định lí choquet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH



HÀ HỮU NAM



ĐỊNH LÍ CHOQUET



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC














THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH





HÀ HỮU NAM


ĐỊNH LÍ CHOQUET


Ngành : Toán.
Chuyên ngành : Toán giải tích.
Mã số : 60 46 01.


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS ĐẬU THẾ CẤP





THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011

LỜI CẢM ƠN


Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đậu Thế Cấp, TS.Lê Thị Thiên Hương
đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này.
Em xin cám ơn các quý thầy, cô đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và
các quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp quý báu.
Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN – SĐH đã
giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này.


Hà Hữu Nam















MỤC LỤC


0TLỜI CẢM ƠN0T 3
0TMỤC LỤC0T 4

0TMỘT SỐ KÍ HIỆU0T 5
0TMỞ ĐẦU0T 6
0TCHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ0T 7
0T1.1. Điểm biểu diễn bởi một độ đo – điểm cực biên0T 7
0T1.2. Hàm hoàn toàn đơn điệu.0T 13
0T1.3. Một số kết quả đã sử dụng trong luận văn.0T 17
0T1.3.1. Định lí (Hahn – Banach)0T 17
0T1.3.2. Định lí (Stone – Weierstrass)0T 17
0T1.3.3. Bổ đề (Zorn)0T 17
0T1.3.4. Định lí (Riesz)0T 17
0T1.3.5. Bổ đề (Fatou)0T 18
0TChương 2. ĐỊNH LÍ CHOQUET0T 19
0T2.1. Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict0T 19
0T2.2. Định lí tồn tại Choquet – Bishop – De Leeuw0T 22
0TChương 3. ỨNG DỤNG0T 29
0T3.1. Định lí Rainwater và định lí Haydon0T 29
0T3.2. Biên Choquet0T 30
0T3.3. Áp dụng biên Choquet vào giải thức0T 36
0T3.4. Biên Choquet của các đại số đều0T 39
0TKẾT LUẬN0T 46
0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 48




MỘT SỐ KÍ HIỆU


exX là tập hợp các điểm cực biên của X.
A là tập hợp các hàm affine liên tục, xác định trên X.

C là tập hợp các hàm lồi liên tục, xác định trên X.
C
R
C
R(Y) là không gian các hàm nhận giá trị phức và liên tục trên Y theo chuẩn sup.
K(M) là không gian trạng thái của tập hợp M.
B(M) là biên Choquet của tập hợp M





















MỞ ĐẦU

Vào đầu thế kỷ XX, nhiều lĩnh vực toán học, trong đó có giải tích, đã phát triển mạnh
mẽ. Có rất nhiều khái niệm và kết quả mới đã ra đời trong thời kì này. Một trong những kết
quả đó là lý thuyết Choquet, do giáo sư Gustave Choquet, người Pháp xây dựng nên. Lý
thuyết này chủ yếu nghiên cứu hai lĩnh vực của toán học là giải tích hàm và giải tích lồi. Từ
khi ra đời tới nay, lý thuyết Choquet đã được nhiều nhà toán học và nhiều nhà sư phạm quan
tâm, nghiên cứu. Từ đó, Lý thuyết Choquet ngày càng được bổ sung hoàn chỉnh hơn cả về
nội dung và ứng dụng của nó.
Trong lý thuyết Choquet, nhiều kết quả cho thấy mối liên hệ giữa độ đo với tập hợp
các điểm cực biên của một tập lồi X. Cùng với khái niệm “điểm biểu diễn bởi một độ đo”,
Choquet đưa ra những kết quả quan trọng, có nhiều ứng dụng trong toán học.
Trong luận văn này chúng tôi xét định lí Choquet trong trường hợp khả metric và
nghiên cứu định lí tồn tại độ đo của Choquet–Bishop–De Leeuw. Ngoài ra luận văn còn đưa
ra khái niệm biên Choquet cùng một số ứng dụng của nó trong giải tích hàm (định lí
Rainwater và định lí Haydon), trong giải thức, đại số đều . Cụ thể luận văn gồm những
chương sau.
Chương một giới thiệu khái niệm độ đo biểu diễn điểm, độ đo tựa trên một tập con
Borel và một số tính chất đơn giản liên quan đến điểm cực biên của một tập lồi. Ngoài ra,
chương một cũng nêu khái niệm hàm hoàn toàn đơn điệu và định lí Bernstein về hàm hoàn
toàn đơn điệu.
Chương hai của luận văn dành cho việc chứng minh định lí Choquet trong trường hợp
khả metric và định lí tồn tại độ đo của Bishop-De-Leeuw.
Chương ba nêu các ứng dụng của định lí Choquet trong giải tích hàm qua hai định lí
Rainwater và Haydon. Trong chương này, luận văn còn đưa ra khái niệm biên Choquet và
ứng dụng của nó vào giải thức và đại số đều.
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Điểm biểu diễn bởi một độ đo – điểm cực biên
Xét kết quả cổ điển sau đây của Minkowski: “ Nếu X là một tập con lồi compact của
một không gian hữu hạn chiều E, và x là một phần tử của X, thì x là một tổ hợp lồi của hữu
hạn những điểm cực biên trong X ”. Tức là khi đó, tồn tại những điểm cực biên

12 k
x ;x ; ;x

và các số dương
12 k
; ; ;µµ µ
với
ik
i
i1
1
=
=
µ=
∑
sao cho
ik
ii
i1
xx
=
=
= µ
∑
.
Bây giờ ta trình bày lại sự biểu diễn này của x như sau.
Với điểm y bất kì thuộc X, cho
y
ε
là “điểm lượng” tại y, nghĩa là

y
ε
là một độ đo
Borel,
y
1ε=
tại bất kì các tập con Borel có chứa y của X, và
y
0ε=
tại các tập con Borel
còn lại.
Kể từ đây ta viết tắt
i
ε
thay cho
i
x
ε
.
Cho
ii
µ= µε
∑
thì
µ
là một độ đo Borel chính quy trên X,
0µ≥
và
( )
X1µ=

. Ngoài
ra, với mọi hàm số f là tuyến tính, liên tục trên E, ta có

( ) ( )
( )
ii
X
fx fx fd=µ=µ
∑
∫
.
Khi đó ta nói rằng độ đo
µ
biểu diễn điểm x.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là một tập compact khác rỗng của một không gian lồi địa
phương E và
µ
là một độ đo xác suất trên X ( tức là độ đo
µ
chính quy và không âm trên X,
với
( )
X1µ=
). Một điểm x trong E được gọi là biểu diễn bởi độ đo
µ
nếu
( )
X
f x fd= µ
∫

với
mọi hàm số
f
tuyến tính liên tục trên E .
Ta còn viết
( )
fµ
thay cho
X
fdµ
∫
. Khi đó ta nói: “ x là trọng tâm của
µ
” hay “ x là
tích chập của
µ
”.
Sự hạn chế E là một không gian lồi địa phương nhằm đảm bảo sự tồn tại của nhiều
hàm trong E
P
*
P tách những điểm; điều này bảo đảm rằng có nhiều nhất một điểm biểu diễn bởi
độ đo
µ
, và sau nữa là chúng ta chú ý đến những độ đo trên vành
σ
, sao cho có mặt các độ
đo Borel.
Một điểm x tùy ý trong X được biểu diễn bình thường bởi
x

ε
; ở đây ta quan tâm đến
vấn đề đã làm rõ bằng ví dụ trên, đó là: Với một tập con lồi compact X của một không gian
hữu hạn chiều, với mọi x thuộc X, ta có thể biểu diễn nó bởi một độ đo xác suất, mà độ đo
xác suất này được tựa trên các điểm cực biên của X.
Định nghĩa 1.1.2. Nếu f là một độ đo chính quy không âm trên không gian compact
Hausdoff X và S là một tập con Borel của X, ta nói rằng
µ
được tựa trên S nếu
( )
X\S 0µ=
.
Ta thấy nảy sinh vấn đề sau:
“X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương E và x một phần tử
của X. Khi đó có tồn tại một độ đo xác suất
µ
trên X, được tựa trên các điểm cực biên của X
và biểu diễn x hay không ? Nếu
µ
tồn tại thì nó có duy nhất hay không ? ”
Choquet đã chỉ ra rằng, nếu ta bổ sung giả thiết X khả mêtric thì khi đó sẽ tồn tại một
độ đo xác suất
µ
trên X sao cho
µ
được tựa trên các điểm cực biên của X và biểu diễn x.
Việc độ đo xác suất
µ
trên X có duy nhất hay không tùy thuộc vào tính chất hình học của X.
Cho Y là một không gian Hausdorff compact,

( )
CY
là một không gian Banach các
hàm thực liên tục trên Y (theo chuẩn sup) và X là tập hợp tất cả các hàm L tuyến tính liên tục
trên C
( )
Y
thỏa mãn
( )
L1 1 L= =
. Khi đó X là một tập con lồi compact của không gian lồi
địa phương
( )
*
E CY=
(trong tôpô yếu của nó) và định lí Riesz khẳng định rằng, với mỗi
LX∈
sẽ tương ứng với duy nhất một độ đo xác suất
µ
trên Y, sao cho
( ) ( )
Y
L f fd , f C Y= µ∀ ∈
∫
và Y là một đồng phôi (theo phép nhúng tự nhiên) với tập các điểm
cực biên của X. Vậy ta có thể xem
µ
là một độ đo xác suất trên các tập con Borel của X,
0µ=
trên tập mở X\Y. Khi đó

µ
được tựa bởi các điểm cực biên của X. Cần nhắc lại rằng
E
P
*
P là không gian của các hàm tuyến tính và liên tục yếu trên C(Y)P
*
P, bao gồm những hàm có
dạng biến L thành L(f), với f
∈
C(Y), để thấy rằng đây là một dạng biểu diễn mà chúng ta
đang quan tâm.
Có hai điểm ở phần trên nên nhấn mạnh: Thứ nhất, các điểm cực biên của X tạo nên
một tập con compact. Thứ hai, sự biểu diễn trên là duy nhất.
Dễ thấy rằng, một độ đo xác suất bất kì
µ
trên Y xác định một hàm tuyến tính liên tục
trên C(Y), mà nó thuộc X. Việc này là hoàn toàn đúng như kết quả sẽ trình bày sau đây.
Trước tiên ta nhắc lại rằng một hàm
φ
từ một không gian tuyến tính vào một không
gian tuyến tính khác là hàm affine nếu nó thỏa mãn

( )
( )
( ) ( ) ( )
x1 y x 1 yφ λ + −λ =λφ + −λ φ
với
mọi x, y và mọi số thực
λ

.
Mệnh đề 1.1.3. Cho Y là một tập con compact của một không gian lồi địa phương E, và bao
lồi đóng X của Y là một tập compact. Nếu
µ
là một độ đo xác suất trên Y thì tồn tại duy
nhất một điểm
xX∈
được biểu diễn bởi
µ
và hàm
µ
là một ánh xạ affine liên tục yếu từ
( )
*
CY
vào trong X.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng tập lồi compact X chứa điểm x thỏa mãn
( )
*
Y
f x fd , f E= µ∀ ∈
∫
.
Với mỗi
*
fE∈
, ta đặt
( ) ( )
{ }
f

H y:f y f= = µ
; thì
f
H
là những siêu phẳng đóng, và
chúng ta cần chứng minh

{ }
*
f
H :f E X∩ ∈ ∩ ≠∅

Vì X là tập compact, nên với mọi tập hữu hạn f
R
1
R,…,fR
n
R trong EP
*
P,
i
n
f
i1
HX
=
∩∩
là khác
rỗng. Xét ánh xạ
n

T:E R→
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
( )
12 n
Ty f y ,f y , ,f y=

Khi đó T là ánh xạ tuyến tính, liên tục
Do đó TX là tập lồi, compact, điều đó chứng tỏ rằng
p TX∈
, với
( ) ( ) ( )
( )
12 n
p f , f , , f=µµ µ
. Thật vậy, nếu
p TX∉
thì tồn tại một hàm tuyến tính trên RP
n
P tách
chặt p và TX. Biểu diễn hàm này là
( )
12 n
a a ;a ; ;a=
, ta có
( ) ( )
{ }
a;p sup a;Ty :y X>∈
. Nếu
kí hiệu

*
gE∈
là
ii
g af=
∑
thì khẳng định cuối trở thành
( )
Y
gd supg Xµ>
∫
.
Từ bao hàm
YX⊂
và
( )
Y1µ=
suy ra mẫu thuẫn. Vậy phần thứ nhất của chứng minh
được hoàn thành.
Tiếp theo, giả sử lưới
α
µ
của độ đo xác suất trên Y hội tụ yếu trong C(X)P
*
P về một độ
đo xác suất
µ
, cho
x
α

và x là tích chập tương ứng của chúng. Vì X là tập compact nên ta cần
chứng minh rằng
xx
α
→
, điều đó đủ để chứng tỏ rằng mọi lưới con hội tụ
x
β
của
x
α
hội tụ
về x. Nhưng nếu ta chọn
xy
β
→
thì lưới con tương ứng
β
µ
hội tụ yếu về
µ
và do đó
( )
( ) ( ) ( )
*
fx f f fx, f E
ββ
=µ →µ = ∀ ∈
, từ điều cuối cùng tách các điểm của X, và x = y.
Giả thiết rằng X là tập compact có thể nằm trong không gian E, mà trong đó bao lồi

đóng của một tập compact luôn luôn là tập compact. Ví dụ như, nếu không gian E là đầy đủ
hoặc E là một không gian lồi địa phương thu được bằng cách lấy một không gian Banach
trong tôpô yếu của nó.
Một điều đơn giản nhưng hữu ích, là đặc điểm của bao lồi đóng của một tập compact
có thể được cho bằng những số hạng của những độ đo và các trọng tâm của nó.
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử Y là một tập con compact của một không gian lồi địa phương E. Một
điểm x của E thuộc bao lồi đóng X của Y nếu và chỉ nếu tồn tại một độ đo xác suất
µ
trên Y
biểu diễn điểm x.

Chứng minh
Nếu
µ
là một độ đo xác suất trên Y biểu diễn điểm X thì với mỗi
*
fE∈


( ) ( ) ( ) ( )
f x f supf Y supf X=µ≤ ≤
.
Vì X là tập lồi và đóng nên dẫn đến x thuộc X.
Ngược lại, nếu x thuộc X thì sẽ tồn tại một lưới trong bao lồi của Y hội tụ về x, tương
đương với việc tồn tại điểm
y
α
có dạng

n

ii
i1
yx
α
αα
α
=
= λ
∑

(
i ii
0, 1, x
α αα
λ> λ=
∑
thuộc vào Y,
α
thuộc vào một vài tập định hướng) hội tụ về x. Ta
có thể biểu diễn điểm
y
α
bởi độ đo xác suất
ii
x
αα
α
µ= λ
∑
. Theo định lí Riesz, tập hợp tất cả

các độ đo xác suất trên Y có thể đồng nhất với một tập con lồi, compact yếu của C(Y)
P
*
P, từ
đó tồn tại một lưới con
β
µ
của
α
µ
, hội tụ ( trong tôpô yếu của C(Y)P
*
P ) về một độ đo xác suất
µ
trên Y. Trong trường hợp đặc biệt, mỗi hàm
*
fE∈
( khi thu hẹp trên Y) thuộc vào C(Y),
vì vậy
lim fd fd
β
µ= µ
∫∫
.
Vì
y
α
hội tụ về x, nên lưới con
y
β

cũng hội tụ về x, và do đó
( )
Y
f x fd= µ
∫
với mỗi
*
fE∈
. Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
Từ mệnh đề trên, chúng ta dễ dàng trình bày lại định lí Krein – Milman.
Ta nhắc lại phát biểu sau:
“ Nếu X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương, khi đó X là
một bao lồi đóng của các điểm cực biên của nó”.
Chúng ta trình bày lại như sau:
“ Mỗi điểm của một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương là trọng
tâm của một độ đo xác suất trên X, mà độ đo xác suất này được tựa trên bao đóng của các
điểm cực biên của X ”.
Để chứng minh sự tương đương của hai khẳng định này, ta giả sử rằng giả thiết trên
thỏa mãn và x thuộc X.
Cho Y là bao đóng của các điểm cực biên của X; vậy thì x thuộc bao lồi đóng của Y.
Theo mệnh đề 1.1.4 thì x là trọng tâm của một độ đo xác suất
µ
trên Y. Nếu chúng ta
thác triển độ đo
µ
trên X, thì chúng ta sẽ đạt được kết quả mong muốn.
Ngược lại, giả sử rằng khẳng định thứ hai là đúng và x là một phần tử trong X. Khi đó
theo mệnh đề 1.1.4, x thuộc bao lồi đóng của Y (ở đây ta định nghĩa Y như trên), vậy x thuộc
bao lồi đóng những điểm cực biên của X.
Rõ ràng rằng, bất kì định lí biểu diễn nào, mà sử dụng độ đo được tựa trên các điểm

cực biên của X, đều là một sự gọt giũa của định lí Krein – Milman. Thực ra Klee đã chứng
minh được rằng, hầu như mỗi tập con lồi compact của một không gian Banach hữu hạn chiều
là một bao đóng những điểm cực biên của nó. Với những tập như thế thì phép biểu diễn
Krein – Milman không cho nhiều thông tin hơn phép biểu diễn điểm lượng.
Việc tìm thấy độ đo tựa trên các điểm cực biên của X, xuất phát từ điều kiện tập hợp
các điểm cực biên không được là tập Borel. Điều khó khăn này được ẩn chứa trong trường
hợp X là khả mêtrict. Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.1.5. Nếu X là một tập con lồi, compact và khả mêtric của một không gian vectơ
tôpô thì những điểm cực biên của X tạo nên một tập hợp
G
δ
.
Chứng minh. Giả sử tôpô trên X là tôpô được sinh bởi mêtrict d, và với mỗi số tự nhiên
n1≥
cho
( ) ( )
{ }
11
n
F x: x 2 x y ,y X,z X,d y,z n
−−
= = + ∈∈ ≥
.
Khi đó dễ dàng kiểm tra được rằng các tập F
R
n
R là những tập đóng, và một điểm x thuộc
X, không phải là điểm cực biên của X, khi và chỉ khi nó thuộc vào các tập F
R
n

R. Khi đó phần
các điểm cực biên là một
F
σ
.
Để ý rằng với mỗi điểm x của X, ta luôn có sự biểu diễn x qua độ đo
x
ε
. Nếu x không
phải là một điểm cực biên của X thì x còn có sự biểu diễn theo độ đo khác nữa. Thực vậy,
các điểm cực biên của X được mô tả bằng việc nó không biểu diễn những độ đo khác.

Mệnh đề 1.1.6. Cho X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương E và
xX∈
. Điểm x là điểm cực biên của X nếu và chỉ nếu khối lượng điểm
x
ε
chỉ là độ đo xác
suất trên X biểu diễn điểm x.
Chứng minh. Giả sử x là một điểm cực biên của X và độ đo
µ
biểu diễn điểm x. Ta cần
chứng minh rằng
µ
được tựa trên tập hợp
{ }
x
. Muốn vậy, ta chứng minh
( )
D0µ=

với mỗi
tập compact D,
{ }
D X\ x∈
.
Giả sử
( )
D0µ>
với những tập D như trên.
Từ tính compact của D, suy ra có một vài điểm y của D mà
( )
UX 0µ∩>
với mỗi lân
cận U của y.
Chọn U là một lân cận lồi đóng của y sao cho
{ }
K U X X\ x=∩⊂
.
Tập K là tập compact, lồi và
( )
0r K 1<=µ <
. (Nếu
( )
K1µ=
thì tích chập x của
µ

thuộc vào K).
Do đó ta có thể định nghĩa độ đo Borel
µ

R
1
R và
µ
R
2
R trên X, thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
12
B r B K và B 1 r B X \ K
−
−
µ =µ∩ µ =− µ∩
với mọi tập Borel B trong X.
Cho x
R
i
R là tích chập của
µ
R
i
R ; vì
( )
1
K1µ=
nên
1

xK∈
, khi đó
1
xx≠
. Ngoài ra,
( )
12
r 1rµ= µ + − µ
, suy ra
( )
12
x rx 1 r x= +−
, dẫn đến điều mâu thuẫn.
Thật thú vị khi ta để ý rằng, định lí cổ điển Milman “hội tụ” đến định lí Krein-Milman,
đó là một hệ quả dễ thấy của mệnh đề 1.1.4 và 1.1.6; từ đó dẫn đến bao đóng của exX là tập
con đóng nhỏ nhất sinh ra X.

Mệnh đề 1.1.7 (Milman) Cho X là một tập con compact của một không gian lồi
địa phương, trong đó
ZX⊂
và X là bao lồi đóng của Z. Khi đó các điểm cực biên của X
được chứa trong bao đóng của Z.
Chứng minh. Thật vậy, gọi
Y cl Z=
và giả sử rằng
x exX∈
. Theo hệ quả 1.1.4, tồn tại một
độ đo
µ
trên Y biểu diễn điểm x; theo mệnh đề 1.1.6 thì

x
µ=ε
. Từ trên ta có
xY∈
, suy ra
điều cần phải chứng minh.

1.2. Hàm hoàn toàn đơn điệu.
Định nghĩa 1.2.1. Một hàm số thực f xác định trên
( )
0;+∞
được gọi là hàm hoàn toàn đơn
điệu nếu f có đạo hàm đến mọi cấp và
( )
n
n
1f 0−≥
, với mọi n = 0, 1, 2, …
Nhận xét
Ta luôn có f và các hàm số
( )
n
n
1f
−
là những hàm số không âm và không tăng.
Ví dụ :
x
−α
và

x
e
−α
( )
0α≥
.
Trong phần này chúng ta chỉ xét các hàm bị chặn. Ta kí hiệu một điểm compact hóa
của
(
]
0;+∞
là
(
]
0;+∞
.
Định lí 1.2.2 (Bernstein).
Nếu f là hàm bị chặn và hoàn toàn đơn điệu trên
( )
0;+∞
thì tồn tại một độ đo Borel
đơn trị và không âm
µ
xác định trên
[ ]
0;+∞
sao cho
[ ]
( )
( )

0; f 0
+
µ +∞ =
.
Với x > 0 thì
( ) ( )
x
0
fx e d
∞
−α
= µα
∫
.
Chứng minh. ( Chú ý rằng điều ngược lại là đúng, nghĩa là nếu một hàm f xác định trên
( )
0;+∞
mà biểu diễn được như trên thì đạo hàm dưới dấu tích phân là tồn tại và f là hàm
hoàn toàn đơn điệu. Ngoài ra, áp dụng định lí hội tụ mạnh Lebesgue cho hàm
n
f: e
α
−
α→
, ta
thấy rằng
( )
[ ]
( )
0

f 0 d 0;
∞
+
= µ=µ ∞
∫
, vậy f là hàm bị chặn).
Choquet đã chứng minh điều này trong một trường hợp tổng quát hơn rất nhiều.
Chúng ta bắt đầu bằng việc phác họa một cách khái quát các bước chứng minh định lí.
Kí hiệu nón lồi của tất cả các hàm hoàn toàn đơn điệu f là CM, khi đó
( )
f0
+
<∞
. (Vì
một hàm hoàn toàn đơn điệu f là không tăng nên giới hạn bên phải tại điểm 0, luôn luôn tồn
tại, mặc dù kết quả của giới hạn này có thể là vô cực.).
Cho K là tập lồi chứa trong CM, khi đó
( )
f0 1
+
≤
. Nếu
f CM,f 0∈≠
thì
( )
f/f 0 K+∈
, như vậy định lí đúng với những phần tử của K.
Bây giờ, xét K là tập con của không gian E tất cả các hàm số thực khả vi vô hạn trên
( )
0;+∞

và E là không gian lồi địa phương trong tôpô hội tụ đều ( của các hàm và tất cả các
đạo hàm của chúng) trên những tập con compact của
( )
0;+∞
.
Ta sẽ chứng minh rằng, K là tập compact trong tôpô này, khi đó định lí Krein –
Milman áp dụng được cho K.
Ngoài ra, những điểm cực biên của K cũng hoàn toàn đúng với các hàm
-x
xe
α
→
,
0 ≤α≤∞
. ( Ta định nghĩa
x
e
−∞
là hàm bằng không trên
( )
0;+∞
). Theo đó ta dễ thấy rằng
exK là đồng phôi với
[ ]
0;+∞
và vì vậy exK là tập compact.
Theo định lí Krein – Milman, với mỗi hàm f trong K sẽ tồn tại một độ đo xác suất
Borel m trên exK biểu diễn f. Ta có thể xem độ đo m là độ đo
µ
trên

[ ]
0;+∞
và các phiếm
hàm ước lượng
( )( )
f fx x 0→>
là liên tục trên E. Từ đó ta có biểu diễn cần tìm. Tính duy
nhất có được nhờ ứng dụng định lí Stone – Weierstrass vào đại số con của
[ ]
( )
C 0;∞
được
sinh ra bởi những hàm số mũ.
Trước hết ta là chứng tỏ K là tập con compact của E. Tôpô trên E là tôpô được cho bởi
họ các giả chuẩn đếm được

( )
( )
( )
{ }
( )
k
1
m,n
p f sup f x :m x m,0 k n m,n 1,2,3,
−
= ≤≤ ≤≤ =
.
Khi đó không gian E khả mêtrict và mọi tập con đóng và bị chặn của E đều là tập
compact (Điều này có thể chứng minh bằng định lí Ascoli, cùng với việc lặp lại cách sử dụng

phương pháp đường chéo). Ta thấy K là tập đóng, để chứng minh K bị chặn, ta phải chứng
minh rằng với mọi giá trị m và n,
( )
{ }
m,n
sup P f :f K∈
là hữu hạn,
( )
( )
{ }
n
1
sup f x :m x m,f K
−
≤≤ ∈
là hữu hạn với mỗi
n 0 và m 1≥≥
.
Bổ đề sau đây sẽ thiết lập việc này.
Bổ đề 1.2.3. Cho
( )
{ }
n
n
n
K 1 f :f K=−∈
n = 0, 1, 2, . .
Khi đó với mỗi số
a0>
và

n0≥
, các hàm số trong tập hợp KR
n
R bị chặn trên, tập hợp
( )
0;+∞
bởi giá trị
( )
n
n1
n
2
a .2

+

−

.
Chứng minh. Sử dụng phương pháp quy nạp ta nhận thấy những hàm trong K
R
0
R bị chặn bởi
giá trị 1.
Giả sử khẳng định trên là đúng với K
R
n
R.
Các hàm trong K
R

n+1
R là không tăng, điều đó đủ để thiết lập một cái cận, tại điểm a.
Theo định lí giá trị trung bình cho f
P
(n)
P trên đoạn
a
;a
2



, tồn tại số c, với
a
ca
2
<<
sao cho
( )
( )
( )
( )
( )
n1 n n
aa
f cfaf
22
+
 
= −

 
 
. Điều này cùng với giả thiết quy nạp ( áp dụng tại
a
2
), chứng
tỏ rằng

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n1
n
n
2
n1
n1
n1
n1
aa
2 1f
22

a
1 fc
2
a
1 f a,
2
−

+


+
+
+
+
 
≥−
 
 

≥−



≥−



và đó là điều cần chứng minh.
Bước tiếp theo của chứng minh định lí là ta xác định các điểm cực biên của K.

Bổ đề 1.2.4. Những điểm cực biên của K là những hàm số có dạng
( )
x
fx e
−α
=
, trong đó
x 0,0> ≤ α ≤ +∞
.
Chứng minh
Giả sử rằng
0
f exK và x 0∈>
.
Với
x0>
, cho
( ) ( ) ( ) ( )
00
ux fx x fxfx= +−
.
Giả sử ta đã chứng minh được
fuK±∈
.
Vì f là điểm cực biên nên
u0=
, suy ra
( ) ( ) ( )
00
fx x fxfx+=

với mọi x,
0
x0>
. Do
f là hàm liên tục trên
( )
0;+∞
, dẫn đến
f0=
( trường hợp
α=∞
) hoặc
( )
x
fx e
−α
=
(trường
hợp
α≠∞
).
Vì
( )
/x
0 fx e,
−α
≤− =α
nên phải có
0α≥
.

Ta còn phải chứng minh
fuK±∈
. Cho
( )
0
b fx=
( thì
0b1≤≤
), để ý rằng
( )
( )
( )
( )
f u 0 1 bf0 b 1
++
+ = − +≤
và
( )
( ) ( ) ( ) ( )
f u 0 f0 b1 f0 f0 1
++ + +

− = −− ≤ ≤

. Ngoài ra

( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )

( ) ( )
( )
( )
nn n n
nn
0
1 f u x 1b 1f x 1f x x 0− + = − − +− + ≥
và
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
nn n n n
nn n
0
1 f u x 1f x 1f x x b 1f x.

− − = − −− + + −


Vì
( )
( )
n
n

1f−
là hàm không tăng nên hàm
( ) ( )
( )
( )
nn
1fu x−−
là không âm.
Để chứng minh chiều ngược lại, ta xét phép biến đổi TR
r
R (r > 0) từ K vào chính nó,
được định nghĩa bởi
( )( ) ( )
r
Tf x f rx .=

Vì TR
r
R có dạng một đối một vào chính nó và bảo toàn tổ hợp lồi, nên nó biến những
điểm cực biên của K thành những điểm cực biên của K. Vì K là tập compact, nó là bao lồi
đóng của chính những điểm cực biên của nó, cho nên trong K có ít nhất một hàm số không
phải là hàm hằng. Theo những gì ta vừa chứng minh, những điểm cực biên này có dạng
x
e
−α
,
với
0α>
, và do đó ảnh
rx

e
−α
của hàm số này qua phép biến đổi TR
r
R là điểm cực biên. Vì điều
này luôn đúng với mọi
r0
>
nên tất cả các hàm mũ là điểm cực biên của K ( và các hàm
hằng rõ ràng là các điểm cực biên). Vậy mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ ta hoàn tất việc chứng minh định lí Bernstein đối với các hàm bị chặn. Không
khó để chứng tỏ rằng ánh xạ
( )
.
T: e
−α
α→
đi từ
[ ]
0;+∞
vào trong K là liên tục; vì
[ ]
0;+∞
là
tập compact nên ảnh các điểm cực biên của nó cũng là tập compact. Theo định lí biểu diễn
của Krein – Milman thì với mỗi hàm f trong K sẽ tương ứng với một độ đo xác suất chính
quy Borel m trên các điểm cực biên của K, sao cho
( )
x
exK

L f L dm=
∫
với mỗi hàm L tuyến
tính, liên tục trên E.
Bây giờ, nếu
x0>
thì hàm ước lượng
( ) ( )
x
L f fx=
liên tục trên E.
Vậy thì
( )
x
exK
f x L dm=
∫
với mọi
x0>
.
Ta định nghĩa độ đo
µ
trên mỗi tập con Borel B của đoạn
[ ]
0;+∞
là
( ) ( )
B m TBµ=
(
nghĩa là

mTµ= o
). Do
( )
x
x
LT e
−α
α=
, ta có

( )
( )
( )
( )
-1
xx
exK
T exK
x
0
f x L dm L Td m T
ed
∞
−α
= =
= µα
∫∫
∫
oo

với mọi giá trị
x0>
.
Ta còn phải chứng minh độ đo
µ
là duy nhất.
Giả sử tồn tại một độ đo thứ hai
ν
trên
[ ]
0;+∞
sao cho
( ) ( )( )
x
0
fx e d x 0
∞
−α
= να >
∫
và
[ ]
( )
0; f 0
+
ν +∞ =
.
Với mỗi giá trị
x0≥
thì hàm số

x
e
−α
α→
là liên tục trên
[ ]
0;+∞
. Cho A là một đại số con
của
[ ]
( )
C 0;+∞
được sinh ra bởi các hàm này; A bao gồm những tổ hợp tuyến tính hữu hạn
của những hàm đó và cả những hàm tuyến tính trên
[ ]
( )
C 0;+∞
,
và µν
bằng nhau trên A.
Từ việc A tách những điểm của đoạn
[ ]
0;+∞
nên từ định lí Stone-Weierstrass suy ra A trù
mật trong
[ ]
( )
C 0;+∞
, vậy
µ=ν

.
Định lí được chứng minh.
1.3. Một số kết quả đã sử dụng trong luận văn.
1.3.1. Định lí (Hahn – Banach)
Cho M là một không gian véctơ con của một không gian véctơ tôpô lồi địa phương
( )
E;τ
và f là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ M vào K ( K là trường số thực hoặc phức).
Lúc đó có một ánh xạ tuyến tính liên tục g từ E vào K sao cho
( ) ( )
gx fx=
với mọi x trong
M.
1.3.2. Định lí (Stone – Weierstrass)
Cho
( )
X;ν
là một không gian mêtric compact và A là một tập con của
( )
C X;R
. Giả
sử
i) Với mọi f và g trong A và với mọi số thực
α
thì các hàm số sau đây thuộc vào
A:
f g; g+α
và fg;
ii) A chứa các hàm hằng;
iii) A tách điểm trong X, nghĩa là với mọi x và y khác nhau trong X có

fA∈
sao
cho
( ) ( )
fx fy≠
.
Lúc đó
( )
A C X;R=
.
1.3.3. Bổ đề (Zorn)
Cho
p
là một quan hệ thứ tự trên một tập E. Giả sử với mọi tập con X được sắp toàn
phần trong
( )
E;p
( Nghĩa là
xyp
hoặc
yxp
với mọi x và y trong X) ta có một a trong E
sao cho
zap
với mọi z trong X. Lúc đó có một c trong E sao cho
xc=
nếu x trong E và
cxp
.
1.3.4. Định lí (Riesz)

a) Nếu
ϕ
là một phiếm hàm tuyến tính dương, liên tục trên C(X) thì tồn tại duy nhất
một độ đo Borel dương, chính quy có giá compact
µ
sao cho

( ) ( )
( )
X
f fd f C Xϕ=µ ∈
∫
(1)
b) Ngược lại nếu
µ
là một đọ đo Borel dương, chính quy, có giá compact thì phiếm
hàm
ϕ
định bởi (1) là liên tục trên C(X).
1.3.5. Bổ đề (Fatou)
Nếu
n
f0≥
trên A thì
nn
AA
liminf f d liminf f dµ≤ µ
∫∫

Chương 2. ĐỊNH LÍ CHOQUET

2.1. Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict
Trong phần này ta sẽ chứng minh định lí Choquet trong trường hợp X là khả mêtrict.
Đây là trường hợp đặc biệt của định lí Choquet-Bishop-De Leeuw tổng quát, nhưng việc
chứng minh nó cho chúng ta những điều cần thiết trong kết quả chính.
Giả sử rằng h là một hàm số thực xác định trên một tập lồi C.
Hàm số h là hàm affine nếu

( ) ( ) ( ) ( )
h x 1 y hx 1 hyλ + −λ =λ + −λ


với mọi
x,y C và 0 1.∈ ≤λ≤

Hàm số h là hàm lồi nếu
( ) ( ) ( ) ( )
h x 1 y hx 1 hyλ + −λ ≤λ + −λ


với mọi
x,y C và 0 1.∈ ≤λ≤

Chúng ta nói hàm h là lõm nếu
h−
là hàm lồi, và h được gọi là lồi ngặt nếu hàm h là
lồi và bất đẳng thức trong định nghĩa là ngặt với mọi
xy≠
và
01<λ<
. Nhắc lại, một hàm
số thực f được gọi là nửa liên tục trên, nếu với mọi số thực
λ
, tập hợp
( )
{ }
x:f x <λ
là tập

mở, f được gọi là nửa liên tục dưới nếu
f−
là nửa liên tục trên.
Kí hiệu, tập hợp tất cả những hàm affine liên tục trên X là A. Chú ý rằng A là một
không gian con của không gian Banach C(X) và A có chứa những hàm hằng. Ngoài ra A
cũng chứa tất cả những hàm số có dạng
( )
x fx r→+
, với
*
f E,∈
r là số thực và
xX∈
, vậy
thì A chứa đủ nhiều những hàm số tách những điểm của X.
Định nghĩa 2.1.1. Với f là một hàm bị chặn trên X và
xX∈
, đặt

( ) ( )
{ }
f x inf h x : h A và h f= ∈≥
.
Hàm số
f
được gọi là bao hình trên của f .
Tính chất
a)
f
là hàm lõm, bị chặn và nửa liên tục trên.

b)
ff≤
và nếu f là hàm lõm và nửa liên tục trên thì
ff=
.
c) Nếu f, g là các hàm bị chặn trên tập X thì
fgfg và fg fg+≤+ + ≤ +
. Khi đó

f g f g +≤+
nếu
gA∈
. Nếu
r0>
thì
rf rf=
.
Chứng minh. Các tính chất trên hầu hết được suy ra từ định nghĩa như sau:
+ Khẳng định a) được suy ra từ việc những hàm không đổi là hàm affine.
+ Khẳng định b) được chứng minh như sau: Nếu f là hàm lõm và nửa liên tục trên, thì
trong không gian lồi địa phương
ER×
tập hợp
( ) ( )
{ }
K x;r :f x r= ≥
( tức là những điểm
nằm dưới đồ thị của f) là đóng và lồi. Nếu
( ) ( )
11

fx fx<
tại một số điểm xR
1
R, thì định lí tách
khẳng định sự tồn tại của một hàm tuyến tính liên tục L xác định trên
ER×
, tách chặt điểm
( )
( )
11
x ;f x
từ tập K, tức là tồn tại số
λ
sao cho
( ) ( )
( )
11
supL K L x ;f x<λ<
. Từ đó ta có
( )
( )
( )
( )
11 1 1
L x;f x L x;f x<
, nên
( )
L 0;1 0>
khi đó hàm h xác định trên X với
( )

hx r=
, nếu
( )
L x;r = λ
tồn tại và thuộc A. Ngoài ra
fh<
và
( )
( )
hx fx<
nên ta gặp mâu thuẫn.
+ Để chứng minh khẳng định c) ta lại sử dụng nhận xét hàm không đổi là hàm affine.
Vì
ff≤
, nên
ff≤
. Ngoài ra

( ) ( )
f fg g fg g,=−+≤−+

Suy ra

fgfg−≤−
, do đó
fg fg−≤ −
.
Đổi vai trò f và g, ta được điều cần chứng minh.
Định lí 2.2.2. ( Choquet)
Giả sử X là một tập con lồi compact và khả mêtrict của một không gian lồi địa phương

E và
0
xX∈
. Khi đó tồn tại một độ đo xác suất
µ
xác định trên X biểu diễn điểm xR
0
R và được
tựa trên các điểm cực biên của X.
Chứng minh. Vì X là không gian mêtrict nên C(X) là không gian tách được. Do đó ta cần
chọn một dãy các hàm
{ }
n
h
trong A sao cho
n
h1=
, và tập hợp
{ }
n
n1
h
∞
=
là trù mật trong quả
cầu đơn vị của A; trong trường hợp đặc biệt, nó tách các điểm của X. Cho
n2
n
f 2h
−

=
∑
; dãy
số này tồn tại giới hạn nên
( )
f CX∈
, và nó là một hàm lồi ngặt của C(X). ( Thực vậy, nếu
xy≠
thì
( ) ( )
nn
hx hy≠
với mỗi n, vậy hàm affine hR
n
R không phải là hàm hằng trên đoạn
[ ]
x;y
. Do đó
2
n
h
là hàm lồi ngặt trên đoạn
[ ]
x;y
, suy ra f là hàm lồi ngặt trên đoạn
[ ]
x;y
).
Kí hiệu B là không gian con A + Rf của không gian C(X) được sinh ra bởi A và f.
Theo tính chất c) của định nghĩa hàm hoàn toàn đơn điệu, hàm p được xác định trên

C(X) với
( ) ( ) ( )
( )
0
pg gx g CX= ∈
là cộng tính dưới, và thỏa mãn
( ) ( )
p rg rp g=
, với r >0.
Ta định nghĩa một hàm tuyến tính trên B xác định như sau:
( )
( )
00
h rf h x rf x+→ +
, với h thuộc A và r là số thực.
Ta sẽ chứng minh hàm này là hàm mở rộng trên B của hàm p, do đó
( )
( )
( )
( )
00 0
h x rf x h rf x+ ≤+
, với mỗi h thuộc A và mỗi số thực r.
Nếu
r0≥
thì
hrf hrf+=+
theo tính chất b) và tính chất c); nếu r < 0 thì h + rf là
hàm lõm và
hrfhrfhrf.+ =+ ≥+

Theo định lí Hahn-Banach tồn tại một hàm tuyến tính m trên C(X) sao cho
( ) ( )
0
mg gx≤
với g thuộc C(X) và
( ) ( ) ( )
00
m h rf h x rf x+= +
nếu
h A và r R.∈∈
Nếu
( )
g C X và g 0∈≤
thì
( ) ( )
0
0 gx mg≥≥
, nghĩa là m là không dương trên những hàm không
dương, do đó m liên tục.
Theo định lí Riesz tồn tại một độ đo Borel
µ
chính quy không âm trên X sao cho
( ) ( )
mg g= µ
với
( )
g CX∈
. Từ
1A∈

, ta thấy rằng
( ) ( )
1 m1 1= = µ
, vậy
µ
là một độ đo xác
suất. Ngoài ra,
( ) ( )
( )
0
f mf f xµ= =
. Ta lại có
ff≤
nên
( )
( )
ffµ ≤µ
.
Mặt khác, nếu
hA∈
và
hf≥
thì
hf≥
, suy ra
( ) ( ) ( )
( )
0
hx mh h f= =µ ≥µ
.

Từ định nghĩa của
f
ta có
( )
( )
0
fx f≥µ
nên
( )
( )
ffµ=µ
. Điều này dẫn đến
µ
bị triệt
tiêu trên phần bù của
( ) ( )
{ }
x:f x f xε= =
.
Để hoàn thành việc chứng minh định lí ta cần chứng tỏ
ε
được chứa trong tập hợp các
điểm cực biên của X.
Thật vậy, nếu
11
xyz
22
= +
, với y, z là hai điểm phân biệt của X, thì từ tính lồi ngặt
của f suy ra

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
111 1
fx y z fy fz fx
222 2
<+≤ + ≤
.
Cần lưu ý rằng tập hợp
( ) ( )
{ }
x:f x f x=
trùng với tập hợp các điểm cực biên của X.
Điều này là hệ quả của mệnh đề sau đây.
Định nghĩa 2.1.3. Nếu
µ
và
λ
là các độ đo xác suất sao cho
( ) ( )
f f,f Aµ =λ ∀∈
, thì ta nói
và µλ
tương đương với nhau, kí hiệu
~µλ
.

Mệnh đề 2.1.4. Giả sử X là một tập lồi và compact. Nếu f là một hàm số liên tục trên tập X
thì với mỗi giá trị

xX∈
,
( )
{ }
x
f x sup fd : ~= µµ ε
∫
.
Do đó
( ) ( )
fx fx=
nếu x là một điểm cực biên của x.
Chứng minh. Khẳng định thứ hai được suy ra từ mệnh đề 1.1.6.
Để chứng minh khẳng định thứ nhất, cho

( ) ( )
{ }
/
x
f x sup f := µ µε:

ta sẽ chứng tỏ rằng
/
ff=
.
Theo định nghĩa của
/
f
ta có
/

f
là hàm lõm; ta chứng tỏ
/
f
là nửa liên tục trên.
Thật vậy, giả sử
{ }
x
α
là một lưới trong X, hội về một điểm x và
( )
/
fx r
α
≥
. Ta thấy
rằng
( )
/
fx r≥
, giả sử
0ε>
và với mỗi
α
ta chọn
x
α
α
µε:
thế thì

( )
fr
α
µ > −ε
. Theo tính
compact yếu, tồn tại một độ đo xác suất
µ
và lưới con
{ }
β
µ
của
{ }
α
µ
hội tụ yếu về
µ
.
Nếu
gA∈
thì
( )
( ) ( )
gx g g
ββ
=µ →µ
; hay
( )
( )
gx gx

β
→
, suy ra
x
µε:
. Do đó ,
( ) ( ) ( )
/
r lim f f f x
β
−ε≤ µ =µ ≤
; vậy
( )
/
fx r≥
.
Vì
/
f
là nửa liên tục trên, nên tập hợp

( ) ( )
{ }
/
x,r :f x r≥

là tập đóng ( và lồi) trong
ER×
.
Lí luận tương tự chứng minh tính chất b) trong định nghĩa 2.1.1 ta có

/
ff≤
.
Mặt khác nếu
hA,xX∈∈
và
hf≥
thì với mọi
x
µε:
, ta có

( ) ( ) ( )
hx h f=µ ≥µ
.
Từ đó suy ra
( ) ( )
/
f x hx≤
. Vậy
/
ff≤
.

2.2. Định lí tồn tại Choquet – Bishop – De Leeuw
Giả sử X là một tập con lồi compact không mêtric hóa được của một không gian lồi
địa phương E. Khi đó những điểm cực biên của X cần phải không có dạng tập Borel. Do đó,
phát biểu “độ đo xác suất
µ
được tựa bởi các điểm cực biên của X”theo định nghĩa hiện tại

là vô nghĩa. Có ít nhất hai cách khắc phục vấn đề này. Ta có thể giảm bớt điều kiện
µ
là một
độ đo Borel ( do đó, cho phép độ đo được định nghĩa trên một vành
σ
khác), hoặc chúng ta
có thể thay đổi định nghĩa “độ đo tựa trên các điểm” của những độ đo Borel. Một định nghĩa
chấp nhận được phải thỏa mãn yêu cầu
µ
bị triệt tiêu trên mỗi tập Borel mà nó được tách ra
từ các điểm cực biên của X. Tuy nhiên Bishop and De Leeuw đã chỉ ra rằng, với tính chất
này thì chúng ta không thể nào biểu diễn được độ đo
µ
. Mặt khác, nếu chỉ yêu cầu
µ
bị triệt
tiêu trên những tập con Baire của X, mà không yêu cầu phải chứa các điểm cực biên, thì khi
đó định lí biểu diễn độ đo sẽ thực hiện được.( Những tập Baire là những phần tử của vành
σ

được tạo ra bởi những tập compact
G
σ
). Ngoài ra, kết quả này dẫn đến một định lí tương
đương, trong đó định nghĩa về “độ đo tựa trên các điểm” về mặt hình thức thì như trên,
nhưng độ đo được xét ở đây rộng hơn độ đo Borel.
Định nghĩa 2.2.1. Giả sử
và λµ
là các độ đo Borel chính quy và không âm trên X ta viết
λ>µ

nếu
( ) ( )
f f, f Cλ ≥µ ∀∈
.
Định lí 2.2.2.(Choquet – Bishop – De Leeuw) Giả sử X là một tập con lồi compact của
không gian lồi địa phương E và
0
xX∈
. Khi đó tồn tại một độ đo xác suất
µ
trên X, sao cho
µ
biểu diễn điểm xR
0
R và
µ
bị triệt tiêu trên mỗi tập con Baire của X, các tập này không giao
nhau với tập các điểm cực biên của X.
Chứng minh. Trước tiên ta xét bổ đề sau.


Bổ đề 2.2.3. Nếu
λ
là một độ đo không âm xác định trên X, thì tồn tại một độ đo cực đại
µ

sao cho
µ>λ
.
Chứng minh. Đặt

{ }
Z : 0 và = µ µ≥ µ>λ
. Giả sử ta đã tìm được một phần tử cực đại
µ

trong Z, (theo quan hệ thứ tự > ). Khi đó
µ
sẽ là một độ đo cực đại, vì nếu
ν
là một độ đo
không âm và
ν>µ
thì
ν>λ
, suy ra
Zν∈
và do đó
ν=µ
.
Bây giờ ta tìm phần tử lớn nhất trong Z.
Cho W là một dãy trong Z. Ta có thể xem W là một lưới được chứa trong tập compact
yếu
( ) ( )
{ }
0 và 1 1µ≥ µ =λ
. Do đó tồn tại
0
µ
với
0

0µ≥
và một lưới con
{ }
α
µ
của W, hội tụ
về
0
µ
trong topô yếu.
Nếu
1
µ
là một phần tử bất kì trong W, theo định nghĩa của lưới con, ta có
1α
µ >µ
nên
01
µ >µ
. Do đó
0
µ
là một cận trên của W; ngoài ra, từ
0
µ >λ
ta có
0
Zµ∈
.
Theo bổ đề Zorn thì Z chứa một phần tử cực đại.

Bishop và De Leeuw đã nảy sinh ra ý tưởng tìm độ đo cực đại. Ý tưởng được dùng ở
đây rất đơn giản: Nếu x
R
0
R thuộc X, chọn độ đo cực đại
µ
sao cho
0
x
µ>ε
. Theo chú ý ở trên,
µ
biểu diễn xR
0
R; việc còn lại là chỉ ra giá trị cực đại của
µ
để chứng tỏ
µ
bị triệt tiêu trên
những tập Baire chứa những điểm không phải là cực biên. Để chứng minh điều này, đầu tiên
ta xét kết quả sau.
Mệnh đề 2.2.4: Nếu
µ
là một độ đo cực đại trên X thì
( )
( )
f fµ=µ
với f là một hàm số
liên tục trên X.
Chứng minh. Chọn f thuộc không gian C(X) và hàm tuyến tính L trên không gian con một

chiều Rf, xác định bởi công thức
( )
( )
L rf r f= µ
.
Xét hàm tuyến tính dưới p xác định trên C(X) và được cho bởi công thức
( )
( )
pg g= µ
.
Nếu
r0≥
thì
( ) ( )
L rf p rf=
, ngoài ra nếu r < 0 thì
( )
0 rf rf rf rf rf rf= − ≤ +− = −
,
suy ra
( )
( )
( )
( )
L rf rf rf p rf=µ ≤µ =
. Do đó,
Lp≤
trên Rf, theo định lí Hahn-Babach, tồn
tại một mở rộng L
P

/
P của L trên C(X) sao cho
/
Lp≤
.
Nếu
g0≤
thì
g0≤
suy ra
( ) ( )
( )
/
L g pg g 0≤ =µ≤
. Từ đó
/
L0≥
và do đó tồn tại một
độ đo không âm
ν
trên X sao cho
( ) ( )
/
Lg g= ν
với mọi
( )
g CX∈
.
Nếu g là hàm lồi thì
g−

là hàm lõm và
gg−=−
, vậy
( ) ( )
( )
( )
gpggg,ν− ≤ − =µ− =µ−
do đó
µ<ν
.
Vì
µ
là cực đại nên ta phải có
µ=ν
, Khi đó
( ) ( ) ( )
( )
f f Lf fµ=ν= =µ
. Vậy mệnh
đề được chứng minh.
Lưu ý rằng mệnh đề đảo của mệnh đề 2.2.4 cũng đúng, tức là ta có hệ quả: “Nếu
µ
là
một độ đo cực đại thì
µ
được tựa trên
( ) ( )
{ }
x:f x f x=
, với mỗi f thuộc C”. Như đã nói

trong mệnh đề 2.1.4, mỗi tập hợp
( ) ( )
{ }
x:f x f x=
đều chứa những điểm cực biên của X.
Nếu C đã chứa một hàm lồi ngặt f
R
0
R , theo định lí Choquet, ta có
( ) ( )
{ }
00
exX= x:f x f x=
, và
như vậy ta có điều cần chứng minh. Tuy nhiên, việc tồn tại một hàm lồi ngặt, liên tục trên X
lại dẫn tới X là khả mêtric. Do vậy, việc cần thiết bây giờ để chứng minh định lí trong trường
hợp X không khả mêtrict là phải chứng minh: exX là giao của tất cả các tập hợp có dạng
( ) ( )
{ }
x:f x f x ,f C= ∈
.
Thực vậy, nếu
( ) ( )
fx fx=
, với mỗi
fC∈
, và nếu
( )
1
x yz

2
= +
với
y,z X∈
thì
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
fy fz 2fx 2fx fy fz fy fz+≥ = ≥ +≥+
.
Vậy
( ) ( ) ( )
2f x f y f z= +
, với mỗi
fC∈
.
Dẫn đến, mọi hàm
fC∈−
cũng có đẳng thức tương tự, và cũng tương tự như thế cho
mỗi hàm f trong C-C. Từ việc không gian C-C trù mật trong C(X), ta phải có
xyz= =
, do
vậy x là một điểm cực biên của X.
Để chứng minh một độ đo cực đại
µ
bất kì bị triệt tiêu trên các tập Baire không giao
nhau với tập exX, ta cần chứng tỏ
( )
D0µ=
, nếu D là một tập
G

σ
compact không giao nhau
với tập exX ( Điều này là hệ quả của kết quả sau: “Nếu B là một tập Baire và
µ
là một độ đo
Borel chính quy không âm, thì
( ) ( )
{
B sup D :D B,D làµ= µ ⊂ −
một
G
σ
compact
}
”). Điều
này sẽ giúp ích về sau, nếu cho rằng D là một tập con compact của tập
G
σ
không giao nhau
với tập exX.
Để chứng tỏ
( )
D0µ=
, trước tiên ta dùng bổ đề Urysohn để chọn một dãy không giảm
{ }
n
f
của các hàm liên tục trên X, với
( )
nn

1 f 0,f D 1−≤ ≤ =−
và
( )
n
limf x 0=
nếu
x exX∈
.
Khi đó, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu
µ
là độ đo cực đại thì
( )
n
lim f 0µ=
, từ điều này sẽ trực
tiếp suy ra được
( )
D0µ=
.
Để có được kết quả giới hạn này, ta cần dựa vào hai bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.5. Giả sử
{ }
n
f
là dãy bị chặn các hàm nửa liên tục trên xác định trên X.
Nếu
( )
( )
n

lim inf f x 0, x exX≥ ∀∈
, thì
( )
( )
n
lim inf f x 0, x X≥ ∀∈
.
Chứng minh. Trước tiên ta giả sử rằng X là một không gian khả mêtrict. Nếu
xX∈
, ta chọn
một độ đo xác suất
µ
với
x
~µε
và
µ
được tựa trên exX với giả thiết
n
liminf f 0≥
hầu khắp
nơi theo độ đo
µ
. Vậy theo bổ đề Fatou liminf
( )
n
f0µ≥
.
Vì các hàm fR
n

R là nửa liên tục trên nên theo tính chất b) của bao hình trên của f ta có
nn
ff=
, suy ra
( ) ( )
{ }
( )
{ }
( )
n n nn
f x inf h x :h A,h f inf h :h A,h f f= ∈≥=µ ∈≥≥µ
.