Một phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN KIM THANH
MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN KIM THANH
MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA
GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG
THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được viết dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Tạ
Duy Phượng. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy
và gia đình.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học,
Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi được học tập tốt.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp
trường TH PT Lưu Nhân Chú - Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã hết lòng động viên

tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày 19 t háng 10 năm 2011
Học viên
Nguyễn Kim Thanh
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời nói đầu
Bài toán tối ưu hóa ngày nay đang được nghiên cứu và ứng dụng r ộng
rãi vào nhiều lĩnh vực như kĩ thuật, kinh tế và khoa học. Trong thời gian
gần đây, bài toán tối ưu đa mục tiêu được quan tâm nhiều vì nó là mô
hình của nhiều bài toán thực tế. Bài toán tối ưu này có hàm mục tiêu nhận
giá trị vectơ và đòi hỏi cá c khái niệm mới về nghiệm. Việc tính toán tập
nghiệm, thậm chí l à tìm ra một nghiệm của bài toán nói chung là khó. Vì
vậy phát triển các phương pháp số hữu hiệu giải các bài toán tối ưu đa
mục tiêu, hiện nay đang được quan tâm đặc biệt.
Khái niệm cực tiểu đầu tiên được đưa r a bởi Edgeworth nă m 1881, và
Pareto năm 1 896. Để xây dựng khái niệm này, Pareto đã sử dụng khái
niệm sắp thứ tự theo nón trong không gian ảnh. Sau đó Kuhn và Tucker,
vào năm 1951 đã nghiên cứu kĩ hơn và chặt chẽ hơn bằng toán học. Kể từ
đó bài toán tối ưu đa mục tiêu t rở thành một lĩnh vực được nghiên cứu
tích cực. Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu giải quyết bài toán này và
đưa ra nhiều kết quả quan trọng, xem [1,2]
Ở thế kỉ trước, mục tiêu nghiên cứu chính dựa trên các phương pháp
lặp để xác đị nh duy nhất mộ t nghiệm đơn trong m ột quá trình lặp đi lặp
lại. Bằng cách ấy, các phép tính số được tính toán liên tiếp với hàm quyết
định được đưa ra bởi mục tiêu mong muốn cho đến khi nào nghiệm được
tìm thấy.
Tuy nhiên, với sự phát triển của công nghệ thông tin và tốc độ của máy
tính hiện nay đã có thể xác định được tập hữu hiệu một cách dễ dàng hơn.
ii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp tì m tập hữu hiệu
nhờ phương phá p số dựa theo tài liệu [3]. Trong [3] , Gabriele Eichfelder
đã sử dụng phương pháp ti ếp cận vô hướng hóa phụ thuộc tham số của
Pasco letti và Serafini .
Nhiệm vụ của luận văn là trình bày một cách chi tiết, có chứng mi nh
một số định lí, nhận xét, trình bày lại thuậ t toán giải bài toán tối ưu hai
mục tiêu.
Luận văn của gồm 3 chương:
Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong phần đầu
của chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản của
tối ưu đa mục tiêu, chẳng hạn như các khái niệm cực tiểu và các tính chất
của nón sắ p thứ tự, đặc biệt là nón đa diện.
Chương 2 dành riêng tìm hiểu kĩ về phương pháp vô hướng hóa giải
bài toán tối ưu.
Vô hướng hóa được đưa ra dựa trên vô hướng hóa Pascoletti-Serafini. Đây
là một trong hai chương chính của luận văn.
Chương 3 Trong chương này chủ yếu sử dụng kết quả trước để phát
triển thuật toá n điều khi ển việc lựa chọn tham số trong tiếp cận vô hướng
hóa Pascoletti-Serafini.
Và cuối cùng là kết luận và tài liệu tham k hảo.
Thái Nguyên, năm 2011
Học viên
Nguyễn Kim Thanh
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Quan hệ sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Nghiệm cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Nghiệm cực tiểu yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Nón đa diện sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Phương pháp vô hướng h óa 16
2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Sera fini . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Tính chất của vô hướng hóa Pa scoletti-Serafini . . . . . . . 19
2.3 Thiết lập thông số hạn chế cho vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 24
2.3.1 Trường hợp với hàm hai mục tiêu . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Điều khiển tham số 41
3.1 Điều khiển tham số trong trường hợp hai mục tiêu . . . . . 42
3.2 Thuật toán cho tối ưu hóa Pascoletti-Serafini . . . . . . . . 49
Tài liệu th am khảo 53
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Giả sử
f : R
n
→ R
m
,
g : R
n
→ R
p
,
h : R
n

→ R
q
(p, q ∈ N) là các hà m liên tục.
Ta đặt f(x) = (f
1
(x), ., f
m
(x)) với
f
i
: R
m
→ R
, i = 1, , m.
Cho S ⊂ R
n
là một tập lồi đó ng và C ⊂ R
p
là một nón lồi đóng. Nhắc
lại rằng một tập C ⊂ R
p
là một nón lồi đóng nếu λ(x + y) ∈ C với mọi
λ ≥ 0, x, y ∈ C.
Xét bài t oán tối ưu đa mục tiêu ( MOP ):
min f(x)
với các hạn chế
g(x) ∈ C,
h(x) = 0
q
,

x ∈ S.
Với m = 1 bài toán (MOP) trở thành bài toán tối ưu hàm một mục
tiêu quen thuộc. Trong luận văn này ta chủ yếu quan tâm tới hàm đa mục
tiêu (m ≥ 2 ).
Tập Ω := {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0
q
} được gọi là tập ràng buộc hay
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tập hạn chế của bài toán (MOP).
Ta giả sử Ω = ∅ và định nghĩa f(Ω) := {f (x) ∈ R
m
| x ∈ Ω}.
1.1 Kiến thức cơ sở
1.1.1 Quan hệ sắp thứ tự
Định nghĩa 1.1.1. Một tập con khá c rỗng  ∈ R
m
×R
m
được gọi là qua n
hệ hai ngôi  trên R
m
.
Ta viết xy nếu (x, y ) ∈ . Quan hệ hai ngôi thường kí hiệu theo thứ tự
quen thuộc là ≤ .
Định nghĩa 1.1.2. Một quan hệ hai ngôi ≤ trên R
m
được gọi là sắp thứ
tự bộ phận trên R
m

nếu với x, y, z, w ∈ R
m
tùy ý ta có:
(i) x ≤ x (tính phản xạ),
(ii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z (tính bắc cầu),
(iii) x ≤ y, w ≤ z ⇒ x + w ≤ y + z (tính tương thích với phép cộng),
(iv) x ≤ y, α ∈ R
+
⇒ αx ≤ αy (tính tương thích vớ i phép nhâ n vô hướng).
Định ngh ĩa 1.1.3. Một quan hệ sắp thứ tự bộ phận ≤ trên R
m
được gọi
là phản xứng nếu với x, y ∈ R
m
bất kì x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y.
Định nghĩa 1.1.4. Một không gian tuyến tính R
m
được trang bị một
quan hệ sắp thứ tự được gọi là không gian tuyến tính sắp thứ tự.
Ví dụ 1.1.5. Quan hệ sắp thứ tự trên R
m
được định nghĩa bởi:
≤
m
:= {(x, y) ∈ R
m
× R
m
| x
i

≤ y
i
; ∀i = 1, , m}
là q uan hệ sắp thứ tự bộ phận. Quan hệ này gọi là quan hệ sắp thứ t ự tự
nhiên.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nhận xét 1.1.6. :
(i) Một quan hệ sắp thứ tự ≤
m
trên R
m
xác định một nón lồi
K := {x ∈ R
m
| 0
m
≤ x}
Nón K lúc này được gọi là nón sắp thứ tự.
(ii) Cho K là một nón l ồi bất kì trên R
m
. Khi đó ta xác định được một
quan hệ sắp thứ tự trên R
m
như sau:
≤
K
:= {(x, y) ∈ R
m
× R

m
| y − x ∈ K}
(iii) Một quan hệ sắp thứ tự K là phản xứng nếu và chỉ nếu K là nón nhọn.
Nhắc lại rằng, nón K ⊂ R
m
được gọi là nón nhọ n nếu K ∩(−K) = {0
m
}
Giả sử K l à một nón nhọn nào đó . Khi đó quan hệ sắp thứ tự trên R
m
≤
K
:= {(x, y) ∈ R
m
× R
m
| y − x ∈ K}
Nếu x ≤
K
y với x, y ∈ R
m
thì y −x ∈ K. Vì K là nón nhọn x −y ∈ K chỉ
khi x − y = 0
m
hay y ≤
K
x khi x = y. Do đó quan hệ sắp thứ tự ≤
K
là
phản xứng.

1.1.2 Nghiệm cực tiểu
Định nghĩa 1.1.7. Cho Ω là một tập con khác rỗng của không gian tuyến
tính R
m
được sắp thứ tự bởi nón lồi K. Một điểm ¯y ∈ Ω là một điểm
K-cự c tiểu của tập Ω nếu
(¯y −K) ∩ Ω ⊂ ¯y + K (1.1)
Nếu nón K là nhọn thì (1.1) tương đương với
(¯y −K) ∩ Ω = {¯y}
Nếu cho y, y ∈ Ω ta có y − y ∈ K \ {0
m
}, thì t a nói rằng y trội hơn y.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định nghĩa 1.1.8. Một đi ểm ¯x ∈ Ω là một nghiệ m cực tiểu (không làm
trội đư ợc, nghiệm hữu hiệu hay K-cực tiểu) của bài toán tối ưu đa mục
tiêu (MOP) tương ứng với nón sắp thứ tự K nếu f(¯x) là một điểm K-cực
tiểu của tập f(Ω).
Tập tất cả các nghiệm cực tiểu tương ứng với nón K được kí hiệu M(f(Ω), K).
Tập ảnh của tập tất cả các nghiệm cực tiểu
E(f(Ω), K) := {f(x) | x ∈ M(f(Ω), K)}
được gọi là tập hữu hiệu.
Một điểm ¯y ∈ E(f(Ω), K) được gọi là điểm K-cực t i ểu, điểm không làm
trội được,hay điểm hữu hiệu tương ứng với nón K.
Nếu có m ột điểm f(x) ∈ f(Ω) với f(x) −f(¯x) ∈ K \{0
m
} thì ta nói rằng
f(x) được làm trội bởi f(¯x) và x được làm trội bởi ¯x một cách tương ứng.
Cho K = R
m

+
, điểm K-cực tiểu cũng được gọi là Ed g eword-Pareto-cực tiểu
(EP-cực tiểu).
Trong hình 1.2 là v í dụ về bài toán tối ưu hai mục tiêu. Tập Ω và f(Ω)
là những nón nhọn sắp thứ tự. Tập hữu hiệu là phần đường tô đậm.
Trong không gia n tuyến tính sắp thứ tự, tồn tại những điểm không thể
so sá nh được với nhau như các điểm (1; 2) và (2; 1) trong R
2
tương ứng với
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
nón sắp thứ tự tự nhiên. Đó là lí do tại sao bài toán tối ưu tổng quát dễ
có vô số nghiệm. Bởi vì việc tính toán trực tiếp t ất cả các nghiệm trong
trường hợp tổng quát là không thể nên t a cố gắng đưa r a xấ p x ỉ tiệm cận
theo điểm của tập hữu hiệu với độ xấp xỉ cao nhất.
Trong trường hợ p quan hệ sắp thứ tự toàn phầ n và nếu bài toán đa mục
tiêu là giải được thì chỉ có duy nhất một nghiệm cực tiểu trong không gian
ảnh.
Một quan hệ sắp thứ tự được gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi
x, y ∈ R
m
hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x là đúng. Nếu một q uan hệ sắp thứ tự
được đặc trưng bởi một nón lồi K ⊂ R
m
thì nó là sắp thứ tự toàn phần
nếu và chỉ nếu K ∪(−K) = R
m
.
Ví dụ quan hệ sắp thứ tự tự đi ển x ác định bởi nón
K =


y ∈ R
m
| ∃k ∈ {1, , m}; y
i
= 0 nếu i < k; y
k
> 0

∪ {0
m
}
là sắp thứ tự to àn phần. Tương ứng với tất cả các điểm sắp thứ tự này
trong R
m
có thể được so sánh với nhau và có thể sắp xếp được. Tuy nhiên
một nón lồi nhọn không thể vừa đóng vừa thỏa mãn tính chất sắp thứ tự
toàn phần K ∪(− K) = R
m
. Ví dụ, nón sắp thứ tự tự điển là không đóng.
Trong bà i luận văn này ta chỉ xét các nón lồi nhọn đóng và do đó quan hệ
sắp thứ t ự ≤
K
là sắp thứ tự bộ phận.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.1.3 Nghiệm cực tiểu yếu
Định nghĩa 1.1.9. Cho K là một nón nhọn sắp thứ tự với int(K) = ∅.
Một điểm ¯x ∈ Ω là một nghiệm cực tiểu yếu của (MOP) tương ứng với K
nếu

(¯y −int( K)) ∩ f(Ω) = ∅
Tập tất cả các nghiệm cực ti ểu yếu tương ứng với nón K được kí hiệu là
M
w
(f(Ω), K). Tập ảnh của tập tất cả các điểm cực tiểu yếu
E
w
(f(Ω), K) := { f (x) | x ∈ M
w
(f(Ω), K)}
được gọi là tập các đ i ểm hữu hiệu yếu tương ứn g với nón K.
Ta cũng xét tập các điểm hữu hiệu yếu đối với K = R
m
+
.
Các điểm K-cực tiểu là các điểm cực tiểu tương ứng với nón int(K)∪{0
m
}.
Vì vậy xét các mệnh đề dưới đây ta xét trong trường hợp int(K) khác rỗng
đó là
M(f(Ω), K) ⊂ M
w
(f(Ω), K).
E(f(Ω), K) ⊂ E
w
(f(Ω), K).
Bổ đề 1.1.10. ([5]) Cho K
1
và K
2

là các nón lồi khác rỗng với K
1
⊂ K
2
.
Khi đó ta có tập các nghiệm cự c tiểu
M(f(Ω), K
2
) ⊂ M(f(Ω), K
1
).
Ta cũng có một kết quả tương tự cho tập các điểm cực tiểu yếu.
Bổ đề 1.1.11. Cho K
1
và K
2
là các nón nhọn sắp thứ tự với ph ần trong
khác rỗng và K
1
⊂ K
2
. Khi đ ó ta có tập các ngh i ệ m cực tiểu yế u
M
w
(f(Ω), K
2
) ⊂ M
w
(f(Ω), K
1

).
Chứng minh. Vì K
1
⊂ K
2
nên int(K
1
) ⊂ in t(K
2
) và vì vậy
M
w
(f(Ω), K
2
) = M(f(Ω), int(K
2
)) ∪{0
m
}
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⊂ M(f (Ω), int(K
1
)) ∪{0
m
}
= M
w
(f(Ω), K
1

).
Định nghĩa 1.1.12. Cho X là một không gian tuyến tính. Phần trong đại
số của một tập khác rỗng K ⊂ X, hay nhân của K được xác định bởi
cor(K) :=

¯x ∈ K | với mỗi x ∈ X, ∃
¯
λ > 0 sao cho ¯x + λx ∈ K, ∀λ ∈ [0,
¯
λ]

Bổ đề 1.1.13. Cho X l à một không gian tuyến tính . K là một nón lồi
trong X. Ta có:
(i) cor(K) là một tập lồi,
(ii) Nếu cor(K) = ∅ thì cor(K) ∪ {0
X
} cũng là một nón lồi,
(iii) Trong trường hợp X = R
m
thì int(K) = cor( K).
Chứng minh. (i) Lấy x
1
, x
2
∈ cor(K) và t ∈ (0 , 1).
Theo định nghĩ a ta có
∀x ∈ X, ∃
¯
λ > 0 sao cho x
1

+ λx ∈ K và x
2
+ λx ∈ K, ∀λ ∈ [0,
¯
λ]
Vì K lồi nên ta có :
tx
1
+ (1 − t)x
2
+ λx = t(x
1
+ λx) + (1 −t)(x
2
+ λx) ∈ K, ∀λ ∈ [0,
¯
λ]
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Vậy tx
1
+ (1 − t)x
2
∈ cor(K) hay cor(K) lồi.
(ii) Lấy ¯x bất kì thuộc cor(K) và µ > 0. Với mỗi x ∈ X có
¯
λ > 0 sao cho
¯x +
λ
µ

x ∈ K, ∀λ ∈ [0,
¯
λ].
Vì K là nón nên ta nhậ n được :
µ(¯x +
λ
µ
x) = µ¯x + λx ∈ K, ∀λ ∈ [0,
¯
λ]
Từ đó ta có µx ∈ cor(K) nên cor(K) lồi. Kết hợp với kết quả đã chứng
minh ở (i ) ta có (ii).
(iii) Trong trường hợp X = R
m
thì dễ dàng ta có int(K) = cor(K).
Định nghĩa 1.1.14. Kí hiệu L(K) là không gi an con nhỏ nhất của X
chứa tập K ⊂ X. Khi đó phần trong đại số tương đối được định nghĩa bởi
icr(K) :=

¯x ∈ K | ∀x ∈ L( K), ∃
¯
λ > 0 sao cho ¯x + λx ∈ K, ∀λ ∈ [0,
¯
λ]

Ví dụ 1.1.15. Ta xét nó n sắp thứ tự
K =

y ∈ R
3

| y
1
≥ 0, y
3
= 0

⊂ R
3
Nếu K = R
2
+
×0 thì in t(K) = ∅ và ta không thể xác định nghiệm cực tiểu
yếu. Tuy nhiên
icr(K) =

y ∈ R
3
| y
1
> 0 , y
2
> 0, y
3
= 0

và ta có thể xác định một nghiệm yếu tương ứng với icr(K) ∪{0
3
}.
Định nghĩa 1.1.16. Cho K = R
m

+
. Một điểm ¯x là một ng hiệm hữu hiệu
chính thường của bà i toán tố i ưu đa mục tiêu (MOP) nếu nó là EP −
cực tiểu và nếu có một số thực dương M sao cho với mỗi i ∈ {1 , , m} và
mỗi x ∈ Ω thỏa mãn f
i
(x) < f
i
(¯x), tồn tại ít nhấ t một j ∈ { 1, , m} sao
cho
f
i
(¯x) −f
i
(x)
f
j
(x) −f
j
(¯x)
≤ M.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Dưới đây chúng t a trình bày m ột số quy tắc tính toán có lợi sau:
Bổ đề 1.1.17. Cho K là một nón khác rỗn g sắp thứ tự, một số α > 0, và
các tậ p f(Ω]),
˜
f(
˜
Ω) ⊂ R

m
đã biết. Khi đó:
(i) E(αf(Ω), K) = αE(f(Ω), K),
(ii) E(f(Ω) +
˜
f(
˜
Ω), K) ⊂ E(f(Ω), K) + E(
˜
f(
˜
Ω), K),
(iii) E(f(Ω), K) ⊃ E(f(Ω) + K, K),
(iv) Nếu K là một nón lồi nhọn thì
E(f(Ω), K) = E(f (Ω + K), K).
Chứng minh. (i) Ta có
E(f(Ω), K) := {f(x) | x ∈ M(f(Ω), K)}
⇒ αE(f(Ω ), K) = {αf(x) | x ∈ M(f(Ω), K)}
= E(f(Ω), K)
(ii) Lấy
¯y ∈ E(f(Ω) +
˜
f(
˜
Ω), K).
Khi đó ¯y = y
1
+ y
2
với y

1
∈ f(Ω) và y
2
∈
˜
f(
˜
Ω). Ta sẽ chỉ ra rằng y
1
∈
E(f(Ω, K) .
Thật vậy, ta giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại y ∈ f(Ω) và d = 0 sao cho
y
1
= y + d. Ta có
¯y = y
1
+ y
2
= y + y
2
+ d,
với y + y
2
∈ f(Ω) +
˜
f(
˜
Ω) , mâu thuẫn với giả thiết
¯y ∈ E(f(Ω) +

˜
f(
˜
Ω), K).
Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có y
2
∈ E(
˜
f(
˜
Ω), K). Từ đó có
¯y ∈ E(f(Ω), K) + E(
˜
f(
˜
Ω), K)
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
hay
E(f(Ω) +
˜
f(
˜
Ω), K) ⊂ E(f(Ω), K) + E(
˜
f(
˜
Ω), K).
(iii) Vi ệc chứng minh trở nên tầm thường nếu f(Ω) = ∅.
Xét trường hợp f(Ω) = ∅. Giả sử y ∈ E(f(Ω+K), K) nhưng y ∈ E(f( Ω), K).

Nếu y ∈ f(Ω) thì tồn tại y

∈ f(Ω) và d = 0, d ∈ K sao cho y = y

+ d. Vì
0 ∈ K, f(Ω) ∈ f (Ω + K) suy ra y ∈ (E)(f (Ω + K), K) mâu thuẫn. Nếu
y ∈ f(Ω) hiển nhiên mâu thuẫn.
(iv) Giả sử K là nón lồi nhọn, y ∈ E(f(Ω), K) nhưng y ∈ E(f (Ω + K), K).
Tồn tại y

∈ f(Ω) + K với y − y

= d

∈ K \{0}. Khi đó y

= y

+ d

với
y

∈ f(Ω) , d

∈ K. Do đó y = y

+ d

+ d


và d

+ d

∈ K ,vì K là nón
lồi. Do K nhọn, d

+ d

= 0 và vì vậy y ∈ E(f(Ω), K), dẫn tới mâu thuẫn.
Bổ đề được chứng mi nh.
Định lí dưới đây chỉ ra rằ ng chỉ xét cần biên ∂f(Ω) của tập f(Ω) là đủ
để xác đị nh tất cả các nghiệm cực ti ểu.
Định lý 1.1.18. Cho K là một nón khác rỗng sắp thứ tự với K = {0
m
} .
Khi đó:
E(f(Ω), K) ⊂ ∂f(Ω).
Điều này cũng đúng c ho các điểm h ữu hiệu yếu.
Định lý 1.1.19. Cho K là một nón nhọn với i n t(K) = ∅. Khi đó
E
w
(f(Ω), K) ⊂ ∂f(Ω).
Chứng minh. C ho ¯y ∈ E(f(Ω), K). Ta giả sử ¯y ∈ f( Ω)\∂f(Ω ) = int(f(Ω)).
Khi đó tồn tại δ > 0 và một hình cầu mở B = {y ∈ R
m
| y < δ} với
¯y + B ⊂ f(Ω). Cho k ∈ int(K). Khi đó có một λ < 0 sao cho λk ∈ B và
¯y + λk ∈ f(Ω). Vì K là một nón nên λk ∈ −i n t(K) và vì vậy ta có

¯y + λk ∈ f(Ω) ∩(¯y − in t(K)).
Điều này mâu thuẫn với ¯y là nghiệm hữu hi ệu yếu.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định nghĩa 1.1.20. Cho K là một nón nhọn đóng sắp thứ tự thỏa mãn
int(K) = ∅. Một điểm ¯x ∈ Ω là một nghiệm cực t i ểu địa phương của
bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) tương ứng với nón sắp thứ tự K nếu
có một lân cận U của ¯x sao cho không tồn tại y ∈ f (Ω ∩ U) \ f(¯x) với
f(¯x) ∈ y + int(K).
Định nghĩa 1.1.21. Cho  ∈ R
m
với 
i
> 0 , i = 1, , m. Một điểm ¯x ∈ Ω
là một nghi ệm  − EP −cực tiểu của bài toán t ối ưu đa mục tiêu (MOP)
nếu không tồn tại x ∈ Ω với
f
i
(x) + 
i
≤ f
i
(¯x) ∀i = {1, , m},
và có ít nhất một j ∈ {1, , m} sao cho
f
j
(x) + 
j
< f
j

(¯x).
1.2 Nón đa diện sắp thứ tự
Nón lồi đa diện là một loại nón lồ i đặc biệt. Các tính chất của nó có thể
được sử dụng để đơn giản hóa lời giải bài toán tối ưu đa mục tiêu.
Định nghĩa 1.2.1. Một tập K ∈ R
m
là một nón lồi đa d i ện nếu K có
thể được biểu diễn bởi:
K =

x ∈ R
m
| (
¯
k
i
)

x ≥ 0, i = 1, , s

với s ∈ N và các vector (
¯
k
i
)

∈ R
m
, i = 1, , s.
Định nghĩa 1.2.2. Một tập K ⊂ R

m
là một nón lồi hữu hạ n sinh nếu có
một bộ vector a
1
, a
2
, , a
s
, s ∈ N, chứa trong R
m
sao cho K có thể được
mô tả bởi:
K =

x ∈ R
m
| x =
s

i=1
α
i
a
i
, i = 1, , s

với s ∈ N .
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bổ đề 1.2.3. ([5]) Một nón lồi K là đa diện nếu và chỉ nếu nó là hữu hạn

sinh.
Nếu nón K có thể được biểu diễn dạng
K =

x ∈ R
m
| (
¯
k
i
)

x ≥ 0, i = 1, , s

thì ta có thể nói rằng K được si nh hay được tạo bởi ma trận
¯
K :=











(
¯

k
1
)

.
.
.
¯
k
s
)












và ta có K =

x ∈ R
m
|
¯
Kx ≥

s
0
s

.
Nếu nón K là nón sinh bởi ma trận
¯
K và nếu ker(
¯
K) = {0
m
} thì K là
nhọn và quan hệ sắp thứ tự là phản xứng . Ví dụ nón nhọ n xác định bởi
sắp thứ t ự tự nhiên là đa diện sinh bởi ma trận đơn vị m chiều E
m
.
Công việc tìm điểm K-cực tiểu của bài toán tới ưu đa mục tiêu tương
ứng với nón nhọn sắp thứ tự sinh bởi ma trận
¯
K ∈ R
s×m
, có thể quy về
việc xác định điểm EP -cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu
min
¯
Kf (x)
thỏa mãn điều kiện ràng buộc
x ∈ Ω
với s hàm mục tiêu (
¯

k
1
)

f(x), (
¯
k
2
)

f(x), , (
¯
k
s
)

f(x).( Xem [] trang 16).
Bổ đề 1.2.4. Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) vớ i nón đa diện sắp
thứ tự K được biể u diễn bởi
K =

x ∈ R
m
|
¯
Kx ≥
s
0
s


12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
với
¯
(K) ∈ R
s×m
và ker(
¯
K) = {0
m
}. Khi đó
E(f(Ω), K) =

y ∈ f(Ω) |
¯
Ky ∈ E(
¯
Kf(Ω), R
s
+
)

và
M(f(Ω), K) = M(
¯
Kf(Ω), R
s
+
)
thỏa mãn

¯
Kf(Ω) :=

¯
Ky ∈ R
s
| y ∈ f(Ω)

.
Do đó nếu nó sắp thứ tự là đa diện và được cảm sinh bởi ma trận cỡ
s ×m, có t hể quy bài toán tìm K-cực tiểu của một bài toán tối ưu đa mục
tiêu với m hàm mục tiêu về bài toán tìm điểm EP -cực tiểu của bài toá n
đa mục tiêu với s tiêu chuẩn. Tuy nhiên nếu s ≥ m bài toán mới lại trở
nên phức tạp hơn.
Ví dụ 1.2.5. Ta xét việc xác định K-cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục
tiêu:
min
x∈Ω





f
1
(x)
f
2
(x)
f

3
(x)





(1.2)
với nón sắp thứ tự
K =















y ∈ R
3
|









1 0 1
−1 0 1
0 −1 1
0 1 1








y ≥
4
0
4
















ở đây
K =

y ∈ R
3
| −y
3
≤ y
1
≤ y
3
, −y
3
≤ y
2
≤ y
3
, y
3
≥ 0

là một hình chóp với đỉnh chóp là gốc tọa độ.
Theo bổ đề 1.2.4, điểm ¯x ∈ Ω là một nghiệm K-cực tiểu của (1.2) khi

13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
và chỉ khi ¯x ∈ Ω là nghiệm của bài toán:
min
x∈Ω








f
1
(x) + f
3
(x)
−f
1
(x) + f
3
(x)
−f
2
(x) + f
3
(x)
f
2

(x) + f
3
(x)








.
Trong trường hợ p hai mục tiêu, mọi nón sắ p thứ tự là hữu hạn sinh.
Ta có:
Bổ đề 1.2.6. Cho K ⊂ R
2
là một nón nhọn đóng sắp thứ tự với K = {0
2
}.
Khi đó K là một đa diện và hoặc có một k ∈ R
2
\ {0
2
} sao cho
K = {λk | λ ≥ 0}
hoặc t ồn t ại l
1
, l
2
∈ R

2
\ {0
2
} , l
1
, l
2
độc lậ p tuyến t í nh sao cho
K =

y ∈ R
2
| l
1
≥ 0, l
2
≥ 0

=

y ∈ R
2
| y = λ
1
˜
l
1
+ λ
2
˜

l
2
, λ
1
, λ
2
≥ 0

.
Chứng minh. C húng ta đưa ra cách chứng minh kiến thiết sao cho ta có
thể x ác định K và l
1
, l
2
và
˜
l
1
,
˜
l
2
tương ứng bởi việc giải bài toán tối ưu đơn
giản.
Ta bắt đầu bằng vi ệc giải bài toán:
min ϕ
các điều k iện ràng buộc


cosϕ

sinϕ


∈ K, (1.3)
ϕ ∈ [0, 2π]
với nghi ệm cực tiểu ϕ
1
. Tiếp theo ta giả sử ϕ
1
= 0 , ta giải
max ϕ
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
các điều k iện ràng buộc


cosϕ
sinϕ


∈ K, (1.4)
ϕ ∈ [0, 2π]
với nghi ệm cực đại ϕ
2
.
Vì nón K là đóng và không tầm t hường nên luô n tồn tại nghiệm
của (1.3 ) và (1.4). Vì nón K là nhọn nên ta có ϕ
2
∈ [ϕ
1

, ϕ
1
+ π].
Nếu ϕ
1
= ϕ
2
thì
K =

λk | k = (cosϕ
1
, sinϕ
1
)

, λ > 0

.
Nếu ϕ
1
= ϕ
2
thì do tính lồi của K
K =

y ∈ R
2
| y = λ(cosϕ, sinϕ)


, λ ≥ 0, ϕ ∈ [ϕ
1
, ϕ
2
]

=

y ∈ R
2
| y = λ
1
(cosϕ
1
, sinϕ
1
)

+ λ
2
(cosϕ
2
, sinϕ
2
)

, λ
1
, λ
2

≥ 0

Tương tự ta có thể giải cho trường hợp ϕ
1
= 0 và giải bài toán (1) và
(2) tương ứng với ϕ ∈ [π, 3π ] thay v ì ϕ ∈ [ 0, 2π].
Ta có
˜
l
1
:= (cosϕ
1
, sinϕ
1
)

và
˜
l
2
:= (cosϕ
2
, sinϕ
2
)

với
˜
l
1

,
˜
l
2
độc lập
tuyến t ính do tính nhọn của K.
Với các vector l
1
, l
2
tương ứng trực giao với

l
1
,

l
2
ta có kết quả sau :
K = {y ∈ R
2
| l
1
y ≥ 0, l
2
y ≥ 0}.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Phương pháp vô hướng hóa

Để xác định nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP)
min f(x)
các điều k iện ràng buộc
g(x) ∈ C
h(x) = 0
q
x ∈ S
với tậ p ràng buộc Ω = {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0
q
}.
Một tro ng các phương pháp hay dùng để giải bài toán (MOP) là phương
pháp vô hướng hóa. Điều này được thực hiện, chẳng hạn bằng phương
pháp tổng t rọng số. Xét bài to án vô hướng:
min
m

i=1
w
i
f
i
(x)
trong đó w ∈ K
∗
\ {0
m
} với K
∗
là nón đối ngẫu của nón K, tức là
K

∗
=

y
∗
∈ R
m
| (y
∗
)

y ≥ 0 với mọi y ∈ K

.
Một phương pháp vô hướng hóa khác để tìm EP-cực ti ểu là dựa trên cực
tiểu của chỉ một trong m mục t iêu, khi tất cả các mục tiêu còn lại được
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
đưa vào tập ràng buộc. Phương pháp vô hướng hóa này gọi là phương pháp
 hạn chế và được xá c định bởi bài toán:
min f
k
(x)
điều ki ện ràng buộc
f
i
(x) ≤ , i = {1, , m}
ở đây, cá c tham số là các cận trên 
i
, i = {1 , , m}\{k}, với k ∈ {1, , m}.

Ngoài ra cò n rất nhiều các phương pháp vô hướng hóa khác có t hể được
tìm thấy. Tuy nhiên trong luận văn này, chúng tôi quan tâm tới phương
pháp vô hướng hóa Pascoletti-Serafini.
2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini
Pasco letti và Serafini đã đưa bài toán tối ưu đa mục tiêu trên về bài toán
vô hướ ng hóa chứa tham số a ∈ R
m
và r ∈ R
m
.
Xét bài t oán (SP(a, r)) :
min t
các điều k iện ràng buộc
a + tr −f(x) ∈ K
g(x) ∈ C
h(x) ∈ 0
q
t ∈ R, x ∈ S
Bài toán này có tham số phụ thuộc vào tập ràng buộc :
(a, r) :=

(t, x) ∈ R
n+1
| a + tr − f(x) ∈ K, x ∈ Ω

17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ta giả sử nón K là nó n khác rỗng, lồi, đóng, nhọn. Phát biểu của bài toán
tối ưu vô hướng dưới dạng này tương ứng với định ng hĩa của K-cực tiểu.
Một điểm ¯x ∈ Ω sao cho ¯y = f(¯x) là K-cực tiểu nếu

(¯y −K) ∩ f(Ω) = {¯y}.
(nhìn hình 2. 1 với m = 2 và K = R
2
+
).
Nếu chúng ra viết lại bài toán (SP(a,r)) như sau:
min t
với điều kiện ràng buộc
f(x) ∈ a + tr − K
x ∈ Ω
t ∈ R
Ta thấy rằng để giải bài toán này nó n sắp thứ tự −K đã được chuyển vào
trong hướng −r trên đường thẳng a + tr bắt đầu từ điểm a cho đến khi
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a + tr − K) ∩ f(Ω) giảm dần tới tập rỗng. Giá trị nhỏ nhấ t
¯
t sao cho
(a +
¯
tr −K) ∩f(Ø) = ∅ là giá trị cực tiểu của (SP(a,r)).(Xem hình 2.2 với
m = 2 và K = R
2
+
).
Bài toán vô hướ ng (SP(a,r)) có mọi tính chất quan trọng cầ n phải có của
phương pháp vô hướng hóa xá c định nghiệm cực tiểu của (MOP). Nếu
(
¯
t, ¯x) là nghiệm cực tiểu của (SP(a,r)) thì điểm ¯x tối thiểu cũng là nghiệm

yếu của bài to án tối ưu đa mục tiêu (MOP) và bằng phương pháp thay đổi
tham số (a, r) ∈ R
m
× R
m
, tất cả các điểm K-cực tiểu của (MOP) có thể
tìm thấy được nghiệm của (SP(a,r)).
2.2 Tính chất của vô hướng hóa Pascoletti-
Serafini
Ta giả sử K là nón khá c rỗng, nhọn, đóng, sắp thứ tự trong R
m
.
Định lý 2.2.1. Xét bài toán tối ưu vô hướng (SP(a,r)) với int(K) = ∅.
(i) Nếu ¯x là K c ực tiểu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (M OP), thì
(0, ¯x) là một nghiệm cực tiểu của bài toán (SP(a,r)) với tham số a := f (¯x)
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên