luân văn lý thuyết trường và bài toán dựng hình bằng thước kể và compa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC



Phạm Thị Lan



LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ BÀI TOÁN DỰNG
HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Phạm Thị Lan



LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ BÀI TOÁN DỰNG
HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn



Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T
T
T 0 ∈ T 0 + a = a
a ∈ T T a ∈ T

−a ∈ T a + −a = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T
T 1 ∈ T 1a = a
a ∈ T
0 T 0 = a ∈ T
a
−1
∈ T aa
−1
= 1
Z
Q R C
Z
6
6
2 ∈ Z
6
Z
7
7 Z
n
n
Q[
√
2] = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q}
Q[
√

2]
0 = a + b
√
2 ∈ Q[
√
2]
a
a
2
− 2b
2
−
b
√
2
a
2
− 2b
2
a + b
√
2
T L T
T L
L
Z Q Q
R C.
T
T. T
T T.

T. Q Q
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Q. Q R
C.
K L
K K L
L/K
R C Q
Q[
√
2] = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q} Q
K V
K ×V −→ V
K K (V, +)
(x + y)α = xα + yα x(α + β) = xα + xβ;
x(yα) = (xy)α;
1α = α
x, y ∈ K α, β ∈ V
R
Q
C
C C
R
K L L
K
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
V K
{v

i
}
i∈I
V V
x ∈ V
v
i1
, . . . , v
ik
{v
i
}
i∈I
a
i1
, . . . , a
ik
K x =

k
j=1
a
ij
v
ij
V
V K
{v
i
}

i∈I
V

k
j=1
a
ij
v
ij
= 0
a
ij
= 0 j = 1, . . . , k.
V V
V V
V
K V = 0
V
V dim
K
V. V
n V n
dim
K
V = n
L K
L K
L K [L : K]
L/K [L : K]
C R {1, i};

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Q[
√
2] = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q}
Q {1,
√
2};
R C
Q
L K M
L M
K
[M : K] = [M : L].[L : K]
n = [L : K] p = [M : L] {l
1
, . . . , l
n
}
K L {m
1
, . . . , m
p
}
L M {l
i
m
j
}

1in,1jp
np
M K M

1in,1jp
x
ij
l
i
m
j
= 0,
x
ij
∈ K

1jp


1in
x
ij
l
i

m
j
= 0.
{m
j

}
1jp
L M

1in
x
ij
l
i
= 0, ∀j = 1, . . . , p.
{l
i
}
1in
K L
x
ij
= 0 i = 1, . . . , n j = 1, . . . , p.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
{l
i
m
j
}
1in,1jp
v ∈ M {m
1
, . . . , m
p
}

L M x
1
, . . . , x
p
∈ L
v =

p
j=1
x
j
m
j
. x
j
{l
1
, . . . , l
n
} K
L x
1j
, . . . , x
nj
∈ K x
j
=

n
i=1

x
ij
l
i
.
v =
p

j=1

n

i=1
x
ij
l
i

m
j
=

1in,1jp
x
ij
l
i
m
j
.

{l
i
m
j
}
1in,1jp
K M
dim
K
M = np. 
[Q[
√
3,
√
2)] : Q] = [Q[
√
3,
√
2] : Q[
√
2]].[Q[
√
2] : Q] = 4.
M
K L K
M L K M
L
K[X] = K[X
1
, . . . , X

n
] n
K. f(X) f(X
1
, . . . , X
n
) ∈ K[X]
L K α
1
, . . . , α
n
∈ L f(α)
f(α
1
, . . . , α
n
) f(X) α
1
, . . . , α
n
.
K(α
1
, . . . , α
n
) = {f(α)/g(α) | f(X), g(X) ∈ K[X], g(α) = 0}.
K(α
1
, . . . , α
n

) K
L K(α
1
, . . . , α
n
) L
K α
1
, . . . , α
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K(α
1
, . . . , α
n
)
L K α
1
, . . . , α
n
F L K α
1
, . . . , α
n
K(α
1
, . . . , α
n
) ⊂ F
K(α

1
, . . . , α
n
) K
α
1
, . . . , α
n
.
L/K
α ∈ L
L = K(α) = {f(α)/g(α) | f(x), g(x) ∈ K[X], g(α) = 0}.
L K A
L L K A
L. L K A
K A K
A K(A).
K(A) K A
L K A E
{f(α)/g(α) | α = (α
1
, . . . , α
k
) ∈ A
k
, k ∈ N, f, g ∈ K[X], g(α) = 0}.
K(A) = E
K
f(X) ∈ K[X]
K deg f ≥ 1 f

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X
2
+ 1 R C.
f ∈ K[X]
K
C
R
Q
Q
f = a
n
X
n
+ a
n−1
X
n−1
+ . . . +
a
1
X + a
0
p
p a
n
.
p
p
2

a
0
.
f Q
X
7
− 6 Q
p = 2 p = 3
K L
K a ∈ L K a
K[X] a
K K
−
√
2,
3
√
2, e
2iπ
n
Q
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
π e Q
L/K α ∈ L.
α K 0 = f ∈ K[X]
α f
α K f, g ∈ K[X]
α deg f = deg g.
α K
f ∈ K[X] α 1

α
L/K α ∈ L.
K[α] = {f(α) | f(X) ∈ K[X]}.
α K K[α] = K(α).
α K K[α] K[x]
K[α] K[α] = K(α)
α K.
f ∈ K[X] α.
K(α)/K
[K(α) : K] = deg f.
deg f = n. {1, α, . . . , α
n−1
}
K K(α). β ∈ K(α).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
β = g(α)/h(α), g, h ∈ K[X] h(α) = 0. h(α) = 0
h f. f f
h p, q ∈ K[X]
fp + hq = 1. α α
f h(α)q(α) = 1. β = g(α)/h(α) = g(α)q(α).
gq f gq = fs + r deg r < deg f = n. α
β = g(α)q(α) = r(α). deg r < n β
{1, α, . . . , α
n−1
} K(α).
a
0
, a
1
, . . . , a

n−1
∈ K
0

n−1
i=0
a
i
α
i
= 0. α
0 n 
L K
L K
L K
C R a + bi a, b ∈ R
X
2
− 2aX + a
2
+ b
2
= 0 R[X]
Q(
√
2) Q
L n K L/K
L
n
v ∈ L v = 0 v X ∈

K[X] 1 L/K
1 v = 0.
v
i
= v
j
i = j {v
k
| 0  k  n}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n K
{λ
k
| 0  k  n} K

n−1
k=0
λ
k
v
k
= 0.
f(X) =

n−1
i=0
λ
k
X
k

K[X] v
L/K L
K n 
L K
K = K
0
⊂ K
1
⊂ . . . ⊂ K
r
= L
K
i
= K
i−1
[a
i
] a
i
n
i
K
i−1
L/K
n = n
1
n
2
. . . n
r

Q[
√
2] Q [Q[
√
2] : Q] = 2
Q[
√
2,
√
3] Q [Q[
√
2,
√
3] : Q] = 4
Q π e
e
π
a
b
a a = 0 a = 1 b
2
√
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
e + π
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n
E
L
E

E C
E
E
E
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A, B ∈ E A B L(A, B)
A, B O ∈ E O
A B C(O, AB) O AB
E = {A, B, D}
L
E
L(A, B); L(A, D); L(B, D) C
E
C(A, AB); C(A, AD); C(A, BD); C(B, BA);
C(B, BD); C(B, AD); C(D, AB); C(D, DB); C(D, DA)
A E
A
L
E
L
E
C
E
C
E
P E
n P
1
, P
2

, . . . , P
n
P
n
= P P
i
E ∪{P
j
, j < i} i = 1, . . . , n
E
E
M
d
A, B d
H M d E = {A, B, M}
C(A, AM)
C(B, BM) C(A, AM) N
L(M, N) d H
H
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
O A
OA = 1
OAB
{O, A}
C(O, OA) L(O, A) A

C(A, AA

)
C(A


, AA

) C(A, AA

) M N
L(M, N) C(O, OA) B B

OAB
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
d M
d A, B d
M d
{M, A, B}
C(A, AM) d C C

C(C, AM)
C(M, AM) C(C, AM) A N
L(M, N)
M d
d M
d M ∈ d
A ∈ d A M d M
{M, A}
C(M, AM) d A

C(A, AA

)
C(A


, AA

) C(A, AA

) E F
L(M, E) L(M, E)
D M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

AOB

AOB {A, O, B}
C(O, OA) L(O, B) B

C(A, OA)
C(B

, OA) C(A, OA) I
L(O, I) L(O, I)

AOB
ABC
ABC {A, B, C}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
d
1

ABC
d

2

BAC
d
2
d
1
I.
H I L(A, B)
C(I, IH) C(I, IH)
ABC
ABC
ABC {A, B, C}
d
1
AB
d
2
BC
d
2
d
1
O
C(O, OA) C(O, OA)
ABC
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(C) A, B, C
(C) (C)
{A, B, C}

d
1
AB
d
2
BC
d
2
d
1
O O
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên