệm của giáo viên và học sinh
về khái niệm vô hạn” thì trong SGKCL có hiện tượng thiếu công nghệ. Cụ thể SCL không đưa
vào các định lí sau nhưng trong bài giải của SGV hoặc SGK lại có sử dụng chúng:
1. Nếu
3
3
lim ì lim
nn
u a th u a= =

2. Nếu
lim ( 0) à lim 0 ì lim
n
nn

n
u
u a a v v th
v
=≠==∞
(SCL chỉ xét trường hợp a=1)
3. Nếu
lim ì lim
nn
u th u C=∞ +=∞
, với C là hằng số.
4. Nếu
lim ì lim( )
k
nn
u th u=∞=∞
, với k nguyên dương.
5. Nếu
21
lim ì lim
k
nn
u th u
+
=∞=∞
, với k nguyên dương.
6. Nếu
n
lim à lim ì limu
nn n

u v u th v=∞=∞ =∞
.
7. Nếu
n
lim ( 0) à lim ì limu
n nn
u a a v u th v=≠=∞=∞

8. Đại số các vô cực:



9. Và tồn tại một mâu thuẫn: người ta cấm viết
[ ]
lim () () lim () lim () 0
xa xa xa
fx gx fx gx
→ →→
− = − =∞−∞=
nhưng lại chấp nhận cách viết
2
lim ( 3 ) ( )
x
xx x
→−∞
+ + − = +∞ − −∞ = +∞

10. Nếu
lim () à lim () 0 ì lim ()()
xx x

fx v fx L th fxgx
→+∞ →+∞ →+∞
= +∞ = > = +∞

 Như vậy, trong các SGKHH, các yếu tố công nghệ trên có được đưa vào không, có
còn mâu thuẫn tương tự không?
1.2.3. Về các tổ chức toán học:
Theo Nguyễn Thành Long (2004) thì sách giáo khoa năm 2000 có 7 TCTH tương ứng với 7 kiểu
nhiệm vụ như sau:
T
R
1
R: Chứng minh dãy số (uR
n
R) có giới hạn là a.
T
R
2
R: Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy số.
T
R
3
R: Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
T
R
4
R: Chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của hàm số.
T
R
5

R: Tìm giá trị của tham số để tồn tại giới hạn của hàm số.
T
R
6
R: Phát biểu định nghĩa giới hạn của hàm số (mở rộng)
T
R
7
R: Tính tổng của cấp số nhân
Các kiểu nhiệm vụ trên được chia làm 3 nhóm tương ứng như sau:
Loại 1: Cho phép thao tác kĩ thuật theo bản chất giải tích, bao gồm các nhiệm vụ T
R
1
R, TR
2
R,
T
R
3
R(9,1%)
Loại 2: Cho phép đề cập vài yếu tố của quan điểm xấp xỉ x, bao gồm nhiệm vụ: T
R
6
R (3,9%)
Loại 3: Chỉ dụng đến các phép toán đại số giới hạn, bao gồm các kiểu nhiệm vụ: T
R
3
R, TR
4
R, TR

5
R,
T
R
7
R (87%)
Như vậy thể chế dạy học nhấn mạnh quan điểm đại số hoá trong việc xây dựng và tổ chức kiến thức
cần giảng dạy về giới hạn. Tư tưởng xấp xỉ chỉ thể hiện thoáng qua ở học sinh. Quan điểm động học
thể hiện rất mờ nhạt
 Trong SGKHH, các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số
được đưa vào với tỉ lệ như thế nào, có TCTH nào mới được đưa vào, TCTH nào
không được đưa vào nữa?
. ( 0)
()
n
n
C CC
n
∞+ =∞ ∞ =∞ ≠
∞ =∞ ∈ ∞=∞
∞+∞=∞




1.2.4. Về các hợp đồng didactic
Tồn tại các quy tắc hành động
R
R
1:

RHọc sinh không có trách nhiệm khảo sát hàm số phải tính giới hạn, không phải dự đoán
giới hạn, không xem xét hàm số và không quan tâm đến tính thích đáng của bài tập.
R
R
2
R: Học sinh phải biết tính các giới hạn mà sách giáo khoa hay giáo viên yêu cầu, chủ yếu
dưới dạng tính
)(lim xf
ax→
( a hữu hạn hay vô hạn) bằng cách nhận dạng chúng sau đó thực
hiện các quy tắc hành động tương ứng.
Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004)
Sau khi phân tích, so sánh các bộ sách giáo khoa, các tác giả đã đưa ra kết luận:
- Sách giáo khoa hiện hành (sách giáo khoa 2000) chỉ tạo thuận lợi cho quan điểm đại số về
giới hạn ở học sinh. Ngược lại quan điểm xấp xỉ ít khi có mặt.
- Các chướng ngại khoa học luận vẫn tìm thấy ở học sinh Việt Nam ngày nay: nhất là câu hỏi:
có thể đạt được giới hạn hay không?
- Định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số bằng “ngôn ngữ dãy số” trong sách giáo khoa hiện
hành không mang ý nghĩa gì đối với học sinh.
- Tránh quan điểm xấp xỉ, nhấn mạnh quan điểm đại số, giới hạn hàm số gần như là hệ quả
của giới hạn dãy số.
- Các định nghĩa và định lí về giới hạn hầu như vừa có vai trò nêu kĩ thuật giải của kiểu nhiệm
vụ tương ứng vừa có vai trò công nghệ giải thích cho các kĩ thuật đó.
 Như vậy câu hỏi đặt ra cho phần này là: Quan hệ thể chế dạy học Việt Nam đối với
khái niệm giới hạn trong chương trình hiện hành có tiến triển như thế nào so với
chương trình năm 2000, quan điểm nào của khái niệm giới hạn có mặt, quan điểm
nào được nhấn mạnh và quan điểm nào không? Chúng tôi sẽ phân tích quan hệ thể
chế dạy học Việt Nam hiện hành để trả lời các câu hỏi trên, và chỉ giới hạn để tài
trong phạm vi giới hạn vô cực của hàm số.
1.2.5. Về quan niệm của học sinh về khái niệm vô hạn:

Như nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung(2004) đã rút ra: Chướng ngại khoa học luận chính
yếu của khái niệm giới hạn chính là khía cạnh vô hạn. Nghiên cứu quan niệm của học sinh về khái
niệm vô hạn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005) trong thể chế dạy học chương trình chỉnh lí hợp
nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau:
- Trong thể chế phổ thông Việt Nam, vô hạn không phải là đối tượng nghiên cứu. Tuy nhiên
khái niệm vô hạn vẫn tác động ngầm ẩn hoặc tường minh trong nhiều nội dung thuộc các


phạm vi: phạm vi số, phạm vi hình học, phạm vi giải tích. Ứng với mỗi phạm vi, phụ thuộc
vào tình huống tác động sẽ nảy sinh những quan niệm khác nhau về vô hạn.
- Quan niệm của đa số học sinh về vô cực là:
Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số.
Vô cực là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn.
Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số. Vô cực
là một cái gì đó rất lớn và không có giới hạn.
- Giáo viên và học sinh nhất trí khá cao khi cho rằng vô hạn và vô cực là hai khái niệm khác nhau,
quan niệm của họ về vô hạn và vô cực rất phong phú, thể hiện như sau:
Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả các giới hạn đã biết, không
xác định được ranh giới
Vô hạn được hiểu như một quá trình, một hành động có thể thực hiện mãi không dừng.
Vô hạn là phủ định của hữu hạn.
Dương vô cực là số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là số bé hơn tất cả các số.
Vô cực là một cái gì đó ở xa mãi hai đầu của trục số.
1.3.Các đồ án didactic đã xây dựng:
Từ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn và từ những ràng buộc thể chế của
chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, để dạy học khái niệm giới hạn hàm số đã có hai đồ án
didactic được xây dựng nhằm giúp học sinh tiếp cận khái niệm này theo quan điểm xấp xỉ.
♥ Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã xây dựng đồ án nhằm tổ chức một lần gặp gỡ mới
với khái niệm giới han hàm số nhằm giới thiệu một quan điểm xấp xỉ của khái niệm
giới hạn trong phạm vi số học với môi trường máy tính bỏ túi. Nội dung của đồ án là:

Cho hàm số f xác định bởi công thức: f(x)=
2
2
x 0,1x-0,02
0,25x 0.01
−
−

Phiếu 1: Giải phương trình f(x)=3
Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho
2,99 ( ) 3,01fx≤<

Phiếu 2A: Hãy tìm ba giá trị của x sao cho
2,99 ( ) 3,01fx<≤

Phiếu 3A(dành cho nhóm làm phiếu 2A): Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị
f(x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x<0,2
Phiếu 3B( dành cho nhóm làm phiếu 2B): Hãy đề nghị một cặp số (x; f(x)) sao cho giá trị
f(x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x<0,2


♥ Nguyễn Thành Long (2004) đã xây dựng được thực nghiệm thuộc phạm vi hình học
nhằm tạo môi trường tương tác giữa nhận thức của học sinh với các ý tưởng giải toán
của mình. Nội dung của thực nghiệm là:
“Cho hàm số y=f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] với a
≥
0. Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị của y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b”
Cả hai thực nghiệm đã cho thấy học sinh vừa biết thực hiên các thao tác đại số vừa nhận
thức được các yếu tố ban đầu về xấp xỉ. Như vậy, dù thể chế có nhấn mạnh quan điểm đại

số hoá đến đâu thì quan điểm xấp xỉ vẫn có thể tiếp cận được. Tuy nhiên, hai thực nghiệm
này thuộc hai lĩnh vực tách biệt: phạm vi số và phạm vi hình học.
 Vậy có thể xây dựng đồ án dạy học khái niệm giới hạn ở vô cực trong môi trường
tích hợp cả hai phạm vi số và hình học nhằm giới thiệu khái niệm giới hạn vô cực
theo quan điểm xấp xỉ không?
1.4.Các khái niệm có liên quan:
- Khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích nên có khá nhiều khái niệm toán học
được đưa vào chương trình toán phổ thông có liên quan đến khái niệm giới hạn như: Khái
niệm hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm các đường tiệm cận …Như đã nói ở
trên, chúng tôi chỉ giới hạn đề tài này trong phạm vi khái niệm giới hạn vô cực của hàm số
nên chỉ xét đến khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận đứng, tiệm
cận xiên của đồ thị hàm số.
- Bên cạnh đó khái niệm giới hạn hàm số còn liên quan đến việc tính các giới hạn của hàm số
trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12.
Trong thể chế dạy hoc hiện hành, khái niệm giới hạn vô cực mang quan điểm gì trong
việc định nghĩa các khái niệm trên?
1.5.Về vai trò của máy tính bỏ túi:
Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã nghiên cứu các chương trình liên tiếp ở Việt Nam để
thấy sự có mặt của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương toán trình liên tiếp của cấp
THCS và THPT ở Việt nam:
Giai đoạn trước cải cách giáo dục (trước nắm1985)
Giai đoạn cải cách giáo dục từ 1986 đến 1999.
Chương trình được áp dụng kể từ năm 2000 (chương trình chỉnh lý và hợp nhất).
Chương trình thí điểm
Đã đưa ra các nhận xét:


- Sự có mặt và tiến triển của máy tính bỏ túi đi cùng với sự biến mất của bản tính và sự giảm
yêu cầu tính nhẩm và tính nhanh.
- Ở THCS, máy tính bỏ túi chỉ đóng vai trò hỗ trợ các phép tính số và nhất là thay thế các

bảng số. Ở THPT, có quy định các kiểu máy tính bỏ túi được phép sử dụng trong các cuộc thi
tú tài và thi tuyển sinh đại học nhưng máy bỏ túi không được tính đến trong tiến trình dạy
học.
- Mặc dù máy tính bỏ túi xuất hiện và tiến triển, các bản số vẫn tồn tại. Như vậy, máy tính bỏ
túi chỉ được khuyến khích chứ không bắt buộc.
- Các kiến thức tin học không được tính đến trong việc giảng dạy với máy tính bỏ túi (máy
đồ thị, máy lập trình…). Khi nói về tin học, các trương trình ám chỉ sử dụng máy tính điện tử.
1.6. Kết luận:
Các tác giả đã có các nghiên cứu chi tiết và đã đưa ra nhiều kết quả thú vị về:
♥ Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn.
♥ Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh
lí hợp nhất năm 2000.
♥ Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất
năm 2000
♥ Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ
túi, vai trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
♥ Xây dựng được một đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số trong môi
trường máy tính bỏ túi và một đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn của hàm số
trong phạm vi hình học.
Các tác giả chưa nghiên cứu vai trò công cụ của khái niệm giới hạn. :
1.7. Câu hỏi nghiên cứu:
Từ tổng hợp các công trình nghiên cứu đã có, chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu sau:
Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với
chương trình chỉnh lí hợp nhất.
Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan.
Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số.
Chúng tôi sẽ phân tích thể chế hiện hành để trả lời các câu hỏi trên trong chương 2

CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
VIỆT NAM HIỆN HÀNH

Mục tiêu của chương:
Mục tiêu ở chương này của chúng tôi là sử dụng tri thức tham chiếu ở chương I để phân tích thể
chế hiện hành của Việt Nam và Mỹ nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi:
Q1: Trong các SGK hiện hành, Giới hạn vô cực của hàm số tiến triển như thế nào so với chương
trình chỉnh lí hợp nhất ?
Q2: Giới hạn vô cực có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan?
Q3: Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số?
Đồng thời xét xem SGK Mỹ có lựa chọn nào khác các SGK Việt Nam trong việc giảng dạy khái
niệm giới hạn vô cực không?
Nghĩa là chúng tôi sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế của Việt Nam đối với khái niệm đang xét
không chỉ với tư cách là đối tượng dạy học mà còn với tư cách là công cụ toán học. Cụ thể:
- Với tư cách là đối tượng nghiên cứu, chúng tôi sẽ xem xét khái niệm giới hạn vô cực của
hàm số được đưa vào SGK hiện hành của Việt Nam theo quan điểm nào. Các SGK hiện hành của
Việt Nam có gì tiến triển so với SGK của chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 : về quan điểm
giới hạn và về các tổ chức toán học liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số?
- Với tư cách là công cụ toán học, khái niệm giới hạn vô cực của hàm số thể hiện quan điểm
gì trong các khái niệm liên quan như khái niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm
cận đứng, tiệm cận xiên … ?
Đồng thời xem xét sự lựa chọn của SGK Mỹ tương ứng mỗi phần.
Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu chương này là:
• Bộ sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 của NXB Giáo Dục do nhóm tác giả Trần Văn Hạo,
Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn biên soạn bao gồm:
- Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán lớp 11.(TLHDGD Toán 11)
- Đại số và Giải tích 11 (kí hiệu là SCL)
Hai Bộ sách giáo khoa hiện hành là:
Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH)

• Bộ sách giáo khoa cơ bản: gồm:
- SGK Đại số và giải tích 11 (SGK.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ
Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên.
- SGV Đại số và giải tích 11 (SGV.C11) năm 2007 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ
Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên.


- SGK Giải tích 12 (SGK.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê
Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất.
- SGV Giải tích 12 (SGV.C12) năm 2008 của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê
Thị THiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất.
• Bộ sách Giáo khoa nâng cao gồm: gồm:
- SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGK.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan,
Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng.
- SGV Đại số và giải tích 11 nâng cao. (SGV.N11) Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan,
Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng.
- SGK Giải tích 12 (SGK.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy
Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng.
- SGV Giải tích 12 (SGV.N12) năm 2009 của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy
Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Trần Phương Dung, Đặng Hùng Thắng
• Sách Giáo khoa Mỹ: Quyển Precalculus (graphical, nemberical, algebraic) (kí hiệu là
SGKM) của nhóm tác giả: Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D.Foley, Daniel
Kennedy. Đây là quyển thứ ba trong ba quyển sách được dạy cho học sinh phổ thông ở
trường quốc tế Bắc Mỹ.
2.1. Phân tích chương trình
Trong phần này chúng tôi sẽ nghiên cứu nội dung chương trình liên quan đến khái niệm giới
hạn mà không tách biệt phần giới hạn vô cực của hàm số. Chúng tôi sẽ phân tích chương trình hiện
hành và so sánh với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 nhằm tìm ra sự tiến triển về chương
trình của khái niệm giới hạn vô cực của dãy số và của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong
chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để thực hiện nghiên cứu phần này là: TLHDGD Toán 11 năm
2000 (xem như đây chính là tài liệu giải thích cho chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000) và
Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD, 2006 (kí hiệu là CTHH) và SGV.C11 và
SGV.N11 (chúng tôi xem hai quyển SGV này như là tài liệu giải thích cho chương trình hiện
hành).
Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào yêu cầu của chương trình hiện hành đối với khái niệm giới hạn
để xem chương trình hiện hành nói gì trong việc thể hiện các quan điểm của khái niệm giới hạn.
“Giới hạn dãy số: Khái niệm giới hạn của dãy số. Một số định lí về giới hạn của dãy số. Tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn. Dãy số dần tới vô cực.
Về kiến thức:


- Biết khái niệm giới hạn của dãy số ( thông qua ví dụ cụ thể)
- Biết ( không chứng minh)
+ Nếu limu
R
n
R=L,
0,
n
un≥∀
thì
0, à lim
nn
uv uL≥=

+ Định lí về
lim( ),lim( . ),lim
n
n n nn

n
u
u v uv
v
±

Về kĩ năng:
- Biết vận dụng
11
lim 0,lim 0,lim 0
n
q
n
n
= = =
với
1q <
để tìm giới hạn của một số dãy số đơn
giản.
- Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.”
[CTHH, tr162]
Như vậy trong phần giới hạn dãy số, việc CTHH yêu cầu thông qua ví dụ cụ thể hình thành cho
học sinh khái niệm giới hạn của dãy số, phải chăng, CTHH muốn học sinh hiểu được khái niệm giới
hạn theo quan điểm xấp xỉ?
Còn các định lí thì không yêu cầu chứng minh mà chỉ cần biết vận dụng vào việc tìm các giới hạn
đơn giản phần nào cho thấy TCHH cũng thể hiện quan điểm đại số của khái niệm này. Và kĩ năng
chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính là tính các giới hạn dãy số đơn giản.
“Giới hạn hàm số: Khái niệm giới hạn của hàm số. Giới thiệu một số định lí về giới hạn của hàm số. Giới hạn
một bên. Giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số ở vô cực và giới hạn vô cực của hàm số.
Về kiến thức:

- Biết khái niệm giới hạn hàm số (với ghi chú: không dùng ngôn ngữ
,
εδ
để định nghĩa giới hạn).
- Biết (không chứng minh)
+ Nếu
lim () , () 0
o
xx
fx Lfx
→
= ≥
với
0
xx≠
thì
0
0, à lim ( )
xx
L v fx L
→
≥=

+ Định lí về giới hạn:
0 00
()
lim[ ( ) ( )], lim [f(x).g(x)], lim
()
xx xx xx
fx

fx gx
gx
→ →→
±

Về kĩ năng:
Trong một số trường hợp đơn giản tính được:
- Giới hạn của hàm số tại một điểm
- Giới hạn một bên của hàm số
- Giới hạn của hàm số tại
±∞
”
[CTHH, tr163]
Ở phần giới hạn hàm số cũng tương tự như phần giới hạn dãy số, CTHH có vẻ như thể hiện
quan điểm đại số của giới hạn. Và kĩ năng chủ yếu mà thể chế muốn hình thành cho học sinh chính
là tính các giới hạn các hàm số.


Để thấy rõ hơn sự tiến triển về mặt yêu cầu chương trình của khái niệm giới hạn trong thể
chế hiện hành so với thể chế chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chúng tôi dựa vào SGV.C11, SGV.N11,
TLHDGD toán lớp 11 năm 2000, CTHH lập bảng so sánh như sau:

Bảng so sánh chương trình:
Yếu tố so sánh
CTCLHN
CTHH
Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các
khái niệm liên quan: Giới hạn dãy số
→
Giới

hạn hàm số
→
Hàm số liên tục.
→
Đạo hàm
→
Tiệm cận

x

x

Công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số: Giới
hạn dãy số
x
x
Ngôn ngữ hình thức
,
εδ
: Không dùng ngôn
ngữ
,
εδ
để định nghĩa giới hạn dãy số, giới
hạn hàm số

x

x
Các định lí, quy tắc tính giới hạn: Yêu cầu

thừa nhận, không chứng minh các định lý về
giới hạn.

x

x
Liên quan đến vô cực
+) Không
phân biệt
+∞

hay
−∞
, tồn
tại kí hiệu
∞
.
+)
lim ( )
xa
fx
→
= ∞

chỉ là kí hiệu
chứ không
phải là số nên
không được áp
dụng các định
lí về giới hạn

hữu hạn cho
các trường
hợp
Phân biệt
+∞
và
−∞
, không tồn
tại kí hiệu
∞

nhưng có nhận
xét rằng âm vô
cực và dương vô
cực được gọi
chung là vô cực.
+)
lim ( )
xa
fx
→
= +∞

(hoặc
lim ( )
xa
fx
→
= −∞
)

nghĩa là hàm số
f(x) có giới hạn
là
+∞
(hoặc
−∞
)


lim ( )
xa
fx
→
= ±∞

và được phép
vận dụng các
định lí về giới
hạn vô cực của
hàm số được đưa
vào SGKHH.
Định lí giới hạn kẹp và định lí về tính duy
nhất của giới hạn, định lí về tính bị chặn của
dãy số có giới hạn hữu hạn, định lí
Có đưa vào
Không đưa vào.

Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn và các khái niệm liên quan như trên cho thấy CTHH
Việt Nam khá chú trọng đến trình tự logic tóan học của khái niệm giới hạn số với các khái niệm
liên quan.

Bên cạnh đó, cũng như CTCLHN, CTHH cũng yêu cầu không dùng ngôn ngữ
,
εδ
để định
nghĩa giới hạn hàm số.
Điều khác biệt lớn giữa CTCLHN và CTHH là sự phân biệt
àv+∞ − ∞
và thừa nhận
lim ( )fx= ±∞
cũng là giới hạn của hàm số, nên đã đưa vào những quy tắc và định lí liên quan.
Việc khác biệt này được SGV.C11 giải thích như sau::
“Đặc biệt, trong SGK trước đây, tùy trường hợp mà kí hiệu
∞
có thể được hiểu theo nhiều cách khác
nhau như
,+∞ −∞
hay hỗn hợp cả hai. Tuy nhiên, trong việc khảo sát hàm số ở lớp 12, ta chỉ nghiên
cứu tính chất của hàm số ở
+∞
hay
−∞
chứ không xét chung chung ở vô cực. Ngay ở bậc đại học,
khi xét tập số thực mở rộng ta cũng bổ sung hai phần tử là
+∞
và
−∞
chứ không sử dụng kí hiệu
∞
.
Như vậy, SGK cơ bản phân biệt một cách rõ ràng

àv−∞ + ∞
, đồng thời xem
±∞
là giới hạn của dãy
số, chứ không giống sách giáo khoa năm 2000 là dùng khái niệm
lim
n
n
u
→∞
= ∞
nhưng lại không coi
∞
là giới hạn của dãy số (uR
n
R), vì lí do
∞
là một kí hiệu chứ không phải là một số thực.”
[SGV.C11, tr122]
Còn SGV.N11 thì giải thích: “Vì

là một tập sắp thứ tự, việc trình bày như thế là hợp lí,
đơn giản hơn và có phần dễ hiểu hơn”
[SGV.N11, tr169]

Cả hai cách giải thích đều tham chiếu từ tính chất đặc trưng của tập hợp số thực R và tập số
thực mở rộng
 
;R   
từ quan điểm toán học. Sách giáo khoa cơ bản còn đề cập đến vai

trò của khái niệm giới hạn trong việc khảo sát hàm số ở chương trình lớp 12 và như vậy thể chế
đã tính đến vai trò công cụ của khái niệm giới hạn.
Về các dạng vô định:
Giảng dạy tường minh về các dạng vô định không bị bắt buộc trong chương trình hiện hành.
Sách giáo viên cơ bản giải thích về điều này như sau:
“Chương trình yêu cầu không đưa vào một mục chuyên biệt về Giới hạn dạng vô định như sách giáo khoa
trước đây và sách giáo khoa nâng cao với mục đích chủ yếu là giảm tải. Tuy nhiên, nghiên cứu giới hạn không
thể tránh khỏi việc tính các giới hạn thuộc các dạng vô định. Vì thế SGK chỉ đưa vào các ví dụ, bài tập đơn
giản nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu đạo hàm trong chương sau và khảo sát hàm số ở lớp 12. Do đó giáo
viên không nên khai thác quá sâu vào các bài tập mà việc khử dạng vô định đòi hỏi các kĩ thuật biến đổi phức
tạp. Hơn nữa yêu cầu học sinh giải các bài tập phức tạp, lắt léo về giới hạn thuộc dạng vô định thì cũng chỉ có
tác dụng rèn luyện kĩ năng biến đổi đại số chứ chưa hẳn làm cho các em hiểu rõ thêm về giới hạn của hàm
số.”
[SGV.C11, tr123]
Từ phân tích trên chúng tôi đưa ra câu hỏi:
Phải chăng khi dạy học khái niệm giới hạn, thể chế hiện hành không đặt nặng việc tính
toán giới hạn (nghĩa là không nhắm vào quan điểm đại số) và mong muốn muốn học sinh
hiểu rõ về khái niệm giới hạn từ các quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn ? Các SGKHH
có thực hiện đúng yêu cầu của chương trình không?
Chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích các SGKHH để tìm câu trả lời cho câu hỏi trên.
Trong SGK Mỹ, chúng tôi tìm thấy một lựa chọn khác về mặt chương trình như sau:
- SGK Mỹ định nghĩa giới hạn hàm số độc lập với khái niệm giới hạn dãy số.
- Trình tự đưa vào khái niệm giới hạn hàm số và các khái niệm liên quan như sau: Hàm
số liên tục
→
Tiệm cận
→
Đạo hàm

→
Tích phân
→
Giới hạn hàm số.
- Giới hạn vô cực của hàm số không được định nghĩa,
""∞
chính là
""+∞
,
lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) ,
xa x
xa
fx fx fx
±
→ →±∞
→
= ±∞ = ±∞ = ±∞
chỉ là kí hiệu mà thôi. Và do đó không có
bất kì một quy tắc đại số nào cho việc tính các giới hạn vô cực của hàm số.
- Như vậy chúng tôi nhận thấy sự khác biệt giữa chương trình Mỹ và chương trình Việt
Nam như sau (đây chỉ là dự đoán vì chúng tôi không có tài liệu về chương trình Mỹ
mà chỉ có một quyển SGK Mỹ mà thôi):
- Chương trình Việt Nam định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số dựa vào
khái niệm giới hạn dãy số, còn chương trình Mỹ định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực
hàm số độc lập như vốn có của nó.
- Chương trình Việt Nam chú trọng đến trình tự logic của khái niệm trong khi chương
trình Mỹ chú trọng đến vai trò công cụ của khái niệm toán học.


- Chương trình Mỹ không thừa nhận

lim ( ) ,
xa
fx
→
= ±∞

lim ( )
x
fx
→±∞
= ±∞
,
lim ( )
xa
fx
±
→
= ±∞
là
những giới hạn mà chỉ xem chúng là những kí hiệu như chương trình chỉnh lý hợp
nhất mà thôi.
2.2. Phân tích SGK
Ở đây chúng tôi sẽ phân tích các hoạt động xây dựng các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số,
phân tích các định nghĩa, các định lí, nhận xét, quy tắc của giới hạn vô cực của hàm số và so sánh
chúng với SCL nhằm tìm thấy sự tiến triển về các yếu tố trên của khái niệm giới hạn vô cực của
hàm số so với SCL và xét xem quan điểm nào của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số xuất hiện
trong các phần này.
Như chúng tôi đã trình bày ở trên, các SGK của chương trình chỉnh lý hợp nhất và chương trình
hiện hành đều trình bày khái niệm giới hạn hàm số dựa vào khái niệm giới hạn dãy số. Vì vậy,
chúng tôi cần phân tích cả hai khái niệm: dãy số dần tới vô cực và hàm số dần tới vô cực. Chúng tôi

sẽ bắt đầu bằng việc nghiên cứu khái niệm giới hạn vô cực của dãy số.
2.2.1. Khái niệm giới hạn vô cực của dãy số
2.2.1.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm:
Trước tiên chúng ta hãy nhìn vào các hoạt động giúp học sinh tiếp cận khái niệm mà các
SGK đã đưa ra.
Chúng tôi giải thích lại các kí hiệu như sau :
SCL: Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000
SGK.C11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích cơ bản lớp 11
SGK.N11: Sách giáo khoa Đại số và giải tích nâng cao lớp 11
Bảng so sánh hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực của dãy số.
SCL
SGK.C11
SGK.N11
Xét dãy số
uR
n
R=(-1)P
n
P2n.
Dạng khai
triển của nó
là
-2, 4, -6, 8,
-10,…,
(-1)P
n
P
2n, …
Ta nhận
thấy khi n

“Có nhiều tờ giấy giống nhau, mỗi tờ có bề dày là 0.1 mm. Ta xếp chồng
liên tiếp tờ giấy này lên tờ giấy khác (h.48). Giả sử có thể thực hiện việc
xếp giấy như vậy một cách vô hạn.
Gọi uR
1
R là bề dày của 1 tờ giấy, uR
2
Rlà bề dày của hai tờ giấy, uR
3
R là bề dày
của ba tờ giấy, …, u
R
n
R
là bề dày của n tờ giấy. Tiếp tục như vậy ta có dãy
số vô hạn (uR
n
R).
Bảng sau cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.
u
R
1
…
u
R
1000
…
u
R
1000000

…
u
R
1000000000
…
u
R
n
…
0.1 …

100 … 100000 … 100000000 …
10
n

…
“Xét dãy số
(uR
n
R) với
u
R
n
R=2n-3.
Ta thấy khi
n tăng thì
u
R
n
R trở nên

lớn bao
nhiêu cũng
được miễn
là n đủ lớn.


càng lớn thì
n
u
càng
lớn. Nó có
thể lớn bao
nhiêu tùy ý;
miễn là n
đủ lớn.
Chẳng hạn

n
u
=2n>1000
thì chỉ việc
lấy n>500.
Ta nói ràng
dãy số đã
cho dần tới
vô cực”
[SCL,
tr113]
a) Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của u
R

n
R
khi n tăng lên vô
hạn.
b) Với n như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày
lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới mặt trăng? (cho biết khoảng
cách này ở một thời điểm xác định là 384000km hay
384.10
P
9
Pmm)
(Ta cũng chứng minh được rằng
10
n
n
u =
có thể lớn hơn một số
dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, dãy số u
R
n
R nói
trên được gọi là dần tới dương vô cực khi
n → +∞
)”
[SGK.C11,tr117]
Nói cách
khác, mọi
số hạng của
dãy số, kể
từ số hạng

nào đó trở
đi, đều lớn
hơn một số
dương tùy
ý cho
trước. Ta
nói rằng
dãy số (2n-
3) có giới
hạn là
+∞
”
[SGK.N11,
tr138]