Dạy học chủ đề tổ hợp – xác suất theo định hướng hình thành và phát triển năng lực học sinh thpt

LỜI CẢM ƠN
Khơng những chỉ có sự nỗ lực, cố gắng của bản thân để hồn thành khóa
luận này mà nó cịn có sự hƣớng dẫn tận tình của q thầy cô.
Trƣớc hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Th.S Nguyễn
Thị Xuân giảng viên của trƣờng Đại học Hồng Đức đã tận tình hƣớng dẫn và
động viên để em hồn thành đề tài khóa luận này.
Em trân trọng cảm ơn quý thầy cô trong ngành Sƣ phạm Toán, khoa khoa
học Tự nhiên đã trang bị cho em kiến thức và đã tạo điều kiện thuận lợi cho em
hoàn thành đề tài này.
Em xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô của
trƣờng THPT Triệu Sơn 2, đặc biệt là cơ Nguyễn Thị Thức – GV hƣớng dẫn bộ
mơn Tốn, cùng q thầy cơ trong tổ Tốn đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ
em trong thời gian thực tập và thử nghiệm sƣ phạm để em hoàn thành tốt đề tài
khóa luận này.
Đây là lần đầu tiên thực hiện khóa luận nên sẽ khơng tránh khỏi những sai
sót kính mong đƣợc sự đóng góp ý kiến tận tình của q thầy cơ và các bạn để
đề tài đƣợc hồn thiệnhơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Tác giả khóa luận

Phùng Thị Hƣơng

i


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC DẠY HỌC CHỦ
ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT THEO ĐỊNH HƢỚNG HÌNH THÀNH VÀ PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THPT .............................................................. 5

I. Cơ sở lý luận về việc dạy học theo định hƣớng hình thành và phát triển năng
lực học sinh THPT ................................................................................................ 5
1.1. Năng lực ......................................................................................................... 5
1.2. Năng lực toán học .......................................................................................... 6
1.3. Dạy học theo định hƣớng hình thành và phát triển năng lực học sinh THPT 7
1.3.1. Đặc tính cơ bản về việc dạy học theo định hƣớnghình thành và phát triển
năng lực ngƣời học THPT ..................................................................................... 7
1.3.2. Ƣu điểm của dạy học theo năng lực ............................................................ 8
1.3.3. Một số năng lực của học sinh đƣợc hình thành và rèn luyện thơng qua dạy
học mơn Tốn ........................................................................................................ 9
1.3.4. Phƣơng pháp và hình thức tổ chức dạy học theo định hƣớng hình thành và
phát triển năng lực ngƣời học.............................................................................. 11
1.4. Vị trí, vai trị, nội dung dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong trƣờng
THPT ................................................................................................................... 13
1.4.1. Vị trí, vai trị .............................................................................................. 13
1.4.2. Nội dung dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất trong chƣơng trình tốn
THPT ................................................................................................................... 14
II. Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trƣờng THPT trên
địa bàn tỉnh Thanh Hóa ....................................................................................... 21
KẾT LUẬN CHƢƠNG I .................................................................................... 23
CHƢƠNG 2:DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤTTHEO ĐỊNH
HƢỚNG HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THPT 24
2.1. Chuẩn kiến thức, kỹ năng, thái độ theo chƣơng trình dạy học “Chƣơng II:
Tổ hợp và xác suất, đại số và giải tích 11” ......................................................... 24
ii


2.2. Bảng mô tả các mức yêu cầu cần đạt cho mỗi loại câu hỏi, bài tập trong
“Chƣơng II: Tổ hợp và xác suất, đại số và giải tích 11” ..................................... 26
2.3. Dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất theo định hƣớng hình thành và phát triển

năng lực học sinh THPT...................................................................................... 30
2.3.1. Nguyên tắc xây dựng các biện pháp ......................................................... 30
2.3.2. Một số biện pháp dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất theo dạy học định
hƣớng hình thành và phát triển năng lực học sinh .............................................. 32
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 .................................................................................... 70
CHƢƠNG 3: THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM .......................................................... 71
3.1. Mục đích thử nghiệm ................................................................................... 71
3.2. Tổ chức và nội dung của thử nghiệm sƣ phạm ............................................ 71
3.2.1. Tổ chức thử nghiệm .................................................................................. 71
3.2.2. Nội dung thử nghiệm................................................................................. 71
3.3. Đánh giá kết quả thử nghiệm sƣ phạm......................................................... 72
3.3.1. Kết quả định tính ....................................................................................... 72
3.3.2. Kết quả định lƣợng .................................................................................... 72
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 .................................................................................... 73
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 75
PHỤ LỤC I .......................................................................................................... 77
PHỤ LỤC 2 ......................................................................................................... 85

iii


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT DÙNG TRONG KHÓA LUẬN
Đƣợc hiểu là

Chữ viết tắt
GV

Giáo viên

HS

Học sinh

THPT

Trung học phổ thông

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

GD - ĐT

Giáo dục – Đào tạo

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1.Theo Nghị quyết Hội nghị Trung ƣơng 8 khóa XI về đổi mới căn bản,
toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phƣơng pháp
dạy và học theo hƣớng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và
vận dụng kiến thức, kỹ năng của ngƣời học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một
chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự

học, tạo cơ sở để ngƣời học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển
năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thành học tập đa
dạng , chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh
ứng dụng thông tin và truyền thông trong dạy và học”. Để thực hiện tốt mục tiêu
về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo theo Nghị quyết số 29/NQTW,
cần có nhận thức đúng đắn về bản chất của đổi mới phƣơng pháp dạy học theo
định hƣớng phát triển năng lực ngƣời học và một số biện pháp đổi mới phƣơng
pháp dạy học theo hƣớng này.
1.2.Dạy học theo định hƣớng hình thành và phát triển năng lực ngƣời học
nhằm phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của ngƣời học, hình thành và phát
triển năng lực tự học, trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập,
sáng tạo của tƣ duy. Từ đó học sinh tự mình hồn thành nhiệm vụ nhận thức với
sự tổ chức, hƣớng dẫn của giáo viên.
1.3. Đối với dạy học mơn Tốn ở trƣờng THPT, việc sử dụng phƣơng pháp
dạy học theo định hƣớng hình thành và phát triển năng lực ngƣời học đã mang
lại nhiều hiệu quả đáng kể cho việc “tích cực hóa hoạt động học tập của người
học”. Tuy nhiên, việc vận dụng phƣơng pháp dạy học theo định hƣớng hình
thành và phát triển năng lực ngƣời học không phải dễ dàng thực hiện cho tất cả
các chủ đề toán học.
1.4. Tổ hợp – Xác suất là một ngành toán học nghiên cứu các bài toán
mang cấu trúc rời rạc, các hiện tƣợng ngẫu nhiên xuất phát từ thực tiễn. Đây là
chủ đề toán học giàu tiềm năng cung cấp cho học sinh những hiểu biết về mối
liên hệ giữa toán học và các lĩnh vực khoa học khác nhau trong đời sống. Tuy
1


nhiên, Tổ hợp – Xác suất là chủ đề mà việc học tập, tiếp cận kiến thức của học
sinh còn gặp nhiều khó khăn bởi “mạch suy luận khơng hồn tồn giống suy
luận tốn học”. Đây là phần kiến thức mới trong chƣơng trình thay sách giáo
khoa. Theo chƣơng trình cũ học sinh chỉ đƣợc học tổ hợp ở lớp 12, còn xác suất

là phần kiến thức đƣợc chuyển từ chƣơng trình Cao đẳng, Đại học xuống THPT.
Đó cũng là một khó khăn cho các thầy cơ dạy ở THPT trong việc áp dụng
phƣơng pháp giảng dạy nào cho phù hợp. Sách giáo khoa đổi mới trình bày phần
kiến thức này đầy đủ, dễ hiểu, xong học sinh làm bài tập lại không đạt đƣợc
điểm cao. Các em thƣờng áp dụng rất máy móc, nếu gặp bài tốn lạ là khơng
biết cách xử lý. Học sinh thiếu tính chủ động trong việc tiếp thu kiến thức nên
kiến thức dễ quên, kết quả học tập của các em chƣa cao.
Để cải thiện tình hình nói trên, giáo viên cần phải có những biện pháp dạy
học tích cực trong đó có biện pháp nhằm hình thành và phát triển năng lực ngƣời
học.Với những lí do trên, tơi chọn đề tài “Dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất
theo định hướng hình thành và phát triển năng lực học sinh THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm thực hiện dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác
suất theo phƣơng pháp dạy học định hƣớng hình thành và phát triển năng lực
cho học sinh, trên cơ sở tôn trọng chƣơng trình SGK Đại số và Giải tích 11 hiện
hành, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học mơn Toán ở trƣờng THPT.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
- Đối tƣợng: Nghiên cứu dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất theo định
hƣớng hình thành và phát triển năng lực học sinh.
- Phạm vi: Nghiên cứu thực hiện dạy học định hƣớng hình thành và phát
triển năng lực học sinh đối với chủ đề Tổ hợp – Xác suất lớp 11 ở một số trƣờng
trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu tổng quan lý luận về phƣơng pháp dạy học định hƣớng
hình thành và phát triển năng lực học sinh.

2


4.2. Tìm hiểu mục tiêu, nội dung dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất lớp 11

ở trƣờng THPT.
4.3. Tìm hiểu thực trạng dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất lớp 11 ở trƣờng
THPT.
4.4. Đề xuất các biện pháp thực hiện việc dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác
suất theo phƣơng pháp dạy học định hƣớng hình thành và phát triển năng lực
học sinh.
4.5. Thử nghiệm sƣ phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện pháp đề
xuất.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nƣớc về GD – ĐT có liên quan
đến vấn đề tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh.
- Nghiên cứu các tài liệu giáo dục học, phƣơng pháp dạy học mơn tốn có
liên quan với đề tài, đặc biệt là các tài liệu về phƣơng pháp dạy học định hƣớng
hình thành và phát triển năng lực học sinh và các phƣơng pháp dạy học liên
quan.
- Nghiên cứu SGK, SGV, sách tham khảo có liên quan tới dạy học chủ đề
Tổ hợp – Xác suất ở trƣờng THPT.
5.2. Phƣơng pháp điều tra – khảo sát
Lập phiếu điều tra, dự giờ, quan sát việc dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất
của giáo viên ở một số trƣờng THPT trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa.
5.3. Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia
Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hƣớng dẫn, các giảng viên dạy Toán
giỏi ở trƣờng THPT trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa về việc dạy học chủ đề Tổ hợp
– Xác suất trong chƣơng trình mơn Tốn 1 hiện hành.
5.4. Phƣơng pháp thử nghiệm sƣ phạm
Tổ chức thử nghiệm một số trƣờng THPT trong tỉnh Thanh Hóa để kiểm
tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.

3

6. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận đƣợc chia thành
3 chƣơng.
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc dạy học chủ đề Tổ hợp –
Xác suất theo định hƣớng hình thành và phát triển năng lực học sinh THPT
Chƣơng 2: Một số biện pháp dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất theo
phƣơng pháp dạy học định hƣớng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh.
Chƣơng 3: Thử nghiệm sƣ phạm

4


CHƢƠNG 1:
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỔ
HỢP – XÁC SUẤT THEO ĐỊNH HƢỚNG HÌNH THÀNH VÀ PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THPT
I. Cơ sở lý luận về việc dạy học theo định hƣớng hình thành và phát
triển năng lực học sinh THPT
1.1. Năng lực
Năng lực là một vấn đềtrừu tƣợng của tâm lý học. Khái niệm này cho đến
ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau.
- Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các đặc
điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt
động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.
- Theo Nguyễn Huy Tú:“…Năng lực tự nhiên là loại năng lực đƣợc nảy
sinh trên cơ sở những tƣ chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động của
giáo dục và đào tạo. Nó cho phép con ngƣời giải quyến đƣợc những yêu cầu tối
thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cuộc sống”.

Các năng lực hình thành trên cơ sở của các tƣ chất tự nhiên của cá nhân
mới đóng vai trị quan trọng, năng lực của con ngƣời khơng phải hồn tồn do tự
nhiên mà có, phần lớn do giáo dục, tập luyện.
- Năng lực đƣợc đào tạo là những phẩm chất trong qua trình hoạt động tâm
lý tƣơng đối ổn định và khái quát của con ngƣời, nhờ nó chúng ta giải quyết
đƣợc (ở mức độ này hay mức độ khác) một hoặc một vài yêu cầu mới nào đó
trong cuộc sống – Nguyễn Huy Tú.
- X.L.Rubinxtein cho rằng :“Năng lực là tồn bộ các thuộc tính tâm lý làm
cho con ngƣời thích hợp với một hoạt động có lợi ích xã hội nhất định”.
- Tâm lý chia năng lực thành các dạng khác nhau nhƣ năng lực chung và
năng lực chuyên môn. Năng lực đƣợc chia thành 3 mức độ: năng lực, tài năng và
thiên tài.

5


1.2. Năng lực toán học
Năng lực toán học đƣợc hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc hết
là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động toán
học, đƣợc biểu hiện ở một số mặt:
- Năng lực thực hiện các thao tác tƣ duy cơ bản;
- Năng lực rút gọn quá trình lập luận tốn học và hệ thống các phép tính;
- Sự linh hoạt của quá trình tƣ duy;
- Khuynh hƣớng về sự rõ ràng, đơn giản và tiết kiệm của lời giải các bài toán;
- Năng lực chuyển dễ dàng từ tƣ duy thuận sang tƣ duy nghịch;
- Trí nhớ về các sơ đồ tƣ duy khái quát, các quan hệ khái quát trong lĩnh
vực số và dấu.
Với mỗi ngƣời khác nhau thì năng lực học tập tốn học cũng khác nhau.
Năng lực này đƣợc hình thành và phát triển trong quá trình học tập và rèn luyện
của mỗi học sinh. Vì thế việc lựa chọn nội dung và phƣơng pháp thích hợp cho

mỗi học sinh đều đƣợc nâng cao dần về mặt năng lực là vấn đề quan trọng trong
dạy học tốn.
Nếu coi q trình học tập là q trình thu nhận và xử lý thơng tin thì năng
lực toán học của học sinh (HS), bao gồm:
i) Năng lực thu nhận thơng tin tốn học: năng lực tri giác hình thức hóa tài
liệu tốn học, nắm cấu trúc hình thức của bài tốn.
ii) Năng lực chế biến thơng tin toán học: năng lực tƣ duy logic về quan hệ
số lƣợng và hình dạng khơng gian bằng ký hiệu tốn học; năng lực khái qt hóa
các đối tƣợng tốn học, quan hệ toán học và các phép toán; năng lực tƣ duy linh
hoạt bằng rút gọn quá trình suy luận và cấu trúc toán học rút gọn; năng lực
chuyển hƣớng q trình tƣ duy.
iii) Năng lực lƣu trữ thơng tin tốn học: năng lực ghi nhớ (trí nhớ khái qt,
đặc điểm về loại, sơ đồ suy luận và chứng minh, phƣơng pháp giải bài tốn).
Có thể mơ tả năng lực trong giáo dục toán học gồm: (1) năng lực tƣ duy toán
học; (2) năng lực giải quyết vấn đề toán học; (3) năng lực mơ hình hóa tốn học; (4)
năng lực lập luật toán học; (5) năng lực giao tiếp bằng toán học và về toán học; (6)
6


năng lực tranh luận các vấn đề toán học; (7) năng lực trình bày các vấn đề tốn học;
(8) năng lực sử dụng ký hiệu, công thức và các yếu tố thuật tốn.
1.3. Dạy học theo định hƣớng hình thành và phát triển năng lực học
sinh THPT
Dạy học theo định hƣớng hình thành và phát triển năng lực ngƣời học
khơng chỉ chú trọng phát triển các năng lực chung, cốt lõi mà còn chú trọng phát
triển cả năng lực chuyên biệt (mơn học). Do đó, cần tăng cƣờng gắn hoạt động
trí tuệ với hoạt động thực hành, ứng dụng trong thực tiễn. Tăng cƣờng việc học
tập theo nhóm, cộng tác, chia sẻ nhằm phát triển nhóm năng lực xã hội.
Theo quan điểm phát triển năng lực, việc đánh giá kết quả học tập không
lấy việc kiểm tra khả năng tái hiện kiến thức đã học làm trung tâm, mà cần chú

trọng đánh giá khả năng vận dụng một cách sáng tạo tri thức trong những tình
huống ứng dụng khác nhau.
Vì thế, dạy học theo năng lực bên cạnh những thuộc tính chung về dạy học
(nhƣ đã biết) cịn có những đặc tính riêng nhƣ đề cập dƣới đây.
1.3.1. Đặc tính cơ bản về việc dạy học theo định hƣớnghình thành và
phát triển năng lực ngƣời học THPT
Qua tham khảo việc xây dựng và triển khai chƣơng trình giáo dục phổ
thơng theo định hƣớng tiếp cận năng lực ta thấy có một số đặc tính cơ bản khi
tiếp cận dạy học theo năng lực, đó là:
- Dạy học lấy việc học của học sinh làm trung tâm;
- Dạy học đáp ứng các đòi hỏi của thực tiễn, hƣớng nghiệp và phát triển;
- Linh hoạt và năng động trong việc tiếp cận và hình thành năng lực;
- Những năng lực cần hình thành ở ngƣời học đƣợc xác định một cách rõ
ràng. Chúng đƣợc xem là tiêu chuẩn đánh giá kết quả giáo dục.
Qua đó, ta thấy dạy học theo năng lực tăng cƣờng các hoạt động; tăng
cƣờng tính thực tế, tính mục đích; gắn hơn nữa với đời sống hiện thực, hỗ trợ
học tập suốt đời; hỗ trợ việc phát huy thế mạnh cá nhân; quan tâm hơn đến
những gì học sinh đƣợc học và học đƣợc.

7


1.3.2. Ƣu điểm của dạy học theo năng lực
Những đặc tính cơ bản nêu trên dẫn tới những ƣu điểm của dạy học theo
năng lực là:
- Dạy học theo năng lực cho phép cá nhân hoá việc học: trên cơ sở mơ hình
năng lực, ngƣời học sẽ bổ sung những thiếu hụt của cá nhân để thực hiện những
nhiệm vụ cụ thể của mình.
- Dạy học theo năng lực chú trọng vào kết quả đầu ra.
- Dạy học theo năng lực tạo ra những cách thức riêng, linh hoạt, phù hợp

với đặc điểm và hoàn cảnh của cá nhân nhằm đạt tới những kết quả đầu ra.
- Hơn nữa, dạy học theo năng lực còn tạo khả năng cho việc xác định một
cách rõ ràng những gì cần đạt và những tiêu chuẩn cho việc đo lƣờng kết quả.

8


Do những đặc tính và ƣu điểm của tiếp cận dựa trẽn năng lực mà
nhữngtiêuchuẩn năng lực đƣợc xác định và sử dụng nhƣ công cụ cho việc phát
triển chƣơng trình giáo dục phổ thơng ở nhiều nƣớc trên thế giới.
1.3.3. Một số năng lực của học sinh đƣợc hình thành và rèn luyện
thơng qua dạy học mơn Tốn
Phƣơng pháp và hình thức tổ chức dạy học nào sẽ góp phần hình thành và
phát triển năng lực ngƣời học? Đó là câu hỏi mà nhiều ngƣời muốn tìm hiểu,
làm rõ. Nhƣng cho đến nay, vấn đề này còn là mới và đang đƣợc thảo luận, cịn
chƣa có những nghiên cứu sâu, đủ để có thể trả lời tƣờng minh. Chúng ta sẽ
cùng đi tìm hiểu về những điểm chung.
1.3.3.1. Năng lực chung của mơn Tốn
Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực. Ở đây ta tiếp cận năng lực theo
hƣớng năng lực hành động, tức là có cấu trúc, có thể mơ tả đƣợc, đo đếm đƣợc, do
đó có thể đánh giá đƣợc. Mỗi mơn học có thế mạnh hình thành và phát triển một
(hoặc một số) năng lực chung cốt lõi. Chẳng hạn mơn Tốn có ƣu thế trong việc
hình thành và phát triển năng lực tính tốn, với các thành tố cấu trúc là: thành thạo
các phép tính; sử dụng được ngơn ngữ tốn học (bên cạnh ngơn ngữ thơng
thƣờng); mơ hình hố; sử dụng được các cơng cụ tốn học (đo, vẽ, tính).
Ta có thể làm rõ dần các năng lực chung cốt lõi, theo cấu trúc của nó,
chẳng hạn nhƣ (sơ đồ sau):

9

1.3.3.2. Một số năng lực chung cốt lõi mà môn Tốn tiềm ẩn cơ hội hình
thành và phát triển
Mọi ngƣời đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hàng ngày. Vì
thế mà tốn học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trong đời sống xã
hội. Hiểu biết về toán học giúp cho ngƣời ta có thể tính tốn, ƣớc lƣợng,... và nhất
là có đƣợc cách thức tƣ duy, phƣơng pháp suy nghĩ, suy luận lôgic,... trong giải
quyết các vấn đề nảy sinh, trong học tập cũng nhƣ trong cuộc sống hàng ngày.
Ở trƣờng phổ thơng, học tốn về cơ bản là hoạt động giải toán. Giải toán
liên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kĩ năng cơ bản,
khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ý
tƣởng liên quan,... Giải tốn địi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống. Học toán và
giải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phƣơng pháp,...
Vì vậy, có thể xem đó là cơ sở cho những phát minh khoa học. Kiến thức tốn
cịn đƣợc ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn học khác, nhƣ: Vật lí, Hố
học,Sinh học,... Vì thế, có thể xem mơn Tốn nhƣ mơn học cơng cụ ở trƣờng
phổ thơng.

10


Do đó, ở trƣờng phổ thơng mơn Tốn có nhiều cơ hội giúp học sinh hình
thành và phát triển các năng lực chung nhƣ: năng lực tính tốn; năng lực tư duy;
năng lực giải quyết ván đề; năng lực tự học; năng lực giao tiếp; năng lực hợp
tác; năng lực làm chủ bản thân; năng lực sử dụng công nghệ thơng tin.
1.3.3.3. Một số năng lực có thể và cần phải luyện tập qua mơn Tốn
Dạy và học tốn ở trƣờng phổ thơng Việt Nam nói chung, giai đoạn sau
2015 nói riêng, nhằm hƣớng vào hình thành các năng lực chung, cốt lõi, thơng
qua đó giúp cho học sinh.
- Có những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, làm nền tảng cho việc

phát triển các năng lực chung cũng nhƣ năng lực riêng (đối với mơn Tốn).
- Hình thành và phát triển năng lực tƣ duy (tƣ duy lôgic, tƣ duy phê phán,
tƣ duy sáng tạo, khả năng suy diễn, lập luận tốn học). Phát triển trí tƣởng tƣợng
khơng gian, trực giác tốn học.
- Sử dụng đƣợc các kĩ năng để học tốn, học tập các bộ mơn khác đồng thời
giải thích, giải quyết một số hiện tƣợng, tình huống xảy ra trong thực tiễn (phù
hợp với trình độ). Qua đó, phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mơ
hình hố tốn học.
- Phát triển vốn ngơn ngữ (ngơn ngữ tốn và ngơn ngữ thơng thƣờng trong
mối quan hệ chặt chẽ với nhau) trong giao tiếp và giao tiếp có hiệu quả.
- Góp phần cùng với các bộ mơn khác hình thành thế giới quan khoa học,
hiểu đƣợc nguồn gốc thực tiễn và khả năng ứng dụng rộng rãi của toán học trong
các lĩnh vực của đời sống xã hội. Biết cách làm việc có kế hoạch, cẩn thận,
chính xác, có thói quen tị mị, thích tìm hiểu, khám phá; biết cách học độc lập
với phƣơng pháp thích hợp cùng những kĩ năng cần thiết, trong sự hợp tác có
hiệu quả với ngƣời khác.
1.3.4. Phƣơng pháp và hình thức tổ chức dạy học theo định hƣớng hình
thành và phát triển năng lực ngƣời học
Phƣơng pháp và hình thức tổ chức dạy học nào sẽ góp phần hình thành và
phát triển năng lực ngƣời học? Đó là câu hỏi mà nhiều ngƣời muốn tìm hiểu,
làm rõ. Nhƣng cho đến nay, vấn đề này còn là mới và đang dƣợc thảo luận, còn
11


chƣa có những nghiên cứu sâu, đủ để có thể trả lời tƣờng minh. Do đó, ở đây,
qua tìm hiểu ban đầu, chúng tơi chỉ xin trình bày một số điểm chung nhất.
Theo tiếp cận phát triển năng lực ngƣời học thì phƣơng pháp dạy học
khơng chỉ chú ý tới mặt tích cực hố hoạt động học tập của HS mà còn chú ý rèn
luyện năng lực giải quyết vấn đề gắn với những tình huống thực, với hoạt động
thực hành, thực tiễn. Tăng cƣờng hoạt động nhóm, đổi mới quan hệ GV - HS

theo hƣớng cộng tác, nhằm phát triển năng lực cá nhân, năng lực xã hội,... Bên
cạnh việc học tập những kiến thức, kĩ năng riêng lẻ thuộc các môn học cần bổ
sung các chủ đề học tập theo hƣớng tích hợp.
Để chƣơng trình giáo dục phổ thơng theo định hƣớng tiếp cận năng lực có
thể triển khai tốt trong thực tiễn rất cần có những nghiên cứu về phƣơng pháp
dạy học, nhằm phát triển năng lực ngƣời học. Để giải quyết vấn đề này ta cần
tập trung chủ yếu vào các yếu tố nhƣ:
GV tổ chức hoạt động nhằm thúc đẩy việc học tập tích cực, chủ động của HS
Tạo một môi trường hỗ trợ học tập (gắn với bối cảnh thực)
Khuyến khích HS phản ánh tư tưởng và hành động, khuyến khích giao tiếp
Tăng cường trách nhiệm học tập
Tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, chia sẻ, trao đổi, tranh luận,...
Kết nối để học tập
Cung cấp đầy đủ cơ hội để HS tìm tịi, khám phá, sáng tạo
Giảng dạy như q trình tìm tịi
Trong bất kì hồn cảnh nào, với sự hỗ trợ gì thì phƣơng pháp dạy học hiệu
quả địi hỏi GV hiểu tác động của việc giảng dạy tới HS của mình. Mối quan hệ
GV-HS trong dạy học phải đƣợc quán triệt nhƣ là một quá trình, theo chu kì,
diễn ra ngày qua ngày. Trong quá trình này (nhƣ hình dƣới), GV cần biết:
Điều gì là quan trọng cho HS của mình (và do đó đầu tư thời gian một
cách thích đáng).
Chiến lược nào (hay bằng cách gì) có nhiều khả năng để giúp HS của
mình học?
Kết quả học tập ra sao và tác động tới giảng dạy trong tương lai thế nào?
12


1.4. Vị trí, vai trị, nội dung dạy họcchủ đềTổ hợp - Xác suất trong
trƣờng THPT
1.4.1.Vị trí, vai trị

Chủ đề Tổ hợp – Xác suất ở chƣơng trình tốn phổ thông đƣợc giới thiệu
thành một chƣơng trong sách Đại số và giải tích lớp 11. Nội dung của nó gồm có
6 bài. Bên cạnh đó SGK cũng giới thiệu cho HS các bài đọc thêm nhƣ qui tắc
cộng mở rộng, cuốn sách Tiếng Việt về Xác suất – thống kê xuất bản lần đầu
tiên ở nƣớc ta của tác giả Tạ Quang Bửu, cách sử dụng máy tính bỏ túi trong
tính tốn Tổ hợp – Xác suấtvà một phần tiểu sử của nhà toán họcPascal.
Chủ đề Tổ hợp – Xác suất ở chƣơng trình tốn 11 chiếm một vị trí khá
quan trọng vì:
- Trong khoa học cũng nhƣ trong cuộc sống, chúng ta thƣờng phải xác định
số phần tử của một tập hợp hoặc phải tính tốn xem khả năng xảy ra của một
biến cố ngẫu nhiên là bao nhiêu. Các kiến thức về Tổ hợp – Xác suất trong
chƣơng này sẽ bƣớc đầu giúp chúng ta giải đƣợc một số bài tốn đơn giản thuộc
loạiđó.

13


- Tổ hợp – Xác suất có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Tổ hợp – Xác suất
đƣợc đƣa vào chƣơng trình tốn học phổ thơng từ khi cải cách giáo dục. Dựa
vào cơng thức về hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp nhị thức Newton ngƣời ta trình bày
tri thức về xác suất theo quan điểm thống kê. Việc học toán xác suất liên hệ chặt
chẽ với các kiến thức ở phần tổ hợp đã học trƣớc đó. Học yếu tổ hợp thì cũng
dẫn đến học yếu xácsuất.
- Ngồi ra nó cũng thƣờng có mặt trong các đề thi Cao đẳng, Đạihọc.
1.4.2.Nội dung dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất trong chƣơng trình
tốn THPT
Trong chƣơng trình mơn tốn ở trƣờng THPT, kiến thức Tổ hợp – Xác suất
đƣợc tìm hiểu ở chƣơng trình tốn lớp 11 và nội dung kiến thức bao gồm các
vấn đề sau:
- Những khái niệm ban đầu về đại số Tổ hợp – Xác suất;

- Các quy tắc đếm;
- Các khái niệm và tính chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp;
- Nhị thức Newton và các dạng toán liên quan;
- Các khái niệm quan trọng ban đầu của xác suất: Phép thử, kết quả của
phép thử và không gian mẫu;
- Khái niệm của xác suất của biến cố và biết cách tính xác suất của biến cố.
Theo phân phối chƣơng trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo phần Tổ hợp –
Xác suất đƣợc dạy trong 13 tiết cụ thể nhƣ sau:
- Bài 1: Quy tắc đếm (3 tiết)
- Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp – tổ hợp (5 tiết)
- Bài 3: Nhị thức Newton (1 tiết)
- Bài 4: Phép thử và biến cố (2 tiết)
- Bài 5: Xác suất của biến cố (2 tiết)
- Bài 6 : Biến ngẫu nhiên rời rạc (1 tiết)
Sau đây là một số kiến thức cơ bản về chủ đề Tổ hợp – Xác suất:
 Kiến thức cần nhớ về tổ hợp

 Quy tắc đếm
14


Quy tắc đếm là một phần cũng khá khó đối với học sinh, đặc biệt là với học
sinh mới học phần này. Để làm đƣợc tốt bài tập về xác suất thì các em cần phải
nắm vững 2 quy tắc đếm cơ bản đó là: Quy tắc cộng và quy tắc nhân.
a) Quy tắc cộng.
Nếu một cơng việc nào nó có thể thực hiện theo n phƣơng án khác nhau,
trong đó:
Phƣơng án thứ nhất có m1 cách thực hiện
Phƣơng án thứ hai có m2 cách thực hiện
………….

Phƣơng án thứ n có mn cách thực hiện
Khi đó, có: m1 + m2 + … + mn cách để hồn thành cơng việc đã cho.
b) Quy tắc nhân
Nếu một cơng việc nào đó phải hoàn thành qua n giao đoạn liên tiếp, trong đó:
Giai đoạn thứ 1 có m1 cách thực hiện
Giai đoạn thứ 2 có m2 cách thực hiện
………….
Giai đoạn thứ n có mn cách thực hiện
Khi đó, có: m1.m2…mn cách để hồn thành cơng việc đã cho.

 Hốn vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
a) Hoán vị
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n  ). Mỗi cách sắp xếp n phần
tử của X theo một thứ tự nào đó đƣợc gọi là một hốn vị của n phần tử. Số các
hoán vị của n phần tử đƣợc ký hiệu là Pn.
Pn = n! = 1.2.3…n. Quy ƣớc: 0! = 1.
b) Chỉnh hợp
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n  ). Mỗi cách chọn ra k
( n k 0; k  ) phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó đƣợc gọi là
một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
đƣợc ký hiệu là A kn .
n!
(n k)!

A kn

15


Nhận xét: A nn = n! = Pn.

c) Tổ hợp
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n 0 ). Mỗi cách chọn ra k
( n k 0 ) phần tử của X đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các
tổ hợp chập k của n phần tử đƣợc ký hiệu là C kn .
Ckn

n!
k!(n k)!

 Công thức nhị thức Newton
a) Công thức nhị thức Newton
● Với a,b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n 1 , ta có:
(a

b)n

C0n a n

C1n a n 1b

C2n a n 2b 2

... Cnn 1ab n

1

Cnn b n (1)

● Quy ƣớc: Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ƣớc :
A0 = 1; a-n =

1
.
an

● Chú ý:
Với các điều kiện và quy ƣớc ở trên, đồng thời thêm điều kiện a và b đều
khác 0, có thể viết cơng thức (1) ở dạng sau đây:
n

(a b)

n

n

Ckn a n k bn
k 0

Ckn a k bn
k 0

b) Tam giác Pascal

16

k

.

Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ
hai đến cột n – 1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cộtvà cột trƣớc nó. Sở
dĩ có quan hệ này là do có cơng thức truy hồi Ckn

Ckn

1
1

Ckn 1 (với 1 k

n)

Ứng dụng tam giác Pascal khai triển (x – y)n

 Kiến thức cần nhớ về xác suất

 Biến cố và xác suất biến cố
 Biến cố
a) Phép thử và không gian mẫu
- Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành
động mà:
17


+ Kết quả của nó khơng đốn trƣớc đƣợc.
+ Có thể xác định đƣợc tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép
thử đó.
- Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T đƣợc gọi là khơng gian mẫu của

T và đƣợc kí hiệu là

. Số phần tử của khơng gian mẫu đƣợc kí hiệu là n( ).

b) Biến cố
Tổng quát:
● Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không
xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.
● Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, đƣợc gọi là một kết quả
thuận lợi cho A.
● Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A đƣợc kí hiệu là

A.

 Xác suất
 Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu
là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến
cố liên quan với phép thử T và

A

là một tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì

xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), đƣợc xác định bởi công thức:
P(A)
A

n(A)
n( )

+ n(A): Là số phần tử của A
+ n(

) : Là số phần tử của

Từ định nghĩa, suy ra: 0 P(A) 1, P( ) 1, P( ) 0 .

 Các quy tắc tính xác xuất
 Quy tắc cộng xác suất
a) Biến cố hợp
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là ,A
đƣợc gọi là hợp của hai biến cố A và B. Khi đó:
b) Biến cố xung khắc

18

A

B

.

B


Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B đƣợc gọi là xung khắc nếu
biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra. Khi đó:

A

.

B

c) Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc
● Nếu A và B là biến cố xung khắc thì xác suất biến cố A
P(A

B là

B) = P(A) + P(B)

● Cho n biến cố A1,A2,...., An đôi một là các biến cố xung khắc với nhau.
Khi đó: P(A1

A2 …… An) = P(A1)

P(A2)

……

P(An)

d) Biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “khơng A ”, kí hiệu là A , đƣợc gọi là
biến cố đối của A. Ta nói A và A là hai biến cố đối của nhau.
Khi đó:

P(A) 1 P(A) .

A
A

 Quy tắc nhân xác xuất
a) Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “ A và B cùng xảy ra”, kí hiệu A

B (hay

AB), gọi là giao của hai biến cố A và B.
b) Hai biến cố độc lập
● Hai biến cố đƣợc gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy
ra của biến cố này không làm ảnh hƣởng xác suất xảy ra của biến cố kia.
● Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và B , A và B, A và B
cũng là độc lập.
c) Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập
● Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì ta ln có: P(AB) =
P(A).P(B).
● Cho n biến cố A1,A2,...., An độc lập với nhau từng đơi một.
Khi đó: P(A1,A2,...., An) = P(A1).P(A2)……P(An)
n

hay P(

n

Ai )
1

P(Ai )

1

 Biến ngẫu nhiên rời rạc
19


 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc
Đại lƣợng X đƣợc gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giái trị
bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, khơng dự đốn
trƣớc đƣợc.
 Kì vọng
 Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là
x1, x 2 ,..., xn . Kì vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số đƣợc tính theo cơng thức:
n

E(X) x1p1 x 2p2 ... x n p n

x i pi ,
i 1

ở đó pi

P(X xi ), (i 1,2,...,n)

Ý nghĩa: E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của X. Vì
thế kì vọng E(X) cịn đƣợc gọi là giá trị trung bình của X.
Nhận xét: Kì vọng của X khơng nhất thiết thuộc các giá trị của X.
 Phƣơng sai và độ lệch chuẩn
a) Phƣơng sai
 Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là

x1, x 2 ,..., x n . Phƣơng sai của X, kí hiệu là V(X), là một số đƣợc tính theo cơng

thức:
n

V(X) (x1

) 2 p1 (x 2

) 2 p 2 ... (x n

)2 pn

(x i

) 2 pi ,

i 1

ở đó pi

P(X xi ), (i 1,2,...,n) và

E(X)

Ý nghĩa: Phƣơng sai là một số không âm. Nó cho ta một ý niệm về mức độ
phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phƣơng sai càng lớn thì
độ phân tán này càng lớn.
b) Độ lệch chuẩn
 Định nghĩa: Căn bậc hai của phƣơng sai, kí hiệu là (X) , đƣợc gọi là độ

lệch chuẩn của X, nghĩa là (X)

V(X)

20


II. Thực trạng dạy và học kiến thức tổ hợp xác suất ở một số trƣờng
THPT trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa
- Về phía giáo viên:
+ Giáo viên đánh giá cao tầm quan trọng của việc tổ chức dạy học chủ đề
Tổ hợp – Xác suất theo định hƣớng nhằm hình thành và phát triển năng lực cho
học sinh. Giáo viên xem học sinhlà trung tâm của quá trình dạy học. Các hình
thức mà giáo viên thƣờng tổ chức cho học sinh phát hiện vấn đề đó là học lí
thuyết và làm bài tập. Giáo viên luôn thay đổi phƣơng pháp dạy học theo hƣớng
tích cực để phù hợp với hoạt động học tập của học sinhgiúp học sinhtiếp thu
kiến thức một cách dễ dàng và triệt để. Tuy nhiên hiệu quả của việc dạy học theo
định hƣớng này là chƣa cao do một số nguyên nhân nhƣ: tỉ lệ học sinh tham gia
còn chƣa cao, việc tổ chức học tập theo phƣơng pháp này mất nhiều thời gian
hơn do đó mà một số giáo viên cũng cịn ngần ngại khi tổ chức dạy học theo
phƣơng phápnày.
+ Giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc đƣa ra hệ thống bài tập về Tổ
hợp – Xác suất phong phú sao cho có thể phán đốn tƣơng đối chính xác những
sai lầm học sinh dễ mắc phải đồng thời phù hợp với trình độ nhân thức của họ.
Hệ thống bài tập nhiều khi còn lặp lại nhiều lần, điều này dễ gây nhàm chán cho
học sinh đặc biệt những học sinh khá giỏi.
+ Việc sử dụng các phƣơng pháp dạy học kết hợp với những biện pháp cụ
thể để khắc phục sai lầm cho học sinh trong học tập chủ đề Tổ hợp – Xác suất
vẫn chƣa đƣợc quan tâm đúng mức của một số giáo viên
- Về phía học sinh:

+Tuy là giáo viên có lƣu tâm đến việc tổ chức dạy học theo phƣơng pháp
nhằm hình thành và phát triển năng lực cho HS việc tổ chức này còn diễn ra
chƣa nhiều. Đối với những học sinh thuộc diện khá giỏi thì các em có hứng thú
khi học tập theo phƣơng pháp này tuy nhiên vẫn còn một phần học sinh cịn có
thái độ học tập khơng đúng đắn, các em khơng chịu suy nghĩ thì lại khơng thích
học theo phƣơng pháp này. Do đó mà sự tham gia của học sinh cũng chƣa đạt
đến mức độ tuyệt đối.
21