Lý thuyết KKM trong nửa dàn Tô pô và ứng dụng

1

Tóm tắt
Trongluận ánn ánnày,chúngtơi nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu các áp dụng của nguyên lý ánhng của nguyên lý ánha nguyên lý ánh
xạ KKM trong nửa KKM trong nửaadàn tôpô.
Trong Chương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýc các định lý tương giao, định lýnh lý tương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng giao, đ ịnh lý tương giao, định lýnh lý
điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng, định lý tương giao, định lýnh lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm trùng, định lý tương giao, định lýnh lý minimax, đ ịnh lý tương giao, định lýnh lý đi ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm
bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng dạ KKM trong nửang Kakutani-Ky Fan.
TrongChương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng 2,chúngtôithuđược các định lý tương giao, định lýc các bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc KyFan,đ ịnh lý tương giao, định lý n h

lý

đ i ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm m c â n b ằng Nash n g N a s h chotrường hợp đa trị, sự tương đương giữang hợc các định lý tương giao, định lýp đa trịnh lý tương giao, định lý, sự tương đương giữa tương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng đương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng giữaa
nguyên lý ánh xạ KKM trong nửa KKMvàđịnh lý tương giao, định lýnh lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng Browder-Fantrong nửaa
dàn tôpô.
TrongChương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng 3,chúngtôichỉra sự tương đương giữa tồn tại tập con cốtn tạ KKM trong nửai tận ánp con cốttyếuucự tương đương giữac tiểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmu
liênt h ô n g c ủa nguyên lý ánh a t ận án p n g h i ệmcủa m c ủa nguyên lý ánh a b ất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm t đ ẳng thức Ky n g t h ứu các áp dụng của nguyên lý ánh c K y Fanđ a t r ịnh lý tương giao, định lý .

Abstract
Inthisthesis,weinvestigatesomeapplicationsofKKMmappingprin-

ciple

in

topologicals e m i l a t t i c e s .
In Chapter 1, we obtain some results as intersection theorems, fixed
point theorems, coincidence theorems, minimax theorem, Kakutani-Ky
Fan type fixed point theorem.
In Chapter 2,weobtain set-valued versions of some basic results as
KyFaninequality,Nash equilibrium point and the equivalence of KKM

principle andBrowder-Fanfixed point theorem in topological semilattices.
InChapter3,wededucetheexistenceofessentialcomponentsofthe
set of a set-valued KyFaninequality.

solution


Lời camđ o a n
Tơixin cam đoanđâylà cơng trình nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu của nguyên lý ánha riêng tôi. Các kếutquả
của nguyên lý ánha luận ánn án là mớiivàchưatừng được ai côngng được các định lý tương giao, định lýc ai côngbốttrong bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt kỳ cơng trình
nào khác. Cáckếutquả được các định lý tương giao, định lýc côngbốtchungtrong mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt bài Preprint đã được các định lý tương giao, định lýc
đồn tại tập con cốtng tác giảchophép sửa dụng của nguyên lý ánhng trong luận ánnán.
Tác giả

Nguyễn Thế Vinhn Thếu Vinh


Mục lục
Tómtắt

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lờicamđoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số ký hiệu dùng trongluậnán

. . . . . . . . . ...

Lờimởđầu
1

2
3
6
7

Nguyênlý ánh xạ KKM suy rộngvàcáckếtquả liên quan

15

1.1 Giớii thiệmcủauvềnửaadàntôpô...........................................................................15
1.2 Nguyên lý ánhxạ KKM trong nửaK K M ...........................................................................24
1.3 Các định lý tương giao, định lýnh lý ghépđ ô i ................................................................................... 27
1.4 Các định lý tương giao, định lýnh lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmmbất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtđ ộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm n g .....................................................................34
1.5 Sự tương đương giữat ư ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý n g đ ư ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý n g g i ữa a n g u y ê n l ý á n h x ạ KKM trong nửa K K M vàđịnh lý tương giao, định lýnhl ý
điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtđ ộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngBrowder-Fan.....................................................................40
1.6 Các định lý tương giao, định lýnh lýđi ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm m t r ù n g ............................................................................43
1.7 Các bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc dạ KKM trong nửangKyFan..........................................................46
1.8 Định lý tương giao, định lýnh lý minimaxki ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm u S i o n - N e u m a n n .........................................49
4


5

1.9 Định lý tương giao, định lýnhlýđiểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmmbất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtđộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngdạ KKM trong nửangKakutaniKyFantrongnửaadàntôpô. ..........................

51

2 Bất đẳng thức Ky Fan đa trị và điểm cân bằng Nash đa
trị

56

2.1 Bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc KyFanđa trịnh lý tương giao, định lý .. . . . . . . . . . . . . . .

56

2.2 Định lý tương giao, định lýnh lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng dạ KKM trong nửang Browder-Fan cho họ các ánh các ánh
xạ KKM trong nửa .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Hệmcủabất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtđẳng thức Kyngthứu các áp dụng của nguyên lý ánhcdạ KKM trong nửangKyFan

. . . . . . . . . . . . ..

2.4 Điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmmcânbằng NashngNashđatrịnh lý tương giao, định lýtrongnửaadàntôpô

3

69
72
. . . ..

76

2.5 Sự tương đương giữa tồn tại tập con cốtn tạ KKM trong nửai điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm cân bằng Nashng Pareto . . . . . . . . . . . . . .

83

Tính liên tụcvàliên thơng củat ậ p nghiệm

87

3.1 Mởđ ầu u ............................................................................................................... 87
3.2 Tính liên tụng của nguyên lý ánhc của nguyên lý ánha tận ánp các điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm K y Fan...........................................92
Kết luận củal u ậ n án

101

Danhmụccơng trình của tác giả có liên quan đến luận án
103Tàiliệut h a m khảo

104


Một số ký hiệu dùng trong luận án
Rn:không gian Euclidenc h i ề u .
∆n:đơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn hìnhnchiều trongRnvới các đỉnhe0, e1, ...,
en.intC:phầun trong của nguyên lý ánha tận ánpC, C:bao đóng của nguyên lý ánha tận ánpC.
co{x1, x2, ..., xn}:bao lồn tại tập con cốti của nguyên lý ánhanphầun tửax1, x2,...,xn.
∆(A) :bao∆-lồn tại tập con cốti của nguyên lý ánha tận ánp hữau
hạ KKM trong nửanA.CO∆(E) :bao∆-lồn tại tập con cốti của nguyên lý ánha tận ánpE(bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt kỳ).
2X:họ các ánh tất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt cả các tận ánp con của nguyên lý ánhaX.
K(X):h ọ t ấ t c ả c á c t ậ p c o n c o m p ắ c k h á c r ỗ n g
c ủ a X.
(X):h ọ t ấ t c ả c á c t ậ p c o n h ữ u h ạ n k h á c
r ỗ n g c ủ a X.
[x1, x2] :khoảng thứu các áp dụng của nguyên lý ánh tự tương đương giữa giữaa hai phầun tửax1≤x2.
sup{x1,x2}:cận ánn trên đúng của nguyên lý ánha hai phầun tửax,y.
supA:cận ánn trên đúng của nguyên lý ánha tận ánp hữau
hạ KKM trong nửanA.dom(F) :miềnx á c đ ịnh lý tương giao, định lý n h c ủa nguyên lý ánh a á n h x ạ KKM trong nửa đ a t
r ịnh lý tương giao, định lý F.
H(C, D) :khoảng cách Hausdorff giữaa hai tận ánp hợc các định lý tương giao, định lýpC,D.Graph(F)

:đồn tại tập con cốt thịnh lý tương giao, định lý của nguyên lý ánha ánh xạ KKM trong nửaF.
usc:ánh xạ KKM trong nửa nửaa liên tụng của nguyên lý ánhc trên.
usco:ánh xạ KKM trong nửa nửaa liên tụng của nguyên lý ánhc trên vớii giá trịnh lý tương giao, định lý compắcc .
S(f) :tận ánp nghiệmcủam của nguyên lý ánha bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc KyFansuy rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng
vớii ánh xạ KKM trong nửafchotr ưới c.
e(f) :tận ánp cốttyếuutrongS(f).


Lời mởđ ầ u
Mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt trong nhữang định lý tương giao, định lýnh lý nổi tiếng nhất củai tiếung nhất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt của nguyên lý ánha Toánhọ các ánhctrong thếu kỷ
trướic là nguyên lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng Brouwer. Đó là định lý tương giao, định lýnh lý trung tâm c ủa nguyên lý ánha
lýthuyếutđiểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngvàcũng là mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt trong nhữang nguyên lý cơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý bản của nguyên lý ánha
giải tích phi tuyếun. Định lý tương giao, định lýnh lý nàyđược các định lý tương giao, định lýc Brouwerchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminh năm 1912,
dự tương đương giữaavàomộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt công cụng của nguyên lý ánh rất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt sâu sắcc của nguyên lý ánhatôpôlà lýthuyếutbận ánc của nguyên lý ánha ánh xạ KKM trong nửa

liên

tụng của nguyên lý ánhc nên khá phứu các áp dụng của nguyên lý ánhc tạ KKM trong nửap. Vì thếu, nhiều nhà tốn họ các ánhcđã tìm cáchchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminh
nguyên lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng Brouwer bằng Nashng nhữang công cụng của nguyên lý ánh đơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn giản hơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn.
Năm

1929,

ba

nhà

toánhọ các ánhcngường hợp đa trị, sự tương đương giữai

Ba

Lan

là

Knaster,

KuratowskivàMazurkiewicz đãchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminh được các định lý tương giao, định lýc mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtkếutquả quan trọ các ánhng
mang tên "Bổi tiếng nhất của đề KKM" bằng Nashng phương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng pháp tương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng đốti sơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý cất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmp mà từng được ai công đó
suy ra được các định lý tương giao, định lýc nguyênlý đ i ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm m b ất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm t đ ộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm n g B r o u w e r .
Bổi tiếng nhất củađềKKMđược các định lý tương giao, định lýcchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminhdự tương đương giữaatrênmộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtkếutquảcủa nguyên lý ánhaSpernernăm
1928vềphép tam giác phân mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn hình, thuộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmc lĩnh vự tương đương giữac toán họ các ánhctổi tiếng nhất của
hợc các định lý tương giao, định lýp, mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt lĩnh vự tương đương giữac tưởngchừng được ai côngngnhư không liên quan gì đếun
lýthuyếutđiểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng. Mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt điềuthúvịnh lý tương giao, định lý nữaa là từng được ai công nguyên lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt
động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng Brouwer ta cũng chứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminh được các định lý tương giao, định lýcbổi tiếng nhất củađề KKM, từng được ai cơng đó ngun lý
điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng Brouwervàbổi tiếng nhất củađề KKM là tương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng đương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng vớii nhau.
Từng được ai côngđâybổi tiếng nhất củađề KKM đã đặt nền tảngt nền tảng vàtạ KKM trong nửao bướic ngoặt nền tảngt lớinchosự tương đương giữa phát
triểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmnc ủa nguyên lý ánh a
7


8

"Lý thuyếut KKM".
Mặt nền tảngc

dùbổi tiếng nhất củađề

KKM

rất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt

quan

trọ các ánhng,

vì

nó chota

mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminhđ ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý n giảnnguyênlýđiểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmmbất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtđộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngBrouwernhưnglạ KKM trong nửaihạ KKM trong nửanc
hếudochỉáp dụng của nguyên lý ánhng được các định lý tương giao, định lýcchocác không gian véctơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý hữau hạ KKM trong nửan chiều. Đểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm
khắccphụng của nguyên lý ánhcđiềunày,năm 1961, nhà toánhọ các ánhcnổi tiếng nhất củai tiếung KyFanđã mở
rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngbổi tiếng nhất củađề KKMchotrường hợp đa trị, sự tương đương giữang hợc các định lý tương giao, định lýp không gian véctơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýtôpôbất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtkỳ.Định lý tương giao, định lýnh lý
của nguyên lý ánha KyFanngàynayđ ược các định lý tương giao, định lý cg ọ các ánh i là "Ng uyên lýá n h xạ KKM trong nửaK K M " .
Nguyên lý ánh xạ KKM.Giả sử sửElà không gian véctơ tôpô bất kỳ, tôpô bất kỳ,t kỳ,
Xlà tập con khác rỗng củap con khác rỗng củang củaaEvàF:X→2Elà ánh xạ thỏa mãn
(1) F(x)là tập con khác rỗng củap đóng với mọii mọiix∈X;
(2)co{x1,x2,...,xn}⊂∪n

i=1

F(xi)vớim ọi i { x1,x2,...,xn}⊂X;

(3)F(x0)là tập con khác rỗng củap compắc vớic với mọiix0nào đó thuộcX.Khi
đó
x\∈X

F(x)ƒ=∅.
Năm 1972, dự tương đương giữaa vào nguyên lý ánh xạ KKM trong nửa KKM năm 1961, Ky Fan đã

chứu các áp dụng của nguyên lý ánhng minh được các định lý tương giao, định lýc mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt kếut quả quan trọ các ánhng mà sau này ngường hợp đa trị, sự tương đương giữai ta gọ các ánhi là
"Bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc Ky Fan".
Bất đẳng thức Ky Fan.Giả sử sửElàkhônggianvéctơ tôpô bất kỳ,tôpô bất kỳ,t kỳ,X
là tập con khác rỗng củap con lồi compắc khác rỗng củai compắc vớic khác rỗng củang củaaEvàf:X×X→Rlà hàm sốthỏa mãnthỏa mãna mãn
(1) f(x, x)≤0với mọii mọiix∈X;
(2) f(x,y)là tựa lõma lõmtheoxvới mọii mỗng củaiycốthỏa mãnđ ịnh; n h ;
(3) f(x,y)là nửa liên tục dướic dưới mọiitheoyvới mọii
mỗng củaixcốthỏa mãnđịnh;nh.Khiđót ồi compắc khác rỗng của nt ại i y∗∈Xsaochof (x,y∗)≤0vớim ọi i x
∈X.


Từng được ai côngđây,bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc KyFantrở thành mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt công cụng của nguyên lý ánh quan trọ các ánhng đểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm
nghiêncứu các áp dụng của nguyên lý ánhucácbàitoánnhư:Tốtiưu,bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtđẳng thức Kyngthứu các áp dụng của nguyên lý ánhcbiếunphân,điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmmbất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng,
điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm cân bằng Nashng Nash, điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmmyênngự tương đương giữaa,...,chẳng thức Kyng hạ KKM trong nửan xem [2, 3,12].
Đếun

năm 1984, KyFantiếup tụng của nguyên lý ánhc mở rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng nguyên lý ánh xạ KKM trong nửa

KKMvàchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminh mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt sốtkếutquả quan trọ các ánhng như: Các định lý tương giao, định lýnh lý ghép
đôi (matching)cho phủa nguyên lý ánhđónghay phủa nguyên lý ánhmở của nguyên lý ánha các tận ánp lồn tại tập con cốti, các định lý tương giao, định lýnh lý
điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm trùngvàcácđ ịnh lý tương giao, định lý nh lýt ương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý ng giaochocáct ận án p v ới ithi ếu t di ệmcủa n l ồn tại tập con cốt i.
Có thểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm nói, từng được ai côngđâynguyên lý ánh xạ KKM trong nửa KKM đãthu hútnhiều nhà
toánhọ các ánhctrên thếu giớii quan tâmvàsuy ra được các định lý tương giao, định lýc cáckếutquả cơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý bản cũng như
nhiềukếutquả mớii khácvềmộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt sốt khíacạ KKM trong nửanh sau:
• Nhữang định lý tương giao, định lýnh lývềsự tương đương giữa tồn tại tập con cốtn tạ KKM trong nửai điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng của nguyên lý ánha ánh xạ KKM trong nửa đơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn
trịnh lý tương giao, định lývàđatr ịnh lý tương giao, định lý liên t ụng của nguyên lý ánh cc ủa nguyên lý ánh a Brouw er,Schauder,Tikhonov,KyFan,...
• Mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt sốt định lý tương giao, định lýnh lývềtính chất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt của nguyên lý ánha tận ánp lồn tại tập con cốti: Định lý tương giao, định lýnh lý ghép đôi, định lý tương giao, định lýnh
lýt h i ếu t d i ệmcủa n , đ ịnh lý tương giao, định lý n h l ý t ư ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý n g g i a o , ...
• Các bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc minimax, các đ ịnh lý tương giao, định lýnh lý vềsự tương đương giữa tồn tại tập con cốtn tạ KKM trong nửai nghiệmcủam của nguyên lý ánha
bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc biếun phân, các định lý tương giao, định lýnh lý vềsự tương đương giữa tồn tại tập con cốtn tạ KKM trong nửai điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm cân bằng Nashng

Nash, cáckếutquảvềtốn kinhtếu.
Nhữangkếutquả quan trọ các ánhng đó cùng rất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt nhiều các dạ KKM trong nửang mở
rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngvàtương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýngđương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýngđãđược các định lý tương giao, định lýctận ánphợc các định lý tương giao, định lýplạ KKM trong nửaidướiicáitên:LýthuyếutKKM.Lýthuyếut
nàyđã được các định lý tương giao, định lýc sửa dụng của nguyên lý ánhng rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng rãi như mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt công cụng của nguyên lý ánh hữau íchtrong các lĩnh
vự tương đương giữac như: Lýthuyếutđiểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng, lýthuyếutminimax, toán kinh tếu, tốti
ưu hoá,...


10

LýthuyếutKKM đã được các định lý tương giao, định lýc nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhuchorất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt nhiều lớip khơng gian
khác nhau. Nhưchúngtơi đã nói ở trên, KyFanlà ngường hợp đa trị, sự tương đương giữai đặt nền tảngt nền
móngchoviệmcủac nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhuvàphát triểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmn lýthuyếutKKM trong các không
gian

véctơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýtôpô.Năm1983,Lassondeđãchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminhđược các định lý tương giao, định lýcđịnh lý tương giao, định lýnhlýdạ KKM trong nửangKKM

trong các không gian "lồn tại tập con cốti" đểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm sau đó được các định lý tương giao, định lýc phát triểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmnbởirất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt nhiều nhà toán
họ các ánhc. Năm 1987, Horvath đã mở rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng chotrường hợp đa trị, sự tương đương giữang hợc các định lý tương giao, định lýp cácc-không
gianhayH-khônggian. Năm 1991, Park đã nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu lýthuyếutKKM
trong mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt lớip khơng gian có tên là khơng gian G-lồn tại tập con cốti. Đặt nền tảngc biệmcủat, năm
1996, Khamsi đãxâydự tương đương giữang được các định lý tương giao, định lýc mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt dạ KKM trong nửang siêu lồn tại tập con cốti của nguyên lý ánha nguyên lý ánh
xạ KKM trong nửa KKM, mở đầuuchoviệmcủac hình thành lýthuyếutKKM trong các không
gian metric siêu lồn tại tập con cốti. Năm 2009, nhi ều kếutquả mớiivề"LýthuyếutKKM"
tronglớipkhônggiansiêulồn tại tập con cốtiđược các định lý tương giao, định lýccôngbốttrongLuận ánnántiếunsỹcủa nguyên lý ánhaLê

Anh

Dũng, xem[1].
Cũng trong năm 1996, HorvathvàLlinares Ciscar [29] đãchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminh

được các định lý tương giao, định lýc dạ KKM trong nửang nguyên lý ánh xạ KKM trong nửa KKM trong các nửaa dàntôpôvàđãthuđược các định lý tương giao, định lýc
mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt sốtkếutquả bướic đầuu trong lớip khơng giannày.Sau đó, năm 2001, Luo
[45] đã mở rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng các kếutquả của nguyên lý ánha HorvathvàLlinares Ciscar đồn tại tập con cốtng
thờng hợp đa trị, sự tương đương giữaichứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminh được các định lý tương giao, định lýc sự tương đương giữa tồn tại tập con cốtn tạ KKM trong nửai điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm cân bằng Nashng Nash đơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn trịnh lý tương giao, định lý vớii sốt
ngường hợp đa trị, sự tương đương giữai chơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýi hữau hạ KKM trong nửan. Các năm 2004, 2006, Luo [46, 47] đã ti ếup t ụng của nguyên lý ánhc nghiên
cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu xa hơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn nữaa bằng Nashng việmcủac mở rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc Ky Fanchotrường hợp đa trị, sự tương đương giữang hợc các định lý tương giao, định lýp
đa trịnh lý tương giao, định lý.Tuynhiên cáckếutquảthuđược các định lý tương giao, định lýc

của nguyên lý ánha

Luovẫnnchưaphải

là

mởr ộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm n g t h ự tương đương giữa c s ự tương đương giữa b ất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm t đ ẳng thức Ky n g t h ứu các áp dụng của nguyên lý ánh c K y Fant r o n g n ửa a d à n t ô p ô .
Nhờng hợp đa trị, sự tương đương giữa các nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu gầunđâycủa nguyên lý ánha GS. TSKH. Nguyễn Thế Vinhn Xuân Tất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmnvềánh
xạ KKM trong nửa đa trịnh lý tương giao, định lýC-liêntụng của nguyên lý ánhc cùng vớii cáckếutquả của nguyên lý ánha ThầuyvàTS. Nguyễn Thế Vinhn
BáMinhđãgợc các định lý tương giao, định lýiýchochúngtôichứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminhđược các định lý tương giao, định lýccácmởrộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngthự tương đương giữacsự tương đương giữa


11

của nguyên lý ánha bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc Ky Fan trong nửaa dàn tôpô.
Hơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýnnữaa,rất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtnhiềuvất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmnđềkhácvềlýthuyếutKKMtrongnửaadàntôpônhư
các định lý tương giao, định lýnh lý ghép đôi, tương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng giao, định lý tương giao, định lýnh lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đ ộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng BrowderFanvớii nghịnh lý tương giao, định lých ảnh đóng, định lý tương giao, định lýnh lý dạ KKM trong nửang Browder-Fan chohọ các ánh các ánh xạ KKM trong nửa
đatrịnh lý tương giao, định lý,điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmmcânbằng NashngNashđatrịnh lý tương giao, định lýchotrường hợp đa trị, sự tương đương giữanghợc các định lý tương giao, định lýpvôhạ KKM trong nửanngường hợp đa trị, sự tương đương giữaichơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýi,tính

liên

tụng của nguyên lý ánhcvàliên thông của nguyên lý ánha tận ánp nghiệmcủam, ...vẫnnchưađược các định lý tương giao, định lýc nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhuđầuyđủa ngun lý ánh.

Đó là lý dochúngtơi chọ các ánhn đề tài "LýthuyếutKKM trong nửaa
dàntôpôvàứu các áp dụng của nguyên lý ánhng dụng của nguyên lý ánhng" đểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm làm luận ánn án tiếun sỹ.Luận ánn án trìnhbàycác
nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu mớiivềlýthuyếutKKM trong các nửaa dàn tôpô. Luận ánn án
được các định lý tương giao, định lýc cất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmu trúc như sau. Ngoài phầun mở đầuu vàphầunkếutluận ánn, luận ánn án
chia làm ba chương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng:
Chương 1:Nguyên lý ánh xạ KKM trong nửa KKM suy rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngvàcáckếutquả liên quan,
Chương 2:Bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc Ky Fan đa trịnh lý tương giao, định lý và điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm cân bằng Nashng Nash
đa trịnh lý tương giao, định lý,
Chương 3:Tính liên tụng của nguyên lý ánhc và liên thông của nguyên lý ánha tận ánp nghiệmcủam.
ỞphầunđầuuChương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng1,chúngtôigiớiithiệmcủauvềnửaadàntôpôvànguyên lý ánh
xạ KKM trong nửa KKM trong lớip không giannàydo HorvathvàLlinares Ciscarchứu các áp dụng của ngun lý ánhngminh
năm 1996. Sau đóchúngtơi trìnhbàycác nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu mớii của nguyên lý ánha mình. Mở
đầuu là mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtkếutquả mở rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng nguyên lý ánh xạ KKM trong nửa KKM. Sau đó là các h ệmcủa
quả như định lý tương giao, định lýnh lý ghép đôi, định lý tương giao, định lýnh lý tương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng giao, đ ịnh lý tương giao, định lýnh lý đi ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm b ất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt
động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngBrowder-Fan,sự tương đương giữa tương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng đương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng giữaa nguyên lý ánh xạ KKM trong nửa KKMvàđịnh lý tương giao, định lýnh
lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngBrowder-Fan,định lý tương giao, định lýnh lý thiếut diệmcủanvàmộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt sốt định lý tương giao, định lýnh
lýđi ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm m b ất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm tđ ộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm ngkhác choánhxạ KKM trong nửađatr ịnh lý tương giao, định lý , đ ịnh lý tương giao, định lý nh lýđi ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm m b ất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm tđ ộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm ngd ạ KKM trong nửa n
g


Kakutani-KyFantrongnửaadàn.Cuốtichương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýnglàcácbất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtđẳng thức Kyngthứu các áp dụng của nguyên lý ánhcminimaxvàđịnh lý tương giao, định lýnh lý minimax dạ KKM trong nửangSion-Neumann.
TrongChương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng 2,chúngtơi trìnhbàycác mở rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng đa trịnh lý tương giao, định lý của nguyên lý ánha bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng
thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc KyFanchocác ánh xạ KKM trong nửa đa trịnh lý tương giao, định lýC-liêntụng của nguyên lý ánhc trong nửaa dàn tơpơ. Sau
đóchúngtơichứu các áp dụng của ngun lý ánhngminh mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt định lý tương giao, định lýnh lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng dạ KKM trong nửang Browder-Fan
chohọ các ánh bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt kỳ các ánh xạ KKM trong nửa Browdervàchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminh sự tương đương giữa tồn tại tập con cốtn tạ KKM trong nửai nghiệmcủam của nguyên lý ánha
các hệmcủa bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc KyFan,điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm cân bằng Nashng Nash đa trịnh lý tương giao, định lý vớii sốt ngường hợp đa trị, sự tương đương giữai
chơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýivôhạ KKM trong nửan. Cuốti chương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng là sự tương đương giữa tồn tại tập con cốtn tạ KKM trong nửai nghiệmcủam tốti ưu Pareto c ủa nguyên lý ánha hệmcủa trò
chơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýi đamụng của nguyên lý ánhctiêu.
Phầun cuốti cùngc ủa nguyên lý ánh a l u ận án n á n đ ư ợc các định lý tương giao, định lý c t r ì n h bàyt r o n g C h ư ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý n g
3 . Trongchương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýngnày,trướic hếutchúngtôi giớii thiệmcủau bài tốnvàtrìnhbàycác

kháiniệmcủam liên quan như điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm cốttyếuu,tận ánp cốttyếuu,thành phầun
cốttyếuucủa nguyên lý ánhatận ánp nghiệmcủam của nguyên lý ánha bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc KyFand ạ KKM trong nửa n g đ a t r ịnh lý tương giao, định lý t r o n g
n ửa a d à n t ô p ô .
Sau đó chúng tơi chứu các áp dụng của nguyên lý ánhng minh tính nửaa liên t ụng của nguyên lý ánhc trên c ủa nguyên lý ánha t ận ánp
nghiệmcủam và sự tương đương giữa tồn tại tập con cốtn tạ KKM trong nửai thành phầun liên thông cốtt yếuu của nguyên lý ánha tận ánp nghiệmcủam.
Hiệmcủannay,lýthuyếutKKMnóichungvẫnnđangpháttriểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmnkhôngngừng được ai cơngng.
Chúng tơihyvọ các ánhng rằng Nashng luận ánn ánnàysẽ góp phầun làm phongphúthêm
lýthuyếutKKM trongn ửa a dàntơpơvàl ý thuyếutKKM nóichung.
Cáckếutquả của nguyên lý ánha luận ánn án được các định lý tương giao, định lýc tác giả côngbốtvàgửai đăng trong năm bài
báo trên các tạ KKM trong nửapchítrong nướicvàquốtc tếu. Cáckếutquảnàyđã được các định lý tương giao, định lýc báo cáo
tạ KKM trong nửai Seminar của nguyên lý ánha Phịng Giải tích tốn

họ các ánhc-Việmcủan Tốnhọ các ánhc,

Bộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm mơn

Giảitích-Trường hợp đa trị, sự tương đương giữangĐạ KKM trong nửaihọ các ánhcSư phạ KKM trong nửam Hà Nộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmivàBáo cáo Nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu sinh hàng
năm của nguyên lý ánha ViệmcủanToánhọ các ánhc.
Luận ánnánđược các định lý tương giao, định lýchồnthànhdướiisự tương đương giữahướingdẫnntận ánntìnhcủa ngun lý ánhathầuygiáo, PGS.
TSKH. Đỗ HồngTân. Hồn tại tập con cốtngTân.Tácgiả xinbàytỏ lịng kính trọng lịng kính trọ các ánhngvàbi ếu t


ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn sâu sắcc đếunThầuy.Thầuy đã truyềnthụng của nguyên lý ánhkiếun thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc, từng được ai côngng bướic định lý tương giao, định lýnh
hướing nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu, giúp tác giả tiếup cận ánnvất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmnđề mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt cách tự tương đương giữa nhiên đểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm từng được ai cơng
đó có thểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmchủa nguyên lý ánhđộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng, tự tương đương giữa tin trong suốtt quá trìnhhọ các ánhctận ánpvànghiên
cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu.Tất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmmgương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu khoahọ các ánhcnghiêm túcvàsự tương đương giữachỉbảo ân cầun của nguyên lý ánha
thầuy Đỗ HồngTân. Hồn tại tập con cốtngTânđã

giúpchotác giả có ý thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc trách nhiệmcủamvàquyếut

tâmc a o k h i h o à n t h à n h l u ận án n á n c ủa nguyên lý ánh a m ì n h .
Tácgiả cũng xinbàytỏ lịng kính trọng lịng biếut ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn tiếun sĩ Charles D. Horvath,
Đạ KKM trong nửaihọ các ánhcPerpignan (Pháp) đã cung cất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmpchotác giả các công trình liên quan
đếun nửaa dàntơpơ.
Tácgiả xin chân thành cám ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn TS. Nguyễn Thế Vinhn Thịnh lý tương giao, định lý Thanh Hà, TS. Lê
Anh Dũng, TS. Nguyễn Thế VinhnVănKhiêm đã động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng viênvàgóp nhiều ý
kiếunq u ý b á u t r o n g s u ốt t t h ờng hợp đa trị, sự tương đương giữa i g i a n t á c g i ả t h a m
gia

Seminar

lýthuyếutKKMvàlýthuyếutđiểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm

" M ộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm t

s ốt vất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmnđề

bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt

do

động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng"

Bộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm

trong
mơn

Giải

tích,Trường hợp đa trị, sự tương đương giữangĐ ạ KKM trong nửa i họ các ánhcSưph ạ KKM trong nửa m HàN ộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm i tổi tiếng nhất củachứu các áp dụng của nguyên lý ánhc.
Tácgiả xin được các định lý tương giao, định lýcbàytỏ lòng kính trọng lịng biếut ơng 1, chúng tơi thu được các định lý tương giao, định lýn đếun GS. TSKH. Nguyễn Thế Vinhn
XuânTất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmnvì nhữangchỉdẫnn tận ánn tìnhvànhữang ý kiếun đóng góp quý báu
của nguyên lý ánha Thầuydànhchotácgi ả trong su ốt t th ờng hợp đa trị, sự tương đương giữa igian họ các ánhct ận án p vànghiênc ứu các áp dụng của nguyên lý ánh u.
Tác giả xin chân thành cảm ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn GS. TSKH. Phạ KKM trong nửam Hữau Sách về
nhữang nhận ánn xét xác đáng đốti vớii dạ KKM trong nửang khởi thảo của nguyên lý ánha luận ánn án này.
Tácgiả xin được các định lý tương giao, định lýc nói lờng hợp đa trị, sự tương đương giữai cảm ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn chân thành tớii Ban lãnh đạ KKM trong nửao
ViệmcủanToánhọ các ánhc,Trungtâm Đào tạ KKM trong nửao Sau Đạ KKM trong nửaihọ các ánhccùng toàn thểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm các thầuy
giáo, cô giáo, cánbộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmvànhân viên của nguyên lý ánha ViệmcủanToánhọ các ánhcđã tạ KKM trong nửao điều
kiệmcủanvàgiúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác giả hoàn thành luận án tác giả trong suốtt thờng hợp đa trị, sự tương đương giữai gian tác giả hoàn thành luận ánn án
của nguyên lý ánha mình.
Tác giả xin được các định lý tương giao, định lýc bày tỏ lịng kính trọng sự tương đương giữa biếut ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn đếun Ban giám hiệmcủau Trường hợp đa trị, sự tương đương giữang Đạ KKM trong nửai
họ các ánhc Giao thông Vận ánn tải Hà Nộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmi, các Thầuy Cô trong Bộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm mơn Tốn giải


tích, Khoa Khoahọ các ánhccơng 1, chúng tơi thu được các định lý tương giao, định lý bản đã tạ KKM trong nửao mọ các ánhi điều kiệmcủan thuận ánn lợc các định lý tương giao, định lýi đểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm tác giả
hoànthànhtốttnhiệmcủamvụng của nguyên lý ánhhọ các ánhctận ánp,nghiêncứu các áp dụng của nguyên lý ánhucũngnhưgiảngdạ KKM trong nửaytrong
Nhàtr ường hợp đa trị, sự tương đương giữa ng.
Xin gửai lờng hợp đa trị, sự tương đương giữai cảm ơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn đặt nền tảngc biệmcủat đếun toàn thểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm bạ KKM trong nửan bè và ngường hợp đa trị, sự tương đương giữai thân, nhữang
ngường hợp đa trị, sự tương đương giữai đã động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác giả hoàn thành luận án tác giả trong suốtt thờng hợp đa trị, sự tương đương giữai gian họ các ánhc tận ánp, nghiên
cứu các áp dụng của nguyên lý ánhu và hoàn thành luận ánn án này.

HàNộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmi,tháng02năm2011Tácg
iả


Chương 1
Nguyênlý ánh xạ KKM suy
rộngvàcáckếtquả liênq u a n
Năm 1996, HorvathvàLlinares Ciscar [29] đãchứu các áp dụng của nguyên lý ánhngminh được các định lý tương giao, định lýc dạ KKM trong nửang

nguyên lý KKM trong nửaa dàn tôpô. Trongchương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýngnàychúngtôi sẽ mở
rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngkếutquả của nguyên lý ánha HorvathvàLlinares Ciscar, từng được ai cơng đó suy ra nhiềukếutquả
khác như định lý tương giao, định lýnh lý ghép đôi, định lý tương giao, định lýnh lý tương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng giao dạ KKM trong nửang Berge-Klee, mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt sốt
định lý tương giao, định lýnh lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmngchoánh xạ KKM trong nửa đa trịnh lý tương giao, định lý. Mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmtkếutquả đángchúý là định lý tương giao, định lýnh lý
điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng dạ KKM trong nửangBrowder-Fanvớii nghịnh lý tương giao, định lých ảnh đóng. Sau cùng là mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt
sốtkếutquả như định lý tương giao, định lýnh lý điểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmm trùng, bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt đẳng thức Kyng thứu các áp dụng của nguyên lý ánhc minimax vàđịnh lý tương giao, định lýnh lý
minimax dạ KKM trong nửang Sion-Neumannchoánh xạ KKM trong nửa đơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn trịnh lý tương giao, định lý. Cáckếutquả mớii của nguyên lý ánha
Chương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng 1 từng được ai công Mụng của nguyên lý ánhc 1.3 đếun hếut chương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýngvàđược các định lý tương giao, định lýc côngbốttrong bài báo [67].

1.1

Giới thiệuvềnửadàntôpô

Các định lý tương giao, định lýnh nghĩa và ví dụng của nguyên lý ánh sau đây được các định lý tương giao, định lýc trích trong bài báo [29].

15


16

Định nghĩa 1.1.1Tập con khác rỗng củapsắc vớip thứ tự tựa lõmbộphập con khác rỗng củan(X,™)đượccgọii là nửa
dàntrênnếu mỗiu mỗng củaicặppphần tửn tửbất kỳ,tkỳ(x,y)đềuucócập con khác rỗng củantrênđúngsup{x,y}.
Nửadàng ọi ilà bịnh;ch ặp nn ếu mỗi u t ồi compắc khác rỗng của n t ại iph ần tử n tử1∈Xsao chox™1vớim ọi i
x∈X.Và(X,™)gọii là nửa dàn tôpô nếu mỗiuXlà một khơng gian tơpơ vàánh
xạiX×X→X,(x, y)›→sup{x,y}liên tục dướic.
Trênđâylàđ ịnh lý tương giao, định lý nh nghĩac ủa nguyên lý ánh a n ửa adàn trên.Đ ương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý ng nhiên,tacũngcóthểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm x
étc ác n ửa a d à n d ư ới i (m ỗ HồngTân. i c ặt nền tảng pp h ầu n t ửa đ ề u c ó c ận án n d ư ới i l ới nn h ất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm t) . Nếu
u
(X,™)lànửaadàntrênvànếuutađặt nền tảngtq uanhệmcủax1™Jx2vớiimọ các ánhix2™x1 ,
thì(X,™J)lànửaadàndướiivàngược các định lý tương giao, định lýclạ KKM trong nửai.Dođótừng được ai cơngnayvềsautachỉx étcácnửaadànt

rênvàgọ các ánhiđơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýngiảnlàcácnửaadàn.Từng được ai côngđịnh lý tương giao, định lýnhnghĩatadễn Thế Vinh
dàng thất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmy rằng Nashng mỗ HồngTân.i tận ánp con hữau hạ KKM trong nửan khác rỗ HồngTân.ng Acủa nguyên lý ánha nửaa
dànXđềuc ó c ận án n trênđúng,kíhi ệmcủa u bởisupA.
Trongmộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt tận ánp sắcp

thứu các áp dụng của nguyên lý ánh

tự tương đương giữabộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmphận ánn(X,™),

hai

phầun

tửa

bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt

kỳx1vàx2không nhất thiết so sánh được với nhau nhưng trong trường
hợpx1™x2,thì tađ ặt nền tảng t
[x1,x2] :={y∈X:x1™y™x2}
và gọ các ánhi là mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt khoảng thứu các áp dụng của nguyên lý ánh tự tương đương giữa (gọ các ánhi đơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn giản là khoảng).
Bây giờng hợp đa trị, sự tương đương giữa ta giả sửa rằng Nashng(X,™)là nửaa dàn vàA⊆Xlà tận ánp con hữau hạ KKM trong nửan
khác rỗ HồngTân.ng. Khi đó tận ánp hợc các định lý tương giao, định lýp
∆(A) :=∪a∈A[a,supA]
hoàn toàn xác định lý tương giao, định lýnh (gọ các ánhi là bao∆-lồn tại tập con cốti của nguyên lý ánha tận ánp hữau hạ KKM trong nửanA) và ta có thểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm
dễn Thế Vinh dàng thất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmy rằng Nashng nó có nhữang tính chất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt sau:
1.A⊆∆(A);


2. NếuuA⊆AJthì∆(A)⊆∆(AJ).

Định

nghĩa

1.1.2Tanóirằngngtập con khác rỗng củapconE⊆Xlà∆-lồi compắc khác rỗng củai

nếu mỗiu

với mọii

mọii

tập con khác rỗng củapconhữu hạn khácu hạin khácrỗng củangA⊆E,ta đềuucó∆(A)⊆E.
Tahãyso sánh khái niệmcủam tính lồn tại tập con cốti vừng được ai cônga định lý tương giao, định lýnh nghĩa ở trên vớii tính lồn tại tập con cốti
theo nghĩa thông thường hợp đa trị, sự tương đương giữang trong không gian véctơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý. Nếuu Vlà mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt không gian
véctơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lý thự tương đương giữacvànếuu2Vlà họ tất cả các tập con củaVthì ta có tốn

tửa

bao lồn tại tập con cốtico: 2V→2Vchotương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng ứu các áp dụng của nguyên lý ánhng mỗ HồngTân.i tận ánp conAcủa nguyên lý ánhaVvớii baolồn tại tập con cốti
của nguyên lý ánha nó,co(A).
Hiểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmn nhiên bao lồn tại tập con cốti có các tính chất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt sau:
(i) A⊆co(A),
(ii) NếuuA⊆AJthìco(A)⊆co(AJ),
(iii) co(co(A)) =co(A).
Vớiimộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmttận ánpconEcủaV,dễn Thế Vinhthất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmycáckhẳng thức Kyngđịnh lý tương giao, định lýnhsaulàtương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýngđương 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýng:
(i) Elà tận ánpl ồn tại tập con cốt i ,
(ii) co(E)=E,
(iii) NếuuAlà mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt tận ánp con hữau hạ KKM trong nửan khác rỗ HồngTân.ng
của nguyên lý ánhaEthìco(A)⊆E.Tiếp theo tachỉra sự tương đương giữa khác nhau giữaa toán tửa∆vàtoán

tửa
baol ồn tại tập con cốt i. Toántửa∆chỉxácđ ịnh lý tương giao, định lý nhtrên cáct ận án p conh ữa u h ạ KKM trong nửa n khácr ỗ HồngTân. ng của nguyên lý ánh
aX,vìvận ányđ ồn tại tập con cốt n g n h ất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm t t h ứu các áp dụng của nguyên lý ánh c ∆ ( ∆ ( A))=∆(A)cót h ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm vôn g h ĩ a vàt a k h ô n
g t h ểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm
định lý tương giao, định lýnh nghĩa tận ánp con∆-lồn tại tập con cốtiEcủa nguyên lý ánhaXlà tận ánp thoả mãn∆(E) =E.
Tuy nhiên ta có thểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm xây dự tương đương giữang mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt toán tửa xác định lý tương giao, định lýnh trên 2Etheo
cách sau:
Giả sửaClà họ các ánh tất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt cả các tận ánp con∆-lồn tại tập con cốti của nguyên lý ánha nửaa dànX.Nếuu(Ei)i∈I
T
là họ các ánh con tuỳ ý của nguyên lý ánhaCthì dễn Thế Vinh thất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmy i∈IEi∈C. GiảsửaAlà tận ánp con tuỳ
ý của nguyên lý ánhaX, đặt nền tảngt


Ta thất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmy
rằng Nashng:

CO∆ (A):=

\
.E∈C:A⊆E Σ.

(i) A⊆CO∆(A),
(ii) NếuuA⊆AJthìCO∆(A)⊆CO∆(AJ),
(iii) CO∆(CO∆(A))=CO∆(A).
Hơng 1, chúng tôi thu được các định lý tương giao, định lýn nữaa, tận ánp conEcủa nguyên lý ánhaXlà∆-lồn tại tập con cốti nếuuvàchỉnếuuCO∆(E)=E.
Mặt nền tảngt khác, dễn Thế Vinh thất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmyElà∆-lồn tại tập con cốti khivàchỉkhi các điều kiệmcủan sau
được các định lý tương giao, định lýct h o ả m ã n :
(i) Nếuux1,x2∈Ethìsup{x1,x2}∈E;
(ii) Nếuux1,x2∈Evàx1™x2thì[x1,x2]⊆E.hoặt nền tảngc nếuu
điều kiệmcủan sauđúng:

(iii) Nếuux1,x2∈Ethì[x1 ,sup{x1 ,x2}]⊆E.
Ví dụ 1.1.1TrongR2, ta đặpt
X:={(x,y): 0™x™1, y= 1}∪{(x,y):x= 1,0 ™y™1}.
Thứ tự tựa lõm bộ phập con khác rỗng củan trênXlà thứ tự tựa lõm bộ phập con khác rỗng củan thơng thường củang củaaR2.Khi đó

X là nửa dàntôpô.
Hiểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmn nhiên ví dụng của nguyên lý ánh trên có thểm bất động, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểm mở rộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmng cho trường hợp đa trị, sự tương đương giữang hợc các định lý tương giao, định lýp Rn.
Vídụ1.1.2Giả sử sử(Xi,™i), i∈I,là họicácnửa dàntơpơvàXlàkhơng
gian tích với mọiitơpơtích
X:=

Y
i∈I

Xi.


TađưavàoXquanhệthứ tựtựa lõmbộphập con khác rỗng củannhưsau:với mọiix,xJ∈X=

Q

i∈IXi ,

taxácđịnh;nhx™xJn ếu mỗiuvàchỉnếu mỗiuxi™ixJv ới mọiimỗng củaii∈I.Khiđó
(X,™)
i
lànửadàntơpơvới mọii[sup{x,xJ}]i=sup{xi ,xJ }với mọi
imỗng củaii∈I.
i
Ví dụ 1.1.3Giả sử sử(Xi,™i)là tập con khác rỗng củap sắc vớip thứ tự tựa lõmtồnphần tửn. Khi đó nó lànửa

dàn. Hơ tôpô bất kỳ,n nữu hạn kháca, nếu mỗiuXicũnglàkhônggiantôpôvà đồi compắc khác rỗng của thịnh; củaa quan
hệ™ilà không gian con đóng củaXi×Xithì(Xi,™i)là nửa dàn tơpơ.
Áp dục dướingcáchxây dựa lõmng củaa ví dục dướitrưới mọiccho
họi(Xi,™i),i∈Icáctập con khác rỗng củapsắc vớipt h ứ tự t ựa lõm toànp h ần tử n , t a cóm ộ t n ử a d à n tơpơ.
Ví dụ 1.1.4Khơng gianC[a,b]là nửa dàn tơpơ với mọii quan hệ thứ tự tựa lõm
thơngthường củang
f≤g⇐⇒f(x)≤g(x),∀x∈[a, b].

Hình 1.1
Như

vập con khác rỗng củaytừhìnhvẽ

tathất kỳ,ybao∆-lồi compắc khác rỗng củaicủaa

hàmfvàggồi compắc khác rỗng củamcácphần tửntửf,g,max{f,g}vàmọii

hai
hàmhnằngm

giữu hạn khácafvàmax{f,g},mọiihàmknằngm giữu hạn khácagvàmax{f,g}.
Ví dụ 1.1.5Không gianR2là nửa dàn tôpô với quan hệ thứ tự

thôngthường củangx≤y⇐⇒xi≤yi,i= 1,2.


20

Hình 1.2
Các tập con khác rỗng củap ở Hình 1.2 đều là Hình 1.2 đềuu làcáctập con khác rỗng củap∆-lồi compắc khác rỗng củai.Tuynhiên tập con khác rỗng củap ở Hình 1.2 đều là giữu hạn kháca khơng

lồi compắc khác rỗng củaitheonghĩa thơngthường củang.
Ví dụ1.1.6Xét đường củang trịn như hình vẽ đưới mọii đây.

Hình 1.3
TagọiiX:=[ACB]∪(ADB),ở Hình 1.2 đều làđâykýhiệu[ACB]đểchỉcungACBtínhcả sử
hai đần tửu mútA,Bvà(ADB)chỉ cungADBkhơng tính hai đần tửumútA,B.
Xây dựa lõmng quan hệ thứ tự tựa lõmtrênX: Ở mỗi nhánh cung, ta mỗng củai nhánh cung, ta
quyưới mọicchiềuutăng là chiềuu mũi tên nh ư hình vẽ. Như vập con khác rỗng củay Xtrở Hình 1.2 đều làthành
tập con khác rỗng củapđượccsắc vớipthứ tự tựa lõmbộphập con khác rỗng củan (hai phần tửn tử ở Hình 1.2 đều là hai nhánh khác nhau không
so sánhđượccvới mọiin h a u ) .


21

Vìsup{x,y}=B,với mọiimọiix∈[ACB],y∈(ADB)nênXlànửadàn. Mặpt
khácXlà khơng gian tơpơ với mọii tơpơ cả sửm sinh từR2.
Tuy nhiên, ta sẽ chỉ raXkhông phả sửi là nửa dàn tôpô. Thập con khác rỗng củat vập con khác rỗng củay,
lất kỳ,ydãy{xn}⊂(ADB),xn→A(n→+∞). Hiển nhiên:n nhiên:
sup{xn,A}=B,
sup{A,A}=A.
Điềuu đó chứ tựng tỏa mãn phép tốnsupkhơng liên tục dướic.
Đển nhiên: khắc vớic phục dướic nhượcc điển nhiên:m này, chỉ cần tửn bỏa mãn một cung xung quanh đi ển nhiên:m
Anhư sau:

Hình 1.4
Khi đó cung[ABC]sẽ là một nửa dàntơpơ.Tasẽ gặpp lạii ví
dục dướin à y trongMục dướic1.9.
Kí hiệmcủau∆nlà đơn hình chuẩnnchiều vớii các đỉnhe0, ..., en. NếuuJ
là mộng, định lý điểm trùng, định lý minimax, định lý điểmt tận ánp con khác rỗ HồngTân.ng của nguyên lý ánha{0, ...,n}thì ta kí hiệmcủau∆Jlà bao lồi
củac á c đ ỉ n h {ej:j∈J}.

Bây giờng hợp đa trị, sự tương đương giữa, chúng ta xét tínhω-liên thơng của ngun lý ánha các nửaa dàn tôpô. Các định lý tương giao, định lýnh
nghĩa và kếut quả dướii đây được các định lý tương giao, định lýc trích trong tài liệmcủau [28].