Cơ chất điểm tổng hợp

BÀI TẬP CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
MỤC LỤC
PHẦN MỘT : LÍ THUYẾT CHUNG......................................................................................................2
I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM...............................................................................................................2
1. Các hệ tọa độ..................................................................................................................................2
2. Hệ quy chiếu (HQC). Đổi hệ quy chiếu........................................................................................3
II. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM....................................................................................................5
1. Các lực thường gặp........................................................................................................................5
2. Các định luật Newton....................................................................................................................6
3. Các định luật bảo toàn..................................................................................................................7
4. Va chạm..........................................................................................................................................8
PHẦN HAI : BÀI TẬP MẪU.................................................................................................................11
I. BÀI TỐN CHUYỂN ĐỘNG CĨ ĐIỀU KIỆN............................................................................11
1. Điều kiện vật rời mặt sàn............................................................................................................11
2. Điều kiện vật đạt đi qua một vị trí xác định..............................................................................14
3. Điều kiện vật gặp nhau................................................................................................................17
II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI CHUYỂN ĐỘNG TẠI MỘT THỜI ĐIỂM...............19
1. Bài toán chuyển động tương đối của vật....................................................................................19
2. Hệ chất điểm liên kết với nhau bằng dây không dãn................................................................21
3. Chất điểm được gắn với khuyên tự do.......................................................................................28
4. Hệ chất điểm chuyển động trên mặt phẳng thẳng đứng...........................................................34
5. Hệ chất điểm chuyển động trên mặt phẳng ngang....................................................................36
III. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẶC ĐIỂM CỦA QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG...................38
1. Chất điểm chuyển động trên quỹ đạo xoắn ốc...........................................................................38
2. Chất điểm chuyển động trong lòng bán cầu..............................................................................41
IV. BÀI TOÁN VA CHẠM.................................................................................................................42
1. Va chạm của chất điểm với mặt phẳng......................................................................................42
2. Va chạm của hệ chất điểm...........................................................................................................46
V. BÀI TOÁN CÁC BỀ MẶT TRƯỢT TRÊN NHAU.....................................................................48
1. Các vật tự trượt trên nhau..........................................................................................................48
2. Các vật trượt dưới tác dụng của ngoại lực F.............................................................................54

PHẦN BA: BÀI TẬP TỰ GIẢI..............................................................................................................56

1


PHẦN MỘT : LÍ THUYẾT CHUNG
I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM.
1. Các hệ tọa độ
1. 1.Tọa độ Đềcác.
a) Vị trí của chất điểm
 
Chọn 3 trục vng góc Oxyz làm mốc. i, j , k là các vectơ đơn vị trên các trục ấy. Điểm


 
OM

r
OM
M có thể xác định bằng bán kính vectơ
hoặc bằng các hình chiếu x, y, z của
gọi

là các tọa độ Đềcác của chất điểm M.




OM  xi  y j  zk .

b) Vectơ vận tốc


Vectơ vận tốc v của chất điểm M là đạo hàm đối với thời gian t của bán kính vectơ
 
OM r :

 dr
  
  y j  zk

v  xi
dt

Vectơ vận tốc có các hình chiếu là đạo hàm của các tọa độ.
c) Vectơ gia tốc
Vectơ gia tốc là đạo hàm của đối với thời gian của vectơ vận tốc, hoặc đạo hàm bậc hai
của bán kính vectơ


 dv d2r
  
a   2 xi  y j  zk
dt dt

1.2. Hệ tọa độ cực
a) Tọa độ của chất điểm
Giả sử M chuyển động trong mặt phẳng xOy. Vị
trí của M có thể xác định bằng : độ lớn r > 0 của bán



kính vectơ OM và góc θ mà OM làm với trục Ox

(Hình 1).
b) Vectơ vận tốc



OM
I
Gọi là vectơ đơn vị trên bán kính vectơ
và



J là vectơ đơn vị thu được khi quay I 900 theo chiều
 
dương (chiều tăng của θ). Ta có thể viết r r I
2


Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian ta có

d r    
v r I  r J
dt

v
Ta thấy vectơ vận tốc có hai thành phần



I
v

r
r
- Vận tốc xuyên tâm
hướng vào tâm O nếu r giảm, hướng ra xa nếu r tăng




J
v

r

OM
OM

- Vận tốc phương vị
vuống góc với
và có chiều quay của
2
2  2 1/2
Modun của vận tốc là v (r  r  )

c) Vectơ gia tốc
Tiếp tục lấy đạo hàm vận tốc đối với thời gian ta có:
  


 


a r I  r J  r J  r J  r 2 I

Gia tốc có hai thành phần là:


  r 2 ) I
a

(
r
r
- Gia tốc xuyên tâm


  r) J

a

(2
r

- Gia tốc phương vị 

2. Hệ quy chiếu (HQC). Đổi hệ quy chiếu
2.1. Hệ quy chiếu quán tính.
Là hệ quy chiếu trong đó các định luật của Niutơn nghiệm đúng.

- HQC Copernic: có gốc ở tâm Mặt Trời và ba trục hướng về 3 ngơi sao cố định là một
HQC qn tính.
- HQC Galille: là bất kì HQC nào chuyển động thẳng đều với HQC Copernic, nó cũng là
HQC qn tính.
- HQC địa tâm: có gốc ở tâm Trái Đất và 3 trục song song với 3 trục của Copernic có thể
coi là HQC quán tính ở mức chính xác khá cao.
HQC có gốc và 3 trục gắn với Trái Đất và chuyển động tự quay của Trái Đất nên không
phải là HQC qn tính, nhưng với các thí
nghiệm khơng kéo dài thì có thể gần đúng là
HQC qn tính
2.2. Đổi hệ quy chiếu (cộng vận tốc)
(O1) là HQC mà ta coi là cố định (O) là
HQC lưu động.
Đối với (O) thì chất điểm M vạch ra quỹ
đạo C0 gọi là quỹ đạo tương đối trong
3


khoảng thời gian t, t + ∆t điểm M có dịch chuyển tương đối MM’. Vì (O) chuyển động đối
với (O1), C0 cũng cũng chuyển động, điểm K trùng với M ở thời điểm t nhưng gắn chặt với
(O) có dịch chuyển MM’’ gọi là dịch chuyển kéo theo.
Tổng hợp hai chuyển động ấy thì đối với (O1) điểm M có dịch chuyển MM1 gọi là dịch
chuyển tuyệt đối, và vạch ra quỹ đạo tuyệt đối C 1. (Hình 2)
Khi ∆t → 0 thì MM’’M1 biến thành một tam giác và ta có:




MM 1
M '' M 1

MM ''
lim
lim
 lim
t
t
t


MM 1

t : vận tốc của M đối với (O1), gọi là vận tốc tuyệt đối v1

MM ''

lim
v
t là vận tốc kéo theo k

M '' M 1

lim
v
t là vận tốc của M đối với (O), gọi là vận tốc tương đối t
lim

Vậy ta có cơng thức cộng vận tốc
  
v1 vk  vt

2.3. Đổi hệ quy chiếu (tổng hợp gia tốc)
a) HQC (O) chuyển động tịnh tiến (thẳng hoặc cong). Gia tốc tuyệt đối là tổng vectơ của
các gia tốc tương đối và kéo theo
  
a1 ak  at

4


b) HQC (O) quay đều với vận tốc ω. Xét một thanh Ox quay quanh điểm cố định O với
vận tốc góc khơng đổi ω. Trên Ox có một chất điểm M. xOy là HQC lưu động, quay đều đối

với HQC cố định x1Oy1(Hình 3)
Nếu M đứng yên trên Ox thì vt = 0 , at = 0. Điểm kéo theo K trùng với M. Gia tốc tuyệt
đối trùng với gia tốc kéo theo và là gia tốc hướng tâm a 1 = ak = -ω2OM = const
Giả sử M chuyển động trên Ox với vận tốc tương đối v t. Vận tốc kéo theo là vk vng góc
với Ox, vì K chuyển động trịn
Nếu vt biến đổi thì có gia tốc tương đối at. Gia tốc kéo theo ak vẫn là gia tốc hướng tâm,
nhưng có mơđun biến đối, vì OM biển đổi. Mặt khác v t biến đổi cả về phương và mơđun. Vì
vậy gia tốc tuyệt đối (đối với x1Oy1 ) không chỉ bao gồm ak và at mà cịn có một số hạng thứ 3,

a
gọi là gia tốc Côriôlit c , xuất hiện do sự biến đổi môđun của ak và sự biến đổi về phương

của vt
Người ta chứng minh rằng:
  
ac 2 vt

Vậy gia tốc tuyệt đối gồm 3 số hạng

   
a1 ak  at  ac


v

t
Gia tốc Côriôlit ac triệt tiêu nếu vt = 0 hoặc song song với .

5


II. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
1. Các lực thường gặp
1.1. Lực căng
Lực căng là tên gọi chung có các lực xuất hiện bên trong một sợi dây, thanh, v.v… khi nó
bị kéo. Mỗi một đoạn của sợi dây chịu tác dụng của lực căng theo cả hai hướng, trừ hai điểm
cuối của nó. Trong một số trường hợp lực căng dây thay đổi dọc theo dây. Ví dụ sợi dây có
khối lượng hoặc được vắt qua một rịng rọc có ma sát.
1.2. Phản lực
Đây là lực vng góc với mặt phẳng do mặt phẳng tác dụng lên vật. Thông thường hợp
lực do mặt phẳng tác dụng lên vật là tổng của phản lực và lực ma sát. Nhưng với các mặt
khơng ma sát như mặt trơn nhẵn thì chỉ có phản lực tồn tại. Sự xuất hiện của phản lực là do
thực ra mặt phẳng bị nén xuống một ít và nó ứng xử giống như một lị xo rất cứng. Bề mặt sẽ
bị nén xuống cho đến khi lực đàn hồi là đủ lớn để làm cho nó khơng bị nén thêm nữa.
1.3. Lực ma sát
Lực ma sát là lực có phương song song với bề mặt tác động lên vật thế. Một số bề mặt ví
dụ như giấy nhám, có lực ma sát rất lớn. Cịn bề mặt trơn thì cơ bản là khơng có lực ma sát.
Có hai loại lực ma sát, gọi là ma sát “động” và ma sát “tĩnh”. Lực ma sát động xuất hiện khi
có hai vật chuyển động tương đối với nhau. Một xấp xỉ khá tốt của lực ma sát động giữa hai

vật là nó tỉ lệ với phản lực của chúng. Hệ số tỉ lệ này được gọi là µ k (hệ số ma sát động), trong
đó giá trị của µk phụ thuộc vào hai bề mặt đang xét. Vì vậy F k N trong đó N là phản lực.
Hướng của lực ma sát là ngược với chiều chuyển động.
Lực ma sát tĩnh liên quan đến hai vật ở trạng thái khơng có chuyển động tương đối với
nhau. Trong trường hợp bài tốn tĩnh, ta có F s N trong đó µs là hệ số mà sát tính
1.4. Trọng lực
Xét hai chất điểm có khối lượng M và m, cách nhau một khoảng R. Thì giữa chúng có lực
2
hấp dẫn xuất hiện có độ lớn F GMm / R trong đó G = 6.67 ×10-11m3/(kg s2). Một vật trên bề

mặt Trái Đất chịu ảnh hưởng của lực hấp dẫn bằng
 GM
F m  2
 R


 mg


6


trong đó M là khối lượng Trái Đất, R là bán kính Trái Đất. Đây là phương trình định
nghĩa g và chúng ta thu được g 9.8 m/s2. Mỗi vật trên bề mặt Trái Đất đều chịu tác dụng
một lực F=mg hướng xuống.
1.5. Lực lò xo
Khi một lò xo bị biến dạng thì sẽ xuất hiện lực đàn hồi làm vật trở lại trạng thái không
biến dạng. Nếu độ biến dạng khơng q nhiều thì độ lớn lực đàn hồi tuân theo định luật Húc
F k l

trong đó k là độ cứng của lò xo và ∆l là độ biến dạng của lò xo.
2. Các định luật Newton
2.1. Định luật thứ nhất:Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác
dụng của các lực có hợp lực bằng 0, thì nó giữ ngun trạng thái đứng n hoặc chuyển động
thẳng đều.
Từ đó ta có điều kiện để một vật cân bằng hoặc chuyển động thẳng đều là tổng hợp lực
tác dụng lên vật bằng không
Một điều mà định luật này đưa ra nó là hệ quy chiếu quán tính, mà được định nghĩa một
cách đơn giản là một hệ quy chiếu mà trong đó định luật thứ nhất đúng. Định luật một không
đúng đối với một hệ quy chiếu bất kì. Ví dụ nó khơng đúng trong hệ quy chiếu quay.
2.2. Định luật thứ hai:Vectơ gia tốc của một vật luôn cùng hướng với lực tác dụng lên
vật. Độ lớn của vectơ gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của vectơ lực tác dụng lên vật và tỉ lệ
nghích với khối lượng của vật

 F


a
m hoặc F ma

Và trong hệ tọa độ Đềcác, ta sẽ có 3 phương trình
Fx max ;
Fy ma y ;
Fz maz .

2.3. Định luật thứ ba:Khi vật A tác dụng lên vật B một lực thì vật B cũng tác dụng trở
lại A một lực. Hai lực này là hai lực trực đối




FA  FB

Một điều mà định luật này nói là nếu chúng ta có hai chất điểm cơ lập tương tác với nhau
bởi một lực nào đó thì gia tốc của chúng có chiều ngược nhau. Theo một nghĩa tương đương,
định luật thứ ba nói rằng tổng động lượng của một hệ cơ lập là bảo tồn
7


3. Các định luật bảo toàn.
3.1. Định luật bảo toàn động lượng.
Xét một hệ cơ lập gồm N hạt có khối lượng lần lượt m 1, m2,…, mN đang chuyển động với
vận tốc v1, v2, …, vN



p

mv
Ta có động lượng được định nghĩa bởi biểu thức

Động lượng của hệ



P  mi vi
 
 mi vi  G  vG


 mi vi  G   mi vG



d ri  G
 mi
   mi  vG
dt


d  mi ri  G

 M vG
dt

0  M vG

v
M là tổng khối lượng các hạt, G là vận tốc khối tâm.









Hệ cô lập, theo định luật thứ hai của Newton, ta có:




d vi
dP
  mi
0 
0  P const
dt
dt
Từ đó





 F 0
i



Động lượng được bảo tồn. Hay nói cách khác P P '
Trong hệ tọa độ Đềcác. Ta có: Px Px ' ; Py Py ' ; Pz Pz'
Trong trường hợp ngoại lực tác dụng lên hệ khác khơng, thì xung lượng của ngoại lực tác
dụng bằng biến thiên động lượng của hệ



F
dt

m
dv

 i  i i




Fdt

M
dv
hay

Trong hệ tọa độ Đềcác ta được 3 phương trình
Fx dt Mdvx
Fy dt Mdv y
Fz dt Mdvz

3.2. Định luật bảo toàn năng lượng.




Xét một hệ khối lượng m chịu tác dụng của hợp lực F F (r ) , công của lực

8




dv 
Fr .d r m dt .d r


dr 
m .d v
dt
 
mv.d v


1
E  mv 2
2
 
 F( r ) d r
r

V( r )

Nếu định nghĩa thế năng

r0

thì chúng ta có thể viết

1 2
mv  V( r ) E
2

Hay nói cách, tổng của động năng và thế năng là một hằng số
V( r ) mgz

Thế năng trọng trường
Thế năng đàn hồi

1
2
V( r )  m  l 
2

4. Va chạm
Có hai loại va chạm cơ bản giữa các chất điểm, gọi là va chạm đàn hổi (trong đó động
năng được bảo tồn) và va chạm khơng đàn hổi (trong đó một phần động năng bị mất đi).
Trong bất cứ va chạm nào, thì tổng năng lượng cũng được bảo tồn, nhưng va chạm khơng
đàn hồi thì một phần năng lượng chuyển thành nhiệt năng thay vì ở dạng năng lượng của
chuyển động tịnh tiến của các chất điểm.
4.1. Vật va chạm với mặt phẳng
Chúng ta chia quá trình va chạm thành hai giai đoạn.
Giai đoạn một: tính từ khi bắt đầu va chạm, vật bị biến dạng. Động năng chuyển thành
thế năng đàn hồi đến khi vật bị biến dạng cực đại thì vận tốc khối tâm theo phương pháp
tuyến với mặt phẳng bằng không
Giai đoạn hai: vật bị biến dạng cực đại sinh ra lực hồi phục. Thế năng đàn hồi sẽ chuyển
thành động năng.
Giả sử khơng có lực ma sát dọc theo mặt phẳng trong suốt quá trình va chạm nên hợp lực
tác dụng lên vật chỉ có thành phần theo phương pháp tuyến với mặt phẳng. Trong quá trình va
chạm diễn ra rất nhanh nên chúng ta có thể

bỏ qua

ảnh hưởng của trọng lực (hình 4).
a. Giai đoạn một. Lực nén cực đại của

vật là

F. Ta có
9





Fdt md v y




F
'

k F (k là hệ số hồi phục). Ta có
b. Giai đoạn hai. Lực hồi phục là


F 'dt mdv y '

Từ đó suy ra:

Theo Oy





 

mdv y
F
d
t


 dv y '  k dv y  v y '  kv y
F 'dt mdv y '

Theo Ox

 
Fx F 'x 0  vx vx '

Vậy chỉ thành phần vận tốc theo phương pháp tuyến thay đổi, còn thành phần vận tốc
theo phương tiếp tuyến giữ nguyên. Va chạm sẽ được coi là hoàn toàn đàn hồi nếu hệ số hồi
phục k = 1. Lúc này vectơ vận tốc trước và sau sẽ giống như tia sáng bị phản xạ
4.2. Va chạm xuyên tâm
Xét hệ cô lập gồm hai vật khối lượng m1 có vận tốc v1 va chạm với vật m2 có vận tốc v2
Chúng ta cũng tiếp tục chia quá trình va chạm thành hai giai đoạn
Giai đoạn một: hai vật bắt đầu va chạm đến khi biến dạng cực đại. Khi đó vận tốc hai vật
bằng nhau
Giai đoạn hai: hai vật hồi phục và chuyển thế năng đàn hồi thành cơ năng.
a. Giai đoạn một. Gọi lực tương tác trung bình trong giai đoạn thứ nhất của vật hai đối

v
với vật một là F và khi kết thúc 2 vật chuyển động với cùng vận tốc 0


Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm hai vật



m1 v1  m2 v2 (m1  m2 )v 0

Đối với riêng từng vật ta có
Vật 1:


 
m1 v0  m1 v1 F t

Vật 2:




m2 v0  m2 v2  F t

b. Giai đoạn hai. Gọi lực tương tác trung bình trong giai đoạn hai của vật hai đối với vật






một là F ' . Ta có F ' k F với k là hệ số hồi phục
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ gồm hai vật




( m1  m2 )v 0 m1 v1 '  m 2 v2 '

Đối với riêng từng vật
10


Vật 1:




m1 v1 '  m1 v0 F 't

Vật 2:




m2 v2 '  m2 v0  F 't

Giải hệ phương trình ta được
v1 ' 

m1v1  m2v2  km2 (v1  v2 )
m1  m2

v2 ' 

m1v1  m2v2  km1 (v2  v1 )
m1  m2

Nếu va chạm tuyệt đối đàn hồi thì k = 1 và động năng được bảo toàn.

11


PHẦN HAI : BÀI TẬP MẪU
I. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CÓ ĐIỀU KIỆN
1. Điều kiện vật rời mặt sàn
Bài 1:Vật m1 đặt trên mặt bàn nằm ngang không ma sát

và

được nối với vật m2 bằng một sợi dây nhẹ, không dãn vắt
qua rịng rọc nhẹ, cố định, khơng ma sát. Hai vật xem
như chất điểm. Hệ được giữ sao cho góc hợp bởi phần

α0

dây nghiêng với phương ngang là α0. (Hình vẽ). Sau khi

m2

m1

bng các vật ra, hệ bắt đầu chuyển động.
1. Tính gia tốc của các vật ngay sau buông chúng ra.

Cho gia tốc rơi tự do là g.
0
2. Cho α0 = 300. Khi góc hợp bởi phần dây nghiêng với phương ngang là  1 45 thì

m2
vật m1 bắt đầu rời khỏi mặt bàn. Tính tỉ số m1 .
Hướng dẫn:
Gọi v1, a1; v2; a2 lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật 1 và vật 2 tại góc α như hình vẽ.

N


T
H

α


m2 g


v1
x


m1g


v2

Phương trình định luật II Niu-tơn
Tcos m1a1 (1)
m 2g  T m 2 a 2 (2)

Ta có:

v1 cos  v 2  v1 

v2
cos  (3)

dv1 v 2sin d
1 dv 2
v sinα d
a
 2 . 
.
 a1  2 2 .  2
dt cos  dt cosα dt
cos  dt cosα (4)
12


1. Tại thời điểm khi vừa buông các vật ra ta có
  0 , v 2 v1 0 →

a1 

a2
cos  0 (5)

Giải hệ phương trình (1), (2), (5) ta được

a1 

m 2gcos 0
m 2 cos 2  0  m1

m 2gcos 2 0
a2 
m 2 cos 2  0  m1
m1g
T


0
sin 1
2. Tại  1 45 , vật bứt khỏi mặt bàn thì N 0. Suy ra
T
Mà từ (1) ta có
a1 gcot1 g và

m1a1
cos1 , suy ra

a 2 g 

m1a1
m
g  g 2 1

m 2 sin 1
m2

Gọi H là độ cao của ròng rọc so với mặt bàn

cos
dx
H d d v 2sin 2
x H.
 v1 

.

sin
dt sin 2  dt → dt H cos 
v 22
a
a1  tan 3   2
H
cos
Thay vào (4) ta được
Với α =α1 = 450 ta tìm được


v 22 gH  1 


2

2m1 


m 2  (6)


v12 2gH  1 


2

2m1 

m 2  (7)

1
1
m1v12  m 2 v 22 m 2gΔhh
2
Hệ bảo toàn cơ năng: 2
(8)
h 
Với

H
H

(2 
sin  0 sin 1

2)H
(9)

thay (6), (7), (9) vào (8) ta được

13


2

 2m1 

  2
m
 2 



  3  2  0
 2m
m

2 .

1

2

2m1
m
1  2 2
m1

Giải phương trình và loại nghiệm ta được: m 2
Bài 2: Một động cơ nhỏ cố định trên bức tường thẳng đứng

ở

độ cao H quay và quấn sợi dây với vận tốc không đổi v 0 .

H

đầu kia của dây có một vật nhỏ có thể chuyển động khơng

Ở
ma

sát trên mặt sàn nằm ngang. Hỏi vật sẽ cách bức tường bao
nhiêu khi nó bị tách khỏi sàn. Áp dụng số với H=20 cm , v 0 =5 cm/s .
Hướng dẫn:
- Xét ở thời điểm dây hợp với sàn một góc

α

. Gọi x là khoảng cách từ vật đến tường ở thời

điểm ấy. Kí hiệu V là vận tốc của vật, do vận tốc kéo dây là V 0 khơng đổi nên ta có :
V⋅cos α =V 0 ⇒V =
⇒

dV V 0⋅sin α dα V 0 sin α
=
⋅ =

⋅ω
dt cos 2 α
dt cos2 α

trong đó

ω

V0
cos α

(1)

(2),

là vận tốc góc của vật trong chuyển động quay quanh vị trí đặt động cơ (vì ta có

thể phân tích chuyển động của vật thành hai chuyển động thành phần: chuyển động dọc theo
dây và chuyển động quay quanh điểm đặt động cơ).
cos α
x=H⋅
sin α
- Mặt khác,

- Từ (1) và (3) ta có :
- Ta lại có :

;

V 

dx
H
 2 
dt sin 
(3)

V 0 sin2 α
ω=
H cos α

T⋅cos α =ma=m

dV
dt

, sau đó thế vào (2), ta được:

2
dV V 0 sin 3 α
= ⋅ 3
dt
H cos α

(5)

- Khi vật bắt đầu rời khỏi sàn thì phản lực của sàn lên vật bằng khơng, ta có :

- Từ (4), (5) và (6) ta có :

(4)

2
cos α V 0 sin3 α
g⋅
= ⋅ 3
sin α
H cos α

√

⇒tg α =4

T=

mg
sin α

(6)

gH
V 20

2
4 V0
H
x=
=H
tgα
gH .

Khi đó vật cách tường một khoảng x :

√

14


Với H=20 cm , V 0 =5 cm/s , ta được : x=3 ,76 cm .
Bài 3:Hai quả cầu nhỏ coi là chất điểm, mỗi quả có khối lượng m,
được lồng vào một vịng cứng, nhẵn có khối lượng M, bán kính R,
được đặt thẳng đứng trên sàn nhà. Tác động nhẹ vào hai quả cầu để
chúng trượt xuống theo vịng sáng hai bên của vịng như hình 1. Để

R

cho vịng nảy lên khỏi sàn trong q trình chuyển động của hai quả
cầu thì hãy tính:
a) Lực lớn nhất mà hai quả cầu tác dụng lên vòng.
m
b) Giá trị nhỏ nhất của tỷ số M .

c) Độ lớn góc  mà tại đó vịng nảy lên.
Hướng dẫn:
a) Do tính đối xứng nên hai quả cầu trượt xuống, vòng vẫn đứng n một chỗ.
Tại vị trí lệch góc , áp dụng định luật II Newton cho quả cầu ta có:
mg cos   N m

v2
R

(1)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu ta có:
mv 2
mgR  1  cos  
2

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
N = mg(2 – 3cos) (3)
Theo định luật III Newton, mỗi quả cầu tác dụng lên vịng một phản lực có độ lớn bằng N.
Tổng hợp các lực này được lực mà các quả cầu tác dụng lên vịng có phương thẳng đứng,
chiều từ dưới lên và có độ lớn là:
F = 2Ncos (4)
Thay (3) vào (4) ta có:
1
F 6mg  
 9

2
1 

 cos    
3  


(5)

2

1
mg  cos  
3
Từ (5) ta có: Fmax = 3
m 3

b) Để vịng nảy lên thì Fmax Mg  M 2

c) Với Fmax = Mg
15


1
1 M
cos    
3
9 6m
Thay vào (5) ta tính được:

2. Điều kiện vật đạt đi qua một vị trí xác định
Bài 1:Một vật nhỏ có khối lượng m=1,00 kg đang trượt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn với
vận tốc v 0thì trượt lên một vật khối lượng M =4,00 kg như hình vẽ. M có chiều cao đỉnh là H ,
ban đầu nêm đứng yên và có thể trượt không ma sát trên
mặt phẳng nằm ngang. Bỏ qua ma sát và mất mát động
năng khi va chạm.
1. Tính giá trị cực tiểu của v 0 để m vượt qua được nêm cao H=1,20 m . Lấy g=10 m/ s2.
2. Biết v 0=500 cm/s , mô tả chuyển động của hệ thống và tìm các vận tốc cuối cùng của vật
và nêm trong hai trường hợp H=1 , 00 m và H=1,20 m .
Hướng dẫn:
1.

Trong trường hợp m không vượt qua được M , khi m lên
đến điểm cao nhất nó sẽ có vận tốc tương đối so với M
bằng 0, khi đó vận tốc của hệ m−M là
V=

m v0
m+ M

Nếu gọi h là độ cao cực đại mà m đạt được, theo định luật bảo toàn cơ năng ta có
mv 0 2
1
1
m
m
m v 20− ( M +m )
=mgh⇔ v 0= 2 gh 1+
≤ 2 gH 1+
2
2
m+ M
M
M

(

)

√

(

)

√

(

)

Do đó để m vượt được qua M ta cần có

√

(

v 0 ≥ 2 gH 1+

m
M

)

Hay

√

(

v 0 min= 2 gH 1+

m
=√ 30 m/ s ≈ 5,48 m/s
M

)

2.
Tương tự như phần 1, vận tốc tối thiểu để vượt qua M có H '=1,00 m là

√

(

v ' 0 min= 2 gH ' 1+

m
=5,00 m/s
M

)

vì vậy trong trường hợp H=1,20 m thì m khơng vượt được qua M , do đó m sẽ trượt lên đến
điểm có độ cao

16


h=

v 20

m
2 g 1+
M

(

=1,00 m

)

rồi trượt ngược xuống dưới. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và định luật bảo tồn cơ
năng ta có vận tốc cuối cùng của các vật là
vM=

2 v0
=2,00 m/s
M
1+
m

m
M
v m=
v =−3,00 m/s
m 0
1+
M
−1−

Còn đối với trường hợp H=1,00 m thì khi m trượt lên đến đỉnh của M thì nó sẽ có vận tốc

tương đối so với M bằng 0. Do đỉnh nêm là một vị trí cân bằng khơng bền của m nên sẽ có hai
khả năng xảy ra:
Khả năng thứ nhất: m trượt ngược trở lại, khi đó vận tốc cuối cùng của các vật là
vM=

2 v0
=2,00 m/s
M
1+
m

m
M
v m=
v =−3,00 m/s
m 0
1+
M
−1−

Khả năng thứ hai: m vượt qua M , khi đó vận tốc cuối cùng của các vật là
v M =0
v m=v 0=5,00 m/s


Bài 2: Một vật A coi như một chất điểm có khối lượng m chuyển động với vận tốc v0 như
E

hình vẽ, đến gặp một vật cản B có khối lượng M
đang đứng yên trên mặt nằm ngang. Một mặt của

B là mặt bán cầu đường kính DE=2R. Bỏ qua các
ma sát và biết rằng sau khi gặp nhau, vật A chuyển
động trên mặt bán cầu của vật B còn B chuyển

vật

N
m
A


v0

loại
M

D
B

động tịnh tiến trên mặt nằm ngang.


a. Tìm điều kiện về v0 để vật A lên tới điểm E.
b. Tính áp lực do vật A tác dụng lên B khi nó ở trung
điểm N của cung DE.
17


Hướng dẫn:
a.

+ Tại điểm cao nhất, gọi v là vận tốc của m so với M, V
là vân tốc của M
+ Phương trình bảo tồn năng lượng
mv02 m(v  V ) 2

 mg 2 R
2
2

(1)

+ Phương trình lực hướng tâm
N

mv 2
 mg 0
R

Suy ra

v0 

(2)

(4m  5M ) gR
M

b. Khi vật ở N thì phản lực Q có phương nằm ngang, Fqt hướng cùng chiều Q.
Gọi vx, vy là các thành phần vận tốc của A hướng theo hai trục như hình vẽ thi:
Q  Fqt 

mv y2

Fqt ma 

R

(3)

mQ
M (4)

2
2
mv02 m(v x  v y )

 mgR
2
2

(M+m)vx=mv0

(5)

(7)

Giải hệ ta được
Mmv y2

 mM (2m  M )v02


M

Q

 2 gR 
( M  m) R ( M  m) R 
(M  M )


3. Điều kiện vật gặp nhau
Bài 1:Một hạt cườm khối lượng m được xỏ qua một sợi dây nhẹ, không giãn chiều dài L. Một
đầu dây buộc cố định tại điểm A, đầu kia buộc

m

một cái vòng rất nhẹ, vịng lại có thể trượt
ma sát trên một thanh ngang Tại thời điểm ban

khơng
g

h
L

dây được giữ ở cạnh vịng và dây thẳng, khơng
Thả cho hạt cườm chuyển động. Tìm vận tốc

vào
đầu,

căng.

A

của nó
18


ở thời điểm dây bị đứt biết rằng dây chịu sức căng lớn nhất là T 0. Khoảng cách từ A đến
thanh là h. Bỏ qua mọi ma sát.
Hướng dẫn:
Trước tiên ta xác định quỹ đạo chuyển động.
hệ tọa độ như hình vẽ. Theo định lý Pitago:
2

2

AN = QN + QA

2

y

Lh
x

2(L  h)
y= 2

T1

F

g

N
ỏ

T2

X

P

A
C

2

V

Chọn

Q

(L – y)2 = x2 + (h – y)2

B

x

O

Y

Như vậy quỹ đạo là parabol.
Phương trình định luật II Newton viết theo phương pháp tuyến:

m

v2
2T.cos  mg.cos
R

với

v  2g.y

(1)
(2)

cịn R là bán kính chính khúc tại N.
Để tìm R ta so sánh quỹ đạo hạt cườm với quỹ đạo một vật ném xiên góc. Chọn các
thơng số của quỹ đạo để nó đối xứng với quỹ đạo hạt cườm. Như vậy:
OV
L2  h 2

t
2H
HL

g
ux =
với H = 2
g(L  h)

 ux =
còn: vy =

2g(H  y)

Gia tốc pháp tuyến tại N là:

an = g.cos 

2
2
u 2 u x  u y 2g(L  y)


R
R
R
=

2(L  y)
Vậy: R = cos 
Giải các phương trình (1) – (3) được:

mgL
T = 2(L  y)

19



mg 
L1

2T0 

Lúc T = T0 thì y =
1
Chú ý là:

0 ≤ y ≤ (L + h)/2 

Khi đó v =

h mg

2
L T0


mg 
2gL  1 

 2T0 

 Biện luận:
 Khi

mg
2
T0

thì dây đứt ngay ở thời điểm vừa thả ra.

mg
h
1
L : dây khơng bị đứt trong suốt q trình chuyển động.
 Khi T0

II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI CHUYỂN ĐỘNG TẠI MỘT THỜI ĐIỂM
1. Bài toán chuyển động tương đối của vật.
Bài 1:Một chiếc thuyền bơi qua sông từ O với vận tốc v 1
y
không đổi luôn vuông góc với dịng nước chảy. Dịng

y

nước chảy có vận tốc đối với bờ tại mọi điểm đều song
song với bờ, nhưng có giá trị phụ thuộc vào khoảng cách
πyy
πy
v = v sin
v 2=v 0 sin
2
0
L , với v0 là

L
đến bờ theo quy luật:

v2

L

A


u

C
O
O

x

b
x
B

hằng

số, L là chiều rộng của con sông. Hãy xác định:
1. Vận tốc của con thuyền đối với bờ sau thời gian t kể

a

từ khi

xuất phát và vận tốc tại thời điểm thuyền đến giữa dòng?
2. Xác định phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo của con thuyền và điểm đến
của con thuyền ở bờ bên kia sông?
Hướng dẫn:
πyy
v2 = v0sin
L ; vy = v1
1. Theo bài thì: vx =

Vậy:

v=

v2x + v 2y =

πyy
v 2 + v 2sin 2
1
0
L

20