Hàm green đa phức và bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampère phức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (884.45 KB, 53 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
LÃ THỊ LỆ HÀ
HÀM GREEN ĐA PHỨC
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI
TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN – 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MC LC
MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 5
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 11
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức 16
CHƢƠNG II: HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC 23
2.1. Đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc. 24
2.2. Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi. 26
2.3. Các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. 37
2.4. Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet. 43
KẾT LUẬN 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO 49
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức đƣợc đặt
nhƣ sau: Cho
n
D
là miền giả lồi chặt,
là độ đo Borel trên
D
.
Hãy tìm lớp các hàm đa điều hòa dƣới
()DP
thích hợp trên đó toán tử
Monge-Ampère phức
()
cn
dd
đƣợc xác định tốt sao cho với hàm liên tục
tùy ý
h
trên
D
, bài toán sau có nghiệm duy nhất:
( )
(dd ) ( )
lim ( ) ( ),
cn
z
uD
uI
u z h D
P
Bài toán Dirichlet đối với hàm đa điều hòa dƣới đã đƣợc nghiên
cứu đầu tiên bởi Brememann (1959), ở đó Ông đã dùng phƣơng pháp
của Perron để giải quyết. Sau đó Bedford và Taylor (1976) đã giới thiệu
toán tử Monge-Ampère phức và giải Bài toán Dirichlet (I) khi
( ) ( ) ( )
loc
D D L D
P PSH I
và độ đo
là liên tục tuyệt đối đối với độ đo
Lebesgue. Từ đó một số tác giả nhƣ U.Cegrell (1984), U.Cegrell và
L.Persson (1992), U.Cegrell và S.Kolodziej (1994), Z.Blocki (1995) đã
cố gắng giải quyết bài toán bỏ qua tính liên tục của mật độ
.
S.Kolodziej (1996) đã cho điều kiện đủ đối với tính giải đƣợc của bài
toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên lớp
( ) ( )
loc
D L D
PSH I
và giải bài toán Dirichle đối với các độ đo nhƣ thế.
Đối với các độ đo kỳ dị, tính giải đƣợc của bài toán Dirichlet đã đƣợc
giải quyết bởi J.P.Demailly (1987) và P. Lelong (1989).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Theo hƣớng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa
phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức". Ở đây
chúng tôi sẽ trình bày việc giải bài toán Dirichlet (I) đối với độ đo kỳ dị
: ( )
n
liên kết với hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc trên
D
.
Đề tài có tính thời sự, đã và đang đƣợc nhiều nhà toán học trong
và ngoài nƣớc quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả về hàm
Green đa phức và áp dụng để giải bài toán Dirichlet đối với toán tử
Monge-Ampère phức.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của
hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, toán tử Monge-
Ampère.
+ Trình bày một số kết quả về đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hoà
dƣới chấp nhận đƣợc, hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định
lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn.
+ Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử
Monge-Ampère.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phƣơng pháp của giải tích phức kết hợp với các
phƣơng pháp của giải tích hàm hiện đại.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
- Sử dụng các phƣơng pháp của lý thuyết thế vị phức.
- Kế thừa phƣơng pháp và kết quả của Ahmed Zeriahi.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 51 trang, trong đó có phần mở đầu, hai
chƣơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các
tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, toán
tử Monge-Ampère.
Chƣơng 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả
nghiên cứu về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc,
Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp
các hàm không bị chặn. Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức
và toán tử Monge-Ampère.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt đƣợc.
Bản luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại
học Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến
Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hƣớng dẫn
hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban
chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại
học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội
đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu khoa học.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái
Nguyên, Trƣờng THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận
văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn học viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
CHƢƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
1.1.1. Định nghĩa
Cho
W
là một tập con mở của
n
và
[ )
:,u
là một hàm
nửa liên tục trên và không trùng với
trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của
W
. Hàm
u
được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
a
và
n
b
, hàm
()u a bll+a
là điều hoà dưới hoặc trùng
trên mỗi thành phần của tập hợp
{ }
:abll
. Trong trường
hợp này, ta viết
()u PSH
. (ở đây
()WPSH
là lớp hàm đa điều hoà
dưới trong
W
).
1.1.2. Định lý
Cho
[ )
:,u
là một hàm nửa liên tục trên và không trùng
trên bất kỳ thành phần liên thông của
n
. Khi đó
()u PSH
khi và chỉ khi với mỗi
a
và
n
b
sao cho
{ }
: , 1abl l l
,
Ta có
( ) ( ; , )u a l u a b
,
Trong đó
2
0
1
( ; , ) ( )
2
it
l u a b u a e b dt
p
p
=+
Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên từ định nghĩa hàm đa điều hòa
dƣới vì
( ; , ) ( ;0,1)l u a b L v=
.
Điều kiện đủ. Giả sử
a
,
n
b
và xét
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
{ }
:U a bll
Khi đó
U
là tập mở trên
. Đặt
( ) ( )
,v u a b Ul l l
. Cần chứng
minh
( )
v l
là điều hòa dƣới trên
U
. Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu
0
Ul
tồn tại
0r >
sao cho với
0 r r
thì
( )
2
00
0
1
()
2
i
v v re d
p
q
l l q
p
Từ
0
a b Ul
nếu có
0r >
sao cho khi
lr<
thì
0
a b bll
.
Với
0 r r
ta có
{ }
0
:1a b rbl l l
. Do đó từ giả thiết
( )
2
00
0
1
()
2
i
u a b u a b rbe d
p
q
l l q
p
Vậy
( )
2
00
0
1
()
2
i
v v re d
p
q
l l q
p
, đó là điều phải chứng minh.
Một số tính chất quan trọng của hàm đa điều hoà dƣới có thể đƣợc
suy ra từ kết quả tiếp theo. Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp của các hàm điều
hoà dƣới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho các hàm đa điều hoà dưới.
1.1.3. Định lý
Cho
n
là một tập mở và
()u PSH
. Nếu
0e >
sao cho
( )
{ }
: : ,z d z
e
e
, thì
()uC
ee
c
PSH
Hơn nữa,
u
e
c*
đơn điệu giảm khi
0e
, và
0
lim ( ) ( )
e
e
c
*=u z u z
với mỗi
z
.
Định lý sau đây, mô tả tính đa điều hòa dƣới của
u
qua đạo hàm
theo nghĩa phân bố và cần dùng cho việc chứng tỏ
c
dd u
là dòng dƣơng
đóng song bậc
( )
1,1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
1.1.4. Định lý
Giả sử
W
là tập mở trong
n
.
(i) Nếu
PSH, ( )uv
thì
{ }
max , ( )uv PSH
và nếu
ab,0
thì
ab PSH()uv
. Nghĩa là
WPSH()
là nón lồi.
(ii) Nếu
{ }
PSH
1
()
j
j
u
là dãy giảm thì
= lim
j
uu
hoặc là hàm đa
điều hòa dưới trên
W
hoặc bằng
.
(iii) Nếu dãy
{ }
PSH()
j
u
là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của
W
tới hàm
:u
thì
()u PSH
.
(iv) Giả sử
{ }
a
a
PSH()
I
u
sao cho
{ }
a
asup :u u I
là bị chặn
trên địa phương. Khi đó chính quy hóa nửa liên tục trên
*
PSH()u
.
Chứng minh. Các khẳng định (i), (ii), (iii) suy ra từ định nghĩa hàm đa
điều hòa dƣới và định lý hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dƣới
dấu tích phân trong trƣờng hợp dãy hội tụ đều. Ta chứng minh (iv). Chỉ
cần chứng tỏ
a
,
n
b
sao cho
{ }
: , 1abl l l
thì
( )
p
q
q
p
**
2
0
1
()
2
i
u a u a e bd
Dễ thấy với mọi
z
,
n
b
sao cho
{ }
ll ,1zb
ta có
( )
p
q
q
p
*
2
0
1
()
2
i
u z u z e b d
Với
a
, chọn dãy
{ }
n
z
sao cho
n
za
và
( ) ( )
*
n
u z u a
. Từ
{ }
ll ,1zb
nên với
n
đủ lớn
{ }
ll ,1
n
zb
. Khi đó
( )
p
q
q
p
*
2
0
1
()
2
i
nn
u z u z e b d
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Bổ đề Fatou cho ta
( ) ( )
p
q
q
p
**
2
0
1
lim sup lim sup ( )
2
i
nn
nn
u a u z u z e bd
p
q
q
p
*
2
0
1
()
2
i
u a e bd
.
1.1.5. Mệnh đề
Giả sử
n
là tập mở,
w
là tập con mở thực sự, khác rỗng
của
W
. Giả sử
()u PSH
,
w PSH()v
và
( ) ( )
lim sup
xy
v x v y
với
mọi
w y
. Khi đó hàm
{ }
max ,
\
w
w
=
W
u v trong
w
u trong
là hàm đa điều hòa dưới trên
W
.
Chứng minh. Rõ ràng
w
là nửa liên tục trên trên
W
. Chỉ cần chứng tỏ
nếu
a
,
n
b
sao cho
{ }
ll ,a b r
thì
( )
( )
p
q
q
p
2
0
1
2
i
w a w a re b d
Với
wa
,
n
b
, chọn
> 0r
đủ bé để
{ }
l l w ,a b r
. Khi đó
( )
( ) ( )
pp
pp
22
00
11
22
ii
u a u a re b d w a re b d
( )
( ) ( )
pp
pp
22
00
11
22
ii
v a v a re b d w a re b d
Từ đó
( )
( )
p
q
q
p
2
0
1
2
i
w a w a re b d
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Chứng minh tƣơng tự cho trƣờng hợp
w
W
\a
, ở đó
w
W
là bao đóng
của
w
lấy trong
W
. Chỉ cần xét trƣờng hợp
w
W
a
. Khi đó
( ) ( )
=w a u a
. Vậy
( ) ( )
( ) ( )
pp
pp
22
00
11
22
ii
w a u a u a re b d w a re b d
.
Mệnh đề đƣợc chứng minh.
Vì hàm đa điều hoà dƣới là điều hoà dƣới nên ta có
1.1.6. Mệnh đề
Nếu
, ( )uvPSH
và
uv=
(tương ứng
uv
) hầu khắp nơi trên
W
, thì
=uv
(tương ứng
uv
) trên
W
.
1.1.7. Hệ quả
Nếu
PSH()u
thì
PSH()
u
e
. Nếu
PSH()u
,
0u
và
a 1
thì
a
PSH()u
.
1.1.8. Mệnh đề (Nguyên lý cực đại)
Giả sử
D
là một miền trong
n
và
PSH()uD
,
u const
. Khi
đó
u
không đạt cực đại toàn thể trên
D
. Hơn nữa nếu
D
là bị chặn thì
với mọi
zD
ta có
{ }
ww
<( ) sup lim sup ( )
D D z
u z u z
.
Chứng minh. Giả sử
0
zD
sao cho
( ) ( )
{ }
0
max :u z u z z D
. Đặt
( )
( )
-
=
1
00
D u u z
. Khi đó
0
DD
. Giả sử
0
a D D
. Khi đó
( )
0
00
lim sup ( ) lim sup ( ) ( ) ( )
D z a D z a
u z u z u z u a u z
Do
0
aD
và
0
D
đóng trong
D
. Nếu
0
aD
, với mọi
n
b
, chọn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
> 0r
sao cho
{ }
ll :a b r D
. Khi đó
( )
( )
p
q
q
p
2
00
0
1
( ) ( )
2
i
u z u a u a re b d u z
Từ đó do tính nửa liên tục trên của
u
suy ra
=
0
()u u z
trên một lân cận
của
a
. Vậy
0
D
là mở và do đó
0
D
=
D
. Điều này kéo theo
=
0
()u u z
trên
D
và mâu thuẫn giả thiết.
1.1.9. Định lý
Giả sử
D
là một miền và
FD
là tập đóng sao cho với mỗi
aF
tồn tại một lân cận mở, liên thông
a
UD
và hàm
PSH()
aa
vU
,
a
v
và
( )
{ }
:
a a a
F U z U v z
. Giả sử
PSH( \ )u D F
là hàm bị chặn địa phương trên
D
. Khi đó hàm
\
( ) \
()
lim sup ( )
=
%
D F y z
u z z D F
uz
u y z F
là hàm đa điều hòa dưới trên
D
.
Chứng minh. Bởi tính đa điều hòa dƣới là tính địa phƣơng nên có thể coi
( )
{ }
:F x D v x
với
PSH()vD
và
< 0v
. Với
e > 0
, đặt
u
e
e
+
=
Khi đó
e
PSH()uD
với mọi
e > 0
và
{ }
e
e >=sup : 0uu
trên
\DF
.
Hơn nữa
{ }
( )
e
e
*
>=
%
sup : 0uu
trên
D
. Vậy
()
%
uDPSH
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
1.1.10. Định lý
Cho dãy
{ }
()
j
j
u
PSH
bị chặn đều địa phương trong
n
.
Giả sử
lim sup ( )
j
j
u z M
với mỗi
z
và một hằng số
M
nào đó. Khi đó với mỗi
0e >
và mỗi
tập compact
K
tồn tại một số tự nhiên
0
j
sao cho, với
0
jj
,
sup ( )
j
zK
u z M e
.
1.1.11. Định lý
Cho
W
là một tập con mở của
n
và
{ }
: ( )F z v z
là một tập con đóng của
W
ở đây
()v PSH
. Nếu
( \ )uFPSH
là
bị chặn trên, thì hàm
u
xác định bởi
( ) ( \ )
()
lim sup ( ) ( )
=
yz
yF
u z z F
uz
u y z F
là đa điều hoà dưới trong
W
. Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong
\ FW
, thì
u
là đa điều hoà trong
W
. Nếu
W
là liên thông, thì
\ FW
cũng
liên thông.
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại
1.2.1. Định nghĩa
Cho
W
là một tập con mở của
n
và
:u
là hàm đa điều
hoà dưới. Ta nói rằng
u
là cực đại (hoặc cực trị) nếu với mỗi tập con
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
mở compact tương đối G của
W
, và với mỗi hàm nửa liên tục trên
v
trên
G
sao cho
()vG PSH
và
vu
trên
G
, đều có
vu
trong G.
Ký hiệu
()WM PSH
là họ tất cả các hàm đa điều hoà dƣới cực đại trên
W
.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tƣơng đƣơng của
tính cực đại.
1.2.2. Mệnh đề
Cho
n
là tập mở và
:u
là hàm đa điều hoà dưới. Khi
đó các khẳng định sau là tương đương:
()i
Với mỗi tập con mở compact tương đối G của
W
và với mỗi
hàm
()v PSH
, nếu
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
x
với mọi
Gx
, thì
uv
trong G ;
()ii
Nếu
()v PSH
và với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K
sao cho
uv e
trong
\ KW
, thì
uv
trong
W
;
()iii
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối
của
W
, và
uv
trên
G
thì
uv
trong G ;
()iv
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
x
với mỗi
Gx
, thì
uv
trong G ;
()v
u
là hàm cực đại.
Chứng minh.
( ) ( )i ii
: Cho
v
là một hàm đa điều hoà dƣới có tính chất:
với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K
sao cho
uv e
trong
\ KW
. Giả sử rằng
( ) ( ) 0u a v a h- = <
tại một điểm
a
. Bao đóng
của tập hợp
{ }
: ( ) ( )
2
E z u z v z
h
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
là tập con compact của
W
. Bởi vậy có thể tìm đƣợc tập mở
G
chứa
E
và
compact tƣơng đối trong
G
. Theo
()i
ta có
2
uv
h
trong
G
, điều đó
mâu thuẫn với
.aE
Phần còn lại đƣợc suy ra từ khẳng định: hàm
{ }
max ( ), ( ) ( )
()
( ) ( \ )
w
=
u z v z z G
z
u z z G
là đa điều hoà dƣới trong
W
theo các giả thiết
()iii
,
()iv
,
()v
, và
()i
.
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một lớp quan trọng các hàm cực đại
liên tục.
Trƣớc hết, chúng ta cần một số định nghĩa. Cho
W
là một miền bị
chặn trong
n
và
()fC
. Bài toán Dirichlet suy rộng là tìm một hàm
nửa liên tục trên
:u
sao cho
()u
W
M PSH
và
uf
.
Cho
W
là miền bị chặn trong
n
và
()fC
. Ta sẽ ký hiệu
( , )UfW
là họ của tất cả các hàm
()u PSH
sao cho
uf
*
trên
,
trong đó
*( ) lim sup ( )
z
u z u
w
w
w
=
với mọi
z
.
Đặt
{ }
,
( ) sup ( ) : ( , ) ,y
W
f
z u z u U f z
hàm
,
()
f
zy
W
đƣợc gọi là hàm Perron – Bremermann đối với
W
và
f
;
hàm này đƣợc Bremermann (1959) nghiên cứu và nó là một hàm Perron
cổ điển đƣợc sử dụng trong lý thuyết thế vị (thực) (Hayman và Kennedy
1976).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng
,
()
f
zy
W
nghiệm của bài toán
Dirichlet suy rộng khi
W
là một hình cầu Euclid.
1.2.3. Định lý
Cho
()f C B
, trong đó
( , )B B a r=
là một hình cầu mở trong
n
. Khi đó hàm
y
xác định bởi
,
( ) ( )
()
( ) ( )
Bf
z z B
z
f z z B
y
y
=
là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập
B
và hàm
f
.
Hơn nữa,
y
là liên tục.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng
0=a
. Giả sử
h
là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với
B
và
f
. Vì hàm đa điều hoà dƣới là điều hoà dƣới, nên suy ra
,Bf
hy
trong
B
theo nguyên lý cực đại đối với những hàm điều hoà dƣới. Do
h
liên
tục trong
B
, nên ta có
,
()
Bf
hy
*
trong
B
. Đặc biệt, điều đó có nghĩa là
,
( ) ( , )
Bf
U B fy
*
và nhƣ vậy
,
()
Bf
yy
*
trong
B
()By PSH
. Để
hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng
minh
,
()
Bf
fy
*
trên
B
. Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn:
0
,0
lim inf ( ) ( )
Bf
zz
zB
z f zy
với
0
zB
tùy ý .
Thật vậy, lấy
0
zB
và
0e >
. Chứng minh sẽ đƣợc hoàn thành nếu ta
có thể tìm đƣợc một hàm liên tục
:vB
sao cho
( , )
B
v U B f
và
00
( ) ( )v z f z e=-
. Điều đó có thể đạt đƣợc bằng cách định nghĩa
2
00
( ) Re , ( ) ,v z c z z r f z e
= - + -
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
trong đó
0c >
là hằng số, đƣợc chọn để
vf
trên
B
. (Chú ý rằng
biểu thức trong những dấu móc vuông là âm trên
{ }
0
\Bz
).
Từ đó với mỗi
0
zB
, ta có
0
0
lim ( ) ( )
zz
zB
zzyy
=
, tức là
y
liên tục tại
mỗi điểm biên. Tính cực đại của
y
là hiển nhiên. Thậ t vậy, nếu
G
là
một tập con mở compact tƣơng đối của
B
,
[ )
:,vG
là nửa liên
tục trên,
()
G
v PSH
và
v y
trên
G
, thì hàm
{ }
max ,
\
v z G
V
z B G
y
y
=
thuộc
( , )U B f
suy ra
V y
. Đặc biệt,
v y
trong
G
. (điều phải
chứng minh)
Để chứng minh rằng
y
là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên
tục dƣới. Thật vậy, lấy
0e >
. Khi
B
là compact,
B
fy =
là liên tục
đều. Điều đó kết hợp với
0
0
lim ( ) ( )
zz
zB
zzyy
=
suy ra tồn tại
(0, )
2
r
d =
sao
cho nếu
zB
,
Bw
, và
3z wd-<
, thì
( ) ( )
2
z
e
y y w-<
.
Với
(0, )yBd
, đặt
{ }
max ( ), ( ) ( ( )
()
( ) ( \ ( )
y
z z y z B y B
Hz
z z B y B
y y e
y
=
Ta sẽ chứng minh rằng
( , )
y
B
H U B f
. Thật vậy vì
(0, ) ( ) (0, ) ( , )B r B y B B r B y rd
nên
( (0, ))
y
H PSH B r d
là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dƣới.
Mặt khác,
y
H y=
trong
\ (0, 2 )B B r d-
. Thậ t vậy, theo định nghĩa
()
y
Hz
ta có
( ) ( ), \ ( )
y
H z z z B y By
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Nếu
( ( )) \ (0, 2 )z B y B B r d
, thì ta chọn
0
zB
sao cho
0
2zz d-<
. Ta có
0
3z y z d+ - <
và do đó theo (11),
0
( ) ( )
2
zz
e
yy-<
và
0
( ) ( )
2
z y z
e
yy+ - <
.
Nhƣ vậy
( ) ( )z z yy y e
( ) ( )
y
H z zy=
()
y
H PSH B
và
y
Hf=
trên
B
( , )
y
H U B f
.
y
H y
Từ đó nếu
,zBw
và
z wd-<
, thì
( ) ( ) ( ) ( )
z
z H z z z
w
y y w e y w e
-
.
Vậy
y
là nửa liên tục dƣới. (điề u phả i chƣ́ ng minh).
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho
u
là đa điều hoà dƣới trên miền
n
. Nếu
( )
2
uC
thì
toán tử:
( ) ( ) ( )
1,
: 4 !det
n
c c c n
jk
n
j k n
u
dd u dd u dd u n dV
zz
1444444442 444444443
với dV là yếu có thể tích trong
C
n
gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán
tử này có thể xem nhƣ độ đo Radon trên
W
, tức là phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact
0
()C W
trên
W
.
( )
( )
0
n
c
C dd ujj
W
W'
a
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu
u
là đa điều hoà dƣới bị
chặn địa phƣơng trên
W
thì tồn tại dãy
1
n
n
uC
PHS
sao cho
n
uu
và
n
c
n
dd u
hội tụ yếu tới độ đo Radon
trên
W
tức là:
( )
( )
0
lim ,
n
c
n
n
dd u d Cj j m j
WW
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Hơn nữa
không phụ thuộc vào việc chọn dãy
n
u
nhƣ trên ta ký hiệu:
()
cn
dd u m=
và gọi là toán tử Monge-Ampère của
u
.
1.3.1 Mệnh đề
Nếu
( )
y
,pp
C
là
( )
,pp
-dạng lớp
C
trên tập mở
n
và
T
là
( )
-dòng với
+ = - 1p q n
thì
( ) ( )
y y y y
n
c c c c
dd T dd T d d T d T
.
Chứng minh. Ta có
( )
y y y y y y
c c c c c c
d d T d T d d T dd T dd T d dT
Nhƣng
+ + =1p q n
nên
( ) ( )
( )
( )
y y y
y y y y
y y y
c
c
d d T i T T
i T T T T
i T T d dT
Do đó
( )
y y y y
c c c c
d d T d T dd T dd T
.
Từ mệnh đề trên và dùng công thức Stokes đối với dòng ta có: nếu
T
là
( )
-dòng trên tập mở
n
và
( )
( )
y
- - - -
0, 1, 1n q n q
C
là
( )
- - - -1, 1n q n q
-dạng lớp
C
với hệ số trong
D W()
thì
( )
y y y y
W W W
c c c c
dd T dd T d d T d T
yy
0
cc
d T d T
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Vậy
y y y y
WW
,,
c c c c
dd T dd T dd T T dd
(*)
Giả sử
T
là dòng dƣơng có bậc
( )
trên tập mở
n
và
( )
()
loc
uLPSH
. Khi đó
,
2
q
JK J K
JK
i
T T dz dz
với
JK
T
là
các độ đo phức trên
W
. Vậy từ
( )
()
loc
uLPSH
nên
u
là hàm khả
tích đối với các
JK
T
. Do đó
,
2
q
JK J K
JK
i
uT uT dz dz
là
( )
-
dòng với hệ số độ đo. Ta đƣa ra định nghĩa sau:
( )
cc
dd u T dd uT
Từ (*) ta có
( )
y y y y
W
, , ,
c c c c
dd u T dd u T dd uT uT dd
y
W
c
uT dd
đúng cho mọi
( )
( )
y
- - - -
0, 1, 1n q n q
C
.
1.3.2. Mệnh đề
Nếu
T
là
( )
-dòng dương, đóng thì
c
dd u T
là
( )
++1, 1qq
-
dòng dương, đóng với mọi
( )
1
()
loc
uLPSH
.
Chứng minh. Ta chứng minh
c
dd u T
là
( )
++1, 1qq
-dòng dƣơng, đóng.
Ta có
( ) ( ) ( )
c c c
d dd u T dd u T dd u T
. Ta chỉ cần chứng minh
( ) ( )
0
cc
dd u T dd u T
. Chỉ cần chứng minh
( )
0
c
dd u T
.
Tƣơng tự ta cũng có
( )
0
c
dd u T
. Lấy
( )
( )
y
- - - -
0, 1, 2n q n q
C
. Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
( )
( ) ( ) ( )
y y y
++
2 3 2 3
, 1 , 1 ,
c c c
dd u T dd u T uT dd
( ) ( )
y
+
23
1 ,2 0
q
uT i
.
Bây giờ ta chứng minh
c
dd u T
là dƣơng. Giả sử
uM
. Khi đó với
0e >
đủ bé,
e
uM
,
ee
c=*uu
. Bởi định lý hội tụ bị chặn của
Lebesgue
e
uT
hội tụ yếu tới
uT
. Do đó
( )
e
c
dd u T
hội tụ yếu tới
( )
c
dd uT
vì với mọi
( )
( )
y
- - - -
0, 1, 1n q n q
C
ta có
( ) ( )
, , , ,
ee
y y y y
c c c c
dd u T u T dd uT dd dd uT
Nhƣng do
e
u
là hàm trơn trên
W
nên
( )
ee
cc
dd u T dd u T
theo nghĩa thông
thƣờng. Nhƣng
( )
()
e e e
uCPSH
nên
e
c
dd u
là
( )
1,1
-dòng thực
dƣơng. Vậy
0
e
c
dd u T
. Vậy
c
dd u T
là
( )
++1, 1qq
-dòng dƣơng.
Do đó bằng quy nạp ta có thể xác định
( )
,++p q p q
-dòng dƣơng, đóng
1
cc
p
dd u dd u T
,
với
( )
12
, , , ( )
p loc
u u u LPSH
và
T
là
( )
-dòng dƣơng, đóng,
p q n
. Đặc biệt nếu
=
c
T dd v
,
( )
()
loc
vLPSH
thì ta xác định
đƣợc
( )
1, 1++pp
-dòng dƣơng, đóng
1
c c c
p
dd u dd u dd v
.
Trƣờng hợp nếu
( )
1
()
loc
uLPSH
thì
c
dd u
là
( )
1,1
-dòng dƣơng,
đóng. Do đó xác định đƣợc
( )
n
c
dd u
là
( )
,nn
-dòng dƣơng, đóng trên
W
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Vậy
( )
n
c
dd u
là độ đo Borel chính quy trên
W
. Sau này do bất đẳng thức
Chern-Levine-Nirenberg,
( )
n
c
dd u
là độ đo Radon trên
W
vì với mọi tập
con compact K trong
W
ta có
( )
( )
n
c
dd u K
.
1.3.3. Mệnh đề
Giả sử
{ }
m
j
là dãy các độ đo Radon trên tập mở
n
hội tụ
yếu tới độ đo Radon
m
. Khi đó
a) Nếu
G
là tập mở thì
( ) ( )
limmm
jj
G inf G
.
b) Nếu
K
là tập compact thì
( ) ( )
lim supmm
jj
KK
.
c) Nếu
E
compact tương đối trong
W
sao cho
( )
0m E
thì
( ) ( )
limmm
=
jj
EE
.
Chứng minh.
a) Ta có
( ) ( )
{ }
sup :mm=G K K G
. Giả sử
KG
là tập compact.
Lấy
( )
0
j CG
,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
lim limm m j m j m
j j j
j
K inf G
.
Từ đó
( ) ( )
limmm
j
j
G inf G
.
b) Ta có
( ) ( )
{ }
là t p m: , mm K inf V V K V Ëë
. Giả sử
V
là một
lân cận mở của
K
và
( )
0
j CV
,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim supm m j m j m
jj
j
j
VK
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Từ đó
( ) ( )
lim supmm
j
j
KK
.
c) Viết
int E E E
. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
int lim int limm m m m
jj
jj
E E inf E inf E
Mặt khác
( ) ( ) ( )
lim sup lim supm m m
jj
jj
EEE
.
Từ đó
( ) ( )
lim supmm
j
j
EE
.
Vậy
( ) ( )
limmm
=
j
j
EE
.
1.3.4. Mệnh đề
Giả sử
n
là miền bị chặn và
( )
, ( )
loc
u v LPSH
sao cho
,0uv
trên
W
và
( )
lim 0
=
z
uz
. Giả sử
T
là
( )
1, 1 nn
-dòng
dương, đóng trên
W
. Khi đó
WW
cc
vdd u T udd v T
.
Đặc biệt, nếu
( )
lim 0
=
z
vz
thì
WW
cc
vdd u T udd v T
.
Chứng minh. Chú ý rằng
c
dd u T
và
c
dd v T
là các độ đo Borel dƣơng
trên
W
. Với
0e >
, đặt
{ }
max ,
e
e=-uu
. Khi đó
0
e
<u
và là hàm đa
điều hòa dƣới trên
W
và
e
u
tăng tới 0 khi
e
giảm về 0. Từ định lý hội tụ
đơn điệu Lebesgue ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
( )
0
lim
e
e
WW
cc
udd v T u u dd v T
và
( ) ( )
1
0
lim
ee
e
c
WW
cc
j
u u dd v T u u dd v T
.
Do
( )
lim 0
e
=
z
uz
nên
{ }
0
e
uu
là tập compact tƣơng đối trong
W
.
Lấy miền
'
WW
sao cho
{ }
0
e
uu
'
WW
. Khi đó với
j
đủ lớn,
( ) ( )
10e
c
j
u u C
và từ (3.1.2) ta có
( ) ( )
11ee
cc
WW
cc
jj
u u dd v T vdd u u T
( ) ( )
''
11
\
ee
cc
W W W
cc
jj
vdd u u T vdd u u T
( )
''
11e
cc
WW
cc
jj
vdd u T vdd u T
'
1
c
W
c
j
vdd u T
.
Nhƣng
11
cc
cc
jj
dd u T dd u T
hội tụ yếu tới
c
dd u T
. Khi đó
1
c
c
j
vdd u T
hội tụ yếu tới
c
vdd u T
. Vậy
( )
' ' '
1
lim
e
c
W W W
c c c
j
j
vdd u T inf vdd u T u u dd v T
.
Từ đó cho
0e ]
ta đƣợc
'
W
W
cc
vdd u T vdd u T
.
Cho
'
WWZ
ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
CHƢƠNG II
HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC
Chƣơng này trình bày các kết quả về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa
điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc, Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi,
các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. Giải bài toán
Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử Monge-Ampère.
Trƣớc tiên chúng ta nhắc lại một số khái niệm cần thiết sẽ sử dụng
ở đây: Giả sử
D
là một tập con mở của
n
và kí hiệu
( )
DPSH
là nón
các hàm đa điều hòa dƣới
)
:,uD
trên
D
khác
trên
thành phần bất kì của
D
. Giả sử
( )
uDPSH
, cho
aD
và
( )
0 : dist ; \
n
a
r d a D< < =
, đặt
( ) ( ) ( )
1
,:
u
M a r u a r d
=
=+
,
trong đó
( )
d
là độ đo diện tích đƣợc chuẩn hóa trên mặt cầu đơn vị
của
n
. Ta đã biết rằng hàm
( )
,
u
r M a ra
là tăng và lồi theo
log r
. Khi
đó giới hạn sau tồn tại:
( )
( )
0
,
; : lim
log
u
r
M a r
ua
r
+
=
Theo [Ki], giới hạn này trùng với định nghĩa sau [L]:
( )
( )
( )
22
0
22
,
; : lim
u
n
r
n
B a r
ua
r
+
-
-
=
, (*)
