Áp dụng phép biến đổi laplace giải bài toán biên ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Nguyễn Hữu Việt
ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
GIẢI BÀI TOÁN BIÊN-BAN ĐẦU HỖN HỢP
CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS Hà Tiến Ngoạn
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mở đầu 4
Chương 1. Phép biến đổi Laplace 5
1.1. Phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường . . . 5
1.1.1. Định nghĩa hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . 6
1.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace . . . . . 8
1.1.4. Biến đổi Laplace của đạo hàm hàm gốc . . . . . . 12
1.1.5. Biến đổi Laplace của tích chập . . . . . . . . . . . 14
1.1.6. Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . 17
1.2. Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1. Định nghĩa hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.3. Các phép tính trên không gian các hàm suy rộng 20
1.3. Hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach . . 20
1.4. Biến đổi Laplace với hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1. Biến đổi Laplace của hàm khả vi vô hạn có giá

compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2. Biến đổi Laplace trên không gian các hàm suy rộng
nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . 22
1.4.3. Công thức nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.4. Biến đổi Laplace của tích chập hai hàm suy rộng 25
1.4.5. Điều kiện của hàm ảnh . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2. Bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình
parabolic 30
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
2.1.1. Đặt bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2. Trường hợp hệ số của phương trình không phụ
thuộc vào t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Áp dụng biến đổi Laplace giải bài toán biên-ban đầu hỗn
hợp cho phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1. Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp g = 0 . 34
2.2.2. Trường hợp g = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3. Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1. Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt
(Ω = R
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2. Bài toán phân bố nhiệt độ bên trong một thanh
kim loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 45
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS - TS Hà Tiến Ngoạn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành
kính nhất đến thầy. Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học
mà thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên em trong suốt quá
trình làm luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các các thầy
cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm Thái
Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K17 Trường Đại
học Sư phạm Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập và làm luận văn này.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban
Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang -
Hà Giang đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc
chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được
sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
Học viên
Nguyễn Hữu Việt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mở đầu
Luận văn trình bày tổng quan cơ sở phép biến đổi Laplace đối với các
hàm số một biến t xác định trên nửa trục dương, có độ tăng cấp mũ hữu
hạn và phụ thuộc vào tham số vectơ x.

Trên cơ sở đó, dùng phép biến đổi Laplace như một công cụ để luận
văn trình bày việc nghiên cứu tính giải được và tính duy nhất nghiệm
của bài toán biên-ban đầu hỗn hợp của phương trình parabolic tuyến
tính cấp hai, khi hệ số của phương trình không phụ thuộc vào biến thời
gian t.
Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [5]. Bố cục của
luận văn gồm 2 chương:
• Chương 1 của Luận văn trình bày phép biến đổi Laplace đối với
hàm số thông thường, nhắc lại các khái niệm về hàm suy rộng, hàm
suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach và phép biến đổi
Laplace đối với hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach.
• Chương 2 của Luận văn trình bày bài toán biên-ban đầu hỗn hợp
cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có các hệ số không
phụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng của biến đổi Laplace để
biểu diễn nghiệm của bài toán và một số ví dụ áp dụng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Phép biến đổi Laplace
1.1. Phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường
1.1.1. Định nghĩa hàm gốc
Định nghĩa 1.1. Hàm một biến thực f(t) được gọi là hàm gốc nếu thoả
mãn ba điều kiện sau :
1) f(t) = 0 với mọi t < 0. Điều này được đặt ra vì trong thực tế t
thường là biến thời gian.
2) f(t) liên tục từng khúc trong miền t ≥ 0.
Điều này có nghĩa là nếu lấy một khoảng (a,b) bất kì trên nửa trục
thực t ≥ 0, bao giờ cũng có thể chia nó thành một số hữu hạn các
khoảng nhỏ, sao cho trong mỗi khoảng nhỏ f(t) liên tục và tại mút của
mỗi khoảng nhỏ nó có giới hạn một phía.

3) f(t) không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t → +∞. Nghĩa là tồn tại
M > 0, σ
0
> 0 sao cho
|f(t)| ≤ Me
σ
0
t
, ∀t > 0, (1.1)
trong đó σ
0
được gọi là chỉ số tăng của f(t).
Rõ ràng σ
0
là chỉ số tăng thì mọi số σ
1
> σ
0
cũng là chỉ số tăng.
Ví dụ 1.1. Hàm bước nhảy đơn vị
η (t) =

0 nếu t < 0
1 nếu t ≥ 0
là hàm gốc vì η(t) liên tục với mọi t ≥ 0 và không tăng nhanh hơn hàm
mũ với chỉ số tăng σ
0
= 0.
Ví dụ 1.2. Các hàm sơ cấp cơ bản như f(t) = t
m

, f(t) = sin t, f(t) =
cos t đều liên tục và không tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng vẫn chưa
phải là hàm gốc vì không thoả mãn điều kiện 1) của Định nghĩa 1.1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Tuy nhiên hàm số sau :
f(t)η(t) =

0 nếu t < 0
f(t) nếu t ≥ 0
là một hàm gốc.
1.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace (hay còn gọi là toán tử Laplace) được định
nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.2. Giả sử f(t) là hàm gốc xác định với mọi t > 0. Biến
đổi Laplace của hàm số f(t) được định nghĩa và ký hiệu là
F (p) = L{f(t)}(p) =
+∞

0
e
−pt
f (t) dt. (1.2)
Định lý 1.1. Nếu f(t) là hàm gốc với chỉ số tăng σ
0
thì tồn tại biến đổi
Laplace
F (p) = L{f(t)}(p) =
+∞


0
e
−pt
f (t) dt
xác định với mọi số phức p = σ + iτ sao cho σ > σ
0
và lim
Re(p)→∞
F (p) = 0.
Hơn nữa hàm biến phức F (p) là giải tích trong miền Re(p) > σ
0
với đạo
hàm
F

(p) =
+∞

0
(−t)e
−pt
f (t) dt. (1.3)
Chứng minh. Với mọi p = σ + iτ sao cho σ > σ
0
ta có


f (t) e
−pt



 Me
(σ
0
−σ)t
,
mà
+∞

0
e
(σ
0
−σ)t
dt hội tụ, do đó tích phân
+∞

0
f (t) e
−pt
dt hội tụ tuyệt đối.
Vì vậy tồn tại biến đổi Laplace F(p) và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
|F (p)| 
+∞

0
|f (t) e
−pt

|dt =
+∞

0


f (t) e
−σt
e
−iτt


dt =
+∞

0
|f (t) e
−σt
|dt

+∞

0
Me
(σ
0
−σ)t
dt =
Me
(σ

0
−σ)t
σ
0
− σ




+∞
0
=
M
σ
0
− σ
.
Ngoài ra lim
σ→∞
M
σ − σ
0
= 0 suy ra lim
Re(p)→∞
F (p) = 0.
Tích phân
+∞

0
f(t)e

−pt
dt hội tụ và tích phân
+∞

0
∂
∂p

f(t)e
−pt

dt =
+∞

0
f(t)e
−pt
(−t)dt
hội tụ đều trong miền {p|Re(p)  σ
1
} với mọi σ
1
> σ (theo Định lý
Weierstrass).
Suy ra hàm ảnh F (p) có đạo hàm
F

(p) =
+∞


0
∂
∂p

f(t)e
−pt

dt
tại mọi điểm p thuộc các miền trên.
Vì vậy F (p) giải tích trong miền Re(p) > σ
0
.
Nhận xét 1.1. Từ Ví dụ 1.2 suy ra các hàm sơ cấp cơ bản như f(t) = t
m
,
f(t) = sin t, f(t) = cos t đều có biến đổi Laplace L{f(t)η(t)}. Do đó
thay vì viết đầy đủ L{f(t)η(t)} ta có thể viết tắt L{f(t)}. Chẳng hạn
ta viết L{sin t} thay cho L{sin tη(t)}.
Ví dụ 1.3. Biến đổi Laplace của hàm f(t) = 1 là
F (p) = L{1}(p) =
+∞

0
e
−pt
dt =
e
−pt
−p





+∞
0
=
1
p
Ví dụ 1.4. Cho hàm f(t) = t, biến đổi Laplace của f(t) là
F (p) = L{t}(p) =
+∞

0
e
−pt
tdt =
1
p
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Ví dụ 1.5. Cho hàm f(t) = t
n
, biến đổi Laplace của f(t) là
F (p) = L{t
n
}(p) =
+∞

0

e
−pt
t
n
dt =
1
p
n+1
Ví dụ 1.6. Hàm f(t) = e
αt
, α ∈ R có biến đổi Laplace là
F (p) = L{e
αt
}(p) =
+∞

0
e
−pt
e
αt
dt =
1
p − α
Ví dụ 1.7. Hàm sin t có chỉ số tăng σ
0
= 0 do đó có biến đổi Laplace là
F (p) = L{sin t}(p) =
+∞


0
e
−pt
sin tdt.
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được
F (p) = −cos te
−pt


+∞
0
−
+∞

0
pe
−pt
cos tdt
= 1 −

pe
−pt
sin t|
+∞
0

− p
2
+∞


0
e
−pt
sin tdt.
⇒ (1 + p
2
)F (p) = 1 ⇒ F (p) =
1
1 + p
2
1.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính chất 1.1. Phép biến đổi Laplace có tính tuyến tính. Nếu f(t) và
g(t) có biến đổi Laplace thì Af(t)+Bg(t) cũng có biến đổi Laplace (A, B
là các hằng số) và
L{Af(t) + Bg(t)}(p) = AL{f(t)}(p) + BL{g(t)}(p). (1.4)
Chứng minh. Gọi F (p), G(p) lần lượt là ảnh của f(t) và g(t) qua phép
biến đổi Laplace. Theo định nghĩa
L{Af(t) + Bg(t)}(p) =
+∞

0
e
−pt
[Af(t) + Bg(t)]dt.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Do tính chất tuyến tính của tích phân nên ta có
+∞

0

e
−pt
[Af(t) + Bg(t)]dt = A
+∞

0
e
−pt
dt + B
+∞

0
e
−pt
dt = AF (p) + BG(p).
Thay vào trên ta có
L{Af(t) + Bg(t)}(p) = AF (p) + BG(p).
Ví dụ 1.8.
L{6 + 7 sin t}(p) = 6L{1}(p) + 7L{sin t}(p) =
6
s
+
7
1 + s
2
.
Tính chất 1.2. Phép biến đổi Laplace có tính đồng dạng.
Nếu F (p) = L{f(t)}(p) thì với mọi hằng số λ > 0 ta có
L{f(λt)}(p) =
1

λ
F (
p
λ
). (1.5)
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có
L{f(λt)}(p) =
+∞

0
e
−pt
f(λt)dt.
Đổi biến λt = t
1
, dt =
1
λ
dt
1
ta được
L{f(λt)}(p) =
+∞

0
e
−pt
f(λt)dt =
+∞


0
e
−
p
λ
t
1
f(t
1
)dt
1
=
1
λ
F (
p
λ
).
Ví dụ 1.9.
L{sin ωt}(p) =
1
ω
1
(p/ω)
2
+ 1
=
ω
p
2

+ ω
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Tính chất 1.3. Phép biến đổi Laplace có tính dịch chuyển ảnh. Nếu
F (p) = L{f(t)}(p), thì với ∀a ∈ C ta có
L{e
at
f(t)}(p) = F (p − a). (1.6)
Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.2 ta có
L{e
at
f(t)}(p) =
+∞

0
e
−pt
(e
at
f(t))dt =
+∞

0
e
−(p−a)t
f(t)dt = F (p − a).
Ví dụ 1.10.
L{e

at
t}(p) =
1
(p − a)
2
.
Tính chất 1.4. Phép biến đổi Laplace có tính trễ. Nếu τ là một hằng
số và F (p) = L{f(t)}(p) thì ta có
L{f(t − τ)}(p) = e
−pτ
F (p). (1.7)
Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.2 ta có
L{f(t − τ)}(p) =
+∞

0
e
−pt
f(t − τ)dt.
Đổi biến t
1
= t − τ ta được
+∞

0
e
−pt
f(t−τ)dt =
+∞


0
e
−p(t
1
+τ)
f(t
1
)dt
1
= e
−pτ
+∞

0
e
−pt
1
f(t
1
)dt
1
= e
−pτ
F (p).
Vậy L{f(t − τ)}(p) = e
−pτ
F (p).
Ví dụ 1.11. Ta biết hàm f(t) = e
2t
có hàm ảnh qua biến đổi Laplace

là F (p) =
1
p − 2
. Do đó ảnh của hàm f(t − 1) = e
2(t−1)
qua biến đổi
Laplace là
L{f(t − 1)}(p) = e
−p
F (p) =
e
−p
p − 2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Ví dụ 1.12. Hàm xung (impulse) là hàm chỉ khác 0 trong một khoảng
thời gian nào đó
f(t) =



0 nếu t < a
ϕ(t) nếu a < t < b.
0 nếu t > b
Hàm xung đơn vị trên đoạn [a,b] là
η
a,b
(t) =




0 nếu t < a
1 nếu a < t < b.
0 nếu t > b
⇒ η
a,b
(t) = η(t − a) − η(t − b),
trong đó η(t) là hàm số trong Ví dụ 1.1. Do vậy mọi hàm xung bất kỳ
có thể biểu diễn qua hàm xung đơn vị
f(t) = η(t − a)ϕ(t) − η(t − b)ϕ(t).
Biến đổi Laplace của hàm xung đơn vị là
L{η
a,b
(t)}(p) = L{η(t − a)}(p) − L{η(t − b)}(p) =
e
−ap
− e
−bp
p
.
Ví dụ 1.13. Tìm biến đổi Laplace của hàm xung
f(t) =



0 nếu t < 0
sin t nếu 0 < t < π.
0 nếu t > π
Ta có

f(t) = η(t) sin t − η(t − π) sin t = η(t) sin t + η(t − π) sin(t − π)
Vậy
L{f(t)}(p) =
1
p
2
+ 1
e
−πp
p
2
+ 1
=
1 + e
−πp
p
2
+ 1
Ví dụ 1.14. Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang
f(t) =












0 nếu t < 0
2 nếu 0 < t < 1
4 nếu 1 < t < 2
1 nếu 2 < t < 3
0 nếu t > 3
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Ta có
f(t) = 2η
0,1
(t) + 4η
1,2
(t) + η
2,3
(t)
= 2[η(t) − η(t − 1)] + 4[η(t − 1) − η(t − 2)] + [η(t − 2) − η(t − 3)]
= 2η(t) + 2η(t − 1) −3η(t − 2) − η(t − 3).
Do đó
L{f(t)}(p) =
2 + 2e
−p
− 3e
−2p
− e
−3p
p
.
Tính chất 1.5. Quan hệ với biến đổi Fourier. Nếu f(t) là hàm có tính

chất f(t) = 0 với ∀t < 0 thì ta có
L{f(t)}(σ + iτ) = F{e
−σt
f(t)}(τ), (1.8)
trong đó F{g(t)}(τ ) là biến đổi Fourier của g(t) thuộc L
1
(R) và được
xác định theo công thức sau
F{g(t)}(τ ) =
+∞

−∞
e
−itτ
g(t)dt.
Chứng minh. Thật vậy, với f(t) là hàm có tính chất f(t) = 0 với
∀t < 0 thì
L{(f(t)}(σ + iτ) =
+∞

−∞
e
−(σ+iτ)t
f(t)dt =
+∞

−∞
e
−iτt
(e

−σt
f(t))dt
= F{e
−σt
f(t)}(τ).
1.1.4. Biến đổi Laplace của đạo hàm hàm gốc
a. Đạo hàm cấp 1 :
Định lý 1.2. Giả sử f(t) là hàm gốc và có đạo hàm f

(t) cũng là các
hàm gốc. Khi đó ta có
L{f

(t)}(p) = pF (p) − f(0). (1.9)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Chứng minh. Ta có
L{f

(t)}(p) =
+∞

0
e
−pt
f

(t)dt.
Áp dụng công thức tính phân từng phần ta được
+∞


0
e
−pt
f

(t)dt = e
−pt
f(t)


+∞
0
−
+∞

0
f(t)(−pe
−pt
)dt = e
−pt
f(t)


+∞
0
.
Do |f(t)| ≤ Me
σ
0

t
, nên nếu Re(p) = σ > σ
0
thì
|f(t)e
−pt
| ≤ Me
(σ−σ
0
)t
→ 0 khi t → +∞.
Ta có
e
−pt
f(t)


+∞
0
= −f(0).
Thay vào trên ta được
L{f

(t)}(p) =
+∞

0
e
−pt
f


(t)dt = pF (p) − f(0).
b. Đạo hàm cấp cao :
Định lý 1.3. Giả sử hàm f(t) có đạo hàm đến cấp n và f(t), f

(t),
f
(n)
(t) đều là các hàm gốc. Khi đó ta có
L{f
(n)
(t)}(p) = p
n
F (p) − p
n−1
f(0) − pf
(n−2)
f

(0) − − f
(n−1)
(0).
(1.10)
Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.2 ta có
L{f
(n)
(t)}(p) =
+∞

0

e
−pt
f
(n)
(t)dt.
Áp dụng công thức (1.9) cho L{f
(n)
(t)}(p) ta được
L{f
(n)
(t)}(p) = pL{f
(n−1)
}(p) − f
(n−1)
(0).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Tương tự áp dụng công thức (1.9) cho L{f
(n−1)
(t)}(p) ta được
L{f
(n)
(t)}(p) = p
2
L{f
(n−2)
}(p) − pf
(n−2)
(0) − f
(n−1)

(0).
Áp dụng công thức (1.9) liên tiếp như vậy thì cuối cùng ta được
L{f
(n)
(t)}(p) = p
n
F (p) − p
n−1
f(0) − pf
(n−2)
f

(0) − − f
(n−1)
(0).
1.1.5. Biến đổi Laplace của tích chập
a. Định nghĩa tích chập của hai hàm gốc.
Định nghĩa 1.3. Tích chập của hai hàm gốc f(t) và g(t) với t ≥ 0 là
hàm số được ký hiệu và xác định bởi công thức
(f ∗ g)(t) =
t

0
f(τ)gτ (t − τ)dτ. (1.11)
Ví dụ 1.15. Cho f(t) = 5 và g(t) = sin t, ta có :
(f ∗ g)(t) =
t

0
5 sin(t − τ)dτ = 5 cos(t − τ)|

t
0
= 5 − 5 cos t.
b. Tính chất.
Tính chất 1.6. Tích chập có tính giao hoán. Cho hai hàm số f(t) và
g(t) với t  0 ta có
(f ∗ g)(t) = (g ∗ f)(t). (1.12)
Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.3 ta có
(f ∗ g)(t) =
t

0
f(τ)g(t − τ)dτ.
Đặt τ
1
= t − τ ⇒ dτ
1
= −dτ.
⇒ (f ∗g)(t) =
t

0
f(τ)g(t − τ)du =
t

0
f(t − τ
1
)g(τ
1

)dτ
1
= (g ∗ f)(t).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Ví dụ 1.16. Tính tích chập e
t
∗ t =
t

0
e
τ
(t − τ )dτ.
Tính tích phân bên vế phải bằng phương pháp tích phân từng phần ta
được
e
t
∗ t =
t

0
e
τ
(t − τ )dτ = t(e
t
− 1) − (te
t
− e
t

+ 1) = e
t
− t − 1.
Tính chất 1.7. Tích chập có tính chất kết hợp. Cho các hàm số f(t),
g(t) và h(t) với t  0 ta có
(f ∗ (g ∗ h))(t) = ((f ∗ g) ∗ h)(t). (1.13)
Tính chất 1.8. Nếu f(t) và g(t) là hai hàm gốc thì tích chập của chúng
(f ∗ g)(t) cũng là hàm gốc.
c. Biến đổi Laplace của tích chập.
Định lý 1.4. Nếu F(p) = L{f(t)}(p) và G(p) = L{g(t)}(p) thì ta có
L{f ∗ g}(p) = F (p)G(p). (1.14)
Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.3 ta có
(f ∗ g)(t) =
t

0
f(τ)g(t − τ)dτ.
⇒ L{f ∗g} =
+∞

0
e
−pt
dt
t

0
f(τ)g(t − τ)dτ.
Xét tích phân bên vế phải. Vì ứng với t cố định thì tích phân theo τ lấy
từ 0 đến t, sau đó cho t biến thiên từ 0 đến +∞ nên vế phải tích phân

lặp lấy trong miền quạt G: 0 < arg(t + jτ) <
π
4
. Vì khi Re(p) > σ + 1
thì do tính chất của tích chập, tích phân lặp này hội tụ tuyệt đối. Do
vậy, ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân.
+∞

0
e
−pt
dt
t

0
f(τ)g(t − τ)dτ =
+∞

0
f(τ)dτ
+∞

t
e
−pt
g(t − τ)dτ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Đổi biến t
1

= t − τ ta có
+∞

τ
e
−pt
g(t − τ)dτ = e
−pt
+∞

0
e
−pt
1
g(t
1
)dt
1
.
Vậy
+∞

0
e
−pt
dt
t

0
f(τ)g(t − τ)dτ =

+∞

0
e
−pτ
f(τ)dτ
+∞

0
e
−pt
1
g(t
1
)dt
1
= F (p)G(p).
Nghĩa là L{f ∗ g} = F (p)G(p).
Ví dụ 1.17.
L{t ∗ sin t} = L{t}L{sin t} =
1
p
2
1
p
2
+ 1
=
1
p

2
(p
2
+ 1)
.
d. Cặp công thức Duhamel.
Định lý 1.5. Nếu F (p) = L{f(t)} và G(p) = L{g(t)} thì ta có cặp công
thức Duhamel như sau :
pF (p)G(p) = L{f(0)g(t) + f

∗ g}. (1.15)
pF (p)G(p) = L{g(0)f(t) + f ∗ g

}. (1.16)
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh công thức (1.15) và do tính chất
đối xứng ta suy ra công thức (1.16).
Theo công thức đạo hàm của hàm gốc (1.9) ta có
L{f

(t)} = pF (p) − f(0).
Áp dụng công thức (1.14), tích chập của hai hàm số f

(t) và g(t) là
L{f

∗ g} = L{f

}L{g} = [pF (p) − f(0)]G(p).
Mặt khác ta có
L{f(0)g(t)} = f(0)G(p).

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên với nhau ta được
L{f(0)g(t)}+ L{f

∗ g} = f(0)G(p) + [pF (p) − f(0)]G(p) = pF (p)G(p)
⇒ L{f(0)g(t) + f

∗ g} = pF (p)G(p).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
1.1.6. Phép biến đổi Laplace ngược
Như ta đã biết, phép biến đổi Laplace biến một hàm gốc cho trước
thành một hàm ảnh. Trong mục này ta sẽ đi xét bài toán ngược lại. Tức
là cho trước hàm ảnh, ta sẽ đi tìm hàm gốc. Tuy nhiên, không phải hàm
nào cũng có thể là hàm ảnh được. Ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một
hàm nào đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó.
a. Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược.
Định nghĩa 1.4. Cho hàm F (p), nếu tồn tại hàm gốc f(t) sao cho
L{f(t)}(p) = F (p) thì ta nói f(t) là biến đổi Laplace ngược của F (p) và
ký hiệu là
f(t) = L
−1
{F (p)}. (1.17)
Ví dụ 1.18. Cho hàm f(t) = t, biến đổi Laplace của f(t) là
F (p) = L{t}(p) =
+∞

0
e
−pt
tdt =

1
p
2
.
Do đó
f(t) = L
−1

1
p
2

.
b. Quan hệ giữa gốc và ảnh.
Định lý 1.6. Nếu f(t) là một hàm gốc với chỉ số tăng σ
0
và L{f(t)} =
F (p) thì tại mọi điểm liên tục t của hàm f(t) ta có
f(t) =
1
2πi
σ+i∞

σ−i∞
e
pt
F (p)dp, (1.18)
trong đó tích phân vế phải được lấy trên đường thẳng Re(p) = σ theo
hướng từ dưới lên, với σ là số thực bất kì lớn hơn σ
0

.
Công thức (1.18) được gọi là công thức nghịch đảo của Mellin. Ta
thừa nhận mà không chứng minh định lý trên.
c. Điều kiện đủ để một hàm có biến đổi ngược.
Định lý 1.6 cho thấy không phải mọi hàm phức giải tích nào cũng có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
biến đổi ngược. Chẳng hạn hàm F (p) = p
2
không thể là ảnh của hàm
gốc nào vì lim
Re(p)→∞
F (p) = ∞.
Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi
ngược.
Định lý 1.7. Giả sử hàm phức F (p) thoả mãn ba điều kiện sau :
i) F (p) giải tích trong nửa mặt phẳng Re(p) > σ
0
.
ii) |F (p)| ≤ M
R
với mọi p thuộc đường tròn |p| = R và lim
R→∞
M
R
= 0.
iii) Tích phân
σ+i∞

σ−i∞

F (p)dp hội tụ tuyệt đối.
Khi đó F (p) có biến đổi ngược là hàm gốc f(t) cho bởi công thức
f(t) =
1
2πi
σ+i∞

σ−i∞
e
pt
F (p)dp.
1.2. Hàm suy rộng
1.2.1. Định nghĩa hàm suy rộng
Định nghĩa 1.5. Cho tập D = D(R) gồm tất cả những hàm khả vi
vô hạn và có giá compact trong R. Khi đó sự hội tụ trong D được định
nghĩa như sau: Dãy {ϕ
n
}
∞
n=1
⊂ D được gọi là hội tụ tới hàm ϕ trong D
nếu thoả mãn các điều kiện dưới đây :
i) Tồn tại tập compact K ⊂ R sao cho suppϕ
n
⊂ K, với ∀n.
ii) ∀k ∈ N: D
k
ϕ
n
(t) hội tụ đều đến D

k
ϕ(t) trên K.
Tập D cùng với sự hội tụ trên được gọi là không gian các hàm cơ bản.
Định nghĩa 1.6. Gọi D

= D

(R) là tập gồm tất cả những phiếm hàm
tuyến tính liên tục trong không gian các hàm cơ bản D. Tập D

cùng với
sự hội tụ yếu trong D

được gọi là không gian các hàm suy rộng. Trong
đó sự hội tụ yếu trong D

được định nghĩa như sau :
Dãy (f
n
)
n=1,2,
∈ D

được gọi là hội tụ về f ∈ D

(viết là f
n
→ f khi
n → ∞ trong D


) nếu ∀ϕ ∈ D thì
f
n
, ϕ → f, ϕ khi n → ∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
1.2.2. Các ví dụ
Ví dụ 1.19. Giả sử f là hàm thuộc L
1
loc
(R), tức là hàm khả tích địa
phương. Khi đó phiếm hàm tuyến tính
f(ϕ) = f, ϕ =

R
f(t)ϕ(t)dt, (1.19)
với ϕ(t) ∈ D(R), là hàm suy rộng thuộc D

(R).
Chứng minh. Giả sử suppϕ ⊂ [−A, A]. Khi đó tích phân
f, ϕ =
A

−A
f(t)ϕ(t)dt
tồn tại do ϕ(t) là hàm bị chặn và f(t) là hàm khả tích trên [−A, A].
Cho ϕ
n
(t) → 0 trong D(R) thì
1) Tồn tại tập compact K ⊂ R, suppϕ

n
⊂ K.
2) sup
K
|ϕ
n
(t)| → 0.
Ta có
|f, ϕ
n
| =







K
f(t)ϕ(t)dt






 sup
K
|ϕ
n

(t)|

K
|f(t)|dt → 0.
Do đó, phiếm hàm tuyến tính trên là liên tục.
Ví dụ 1.20. Giả sử f ∈ L
p
(R) với 1 ≤ p ≤ +∞. Khi đó phiếm hàm
tuyến tính f(ϕ) xác định bởi công thức
f(ϕ) = f, ϕ =

R
f(t)ϕ(t)dt, (1.20)
với ϕ(t) ∈ D(R), là hàm suy rộng thuộc D

(R).
Trong đó L
p
(R) là tập hợp tất cả các hàm số xác định và đo được trên
R sao cho
f
L
p
≡



R
|f(t)|
p

dt


1
p
< ∞. (1.21)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chứng minh. Ta có L
p
(R) ⊂ L
1
loc
(R), với mọi 1  p  ∞. Thật vậy
a) Trường hợp p = ∞. Hàm f(t) ∈
∞
(R), nên bị chặn đều trên R và
do đó là khả tích địa phương.
b) Trường hợp 1  p < ∞. Giả sử [a, b] là đoạn bất kỳ trên R. Với
hàm f(t) ∈ L
p
(R), theo bất đẳng thức Holder ta có
b

a
|f(t)|dt =
b

a
1.|f(t)|dt 



b

a
1
q
dt


1
q


b

a
|f(t)|
p
dt


1
p
 (b − a)
1
q
f(t)
L
p

(R)
,
trong đó 1 ≤ p, q < +∞ và
1
p
+
1
q
= 1.
Do vậy f(t) khả tích trên [a, b].
1.2.3. Các phép tính trên không gian các hàm suy rộng
a. Phép tính đạo hàm
Cho f ∈ D

, khi đó đạo hàm cấp k của f, kí hiệu là f
(k)
được định nghĩa
theo công thức sau
f
(k)
, ϕ = (−1)
k
f, ϕ
(k)
. (1.22)
b. Phép nhân với hàm khả vi vô hạn
Cho ψ(t) là hàm khả vi vô hạn trên R. Khi đó phép nhân hàm f ∈ D

với ψ(t) được định nghĩa theo công thức sau
ψ(t)f, ϕ = f, ψϕ. (1.23)

1.3. Hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach
Cho E là một không gian Banach. Tương tự như trên, ta ký hiệu
D(R) là không gian các hàm C
∞
trên trục thực, nhận giá trị thực và có
giá compact. Khi đó không gian D

(E) được gọi là không gian của các
ánh xạ tuyến tính liên tục từ D vào E, và được gọi là không gian các
hàm suy rộng nhận giá trị trong E. Trong không gian D

(E) cũng có thể
định nghĩa hai phép toán là: phép tính đạo hàm và nhân với hàm khả
vi vô hạn bất kỳ giống như trong D

(R).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Ví dụ 1.21. Cho f(t) ∈ D

(R), a ∈ E. Khi đó phiếm hàm f(t)a ∈ D

(E),
trong đó
f(t)a, ϕ(t) = f, ϕa.
Ví dụ 1.22. Cho a ∈ E. Xét phiếm hàm δ
a
(t) được định nghĩa bởi
δ
a

(t), ϕ = ϕ(0)a. (1.24)
Khi đó, δ
a
(t) ∈ D

(E).
1.4. Biến đổi Laplace với hàm suy rộng
1.4.1. Biến đổi Laplace của hàm khả vi vô hạn có giá compact
Định lý 1.8. (Định lý Paley-Wiener) Giả sử ϕ(t) ∈ D(R), trong đó
D(R) là tập các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên R, tức là với
mọi A > 0 thì
suppϕ ⊂ [−A, A] ⊂ R,
trong đó,
suppϕ = {t ∈ R; ϕ(t) = 0}.
Khi đó biến đổi Laplace
L{ϕ}(p) =
A

−A
e
−pt
ϕ(t)dt
xác định với mọi p ∈ C và là hàm giải tích trên C, hơn nữa với ∀N ∈ N,
∃C
N
> 0 sao cho
|L{ϕ}(p)| C
N
e
A|Re(p)|

(1 + |p|)
−N
. (1.25)
Ngược lại, giả sử F (p) là một hàm giải tích trên C và thoả mãn tính
chất sau : ∃A = A(F ) > 0, ∀N ∈ N, ∃C
N
> 0 ta có
|F (p)|  C
N
e
A|Re(p)|
(1 + |p|)
−N
. (1.26)
Khi đó ∃ϕ(t) ∈ D(R), suppϕ ⊂ [−A, A] với
L{ϕ(t)}(p) = F (p).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Ta ký hiệu L(D(R)) là tập hợp các hàm F (p) giải tích trên C sao cho
thoả mãn (1.25), trong đó A > 0 là một hằng số phụ thuộc F (p).
Cho dãy {F
n
(p)} ⊂ L(D(R)). Ta nói F
n
(p) → 0 trong L(D(R)) nếu nó
thoả mãn hai điều kiện sau
i) ∃A > 0 chung cho mọi F
n
(p) trong bất đẳng thức (1.26).
ii) Với ∀N ∈ N thì

sup
C
(e
−A|Re(p)|
(1 + |p|)
N
|F
n
(p)|) → 0, khi n → ∞.
Tập hợp L(D(R)) với sự hội tụ trên là không gian vectơ tôpô.
1.4.2. Biến đổi Laplace trên không gian các hàm suy rộng
nhận giá trị trong không gian Banach
Như ta đã biết ở phần trước, biến đổi Laplace của một hàm f(t) được
xác định bởi công thức
L{f}(σ + iτ) =
+∞

0
e
−(σ+iτ)t
f(t)dt, (1.27)
trong đó σ + iτ là một biến phức (thường được ký hiệu là p).
Ta có thể mở rộng cận lấy tích phân ra toàn bộ trục thực bằng cách đặt
f(t) = 0 với ∀t < 0. Khi đó công thức (1.27) được viết lại như sau
L{f}(σ + iτ) =
+∞

−∞
e
−iτt

(e
−σt
f(t))dt. (1.28)
Suy ra
L{f}(σ + iτ) = F{e
−σt
f(t)}(τ), (1.29)
với F{e
−σt
f(t)}(τ) chính là biến đổi Fourier của e
−σt
f(t), trong đó biến
đổi Fourier của g(t) được định nghĩa theo công thức sau
F{g(t)}(τ ) =

R
e
−itτ
g(t)dt. (1.30)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Ta ký hiệu D

+
là tập hợp các hàm suy rộng T trên trục thực thoả mãn
T = 0 trong (−∞, 0). Chẳng hạn δ
a
(t) ∈ D

+

(E). Khi đó ta sẽ mở rộng
phép biến đổi Laplace cho các hàm suy rộng T ∈ D

+
(E).
Giả sử f(t) là hàm gốc thông thường và ϕ(t) ∈ D(R). Khi đó e
−σt
f(t) ∈
L
2
(R), e
σt
ϕ(t) ∈ L
2
(R).
Do đó theo công thức Parseval ta có
f, ϕ =
+∞

0
f(t)ϕ(t)dt =
+∞

0
(e
−σt
f(t))(e
σt
ϕ(t))dt
=


R
(e
−σt
f(t))(e
σt
ϕ(t))dt =
1
2π

R
F{e
−σt
f(t)}F{e
σt
ϕ(t)}dt. (1.31)
Mà theo công thức (1.30) và (1.31) ta có
F{e
σt
ϕ(t)}(τ) =

R
e
−itτ
e
σt
ϕ(t)dt =

R
e

itτ
e
σt
ϕ(t)dt
=

R
e
−itτ
e
−σt
ϕ(−t)dt = F{e
−σt
ϕ(−t)}(τ)
= L{ϕ(−t)}(σ + iτ). (1.32)
Từ (1.31) và (1.32) ta có
f, ϕ =
1
2π

R
L{f(t)}(σ + iτ)L{ϕ(−t)}(σ + iτ )dτ
=
1
2π
L{f(t)}(σ + iτ), L{ϕ(−t)}(σ + iτ). (1.33)
Giả sử T ∈ D

(E). Từ công thức (1.33) ta suy ra định nghĩa biến đổi
Laplace đối với T như sau

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Định nghĩa 1.7. Biến đổi Laplace của T ∈ D

(E), ký hiệu là L{T }(p)
là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian L(D(R)) và được
xác định theo công thức
L{T }(p), L{ϕ(t)}(p) = 2πT, ϕ(−t). (1.34)
Ví dụ 1.23. Giả sử T = δ
a
(t). Khi đó
L{δ
a
(t)} = 1
p
a, (1.35)
trong đó 1
p
là hàm số đồng nhất bằng 1 theo biến p.
Thật vậy, ta có
L{δ
a
(t)}(p), L{ϕ(t)}(p) = 2πδ
a
(t), ϕ(−t)
= 2π
1
2π
+∞


−∞
e
(σ+iτ)t
L{ϕ(t)}(σ + iτ)dτ



t=0
=
+∞

−∞
L{ϕ(t)}(σ + iτ)dτ = 1
p
, L{ϕ(t)}(p).
1.4.3. Công thức nghịch đảo
Ta có công thức nghịch đảo cho khai triển Laplace như sau
T = F
−1
{e
σt
L{T }(σ + iτ)}. (1.36)
Trong công thức trên, F
−1
là biến đổi Fourier ngược, biến đổi các hàm
suy rộng biến τ thành các hàm suy rộng biến t, σ đóng vai trò là tham
số.
Công thức (1.36) có thể được viết lại như sau
T = (2π)
−1

+∞

−∞
e
(σ+iτ)t
L{T }(σ + iτ)dτ. (1.37)
Đổi biến p = σ + iτ ta được
T =
1
2πi

γ
e
pt
L{T }(p)dp, (1.38)
trong đó γ là một đường thẳng đứng {p; Re(p) = σ > σ
0
}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên