Định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————–
NGUYỄN THU HUYỀN
ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS PHẠM VIỆT ĐỨC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Đa tạp hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Cấu trúc phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Cấu trúc hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5. Đa tạp hầu phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . 8
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg). . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức . . . . 12
1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.4. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.5. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.6. Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
1.4.7. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.8. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.9. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.10. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.11. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.12. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.13. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.14. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.15. Họ đồng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục. . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức
17
1.5.1. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.5. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.6. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6. Định lý tham số hoá của Brody . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. Một số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả
chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1. Tổng quát hoá định lý Picard lớn. . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi 22
2.1.2. Thác triển các đường cong J-chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3. Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao. . . . . . . . . . . 30
2.2. Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi . . . . . . . 32
2.2.1. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.4. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.5. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
2.2.6. Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.7. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mở đầu
Một trong những ứng dụng quan trọng của các không gian phức
hyperbolic là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức.
Việc mở rộng định lý Picard lớn và nghiên cứu các định lý thác triển hội
tụ kiểu Noghuchi đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên
cứu trong cả trường hợp đa tạp phức và đa tạp hầu phức.
Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của F.
Haggui và A. Khalfallah[H-K] theo hướng nghiên cứu nói trên.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình
bày các kết quả chính của luận văn trong chương 2. Cụ thể là: Đa tạp
hầu phức, giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức, giả metric

vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình
bày một số kết quả về thác triển các đường cong giả chỉnh hình và một
tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic của các đa tạp hầu phức. Phần
tiếp theo là một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đối với các
ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo
của PGS.TS Phạm Việt Đức. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới
thầy của mình, người đã chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian
tôi học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô
giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy động viên tôi
trong suốt thời gian học tập. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh
đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Tuyên Quang, những bạn bè đồng nghiệp và
đặc biệt là người thân trong gia đình đã động viên, ủng hộ tôi về mọi
mặt để tôi có thể hoàn thành khóa học của mình.
Trong quá trình làm luận văn chắc không thể tránh khỏi những sai
sót, rất mong độc giả đóng góp ý kiến. Tôi xin trân trọng cảm ơn.
Thái nguyên, tháng 8 năm 2011
TÁC GIẢ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Đa tạp hầu phức
1.1.1. Cấu trúc phức

Giả sử V là R-không gian vectơ và J : V −→ V là R-đẳng cấu. J
được gọi là một cấu trúc phức trên V nếu
J
2
:= J ◦ J = −Id.
Giả sử J là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ V , khi đó ta có thể
xây dựng V thành C-không gian vectơ bằng cách đặt
(α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv.
Giả sử V là C-không gian vectơ có cơ sở là {v
1
, v
2
, , v
n
}. Xem V là
R-không gian vectơ V
R
, xét
J : V
R
−→ V
R
v −→ Jv = iv.
Khi đó J là cấu trúc phức trên V
R
và không gian phức mà nó cảm
sinh ra trùng với không gian vectơ phức V ban đầu.
1.1.2. Nhận xét
V
R

có R-cơ sở là {v
1
, v
2
, , v
n
, Jv
1
, Jv
2
, , Jv
n
}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
1.1.3. Ví dụ
a)
C
n
= {(z
1
, , z
n
) : z
j
= x
j
+ iy
j
∈ C}

∼
=
R
2n
= {(x
1
, y
1
, x
2
, y
2
, , x
n
, y
n
)} .
J : R
2n
→ R
2n
cho bởi:
J((x
1
, y
1
, , x
n
, y
n

)) = (−y
1
, x
1
, , −y
n
, x
n
).
Khi đó J là cấu trúc phức trên R
2n
.
b) Giả sử M là đa tạp phức m chiều. Khi đó nó cảm sinh ra M
0
là
đa tạp thực nhẵn 2m chiều.
Gọi T
x
(M
0
) là không gian tiếp xúc thực của M
0
tại x và gọi T
x
(M)
là không gian tiếp xúc phức của M tại x.
Giả sử (U, h) là một bản đồ địa phương của M quanh x.
Ta có
h : U −→ U


⊂ C
m
h = (h
1
, h
2
, , h
n
), cảm sinh ra

h : U −→ R
2m
cho bởi

h(x) = (Reh
1
(x), Imh
1
(x), , Reh
m
(x), Imh
m
(x)).
Ta có (U,

h) là một bản đồ địa phương của M
0
quanh x.
Gọi


∂
∂z
1




x
, ,
∂
∂z
n




x

là C-cơ sở của T
x
(M).
Nó cảm sinh ra

∂
∂x
j





x
,
∂
∂y
j




x

n
j=1
là R-cơ sở của T
x
(M
0
).
Xét
J : T
x
(M
0
) −→ T
x
(M
0
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8

cho bởi
v = α
1
.
∂
∂x
1




x
+ β
1
.
∂
∂y
1




x
+ + α
n
.
∂
∂x
n





x
+ β
n
.
∂
∂y
n




x
∈ T
x
(M
0
)
thì
J
v
= (−β
1
)
∂
∂x
1





x
+ α
1
∂
∂y
1




x
+ + (−β
n
)
∂
∂x
n




x
+ α
n
∂
∂y
n





x
.
Khi đó J là cấu trúc phức trên T
x
(M
0
).
1.1.4. Cấu trúc hầu phức
Giả sử M là đa tạp vi phân 2n chiều. Gọi π : TM → M là phân thớ
tiếp xúc thực.
Giả sử J : T(M) → T(M) là một tự đẳng cấu của T(M) liên kết với
ánh xạ đồng nhất trên M thỏa mãn
∀x ∈ M : J
x
= J




T
x
(M)
: T
x
(M) → T
x

(M)
là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ T
x
(M).
Khi đó J được gọi là cấu trúc hầu phức trên M.
1.1.5. Đa tạp hầu phức
(M, J) được gọi là một đa tạp hầu phức nếu M là một đa tạp vi phân
chẵn 2n chiều được trang bị một cấu trúc hầu phức J.
1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo
hàm
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử M là đa tạp vi phân m chiều.
Đặt
T (M)
C
= T (M) ⊗
R
C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Tương tự ta định nghĩa
T
∗
(M)
C
= T
∗
(M) ⊗
R
C.

Từ đó ta định nghĩa tích ngoài
ΛT
∗
(M)
C
và ε
r
(M)
C
= ε(M, Λ
r
T
∗
(M)
C
).
Gọi ε
r
(M) là không gian các dạng vi phân bậc r với giá trị phức.
Tức là với ϕ ∈ ε
r
(M), ta có
ϕ(x) =

|I|=r

ϕ
I
(x)dx
I

trong đó ϕ
I
là hàm giá trị phức và

1≤i
1
<i
2
< <i
k
≤m
=

|I|=r

.
Khi đó ta có dãy
ε
0
(M)
d
−→ ε
1
(M)
d
−→
d
−→ ε
m
(M) −→ 0 với d

2
= 0.
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, khi đó
J : T
x
(M)
C
→ T
x
(M)
C
là đẳng cấu trên phân thớ vectơ phức T (M)
C
.
Ta đặt
T
1,0
(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng i của J.
T
0,1
(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng −i của J.
Xét đẳng cấu liên hợp
Q : T (M)
C
−→ T (M)
C
được cho trên mỗi thớ bởi Q(v
x
) = iv
x

; v
x
∈ T
x
M
C
.
Khi đó Q cảm sinh ra đẳng cấu từ T
1,0
(M) tới T
0,1
(M).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Xét T
∗
(M)
1,0
và T
∗
(M)
0,1
lần lượt là các phân thớ đối hợp của
T
1,0
(M), T
0,1
(M). Ta có
T
∗

(M)
C
= T
∗
(M)
1,0
⊕ T
∗
(M)
0,1
và có nhúng tự nhiên
ΛT
∗
(M)
1,0
→ ΛT
∗
(M)
C
ΛT
∗
(M)
0,1
→ ΛT
∗
(M)
C
.
Đặt
ε

p,q
(M) = ε(M, Λ
p,q
T
∗
(M))
ε
r
(M) =

p+q=r
ε
p,q
(M).
Xét phép chiếu tự nhiên
π
p,q
: ε
r
(M) −→ ε
p,q
(M); (p + q = r).
Xét hạn chế d := d




ε
p,q
(M)

Ta có
d : ε
p,q
(M) −→ ε
p+q+1
(M) =

r+s=p+q+1
ε
r,s
(M).
Đặt ∂ : ε
p,q
(M) −→ ε
p+1,q
(M) cho bởi ∂ = π
p+1,q
◦ d.
Đặt ∂ : ε
p,q
(M) −→ ε
p,q+1
(M) cho bởi ∂ = π
p,q+1
◦ d.
Thác triển tuyến tính ∂, ∂ lên toàn
ε
∗
(M) =
dim M =m


r=0
ε
r
(M)
ta được
∂, ∂ : ε
r
(M) −→ ε
r+1
(M).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
1.2.2. Định nghĩa
Cấu trúc hầu phức J được gọi là khả tích nếu
d = ∂ + ∂.
1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg)
Giả sử (X, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử J là khả tích thì tồn tại
duy nhất một cấu trúc đa tạp phức trên X sao cho nó cảm sinh ra cấu
trúc hầu phức J.
1.2.4. Nhận xét
Nếu (M, J) là đa tạp phức thì J là cấu trúc hầu phức khả tích.
1.3. Hàm đa điều hòa dưới
1.3.1. Định nghĩa
Giả sử r là hàm lớp C
2
trên M, khi đó ta định nghĩa dạng Levi của
r trên T(M) như sau:
L
J

(r)(X) := −d(J
∗
dr)(X, JX)
1.3.2. Định nghĩa
Một hàm nửa liên tục trên u trên (M, J) được gọi là hàm J-đa điều
hòa dưới trên M nếu u ◦ f là điều hòa dưới trên ∆, ∀f ∈ O
J
(∆, M).
Khi đó ta có đặc trưng sau đây về hàm đa điều hòa dưới.
1.3.3. Mệnh đề
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử u là C
2
-hàm giá trị thực
trên M. Khi đó u là J-đa điều hòa dưới trên M nếu và chỉ nếu :
L
J
(u)(X) ≥ 0, ∀X ∈ T (M).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Chú ý: Ta nói rằng một hàm C
2
-giá trị thực u trên M là J-đa điều
hòa dưới chặt trên M nếu L
J
(u) xác định dương trên TM.
1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu
phức
Ký hiệu J
0
là cấu trúc hầu phức chuẩn tắc trong R

2n
.
1.4.1. Định nghĩa
+) Một ánh xạ trơn f : (M, J
M
) −→ (N, J
N
) giữa hai đa tạp hầu
phức được gọi là (J
M
, J
N
)-chỉnh hình nếu các đạo hàm của nó giao hoán
với cấu trúc hầu phức, tức là
f
∗
◦ J
M
= J
N
◦ f
∗
.
Ký hiệu
O((M, J
M
), (N, J
N
) hay O
J

M
,J
N
(M, N)
là tập hợp tất cả các ánh xạ (J
M
, J
N
)-chỉnh hình từ M vào N.
Đặc biệt, nếu M là một miền trong C
n
với J
M
là J
0
trên R
2n
, thì tập
O((M, J
M
), (N, J
N
))
được ký hiệu đơn giản là
O(M, (N, J
N
))
và mỗi f ∈ O(M, (N, J
N
)) được gọi một cách đơn giản là J-chỉnh hình.

+) Với mỗi r > 0 ta đặt ∆
r
= {z ∈ C : |z| < r} . Với r = 1 ta kí
hiệu ∆ = ∆
1
là đĩa đơn vị trong C.
Nếu (M, J
M
) = (

, J
0
) trong đó J
0
là cấu trúc phức chính tắc trên
diện Riemann

, thì ánh xạ (J
0
, J
N
)-chỉnh hình được gọi là đường cong
J-chỉnh hình hay đường cong giả chỉnh hình trên (N, J
N
).
Kí hiệu O
J
(

, N) là tập tất cả các đường cong J-chỉnh hình trên N.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
1.4.2. Bổ đề
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức. Giả sử ∆ là đĩa đơn vị trong
C. Khi đó tập tất cả các ánh xạ J-chỉnh hình từ ∆ −→ M là đóng theo
tôpô compact mở.
Chứng minh
Giả sử (f
n
)
n∈N
là một dãy các ánh xạ J chỉnh hình từ ∆ vào (M, J)
hội tụ đều trên mỗi tập compact của ∆ đến f. Chọn hai tập compact
K và K

của ∆ sao cho K là phần trong của K

. Theo chứng minh của
Sikorav [Sk, mệnh đề 2.3.6 (i), tr.171 ] cho thấy rằng nếu K

đủ nhỏ thì
f
n

C
2
(K)
≤ Lf
n


L
∞
(K

)
.
Vì vậy, sự hội tụ đều của (f
n
)
n∈N
suy ra tính C
2
-hội tụ cho f, vì thế
f thỏa mãn các phương trình Cauchy-Riemann và là J-chỉnh hình.
Bổ đề được chứng minh.
1.4.3. Bổ đề
Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức, J ∈ C
2
. Giả sử p và q là hai
điểm của M đủ gần nhau. Khi đó tồn tại một đường cong J-chỉnh hình
u : ∆ −→ M sao cho p và q nằm trong u(∆).
Từ Bổ đề trên cho phép ta định nghĩa được giả khoảng cách Kobayashi
trên đa tạp hầu phức như sau:
1.4.4. Định nghĩa
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức, J ∈ C
2
và gọi ρ là khoảng cách
Bergman-Poincare trên ∆. Metric tương ứng là
ρ =
dz ⊗ dz

(1 − |z|
2
)
2
.
Ta định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi k
J
M
trên (M, J) như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Cho trước hai điểm p, q ∈ M. Một dây chuyền Kobayashi nối hai
điểm p, q trong M là một dãy các đường cong giả chỉnh hình
(f
k
: ∆ → (M, J))
1≤k≤m
và các điểm z
k
, w
k
∈ ∆ thoả mãn
f
1
(z
1
) = p;
f
k
(w

k
) = f
k+1
(z
k+1
);
f
m
(w
m
) = q.
Giả khoảng cách Kobayashi của (M, J) từ p tới q được định nghĩa bởi
k
J
M
(p, q) = inf
m

k=1
ρ(z
k
, w
k
),
trong đó infimum được lấy theo tất cả các dây chuyền Kobayashi nối p
với q.
Hàm số
k
J
M

: M × M → R
thỏa mãn các tiên đề của giả khoảng cách
k
J
M
(p, q) ≥ 0
k
J
M
(p, q) = k
J
M
(q, p)
k
J
M
(p, q) + k
J
M
(q, r) ≥ k
J
M
(p, r)
Tương tự như trong trường hợp phức , ta có tính chất giảm khoảng
cách qua ánh xạ giả chỉnh hình của k
J
M
:
1.4.5. Tính chất
Cho f : (M, J) −→ (N, J


) là một ánh xạ (J, J

)-chỉnh hình. Khi đó
∀(p, q) ∈ M
2
ta có
k
J
M
(p, q) ≥ k
J

N
(f(p), f(q)).
1.4.6. Hệ quả
k
C
≡ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
1.4.7. Mệnh đề
Giả khoảng cách Kobayashi k
J
M
là liên tục trên M × M.
1.4.8. Định nghĩa
Đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là hyperbolic (Kobayashi) nếu k
J
M

thực sự là một khoảng cách.
Nếu đa tạp hầu phức hyperbolic (M, k
J
M
) là đầy theo nghĩa Cauchy
thì ta nói rằng (M, J) là hyperbolic đầy.
Tương tự như trong trường hợp phức ta có định lý Barth [Ba] sau:
1.4.9. Mệnh đề
Nếu M là đa tạp hầu phức hyperbolic thì k
J
M
cảm sinh tôpô tự nhiên
của M.
1.4.10. Định nghĩa
Giả sử (M, J
M
), (N, J
N
) là các đa tạp hầu phức. Giả sử
F ⊂ O((M, J
M
), (N, J
N
)).
i) Một dãy {f
i
}
i≥1
⊂ F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi
tập compact K ⊂ M và với mỗi tập compact L ⊂ N, có một số dương

j
0
= j(K, L) sao cho
f
j
(K) ∩ L = ∅, ∀j ≥ j
0
.
ii) F là không phân kỳ compact nếu F không chứa dãy con phân kỳ
compact.
1.4.11. Định nghĩa
Một đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là taut nếu mọi dãy {f
n
}
n≥1
trong O(∆, (M, J)), hoặc tồn tại một dãy con phân kỳ compact hoặc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
một dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một ánh xạ J-chỉnh
hình
f : ∆ −→ (M, J).
1.4.12. Định lý
Mỗi đa tạp hầu phức taut M là hyperbolic.
1.4.13. Định nghĩa
Giả sử Ω là một miền trong C, (M, J) là một đa tạp hầu phức và
F ⊂ O(Ω, (M, J)).
Họ F được gọi là chuẩn tắc nếu
F  O(Ω, (M, J))
trong tôpô compact mở.
1.4.14. Định nghĩa

Hàm độ dài E trên đa tạp hầu phức (M, J) là một hàm liên tục
không âm, giá trị thực xác định trên phân thớ tiếp xúc T M thoả mãn
1) E(v) = 0 ⇔ v = 0
2) E(av) = |a| E(v), ∀a ∈ R, v ∈ T M.
Ký hiệu d
E
là hàm khoảng cách sinh ra trên M bởi E . Thế thì hàm
khoảng cách d
E
sinh ra tôpô tự nhiên của M (xem [La]).
1.4.15. Họ đồng liên tục
Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là
một không gian metric đầy. Và C(X, Y ) là tập các ánh xạ liên tục từ
X vào Y với chuẩn sup.
Họ
F ⊂ C(X, Y )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
được gọi là đồng liên tục tại một điểm x
0
∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn
tại δ > 0 sao cho với mọi
x ∈ X, d(x, x
0
) < δ
thì
d(f(x), f(x
0
)) < ε với mọi f ∈ F.
Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi

điểm x ∈ X.
1.4.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục
Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là
một không gian metric đầy.
Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X, Y ).
Khi đó, F là compact tương đối trong C(X, Y ) nếu và chỉ nếu hai
điều kiện sau được thoả mãn
(i) F là họ đồng liên tục trên X.
(ii) Với mỗi x ∈ X, tập hợp
F
x
= {f(x) | f ∈ F}
là compact tương đối trong Y .
1.5. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa
tạp hầu phức
Trước hết ta có kết quả sau:
1.5.1. Mệnh đề
Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức. Với p ∈ M, tồn tại lân cận
V của 0 trong T
p
M sao cho ∀v ∈ V tồn tại f ∈ O(∆, M) thoả mãn
f(0) = p, df(0)

∂
∂x

= v.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Từ đó ta có thể định nghĩa:

1.5.2. Định nghĩa
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử p ∈ M, v ∈ T
p
M. Khi đó
ta định nghĩa:
K
(M,J)
(p, v) := inf {α > 0 | tồn tại đĩa J-chỉnh hình f : ∆ → M
thoả mãn f(0) = p, df(0)

∂
∂x

=
v
α

. (1)
K
(M,J)
được gọi là giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp
hầu phức (M, J).
Với f ∈ O
(J

,J)
(M

, M) và ∀ϕ ∈ O
J

(∆, M

) ta có
f ◦ ϕ ∈ O
J
(∆, M).
Do đó ta có mệnh đề sau:
1.5.3. Mệnh đề
Giả sử f : (M

, J

) → (M, J) là (J, J

)-chỉnh hình. Khi đó ∀p

∈ M

và v

∈ T
p

M

ta có
K
(M,J)
(f


(p

), df(p

)(v

)) ≤ K
(M

,J

)
(p

, v

). (2)
1.5.4. Ví dụ
Nếu M ⊂ M

và J

là một cấu trúc hầu phức trên M

. Khi đó ta có
K
(M

,J


)
(p, v) ≤ K
(M,J

)
(p, v) với ∀p ∈ M, v ∈ T
p
M. (Do phép nhúng
M → M

là (J

, J)-chỉnh hình).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
1.5.5. Định nghĩa
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, p, q ∈ M. Gọi Γ
p,q
là tập các
đường cong lớp C
1
γ : [0, 1] → M sao cho γ(0) = p, γ(1) = q.
Ta định nghĩa
d
K
(M,J)
(p, q) = inf
γ∈Γ
p,q
1


0
K
(M,J)
(γ(t), γ

(t))dt.
1.5.6. Nhận xét
+) Tương tự kết quả của Royden [Ro] trong trường hợp phức,
trong [Kr], Kruglikov đã chứng minh được K
(M,J)
là nửa liên tục trên
trên phân thớ tiếp xúc T M của M và ông đã chứng minh được
k
J
M
= d
K
(M,J)
.
+) Từ các tính chất của K
(
M, J) và nhận xét trên ta có thể nhận
lại được các tính chất của k
J
M
đã trình bày ở mục 1.3.
1.6. Định lý tham số hoá của Brody
Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức, f : ∆
r

→ M là một đường
cong J-chỉnh hình thoả mãn |f

(0)| ≥ c ≥ 0. Khi đó tồn tại đường cong
J-chỉnh hình

f : ∆
r
→ M sao cho
sup
z∈∆
r




f

(z)




r
2
− |z|
2
r
2


=




f

(0)



= c.
Chứng minh
Trước hết ta chứng tỏ có dấu bằng, sau đó chứng minh supremum
đạt được tại gốc 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Với t ∈ [0, 1], gọi f
t
: ∆
r
→ M là ánh xạ xác định bởi z → f(tz).
Đặt
s(t) = sup
z∈∆
r
|f

t
(z)|


r
2
− |z|
2
r
2

.
Khi đó với bất kỳ t < 1,
sup
z∈∆
r
|f

t
(z)| ≤ sup
z∈t∆
r
|f

(z)| ≤ sup
z∈∆
tr
|f

(z)| < ∞.
Vì f là liên tục trên ∆
tr
và

r
2
− |z|
2
r
2
≤ 1.
nên ta có s(t) < ∞ với t < 1. Lại do ánh xạ t → sup
z∈∆
tr
|f

(z)| là liên tục
nên s cũng là liên tục. Từ
s(0) = 0 và lim
t→1
s(t) ≥ c
ta suy ra rằng tồn tại một số t
0
∈ [0, 1] sao cho s(t
0
) = c.
*Trường hợp 1: t
0
= 1
c = s(1) = sup
z∈∆
r
|f


(z)|

r
2
− |z|
2
r
2

.
Trong khi đó với z = 0 thì
|f

(0)|
r
2
r
2
≥ c,
vì thế supremum xảy ra tại z = 0. Chỉ việc lấy

f = f, ta có điều phải
chứng minh.
*Trường hợp 2: t
0
< 1
Supremum chỉ đạt tại điểm z
0
bên trong ∆
r

. Gọi L là ánh xạ tự đẳng
cấu bảo giác của ∆
r
biến 0 vào z
0
.
Ký hiệu

f = f
t
0
◦ L.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Do đại lượng


f

t
0
(z)



r
2
− |z|
2
r

2

đo đạo hàm tương ứng với ρ
r
nên nó bất biến qua L. Ta được điều phải
chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Chương 2
Một số định lý thác triển hội tụ
đối với ánh xạ giả chỉnh hình
2.1. Tổng quát hoá định lý Picard lớn
Định lý Picard lớn phát biểu rằng: Mỗi ánh xạ chỉnh hình f từ
đĩa thủng ∆
∗
vào C\ {0, 1} có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình
f : ∆ → P
1
(C). Mục đích của phần này nhằm nghiên cứu sự thác triển
của ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức.
2.1.1. Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi
Giả sử (N, J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài
G, giả sử (M, J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối của
(N, J). Như trong [A-S] ta mở rộng d
J
M
lên bao đóng M của M trong
N như sau: ∀p, q ∈ M, ta định nghĩa
d
J

M
(p, q) = lim
p

→p
inf
q

→q
d
J
M
(p

, q

), p

, q

∈ M.
Khi đó ta có định nghĩa sau.
2.1.1.1. Định nghĩa
Ta gọi p ∈ M là một điểm suy biến của d
J
M
nếu tồn tại một điểm
q ∈ M\{p} sao cho d
J
M

(p, q) = 0. Kí hiệu S
J
M
(N) là tập tất cả các điểm
suy biến của d
J
M
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
2.1.1.2. Ví dụ
Giả sử (N, J) = (P
1
(C), J
0
) là mặt cầu Riemann được trang bị cấu
trúc phức chuẩn J
0
và M = C\{0}. Vì d
J
0
M
= 0 (xem Kobayashi [Ko],
Ví dụ 3.1.21, tr.56), ta có
S
J
0
C\{0}
(P
1

(C)) = P
1
(C),
tức là tất cả các điểm của P
1
(C) đều là các điểm suy biến của d
J
0
M
.
2.1.1.3. Định nghĩa
Cho (N, J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài
G, (M, J) là đa tạp con của N. Một điểm p ∈ M được gọi là điểm
J-hyperbolic đối với M nếu tồn tại một lân cận U của p trong N và một
hằng số dương c sao cho K
J
M
≥ c.G trên U ∩ M.
2.1.1.4. Nhận xét
Tương tự tiêu chuẩn của Royden [Ro] ta có (M, J) là hyperbolic nếu
và chỉ nếu mỗi điểm p ∈ M đều là điểm J-hyperbolic đối với M.
Tiếp theo ta có mệnh đề sau:
2.1.1.5. Mệnh đề
Cho (N, J) là một đa tạp hầu phức và (M, J) là một đa tạp con hầu
phức của (N, J). Với mỗi điểm p ∈ M, khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
(i) p /∈ S
J
M
(N).

(ii) p là điểm J-hyperbolic đối với M.
Để chứng minh mệnh đề trên ta cần sử dụng bổ đề (xem [Si] Mệnh
đề 2.3.6, tr. 171).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
2.1.1.6. Bổ đề
Cho D là một miền trong C
n
. Có một hằng số dương δ
0
sao cho với
mỗi cấu trúc hầu phức J trong một lân cận của D thoả mãn J − J
0

C
2
(D)
≤
δ
0
, khi đó ta có
f
C
1
(∆
r
)
≤ cf
C
0

(∆)
,
với mỗi f ∈ O
J
(∆, D) và 0 < r < 1, trong đó c là hằng số dương chỉ
phụ thuộc vào r và δ
0
, J
0
là cấu trúc phức chuẩn tắc trên C
n
.
Chứng minh Mệnh đề 2.1.1.5
(i) ⇒ (ii) : Giả sử p không là điểm J-hyperbolic đối với M. Khi đó
với mỗi n ≥ 1, tồn tại p
n
∈ M và ξ
n
∈ T
p
n
M sao cho dãy (p
n
) hội tụ
tới p, |ξ
n
| = 1 và K
J
M
(ξ

n
) → 0. Do đó, tồn tại dãy (f
n
) ⊂ O
J
(∆, M)
sao cho limf
n
(0) = p, nhưng lim|f

n
(0)| = ∞.
Giả sử W là một lân cận compact tương đối đủ nhỏ trong bản đồ
địa phương quanh p. Nếu tồn tại r ∈ (0, 1) sao chof
n
(∆
r
) ⊂ W, theo
Bổ đề 2.1.1.6 ta suy ra tồn tại một hằng số dương c sao cho |f

n
(0)| ≤
c||f
n
||
C
0
(∆
r
)

và điều này mâu thuẫn với |f

n
(0)| → +∞. Do đó, với mỗi số
nguyên dương k có z
k
∈ ∆ và n
k
∈ Z sao cho |z
k
| <
1
k
và f
n
k
(z
k
) ∈ ∂W.
Bằng cách lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng f
n
k
(z
k
) → q ∈ ∂W .
Khi đó
d
J
M
(p, q) = lim

k→∞
d
J
M
(f
n
k
(0), f
n
k
(z
k
)) ≤ lim
k→∞
d
∆
(0, z
k
) = 0,
nên p là điểm suy biến của d
J
M
.
(ii) ⇒ (i) : Giả sử rằng p là điểm suy biến của d
J
M
. Khi đó tồn tại
điểm q ∈ M\{p} sao cho d
J
M

(p, q) = 0. Theo giả thiết, tồn tại lân cận
U của p sao cho q /∈ U và K
J
M
≥ cG trên U ∩ M, trong đó c là một
hằng số dương và G là một hàm độ dài trên N. Lấy V, W lần lượt là lân
cận của p, q trong N, sao cho V  U và W ∩ U = ∅. Lấy r ∈ V ∩ M và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên