Vận dụng lí thuyết kiến tạo và sử dụng phần mềm Maple trong dạy học chương trình nguyên hàm, tích phân và ứng dụng lớp 12 trung học phổ thông (ban cơ bản

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



ĐOÀN KHẮC PHƢƠNG



VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO VÀ
SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG DẠY HỌC
CHƢƠNG "NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG"
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN CƠ BẢN)




LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC




HÀ NỘI -2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC


ĐOÀN KHẮC PHƢƠNG

VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO VÀ SỬ DỤNG
PHẦN MỀM MAPLE TRONG DẠY HỌC CHƢƠNG
"NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG"
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN CƠ BẢN)


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Lý luận và phƣơng pháp dạy học (Bộ môn Toán học)
Mã số : 60 14 10



Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH


HÀ NỘI -2011
DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

CNTT- TT : Công nghệ thông tin – truyền thông
CT : Chƣơng trình
DH : Dạy học
ĐC : Đối chứng
ĐH – CĐ : Đại học – Cao đẳng
GV : Giáo viên
HĐ : Hoạt động
HS : Học sinh
MT : Môi trƣờng
MTĐT : Máy tính điện tử

PMDH : Phần mềm dạy học
PP : Phƣơng pháp
PPDH : Phƣơng pháp dạy học
PTDH : Phƣơng tiện dạy học
SGK : Sách giáo khoa
TBDH : Thiết bị dạy học
TH : Tình huống
THPT : Trung học phổ thông
TN : Thực nghiệm
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục tiêu nghiên cứu 3
3. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
5. Giả thuyết khoa học 4
6. Phƣơng pháp nghiên cứu 4
7. Đóng góp của luận văn 5
8. Cấu trúc của luận văn 5
CHƢƠNG l: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 6
1.1. Đổi mới phƣơng pháp dạy học 6
1.2. Dạy học theo quan điểm kiến tạo 10
1.3. Dạy học giải toán 12
1.4. Ứng dụng CNTT-TT trong trƣờng THPT 16
1.5. Kết luận chƣơng 1 28
Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC THEO MÔ
HÌNH KIẾN TẠO VÀ ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG DẠY
HỌC NỘI DUNG "NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG" 30
2.1. Phân tích nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các SGK ở
nƣớc ta hiện nay 30

2.2. Nghiên cứu một phần thực trạng dạy học nội dung nguyên hàm, tích phân
và ứng dụng 36
2.3. Giả thuyết khoa học của luận văn 48
2.4. Một số đề xuất dạy học theo quan điểm kiến tạo và phƣơng pháp giải
toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có sử dụng phần mềm Maple 49
2.5. Một số nguyên tắc cơ bản khi sử dụng phần mềm Maple trong dạy học
nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 51
2.6. Vận dụng lí thuyết kiến tạo có sự hỗ trợ của phần mềm Maple trong một
số hoạt động dạy học nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 54
2.7. Liên hệ một số đề thi tốt nghiệp và đề thi đại học, cao đẳng môn toán các
khối A, B, D từ năm 2002 - 2010 80
2.8. Kết luận chƣơng 2 79
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 81
3.1. Mục đích thực nghiệm 81
3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 82
3.3. Phƣơng pháp thực nghiệm 82
3.4. Tổ chức thực nghiệm 83
3.5. Nội dung thực nghiệm 86
3.6. Kết luận chƣơng 3 98
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 100
TµI LIÖU THAM KH¶O 111
PHô LôC 120

1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong công cuộc đổi mới và phát triển đất nƣớc, giáo dục đóng vai trò
rất quan trọng nhằm "Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân
tài". Để đáp ứng nhu cầu nguồn nhân lực chất lƣợng cao là yếu tố quyết định
sự phát triển của đất nƣớc trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hoá, cần

tạo sự chuyển biến cơ bản, toàn diện về giáo dục và đào tạo. Trong đó, việc
đổi mới phƣơng pháp dạy học là một yếu tố quan trọng, quyết định đến chất
lƣợng nguồn nhân lực.
Nghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ IX đã khẳng định: "Tiếp tục
nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung phương pháp dạy
và học, hệ thống trường lớp, hệ thống giáo dục, thực hiện chuẩn hóa, hiện đại
hóa, xã hội hóa. Phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người
học, coi trọng thực hành, thực nghiệm, ngoại khóa, làm chủ kiến thức, tránh
nhồi nhét, học vẹt, học chung chung ".
Luật giáo dục (2005) quy định: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với
đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn tác động đến tình cảm đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Hiện nay, ở các trƣờng THPT, việc đổi mới phƣơng pháp dạy học luôn
nhận đƣợc sự quan tâm hàng đầu của Ban giám hiệu cũng nhƣ toàn thể giáo
viên. Nhƣng đổi mới phƣơng pháp dạy học nhƣ thế nào để có hiệu quả vẫn là
một câu hỏi luôn đƣợc đặt ra.
Từ xƣa đến nay, các nhà nghiên cứu giáo dục đã đƣa ra nhiều lý thuyết
dạy học khác nhau, trong đó lý thuyết dạy học theo quan điểm kiến tạo là một
trong những lý thuyết dạy học có nhiều ƣu điểm, phù hợp với thực tiễn giáo
dục hiện nay.

2
Dạy học theo lý thuyết kiến tạo là kiểu dạy học trong đó giáo viên thiết
kế tình huống cho học sinh tham gia kiến thiết, tạo dựng và biến đổi cả tri
thức, kĩ năng của mình để phù hợp với tình huống mới và có đƣợc nhận thức
mới. Qua đó học sinh sẽ phát huy đƣợc tính tích cực, chủ động trong việc nắm
bắt các tri thức mới.
Bên cạnh việc vận dụng các lý thuyết dạy học hiện đại thì việc sử dụng

CNTT cũng là một yếu tố quan trọng trong đổi mới phƣơng pháp dạy học.
Dạy học Toán với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học góp phần tạo nên môi
trƣờng học tập linh hoạt, sinh động và mang tính tƣơng tác cao, giúp học sinh
học tập hiệu quả hơn, giáo viên có cơ hội tốt để xây dựng bài giảng phù hợp
với trình độ nhận thức của học sinh.
Trong dạy học giải tích 12, nhiều nghiên cứu (Nguyễn Bá Kim 1995,
Nguyễn Chánh Tú 2002, Trần Lƣơng Công Khanh 2006) đã chỉ ra chƣơng
“Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” là một chủ đề khó khăn cho cả GV và
HS. Làm thế nào để học sinh hứng thú học tập chủ đề này, không những hiểu
đầy đủ bản chất khái niệm, vận dụng linh hoạt để giải toán mà còn hiểu đƣợc
những ứng dụng quan trọng của nó luôn là câu hỏi đặt ra cho giáo viên.
Ở Việt Nam đã có nhiều nghiên cứu của các tác giả Nguyễn Bá Kim,
Đào Thái Lai, Nguyễn Chí Thành, Bùi Văn Nghị, Phạm Huy Điển về vận
dụng các lý thuyết dạy học và sử dụng các phần mềm hỗ trợ trong dạy học
toán nói chung và giải tích nói riêng. Tuy nhiên, chƣa có nhiều nghiên cứu
chuyên sâu về vận dụng lý thuyết kiến tạo và sử dụng phần mềm Maple trong
dạy học nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng chƣơng trình môn Toán
trung học phổ thông.
X
X
X
u
u
u
ấ
ấ
ấ
t
t
t

p
p
p
h
h
h
á
á
á
t
t
t



t
t
t
ừ
ừ
ừ



l
l
l

ý
ý
ý



d
d
d
o
o
o



t
t
t
r
r
r
ê
ê
ê
n
n
n
,
,
,

t
t
t
ô
ô
ô
i
i
i



c
c
c
h
h
h
ọ
ọ
ọ
n
n
n

đ
đ
đ
ề
ề
ề



t
t
t
à
à
à
i
i
i



n
n
n
g
g
g
h
h
h

i
i
i
ê
ê
ê
n
n
n



c
c
c
ứ
ứ
ứ
u
u
u



c
c
c
ủ
ủ
ủ

a
a
a



l
l
l
u
u
u
ậ
ậ
ậ
n
n
n



v
v
v
ă
ă
ă
n
n
n

l
l
l
à
à
à
:
:
:



V
V
V
ậ
ậ
ậ
n
n
n



d
d
d

ụ
ụ
ụ
n
n
n
g
g
g



l
l
l
ý
ý
ý



t
t
t
h
h
h
u
u
u

y
y
y
ế
ế
ế
t
t
t



k
k
k
i
i
i
ế
ế
ế
n
n
n



t
t
t

ạ
ạ
ạ
o
o
o



v
v
v
à
à
à



s
s
s
ử
ử
ử



d
d
d

ụ
ụ
ụ
n
n
n
g
g
g



p
p
p
h
h
h
ầ
ầ
ầ
n
n
n



m
m
m

ề
ề
ề
m
m
m



M
M
M
a
a
a
p
p
p
l
l
l
e
e
e



t
t
t

r
r
r
o
o
o
n
n
n
g
g
g



d
d
d
ạ
ạ
ạ
y
y
y



h
h
h

ọ
ọ
ọ
c
c
c



c
c
c
h
h
h
ư
ư
ư
ơ
ơ
ơ
n
n
n
g
g
g

"
"
"
N
N
N
g
g
g
u
u
u
y
y
y
ê
ê
ê
n
n
n



h
h
h
à
à
à

m
m
m
,
,
,



t
t
t
í
í
í
c
c
c
h
h
h



p
p
p
h
h
h

â
â
â
n
n
n



v
v
v
à
à
à



ứ
ứ
ứ
n
n
n
g
g
g

d
d
d
ụ
ụ
ụ
n
n
n
g
g
g
”
”
”



l
l
l
ớ
ớ
ớ
p
p
p

1
1
1
2
2
2



t
t
t
r
r
r
u
u
u
n
n
n
g
g
g



h
h
h

ọ
ọ
ọ
c
c
c



p
p
p
h
h
h
ổ
ổ
ổ



t
t
t
h
h
h
ô
ô
ô

n
n
n
g
g
g



(
(
(
B
B
B
a
a
a
n
n
n



c
c
c
ơ
ơ
ơ

b
b
b
ả
ả
ả
n
n
n
)
)
)
.
.
.




3
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về việc DH theo mô hình kiến tạo, sử dụng
phần mềm Maple trong DH một số nội dung chƣơng "Nguyên hàm, tích phân
và ứng dụng".
- Xây dựng một số tình huống DH theo mô hình kiến tạo và một số
nguyên tắc sử dụng phần mềm Maple trong DH chƣơng "Nguyên hàm, tích
phân và ứng dụng" lớp 12 Trung học phổ thông (ban cơ bản).

- Đề xuất một số vấn đề vận dụng lý thuyết kiến tạo và sử dụng phần
mềm Maple trong DH nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng.
3. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Vận dụng lý thuyết kiến tạo và sử dụng
phần mềm Maple trong dạy học chƣơng “Nguyên hàm, tích phân và ứng
dụng” lớp 12 trung học phổ thông (Ban cơ bản).
3.2. Khách thể nghiên cứu: HS lớp 12 và giáo viên dạy môn Toán lớp
12.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục tiêu trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
4.1. Nghiên cứu và hệ thống hóa các cơ sở lý luận và thực tiễn của việc
vận dụng lý thuyết kiến tạo và khai thác các ứng dụng của phần mềm Maple
trong dạy học môn Toán.
4.2. Nghiên cứu việc dạy học nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng
dụng trong giải tích 12 và tìm hiểu một phần thực trạng hoạt động dạy học
chủ đề này ở trƣờng THPT.
4.3 Xây dựng một số tình huống theo mô hình kiến tạo trong dạy học
nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong giải tích lớp 12.
4.4. Xây dựng một số bài toán ứng dụng nguyên hàm, tích phân vào
hình học với sự hỗ trợ của phần mềm Maple.

4
4.5. Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm để kiểm tra tính khả thi và đánh
giá hiệu quả của việc vận dụng lý thuyết kiến tạo và sử dụng phần mềm
Maple.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu tổ chức các hoạt động dạy học nội dung "Nguyên hàm, tích phân
và ứng dụng" theo mô hình kiến tạo và sử dụng Maple theo các vấn đề đã nêu
trong luận văn thì sẽ phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh, góp phần
nâng cao chất lƣợng dạy học môn Toán ở trƣờng THPT.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, PPDH Toán và
SGK, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài nghiên cứu.
- Nghiên cứu các khái niệm về việc vận dụng lý thuyết kiến tạo trong
dạy học Toán.
- Nghiên cứu các tài liệu hƣớng dẫn sử dụng phần mềm Maple trong
dạy học Toán.
- Nghiên cứu các tài liệu khoa học Toán học, các luận văn, luận án có
liên quan đến đề tài.
6.2. Quan sát và trao đổi
- Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh về
chƣơng "Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”.
- Quan sát các giờ giảng môn Toán có vận dụng lý thuyết kiến tạo, có
sử dụng phần mềm Maple.
- Trao đổi với các giáo viên về việc thiết kế bài giảng, về việc dạy và
thăm dò ý kiến của học sinh về việc học trong các giờ có vận dụng lý thuyết
kiến tạo, có sử dụng phần mềm Maple.
6.3. Thực nghiệm sư phạm và xử lý kết quả

5
- Thực nghiệm kiểm tra tính hiệu quả của việc vận dụng lý thuyết kiến
tạo và sử dụng phần mềm Maple trong dạy học môn Toán.
- Xử lý kết quả thực nghiệm bằng phƣơng pháp thống kê Toán học.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Nghiên cứu một phần thực trạng hoạt động dạy học nội dung
nguyên hàm, tích phân và ứng dụng chƣơng trình giải tích lớp 12.
7.2. Góp phần xây dựng một số tình huống dạy học theo mô hình kiến
tạo và sử dụng phần mềm Maple nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng
dụng.

7.3. Góp phần xây dựng cơ sở khoa học của việc sử dụng phần mềm
Maple trong dạy học Toán. Xác định đƣợc các nguyên tắc, quy trình thiết kế
và sử dụng bài giảng môn Toán với sự hỗ trợ của phần mềm Maple.
7.4. Xây dựng một tài liệu tham khảo về vận dụng lý thuyết kiến tạo và
sử dụng phần mềm Maple trong dạy học nội dung "Nguyên hàm, tích phân và
ứng dụng" lớp 12 Trung học phổ thông (Ban cơ bản).
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung
luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài
Chƣơng 2: Xây dựng một số tình huống dạy học theo mô hình kiến tạo
và ứng dụng phần mềm Maple trong dạy học nội dung “Nguyên hàm, tích
phân và ứng dụng”
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm





6



CHƢƠNG l: CƠ SỞ LÝ LUẬN
VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1.1. Đổi mới phƣơng pháp dạy học
1.1.1. Đặt vấn đề
Chƣơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định
số 16/2006 của Bộ trƣởng Bộ GD&ĐT đã nêu: "Phải phát huy tính tích cực,

tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh. Phù hợp với đặc trưng môn học, đặc
điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng cho học sinh
phương pháp tự học, khả năng hợp tác rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách
nhiệm học tập cho học sinh".
Những quy định này phản ánh nhu cầu đổi mới phƣơng pháp dạy
học để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngƣời mới với tình
trạng lạc hậu của giáo dục nƣớc ta hiện nay. Từ nhiều năm nay, vấn đề đổi
mới phƣơng pháp dạy học đã đƣợc quan tâm ở tất cả các cấp học với những
tƣ tƣởng chỉ đạo đƣợc phát triển dƣới các hình thức nhƣ: "Lấy ngƣời học làm
trung tâm", "PPDH tích cực", "Tích cực hóa ngƣời học".
1.1.2. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Điều cơ bản của đổi mới PPDH là hƣớng tới hoạt động học tập tích
cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Đổi mới nội dung và
hình thức hoạt động của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy
học, đổi mới hình thức tƣơng tác xã hội trong dạy học với định hƣớng:
- Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông.

7
- Phù hợp với nội dung dạy học cụ thể.
- Phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh.
- Phù hợp với cơ sở vật chất, các điều kiện dạy học của nhà trƣờng.
- Phù hợp với việc đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả dạy học.
- Kết hợp giữa việc tiếp thu và sử dụng có chọn lọc, có hiệu quả các
phƣơng pháp dạy học tiên tiến, hiện đại với việc khai thác những yếu tố tích
cực của các phƣơng pháp dạy học truyền thống.
- Tăng cƣờng sử dụng các phƣơng tiện dạy học, thiết bị dạy học và đặc
biệt lƣu ý đến những ứng dụng của CNTT.
1.1.3. Mục đích của đổi mới phương pháp dạy học
Mục đích của đổi mới phƣơng pháp dạy học ở trƣờng phổ thông

là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo "PPDH tích
cực" nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo,
rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp, kĩ năng vận dụng kiến
thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn, tạo
niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập, làm cho "Học" là quá trình kiến
tạo. Học sinh tìm, tòi khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông
tin, tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất. Tổ chức hoạt động nhận
thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lý. Chú trọng hình thành các
năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác) dạy phƣơng pháp và kĩ thuật lao động
khoa học, dạy cách học. Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện
tại và tƣơng lai . Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân học sinh và
cho sự phát triển xã hội.
1.1.4. Đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học tích cực
1.1.4.1. Dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, chủ động, sáng tạo
thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh

8
Dạy học thay vì lấy "Dạy" làm trung tâm sang lấy "Học" làm trung
tâm. Trong phƣơng pháp tổ chức, HS đƣợc cuốn hút vào các HĐ học tập do
GV tổ chức và chỉ đạo, qua đó tự khám phá những điều mình chƣa rõ.

9
1.1.4.2. Rèn luyện phương pháp và phát huy năng lực tự học của học
sinh
PPDH tích cực xem việc rèn luyện phƣơng pháp học tập cho HS không
chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả DH mà còn là mục tiêu của DH.
Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh, với sự bùng nổ thông tin,
khoa học, kỹ thuật, công nghệ phát triển nhƣ vũ bão, thì không thể nhồi nhét
vào đầu óc HS khối lƣợng kiến thức ngày càng nhiều. Trong các phƣơng pháp
học thì cốt lõi là phƣơng pháp tự học. Nếu rèn luyện cho HS có đƣợc phƣơng

pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi
dậy nội lực vốn có trong mỗi con ngƣời, kết quả học tập sẽ đƣợc tăng lên.
1.1.4.3. Dạy học phân hóa kết hợp với hợp tác
Trong một lớp học trình độ kiến thức, tƣ duy của HS thƣờng không thể
đồng đều, vì vậy khi áp dụng phƣơng pháp dạy học tích cực phải chấp nhận
sự phân hóa về cƣờng độ, mức độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập.
Tuy nhiên, trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều
đƣợc hình thành bằng những hoạt động độc lập. Lớp học là môi trƣờng giao
tiếp thầy - trò, trò - trò, tạo nên mối quan hệ lƣợng tác giữa các cá nhân trên
con đƣờng chiếm lĩnh nội dung học tập.
1.1.5. Một số phương pháp dạy học
PPDH là những hình thức và cách thức hoạt động của GV và HS trong
những điều kiện dạy học xác định nhằm đạt mục đích dạy học. Những hình
thức và cách thức, thông qua đó và bằng cách đó, GV và HS lĩnh hội những
hiện thực tự nhiên và xã hội xung quanh trong những điều kiện học tập cụ thể.
Hiện nay ngƣời ta thƣờng nói đến một số PPDH phổ biến sau đây:
- Phương pháp thuyết trình.
- Phương pháp vấn đáp, đàm thoại.
- Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề.

10
- Phương pháp dạy học khám phá.
- Dạy học với lý thuyết tình huống.
- Dạy học với lý thuyết kiến tạo.
- Dạy học với lý thuyết tương tác.
1.2. Dạy học theo quan điểm kiến tạo
1.2.1. Sơ lược về thuyết kiến tạo
Theo nghĩa từ điển: Kiến tạo có nghĩa là xây dựng nên [35].
Ngƣời khởi xƣớng ra lý thuyết kiến tạo là Zin Pi-a-giê (Jean Piaget,
1896- 1980), nhà tâm lí học, sinh học ngƣời Thụy Sĩ. Trong suốt cuộc đời,

ông chỉ theo đuổi một mục đích: Xây dựng một học thuyết về sự phát sinh tri
thức. Ông nghiên cứu để trả lời câu hỏi: Tri thức đến với con ngƣời nhƣ thế
nào? Câu trả lời của ông chính là thuyết kiến tạo.
Theo ông, nhận thức của con ngƣời là quá trình thích ứng với môi
trƣờng qua hai hoạt động đồng hóa và điều tiết. Tri thức không phải truyền
thụ từ ngƣời biết tới ngƣời không biết, mà tri thức đƣợc chính cá thể xây
dựng, thông qua hoạt động. Ông cho rằng, những ý tƣởng cần đƣợc trẻ em tạo
nên chứ không phải tìm thấy nhƣ một viên sỏi, hoặc nhận đƣợc từ tay ngƣời
khác nhƣ một món quà, trẻ em tập đi bằng cách đi, chứ không phải bằng cách
đƣợc dạy những quy tắc để đi.
Dạy học theo lý thuyết kiến tạo là kiểu dạy học trong đó giáo viên thiết
kế tình huống cho học sinh tham gia kiến thiết, tạo dựng và biến đổi các tri
thức, kĩ năng của mình để phù hợp với tình huống mới, và có đƣợc nhận thức
mới khi đƣợc đặt vào tình huống mà ở đó ngƣời học cảm thấy cần thiết và có
khả năng giải quyết, ngƣời học sẽ kiến tạo nên tri thức cho mình. Nhƣ vậy, tri
thức đƣợc kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức.
Kiến tạo vừa mang tính cá nhân (tự mình) vừa mang tính xã hội (hòa
nhập cộng đồng).

11
1.2.2. Dạy học với lý thuyết kiến tạo
- Tri thức đƣợc kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức, không
phải tiếp thu một cách thụ động từ môi trƣờng bên ngoài.
- Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của
chính mỗi ngƣời. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới mà chủ thể
nhận thức chƣa từng biết tới.
- Học là một quá trình mang tính xã hội trong đó trẻ em dần tự hòa
mình vào các hoạt động trí tuệ của những ngƣời xung quanh. Trong lớp học
mang tính kiến tạo, học sinh không chỉ tham gia vào việc khám phá, phát
minh mà còn tham gia vào cả quá trình xã hội bao gồm việc giải thích, trao

đổi, đàm phán và đánh giá.
- Những tri thức mới của mỗi cá nhân nhận đƣợc từ việc điều chỉnh lại
thế giới quan của họ, thế giới quan đó cần phải đáp ứng đƣợc những yêu cầu
mà tự nhiên và thực trạng xã hội đặt ra.
1.2.3. Vận dụng thuyết kiến tạo
Để vận dụng lý thuyết kiến tạo trong dạy học môn Toán ở trƣờng phổ
thông, ta phải khai thác từ nội dung học xem chỗ nào có thể cho HS tham gia
vào quá trình kiến tạo tri thức, kĩ năng từ đó thiết kế tình huống, chuẩn bị các
hoạt động, câu hỏi, hƣớng HS tham gia vào quá trình kiến tạo.
Các bƣớc thiết kế và triển khai một pha dạy học theo thuyết kiến tạo có
thể nhƣ sau:
- Chọn nội dung dạy học.
- Thiết kế tình huống kiến tạo.
- Thiết kế các câu hỏi hoạt động.
- Tổ chức, hƣớng dẫn học sinh tham gia kiến tạo.
- Hợp thức những tri thức, kĩ năng mới.


12
1.2.4. Mô hình lý thuyết dạy học theo quan điểm kiến tạo
Với mục tiêu DH không chỉ nhằm giúp HS có đƣợc một hệ thống kiến
thức đáp ứng đƣợc yêu cầu của xã hội mà còn giúp HS trả lời đƣợc câu hỏi:
làm thế nào để thu nhận đƣợc những kiến thức đó, lí thuyết kiến tạo đã đề
xuất mô hình DH nhƣ sau:
Khám phá

Câu hỏi của HS

Khảo sát cụ thể


Phản ánh

Kiến
tạo tri thức mới.
Theo mô hình DH này, việc dạy một kiến thức mới không phải bắt đầu
từ việc GV thông báo kiến thức đó mà phải bắt đầu từ việc khám phá của
người học về kiến thức cần lĩnh hội. Mô hình dạy học này đã phản ánh đúng
bản chất quá trình nhận thức của loài ngƣời, đồng thời nó đánh giá cao sự tìm
hiểu và khám phá.
Mô hình DH trên cũng chứa đựng sự thay đổi quan điểm DH, theo đó
việc tổ chức DH theo quan điểm kiến tạo phải luôn chú ý đến kiến thức và kĩ
năng đã có của HS, nó là một trong các tiền đề để tổ chức DH theo nội dung
kiến thức mới. HĐ của mỗi cá nhân và HĐ thảo luận theo nhóm hoặc theo
lớp là các HĐ chủ đạo trong quá trình kiến tạo tri thức mới. Vì vậy, chủ nhân
của việc học đƣợc đặt đúng vào vị trí của HS chứ không phải là GV.
1.3. Dạy học giải toán
1.3.1. Bài toán và một số cách phân loại bài toán
Theo Lê Văn Tiến [40, tr.160], việc phân biệt một cách rõ nét hai khái
niệm bài toán và bài tập là một việc khá khó khăn và phức tạp. Hiện nay có ba
quan niệm chủ yếu về các khái niệm này: Bài tập là một trường hợp riêng của
bài toán, bài toán là một trường hợp riêng của bài tập, phân biệt hai khái
niệm bài tập và bài toán. Trong khuôn khổ luận văn chúng tôi quan niệm bài
tập là một trƣờng hợp riêng của bài toán. Nhƣ vậy trong phạm vi dạy học toán
thì đồng nhất hai khái niệm bài tập và bài toán.

13
Một số tác giả cũng đƣa ra cách phân loại bài toán nhƣ: bài toán có
thuật giải, bài toán không có thuật giải; bài toán đóng, bài toán mở; loại tìm
tòi, loại chứng minh; bài toán thực tiễn và bài toán toán học.
1.3.2. Vai trò, chức năng của bài toán trong quá trình dạy học

Theo Nguyễn Bá Kim [22, tr. 384], bài toán có vai trò giá mang HĐ
của HS. Thông qua giải bài toán, HS phải thực hiện những HĐ nhất định bao
gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc, phƣơng pháp,
những HĐ toán học phức hợp, những HĐ trí tuệ phổ biến trong Toán học,
nhƣ vậy mọi HĐ của HS liên hệ mật thiết với mục đích, nội dung và phƣơng
pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài toán đƣợc thể hiện:
* Đối với mục đích dạy học
+ Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tƣ duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của ngƣời lao động trong thời đại mới.
* Đối với nội dung dạy học
Bài toán là giá mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất
định, làm cho bài toán đó trở thành một phƣơng tiện để cài đặt nội dung dƣới
dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho những tri thức
nào đó đã đƣợc trình bày trong phấn lí thuyết.
* Đối với phương pháp dạy học
Bài toán là giá mang những hoạt động để ngƣời học kiến tạo những nội
dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác. Khai
thác tốt những bài toán nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập

14
trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo đƣợc thực
hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Theo Lê Văn Tiến [40, tr. 176] chức năng chủ yếu của bài toán trong
dạy học Toán là:
- Tạo động cơ (động cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tƣợng mới,
động cơ nảy sinh khái niệm mới).

- Hoạt hoá kiến thức cũ.
- Phƣơng tiện đƣa vào kiến thức mới.
- Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành kĩ xảo Toán học.
- Phát triển các năng lực và phẩm chất tƣ duy.
- Công cụ chẩn đoán biểu tƣợng của học sinh về khái niệm.
Trong thực tiễn dạy học, bài toán đƣợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới,
củng cố hoặc kiểm tra đánh giá đặc biệt là về mặt kiểm tra thì bài toán là
phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc
lập và trình độ phát triển của học sinh. Nhƣ vậy bài toán không tồn tại độc lập
mà nó phụ thuộc vào chủ thể HS, mang tính cá nhân cao.
1.3.3. Yêu cầu đối với lời giải bài toán
Theo Lê Văn Tiến [40, tr. 183] lời giải của bài toán nói chung cần phải
đạt những yêu cầu sau:
- Lời giải không có sai lầm: lời giải không có sai sót về kiến thức toán
học, về suy luận và tính toán, về kí hiệu và hình vẽ, về trình bày . . .
- Lập luận phải có căn cứ chính xác: Các bƣớc trong lời giải phải dựa
vào các định nghĩa, định lí, tính chất, quy tắc, công thức, đã học, các giả
thiết đã cho.
- Lời giải phải đầy đủ.
- Trình bày phải đủ rõ ràng.

15
1.3.4. Phương pháp chung để giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài toán, trƣớc hết giáo viên cần trang bị cho
học sinh một số tri thức phƣơng pháp, phƣơng pháp giải toán, phƣơng pháp
toán học hóa nhằm rèn luyện và phát triển tƣ duy khoa học ở học sinh.
Khi dạy giải bài toán nói chung thƣờng áp dụng phƣơng pháp của
Polya [33] gồm 4 bƣớc sau:
* Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Phát biểu đề bài dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh, có thể dùng
công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
* Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Phân tích bài toán đã cho để tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy
nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải
chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết,
liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng,
một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng
những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh bằng phản
chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Sau khi xây dựng song chƣơng trình giải, giáo viên giúp học sinh trình
bày lời gìải tƣờng minh.
Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Kiểm tra lại xem lời giải có sai lầm hoặc thiếu gì không, nhất là những
bài toán có đặt điều kiện, hoặc bài toán biện luận. Nghiên cứu khả năng ứng
dụng kết quả lời giải, đồng thời mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề trên.
Trên cơ sở 4 bƣớc giải một bài toán của Polya, Lê Văn Tiến [40, tr.
187] đề xuất hoạt động giải bài toán theo 5 bƣớc:

16
* Bước 1: Tìm hiểu bài toán.
* Bước 2: Tìm kiếm phương hướng giải (chương trình giải).
* Bước 3: Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng
đã chọn.
* Bước 4: Soạn thảo lời giải.
* Bước 5: Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải.
1.4. Ứng dụng CNTT-TT trong trƣờng THPT
1.4.1. Vai trò của cộng nghệ thông tin trong trường THPT

Sự phát triển mạnh mẽ của CNTT đã dẫn tới nhiều cuộc cách mạng trên
hầu hết các lĩnh vực của đời sống xã hội. Giáo dục cũng phải chịu sự tác động
sâu sắc bởi những thành tựu của công nghệ thông tin, áp dụng những thành
tựu đó để tạo nên sự phát triển. "Hội nghị về giáo dục trong thế kỉ XXI" do
UNESCO tổ chức 10/1998 tại Paris đã đƣa ra 3 mô hình giáo dục, trong đó
mô hình “Tri thức” là mô hình hiện đại nhất.
Bảng 1.1. Ba mô hình giáo dục
Mô hình
Trung tâm
Vai trò người học
Công nghệ sử dụng
Truyền thống
Giáo viên
Thụ động
Bảng, tivi, riđio, đèn chiếu
Thông tin
HS
Chủ động
MTĐT
Tri thức
Nhóm HS
Thích nghi cao độ
MTĐT và Internet

MTĐT đóng vai trò quyết định trong việc chuyển từ mô hình truyền
thống sang mô hình thông tin, sự xuất hiện của mạng máy tính là nhân tố
chính tác động chuyển từ mô hình thông tin sang mô hình tri thức.
Theo Đào Thái Lai [27] sử dụng CNTT - TT trong dạy học cho phép tổ
chức và kiểm soát đƣợc HĐ của HS không chỉ trên lớp mà còn cả khi HS làm
việc ở nhà, việc kiểm tra đánh giá đƣợc thực hiện liên tục thƣờng xuyên, lâu

dài đồng thời tiết kiệm thời gian và kinh phí.

17
CNTT-TT làm cho quá trình dạy học không còn bị ràng buộc bởi thời
gian và không gian, góp phần làm phong phú các HĐ của chủ thể trong quá
trình dạy học: HS có thể học ở mọi lúc, mọi nơi, học suốt đời. Việc học tập
của HS trở nên linh hoạt hơn, uyển chuyển hơn, khoa học hơn, phát huy tối
đa các năng lực của ngƣời học tạo cho ngƣời học phong cách HĐ độc lập với
mức độ cao. Vai trò của giáo viên chuyển từ ngƣời cung cấp kiến thức sang
ngƣời hƣớng dẫn HS cách thức khám phá, phát hiện, tìm kiếm tri thức đồng
thời tổ chức, điều khiển quá trình nhận thức của HS.
1.4.2. Tác động của CNTT-TT trong dạy học toán
Trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi phân tích một số tác động tiêu
biểu của CNTT-TT trong dạy và học toán.
Theo Nguyễn Chí Thành [38], CNTT-TT tác động đến dạy- học toán ở
những khía cạnh sau:
* Hoạt động dạy của GV
CNTT-TT làm thay đổi vai trò của ngƣời GV, CNTT-TT giúp giáo
viên có thể điều chỉnh quá trình học tập của HS.
- Sự hỗ trợ của MTĐT với các phần mềm kiểm tra, đánh giá. Giáo viên
có điều kiện kiểm soát, điều chỉnh toàn bộ quá trình học tập của HS.
- Qua sử dụng MTĐT GV có thể xây dựng các mô hình trực quan.
* Hoạt động học của HS
- CNTT-TT tác động trực tiếp đến HĐ của HS để HS có điều kiện hiểu
sâu kiến thức, mở rộng nội dung kiến thức.
* Hình thức dạy học
CNTT-TT tạo điều kiện để GV tiến hành dạy học phân hoá trong quá
trình dạy học toán.
Với sự hỗ trợ CNTT-TT, các hình thức dạy học nhƣ DH đồng loạt, DH
theo nhóm, DH cá thể có điều kiện kết hợp một cách hiệu quả, linh hoạt.

18
* Kiểm tra, đánh giá
- Sử dụng CNTT-TT trong dạy học toán tạo điều kiện thuận lợi để GV
kiểm soát đƣợc việc học tập của HS, với từng HS có thể đánh giá và kiểm tra
đƣợc ngay tại chỗ, giúp HS tự đánh giá đƣợc kết quả học tập của mình để từ
đó điều chỉnh việc học tập của mình.
* Môi trường dạy học
- Sự xuất hiện của Intemet tạo ra sự thay đổi trong môi trƣờng dạy học,
cách thức trao đổi, tƣơng tác giữa GV và HS trong quá trình dạy - học.
- Ứng dụng CNTT-TT trong DH toán sẽ tạo ra môi trƣờng dạy học
hoàn toàn mới, hấp dẫn và hỗ trợ đắc lực cho dạy và học toán qua đó góp
phần vào việc đổi mới phƣơng pháp và hình thức tổ chức dạy học. Môi trƣờng
dạy học có ứng dụng CNTT-TT góp phần làm tăng tính tích cực của HS trong
quá trình nhận thức.
- Sử dụng MTĐT với các phần mềm cho phép GV và HS tạo ra các mô
hình mô tả diễn biến của các đại lƣợng toán học hoặc tổ chức các thực nghiệm
toán học, thông qua các phần mềm HS có thể đặt ra và kiểm định giả thiết, HS
có thể tiến hành một loạt các hoạt động nhƣ tìm hiểu, khám phá, phân tích,
tổng hợp qua đó rèn luyện phƣơng pháp học tập và thực nghiệm toán học của
chính bản thân.
* Rèn luyện năng lực toán học, rên luyện kĩ năng, kĩ xảo và phát triển
tư dưy
- Sử dụng CNTT-TT góp phần rèn luyện kĩ năng, củng cố và ôn tập
kiến thức của HS.
- CNTT- TT góp phần rèn luyện, phát triển tƣ duy toán học.
- Với sự hỗ trợ của CNTT-TT trong dạy học toán HS có cơ hội tiếp cận
với các phƣơng tiện hiện đại, có cơ hội hình thành và phát triển các kỹ năng
sử dụng MTĐT, kĩ năng làm việc trong môi trƣờng CNTT-TT.

19
Có thể nói rằng dù có ứng dụng CNTT-TT đến đâu cũng không thể
thay thế hoàn toàn công việc của ngƣời GV trong dạy và học toán. Việc dạy
và học toán đòi hỏi cao vai trò của ngƣời GV đặc biệt là công sức và khả năng
sƣ phạm của họ. Ngƣời giáo viên là ngƣời tổ chức, điều khiển, tác động lên
HS và cả môi trƣờng tin học nhƣ giáo viên phải thiết kế, tạo ra các tình huống
dạy học để HS HĐ với MTĐT.
Qua sự phân tích trên, chúng tôi thấy với sự hỗ trợ của CNTT-TT có
thể khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều đồng thời tạo ra môi trƣờng học
tập tƣơng tác nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, phát triển tƣ
duy, phát triển năng lực của HS. Đặc biệt là năng lực giải quyết vấn đề, phát
triển khả năng tự học của HS. CNTT-TT góp phần tạo ra các hình thức dạy
học phong phú đa dạng, thay đổi cách thức HĐ của GV và HS, hình thành ở
HS phong cách làm việc mới phù hợp với xu hƣớng thời đại, trang bị cho HS
nhiều đức tính quý báu cần thiết trong xã hội ngày nay.
1.4.3. CNTT với vai trò PTDH, TBDH
CNTT với vai trò là PTDH, TBDH cần đảm bảo những yêu cầu:
- Sử dụng CNTT nhƣ công cụ dạy học cần đƣợc đặt trong toàn bộ
hệ thống các PPDH nhằm phát huy sức mạnh tổng hợp của cả hệ thống đó.
Mỗi PPDH đều có những chỗ mạnh và chỗ yếu, ta cần phát huy chỗ mạnh,
hạn chế chỗ yếu của mỗi phƣơng pháp.
- Phát huy vai trò của ngƣời thầy trong quá trình sử dụng CNTT nhƣ
PTDH, TBDH. Không thủ tiêu vai trò của ngƣời thầy mà trái lại còn phát huy
hiệu quả hoạt động của thầy giáo trong quá trình dạy học có sử dụng CNTT.
Chẳng hạn khi sử dụng CNTT thay GV trong một số khoảng thời gian, do
đƣợc giải phóng khỏi việc dạy học đồng loạt cho cả lớp, GV có thể đi sâu
giúp những HS cá biệt (cả cá biệt yếu và cá biệt giỏi) với thời gian dài hơn
nhiều so với dạy học không sử dụng CNTT.

20

- Sử dụng CNTT nhƣ PTDH, TBDH không chỉ nhằm thí điểm dạy
học với CNTT mà còn góp phần dạy học về CNTT.
- Sử dụng CNTT nhƣ PTDH, TBDH không phải chỉ để thực hiện dạy
học với trang thiết bị của CNTT mà còn góp phần thức đẩy việc đổi mới
PPDH ngay cả trong điều kiện không có máy.
1.4.4. Xây dựng môi trường trong việc ứng dụng CNTT trong dạy
học
Theo Nguyễn Chí Thành [16, tr. 2 - 18], một trong các mục đích
của GV Toán là xây dựng các TH học tập. Lí thuyết TH (LTTH) là một trong
các lí thuyết cơ sở và ra đời sớm nhất trong nghiên cứu DH Toán, đƣợc
Brousseau đặt nền móng từ những năm 80. Một trong các yếu tố cơ sở của
LTTH là giả thuyết tâm lí « Chủ thể học bằng cách thích nghi (đồng hóa và
điều tiết) với môi trƣờng (MT), nơi tạo ra những mâu thuẫn, khó khăn và mất
cân bằng ». Giả thuyết này dựa trên các kết quả nghiên cứu của Piaget J. và
đƣợc Von Glaserfeld phát triển cơ bản của lí thuyết DH kiến tạo. MT là một
khái niệm cơ sở trong việc xây dựng các TH dạy học. « Một TH đƣợc coi là
TH DH nếu nhƣ có một cá thể (thông thƣờng là GV) có ý định dạy cho một cá
thể khác (thông thƣờng là HS) một tri thức nào đó. » (Briand J. 1995).
Theo Brousseau trong một TH DH, « MT là hệ thống đối kháng
với HS, tức là cái làm thay đổi tình trạng của kiến thức, theo cách mà HS
không kiểm soát đƣợc ».
Các công trình trong lĩnh vực PPDH dành một phần rất quan
trọng cho việc nghiên cứu các TH – bài toán trong đó HS phải xây dựng các
công cụ mới so với kiến thức đã có giải quyết các bài toán này. Brousseau mô
tả các TH nhƣ sự tƣơng tác giữa MT và HS. Nếu ta coi hệ thống DH đƣợc xây
dựng xung quanh tam giác bao gồm các thành tố: GV, HS, tri thức thì MT sẽ
nằm ở bên trong hệ thống này nhƣ đƣợc mô tả trong hình sơ đồ 1.1. Các mũi