Một vài vấn đề về phương trình diophante

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





ĐÀO THỊ THƯƠNG HOÀI



MỘT VÀI VẤN ĐỀ
VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.36



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH




THÁI NGUYÊN - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






ĐÀO THỊ THƯƠNG HOÀI




MỘT VÀI VẤN ĐỀ
VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE





LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2010
x
2
+ y
2
= z
2
x
4
+ y
4
= z
2
x
4
+ y
4
= z
4
Q(ρ)
x
3
+ y
3
= z
3
x
3
+ y
3

= 3z
3
x
3
+ y
3
+ z
3
= t
3
x
3
+ y
3
+ z
3
= t
3
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
x
+ 5
y
= z
2
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
2
+ y
2

= z
2
; x
4
+ y
4
= z
2
; x
3
+ y
3
= z
3
; x
3
+ y
3
= 3z
3
; x
3
+ y
3
+ z
3
= t
3
Q(ρ)
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
100 − (x + y)
5x + 3y +
100 − (x + y)
3
= 100
7x + 4y = 100
x, y



x, y
x + y < 100
7x < 100
4y < 100



x, y ∈ N
x + y < 100
x < 14
y < 25
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ax+by = 1 a, b ∈ Z, (a, b) = 1
x = x
0
+ bt y = y
0
− at (x

0
; y
0
)
t ∈ Z
x
n
+ y
n
= z
n
n = 2 x
2
+y
2
= z
2
(x; y; z)
(3; 4; 5), (5; 12; 13), (8; 15; 17), (7; 24; 25), (20; 21; 29)
n > 2
(x; y; z)
x
2
−ny
2
= ±1
4
n
=
1

x
+
1
y
+
1
z
⇔ 4xyz = nyz + nxz + nxy
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
4
x
n
+ y
n
= z
n
n 2
n > 2 x
n
+ y
n
= z
n
n = 4
n = 3
n = 5
n = 6 n = 3
n
n = 7

n ≤ 100
100000
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
n
+y
n
= z
n
n > 3
61x
2
+1 = y
2
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n > 2 x
n
+ y
n
= z
n
x, y, z 0
x
2
+ y
2
= z
2
x > 0; y > 0 d | x d | y

d | z (x, y, z) (x; y) = d (x

; y

; z

)
x = dx

; y = dy

; z = dz

(x

; y

) = 1
(x, y) = 1

x ≡ 1( mod 2)
y ≡ 1( mod 2)
z
2
≡ 2( mod 4) x, y
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
2
+ y
2

= z
2
(2.2.1)
x > 0; y > 0; z > 0; (x; y) = 1; 2 | x (2.2.2)
x = 2ab; y = a
2
− b
2
; z = a
2
+ b
2
(2.2.3)
a, b a > b > 0
(a; b) = 1
a, b x, y, z
2 | x
(x; y) = 1 y z (y; z) = 1
1
2
(z −y)
1
2
(z + y) (
z −y
2
;
z + y
2
) = 1

x
2
= z
2
− y
2
⇔
x
2
4
= (
z −y
2
)(
z + y
2
) ⇔ (
x
2
)
2
= (
z + y
2
)(
z −y
2
)
z −y
2

= a
2
;
z + y
2
= b
2
a > 0, b > 0, a > b, (a; b) = 1
a + b ≡ a
2
+ b
2
= z ≡ 1( mod 2) a b
a b
a, b
x
2
+ y
2
= 4a
2
b
2
+ (a
2
− b
2
)
2
= z

2
, x > 0, y > 0, z > 0, 2 | z.
(x; y) = d d | z d | y = a
2
−b
2
; d | z = a
2
+ b
2
d = 1
d = 2
y d = 1
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
y z a
2
b
2
a, b x, y, z a, b
x y
x
4
+ y
4
= z
2
x
4
+ y
4

= z
2
(2.3.1)
u
x
4
+ y
4
= u
2
, x > 0, y > 0, u > 0 (2.4.2)
(x; y) = 1 x, y
(x; y) = d d
4
= (x; y)
4
u
u
d
2
x, y
u
2
= x
4
+ y
4
≡ 1( mod 4)
u
2

= x
4
+ y
4
≡ 2( mod 4)
u
2
= x
4
+ y
4
≡ 2( mod 4)
u x y
x
x
2
= 2ab; y
2
= a
2
− b
2
; u = a
2
+ b
2
a > 0, b > 0, (a; b) = 1 a b
a b y
2
= −1( mod 4) ≡ 3( mod 4)

13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a b b = 2c

x
2

2
= ac, (a; c) = 1
a = d
2
; c = f
2
; d > 0; f > 0; (d; f ) = 1 d
y
2
= a
2
−b
2
= d
4
−4z
4
⇔ y
2
+ b
2
= a
2
⇔ (2f

2
)
2
+ y
2
= (d
2
)
2
2f
2
= 2lm, d
2
= l
2
+ m
2
, l > 0, m > 0, (l; m)
f
2
= lm; (l; m) = 1
l = r
2
; m = s
2
; (r > 0; s > 0)
r
4
+ s
4

= d
2
d ≤ d
2
= a ≤ a
2
< a
2
+ b
2
= u
u
x
4
+ y
4
= z
4
Z = z
2
x
4
+ y
4
= z
4
(2.4.1)
n = 4
Q(ρ)
ξ ∈ C f(x) ∈ Z[x]

ξ ∈ C
f(x) ∈ Z[x] 1
ξ f(x) ∈ Z[x] n
Z[x] n ξ n
Q(ξ) Q
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n = 1 ξ ∈ Q Q(ξ) = Q ρ =
1
2
(−1 +i
√
3) ∈ C
ρ
2
+ ρ + 1 = 0 ρ x
2
+ x + 1 = 0
ρ
ρ
2
=
1
2
(−1 − i
√
3); ρ
3
= 1; ρ
2
+ ρ = −1

ξ = a + bρ a, b ∈ Z
(ξ − a − bρ)(ξ −a −bρ
2
) = 0
ξ
2
− (2a − b)ξ + a
2
− ab + b
2
= 0 ξ Q
ξ Q(ρ)
Q(ρ)
ξ Q(ρ) η 0 Q(ρ)
ζ Q(ρ) ξ = ηζ η
ξ η | ξ
 Q(ρ) Q(ρ)  | 1
ξ
1
ξ
2
Q(ρ) ξ
1
| ξ
2
ξ
2
| ξ
1
ξ Q(ρ) 0

Q(ρ)
ξ = a + bρ Q(ρ)
Nξ = (a + bρ)(a + bρ
2
) = a
2
− ab + b
2
Nξ ξ
ρ
2
= −1 −ρ η = c + dρ
2
= c + d(−1 −ρ) = (c −d) −dρ η
Q(ρ)
Nξ ξ = 0
a
2
− ab + b
2
= (a −
1
2
b)
2
+
3
4
b
2

≥ 0
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ξ β Q(ρ)
N(ξβ) = N(ξ)N (β).
Q(ρ) 1
 η η = 1
N(η) = N()N (η) = N(1) = 1 ⇒ N() | 1 ⇒ N() = 1
ξ = a + bρ Nξ = N (a + bρ) = 1 a
2
−ab + b
2
= 1
η = a + bρ
2
ξη = (a + bρ)(a + bρ
2
) = a
2
+ abρ
2
+ abρ + b
2
ρ
3
= a
2
+ ab(ρ
2
+ ρ) + b
2

= a
2
− ab + b
2
= 1 ρ
2
+ ρ = −1
ξ | 1 ξ
ξ Q(ρ) ξ
Q(ρ)
ξ Q(ρ)
β = c + dρ; η = u + vρ Q(ρ)
ξ = βη β η
N(βη) = NβN η = Nξ = p
p Nβ Nη p
Nβ = ±1 Nη = ±1 β η
ξ Q(ρ)
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2 Q(ρ)
N2 = 4
2 Q(ρ)
2 = (a + bρ)(c + dρ)
N2 = 4 = (a
2
− ab + b
2
)(c
2
− cd + d
2

)
(a
2
− ab + b
2
)(c
2
− cd + d
2
) = 2
a b
a
2
− ab + b
2
a, b (a
2
−ab +b
2
) 4
4 2 4
(a
2
− ab + b
2
) = 1 (c
2
− cd + d
2
) = 1

2 Q(ρ)
Z
Q(ρ) 3 = (1 −ρ)(1 −ρ
2
) N(1 −ρ) = 3 N(1 −ρ
2
) = 3
3 Q(ρ)
Q(ρ) 0
Q(ρ)
Q(ρ) 0
Q(ρ)
y Q(ρ) Q(ρ)
γ
1
, β
1
Q(ρ)
y = γ
1
β
1
; Nγ
1
> 1; Nβ
1
> 1
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ny = Nγ
1

Nβ
2
⇒ 1 < Nγ
1
< Ny
γ
1
γ
1
= γ
2
β
2
; Nγ
2
> 1; Nβ
2
> 1
1 < Nγ
2
< Nγ
1
y = γ
k
β
1
β
2
. . . β
k

Ny > Nγ
1
> Nγ
2
> ··· > 1 Ny, Nγ
1
, Nγ
2
, . . . , Nγ
k
r y = γ
r
β
1
. . . β
r
γ
r
Q(ρ)
γ
r
Q(ρ) γ
r
| y
y 0 Q(ρ)
y = π
1
γ
1
π

1
Q(ρ)
γ
1
γ
1
γ
1
= π
2
γ
2
π
2
Q(ρ)
Nγ
2
< Nγ
1
.
Nγ
1
> N γ
2
> N γ
3
> . . . r Nγ
r
= 1 γ
r

γ
r
=  π

r
= π
r
 π

r
y = π
1
π
2
. . . π
r−1
π

r
Q(ρ)
w, γ
1
(γ
1
= 0) Q(ρ)
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
k Q(ρ)
w = kγ
1
+ γ

2
Nγ
2
< Nγ
1

w = a + bρ
γ
1
= c + dρ
a, b, c, d ∈ Z, c
2
+ d
2
= 0
w
γ
1
=
a + bρ
c + dρ
=
(a + bρ)(c + dρ
2
)
(c + dρ)(c + dρ
2
)
=
(ac + bd − ad) + (bc − ad)ρ

c
2
− cd + d
2
=
ac + bd − ad
c
2
− cd + d
2
+
bc − ad
c
2
− cd + d
2
ρ = R + Sρ
R, S ∈ Q
R, S x y
| R − x |≤
1
2
; | S − y |≤
1
2
w
γ
1
− (x + yρ) = (R −x) + (S − y)ρ
(R − x)

2
− (R − x)(S − y) + (S − y)
2
≤
3
4
.
k = x + yρ γ
2
= w −kγ
1
Nγ
2
= N(w − kγ
1
) ≤
3
4
Nγ
1
< Nγ
1
.
w, k, γ
1
, γ
2
Q(ρ)
w = kγ
1

+ γ
2
w γ
2
γ
1
w ≡ γ
2
( mod γ
1
)
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Q(ρ)
λ = 1 −ρ −1; 0; 1 w
Q(ρ) λ = 1 − ρ
w ≡ 1( mod λ)
w ≡ 0( mod λ)
w ≡ −1( mod λ)
w Q(ρ) λ = 1 − ρ
w = a + bρ = a + b(1 −λ)
= a + b − bλ ≡ (a + b)( mod λ).
3 = (1 − ρ)(1 − ρ
2
) = λ(1 − ρ
2
) λ | 3 a + b
a + b ≡ 0( mod 3)
a + b ≡ 1( mod 3)
a + b ≡ 2( mod 3) ≡ −1( mod 3)
w ≡ 1( mod λ)

w ≡ 0( mod λ)
w ≡ −1( mod λ).
3 λ
2
Q(ρ) λ
2
= (1−ρ
2
) = 1−2ρ+ρ
2
=
−3ρ (−ρ)
(1 − ρ); ±(1 − ρ
2
); ρ(1 − ρ) λ Q(ρ)
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
3
+ y
3
= z
3
(x + y)(x + ρy)(x + ρ
2
y) = z
3
Q(ρ)
ξ
3
+ η

3
+ ζ
3
= 0 (ξ = 0; η = 0; ζ = 0)
Q(ρ) x
3
+ y
3
= z
3
x, y, z 0
λ = 1 − ρ
(ξ; η) = (η; ζ) = (ζ; ξ) = 1 ξ, ζ, η Q(ρ)
λ ω Q(ρ) ω
3
≡
±1( mod λ
4
)
ω ≡ 0( mod λ) ω ≡ 1(
mod λ) ω ≡ −1( mod λ) λ  |ω
ω ≡ ±1( mod λ)
α = ±ω α ≡ 1( mod λ) α = 1 + βλ
±(ω
3
∓ 1) = α
3
− 1
α − 1)(α
2

+ α + 1)
α − 1)(α
2
− ρ
2
+ α − ρ)
α − 1)(α − ρ)(α + ρ + 1)
α − 1)(α − ρ)(α − ρ
2
)
βλ(βλ + 1 − ρ)(βλ + 1 − ρ
2
)
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
βλ(βλ + 1)[βλ + (1 − ρ)(1 + ρ)]
βλ
3
(β + 1)(β − ρ
2
)
1 − ρ = λ 1 + ρ + ρ
2
= 0 ⇒ ρ
2
= −1 − ρ
1 − ρ
2
= λ(1 + ρ) = λ(−ρ
2
) = −λρ

2
ρ
2
≡ 1( mod λ)
β(β + 1)(β − ρ
2
) ≡ β(β + 1)(β − 1)
β ≡ 0( mod λ)
β ≡ ±1( mod λ)
β ≡ 0( mod λ) β ∓1 ≡ 0( mod λ)
β(β + 1)(β −1) ≡ 0( mod λ) β(β + 1)(β −ρ
2
) ≡ 0( mod λ)
±(ω
3
∓ 1) = βλ
3
(β + 1)(β − ρ
2
) ≡ 0( mod λ
4
)
ω
3
≡ ±1( mod λ
4
)
ξ
3
+ η

3
+ ζ
3
= 0 ξ, η, ζ
λ Q(ρ)
ξ
3
+ η
3
+ ζ
3
= 0 λ  |ξ; λ  |η; λ  |ζ
λ  |ξ ⇒ ξ ≡ ±1( mo d λ
4
)
λ  |η ⇒ η ≡ ±1( mod λ
4
)
λ  |ζ ⇒ ζ ≡ ±1( mod λ
4
)
0 = ξ
3
+ η
3
+ ζ
3
≡ ±1 ± 1 ± 1( mod λ
4
)

±1 ≡ 0( mod λ
4
) ±3 ≡ 0( mod λ
4
)
λ
4
| 1 λ
4
| 3
λ λ
4
| 1
3 λ
2
3
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
λ
4
λ | ζ ζ = λ
n
γ λ  |γ
λ  |ξ; λ  |η (η; ζ) = (ξ; ζ) = (ξ; η) = 1
ξ
3
+ η
3
+ λ
3n
γ

3
= 0 (2.6.1)
(ξ; η) = 1; n ≥ 1; λ  |ξ; λ  |η; λ  |γ (2.6.2)
ξ
3
+ η
3
+ λ
3n
γ
3
= 0 (2.6.3)
ξ, η, γ

ξ, η, γ Q(ρ)
n ≥ 2
−λ
3n
γ
3
= ξ
3
+ η
3
≡ ±1 ± 1( mod λ
4
)
ξ η −λ
3n
γ

3
≡ ±2( mod λ
4
) λ  |2
ξ η
−λ
3n
γ
3
≡ 0( mod λ
4
),
λ  |γ n ≥ 2
n = m > 1
n = m − 1
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên