Hàm green đa phức với cực logarit tại vô cùng và định lý xấp xỉ của sicia

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––




NGUYỄN THỊ THU HÀ




HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚ I CƢ̣ C
LOGARIT TẠ I VÔ CÙ NG VÀ
ĐỊ NH LÝ XẤ P XỈ CỦ A SICIAK




LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2013
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––




NGUYỄN THỊ THU HÀ


HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚ I CƢ̣ C
LOGARIT TẠ I VÔ CÙ NG VÀ
ĐỊ NH LÝ XẤ P XỈ CỦ A SICIAK

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC





Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
tham khảo trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố
trong bất cứ công trình nào.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Hà

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Phạm Hiến Bằng, nhân dịp
này cho phép tôi được gửi lời cám ơn chân thành tới thầy cùng những kinh
nghiệm quý báu mà thầy đã tạo điều kiện trong quá trình tôi hoàn thành bản
luận văn này.
Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa
Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện
Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,

Trường Đại học Công nghệ Giao thông Vận tải cùng các đồng nghiệp đã tạo điều
kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Hà

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

iii
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
3. Phương pháp nghiên cứu 1
4. Bố cục của luận văn 2
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Hàm đa điều hòa dưới 3
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 8
1.3. Hàm cực trị tương đối. 9
1.4. Đa thức, tính thuần nhất và tập cân 13
Chƣơng 2: HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC TẠI VÔ CÙNG VÀ
ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK 18
2.1. Lớp Lelong 18
2.2. Hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng 25

2.3. Tính liên tục của hàm Green đa phức 28
2.4. Định lý xấp xỉ của Siciak 32
KẾT LUẬN 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO 42







Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hàm Green đa phức đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết thế
vị phức, nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên
cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman,
Magnusson, và đạt được nhiều kết quả sâu sắc về hàm Green đa phức và xấp
xỉ các hàm chỉnh hình. Đó là sự tổng quát hoá kết quả của Siciak- Zaharjuta
trong
¥
£
và trong trường hợp đại số. Một số kết quả về hàm Green đa phức với
cực logarit trên đa tạp siêu lồi, đó là sự tổng quát hoá của hàm Green đa phức
với cực hữu hạn, đã được nghiên cứu bởi Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta,
E. Amar , P.J. Thomas, Dan Coman
Ở đây chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và
định lý xấp xỉ của Siciak".

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên
cứu về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại. Một số kết quả về đa thức, tính
thuần nhất và tập cân.
- Trình bày một số kết quả của Benedikt Steinar Magnusson năm 2007
về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
- Sử dụng các kết quả của Benedikt Steinar Magnusson.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phần phụ lục.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính
chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị
tương đối. Cuối chương này trình bày một số kết quả về đa thức, tính thuần
nhất và tập cân.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu
về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

3
Chng 1
CC KIN THC CHUN B

1.1. Hm a iu hũa di
1.1.1. nh ngha. Cho
W
l mt tp con m ca
n
Ê
v
)
:,u
ộ
Wđ - Ơ Ơ
ờ
ở
l
mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi
-Ơ
trờn bt k thnh phn liờn
thụng no ca
W
. Hm
u
c gi l a iu ho di nu vi mi
a ẻW
v

n
b ẻ Ê
, hm
()u a bll+a
l iu ho di hoc trựng
-Ơ
trờn mi thnh
phn ca tp hp
{ }
: abllẻ + ẻ WÊ
. Trong trng hp ny, ta vit
()u ẻWPSH
. ( õy
()WPSH
l lp hm a iu ho di trong
W
).
1.1.2. nh lý. Cho
)
:,u
ộ
Wđ - Ơ Ơ
ờ
ở
l mt hm na liờn tc trờn v khụng
trựng
-Ơ
trờn bt k thnh phn liờn thụng ca
n
Wé Ê

. Khi ú
()u ẻWPSH
khi v ch khi vi mi
a ẻW
v
n
b ẻ Ê
sao cho
{ }
: , 1abl l l+ ẻ Ê é WÊ
,
ta cú
( ) ( ; , )u a l u a bÊ
,
trong ú
2
0
1
( ; , ) ( )
2
it
l u a b u a e b dt
p
p
=+
ũ

Ngoi ra, tớnh a iu ho di l mt tớnh cht a phng.
Mt s tớnh cht quan trng ca nhng hm a iu ho di cú th c
suy ra t kt qu tip theo. Tng t nh trng hp ca nhng hm iu ho

di, ta gi nú l nh lý xp x chớnh cho nhng hm a iu ho di.
1.1.3. nh lý. Cho
W
l mt tp con m ca
n
Ê
v
()u ẻWPSH
. Nu
0e >
sao cho
e
W ạ ặ
, thỡ
()uC
ee
l
Ơ
* é ầ WPSH
Hn na,
u
e
l*
n
iu gim khi
e
gim, v
0
lim ( ) ( )u z u z
e

e
l
đ
*=
vi mi
z ẻW
.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

4
Phộp chng minh ging nh chng minh ca nh lý xp x chớnh cho cỏc hm
iu ho di. Trc tiờn ta cn b sau:
1.1.4. B . Cho
n
Wé Ê

l mt tp m v
1
()
loc
uLẻW
. Gi thit rng
a ẻW
,
n
b ẻ Ê
, v
{ }
: , 1abl l l+ ẻ Ê é WÊ

. Khi ú

( ( ;., ) )( ) ( ; , )l u b a l u a b
ee
cl* = *

Chng minh. V trỏi ca ng thc bng
2
0
1
( ) ( ) ( )
2
n
it
u a e b dt d
p
e
w c w l w
p
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ốứ
ũũ
Ê
.
Do nh lý Fubini, nú bng v phi ca ng thc trờn.
Bõy gi chỳng ta cú th chng minh nh lý.
Chng minh. Theo Mnh 2.5.2
()i
[3],
()uC
ee
l
Ơ
* ẻ W
. Ta cú
()u
ee
l* ẻ WPSH
. S dng lp lun ú nh trong B 2.5.3 [3], i vi mi
bin riờng, chỳng ta cú th chng minh (bng qui np theo
j
) c lng sau :
1
1
1 1 1 1 1 1
( , , , , , ) ( , , , , , )
n
j j n j j n
C

u I d
e
l w w w w l w w w w
-
- + - +
*
ũ
,
Trong ú
1 1 1
( , , , , , )
j j n
I w w w w
-+
=

1 2 1 2 1 1 1 1
( , , , , , ) ( ) ( )
j j j j n n j
C
u z z z z de w e w e w e w c w l w
++
+ + + +
ũ
,

21
0 eeÊ<
v
1

1
( , , )
n
z z z
e
= ẻ W

.
T ú
12
( )( ) ( )( ) ( )u z u z u z
ee
ll* *
.
Phn cũn li ca chng minh cng nh trong nh lý 2.5.5 [3].
Bõy gi chỳng ta s trỡnh by vi h qu ca nh lý xp x chớnh.
1.1.5. H qu. Cho
W
v
Â
W
l nhng tp m trong
n
Ê
v
k
Ê
, tng ng.
Nu
()u ẻWPSH

v
:f
Â
W đ W
l mt ỏnh x chnh hỡnh, thỡ
ufo
l a
iu ho di trong
Â
W
.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

5
Chng minh. Nu
u
v
u-
l a iu ho di, thỡ
2
()uCẻW
. Bi vy
( ) , 0Lu a b b =
vi mi
,ab
thớch hp, v nh vy
()u ẻWPH
. iu ngc li
l tm thng.

Vỡ hm a iu ho di l iu ho di nờn ta cú th phỏt biu vi
tớnh cht khỏc:
1.1.6. H qu. Nu
, ( )uvẻWPSH
v
uv=
hu khp ni trong
W
, thỡ
uv
.
1.1.7. H qu. Hm a iu ho di tho món nguyờn lý cc tr trong min
b chn, tc l nu
W
l mt tp con m liờn thụng b chn ca
n
Ê

v
()u ẻWPSH
, thỡ hoc u l hng hoc vi mi
z ẻW
.

( ) sup lim sup ( )
y
y
u z u y
wwẻ ả W đ
ẻW

<
.
1.1.8. nh ngha. Tp hp
n
E é Ê
c gi l a cc nu vi mi im
aEẻ
u cú mt lõn cn
V
ca
a
v mt hm
()uVẻ PSH
sao cho
{ }
: ( )E V z V u zầ é ẻ = - Ơ
.
Cho
W
l mt tp con m trong
.
n
Ê

Ta núi rng mt ỏnh x chnh hỡnh
:
m
f Wđ Ê

l khụng suy bin trong

W
nu trong mi thnh phn liờn thụng
ca
W
cú th tỡm c mt im
z
sao cho hng ca
z
fả
l
m
.
1.1.9. Mnh . Cho
:
m
f Wđ Ê
l mt ỏnh x chnh hỡnh khụng suy bin
trờn mt tp m
m
Wé Ê
v
Â
W
l mt lõn cn m ca
()f W
trong
m
Ê
. Cho
{ }

()
A
u
a
a ẻ
Â
éWPSH
sao cho bao trờn ca nú
sup
A
uu
a
a ẻ
=
l b chn trờn a
phng. Khi ú
**
( ) ( ).u f u f=oo

Chng minh. t
{ }
: det 0
z
A z f= ẻ W ả =
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Vì

det
z
zf¶a
là một hàm chỉnh hình, A là đa cực nên A có độ đo Lebesgue
bằng không. Hạn chế của ánh xạ
f
trên
\ AW
là mở (do định lý ánh xạ
ngược) và liên tục nên ta có
{ }
*
0
( ) lim sup ( ( )) : ( , )u f u f z z B a
e
e
®
=Îo

=
{ }
0
lim sup ( ) : ( ( , ))u f B a
e
w w e
®
Î


( )( ),u f a

*
= o

với bất kỳ
\aAÎW
. Bởi vậy
( ) ( )u f u f
**
=oo
hầu khắp nơi trong
W
. Cũng
vậy
( ) ,( ) ( )u f u f
**
ÎWPSHoo
. Do đó
( ) ( )u f u f
**
=oo
trong
W
.
1.1.10. Mệnh đề. Cho dãy
{ }
()
j
j
u
Î

ÐWPSH
¥
bị chặn đều địa phương. Đặt
( ) lim sup ( )
j
j
z
u z u z
®¥
ÎW
=
. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên
u
*
là đa điều
hoà dưới trong
W
.
1.1.11. Định lý. Cho dãy
{ }
()
j
j
u
Î
ÐWPSH
¥
bị chặn đều địa phương trong
n
WÐ £

. Giả sử
lim sup ( )
j
j
u z M
®¥
£

với mỗi
z ÎW
và một hằng số
M
nào đó. Khi đó với mỗi
0e >
và mỗi tập
compắc
K ÐW
 tồn tại một số tự nhiên
0
j
sao cho, với
0
jj³
,
sup ( )
j
zK
u z M e
Î
£+

.
1.1.12. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n
£
và

{ }
: ( )F z v z= Î W = - ¥

là một tập con đóng của
W
 ở đây
()v ÎWPSH
. Nếu
( \ )uFÎWPSH
là bị
chặn trên, thì hàm
u
xác định bởi

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

7
( ) ( \ )
()
lim sup ( ) ( )
yz
yF

u z z F
uz
u y z F
đ
ẽ
ớ
ù
ẻW
ù
ù
ù
=
ẻ
ỡ
ù
ù
ù
ù
ợ

l a iu ho di trong
W
. Nu u l a iu ho v b chn trong
\ FW
, thỡ
u
l a iu ho trong
W
. Nu
W

l liờn thụng, thỡ
\ FW
cng liờn thụng.
1.1.13. Mnh . Nu
()
n
u ẻ PSH Ê
v
u
b chn trờn, thỡ
u
l hng s.
1.1.14. Mnh . Cho
:f
Â
Wđ W
l ton ỏnh chnh hỡnh riờng gia hai tp
m trong
n
C
v
()u ẻWPSH
. Khi ú cụng thc

{ }
1
( ) max ( ) : ( ),v z u f z zww
-
Â
= ẻ ẻ W

xỏc nh mt hm a iu hũa di.
Chng minh. Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s
Â
W
liờn thụng. Nu
G

l tp con m compc tng i trong
Â
W
, thỡ tp m
1
()fG
-
l compac tng
i trong
W
. Vỡ th, theo nh lý xp x chớnh ch cn ch ra mnh l ỳng
i vi cỏc hm a iu hũa di liờn tc.
Gi s
()u ẻ ầ WC PSH
. Nu
a
v
b
l cỏc s thc sao cho
ab<
, thỡ

)
1 1 1
(( , )) ( (( , ))) \ ( ( , ))v a b f u a f u b
- - -
ộ
= Ơ Ơ
ờ
ở
.
Suy ra
v
liờn tc trong
Â
W
. Theo nh lý 1.3.1 [3], ton ỏnh
1
1
( \ ( ))
: ( \ ( ) \ ( )
f f A
f f f A f A
-
-
Â
W
ÂÂ
W đ W

l song chnh hỡnh. Do ú, cú mt s duy nht
k ẻ Ơ

sao cho vi mi
\ ( )z f A
Â
ẻW
tn ti lõn cn
\ ( )V f A
Â
éW
ca
z
v cỏc lõn cn ri nhau
1
, ,
k
UU
ca
1
, , ,
k
ww
trong ú
{ }
1
1
, ( )
k
fzww
-
=
sao cho

):
j
j
U
i f U Vđ
l ỏnh x song chnh hỡnh.

1
1
) ( )
k
ii f V U U
-
= ẩ ẩ
.
Do ú
( \ ( ))v f A
Â
ẻWPSH
. Vỡ
v
liờn tc v
()fA
l tp a cc nờn tớnh
a iu hũa di ca
v
suy ra t nh lý 1.1.12.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

8
1.2. Hm a iu ho di cc i
1.2.1.nh ngha. Cho
W
l mt tp con m ca
n
Ê
v
:u Wđ Ă
l hm a
iu ho di. Ta núi rng
u
l cc i nu vi mi tp con m compact
tng i G ca
W
, v vi mi hm na liờn tc trờn
v
trờn
G
sao cho
()vGẻ PSH
v
vuÊ
trờn
Gả
, u cú
vuÊ
trong G.
Ký hiu

()WM PSH
l h tt c cỏc hm a iu ho di cc i trờn
W
.
Sau õy chỳng ta s xem xột mt s tớnh cht tng ng ca tớnh cc i.
1.2.2. Mnh . Cho
n
Wé Ê
l m v
:u Wđ Ă
l hm a iu ho di.
Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng:
()i
Vi mi tp con m compact tng i G ca
W
v vi mi hm
()v ẻWPSH
,
nu
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
xđ
-
vi mi
Gx ẻả
, thỡ
uv
trong G ;
()ii

Nu
()v ẻWPSH
v vi mi
0e >
tn ti mt tp compact
K éW
sao
cho
uv e- -
trong
\ KW
, thỡ
uv
trong
W
.
()iii
Nu
()v ẻWPSH
, G l mt tp con m compact tng i ca
W
, v
uv
trờn
Gả
thỡ
uv
trong G ;
()iv
Nu

()v ẻWPSH
, G l mt tp con m compact tng i ca
W
, v
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
xđ
-
vi mi
Gx ẻả
, thỡ
uv
trong G ;
()v

u
l hm cc i.
Chng minh.
( ) ( )i iiị
: Cho
v
l mt hm a iu ho di cú tớnh cht: vi
mi
0e >
tn ti mt tp compact
K éW
sao cho
uv e- -
trong

\ KW
.
Gi s rng
( ) ( ) 0u a v a h- = <
ti mt im
a ẻW
. Bao úng ca tp hp

: ( ) ( )
2
E z u z v z
h
ớỹ
ùù
ùù
= ẻ W < +
ỡý
ùù
ùù
ợỵ

l tp con compact ca
W
. Bi vy cú th tỡm c tp m
G
cha
E
v
compact tng i trong
G

. Theo
()i
ta cú
2
uv
h
+
trong
G
, iu ú mõu
thun vi
.aEẻ


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

9
Phn cũn li c suy ra t khng nh:
Hm
{ }
max ( ), ( ) ( )
()
( ) ( \ )
u z v z z G
z
u z z G
w
ớ
ù
ẻ

ù
=
ỡ
ù
ẻW
ù
ợ

l a iu ho di trong
W
theo cỏc gi thit
()iii
,
()iv
,
()v
, v
()i
.
1.2.3. Mnh . Cho
W
l mt tp con m ca
n
Ê
v
()u ẻWM PSH
. Nu
B
l mt hỡnh cu m sao cho
B

W
thỡ
B
u
l gii hn ca mt dóy gim
nhng hm a iu ho di cc i liờn tc trong
B
.
Chng minh. Cho G l tp con m compact tng i ca
W
cha
B
. Khi
ú, cú th tỡm c mt dóy gim
{ }
( ) ( )
j
j
u C G G
Ơ
ẻ
éầPSH
Ơ
hi t ti
u
.
t
( )
,

( ) ( )
()
( ) ( \ )
jB
Bu
j
j
z z B
vz
u z z G B
y
ả
ớ
ù
ù
ẻ
ù
=
ỡ
ù
ù
ẻ
ù
ợ
.
Khi ú
()
j
B
vBẻ M PSH

vi mi
j
,
()
j
vGẻ PSH
v dóy
j
v
gim n mt
hm
()vGẻ PSH
. Hin nhiờn,
vu
trong G. Cng vy,
vu
trong
\GB
.
Vỡ
u
cc i nờn ta cú
vuÊ
trong
B
. T ú
lim ( ) ( )
j
j
v z u z

đƠ
=
vi
zBẻ
.
1.3. Hm cc tr tng i.
1.3.1. nh ngha. Cho
W
l mt tp con m ca
n
Ê
v
E
l tp con ca
W
. Hm
{ }
,
( ) sup ( ) : ( ), 1, 0
E
E
u z v z v v v
W
= ẻ W Ê - ÊPSH
(
z ẻW
)
c gi l hm cc tr tng i i vi
E
trong

W
.
Hm
*
,
()
E
u
W
l a iu ho di trong
W
.
Xột trng hp c bit khi
E
l úng trong
W
. Ta cú
,E
u
W
trựng vi hm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
Perron - Bremermann
\,
E
E c
y

W-
(ở đây
E
c
là hàm đặc trưng của E ).
Thực vậy, giả sử
( \ )uEÎWPSH
âm sao cho:

\
lim sup ( ) 1
z
zE
uz
w®
ÎW
£-
với mỗi
Ew Î ¶ ÇW
.
Khi đó hàm

{ }
1
()
max 1, \
zE
vz
u z E
í

ï
-Î
ï
ï
=
ì
ï
- Î W
ï
ï
î

âm và nửa liên tục trên trong
W
. Hơn nữa, nó là hàm đa điều hoà dưới trong
W

do Định lý 1.1.2. Như vậy
,E
u v u
W
££
trong
\ EW
. Từ đó
\ , ,
E
EE
u
c

y
W - W
£

trong
\ EW
. Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên.
Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị
tương đối.
1.3.2. Mệnh đề.
Nếu
1 2 1 2
EEÐ Ð W Ð W
thì
1 1 2 1 2 2
,,,E E E
u u u
WWW
³³

1.3.3. Mệnh đề.
Nếu
W
là siêu lồi và
E
là một tập con compact tương đối của
W
, thì tại điểm
w Î ¶W
bất kỳ ta có

,
lim ( ) 0
E
z
uz
w
W
®
=
.
Chứng minh. Nếu
r
< 0 là một hàm vét cạn đối với
W
, thì với số
0M >
nào
đó,
1M r <-
trên
E
. Như vậy
,E
Mur
W
£
trong
W
. Rõ ràng,

lim ( ) 0
z
z
w
r
®
=

và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm.
1.3.4. Mệnh đề. Nếu
n
WÐ £
là siêu lồi và
K ÐW
là một tập compact sao cho
*
,
1
K
K
u
W
=-
thì
,K
u
W
là hàm liên tục.
Chứng minh. Lấy
,E

uu
W
=
và ký hiệu
()F ÐWPSH
là họ các hàm
u
. Giả sử

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

11
r
l hm xỏc nh ca
W
sao cho
1r <-
trờn K. Khi ú
ur Ê
trong
W
. Ch
cn chng minh rng vi mi
(0,1)e ẻ
tn ti
()v C Fẻ W ầ
. Sao cho
u v ue- Ê Ê
trong
W

. Tht vy, ly
(0,1)e ẻ

ị
tn ti
0h >
sao cho
u er-<
trong
\
h
WW
v
K
h
éW
,

trong ú

{ }
: ( , )z dist z
h
hW = ẻ W ảW >
.
Theo nh lý xp x chớnh i vi cỏc hm a iu ho di v nh lý Dini
(Royden 1963), cú th tỡm c
0s >
sao cho
u

d
c e r* - <
trờn
ảW
v
1u
d
ce* - < -
trờn
K
. t

{ }
\
max ,
trong
v
u trong
h
e
dh
r
c e r
ớ
ù
WW
ù
ù
=
ỡ

ù
* - W
ù
ù
ợ
.
Khi ú
()v C F
e
ẻ W ầ
v nh vy

{ }
max ,u u v u
e
e e r- Ê - Ê Ê

ti mi im trong
W
.
1.3.5. Mnh . Cho
n
Wé Ê

l tp m liờn thụng, v
E éW
. Khi ú cỏc
iu kin sau tng ng:
()i

*
,
0
E
u
W

;
()ii
Tn ti hm
()v ẻWPSH
õm sao cho
{ }
: ( )E z v zé ẻ W = - Ơ

Chng minh:
( ) ( )i i iị
Bõy gi gi s
*
,
0
E
u
W

. Theo Mnh 2.6.2 [3], tn
ti mt im
a ẻW
sao cho
,

( ) 0
E
ua
W
=
. Bi vy, vi mi
j ẻ Ơ
, cú th chn
mt
()
j
v ẻWPSH
sao cho

0, 1
jj
E
vv< < -
v
( ) 2
j
j
va
-
>-
.
t

1
( ) ( ), .

j
j
v z v z z
Ơ
=
= ẻ W
ồ



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

12
Chỳ ý rng
( ) 1va >-
,
v
õm trong
W
, v
E
v = - Ơ
.
ng thi
v
l gii hn ca dóy gim ca cỏc tng riờng ca cỏc hm a iu
ho di. Vỡ
v ạ - Ơ
nờn ta kt lun
()v ẻWPSH

.
( ) ( )ii iị
l hin nhiờn. Tht vy, nu
v
nh trờn
()ii
, thỡ
,E
vue
W
Ê
vi mi
0e >
, t ú
,
0
E
u
W
=
hu khp ni trong
W
. Nh vy
*
,
0
E
u
W

.
1.3.6. Mnh . Cho
W
l tp con m liờn thụng ca
n
Ê
. Gi s
j
j
EE=
U
,
trong ú
j
E éW
vi
1,2, j =
. Nu
*
,
0
j
E
u
W

vi mi
j
, thỡ
*

,
0
E
u
W

.
Chng minh. Chn
()
j
v ẻWPSH
sao cho
0
j
v <
v
j
j
E
v = - Ơ
.
Ly im
{ }
1
\ ( )
j
j
av
-
ổử

ữ
ỗ
ữ
ẻ W - Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
U
. Bng cỏch m rng mi hm
j
v
bi mt
hng s dng thớch hp, ta cú th gi thit
( ) 2
j
j
va
-
>-
. Khi ú nh trong
chng minh Mnh 1.3.5, ta cú

()
j
j
vv= ẻ W
ồ

PSH
,
0v <
v
E
v = - Ơ
. Suy ra
*
,
0
E
u
W

.
W

1.3.7. Mnh . Cho
W
l tp con siờu li ca
n
Ê
v
K
l mt tp con
compact ca
W
. Gi thit rng
{ }
j

W
l mt dóy tng nhng tp con m ca
W

sao cho
1
j
j
Ơ
=
W= W
U

v
1
K éW
. Khi ú

,,
lim ( ) ( ),
j
KK
j
u z u z z
WW
đƠ
= ẻ W


Chng minh. Ly im

0
z ẻW
. Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s rng
{ }
01
Kzẩ é W
. Gi s
0r <
l mt hm vột cn i vi
W
sao cho
1r <-

trờn K.
Ly
(0,1)e ẻ
sao cho
0
()zre<-
. Khi ú tn ti
0
j ẻ Ơ
sao cho tp
m
1
(( , ))w r e
-
= - Ơ -
l tp compact tng i trong
0

j
W
. Ly

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
0
()
j
u ÎWPSH
sao cho
0u £
trên
0
j
W

và
1u £-
trên
K
. Khi đó
{ }
max ( ) , ( ) ,
()
( ), \
u z z z
vz
zz

e r w
rw
í
ï
-Î
ï
=
ì
ï
ÎW
ï
î

xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa
1
K
v £-
và
0v £
. Như vậy
0 , 0
( ) ( )
K
v z u z
W
£
. Vì
u
là một phần tử tuỳ ý của họ
0

,
j
K
u
W
, nên ta có

0
, 0 , 0
( ) ( )
j
KK
u z u ze
WW
-£

Do đó ta có
, 0 , 0 , 0
( ) ( ) ( )
jj
K K K
u z u z u ze
W W W
- £ £
với mọi
0
jj³
và
e
nhỏ

tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Đa thức, tính thuần nhất và tập cân
1.4.1. Định nghĩa. Tập
n
E Ð C
được gọi là
n -
tròn nếu với mỗi
aEÎ
,
mọi điểm
n
z Î £
sao cho
az=
trong E, là đường tròn nếu với mỗi
aEÎ
,
aEl Î
với mọi
l Î T
, và là tập cân nếu với mỗi
aEÎ
,
aEl Î
với mọi
l Î D
.
Ta ký hiệu bao đa thức của một tập compact
K

bởi:
{ }
ˆ
: ( )
n
K
K z p z p= Î ££
với mọi đa thức
p
.
1.4.2. Bổ đề. Nếu K là một tập con compact cân của
n
£
, thì

( )
{ }
ˆ
:
n
K
K z Q z Q= Î ££
với mọi đa thức thuần nhất
Q
trên
n
£
.
Chứng minh. Để chứng minh vế phải bao hàm trong
ˆ

K
ta lấy
b
thuộc vế phải
và một đa thức
P
khác hằng. Khi đó ta có thể viết
0
d
j
j
pQ
=
=
å
, trong đó
j
Q
là
một đa thức thuần nhất bậc
j
hoặc đồng nhất 0. Với mỗi
zKÎ
áp dụng bất
đẳng thức Cauchy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14

( )
( , )
!
B a r
j
j
jf
D f a
r
¶
£

đối với các hàm chỉnh hình
( ) ( ) ( )
00
dd
j
jj
jj
P z Q z Q zl l l l
==
==
åå
a

với
0a =
hoặc
1r =
. Ta được

( )
{ }
:
j
z T K
Q z P P
llÎ
££
vì
K
là cân.
Vì điều đó xảy ra với mỗi
zKÎ
nên ta có

( )
00
( ) ( ) 1
dd
j j K
K
jj
P b Q b Q d P
==
£ £ £ +
åå

suy ra

1/ 1/
1/
( ) ( 1)
dd
d
K
P b d P£+
.
Áp dụng lập luận tương tự đối với
, 1,2,
k
Pk=
ta được
( ) ( )
1/ 1/
1/ 1/ 1/ 1/
( ) ( ) 1 1
kd kd
d kd kd d
kk
K
K
P b P b kd P kd P= £ + = +
,
Do đó
( )
1/
( ) lim 1
d
KK

k
P b kd P P
®¥
£ + =
suy ra
ˆ
bKÎ
. Bao hàm ngược lại
là hiển nhiên được suy ra từ định nghĩa của bao đa thức
ˆ
K
của
K
.
1.4.3. Định lý. Cho
W
là lân cận mở cân của gốc trong
n
£
và
f
là một hàm
chỉnh hình trên
W
, khi đó tồn tại các đa thức P
j
có bậc là j sao cho
0
j
j

fP
¥
=
=
å

và chuỗi này hội tụ đều trên các tập con compact của
W
.
Chứng minh. Ta sẽ tìm
0r >
sao cho đa đĩa
( )
0,Pr
nằm trong
W
và khai
triển
f
thành chuỗi lũy thừa
()
n
f z a z
a
a
a
+
Î
=
å

¢
, hội tụ tuyệt đối và đều trên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
( )
0,Pr
. Với
j
+
Î Z
, đặt
( )
j
j
P z a z
a
a
a =
=
å
. Khi đó
j
P
là các đa thức thuần
nhất trên
n
£
có bậc là

j
.
Với một tập con compact
K ÐW
, ta lấy
1t >
sao cho
2
tKÐW
và
xác định hàm đa điều hòa dưới
1/ j
jj
uP=
trên
n
£
. Do chuỗi hội tụ đều trên
( )
0,Pr
nên
0M$>
sao cho
( )
0,
,0
j
Pr
P M j£ " ³
, do đó ta có:

( )
1/
,
jn
j
z
u z M z
r
£Î£
,
Và họ
{ }
j
u
là bị chặn đều địa phương. Với
z ÎW
, ta tìm
1s >
sao cho tập
( )
{ }
: 0,z D sllÎ
là compact tương đối trong
W
, điều đó là có thể thực hiện
được vì
W
là tập cân. Hàm
()fzlla
khi đó là chỉnh hình trên D(0, s) và do

đó chuỗi:
( ) ( ) ( )
00
j
jj
jj
f z P z P zl l l
¥¥
==
==
åå

là hội tụ tuyệt đối với
sl <
. Điều này có nghĩa là bán kính hội tụ của chuỗi
lũy thừa theo  là lớn hơn hoặc bằng 1 và ta nhận được:
( )
1/
lim sup ( ) lim sup 1
j
jj
jj
u z P z
® ¥ ® ¥
=£

với mọi
z ÎW
. Theo Bổ đề Hartog (Định lý 1.1.11)
00

:j j j$³
thì
2
( ) , .
j
u z t z t K£Î
Khi đó với mỗi
0
,z K j jγ
ta có

22
( ) ( )
jj
jj
P z t P t z t

=£
,
do đó chuỗi
j
P
å
là hội tụ đều trên
K
.
Bây giờ ta ký hiệu
n
+
H

là họ tất cả các hàm
()
n
u Î PSH C
không âm và
thuần nhất phức bậc 1, tức là
( ) ( )u z u zll=
với
l Î C
và
n
z Î C
, và
không đồng nhất 0.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
1.4.4. Định lý. Nếu
n
u
+
Î H
thì tồn tại một họ
{ }
0
u
d
d>
các hàm liên tục trong

{ }
( \ 0 )
nn¥
+
ÇHCC
sao cho
uu
d
]
khi
0d ®
.
Chứng minh. Gọi
nn´
C
là không gian tất cả các ma trận phức cấp
nn´
và
I

là ma trận đồng nhất trong
nn´
C
. Giả sử
()
nn
c
j
¥´
Î C C

là tia đối xứng, không
âm sao cho
1
nn
djl
´
=
ò
C
. Với
0d >
đặt
2
2
( ) ( )
n
AI
A
d
j d j
d
-
-
=
và

( ) ( ) ( ) ( ), .
nn
n
u z u Az A d A z

dd
jl
´
=Î
ò
£
C
(1.1)
Tính đa điều hoà dưới của
u
d
suy ra bằng cách thế tích phân trong (1.1) vào

2
0
1
( ) ( ) , ,
2
in
u a u a be d a b
p
q
dd
q
p
£ + Î
ò
£

và thay đổi bậc của tích phân. Chú ý rằng

u
d
là hàm thuần nhất nên liên tục tại
0. Nếu
1
()
nn
loc
UL
´
Î £
thì ta định nghĩa

( ) ( ) ( ) ( ),
nn
nn
U Z U AZ A d A Z
dd
jl
´
´
=Î
ò
£
£
.
Nếu
()
n
Z GLÎ £

, thì định thức thực của ánh xạ tuyến tính
A AZa
là
det
n
Z
, do đó đổi biến
B AZ=
ta được

2
1
( ) ( ) ( ) det ( )
nn
n
U Z U B BZ Z d B
dd
jl
´
-
-
=
ò
£
.
Vì hàm
2
1
( ) ( ) det
n

n
GL Z BZ Z
d
j
-
-
'£a
nằm trong
( ( ))
n
GL
¥
C £
nên suy ra
( ( ))
n
u GL
d
¥
Î C £
.
Theo giả thiết
n
u
+
Î H

Þ

u

xác định hàm
1
()
nn
loc
UL
´
Î £
bởi
1
( ) ( )U Z u Z=
,
ở đó
1
Z
là cột đầu tiên của ma trận
Z
. Ta có
1
( ) ( )U Z u Z
dd
=
suy ra
{ }
( \ 0 )
n
uC
d
¥
Î £

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Để chứng minh
uu
d
]
khi
0d ®
, ta đổi biến
A
trong công thức (1.1)
AI
B
d
-
=
sẽ nhận được
( ) ( ) ( ) ( ).
nn
u z u z Bz B d B
d
d j l
´
=+
ò
C

Vì
()
nn
c
j
¥´
Î C C
là tia đối xứng nên tồn tại
0
()y
¥
Î C ¡
sao cho
( ) ( )BBjy=
. Khi đó dùng toạ độ cực ta được

0
( ) ( ) ( )
S
u z u z r z d r dr
d
d w w y
¥
æö
÷
ç
÷
ç
=+
÷

ç
÷
÷
ç
èø
òò
,
trong đó
S
là hình cầu đơn vị trong
nn´
£
. Tính chất giá trị trung bình dưới của
u
chỉ ra rằng tích phân ở bên trong là hàm tăng đối với
d
. Từ đó suy ra
uu
d
]
khi
0d ®
.
W


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
Chƣơng 2

HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC TẠI
VÔ CÙNG VÀ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK

Mục đích chính của chương này là trình bày các kết quả của Magnusson
về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak.
2.1. Lớp Lelong
2.1.1. Định nghĩa. Hàm
()u ÎWPSH
gọi là có cấp tăng logarit nếu tồn tại
hằng số
C
sao cho
( ) log ,
n
v z z C z
+
£ + Î C
, trong đó
{ }
log max 0,logxx
+
=
. Họ các hàm số như thế gọi là thuộc lớp Lelong và ký
hiệu là
L
. Như vậy

( )
{ }
( ); log , .

nn
v v z z C z
+
= Î £ + " ÎPSH ££L

2.1.2. Mệnh đề. Hàm
()
n
u Î P SH C
thuộc lớp Lelong
L
khi và chỉ khi hàm

0 0 1 0 0 0
( , , ) ( ) log ( / , / ) log
nn
z z z u z z u z z z z zp= + = +
%%
ao
(2.1)
thác triển như là hàm đa điều hòa dưới từ
{ }
1
0
\ : 0
n
zz
+
=
%

C
lên
{ }
1
\0
n+
C
.
Chứng minh. Nếu
u Î L
và gọi
{ } { }
1
: \ 0
n
j
+
® È ¥CR
là hàm xác định
bởi
0
( ) logzzj =
%
, thì
u pj+o
là đa điều hòa dưới trên
{ }
1
0
\ : 0

n
zz
+
=C
%

và
1 0 0 0
( ) ( ) ( / , / ) log
n
u z z u z z z z zpj+ = +o


1 0 0 0
log ( / , / ) log
n
z z z z z C
+
£ + +


10
0
1
log ( ( , , )) log
n
z z z C
z
+
= + +

1
log ( , , )
n
z z C
+
£+


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
Do đó
u pj+o
bị chặn trên địa phương ở gần mỗi điểm có dạng
{ }
(0, ), \ 0
n
wwÎ C
và thác triển thành hàm đa điều hòa dưới trên
{ }
1
\0
n+
C

theo Định lý 1.1.12.
Nếu
u pj+o

thác triển thành hàm đa điều hòa dưới trên
{ }
1
\0
n+
£
thì
( ) (1, ) (1)z u z u zpj=+ao
là đa điều hòa dưới trên
n
£
. Với
{ }
1
( , , ) \ 0
n
n
z z z=Σ
lấy
1/
o
zz=
thì
( )
, / log
oo
u z z z zp +o
là bị
chặn trên địa phương.
Lấy

( )
0,
n
K B Se=´
là một tập con compact trong
n
£
ở đó  > 0 và C được
chọn sao cho
( )
, / log
oo
u z z z z Cp +£o
trên K, ta có:
( ) log u z z C
+
£+
với
z
đủ lớn.
Giống như đối với các hàm đa điều hòa dưới, ta định nghĩa tập cực đối với
L

như sau:
2.1.3. Định nghĩa. Một tập
n
E Ð £
được gọi là
L
– cực nếu tồn tại

u Î L

sao cho
E
u = - ¥

2.1.4. Mệnh đề. Cho họ
Ð LU
không rỗng và
{ }
( ) sup ( ) :u z v z v=ÎU
, là
một hàm trên
n
£
. Nếu
{ }
: ( )
n
z u zÎ < + ¥£
không là tập
L
– cực thì họ
U
là bị chặn trên đều địa phương và
*
u Î L
.
Chứng minh. Giả sử họ
U

không bị chặn trên đều địa phương. Khi đó có thể
tìm được hình cầu
( , )
n
B a r Ð £
và dãy
{ }
j
j
u
Î
Ð U
¥
sao cho
sup ( )
jj
M u B j=³
với mọi
j Î ¥
. Ta có
( )
( ) log / , .
n
jj
u z M z a r z
+
- £ - Î £
(2.2)
Nhận xét rằng tại điểm
0

n
z Î £
nào đó ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20

0
lim sup exp( ( ) ) 0
jj
j
u z M
®¥
->
. (2.3)
Đối với những trường hợp khác ta có

lim sup exp( ( ) ) 0
jj
j
u z M
®¥
-£
tại mỗi điểm
n
z Î £
;
theo Bổ đề Hartog suy ra
exp( ( ) ) 1/ 2

jj
u z M-£
với mọi
( , )z B a rÎ
và mọi
j Î ¥
đủ lớn. Nhưng khi đó ước lượng sau cùng mâu thuẫn với định nghĩa của
j
M
.
Đặt
0
lim sup exp( ( ) )
jj
j
u z Md
®¥
=-
và chọn dãy
{ }
k
j
k
u
Î ¥
sao cho

0
lim exp( ( ) )
kk

jj
k
u z M d
®¥
-=
và
2
k
k
j
M ³
với mọi
k Î ¥
.
Xét hàm số

1
( ) 2 ( ( ) ),
kk
kn
jj
k
z u z M zw
¥
-
=
= - Î
å
£
.

Theo (2.2) ta có ước lượng

2 ( ( ) ) 2 log ( / ) 0
kk
kk
jj
u z M R r
- - +
- - £

với
( , )z B a rÎ
và
Rr>
. Đặt

2 ( ( ) ) 2 log ( / )
kk
kk
k j j
u z M R rw
- - +
= - -
,
ta có
( ( , ))
k
B a rw Î PSH
và
0

k
w £
. Như vậy hàm số

1
log ( / ) 0
k
k
Rrww
¥
+
=
= - £
å

là hàm đa điều hoà dưới trong
( , )B a r
hoặc là đồng nhất bằng
-¥
. Suy ra, có
thể chọn
R
để
w
là đa điều hoà dưới hoặc là đồng nhất bằng
-¥
. Do đó từ
0
()zw > - ¥
suy ra

()
n
w Î PSH £
. Lại áp dụng (2.2) ta được
w Î L
.
Nếu
n
z Î £
và
()uz <¥
thì
2 ( )
k
k
j
k
uz
-
<¥
å