TIểu luận lý thuyết đồ thị: Đồ thị phẳng và ứng dụng

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
MỤC LỤC

Trang
MỤC LỤC 01
LỜI NÓI ĐẦU 02
BẢNG PHÂN CÔNG NGHIÊN CỨU
CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 03
CHƯƠNG II : ĐỒ THỊ PHẲNG 11
CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG 19
KẾT LUẬN 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO 30
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 1
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có
nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ 18
bởi nhà toán học Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler. Ông đã dùng đồ thị để giải
quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg nổi tiếng.
Đồ thị cũng được dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Ví dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bản
điện phẳng được không. Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất hóa học có
cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị. Chúng ta cũng
có thể xác định xem hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền
thông hay không nếu dùng mô hình đồ thị mạng máy tính. Đồ thị với các trọng
số được gán cho các cạnh của nó có thể dùng để giải các bài toán như bài toán
tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông. Chúng ta
cũng có thể dùng đồ thị để lập lịch thi và phân chia kênh cho các đài truyền
hình…
Như vậy đồ thị nói chung, đồ thị phẳng nói riêng có nhiều ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau. Qua quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề “Lý

thuyết đồ thị”, nhóm chúng em chọn đề tài “Đồ thị phẳng và ứng dụng” để viết
tiểu luận này. Tiểu luận gồm 3 chương:
Chương 1: Đại cương về đồ thị.
Chương 2: Đồ thị phẳng.
Chương 3: Ứng dụng.
Do thời gian có hạn và năng lực còn hạn chế, tiểu luận không tránh khỏi hạn
chế, thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn để tiểu luận
hoàn thiện hơn.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 2
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
CHƯƠNG I
ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ
1.1. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ
Có thể nói lý thuyết đồ thị bắt đầu với tư cách là một ngành Toán học bằng
bài báo nổi tiếng của nhà toán học Euler năm 1736 về những cái cầu ở
Konigsberg. Nhưng mãi hơn 100 năm sau, tức là vào giữa thế kỷ 19, người ta
mới chú ý đến vấn đề về lý thuyết đồ thị, đặc biệt ở nước Anh.
Có nhiều lí do dẫn đến sự hồi sinh của Lý thuyết đồ thị. Trước hết đó là các
nghiên cứu về mạng điện, các mô hình tinh thể và cấu trúc phân tử. Sự phát triển
của Logic hình thức dẫn đến việc nghiên cứu quan hệ hai ngôi dưới dạng đồ thị.
Nhiều bài toán đố vui nổi tiếng cũng được phát biểu dưới dạng đồ thị.
Bài toán nổi tiếng nhất là Giả thiết bốn màu do DeMorgan đưa ra lần đầu
tiên năm 1850. Có thể nói không có bài toán đồ thị nào làm tốn nhiều giấy mực
và có nhiều đóng góp cho lý thuyết đồ thị như bài toán giả thiết bốn màu.
Ngày nay Lý thuyết đồ thị đã phát triển thành ngành Toán học có vị trí đặc
biệt quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Lý thuyết đồ thị là kiến
thức cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như Điện tử, Hóa học,
Ngôn ngữ học, Kinh tế học, Máy tính…
1.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN TIÊU BIỂU
1.2.1. Bài toán về những cái cầu ở Konigsberg

Năm 1736 Euler, cha đẻ của lý thuyết đồ thị, đã giải được bài toán đố hóc
búa nổi tiếng thời đó về những cái cầu ở Konigsberg. Bài toán như sau: Trong
thành phố Konigsberg có hai hòn đảo được nối với nhau và hai bờ sông bằng bảy
chiếc cầu. Bài toán đặt ra là tìm đường đi qua tất cả bảy cái cầu, mỗi cầu chỉ
được qua một lần, sau đó quay về nơi xuất phát. Euler đã chứng minh được rằng
bài toán không có lời giải bằng ngôn ngữ đồ thị.
1.2.2. Bài toán mạng điện
Năm 1847 Kirchoff xây dựng lý thuyết các vòng để giải các hệ phương trình
tuyến tính tương thích cho phép tìm giá trị cường độ dòng điện trên mỗi dây dẫn
và trong mỗi mạch vòng của mạch điện. Biểu diễn mạng điện bằng đồ thị ông đã
chỉ ra rằng để giải hệ phương trình không nhất thiết phải xét riêng rẽ từng vòng
của đồ thị mạng điện. Thay vào đó ông đề xuất thuật toán hữu hiệu (sau này trở
thành thuật toán chuẩn), mà theo đó chỉ cần giới hạn trong việc xét các vòng đơn
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 3
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
độc lập của đồ thị xác định bởi một trong số các cây khung của đồ thị.
1.2.3. Bài toán các đồng đẳng hóa học
Khi nghiên cứu những bài toán hóa hữu cơ năm 1857 Kelly đã phát minh
một lớp đồ thị quan trọng gọi là cây. Ông cố gắng tính số đồng đẳng no của
Hydro cacbon C
n
H
2n+2
với số nguyên tử cacbon cho trước là n. Viêc nghiên cứu
trên đã dẫn đến bài toán về cây: tìm số tất cả các cây với p đỉnh có các đỉnh là
bậc 1 và 4. Muộn hơn, vào năm 1869 Jordan độc lập với Kelly cũng đã nghiên
cứu các cây như là đối tượng toán học.
1.2.4. Bài toán người du lịch
Một người du lịch muốn tham quan n thành phố 1, 2,…, n. Xuất phát từ
thành phố nào đó người du lịch đi qua tất cả các thành phố, mỗi thành phố chỉ

qua đúng một lần, sau đó quay về nơi xuất phát. Trò chơi này được Hamilton
nghĩ ra năm 1859. Ông biểu diễn các thành phố và đường đi nối chúng với nhau
bằng đa diện đều 20 đỉnh. Một đường đi như vậy gọi là chu trình Hamilton. Tuy
nhiên trong trường hợp tổng quát việc xác định sự tồn tại một đường đi như vậy
(đường đi Hamilton) là bài toán khó và cho đến nay vẫn chưa có lời giải tổng
quát.
1.2.5. Bài toán bốn màu
Bài toán này xuất phát từ việc tô màu bản đồ. Ta nói rằng bản đồ có thể tô
bằng 4 màu nếu có thể tô màu các nước bằng 4 màu sao cho không có hai nước
láng giềng chung biên giới được tô bởi cùng một màu.
Giả thiết 4 màu được phát biểu: Mọi bản đồ phẳng (vẽ trên mặt phẳng) hoặc
cầu (vẽ trên mặt cầu) có thể tô bằng 4 màu.
Bài toán 4 màu lần đầu tiên được nhắc đến trong các bài giảng của nhà toán
học Mobius năm 1840. Tuy nhiên bài toán chỉ trở thành nổi tiếng năm 1852 nhờ
nhà toán học DeMorgan. Ông này biết được bài toán qua một sinh viên là Franci
Gutrie và đã viết thư gửi cho Hamilton nhờ giải hộ.
Trong thời gian dài giả thiết 4 màu không được chứng minh cũng như phủ
định và là một trong những bài toán nổi tiếng hóc búa trong lịch sử toán học.
Năm 1879 nhà toán học nghiệp dư, luật sư Alfred Kempe đưa ra lời giải,
nhưng đến năm 1890 Percy Heawood chỉ ra chỗ sai của chứng minh. Heawood
đồng thời cũng chứng minh được là chỉ cần 5 màu là có thể tô màu các bản đồ.
Năm 1920 Filip Franklin chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước
n = 25.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 4
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Năm 1926 Reynolds chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước
n = 27.
Năm 1936 Filip Franklin chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước
n = 31.
Năm 1938 Winn C.E. chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước

n = 35.
Năm 1968 Ore và Stemple chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số
nước n = 39.
Năm 1977 Appel K. và W. Haken cùng J.Koch chứng minh giả thiết 4 màu
với sự trợ giúp của máy tính.
Gần đây, năm 1987 Roberston, Sanders, Seymour và Thomas đã đưa ra
chứng minh khác ngắn gọn hơn.
Các chứng minh trên đều sử dụng máy tính và đến nay vẫn chưa có chứng
minh bằng suy luận toán học thuần túy.
1.3. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.3.1. Đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng
• Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm tập V các đỉnh và tập E các cạnh.
Mỗi cạnh e∈E được liên kết với một cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự) như hình
sau:
• Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng
gọi là cung.
Mỗi cạnh e∈E được liên kết với một cặp đỉnh (v, w) có thứ tự như hình sau:
Cho đồ thị có hướng G = (V, E). Nếu ta thay mỗi cung của đồ thị G bằng một
cạnh, thì đồ thị vô hướng nhận được gọi là đồ thị lót của đồ thị có hướng G.
• Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V, E).
Nếu cạnh e ∈ E liên kết đỉnh v và w, ta nói e liên thuộc đỉnh v, w; đỉnh v và
w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v gọi là kề
đỉnh w.
Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu, w gọi là đỉnh cuối của cung e.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 5
v
e
w
v
e

w
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
• Cạnh song song: là các cạnh cùng liên kết với một cặp đỉnh.
• Khuyên: là cạnh có 2 đỉnh liên kết trùng nhau.
• Đỉnh cô lập: là đỉnh không kề với đỉnh khác.
• Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là
cỡ của đồ thị.
• Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn.
• Đồ thị đơn: là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song.
• Đồ thị vô hướng đủ: là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau.
• Đồ thị có hướng đủ: là đồ thị có đồ thị lót đủ.
1.3.2. Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra
Cho đồ thị G = (V, E).
• Bậc: Giả sử đỉnh v∈V có p khuyên và q cạnh liên thuộc (không phải là
khuyên). Khi đó bậc của đỉnh v là 2p+q và ký hiệu là deg
G
(v) hoặc deg(v). Số
bậc đỉnh lớn nhất của G ký hiệu là ∆(G), số bậc đỉnh nhỏ nhất của G ký hiệu là
δ(G)
Đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0.
Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1.
• Nửa bậc: Cho đồ thị có hướng G = (V, E).
+ Nửa bậc ra của đỉnh v∈V, kí hiệu deg
o
(v) là số cung đi ra từ đỉnh v.
+ Nửa bậc vào của đỉnh v∈V, kí hiệu deg
i
(v) là số cung đi vào đỉnh v.
• Bổ đề bắt tay (Hand Shaking Lemma).
Cho đồ thị G = (V, E). Khi đó:

(i) Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và
∑
∈
=
Vv
Ecardv )(.2)deg(
(ii) Nếu G là đồ thị có hướng thì

)()(deg)(deg Ecardvv
Vv
I
Vv
o
==
∑∑
∈∈
trong đó card(E) ký hiệu số phần tử của tập E.
Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn.
• Đồ thị K
n
là đồ thị đơn, đủ n đỉnh (mỗi cặp đỉnh đều có duy nhất một cạnh liên
kết).
Mọi đỉnh của đồ thị K
n
có bậc là n-1 và K
n
có n(n-1)/2 cạnh.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 6
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
• Đồ thị lưỡng phân G = (V, E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2 tập

rời nhau V
1
, V
2
sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V
1
và một
đỉnh thuộc V
2
, ký hiệu: G = ({V
1
, V
2
}, E)
• Đồ thị K
m,n
là đồ thị lưỡng phân ({V
1
, V
2
}, E) với tập V
1
có m đỉnh và tập V
2

có n đỉnh và mỗi đỉnh của V
1
được nối với một đỉnh của V
2
bằng một cạnh duy

nhất.
1.4. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ
1.4.1. Ma trận kề
a. Đồ thị vô hướng
• Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) có n đỉnh theo thứ tự v
1
,v
2
,…,v
n
. Ma trận kề
của đồ thị G là ma trận vuông A = (a
ij
)
n×n
, trong đó a
ij
là số cạnh (khuyên) nối v
i

với v
j
. Lưu ý rằng khi tính bậc của đỉnh mỗi khuyên được tính hai bậc. Từ định
nghĩa suy ra rằng ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn đối xứng qua đường chéo
chính.
Mệnh đề. Cho đồ thị G = (V,E) với ma trận kề (a
ij
). Khi đó
Deg(v
i

) = ,∀v
i
∈V
Định lý. Cho đồ thị đơn G = (V,E) có n đỉnh, V = { v
1
,v
2
,…,v
n
} và ma trận kề
của đồ thị G là ma trận A = (a
ij
)
n×n
. Giả sử A
k
= (c
ij
)
n×n
, k ≥ 1.Khi đó c
ij
, i ≠j, là số
dây chiều dài k từ đỉnh v
i
đến đỉnh v
j
. Đặc biệt phần tử trên ô [i,i], 1≤ i ≤ n, của
A
2

là bậc của đỉnh v
i
.
Hệ quả. Cho đồ thị đơn G = (V,E) có n đỉnh, V = { v
1
,v
2
,…,v
n
} và ma trận kề
của đồ thị G là ma trận A = (a
ij
)
n×n
. Ký hiệu T = A + A
2
+…+A
n-1
. Khi đó đồ thị
G liên thông khi và chỉ khi các phần tử ngoài đường chéo chính của ma trận T
đều lớn hơn 0.
b. Đồ thị có hướng.
• Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh theo thứ tự v
1
,v
2
,…,v
n
. Ma trận kề
của đồ thị G là ma trận vuông A = (a

ij
)
n×n
, trong đó a
ij
là số cung đi từ v
i
tới v
j
.
Mệnh đề. Cho đồ thị có hướng G = (V,E) với ma trận kề (a
ij
). Khi đó
Deg
o
(v
i
) = & deg
i
(v
i
) = ,∀v
i
∈V
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 7
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Định lý. Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh, V = { v
1
,v
2

,…,v
n
} và ma trận
kề của đồ thị G là ma trận A = (a
ij
)
n×n
. Giả sử A
k
= (c
ij
)
n×n
, k ≥ 1.Khi đó c
ij
, i ≠j, là
số dây có hướng chiều dài k từ đỉnh v
i
đến đỉnh v
j
.
Hệ quả. Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh, V = {v
1
,v
2
,…,v
n
} và ma trận
kề của đồ thị G là ma trận A = (a
ij

)
n×n
. Ký hiệu T = A + A
2
+…+A
n-1
. Khi đó đồ
thị G liên thông mạnh khi và chỉ khi các phần tử ngoài đường chéo chính của ma
trận T đều lớn hơn 0.
1.4.2. Ma trận liên thuộc
a. Đồ thị vô hướng
• Cho đồ thị đơn G=(V,E) có n đỉnh, V={v
1
,v
2
,…,v
n
} và m cạnh E={e
1
,e
2
,
…,e
m
}. Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận A = (a
ij
)
n×m
thỏa mãn:
a

ij
=1, nếu đỉnh v
i
liên thuộc cạnh e
j
.
a
ij
=0, nếu đỉnh v
i
không liên thuộc cạnh e
j
.
Mệnh đề. Cho đồ thị đơn G = (V,E) với ma trận liên thuộc (a
ij
). Khi đó
Deg(v
i
) = ,∀v
i
∈V
b. Đồ thị có hướng
• Cho đồ thị có hướng không khuyên G = (V,E) có n đỉnh, V = { v
1
,v
2
,…,v
n
} và
m cung E = {e

1
,e
2
, …,e
m
}. Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận A = (a
ij
)
n×m

thỏa mãn:
a
ij
=1, nếu đỉnh v
i
là đỉnh đầu của cung e
j
.
a
ij
= -1, nếu đỉnh v
i
là đỉnh cuối của cung e
j
.
a
ij
=0, nếu đỉnh v
i
không liên thuộc cung e

j
.
Mệnh đề. Cho đồ thị có hướng không khuyên G = (V,E) với ma trận liên thuộc
(a
ij
). Khi đó: Deg
o
(v
i
) = ,∀v
i
∈V
Deg
I
(v
i
) = ,∀v
i
∈V
1.4.3. Danh sách cạnh (cung)
Trong trường hợp đồ thị thưa (đồ thị có n đỉnh và m cạnh hoặc cung thỏa
mãn m < 6n) người ta thường dùng cách biểu diễn đồ thị dưới dạng danh sách
cạnh (cung).
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 8
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Trong cách biểu diễn đồ thị bởi danh sách cạnh (cung) chúng ta sẽ lưu trữ tất
cả danh sách các cạnh (cung) của đồ thị vô hướng (có hướng). Một cạnh (cung)
e=(x,y) của đồ thị sẽ tương ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e]. Như vậy để lưu trữ
đồ thị ta cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhược điểm của cách biểu diễn này là
để xác định những đỉnh nào của đồ thị kề với một đỉnh cho trước chúng ta phải

làm cỡ m phép so sánh (khi duyệt qua danh sách tất cả các cạnh hoặc cung của
đồ thị).
Chú ý: Trong trường hợp đồ thị có trọng số ta cần thêm m đơn vị bộ nhớ để
lưu trữ trọng số của các cạnh.
1.4.4. Danh sách kề
Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng của lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thị
dưới dạng danh sách kề là cách biểu diễn hợp lý nhất.
Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh v của đồ thị chúng ta lưu trữ danh
sách các đỉnh kề với nó, mà ta sẽ ký hiệu là Ke(v) ={ u ∈V/ (v,u) ∈ E}.
Khi đó vòng lặp thực hiện với mỗi một phần tử trong danh sách này theo thứ
tự các phần tử được sắp xếp trong nó sẽ được viết như sau:
Với mọi u ∈ Ke(v) do <công việc>.
1.5. ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU
• Đồ thị đẳng cấu. Hai đồ thị G
1
= (V
1
,E
1
) và G
2
= (V
2
,E
2
) gọi là đẳng cấu với
nhau nếu tồn tại song ánh f : V
1
→ V
2

và g : E
1
→ E
2
thỏa mãn:
∀e ∈ E
1
: e = (v,w) ⇔ g(e) = (f(v),f(w)).
Cặp ánh xạ (f,g) gọi là một đẳng cấu từ G
1
đến G
2
.
Mệnh đề. Hai đơn đồ thị G
1
= (V
1
,E
1
) và G
2
= (V
2
,E
2
) gọi là đẳng cấu với nhau
nếu tồn tại song ánh f : V
1
→ V
2

thỏa mãn :
∀v, w ∈ V
1
: v kề w ⇔ f(v) kề f(w).
Định lý. Cho G
1
= (V
1
,E
1
) và G
2
= (V
2
,E
2
) là hai đơn đồ thị. Các mệnh đề sau là
tương đương:
(i) G
1
đẳng cấu với G
2
.
(ii) Hai ma trận kề tương ứng bằng nhau sau khi thay đổi thứ tự các hàng
và cột nếu cần thiết.
• Tính chất bất biến. Một tính chất P gọi là bất biến nếu mọi cặp đồ thị đẳng cấu
G
1
và G
2

thỏa mãn G
1
có tính chất P khi và chỉ khi G
2
có tính chất P.
Do đó để chứng minh hai đồ thị không đẳng cấu ta phải tìm ra tính chất bất
biến nào đó mà một đồ thị có, còn đồ thị kia không có.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 9
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Định lý. Cho G
1
= (V
1
,E
1
) và G
2
= (V
2
,E
2
) là hai đồ thị đẳng cấu. Khi đó:
(i) G
1
và G
2
có số cạnh và số đỉnh bằng nhau.
(ii) Với mọi số k tự nhiên, số đỉnh bậc k của G
1
và G

2
bằng nhau.
(iii) Với mọi số k tự nhiên, số chu trình sơ cấp chiều dài k của G
1
và G
2
bằng
nhau.
• Đồ thị bù. Xét đơn đồ thị G =(V,E). Đồ thị bù của G là đơn đồ thị = (V, )
với tập các cạnh được định nghĩa như sau:
= {(u,v) / u, v ∈V & (u,v) ∉E}.
Mệnh đề. Hai đơn đồ thị đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi các đồ thị bù của
chúng đẳng cấu với nhau.
• Đồ thị đường. Cho đồ thị G =(V,E). Đồ thị đường của G, ký hiệu L(G), là đồ
thị có các đỉnh tương ứng với các cạnh của G và hai đỉnh kề nhau trong L(G) nếu
các cạnh tương ứng trong G kề nhau.
Mệnh đề. Cho hai đơn đồ thị G
1
= (V
1
,E
1
) và G
2
= (V
2
,E
2
) đẳng cấu với nhau.
Khi đó các đồ thị đường của chúng đẳng cấu với nhau.

NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 10
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
CHƯƠNG II
ĐỒ THỊ PHẲNG
2.1. ĐỒ THỊ PHẲNG
• Đồ thị hình học phẳng. Một đồ thị gọi là đồ thị hình học phẳng nếu nó được
biểu diễn trên mặt phẳng sao cho các cạnh không cắt nhau.
• Đồ thị phẳng. Một đồ thị gọi là phẳng nếu nó đẳng cấu với đồ thị hình học
phẳng.
Với một đồ thị hình học phẳng liên thông, mặt phẳng được chia làm các
miền con gọi là mặt. Mỗi mặt được giới hạn bởi chu trình gọi là biên của mặt. Số
cạnh trên biên của mặt f được gọi là bậc của mặt, ký hiệu deg(f). Bậc nhỏ nhất
gọi là đai của đồ thị.
• Mệnh đề. Mọi chu trình của đồ thị phẳng có độ dài chẵn khi và chỉ khi mọi
mặt của đồ thị đều có bậc chẵn.
• Đồ thị tuyến tính phẳng. Đồ thị G gọi là đồ thị tuyến tính phẳng nếu G là đồ
thị hình học phẳng có tất cả các cạnh là đoạn thẳng.
• Định lý. Mỗi đơn đồ thị phẳng đẳng cấu với đồ thị tuyến tính phẳng.
2.2. CÔNG THỨC EULER.
• Định lý 2.2.1 (công thức Euler). Cho G là đồ thị liên thông phẳng có e cạnh, v
đỉnh và f mặt. Khi đó ta có công thức Euler:
f = e – v + 2
• Định lý 2.2.2 (Bất đẳng thức cạnh-đỉnh). Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông
với e cạnh, v đỉnh và đai g (g≥3), không có đỉnh treo. Khi đó ta có:
)2v(
2g
g
e −
−
≤

• Hệ quả 2.2.1. Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v≥3),
không có đỉnh treo. Khi đó ta có:
e ≤ 3v – 6
• Hệ quả 2.2.2. Đồ thi K
5
là đồ thị không phẳng.
• Hệ quả 2.2.3. Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v≥3),
không có đỉnh treo và không có chu trình có độ dài 3. Khi đó ta có:
e ≤ 2v – 4
• Hệ quả 2.2.4. Đồ thi K
3,3
là đồ thị không phẳng.
2.3. ĐỊNH LÝ KURATOWSKI
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 11
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
• Phép rút gọn nối tiếp. Cho đồ thị G có đỉnh v bậc 2 với các cạnh (v,v
1
) và
(v,v
2
). Nếu ta bỏ các cạnh (v,v
1
) và (v,v
2
) và thay bằng cạnh (v
1
,v
2
), thì ta nói
rằng ta đã thực hiện phép rút gọn nối tiếp. Đồ thị G’ thu được gọi là đồ thị rút

gọn từ G.
• Đồ thị đồng phôi. Hai đồ thị G
1
và G
2-
gọi là đồng phôi nếu G
1
và G
2
có thể
rút gọn thành những đồ thị đẳng cấu qua một số phép rút gọn nối tiếp.
• Định lý (Kuratowski). Đồ thị G là đồ thị phẳng khi và chỉ khi G không chứa
đồ thị con đồng phôi với đồ thị K
5
hoặc K
3,3
.
2.4. NHÚNG ĐỒ THỊ
Trong nhiều trường hợp chúng ta muốn biểu diễn đồ thị trong không gian
nào đó, chẳng hạn như mặt phẳng, mặt cầu, không gian Euclide ba chiều,…,
trong đó các điểm của không gian biểu diễn đỉnh đồ thị và các đường cong không
cắt nhau (trừ các đỉnh đồ thị) biểu diễn các cạnh đồ thị.
• Đường cong Jordan. Một đường cong Jordan trong mặt phẳng là đường cong
liên tục không tự cắt. Đường cong Jordan với điểm đầu và cuối trùng nhau gọi là
đường cong Jordan khép kín.Tương tự định nghĩa đường cong Jordan trong các
mặt khác (mặt cầu, mặt xuyến, không gian Euclide ba chiều…).
• Định lý 2.4.1. Giả sử C là đường cong Jordan khép kín trong mặt phẳng và x
và y là 2 điểm khác nhau của C. Khi đó mọi đường cong Jordan nối x và y hoặc
nằm hoàn toàn bên trong C (trừ x và y), hoặc nằm hoàn toàn bên ngoài C (trừ x
và y), hoặc cắt C ở điểm khác x và y.

• Đồ thị G gọi là nhúng được vào không gian đã cho nếu nó đẳng cấu với đồ thị
biểu diễn trong không gian đó với các điểm của không gian biểu diễn đỉnh của đồ
thị và các đường cong Jordan không cắt nhau (trừ các đỉnh đồ thị) biểu diễn các
cạnh đồ thị. Ví dụ: đồ thị phẳng là đồ thị nhúng được vào mặt phẳng.
• Định lý 2.4.2. Một đồ thị nhúng được vào mặt phẳng khi và chỉ khi nó nhúng
được vào mặt cầu.
• Định lý 2.4.3. Mọi đồ thị hữu hạn nhúng được vào không gian Euclide ba
chiều.
2.5. TÔ MÀU ĐỒ THỊ
2.5.1. Tô màu đỉnh
Mỗi bản đồ có thể coi là một đồ thị phẳng. Trong một bản đồ, ta coi hai miền
có chung nhau một đường biên là hai miền kề nhau (hai miền chỉ có chung nhau
một điểm biên không được coi là kề nhau). Một bản đồ thường được tô màu, sao
cho hai miền kề nhau được tô hai màu khác nhau. Ta gọi một cách tô màu bản đồ
như vậy là một cách tô màu đúng.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 12
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Để đảm bảo chắc chắn hai miền kề nhau không bao giờ có màu trùng nhau,
chúng ta tô mỗi miền bằng một màu khác nhau. Tuy nhiên việc làm đó nói chung
là không hợp lý. Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ rất khó phân biệt những màu
gần giống nhau. Do vậy người ta chỉ dùng một số màu cần thiết để tô bản đồ.
Một bài toán được đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu đúng một
bản đồ.
Ví dụ 1: Bản đồ trong hình bên có 6 miền,
nhưng chỉ cần có 3 màu (vàng, đỏ, xanh) b c V d a
để tô đúng bản đồ này. X e Đ X Đ

V f

Ví dụ 2: Bản đồ trong hình bên có 8 miền, A B C
chỉ cần ít nhất 4 màu thì tô được.
D E F G

H

• Mỗi bản đồ trên mặt phẳng có thể biểu diễn bằng một đồ thị, trong đó mỗi
miền của bản đồ được biểu diễn bằng một đỉnh; có cạnh nối hai đỉnh, nếu các
miền được biểu diễn bằng hai đỉnh này là kề nhau. Đồ thị nhận được bằng cách
này gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ đang xét.
Chẳng hạn đồ thị đối ngẫu của các bản đồ ở trên lần lượt là:




Rõ ràng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có đồ thị đối ngẫu phẳng.
• Tô màu đỉnh một đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh của nó sao cho không
có hai đỉnh liền kề gán cùng một màu.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 13
f
a
b
c
d
e
A
B
C
D
E

F
H
G
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Nhận xét: Bài toán tô màu các miền của bản đồ là tương đương với bài toán tô
màu các đỉnh của đồ thị đối ngẫu sao cho không có hai đỉnh liền kề có cùng một
màu, mà ta gọi là tô màu đúng các đỉnh của đồ thị.
• Số màu ít nhất cần dùng để tô màu đúng đồ thị G được gọi là sắc số (số màu)
của đồ thị G và ký hiệu là χ(G).
Ví dụ:
b c
Với đồ thị sau: a d e

f g
số màu ít nhất là 3 vì các đỉnh a,b,f kề nhau đôi một nên phải gán các màu khác
nhau. Trước hết ta tô đỉnh a màu đỏ (Đ), đỉnh b màu vàng (V) và đỉnh f màu
xanh (X). Vì đỉnh d kề với b và f nên đỉnh d phải được tô màu Đ, khi đó đỉnh c
màu X, đỉnh g màu V và cuối cùng đỉnh e màu Đ.
bV X c
a Đ Đd eĐ
f X Vg

Định lý 2.5.1. Nếu đồ thị G chứa một đồ thị con đẳng cấu với đồ thị đầy đủ K
n
thì χ(G) ≥ n.
Định lý 2.5.2. Nếu đơn đồ thị G không chứa chu trình độ dài lẻ thì χ(G) =2.
Chứng minh:
Không mất tính chất tổng quát có thể giả sử G liên thông. Cố định đỉnh u
của G và tô nó bằng màu 0 trong hai màu 0 và 1. Với mỗi đỉnh v của G, tồn tại
một đường đi từ u đến v, nếu đường này có độ dài chẵn thì tô màu 0 cho v, nếu

đường này có độ dài lẻ thì tô màu 1 cho v. Nếu có hai đường đi mang tính chẵn
lẻ khác nhau cùng nối u với v thì dễ thấy rằng G phải chứa ít nhất một chu trình
độ dài lẻ. Điều mâu thuẫn này cho biết hai màu 0 và 1 tô đúng đồ thị G.
Định lý 2.5.3. χ(G) ≤ ∆(G) + 1 với mọi đồ thị G, trong đó ∆(G) là bậc đỉnh lớn
nhất của G ( đẳng thức xảy ra khi G = K
n
hoặc G là chu trình độ dài lẻ).
Định lý 2.5.4 (Brooks). Cho G là đơn đồ thị n đỉnh liên thông khác K
n
và không
phải chu trình độ dài lẻ. Khi đó χ(G) ≤ ∆(G) .
2.5.2. Thuật toán tuần tự ưu tiên đỉnh bậc lớn nhất
Cho đồ thị G = (V,E). Thuật toán sau sẽ tô màu các đỉnh đồ thị với số màu k
gần với sắc số χ(G).
(i) Lập danh sách các đỉnh đồ thị E’ := [v
1
,v
2
, ,v
n
] theo thứ tự bậc giảm dần
deg(v
1
) ≥ deg(v
2
) ≥ ≥ deg(v
n
).
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 14
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG

Đặt i := 1.
(ii) Tô màu i cho đỉnh đầu tiên trong danh sách. Duyệt lần lượt các đỉnh tiếp
theo và tô màu i cho đỉnh không kề đỉnh đã được tô màu i.
(iii) Nếu tất cả các đỉnh được đã được tô màu thì kết thúc: Đồ thị đã được tô
màu bằng i màu. Ngược lại sang bước (iv).
(iv) Loại khỏi E’ các đỉnh đã tô màu, i := i+1, quay lại bước (ii).
2.5.3. Tô màu đồ thị phẳng
Định lý 2.5.4. Mọi bản đồ tạo bởi các đường thẳng trên mặt phẳng có thể tô bằng
2 màu.
Chứng minh:
Quy nạp theo số đường thẳng n.
Bước cơ sở: Nếu n = 1, thì hiển nhiên chỉ cần 2 màu để tô bản đồ có 2 nước.
Bước quy nạp: Giả sử mọi bản đồ tạo bởi n–1 đường thẳng được tô bằng 2
màu.
Xét bản đồ (đồ thị) G tạo bởi n đường thẳng. Ký hiệu G’ là bản đồ thu từ G
bằng cách bỏ bớt một đường thẳng bất kỳ d. Ta tô màu G’ bằng 2 màu 1 và 2.
Sau đó lại thêm đường thẳng d vào G’ để nhận được bản đồ G. Bây giờ ta hoán
chuyển màu (màu 1 thành màu 2 và ngược lại) các nước ở một phía của đường
thẳng d. Như vậy bản đồ G được tô bằng 2 màu.
Định lý 2.5.5. Điều kiện cần và đủ để bản đồ có thể tô bằng 2 màu là mọi đỉnh
của đồ thị phẳng tương ứng có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2.
Chứng minh :
Các mặt của đồ thị phẳng tô được bằng 2 màu khi và chỉ khi các đỉnh của đồ
thị đối ngẫu tô được bằng 2 màu, tức là, khi và chỉ khi mọi chu trình của đồ thị
đối ngẫu đều có độ dài chẵn. Và điều đó tương đương với việc mọi đỉnh của đồ
thị ban đầu có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2.
Định lý 2.5.6. (Định lý 5 màu của Kempe-Heawood):
Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số ≤ 5.
Định lý 2.5.7. (Định lý 4 màu của Appel-Haken):
Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số ≤ 4.

2.5.4. Bài toán tô màu cạnh
• Tô màu cạnh một đơn đồ thị là sự gán màu cho các cạnh của nó sao cho không
có hai cạnh kề được gán cùng một màu.
Sắc số cạnh của đồ thị G , ký hiệu là χ’(G), là số màu tối thiểu cần thiết để tô
màu cạnh đồ thị.
Hiển nhiên với mọi đồ thị G ta có χ’(G) ≥ ∆(G).
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 15
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Giả sử ta tô màu các cạnh của đồ thị G = (V,E). Công việc này có thể đưa về
việc tô màu các đỉnh của đồ thị đường L(G).Từ đó ta có kết quả sau:
χ’(G) = χ( L(G)).
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 16
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
2.6. Bài tập
Bài 1: Chứng minh các đồ thị sau là không phẳng: Đồ thị Peterson:
a

e j f g b

i h
d c
Bài giải:
Xác định đồ thị con bằng cách bỏ đi đỉnh b và ba cạnh liên thuộc với nó:
a

e j f g

i h
d c
Thực hiện phép rút gọn nối tiếp như sau:

+ Bỏ hai cạnh (e,a), (a,f) và thay bởi cạnh (e,f);
+ Bỏ hai cạnh (h,c), (c,d) và thay bởi cạnh (h,d);
+ Bỏ hai cạnh (i,g), (g,j) và thay bởi cạnh (i,j);
Ta được đồ thị K
3,3
với các tập đỉnh là: {e, i, h} và {f, d, j}.
Như vậy đồ thị Peterson có chứa đồ thị con đồng phôi với đồ thị K
3,3
nên nó
không phẳng.
Bài 2. Cho G là một đồ thị phẳng liên thông có 10 miền và tất cả các đỉnh đều có
bậc 4. Tìm số đỉnh của G.
Bài giải:
Gọi n là số đỉnh của G. Khi đó tổng bậc trong G là 4n, nên số cạnh p của G thoả
mãn 4n=2p hay 2n=p. Ngoài ra, theo công thức Euler, số đỉnh n, số cạnh p và số
miền d thoả mãn n − p + d = 2 hay n − 2n + 10 = 2. Do đó n = 8.
Bài 3. Cho G là một đồ thị phẳng liên thông có 9 đỉnh, bậc các đỉnh là 2, 2, 2, 3,
3, 3, 4, 4, 5. Tìm số cạnh và số miền của G.
Bài giải: Gọi p là số cạnh và d là số miền của G. Do tổng bậc của G là
2+2+2+3+3+3+4+4+5 =28, nên 28 = 2p hay p = 14. Ngoài ra, theo công thức
Euler, số đỉnh n, số cạnh p và số miền d thoả mãn n − p + d = 2 hay 9 − 14 + d =
2 hay d = 7.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 17
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Bài 4. Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là phẳng, đồ thị nào là không phẳng?
nếu đồ thị là phẳng thì có thể kẻ thêm ít nhất là bao nhiêu cạnh để được đồ thị
không phẳng?
a) b)

Bài giải:

a) Đồ thị được cho là phẳng. Nếu kẻ thêm cạnh (a, c’) thì đồ thị nhận được là
không phẳng vì có đồ thị con K
3,3
với tập đỉnh được chia thành hai tập con là {a,
b’, c} và {a’, b, c’}.
b) Đồ thị được cho là không phẳng vì chứa đồ thị con đồng phôi với K
5
có các
đỉnh b, g, e, d, h.
Bài 5. Cho G là một đơn đồ thị phẳng. Chứng minh rằng G có thể tô đúng bằng
hai màu khi và chỉ khi G là đồ thị phân đôi.
Bài giải:
(⇒) Giả sử G được tô đúng bằng hai màu xanh và đỏ. Khi đó G là đồ thị phân
đôi với hai tập đỉnh U gồm các đỉnh màu xanh và V gồm các đỉnh màu đỏ.
(⇐) Giả sử G là đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh U và V. Khi đó mọi chu trình
trong G (nếu có) đều có độ dài chẵn. Lấy một đỉnh bất kỳ của G và tô bằng màu
xanh, sau đó mỗi đỉnh kề với đỉnh màu xanh được tô bằng màu đỏ và mỗi đỉnh
kề với đỉnh màu đỏ thì được tô bằng màu xanh. Do mọi chu trình trong G đều có
độ dài chẵn nên không thể có hai đỉnh kề của G được tô cùng một màu.
Bài 6. Chứng minh rằng một đơn đồ thị phẳng liên thông có thể tô đúng các miền
bằng hai màu khi và chỉ khi đó là một đồ thị Euler.
Bài giải:
(⇒) Nếu đồ thị G được tô đúng các miền bằng hai màu thì số miền bao quanh
mỗi đỉnh phải là số chẵn, do đó các đỉnh đều có bậc chẵn và G là đồ thị Euler.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 18
a’
a b
b’
c
c’

d
d’
a
e
g h
d
c
b
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
(⇐) Cho G là đồ thị Euler. Tô một miền F bất kỳ của G bằng màu xanh. Lấy
một điểm x bất kỳ thuộc F. Nối x với một điểm y của miền tùy ý F’ bằng một
đường cong d không qua đỉnh nào của G. Nếu d cắt các cạnh của G ở một số lẻ
điểm thì ta tô F’ bằng màu đỏ, ngược lại thì ta tô F’ bằng màu xanh. Do mọi đỉnh
của G đều có bậc chẵn, suy ra rằng các miền của G được tô đúng bằng hai màu.



Bài 7. Đa diện lồi có k (k≥5) mặt, mà từ mỗi đỉnh có đúng 3 cạnh. Hai người
chơi trò chơi như sau: mỗi người lần lượt tô đỏ một mặt trong các mặt còn lại.
Người thắng là người tô được 3 mặt có chung một đỉnh. Chứng minh rằng tồn tại
cách chơi mà người được tô trước luôn luôn thắng.
Bài giải:
Một đa diện lồi luôn được xem là một đồ thị phẳng liên thông. Giả sử tất cả
các mặt đều có bậc 3 (mặt có bậc 3 là mặt có 3 mặt khác kề với nó). Khi đó do
mỗi cạnh thuộc đúng 2 mặt nên số cạnh p=3k/2. Mặt khác, từ mỗi đỉnh có đúng 3
cạnh, nên mỗi đỉnh là chung của 3 mặt, đồng thời mỗi mặt có đúng 3 đỉnh nên số
đỉnh n bằng số mặt. Sử dụng Định lý Euler: n − p + k = 2 hay k − 3k/2 + k = 2.
Từ đây suy ra k=4. Điều này trái với giả thiết (k≥5). Như vậy có ít nhất một mặt
bậc không nhỏ hơn 4, ký hiệu mặt này là D
1

. Khi đó có thể chơi như sau:
Bước 1: Gọi A là người được tô trước, anh ta tô mặt D
1
. Ta nhận thấy rằng: mặt
D
1
kề với không ít hơn 4 mặt; hai mặt kề với D
1
cùng qua một đỉnh của D
1
cũng
kề nhau (vì từ mỗi đỉnh chỉ có đúng 3 cạnh, trong đó đã có 2 cạnh thuộc mặt D
1
,
nên cạnh còn lại phải chung cho 2 mặt).
Bước 2: Sau khi người thứ hai tô, chắc chắn còn ít nhất 3 mặt kề với D
1
, đồng
thời kề nhau liên tiếp đôi một. Không giảm tổng quát, giả sử đó là D
2
, D
3
, D
4
.
Khi đó A tô D
3
.
Bước 3: Sau khi người thứ hai tô, chắc chắn còn lại một trong hai mặt D
2

, D
4
đó
là mặt mà A cần phải tô để thắng.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 19
a
aa
a
a
X
X
a
X
X
X
Đ
ĐĐ
X
X
X
aaa
a
a
a
a
a
a
X
X
Đ

ĐĐ
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
CHƯƠNG III
ỨNG DỤNG
3.1. Ứng dụng đồ thị trong giải toán logic:
3.1.1. Phương pháp:
Để giải bài toán T bằng cách thông qua đồ thị cần thực hiện lần lượt hai bước
sau:
Bước 1: Xây dựng đồ thị G mô tả các mối quan hệ:
+ Lấy các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với các đối
tượng đã cho trong bài toán, dùng ngay các ký hiệu đối tượng để ghi tên điểm
tương ứng.
+ Cặp điểm x, y được nối với nhau bằng một cạnh với “đặc điểm t” khi và
chỉ khi các đối tượng x, y có mối quan hệ (t) với nhau. Khi đó bài toán T đã được
chuyển về bài toán D trên đồ thị.
Bước 2: Dựa vào các kết quả của lý thuyết đồ thị hoặc lý luận trực tiếp suy ra
đáp án của bài toán D.
Nếu đáp án của bài toán D còn dưới dạng “ngôn ngữ đồ thị”, thì căn cứ vào
phép đặt tương ứng khi xây dựng đồ thị mà diễn đạt thành đáp án bằng ngôn ngữ
thông thường (tức đáp án của bài toán T).
3.1.2. Áp dụng:
Bài 1. Trên một hòn đảo có một số cụm dân cư, mỗi cụm dân cư có hai đường
lớn và ba đường mòn đi ra. Mỗi đường lớn cũng như đường mòn đều dẫn tới
một cụm dân cư khác. Hai cụm dân cư khác nhau bất kỳ đều được nối liền bằng
đường lớn hoặc đường mòn. Hỏi trên đảo này có bao nhiêu đường mòn và bao
nhiêu đường lớn?
Bài giải:
Mỗi cụm dân cư có hai đường lớn và ba đường mòn đi ra, mỗi đường đều
dẫn tới một cụm dân cư khác nên phải có ít nhất 6 cụm dân cư. Mặc khác hai
cụm dân cư khác nhau đều có đường nối nhau nên mỗi cụm chỉ nối đến đúng 5

cụm khác suy ra trên đảo có đúng 6 cụm dân cư. Mỗi cụm dân cư ta biểu diễn
bằng một điểm, hai cụm có đường lớn (đường mòn) nối nhau thì hai điểm tương
ứng được nối nhau bằng đường nét liền (đường nét đứt). Theo giả thuyết, mỗi
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 20
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
đỉnh đều có đúng hai đường liền nét và ba đường nét đứt đi ra. Với lập luận đó ta
có thể minh hoạ một vài khả năng xảy ra các đường nối giữa các cụm dân cư là:
1 2
1 2
6 3
6 3
5 4
5 4
Vậy trên đảo có 6 đường lớn và 9 đường mòn.
Bài 2. Trong một cuộc thi đấu bóng bàn, An và Bình quy ước với nhau: Người
thắng cuộc là người đầu tiên thắng 3 ván tổng cộng hoặc 2 ván liên tiếp. Hỏi
có bao nhiêu khả năng xảy ra cho đến khi cuộc thi kết thúc (tức có người thắng
cuộc).
Bài giải:
Dùng lần lượt A, B để ký hiệu An thắng, Bình thắng; dùng cây để mô tả hiện
trạng có khả năng xảy ra.
Xây dựng cây: Xuất phát từ điểm X, vì mỗi ván đều có hai khả năng An
thắng hoặc Bình thắng nên từ điểm xuất phát luôn có hai nhánh đi ra, nhánh đi
đến A, B tương ứng với An, Bình thắng.
Tiếp tục thực hiện kéo dài các đường như vậy, do quy ước của An và Bình
nên việc kéo dài đường nào đó sẽ dừng khi đường đó có 2 đỉnh liên tiếp hoặc 3
đỉnh ghi cùng bằng một ký hiệu. Hình sau thể hiện cụ thể việc xây dựng cây mô
tả hiện trạng:
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 21
A

A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
X
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Vì An và Bình đấu với nhau tối đa 5 ván thì chắc chắn sẽ có người thắng 2 ván
liên tiếp hoặc có người thắng 3 ván nên những đường xuất phát từ X đều không
có quá 5 cạnh. Cây có 10 đỉnh ngọn nên có 10 khả năng xảy ra.
Bài 3. Tại một giải bóng đá có 4 đội Anh, Đan Mạch, Hà Lan, Thụy Điển vào
bán kết. Có mấy dự đoán xếp hạng như sau:
1. Đan Mạch vô địch, Thụy Điển nhì.
2. Đan Mạch nhì, Hà Lan ba.
3. Anh nhì, Hà Lan tư.
Kết quả là mỗi dự đoán đúng được một đội.Hãy cho biết kết quả xếp hạng
của các đội?
Bài giải:

Dùng x
i
để ký hiệu đội x được xếp hạng i (1≤ i ≤ 4).
Ta vẽ cây, hai nhánh đầu tiên ứng với dự đoán thứ nhất là Đ
1
, T
2
.Từ mỗi
nhánh này lại có hai nhánh ứng với dự đoán thứ hai.Tiếp tục rẽ nhánh ứng với dự
đoán thứ ba.
Ta chọn đường đi từ gốc O tới các điểm thỏa mãn các điều kiện:
+ Một đội không thể được xếp hai hạng khác nhau.
+ Hai đội không thể xếp cùng một hạng.
Suy ra chỉ có đường đi Đ
1
H
3
A
2
thỏa mãn.
. . . . . . . .
A
2
H
4
A
2
H
4
A

2
H
4
A
2
H
4
. . . .
Đ
2
H
3
Đ
2
H
3
. .

Đ
1
T
2
O
Đường tô đậm Đ
1
H
3
A
2
thỏa mãn điều kiện mỗi dự đoán đúng được một đội

mà thứ tự ghi trên đường.
Vậy kết quả xếp hạng như sau: Đan Mạch vô địch, Anh nhì, Hà Lan ba,
Thụy Điển thứ tư.
3.2. Ứng dụng đồ thị trong số học:
Ứng dụng đồ thị dạng cây để minh hoạ lớp các số chia hết cho một số cho
trước:
Giả sử số chia là m (số nguyên dương). Để đơn giản ta xét trường hợp :
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 22
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Ta dựng cây với gốc là đỉnh v (tuỳ chọn) gọi là đỉnh vào, đỉnh ra ứng với
ngọn có nhãn là 0.
Từ v xuất phát m cạnh nối đến m đỉnh mới tương ứng với số dư khi chia nó
cho m, ký hiệu các đỉnh đó là 0, 1, 2, , m-1, trên mỗi cạnh nối từ v đến đỉnh có
nhãn i ta điền các trọng số k từ 0 đến 9 thoả: .
Từ mỗi đỉnh 0, 1, 2, , n coi nó là đỉnh xuất phát sau v, nối mỗi đỉnh đó đến m
đỉnh mới tương ứng với số dư khi chia nó cho m, ký hiệu là 0’, 1’, 2’, , n’.
Ví dụ 1: Cây sinh các số chia hết cho 4
0, 4, 8

8 2, 6
4 3,7
1, 5, 9

2, 6

0,4,8
3 2, 6
7 2,6
1, 5, 9
Ví dụ 2: Cho 6 số nguyên dương tùy ý. Chứng minh rằng luôn có thể chọn ra

được 2 bộ số mà trong mỗi bộ, từng đôi một đều là nguyên tố cùng nhau hoặc
không nguyên tố cùng nhau.
Bài giải:
Bước 1: Chuyển bài toán sang bài toán về đồ thị màu G(X,E).
- Đỉnh : Cho ứng mỗi số với một đỉnh X = {A, B, C, D, E, F}.
- Cạnh : Đoạn nối giữa 2 đỉnh tương ứng với 2 số :
+ Nguyên tố cùng nhau được tô màu xanh.
+ Không nguyên tố cùng nhau được tô màu đỏ.
Khi đó, ta được bài toán đồ thị màu: Trong đồ thị đầy đủ G (X,E) có 6 đỉnh
với 2 màu cạnh, thì ta luôn tìm được 2 “tam giác” với cạnh cùng màu.
Bước 2: Giải bài toán đồ thị.
Vì G là đồ thị đầy đủ có 6 đỉnh nên mỗi đỉnh của G là đầu mút của 5 cạnh,
và chúng được tô bởi chỉ 2 màu, nên mỗi đỉnh của G phải là mút của ít nhất 3
cạnh cùng màu.
Giả sử đỉnh A là mút của 3 cạnh AB, AC, AD cùng màu đỏ (đường liền nét).
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 23
v
1
3
2
1’
2’
3’
0 0
’
’
’
’
’
•

••
B
A
C
D
•
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Ta xét tam giác được lập nên từ 3 đỉnh đối của A là BCD. Trong tam giác
BCD, hai khả năng có thể xảy ra:
1) Có ít nhất một cạnh màu đỏ. Chẳng hạn cạnh BC màu đỏ, khi đó tam giác
ABC có cạnh màu đỏ.
•B
A• •C
•D
2) Tam giác BCD không có cạnh nào màu đỏ. Nghĩa là BCD có cạnh đều là
màu xanh.
B
•
A• •C
•
D
Với mọi trường hợp, trong đồ thị G đều có tam giác cùng màu.
Giả sử rằng trong G có tam giác màu đỏ, chẳng hạn tam giác ABC màu đỏ,
ta chứng minh tiếp G còn có tam giác thứ 2 nữa, cũng có các cạnh cùng màu.
•E
F• •D
C• •B
•
A
Nếu trong G tạm thời không xét đến một đỉnh của tam giác ABC chẳng hạn

đỉnh A, cùng tất cả các cạnh thuộc nó. Ta được đồ thị con đầy đủ G
1
có 5 đỉnh.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 24
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG
Nếu trong G1 có tam giác cùng màu thì bài toán đã được giải xong.
Ngược lại, trong G1 không có tam giác cùng màu, thì ta có thể biểu diễn G1
thành một hình 5 cạnh với màu đỏ và đường chéo màu xanh.
E
•
F• •D
C• •B
Bây giờ ta khôi phục lại đỉnh A thứ 6 và các cạnh màu thuộc nó. Xét 2 cạnh AD
và AF. Nếu chúng đều màu xanh thì ta có tam giác mới ADF có màu xanh. Nếu
AD hoặc AF màu đỏ thì ta có tam giác đỏ nữa được hình thành là ABD hoặc
ACF.
Vậy ngoài tam giác ABC, ta có thêm một tam giác nữa có các cạnh cùng
màu. Khẳng định đã được chứng minh.
•
F• •D
C• •B
Trong G luôn tồn tại hai tam giác có cạnh cùng màu đỏ hoặc xanh. Nếu cả hai
tam giác đều màu đỏ, thì ta có 2 bộ 3 số, mà trong mỗi bộ, chúng đôi một nguyên
tố cùng nhau. Nếu chỉ có một tam giác màu đỏ, thì ta được một bộ 3 số đôi một
nguyên tố cùng nhau, và một bộ 3 số đôi một không nguyên tố cùng nhau. Nếu
cả hai tam giác màu xanh, nghĩa là ta được hai bộ 3 số, mà trong mỗi bộ, chúng
đôi một không nguyên tố cùng nhau.
3.3. Những ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị:
3.3.1. Điều khiển đèn hiệu nút giao thông:
Giả sử ta cần thiết lập một quy trình điều khiển đèn hiệu ở nút giao thông

phức tạp, nhiều giao lộ, sao cho trong một khoảng thời gian ấn định, một số
tuyến được thông qua, trong khi một số tuyến khác bị cấm để tránh xảy ra đụng
độ.
NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 25
•
E
A