luận văn lịch sử phát triển số nguyên tố

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NINH VĂN QUÝ
LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ NGUYÊN TỐ
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI
THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Công trình được hoàn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI
Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Ngày tháng năm 2011
Có thể tìm hiểu tại
THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của GS.TSKH. Hà Huy Khoái . Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và
biết ơn sâu sắc tới Thầy và gia đình.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học,
Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập tốt.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang,

Trường Trung học phổ thông Bố Hạ, đặc biệt là tổ Toán Tin đã giúp đỡ
tôi về tinh thần và vật chất trong suốt quá trình học tập.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2011
Tác giả
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Số nguyên tố là một trong những khái niệm xưa nhất của toán học,
và với mỗi học sinh, khái niệm số nguyên tố cũng là một trong những
khái niệm được biết đến đầu tiên.Tưởng như chúng ta đã biết tất cả
những điều cần biết về số nguyên tố. vậy mà thực tế con người còn biết
quá ít về các số nguyên tố, và việc nghiên cứu các số nguyên tố khó đến
nỗi dường như câu hỏi nào đặt ra cho các số nguyên tố cũng sẽ là câu
hỏi vĩnh cửu của toán học. Mặc dù vậy, sau hàng thế kỷ chỉ được biết
đến như là vấn đề của toán học lý thuyết, trong khoảng 30 năm trở lại
đây, số nguyên tố tham gia vào những ứng dụng thiết thực nhất của xã
hội hiện đại: vấn đề bảo mật thông tin. Và cũng chính khi đó, người ta
mới chợt nhận ra rằng, con người chưa biết gì về các số nguyên tố!
Luận văn gồm hai chương. Chương 1, chúng tôi trình bày các giai
đoạn phát triển của số nguyên tố. Những định lý quan trọng liên quan
đến số nguyên tố. Chương 2, chúng tôi sẽ trình bày 1 số ứng dụng của
số nguyên tố trong xã hội hiện đại.
Nhận thức được lí thuyết số nguyên tố là nền tảng của số học, chúng
ta đã được học về số nguyên tố từ rất sớm, ngay từ bậc học phổ thông
cơ sở, nhưng rất ít tài liệu viết về số nguyên tố. Bản luận văn này sẽ
cung cấp thêm một tài liệu về lịch sử nghiên cứu lí thuyết số nguyên tố
và quá trình tìm ra các số nguyên tố lớn. Chúng tôi hy vọng luận văn
này sẽ đáp ứng được phần nào lòng yêu thích nghiên cứu số nguyên tố
của các bạn đồng nghiệp, của các em học sinh.
Sau một thời gian nghiên cứu luận văn được hoàn thành. Tuy nhiên

sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy cô,
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2011
Tác giả
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Các giai đoạn phát triển của lý thuyết số nguyên
tố 8
1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Giai đoạn 1:(Trước công nguyên) . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Định lý 1 (Euclid, thế kỉ III trước công nguyên) . 8
1.2.2. Sàng Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Giai đoạn 2(Trước thế kỷ 17) . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Giai đoạn 3:(Sau thế kỷ 17) . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1. Định lý 2(Fermat bé) . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2. Định lý 3(Wilson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3. Định lý 4(Định lý cơ bản của số học) . . . . . . . 13
1.4.4. Định lý 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.5. Sự phân bố các số nguyên tố: . . . . . . . . . . . 14
1.4.6. Số nguyên tố Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.7. Số nguyên tố Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.8. Một số số nguyên tố lớn được biết đến . . . . . . 21
1.4.9. Một số vấn đề chưa được giải quyết . . . . . . . . 23
1.4.10. Số giả nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.11. Thuật toán đa thức kiểm tra tính nguyên tố . . . 26
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Một số ứng dụng của số nguyên tố trong xã hội
hiện đại 28
2.1. Lý thuyết mật mã (Mã hóa thông tin) . . . . . . . . . . 28
2.1.1. Hệ mã mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2. Các hệ mật mã khóa công khai . . . . . . . . . . 31
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Các giai đoạn phát triển của lý
thuyết số nguyên tố
1.1. Định nghĩa
Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số nguyên
dương nào ngoài 1 và chính nó. Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số
nguyên tố được gọi là hợp số.
1.2. Giai đoạn 1:(Trước công nguyên)
Số nguyên tố và các tính chất của nó lần đầu tiên được nghiên cứu
rộng rãi bởi các nhà toán học Hylạp cổ đại. Các nhà toán học của trường
học của Pythagoras (500 TCN đến 300 TCN) đã quan tâm đến các tính
chất của số nguyên tố. Họ đã quan tâm đến sự hoàn hảo và thân thiện
con số.
Cho đến thời gian xuất hiện cuốn "Nguyên lý" của Euclid (Khoảng
300TCN), một số kết quả quan trọng về số nguyên tố đã được chứng
minh. Trong sách Nguyên lý IX đã chứng minh rằng có vô hạn số nguyên
tố. Đây là một trong những bằng chứng được biết từ rất sớm trong đó
sử dụng phương pháp phản chứng.

1.2.1. Định lý 1 (Euclid, thế kỉ III trước công nguyên)
Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Chứng minh:(Định lý 1)
Giả tập hợp các số nguyên tố là hữu hạn. Gọi p là số nguyên tố lớn
nhất.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Xét k là tích của tất cả các số nguyên tố cộng thêm 1:
k = 2 · 3 ·5 · · ··p + 1
Số k không có ước nguyên tố bởi vì khi chia cho số nguyên tố tùy ý ta
được phần dư bằng 1. Trong khi đó dễ thấy rằng ước số bé nhất m > 1
của số tự nhiên k là số nguyên tố. Mâu thuẫn này chứng minh định lí.
Euclid cũng đưa ra một bằng chứng của Định lý cơ bản của số học là
mỗi số nguyên có thể viết thành tích của các số nguyên tố.
Euclid cũng cho thấy nếu 2
n
−1 là số nguyên tố thì 2
n−1
·(2
n
−1) là
một số hoàn hảo. Nhà toán học Euler(Năm 1747) đã chỉ ra rằng tất cả
các số hoàn hảo đều có dạng trên.
1.2.2. Sàng Eratosthenes
Trong khoảng 200 TCN. Eratosthenes (Hylạp) đã nghĩ ra một thuật
toán để tính các số nguyên tố, được gọi là sàng Eratosthenes:
Trước tiên, ta viết dãy các số tự nhiên từ 1 đến n . Trong dãy đó
gạch đi số 1, vì nó không phải là số nguyên tố. Số nguyên tố đầu tiên
của dãy là 2. Tiếp theo đó ta gạch khỏi dãy tất cả những số chia hết
cho 2. Số đầu tiên không chia hết cho 2 là 3: Đó chính là số nguyên tố.

Ta lại gạch đi khỏi dãy còn lại những số nào chia hết cho 3. Tiếp tục
như thế, ta lại gạch khỏi dãy những số chia hết cho mọi số nguyên tố bé
hơn
√
n. Các số còn lại của dãy là tất cả các số nguyên tố không vượt
quá n.
Sàng Eratosthenes, mặc dù cho ta thuật toán xác định mọi số nguyên
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tố không vượt quá một số cho trước, rất ít được sử dụng để xác định
xem một số đã cho có phải là số nguyên tố hay không. Nguyên nhân là
vì thuật toán có độ phức tạp quá lớn.
1.3. Giai đoạn 2(Trước thế kỷ 17)
Sau những kết quả đạt được về việc nghiên cứu lý thuyết số nguyên
tố của các nhà toán học Hylạp (Trước công nguyên). Thì sau đó một
khoảng cách dài trong lịch sử lý thuyết số nguyên tố không đạt được
thành tựu nào đáng kể, thường được gọi là thời kỳ đen tối.
1.4. Giai đoạn 3:(Sau thế kỷ 17)
Những phát triển quan trọng tiếp theo được thực hiện bởi Fermat
vào đầu thế kỷ 17. Ông chứng minh một sự suy đoán của Albert Giard
rằng mỗi số nguyên tố có dạng 4n − 1 có thể được viết theo một cách
duy nhất dưới dạng tổng bình phương.
Ông nghĩ ra một phương pháp mới để tìm thừa số của những số lớn
và khai triển số 2027651281 = 44021.46061
Ông lần đầu thông báo định lý trong một bức thư đề ngày 18/10/1640
cho bạn ông là Frénicle de Bessy. Như thường lệ Fermat không chứng
minh. Euler lần đầu tiên công bố một chứng minh vào 1736 trong một
bài báo, nhưng Leibniz đã có chứng minh với ý tưởng tương tự trong
bản thảo không được công bố vào khoảng trước năm 1683. Điều mà
ngày nay được biết đến như là Định lý Fermat bé (để phân biệt với

định lý cuối cùng của Ông).
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định lý Fermat bé là một cơ sở cho nhiều kết quả khác trong lý thuyết
số và là cơ sở cho phương pháp kiểm tra nguyên tố, vẫn đang được sử
dụng trên các MTĐT ngày nay.
1.4.1. Định lý 2(Fermat bé)
Nếu p là số nguyên tố và a là số không chia hết cho p thì a
p−1
≡ 1
(mod p)
Chứng minh(Định lý 2)
Xét p − 1 số nguyên a, 2a, , (p − 1)a, các số đó đều không chia hết
cho p, và không có hai số nào đồng dư modulo p. Như vậy, các thặng dư
dương của chúng phải là: 1, 2, , p−1 xếp theo thứ tự nào đó, từ đó ta có:
a.2a (p − 1)a ≡ 1.2 (p − 1) ≡ (p − 1)! (mod p)
Tức là: (p − 1)! ≡ 1 (mod p)
Vì ((p − 1)!, p) = 1, nên ta có : a
p−1
≡ 1 (mod p)
Như vậy để tìm ra các số nguyên tố, người ta thường cố gắng tìm các
đặc trưng của chúng thể hiện qua các đồng dư thức dễ kiểm tra. Ngoài
Định lý Fermat bé đã trình bày ở trên. Ta còn một đồng dư thức khác:
1.4.2. Định lý 3(Wilson)
Số p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p − 1)! ≡ −1 (mod p)
Chứng minh(Định lý 3)
Trước tiên, giả sử p là số nguyên tố. Khi p = 2 , ta có:
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(p − 1)! ≡ 1 ≡ −1 (mod 2)

Bây giờ giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 2, với mỗi số nguyên a và
1 ≤ a ≤ p−1, tồn tại nghịch đảo a với 1 ≤ a ≤ p−1. Và a.a ≡ 1 (mod p).
Khi đó trong các số nguyên dương nhỏ hơn p, chỉ có 1 và p − 1 là
nghịch đảo với chính nó. Như vậy ta có thể nhóm các số nguyên từ 2
đến p − 2 thành
p−3
2
cặp số nguyên, tích của mỗi cặp đồng dư với 1
modulo p. Như vậy ta có:
2.3 (p − 3).(p − 2) ≡ 1 (mod p)
Nhân 2 vế với 1 và p − 1 ta được :
(p − 1)! ≡ 1.2.3 (p − 2)(p − 1) ≡ −1 (mod p)
Ngược lại giả sử p thỏa mãn đồng dư phát biểu trong định lý và a là
một ước số của p , đồng thời a < p. Khi đó a\(p − 1)!.
Theo gt, p\(p − 1)! + 1, từ đó suy ra a = 1 vì là ước chung của p và
(p − 1)!. Vậy p là số nguyên tố. Định lý được chứng minh.
Định lý này được khám phá lần đầu bởi Bhaskara l, sau được giải
thích bởi Alhazen thời trung cổ vào khoảng 1000 năm, nhưng được đặt
tên theo John Wilson, người đã phát biểu nó vào thế kỷ 18. Lagrange
là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý này năm 1773. Có
bằng chứng cho thấy Leibniz cũng đã biết về định lý này, nhưng ông đã
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
không công bố. Định lý Wilson có thể được dùng để kiểm tra một số có
phải là số nguyên tố hay không. Tuy nhiên dễ thấy rằng thuật toán dựa
theo định lý Wilson khó có thể sử dụng với những số nguyên tố lớn, bởi
vì số các phép tính bít đòi hỏi quá cao.
Định lý sau đây được gọi là định lý cơ bản của số học, vì nó chỉ
ra rằng số nguyên tố là những "Viên gạch" để xây nên lâu đài các số
nguyên và cũng chính là nền tảng của lâu đài số học.

1.4.3. Định lý 4(Định lý cơ bản của số học)
Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất
thành tích các số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tự
không giảm.
Chứng minh (Định lý 4)
Giả sử tồn tại những số không viết được thành tích các số nguyên tố.
Gọi n là số bé nhất trong các số đó. Như vậy n phải là hợp số, n = a.b với
a, b < n. Do định nghĩa của n các số a và b phân tích được thành tích các
số nguyên tố, nghĩa là n cũng phân tích được (mâu thuẫn với giả thuyết).
Còn phải chứng minh phân tích là duy nhất. Giả sử có
n = p
1
.p
2
p
s
= q
1
.q
2
q
r
, trong đó p
i
, q
j
là các số nguyên tố.
Giản ước những số nguyên tố bằng nhau có mặt trong hai vế, ta được
đẳng thức:
p

i1
.p
i2
p
iu
= q
j1
.q
j2
q
jv
Trong đó không có số nguyên tố nào có mặt cả hai vế, như vậy VT
chia hết cho q
j1
và do đó phải tồn tại một thừa số của tích chia hết cho
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
q
j1
: Điều đó cho thấy vô lý vì đây là tích của các số nguyên tố khác với q
j1
.
Người ta cho rằng định lý đã được Euclid chứng minh gồm hai
phần, phần một chứng minh mọi số có thể viết dưới dạng tích của
một hay nhiều số nguyên tố, phần hai chứng tỏ rằng biểu diễn đó
là duy nhất.Tuy nhiên nó được trình bày đầy đủ lần đầu tiên trong
Disquisitiones Arithmeticae bởi Carl Friedrich Gauss. Có thể tìm ra
những thuật toán xác định nhanh một số có phải là số nguyên tố hay
không, ta cần hiểu sâu sắc tính chất các số nguyên tố, định lý sau đây
cho ta một thuật toán đơn giản để xác định các số nguyên tố.

1.4.4. Định lý 5
Mọi hợp số n đều có ước nguyên tố nhỏ hơn
√
n.
Chứng minh(Định lý 5)
Thật vậy vì n là hợp số nên ta có thể viết n = a.b , trong đó a và b
là các số nguyên với 1 < a ≤ b < n. Rõ ràng ta phải có a hoặc b không
vượt quá
√
n. Giả sử đó là a. Ước nguyên tố của a cũng đồng thời là
ước nguyên tố của n.
Định lý trên chính là cơ sở cho thuật toán để tìm ra các số nguyên
tố nhỏ hơn hoặc bằng số n cho trước (Sàng Eratosthenes).
1.4.5. Sự phân bố các số nguyên tố:
Thoạt nhìn, các số nguyên tố dường như được phân phối giữa các số
nguyên một cách khá lộn xộn. Ví dụ trong số 100 số đứng liền trước
10000000 có chín số nguyên tố, trong khi 100 số sau chỉ có hai số nguyên
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tố. Legendre và Gauss đã tính toán đến mật độ của các số nguyên tố.
Gauss nói với một người bạn rằng, bất cứ khi nào ông có 15 phút rảnh
rỗi ông sẽ dành nó trong tính số nguyên tố. Đến cuối đời, ông ước tính
rằng ông đã tính tất cả các số nguyên tố lên đến khoảng 3000000. Cả
Legendre và Gauss kết luận rằng, đối với n đủ lớn, mật độ các số nguyên
tố nhỏ hơn n là 1/log(n). Legendre đã cho một ước tính cho π(n) số
nguyên tố ≤ n của π(n) = n/(log(n) − 1, 08366).
Mệnh đề nói rằng mật độ của các số nguyên tố là 1/log(n) được gọi là
định lí số nguyên tố. Người ta đã cố gắng để chứng minh điều này trong
suốt thế kỉ 19, và đạt tiến bộ đáng chú ý bởi Chebyshev và Riemann.
Kết quả cuối cùng đã được chứng minh (sử dụng phương pháp mạnh

mẽ của giải tích phức) bởi Hadamard và Dela Vallee Poussin vào năm
1896.
Định lý 6(Số nguyên tố)
lim
x→∞
π(x)
x
logx
= 1
Ta bỏ qua chứng minh định lý này, nhưng sẽ minh họa tính đúng
đắn của định lý này qua bảng sau:
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x π(x)
x
logx
π(x)
x
logx
10
3
168 144, 8 1, 160
10
4
1229 1085, 7 1, 132
10
5
9592 8685, 9 1, 104
10
6

78498 72382, 4 1, 085
10
7
664575 620420, 7 1, 071
10
8
5761455 5428681, 0 1, 061
10
9
50847534 48254942, 4 1, 054
10
10
455052512 434294481, 9 1, 048
10
11
4118054133 394813663, 7 1, 043
10
12
37607912018 36191206825, 3 1, 039
10
13
3460665535898 33407267837, 1 1, 036
Năm 2004. Hai nhà toán học Daniel A.Goldston, trường ĐHQG
Sanjosé ở California và Cem Y. Yildirim, trường ĐH Bogazici ở Istanbul,
vừa đạt được những tiến bộ kỳ diệu trong việc tìm hiểu sự phân bố
những số nguyên tố. Nhà toán học Hugl L. Montgomerry, trường ĐH
Michigan ở Ann Harbor đánh giá:"Khám phá mới này là lý thú nhất
trong 30 năm gần đây về vấn đề đó. Tuy vậy các chuyên gia vẫn kiểm
tra tính xác thực của khám phá đó."
Trong dãy n số nguyên liên tiếp k + 1, k + 2, , k + n, với k nhỏ thì

có nhiều số nguyên tố, nhưng với k khá lớn thì lại hiếm số nguyên tố.
Đến số hàng tỉ thì cứ khoảng 20 số nguyên mới có một số nguyên tố.
Khám phá của A. Goldston và Cem Y. Yildirim còn quan trọng hơn
nhiều : Cho một phân số
a
b
, dù nhỏ đến đâu cũng tồn tại vô hạn cặp
số nguyên tố liên tiếp p
k
, p
k+1
có một khoảng cách nhỏ hơn tích
a
b
với
khoảng cách trung bình của chúng, tức là
a
b
.lnx với p
k
< x < p
k+1
.
Những kết quả này phá tan cả một chuỗi kỷ lục trước đó. Ý tưởng
đổi mới của hai nhà toán học trên là không hạn chế ở sự phân bố
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
các cặp số nguyên tố, mà còn nghiên cứu chúng theo dãy ba, bốn
hoặc hơn nữa. Mở rộng phạm vi nghiên cứu như vậy đã cho phép họ
đơn giản hóa các công thức ước lượng khoảng cách giữa các số nguyên tố.

Sự phân bố các số nguyên tố có liên hệ chặt chẽ với một trong những
vấn đề nổi tiếng nhất về toán học "Giả thuyết Riemann" liên quan đến
một tổng vô hạn gọi là hàm de-ta s =

∞
n=1
1
n
s
.
Viện toán học Clay ở Cambridge, Massachusetts đã trao giải thưởng
một triệu đôla cho người chứng minh được giả thuyết Riemann. Theo
Daniel A. Goldston, kết quả nói trên sẽ cho phép cung cấp những lời
giải thích rõ ràng hơn về hàm dê-ta.
1.4.6. Số nguyên tố Mersenne
Định nghĩa:
Giả sử m là một số nguyên dương, khi đó M
m
= 2
m
− 1 được gọi là
số Mersenne thứ m. Nếu p là số nguyên tố và M
p
cũng là số nguyên tố,
thì M
p
được gọi là số nguyên tố Mersenne.
Ví dụ: M
2
, M

3
, M
5
, M
7
là các số nguyên tố Mersenne, trong khi M
11
là hợp số. Có nhiều định lý khác nhau dùng để xác định số nguyên tố
Mersenne. Chẳng hạn nhờ định lý sau đây, ta có thể kiểm tra nhanh
chóng dựa vào dạng của các ước nguyên tố của số Mersenne.
Định lý 7:
Nếu p là một số nguyên tố lẻ , thì mọi ước nguyên tố của số Mersenne
M
p
đều có dạng 2kp + 1 , trong đó k là số nguyên dương.
Chứng minh: Giả sử q là một ước nguyên tố của M
p
. Theo Định
lý Fermat bé q\(2
q−1
) . Theo hệ quả (Nếu a và b là các số nguyên
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dương, thì ước chung lớn nhất của 2
a
− 1 và 2
b
− 1 là 2(a, b) − 1),
(2
p

−1, 2
q
−1) = 2
(p,q−1)−1
. Ước chung này lớn hơn 1, vì nó là bội của q.
Do đó (p, q − 1) = p, vì p nguyên tố . Ta có q = mp + 1 và vì q lẻ, nên
m = 2k. Định lý được chứng minh.
Sau đây là ví dụ cho thấy ứng dụng của định lý trên:
Ví dụ: Để xét xem M
13
= 2
13
− 1 = 8191 có phải là số nguyên tố hay
không, ta cần xem các phép chia cho những số nguyên tố không vượt
quá
√
8191  90 . Mặt khác, theo Định lý trên, mọi ước nguyên tố đều
phải có dạng 26k + 1. Như vậy chỉ cần thử với hai số 53 và 79 : Ta thấy
M
13
là số nguyên tố.
Có nhiều thuật toán đặc biệt để kiểm tra nguyên tố các số Mersenne.
nhờ đó, người ta phát hiện được những số nguyên tố rất lớn. Mỗi lần
có một số nguyên tố Mersenne ta lại được một số hoàn hảo, số nguyên
tố Mersenne tìm được gần đây nhất (năm 2009) là số Mersenne thứ
47 là M
42643801
gồm 12837064 chữ số. Được tìm thấy bởi Old Magnar
Strindmo từ Melhus, Norway. Ông là một giáo sư công nghệ thông tin,
máy tính của ông đã làm việc với GIMPS (Great Internet Mersenne

Prime Search) từ 1986.
Giả thuyết sau đây vẫn còn chưa được chứng minh.
GIẢ THUYẾT : Tồn tại vô hạn số nguyên tố Mersenne
Bốn số nguyên tố Mersenne đầu tiên M
2
= 3, M
3
= 7, M
5
= 31, M
7
=
127 đã được biết từ cổ xưa. Số thứ năm là M
13
= 8191 được tìm thấy vào
trước năm 1461, hai số tiếp theo M
17
và M
19
được tìm thấy bởi Cataldi
vào năm 1588. Sau hơn một thế kỷ M
31
được kiểm tra bởi Euler vào
năm 1750. Số tiếp theo là M
127
, do Lucas tìm thấy vào năm 1876 , sau
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
đó M
61

do Pervushin tìm thấy vào năm 1883. Hai số nữa M
89
và M
207
được tìm thấy vào thế kỷ 20, bởi Powers vào năm 1911 và 1914.
Từ thế kỷ 17 các số này được mang tên nhà toán học Pháp Marin
Mersenne, người đã chứng minh một loạt các số nguyên tố Mersenne với
số mũ lên đến 257. Danh sách của ông đã mắc một số sai lầm, như bao
gồm cả M
67
, M
257
, và bỏ quên M
61
, M
89
và M
107
.
Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne
dựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởi
Lucas năm 1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930. Hiện
nay nó được gọi là kiểm tra Lucas-Lehmer với số nguyên tố Mersenne.
Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng (với n > 2) M
n
= 2
n
− 1 là số
nguyên tố nếu và chỉ nếu M
n

chia hết cho S
n
− 2 trong đó S
0
= 4 với
k > 0, S
k
= S
2
k−1
− 2.
Việc tìm các số nguyên tố Mersenne thực sự được cách mạng bởi các
máy tính điện tử số. Thành công đầu tiên của tư tưởng này thuộc về
số nguyên tố Mersenne M
52
, nhờ nỗ lực khéo léo vào lúc 10
h
.00.P.M
ngày 30.1.1952 khi sử dụng máy tính Western U.S. National Bureau of
Standards (SWAC) tại Institute for Numerical Analysis thuộc Đại học
California tại LosAngeles, dưới sự điều khiển trực tiếp của Lehmer, sử
dụng chương trình viết và chạy bởi GS. RM. Robinson. Nó là số nguyên
tố Mersenne tìm thấy sau 38 năm; số tiếp theo M
607
đã được tìm thấy
bởi máy tính này sau gần hai giờ chạy máy. Ba số tiếp theo M
1279
, M
2203
,

M
2281
đã được tìm thấy với cùng chương trình trên sau nhiều tháng nữa.
M
4253
là số nguyên tố Mersenne đầu tiên siêu lớn, trên 1000 chữ số thập
phân (titanic), và M
44497
là số nguyên tố đầu tiên có trên 10.000 chữ số
thập phân (gigantic).
Đến tháng 9 năm 2008, chỉ mới biết 46 số nguyên tố Mersenne; số lớn
nhất đã biết là số có dạng 2
43112609
− 1 . Cũng như nhiều số nguyên tố
Mersenne trước đó, nó được tìm ra nhờ dự án máy tính phân tán trên
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Internet, được biết với tên gọi: Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng
lồ trên Internet(Great Internet Mersenne Prime Search GIMPS).
Danh sách các số nguyên tố Mersenne đã biết
STT Số nguyên tố Chữ số Ai Khi nào Bình luận
1 2
6972593
− 1 2098960 G4 1999 Mersenne 38
2 2
13466917
− 1 4053946 G5 2001 Mersenne 39
3 2
20996011
− 1 6320430 G6 2003 Mersenne 40

4 2
24036583
− 1 7235733 G7 2004 Mersenne 41
5 2
25964951
− 1 7816230 G8 2005 Mersenne 42
6 2
30402457
− 1 9152052 G9 2005 Mersenne 43
7 2
32582657
− 1 9808358 G9 2006 Mersenne 44
8 2
37156667
− 1 11185272 G12 2008 Mersenne 46
9 2
42643801
− 1 12837064 G12 2009 Mersenne 47
10 2
43112609
− 1 12978189 G10 2008 Mersenne 45
1.4.7. Số nguyên tố Fermat
Fermat thường trao đổi với các nhà toán học đương thời khác, đặc
biệt là Marin Mersenne. Trong một lá thư gửi Mersenne, ông phỏng đoán
rằng những số 2
n
+ 1 luôn nguyên tố nếu n là một lũy thừa của 2. Ông
đã xác minh điều này với n = 1, 2, 4, 8 và 16, và ông biết rằng nếu n
không chia hết cho 2, kết quả không đúng. Số dạng nói trên được gọi
là số Fermat và đã không được nhắc đến cho đến khi hơn 100 năm sau

đó, Euler chỉ ra trường hợp 2
32
+ 1 = 4294967297 là chia hết cho 641, và
như vậy không phải là số nguyên tố:
Các số có dạng 2
n
−1 cũng thu hút sự chú ý vì dễ thấy rằng nếu n không
là số nguyên tố, số này phải là hợp số. Những số như thế được gọi là số
Mersenne M
n
vì Mersenne nghiên cứu chúng.
Euler là người có ảnh hưởng lớn đến lí thuyết số nói chung và các
số nguyên tố nói riêng. Ông mở rộng định lí Fermat bé và đưa ra phi
hàm Euler Φ(n). Như đã đề cập ở trên ông phân tích số Fermat thứ năm
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
32
+ 1, và ông phát biểu (nhưng đã không thể chứng minh) điều mà
ngày nay gọi là luật thuận nghịch bình phương.
1.4.8. Một số số nguyên tố lớn được biết đến
Các số nguyên tố sinh đôi
Số nguyên tố sinh đôi là số nguyên tố có dạng p và p + 2 chúng khác
nhau 2 đơn vị.
Ngày 28.9.2002 Daniel Papp phát hiện ra một số nguyên tố sinh đôi
có 51090 chữ số ( 33218925.2
169690
±1,) Danh sách một số số nguyên tố
sinh đôi đã biết:
STT Số nguyên tố Chữ số Ai Khi

nào
Bình luận
1 16869987339975.2
171960
− 1 51779 x24 2005 Twin(p)
2 16869987339975.2
171960
+ 1 51779 x24 2005 Twin(p+2)
3 100314512544015.2
171960
−1 51780 x24 2006 Twin(p)
4 100314512544015.2
171960
+ 1 51780 x24 2006 Twin(p+2)
5 194772106074315.2
1719601
−1 51780 x24 2007 Twin(p)
6 194772106074315.2
1719601
+1 51780 x24 2007 Twin(p+2)
7 2003663613.2
195000
− 1 58711 L202 2007 Twin(p)
8 2003663613.2
195000
+ 1 58711 L202 2007 Twin(p+2)
9 65516468355.2
333333
− 1 100355 L923 2009 Twin(p)
10 65516468355.2

333333
+ 1 100355 L923 2009 Twin(p+2)
Các số nguyên tố Sophie Germain
Một số nguyên tố Sophie Germain là một nguyên tố lẻ p mà 2p + 1
cũng là một số nguyên tố.
Ngày 18.1.2003, David Underbakko đã phát hiện ra một nguyên
tố Sophie Germain có 34547 chữ số (2540041185.2
114729
− 1).
Danh sách các số nguyên tố Sophie Germain đã được tìm thấy
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
STT Số nguyên tố Chữ số Ai Khi
nào
Bình luận
1 18912879.2
98395
− 1 29628 p94 2002 SophieGermain(p)
2 112886032245.2
108000
− 1 32523 L99 2006 SophieGermain(p)
3 1124044292325.2
107999
− 1 32523 L99 2006 SophieGermain(p)
4 2540041185.2
114729
− 1 34547 g294 2003 SophieGermain(p)
5 7068555.2
121301
− 1 36523 L100 2005 SophieGermain(p)

6 33759183.2
123458
− 1 37173 L527 2009 SophieGermain(p)
7 137211941292195.2
171960
−1 51780 x24 2006 SophieGermain(p)
8 48047305725.2
171960
− 1 51910 L99 2007 SophieGermain(p)
9 607095.2
176311
− 1 53081 L983 2009 SophieGermain(p)
10 620366307356565.2
253824
−1 76424 x24 2009 SophieGermain(p)
Các số giai thừa nguyên tố, nguyên tố giai thừa
Số có dạng n! ± 1 được gọi là những giai thừa nguyên tố.
Danh sách các số giai thừa nguyên tố đã biết
STT Số nguyên tố Chữ số Ai Khi nào Bình luận
1 974! − 1 2490 CD 1992 Factorial
2 1477! + 1 4042 D 1984 Factorial
3 1963! − 1 5614 CD 1992 Factorial
4 3507! − 1 10912 C 1992 Factorial
5 3610! − 1 11277 C 1993 Factorial
6 6380! + 1 21507 gl 1998 Factorial
7 6917! − 1 23560 gl 1998 Factorial
8 21480! − 1 83727 p65 2001 Factorial
9 26951! + 1 107707 p65 2002 Factorial
10 34790! − 1 142891 p85 2002 Factorial
Số nguyên tố giai thừa là các số nguyên tố có dạng 2.3.5.p + 1.

Danh sách các số nguyên tố giai thừa đã biết:
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
STT Số nguyên tố Chữ số Ai Khi nào Bình luận
1 13033 − 1 5610 CD 1992 Primorial
2 13649 + 1 5862 D 1987 Primorial
3 15877 − 1 6845 CD 1992 Primorial
4 18523 + 1 8002 D 1989 Primorial
5 23801 + 1 10273 C 1993 Primorial
6 24029 + 1 10387 C 1993 Primorial
7 42209 + 1 18241 p8 1999 Primorial
8 15877 + 1 63142 p21 2000 Primorial
9 366439 + 1 158936 p16 2001 Primorial
10 392113 + 1 169966 p16 2001 Primorial
Vẫn còn nhiều câu hỏi mở (một số trong số đó có niên đại hàng trăm
năm) liên quan đến số nguyên tố.
1.4.9. Một số vấn đề chưa được giải quyết
1. Có vô hạn số nguyên tố sinh đôi?
2. Phỏng đoán của Goldbach (phát biểu trong một bức thư của Gold-
bach gửi Euler vào năm 1742) rằng mỗi số nguyên lớn hơn 2 có thể được
viết như là tổng của hai số nguyên tố?
3. Có vô hạn số nguyên tố dạng n
2
+ 1 ?
4. Luôn luôn có một số nguyên tố giữa n
2
và (n + 1)
2
?
5. Có vô hạn số nguyên tố Fermat?

6. Có nhiều vô hạn bộ ba số nguyên tố liên tiếp trong cấp số cộng?
8. n
2
− n + 41 là số nguyên tố với 0 ≤ n ≤ 40. Có vô hạn số nguyên tố
có dạng này?
9. Có vô hạn số nguyên tố có dạng n + 1 ? (ở đây n là tích của tất cả
các số nguyên tố ≤ n).
10. Có vô hạn số nguyên tố có dạng n − 1?
11. Có vô hạn số nguyên tố có dạng n! + 1?
12. Có vô hạn số nguyên tố có dạng n! − 1?
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13. Nếu p là một số nguyên tố thì 2
p
− 1 luôn luôn không có ước chính
phương khác 1 (squarefree?).
14. Các dãy Fibonacci chứa một số lượng vô hạn các số nguyên tố?.
1.4.10. Số giả nguyên tố
Theo Định lý Fermat, nếu n là số nguyên tố và b là số nguyên tùy ý,
thì b
n
≡ b (mod n), do đó nếu tồn tại số b sao cho b
n
≡ b (mod n), thì
n là hợp số. Trong nhiều ứng dụng, chúng ta lại cần đến các thuật toán
để chỉ ra một số n là số nguyên tố. Trong trường hợp này, ta không thể
dùng Định lý Fermat bé, vì định lý ngược của nó không đúng.
Tuy nhiên, nếu một số nguyên thỏa mãn các giả thuyết của Định lý
Fermat bé thì " có nhiều khả năng" nó là một số nguyên tố ! ta có định
nghĩa sau đây:

Định nghĩa : Giả sử b là một số nguyên dương. Nếu n là hợp số nguyên
dương và b
n
≡ b (mod n), thì n được gọi là số giả nguyên tố cơ sở b.
Trong trường hợp (a, b) = 1 , ta thường dùng định nghĩa tương
đương b
n−1
≡ 1 (mod n)
Ví dụ : Số nguyên 561 = 3.11.17 là số giả nguyên tố cơ sở 2. Thật vậy,
áp dụng Định lý Fermat bé, ta có :
2
560
= (2
2
)
280
≡ 1 (mod 3)
2
560
= (2
10
)
56
≡ 1 (mod 11)
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
560
= (2
16

)
35
≡ 1 (mod 17)
Từ đó suy ra 2
560
≡ 1 (mod 561)
Nói chung các số giả nguyên tố "ít hơn nhiều" so với các số nguyên
tố. Chẳng hạn , có tất cả 455052512 số nguyên tố bé hơn 10
10
, nhưng
chỉ có 14884 số giả nguyên tố cơ sở 2 trong khoảng đó.
Định lý: Có vô số số giả nguyên tố cơ sở 2.
Chứng minh:
Giả sử n là 1 số giả nguyên tố cơ sở 2, ta sẽ chứng tỏ rằng m = 2
n
−1
cũng là 1 số giả nguyên tố cơ sở 2. Theo giả thuyết n là hợp số, chẳng
hạn n = d.t , với (1 < d, t < n), và 2
n−1
≡ 1 (mod n).
Dễ thấy rằng m là hợp số, vì (2
d
− 1)(2
n
− 1) = m. Do n là giả nguyên
tố, tồn tại k sao cho 2
n
− 2 = k.n
Ta có 2
m−1

= 2kn, và do đó m = (2
n
− 1)/(2
nk
− 1) = 2
m−1
− 1
Tức là 2
m−1
≡ 1 (mod m). Vậy m là giả nguyên tố cơ sở 2.
Như vậy, để kiểm tra một số có phải là nguyên tố hay không trước
tiên ta xem nó có là giả nguyên tố cơ sở 2 hay không, sau đó có thể
tiếp tục kiểm tra đối với các cơ sở khác. Tuy nhiên, tồn tại các số giả
nguyên tố đối với mọi cơ sở, đó là các số Carmichael.
25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên