LÝ THUYẾT tổ hợp Nguyên lý bù trừ và ứng dụng.

Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 1
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên
nghiên cứu sự phân bố, sắp xếp các phần tử hoặc nhiều tập hợp. Thông thường các
phần tử này là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất
định nào đó, tùy theo yêu cầu của bài toán cần nghiên cứu. Mỗi cách phân bố như
vậy gọi là một cấu hình tổ hợp. Chủ đề này đã được nghiên cứu từ thế kỉ XVII, khi
những vấn đề về tổ hợp được nêu ra trong những công trình nghiên cứu các trò chơi
may rủi, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết
số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính,
hóa học,…
Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp
khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp
mất hàng chục năm). Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như
phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển như vũ bảo,
thì nó như nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi từ
khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp
đã được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 2
thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch
thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,…
Các bài toán tổ hợp thường được phân thành các dạng sau: bài toán tồn tại,
bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu. Liệt kê, đếm, sắp xếp các đối tượng
có những tính chất nào đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp.
Trong bài toán đếm, khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta
không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc
cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lập, vì những cách làm cả hai việc sẽ
được tính hai lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm

mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc đó là nội dung
của nguyên lý bù trừ. Nhóm chúng tôi mong muốn hiểu sâu về vấn đề này nên chọn
đề tài nghiên cứu là : Nguyên lý bù trừ và ứng dụng.
Đề tài gồm 3 chương xoay quanh nguyên lý bù trừ. Chương 1 nêu đại cương
về tổ hợp, chương 2 nghiên cứu sâu về nguyên lý bù trừ, chương 3 nêu những ứng
dụng của nguyên lý này.

STT Họ tên Công việc
(theo mục lục)
Chữ ký Nhận xét của
giáo viên
1
2
3
4
Trần Thị Ngân
( nhóm trưởng)
Hà Thị Thu Sương
Phạm Đức Khanh
Nguyễn Tấn Duy
Chương 1, chương 3
Chương 1, chương 3
Chương 2
Chương 2
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 3
CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP
1.1. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ
Có thể nói tổ hợp ra đời từ rất sớm. Vào thời nhà Chu Trung quốc người ta đã
biết đến những hình vuông thần bí. Thời cổ Hy Lạp,thế kỷ IV trước Công nguyên,

nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái
cho trước. Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra được nhiều số có tính chất đặc
biệt. Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu tiên, mà còn là
tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên.
Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó
bằng tổng bình phương của hai số khác. Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ
thuật tổ hợp nhất định. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp đã được hình
thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ XVII bằng một loạt công trình nghiên
cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Euler, Leibnitz,
Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp
khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp
mất cả chục năm). Vì vậy trong thời gian dài khi mà các ngành toán học như Phép
tính vi phân, phương trình vi phân,…phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 4
ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi khi xuất hiện máy
tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết
trên máy tính. Từ việc nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp trở thành một ngành toán học
phát triển mạnh mẽ với một số bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử như: bài toán
tháp Hà Nội, bài toán xếp n cặp vợ chồng, bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ,
hình vuông la tinh, hình lục giác thần bí.
1.2. BÀI TOÁN TỔ HỢP
Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất đa dạng, liên quan đến nhiều
lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau.
Có thể nói một cách tổng quát rằng lý thuyết tổ hợp nghiên cứu sự phân bố,
sắp xếp các phần tử hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó.
Một cách phân bố, sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp.
1.2.1. Cấu hình tổ hợp
Cho các tập A
1

, A
2
,…,A
n
. Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của A
1
, A
2
,
…,A
n
, được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R
1
,R
2
, …,R
m
là các điều kiện ràng
buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S. Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của A
1
, A
2
,
…,A
n
thỏa mãn các điều kiện R
1
,R
2
, …,R

m
gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập
A
1
, A
2
,…,A
n.
• Ví dụ . Xét sự bố trí các quân cờ trên bàn cờ vua. Mỗi thế cờ có thể coi là một cấu
hình tổ hợp. Ở đây ta có thể định nghĩa
A là tập hợp các quân cờ trắng
B là tập hợp các quân cờ đen
S là sơ đồ sắp xếp các quân cờ trên bàn cờ
R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua.
• Ví dụ .Bài toán tháp Hà Nội
A là tập hợp n đĩa
S là sơ đồ sắp xếp các đĩa trên 3 cọc
R
1
là điều kiện mỗi lần chuyển 1 đĩa từ một cọc sang cọc khác
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 5
R
2
là điều kiện đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên
Cấu hình tổ hợp là một cách sắp xếp các đĩa trên 3 cọc thỏa mãn các điều
kiện R
1
, R
2

.
1.2.2. Các dạng bài toán tổ hợp
Với các cấu hình tổ hợp ta thường gặp các dạng bài toán sau: Bài toán tồn tại,
bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu.
Bài toán tồn tại
Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của
một cấu hình tổ hợp nào đó.
Có những bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy sự
phát triển nhiều hướng nghiên cứu toán học.
• Ví dụ .Cho n nguyên dương
A là tập hợp n x n điểm
A={[i,j] | i,j = 1,…,n}
S là tập hợp 2n điểm trong A
R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng
Với
152
≤≤
n
cấu hình tổ hợp tồn tại. Nhưng bài toán chưa có lời giải với n
>15.
Bài toán đếm
Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp
thuộc dạng đang xét?”. Phương pháp đếm cấu hình tổ hợp thường dựa vào một số
quy tắc, nguyên lý đếm (nguyên lý cộng và nguyên lý nhân) và phân rã đưa về các
cấu hình tổ hợp đơn giản. Khi việc xác định số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể
ước lượng cận trên và cận dưới của nó. Bài toán đếm được áp dụng vào những công
việc như tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán,
• Ví dụ . Đếm số tập con của một tập hợp S={x
1
,x

2
,x
3
, ,x
n
}.
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 6
Giải. Một tập con của S có thể được xây dựng trong n bước kế tiếp như sau: Nhặt
hoặc không nhặt x
1
, nhặt hoặc không nhặt x
2
,…, nhặt hoặc không nhặt x
n
. Mỗi bước
được thực hiện nhiều nhất là 2 cách. Như vậy số tập con là
2.2.2… 2=2
n
Bài toán liệt kê
Các bài toán này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả
các cấu hình tổ hợp đã cho. Nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau thường được
đưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất
cho trước hay không.
• Ví dụ . Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử.
Bài toán tối ưu tổ hợp
Trong nhiều vấn đề, mỗi cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số( chẳng
hạn như hiệu quả sử dụng, hay chi phí thực hiện). Khi đó bài toán tối ưu tổ hợp
nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu ( lớn nhất hoặc nhỏ
nhất).

• Ví dụ (Bài toán ba lô). Một nhà thám hiểm dùng một cái ba lô trọng lượng không
quá b để mang đồ vật. Có n đồ vật 1,2,3,…,n. Đồ vật thứ j có trọng lượng a
j
và giá
trị sử dụng là c
j
, j=1,2,…,n. Hỏi nhà thám hiểm cần mang theo những đồ vật nào để
tổng giá trị sử dụng là lớn nhất ?
1.3. BÀI TOÁN ĐẾM
1.3.1. Giai thừa
Định nghĩa: Giai thừa của số tự nhiên n khác 0, kí hiệu n!, là tích số của n số
tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n.
Quy ước: 0! = 1
Tính chất: (n+k)! = n!.(n+1)…(n+k)
1.3.2. Nguyên lý nhân và nguyên lý cộng
1.3.2.1. Nguyên lý nhân
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 7
Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua k bước, bước 1 có thể được
thực hiện n
1
cách, bước 2 có thể được thực hiện n
2
cách, …, bước k có thể được thực
hiện n
k
cách. Khi đó số cấu hình tổ hợp là
n
1
. n

2
…. n
k
1.3.2.2. Nguyên lý cộng
Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
, m
2
cách chọn đối tượng x
2
, …, m
n
cách
chọn đối tượng x
n
và nếu cách chọn x
i
không trùng với bất kỳ cách chọn x
j
nào (i
≠
j,
i, j = 1, ,n) thì có m
1
+ m
2
+… + m
n

cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
1.3.3. Các cấu hình tổ hợp cơ bản
1.3.3.1. Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có
thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần có thể được lặp lại.
Một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích Đề-Các
X
k
, với X là tập n phần tử. Như vậy số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n là
AR(n,k) = n
k
1.3.3.2. Chỉnh hợp không lặp
Định nghĩa: Một chỉnh lợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một
bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần không được
lặp lại.
Một chỉnh hợp không lặp chập k của n có thể được xây dựng qua k bước kế
tiếp như sau:
Chọn thành phần đầu tiên: có n khả năng
Chọn thành phần thứ hai: có n -1 khả năng
…
Chọn thành phần thứ k: có n – k + 1 khả năng
Như vậy theo nguyên lý nhân, số tất cả chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là
A(n,k) = n.(n - 1)…. (n – k + 1) =
n!
(n k)!
−
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 8
1.3.3.3. Hoán vị
Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp thứ

tự các phần tử đó.
Hoán vị có thể coi như trường hợp riêng của chỉnh hợp không lặp chập k của
n trong đó k = n. Ta có số hoán vị là
P(n) = n!
1.3.3.4. Tổ hợp
Định nghĩa: Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể
thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Nói cách khác ta có thể
coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần
tử đã cho.
Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là C(n, k). Ta có
A(n, k) = C(n, k).k!
Suy ra
C(n, k) =
n!
k!(n k)!
−
1.3.4. Cấu hình tổ hợp mở rộng
1.3.4.1. Hoán vị lặp
Định nghĩa: Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn định số lần
lặp cho trước.
Định lý: Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau trong đó số phần tử thứ nhất
lặp n
1
lần, số phần tử thứ 2 lặp n
2
lần, , số phần tử thứ k lặp n
k
lần là
P( n; n
1

, n
2
, n
k
) =
1 2
!
! ! !
k
n
n n n
Hệ quả: Giả sử tập S có n phần tử khác nhau, trong đó có n
1
phần tử kiểu 1,
n
2
phần tử kiểu 2, , n
k
phần tử kiểu k. Khi đó số các hoán vị n phần tử của tập S là
P( n; n
1
, n
2
, , n
k
) =
1 2
!
! ! !
k

n
n n n
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 9
1.3.4.2. Tổ hợp lặp
Định nghĩa: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một nhóm không phân biệt
thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể lặp lại.
Định lý: Giả sử X có n phần tử khác nhau. Khi đó số tổ hợp lặp chập k từ n
phần tử của X, ký hiệu CR(n, k) là:
CR(n, k) = C(k+n–1,n-1) = C(k+n-1, k)
1.3.4.3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp
Định nghĩa: Cho X là tập n phần tử khác nhau,
nr ≤
và S
⊂
X có r phần tử.
Một phân hoạch {S
1
, S
2
,…, S
n
} có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ tự tổ
hợp chập r của X. Nếu r = n, thì ta gọi là phân hoạch thứ tự của X.
Cho các số nguyên dương n
1
, n
2
, …, n
k

thỏa
rnnn
k
=+++
21
. Số các phân
hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S
1
, S
2
,…, S
n
} có |S
1
| = n
1
, |S
2
| = n
2
, , |S
k
|
= n
k
được ký hiệu là C(n; n
1
, n
2
, , n

k
). Một cấu hình tổ hợp kiểu này được xây
dựng qua các bước như sau
Bước 1: chọn n
1
phần tử X cho S
1
, có C(n,n
1
) khả năng
Bước 2: chọn n
2
phần tử X \ S
1
cho S
2
, có C(n-n
1
,n
2
) khả năng

Bước k: chọn n
k
phần tử
) (\
121 −
∪∪∪
k
SSSX

cho S, có
), (
121 kk
nnnnnC
−
−−−−
khả năng
Theo nguyên lý nhân suy ra
), () ,().,(), ,,;(
12121121 kkk
nnnnnCnnnCnnCnnnnC
−
−−−−−=
),, ,,;(
)!!.(! !.
!
21
21
rnnnnnP
rnnnn
n
k
k
−=
−
=
Định lý:
),, ,,;(
)!!.(! !.
!

), ,,;(
21
21
21
rnnnnnP
rnnnn
n
nnnnC
k
k
k
−=
−
=
), ,,;(
21 k
nnnnC
được gọi là hệ số đa thức.
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 10
1.3.4.4. Phân hoạch không thứ tự
Định nghĩa: Cho X là tập n phần tử khác nhau, các số nguyên dương n
1
, n
2
,
…, n
k
và p
1

, p
2
, …,p
k
thỏa
npnpnpn
kk
=+++
2211
Một hệ thống các tập con của X gồm p
1
tập lực lượng n
1
, p
2
tập lực lượng n
2
,
…, p
k
tập lực lượng n
k
gọi là phân hoạch không thứ tự của X.
Định lý: Số phân hoạch không thứ tự của X với p
1
tập lực lượng n
1
, p
2
tập lực

lượng n
2
, …, p
k
tập lực lượng n
k
là
k
p
kk
pp
k
kk
npnpnp
n
ppp
nnnnnnnC
)!(! )!(!)!(!
!
!! !
), ,, ,, ,,, ,;(
21
2211
21
2211
=
(trong tử số
), ,, ,, ,,, ,;(
2211 kk
nnnnnnnC

số n
1
lặp lại p
1
lần, số n
2
lặp lại p
2
lần,
…, số n
k
lặp lại p
k
lần).
CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ
Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng
để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Để tính đúng số cách thực hiện
nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm
đồng thời cả hai việc. Ta có thể phát biểu nguyên lí đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp.
Công thức 1: Cho 2 tập hợp A,B. Theo nguyên lý cộng ta có:
BA∪
=
A
+
B
-
BA∩
Công thức 2: Cho tập hợp X và n tập con X
1
, X

2
, … , X
n
, ta có:
n
XXX ∪∪∪
21
=
),()1(
1
1
knX
k
n
k
−
=
∑
−
Trong đó:
∑
≤<<≤
∩∩∩=
nii
iii
k
k
xxxknX
1
1

21
),(
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 11
Trong tổng X(n,k), bộ (i
1
,i
2
, … ,i
k
) lấy tất cả các tổ hợp chập k của n và như vậy
X(n,k) là tổng của C(n,k) số hạng. Nói riêng ta có
1
)1,( XnX =
+
2
X
+……+
n
X
và
n
XXXnnX ∩∩∩= ),(
21
Từ công thức 2,sử dụng tính chất:
=∩∩∩
n
XXX
21
n

XXX ∪∪∪
21
=
−X
n
XXX ∪∪∪
21
Ta nhận được công thức sau:
Công thức 3 (Sieve):
),()1(
0
2
1
knXXXX
n
k
k
n
∑
=
−=∩∩∩
Trong đó:
XnX =)0,(
∑
≤<<≤
∩∩∩=
nii
iii
k
k

XXXknX
1
1
21
),(

nk ,1=∀
Bây giờ: ta cho các tính chất
n
αα
, ,
1
trên tập X. Xét bài toán:
* Bài toán đếm số phần tử trong X không thỏa mãn một tính chất
k
α
nào cả
Giải:
Với mọi
nk , ,1=
ta có ký hiệu:
{
xXxX
k
∈=
thỏa mãn
}
k
α
Như vậy phần bù của

k
X

là:
k
X
=
{
xXx∈
không thỏa mãn
}
k
α
Ký hiệu N là số cần đếm, theo công thức 3 ta có:

21
=∩∩∩=
n
XXXN
+X
knX
n
k
k
,()1(
1
∑
=
−
)

trong đó
XnX =)0,(
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 12
và
X(n,k)=
∑
≤<<≤
∩∩∩
nii
iii
k
k
XXX
1
1
21


nk ,1=∀
CHƯƠNG III: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VÀ CÁC VÍ DỤ
3.1. BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
3.1.1. Bài toán bỏ thư
Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ. Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào phong
bì.
i) Hỏi xác suất để không lá thư nào đúng địa chỉ là bao nhiêu ?
ii) Hỏi xác suất để đúng r lá thư đúng địa chỉ là bao nhiêu ( r
≤
n) ?
Giải:

i) Gọi X là tập hợp tất cả các cách bỏ thư. Ta có
!nX =
. Gọi
k
α
(k là tính chất
lá thư k gửi đúng địa chỉ, X
k
là tập hợp cách bỏ thư sao cho lá thư k không gửi đúng
địa chỉ (k = 1,….,n). Ký hiệu N(n,r) là só cách bỏ thư sao cho có đúng r lá thư đúng
địa chỉ (r = 0, 1, …., n). Như vậy theo nguyên lý bù trừ số cách bỏ thư sao cho
không có lá thư nào gửi đúng địa chỉ là.
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 13
∑
−= ),()1()0,( knXnN
k
Trong đó

( ,0) !N n X n= =

∑
≤<<≤
∩∩∩=
nii
iii
kk
k
XXXknX
1

),(
21
nk , ,1=∀
Với mỗi bộ k lá thư i
1
, i
2
, …, i
k
ta có (n-k)! cách bỏ thư, tức hoán vị các lá
thư còn lại, sao cho các lá thư i
1
, i
2
, …, i
k
bỏ đúng địa chỉ. Như vậy ta có:
!
( , ) ( , ).( )!
!
n
X n k C n k n k
k
= - =
Suy ra N(n,0) =







−++−+−
!
1
)1(
!3
1
!2
1
!1
1
1!
n
n
n
Như vậy xác suất cần tìm là:






−++−+−
!
1
)1(
!3
1
!2
1

!1
1
1
n
n
Một điều lý thú là xác suất trên tiến đến 1/ e khi n
∞→
.
Số N(n,0) trên cũng chính là tổng số hoán vị f(i) của tập (1, 2, …, n) thỏa
mãn f(i)
≠
i . Vì vậy N(n,0) được gọi là số mất thứ tự và được ký hiệu là D
n
.
ii) Cho tổ hợp i
1
, i
2
, …, i
r
Số cách bỏ thư để chỉ các lá thư i
1
, i
2
, …, i
r
gửi
đúng địa chỉ đúng bằng N(n-r, 0). Như vậy số cách bỏ thư để có đúng r lá thứ gửi
đúng địa chỉ là:









−
−+++−=








−
−+++−−=−=
−
−
)!(
1
)1(
!2
1
!1
1
1
!

!
)!(
1
)1(
!2
1
!1
1
1)!).(,()0,().,(),(
rnr
n
rn
rnrnCrnNrnCrnN
rn
rn
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 14
Suy ra xác suất cần tìm là:








−
−++−+−
−
)!(

1
)1(
!3
1
!2
1
!1
1
1
!
1
rnr
rn

3.1.2. Bài toán xếp n cặp vợ chồng (Lucas)
Một bàn tròn 2n ghế. Cần sắp n cặp vợ chồng sao cho đàn ông ngồi xen kẽ
với đàn bà và không có cặp nào ngồi cạnh nhau (có tính đến vị trí ghế và thứ tự chỗ
ngồi). Hỏi có bao nhiêu cách xếp ?
Giải:
Gọi số phải tìm là M
n
. Xếp các bà trước (cứ một ghế xếp thì dể một ghế trống
dành cho các ông). Với n ghế chẵn ta có n! cách xếp và với n ghế lẻ ta cũng có n!
cách xếp. Như vậy số cách xếp các bà là 2.n !. Gọi số cách xếp các ông ứng với một
cách xếp các bà là U
n
, ta có:
M
n
= 2.n ! U

n
Bây giờ ta đi tính U
n
Đánh số các bà (đã xếp) từ 1 đến n. Đánh số các ông tương ứng với các bà
(ông i là chồng bà i). Đánh số các ghế trống theo nguyên tắc: ghế số i nằm giữa bà i
và i + 1 (quy ước n +1 = 1). Mỗi cách xếp các ông được biểu diễn bằng một hoán vị
f(i) của tập {1, 2, ……,n} , tức ghế i được xếp cho ông f(i) . Để thỏa mãn yêu cầu
bài toán f(i) phải thỏa mãn

iif ≠)(
&
1)( +≠ iif
(*)
Như vậy số U
n
là số các hoán vị thỏa mãn (*). Số U
n
gọi là số phân bố.
Xét tập hợp X các hoán vị f của {1, 2, ….,n} . Ta gọi
P
i
là tính chất f(i) = i
và
Q
i
là tính chất f(i) = i +1
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 15
Ký hiệu P
n+i

là tính chất Q
i
. Tiếp theo ký hiệu X
i
là các số hoán vị của trong X
thỏa mãn tính chất P
i
, i = 1,…, 2n.
Như vậy theo nguyên lý bù trừ số cách xếp chỗ là:
),2()1(
2
0
knXU
k
n
k
n
∑
=
−=
Trong đó

(2 ,0) !X n X n= =
Và
X(2n,k) =
∑
≤<<≤
∩∩∩
nii
iii

k
k
XXX
2 1
1
21


nk 2, ,1=∀
Chú ý rằng không thể xảy ra đồng thời P
i
và Q
i
hoặc đồng thời P
i+1
và Q
i
tức
là:
Φ=∩
+ini
XX
&
Φ=∩
++ ini
XX
1

ni , ,1=∀
Như vậy ta có:

nkknX >∀= 0),2(
Và kéo theo:
),2()1(
0
knXU
k
n
k
n
∑
=
−=
Gọi g(2n,k) là số cách lấy ra k tính chất thỏa mãn không thể xảy ra đồng thời
P
i
và Q
i
hoặc đồng thời P
i+1
và Q
i
(g(2n,0) = 1). Và với mỗi cách lấy k tính chất như
vậy ta có (n-k)! cách phân bố các tính chất còn lại. Như vậy ta có:

)!).(,2()1(
0
knkngU
k
n

k
n
−−=
∑
=
Bây giờ ta còn phải tính g(2n,k). Nếu xếp theo vòng tròn P
1
, Q
1
, P
2
, Q
2
,….,
P
n
, Q
n
ta thấy g(2n,k) chính là số cách lấy ra k phần tử sao cho không có hai phần tử
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 16
kề nhau. Đây chính là số cách xếp k số 0 với (2n - k) số 1 sao cho không có hai số 0
kề nhau. Ta có:

2
(2 , ) (2 , )
2
n
g n k C n k k
n k

= -
-
Như vậy số phân bố là:
)!).(,2(.
2
2
)1(
0
knkknC
kn
n
U
k
n
k
n
−−
−
−=
∑
=
3.1.3. Bài toán đếm số toàn ánh
Cho hai tập X, Y có
nX =
,
knkY ≥= ,
. Hãy đếm số toàn ánh từ X vào Y.
Giải:
Cho Y = {y
1

, ….,y
k
}. Ký hiệu là tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào Y, T là
tập hợp tất cả toàn ánh từ X vào Y . Hiển nhiên
n
kS =
.
Ký hiệu:
{ }
kiXfySfS
ii
, ,1)(/ =∀∉∈=
Suy ra
T=
k
SSS ∩∩∩
21
Theo nguyên lý bù trừ ta có:
).,()1(
0
rkXT
r
k
r
∑
=
−=
Trong đó:
( ,0)
n

X k S k= =
Và
krSSSrkX
kii
iii
r
r
, ,1 ),(
1
1
21
=∀∩∩∩=
∑
≤<<≤
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 17
Do
r
iii
SSS ∩∩∩
21
là tập hợp các ánh xạ từ X vào Y \{y
1
,…, y
r
}, nên
n
i
i
i

rkSSS
r
)(
2
1
−=∩∩∩
Mặt khác, với mỗi r ta có C(k,r) bộ
{ }
krSSS
r
iii
, ,1, ,,
21
=∀
Suy ra:
nr
k
r
rkrkCT )).(,()1(
0
−−=
∑
=
3.2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Lớp 10A có 40 học sinh. Nhà trường bắt buộc mỗi học sinh trong
lớp phải học ít nhất một trong hai môn học tự chọn là Tin học hoặc Ngoại ngữ. Có
30 học sinh đăng kí học tin học, 20 học sinh đăng kí học Ngoại ngữ. Hỏi có bao
nhiêu học sinh đăng kí học cả hai môn Tin học và Ngoại ngữ ?
Giải:
Gọi

A
là tập các học sinh đăng kí học môn Tin học,
B
là tập các học sinh
đăng kí học môn Ngoại ngữ. Khi đó, tổng số học sinh của lớp 10A là
BA∪
và số
học sinh đăng kí học cả hai môn Tin học và Ngoại ngữ là
BA∩
. Vì vậy:
BA∪
=
A
+
B
-
BA∩
30 20 40 10A B A B A B⇒ ∩ = + − ∪ = + − =
Vậy có 10 học sinh đăng kí học cả hai môn Tin học và Ngoại ngữ.
Ví dụ 2: Đề thi học sinh giỏi toán của một trường phổ thông gồm 3 bài: hình
học, đại số và tổ hợp. Có 100 em tham gia dự thi. Kết quả cho thấy có 80 em giải
được bài hình học, 70 em giải được bài đại số, 50 em giải được bài tổ hợp, 60 em
giải được bài hình học và đại số, 50 em giải được bài hình học và tổ hợp, 40 em giải
được bài đại số và tổ hợp, 30 em giải được cả ba bài. Hỏi có bao nhiêu em giải được
ít nhất một bài thi.
Giải :
Gọi A là tập các học sinh giỏi toán của trường .
A
1
là tập các học sinh giải được bài hình học.

GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 18
A
2
là tập các học sinh giải được bài đại số.
A
3
là tập các học sinh giải được bài tổ hợp.
Khi đó:
1 2
A A∩
là tập các học sinh giải được bài hình học và đại số
2 3
A A∩
là tập các học sinh giải được bài đại số và tổ hợp
1 3
A A∩
là tập các học sinh giải được bài hình học tổ hợp
Số học sinh giải được ít nhất một bài thi là :
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3
( )A A A A A A A A A A A A A A A∪ ∪ = + + − ∩ + ∩ + ∩ + ∩ ∩
= 80 + 70 + 50 - 60 - 50 - 40 + 30 = 80
Ví dụ 3 : Trong tập hợp X = {1; 2; 3; …;10000} có bao nhiêu số không chia
hết cho bất kỳ số nào trong các số 3;4;7?
Giải :
Gọi A
1
là tập hợp các số thuộc tập X chia hết cho 3.
A
2

là tập hợp các số thuộc tập X chia hết cho 4
A
3
là tập hợp các số thuộc tập X chia hết cho 7
Khi đó:
1 2
A A∩
là tập các số thuộc tập X chia hết cho 3 và 4
2 3
A A∩
là tập các số thuộc tập X chia hết cho 4 và 7
1 3
A A∩
là tập các số thuộc tập X chia hết cho 3 và 7
Khi đó:
1 2 3
A A A∪ ∪
là số phần tử thuộc tập X chia hết cho 3, hoặc 4 hoặc 7.
Vậy số phần tử thuộc tập X không chia hết cho bất kỳ số nào trong các số 3;4;7 là:
( )
1
1 2 3 1 2 3 2 3
\A A A A A A A A A A∪ ∪ = ∪ ∪ = ∩ ∩
.
Ta có:
1 2 3
10000 10000 10000
3333, 2500, 1428
3 4 7
A A A

     
= = = = = =
     
     
1 2 1 3 2 3
10000 10000 10000
833, 476, 357
3 4 3 7 4 7
A A A A A A
     
∩ = = ∩ = = ∩ = =
     
× × ×
     
1 2 3
10000
119
3 4 7
A A A
 
∩ ∩ = =
 
× ×
 
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 19
Áp dụng công thức 3 (Sieve), ta có:
1
2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
( )A A A A A A A A A A A A A A A A∩ ∩ = − + + + ∩ + ∩ + ∩ − ∩ ∩

= 10000 - ( 3333 + 2500 +1428 ) + 833 + 476 + 357 - 119 = 4286
Vậy số phần tử thuộc tập X không chia hết cho bất kỳ số nào trong các số 3;4;7 là
4286
Ví dụ 4 : Một cuộc hội thao cấp Tỉnh có 4 môn thi gồm : cầu lông, bóng bàn,
chạy và cờ tướng. Đoàn A có 100 người bao gồm vận động viên và cổ động viên
tham gia trong đó: môn cầu lông có 18 vận động viên, môn bóng bàn có 26 vận
động viên, môn chạy có 19 vận động viên, môn cờ tướng có 24 vận động viên, có 5
người tham gia cả cầu lông và bóng bàn, 2 người tham gia cả cầu lông và chạy, 3
người tham gia cả cầu lông và cờ tướng, 5 người tham gia cả bóng bàn và chạy,4
người tham gia cả bóng bàn và cờ tướng, 3 người tham gia cả cờ tướng và chạy, 2
người tham gia cả cầu lông, chạy và cờ tướng, 4 người tham gia cả bóng bàn, chạy
và cờ tướng, 1 người tham gia cả bốn môn. Hỏi đoàn A có bao nhiêu người chỉ là cổ
động viên.
Giải :
Gọi A là tập các vận động viên và cổ động viên tham gia hội thao.
A
1
là tập các vận động viên cầu lông.
A
2
là tập các vận động viên bóng bàn.
A
3
là tập các vận động viên chạy.
A
4
là tập các vận động viên cờ tướng.
Khi đó:
1 2 3 4
A A A A∪ ∪ ∪

là số vận động viên tham gia ít nhất một môn.
( )
1
1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4
\A A A A A A A A A A A A A∪ ∪ ∪ = ∪ ∪ ∪ = ∩ ∩ ∩
là số cổ động
viên.
Áp dụng công thức 3 (Sieve):
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 20
1
2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3
2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
( )
( )
100 (18 26 19 24) (5 2 3 5 4 3) (2 3 2 4) 1 25
A A A A A A A A A A A A A A A A A
A A A A A A A A A A A A A A A A
A A A A
∩ ∩ ∩ = − + + + + ∩ + ∩ + ∩ + ∩
+ ∩ + ∩ − ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩
+ ∩ ∩ ∩ = − + + + + + + + + + − + + + + =
Vậy đoàn A có 25 người chỉ là cổ động viên.
Ví dụ 5 : Đếm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x + y + z = 11,
với 0≤ x≤3, 0≤ y≤4, 0≤ z≤6
Giải :
Gọi A là tập tất cả các nghiệm không âm của phương trình.
A
1

là tập nghiệm nguyên không âm của phương trình với x ≥ 4,
A
2
là tập nghiệm nguyên không âm của phương trình với y ≥ 5,
A
3
là tập nghiệm nguyên không âm của phương trình với z ≥ 7,
Vậy số nghiệm cần tìm là
( )
1
2 3 1 2 34 1 2 3
\A A A A A A A A A A∩ ∩ = ∪ ∪ = ∪ ∪
1
2 3
A A A∩ ∩
=
A
-|A
1
|-|A
2
|-|A
3
| + |A
1
∩A
2
| +|A
1
∩A

3
| +|A
2
∩A
3
|-|A
1
∩A
2
∩A
3
|
Ta có
A
=C(13,2), |A
1
|+|A
2
|+|A
3
|=79, A
1
∩A
2
| +|A
1
∩A
3
| +|A
2

∩A
3
|=7
|A
1
∩A
2
∩A
3
| = 0. Vậy
1
2 3
A A A∩ ∩
= 6
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 21
KẾT LUẬN
Nguyên lý bù trừ là đề tài rất hay, nó khơi dậy khả năng toán học cho người
học, đồng thời nó cũng kích thích được óc sáng tạo và tư duy định hướng cho người
học.
Nguyên lý này đã cuốn hút được sự quan tâm của nhiều người bởi tính đa
dạng và sự ứng dụng của nó. Do vậy, việc học tập, nghiên cứu chủ đề này là rất bổ
ích vì nó có thể giải quyết được nhiều vấn đề nảy sinh từ thực tế cuộc sống.
Trong đề tài này, mặt dù nhóm chúng tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu,
thảo luận, và được sự hướng dẫn chu đáo của Thầy PGS.TSKH.Trần Quốc Chiến
nhưng do khả năng có hạn nên chắc chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Kính
mong Thầy và các anh chị trong lớp góp ý, bổ sung, chỉnh sửa để đề tài được hoàn
thiện hơn.
Thay mặt nhóm, tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và hướng dẫn nhiệt
tình, tận tụy của Thầy PGS.TSKH.Trần Quốc Chiến, cũng như sự động viên, khích

lệ của tập thể lớp để nhóm chung tôi hoàn thành tốt đề tài này.
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5
Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Hoàng Chí Thành (2001), Giáo trình tổ hợp, NXB Đại học quốc gia Hà
Nội.
[2] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, Giáo Trình Lý Thuyết Tổ Hợp, Đà Nẵng _2010.
[3] Vũ Đình Hoà (2003), Lý thuyết tổ hợp và các bài toán ứng dụng, NXB
Giáo dục.
GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5