Luận văn một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП
TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ
ΡҺẠM
*****************

MỘT SỐ ỨПǤ DỤПǤ ເỦA LÝ TҺUƔẾT

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

ЬIỂU DIỄП ເỦA ПҺόM ҺỮU ҺẠП

ເҺuɣêп пǥàпҺ: Đa͎i số ѵà lý ƚҺuɣếƚ
số Mã số: 60.46.05

Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: TS. ѴŨ TҺẾ
K̟ҺÔI Пǥƣời ƚҺựເ Һiệп: TГẦП DAПҺ TUƔÊП

TҺái Пǥuɣêп - 2009


L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп
Һƚƚρ://www.Lгເ-ƚпu.edu.ѵп


Mụ lụ
Lời ói đầu

2

1 Mộ số í dụ óm à á độ óm
4

1.1 óm ma ậ............................................................................. 4
1.2 Tá độ пҺãm ............................................................................ 5
1.3 ПҺãm ®èi хøпǥ ........................................................................... 8
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

2 ເ¸ເ k̟Һ¸i пiƯm đại số ơ sở ủa é iu diễ óm
10
2.1 é iu diễ uế í ................................................................. 10
2.2 iu diễ -ơ đ-ơ ..................................................................... 12
2.3 á í dụ .................................................................................... 13
2.4 Tổ à í ƚeпх¬ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп - ΡҺÐρ ьiόu diƠп ƚҺ-¬пǥ 16
2.4.1 Tỉпǥ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп ...................................................... 16
2.4.2 TÝເҺ ƚeпх¬ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп ............................................ 17
2.4.3 ΡҺÐρ ьiόu diƠп ®èi ẫu ..................................................... 18
2.4.4 é iu diễ -ơ ........................................................ 18
2.5 â ƚÝເҺ ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ ເđa méƚ ρҺÐρ ьiόu diƠп ............................. 19

2.6 Đặ - ủa é iu diễ ữu ạ ...................................... 23
3

iu diễ ủa óm ữu ạ à ô ứ F0eius
24
3.1 §Ỉເ ƚг-пǥ ҺƯ ƚгὺເ ເҺп ............................................................ 24
3.2 Ьiόu diƠп ເҺÝпҺ qu .......................................................................... 28
3.3 ệ uẩ á đặ - à số á iu diễ ấ kả qu . 29
3.4 ứ dụ..................................................................................... 32
Tài liệu am kả0 ............................................................................ 35

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp

z

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Lời ói đầu
Lý uế iu diễ óm ó uồ ố ừ lý uế đặ -
ủa óm ael đ-ợ á iu 0 á óm li ởi auss, Diile à
sau
đó mở ộ sa 0 óm ael ữu ạ ởi F0eius à Sikelee.
Lý uế iu diễ ủa óm ữu ạ đ-ợ á iu à0 uối ế kỷ I
0 á ô ì ủa F0eius, Su à uside.
ói mộ á đơ iả, lý uế iu diễ óm iê ứu á
á mà mộ óm á độ ê kô ia éơ ằ á đẳ ấu
uế í. Lý uế iu diễ óm kô ỉ là mộ ầ quaп ƚгäпǥ
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n

1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc ip
z

0 đại số iệ đại mà ò ó iu ứ dụ qua ọ 0 lý
uế số, ổ ợ à ả ậ lý.

Mụ đí ủa luậ ă là đọ iu à ì à lại mộ số kiế ứ
ơ ả 0 lý uế iu diễ óm ữu ạ à ì à ứ
mi ủa .Zaie ô ứ F0eius.
ố ụ ủa luậ ă ủa ôi ồm a -ơ:
-ơ 1 Mộ số í dụ óm à á độ óm. T0 -ơ

à ôi ắ lại mộ số kái iệm ơ ả -: óm ma ậ, á
độ óm, óm đối ứ. ữ kiế ứ à sẽ đ-ợ sử dụ 0
ầ ò lại ủa luậ ă.
-ơ 2 á kái iệm đại số ơ sở ủa é iu diễ óm. T0

-ơ à ôi ì à á kái iệm à mộ số í dụ đơ iả
đ mi 0ạ 0 á kái iệm ủa é iu diễ óm.
-ơ 3 iu diễ ủa óm ữu ạ à ô ứ F0eius. Đâ

là -ơ í ủa luậ ă. T0 -ơ à ôi ì à
lại mộ số kế quả ơ ả ủa lý uế iu diễ ủa óm ữu ạ ѵµ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3

đặ iệ là ôi dà ì à lại mộ ເҺøпǥ miпҺ ເđa ເ«пǥ ƚҺøເ
Fг0ьeпius ƚҺ«пǥ qua lý ƚҺuɣÕƚ ьiόu diễ óm.
Qua đâ, á iả i đ-ợ à ỏ lò iế ơ sâu ắ i -ời ầ,
-ời - dẫ k0a ọ ủa mì, TS. Tế Kôi, ờ s Һ-ίпǥ

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

dÉп

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4

ỉ ả0 ậ ì à iêm kắ ủa ầ mà luậ ă đà đ-ợ 0à
à mộ á k0a ọ à đ iế độ. i â à ảm ơ á
ầ ô ô á ại iệ T0á, ại á -ờ Đại ọ uộ Đại ọ Tái
uê đà iế iả dạ à qua âm. i ảm ơ a ạm
ồ am, iả iê k0a T0á - Ti -ờ Đại ọ K0a ọ Tái
uê, ảm ơ ạ đồ iệ à ia đì đà độ iê, i đ
á iả 0 suố ời ia ọ ậ à iê ứu.
Tái uê, á 09 ăm 2009
ọ iê

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

TгÇп DaпҺ Tuɣªп

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




-ơ 1
Mộ số í dụ óm à á độ óm
Ta ắ lại mộ số kiế ứ ầ dù 0 luậ ă.

óm ma ậ

L
L un
Lu un Lvu
Lu n Lvu nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

1.1

ເҺ0 ເ lµ ƚг-êпǥ sè ρҺøເ, k̟Ý ҺiƯu Mm,() là ậ ợ ấ ả á ma ậ
ấ m ì ê . Mm,() lậ ê mộ -kô ia é ơ m ì iu,
0 -ờ ợ m = п ƚҺ× ƚa k̟Ý ҺiƯu Mп(ເ) ƚҺaɣ ເҺ0 Mп,п(ເ). Ta á
đị đ-ợ mộ óm uế í:
L(, ) := {A M(), deA = 0}.

Ta á đị óm uế í đặ ьiÖƚ,
SL(п, ເ) := {A ∈ Mп(ເ); deƚA = 1}.

Ta ເὸпǥ á đị óm ia0:
0() := {A M(); AA = E},

à 0 = + q, ì a ເã:
0(ρ, q) := {A ∈ Mп(Г); ƚADρ,qA = Dρ,q},

ƚг0пǥ ®ã D,q là á ma ậ đ-ờ é0 mà aii = 1, i = 1, à á
aii = 1, i = + 1, . à á đị óm uia:
U (п) := {A ∈ Mп(ເ); ƚAA = Eп}
4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

là óm kả ị.
0 = + q ì ເ¸ເ пҺãm

U (ρ, q) := {A ∈ Mп(Г); ƚADρ,qA = D,q}.

Từ óm 0() a á đị đ-ợ óm 0 S0() ເña пҺãm 0(п) пҺsau:
S0(п) := {A ∈ 0(п); deƚA = 1}.
A(п) := {D(a1, ..., aп); a1, ..., aп ∈ ເ∗} là ma ậ đ-ờ é0 i á ầ

ử a1, ..., a ằm ê đ-ờ é0.

1.2 Tá độ óm
L
L un
Lu un Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c inp c g
uy
3zd gh
ờn
oc ip
z

T0 ầ à luô 0 là mộ óm, ầ ử đơ ị là e à là
mộ ậ.
Đị ĩa 1.2.1. đ-ợ ọi là á độ ái ê ếu ồ ại á ạ
ì
(, ) Ã

0ả mà á điu kiệ sau:
i) Ã (J Ã ) = (ǥǥJ) · х
ii) e · х =х
ѵίi mäi ǥ, ǥ J , .
ý: Đặ Au là ậ ợ ấ ả á s0 á ừ à0 ì ừ đị

ĩa a đ-ợ đồ ấu óm
: Au
Ã
ã T0 -ờ ợ á độ ái ê a ọi là ậ ái.
ã Tá độ óm đ-ợ ọi là ắ ầu ếu mọi ặ , J ì ồ ại ǥ ∈ Ǥ

sa0 ເҺ0 хJ = ǥ · х

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

ã i mọi 0 a á đị đ-ợ ƚËρ ເ0п Ǥ · х0 ເña χ:
Ǥ · х0 := { Ã 0; }, Ã
0 đ-ợ ọi là quỹ đạ0(ứa 0).
ã i mọi 0 a á đị đ-ợ óm 0 ủa
0 := { , Ã 0 = 0}

à đ-ợ ọi là óm đẳ - a óm ổ đị ủa 0.
í dụ 1.2.2. ເҺ0 Ǥ = ǤL(п, ເ) ѵµ χ ⊆ ເп, a á đị đ-ợ mộ á độ

ái ê ởi á ạ:
ì

i mọi .

L
L un
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

(A, х) ›→ A Ã

Đị ĩa 1.2.3. Mộ ậ đ-ợ ọi là kô ia uầ ấ ếu ó

mộ óm á độ ắ ầu ê .

Đị ĩa 1.2.4. i mọi ậ, a á đị / a là ậ á quỹ

đạ0 0 à là ậ á đim ấ độ ủa , ĩa là ậ á ầ ử

sa0 ເҺ0 ǥ · х = х ѵίi mäi ǥ .
ý: ếu ó ấu đại số, í dụ ếu là kô ia é ơ

ì 0 -ờ ợ à á ạ:
:
Ã

là uế í i mỗi
.
Đị ĩa 1.2.5. 0 à J là á ậ ái à f : J là mộ á

ạ. á ạ f đ-ợ ọi là đẳ iế a đồ ấu ếu i mäi ǥ ∈ Ǥ ѵµ
х ∈ χ, ƚa ເã :
ǥ · f (х) = f (ǥ · х).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

0 là mộ óm 0 ủa , a đị пǥҺÜa пҺãm ເ0п ເđa Ǥ ƚг0пǥ Һ
lµ
ПǤ(Һ) := {ǥ ∈ Ǥ; ǥҺǥ −1 = Һ}.

Гâ гµпǥ ПǤ(Һ) lµ пҺãm ເ0п uẩ ắ ối đại ủa 0 à óm
Au(/) là đẳ ấu i ()/. Ta á đị đ-ợ óm 0
uẩ ắ () := { ; 1 = , }, đ-ợ ọi là óm âm 0á
ủa 0 .
T0 -ờ ợ đặ iệ = óm âm 0á á đị ởi:

() = { Ǥ; ǥҺ = Һǥ, ∀Һ ∈ Һ} =: ເ(Ǥ).

Һ0µп ƚ0µп -ơ - ậ a ó óm á độ ρҺ¶i ເđa méƚ пҺãm
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ờn
oc ip
z

ê ậ :

Đị ĩa 1.2.6. đ-ợ ọi là á độ ải ê ếu ồ ại á ạ
ì
(, ) Ã

0ả mà á điu kiệ sau:
i) ( Ã ) Ã J = х · (ǥǥJ)
ii) х · e = х, ∀х ∈ χ, ǥ, ǥJ ∈ Ǥ.
ເҺό ý: Ta ເã ƚҺό đ-a óm á độ ải á độ ái à -ợ lại

ờ ả đẳ ấu:

1

D0 đó 0 là ậ ải ì đ-ợ á độ ái 0 ởi:
· х := х · ǥ−1.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

1.3

óm đối ứ

Đị ĩa 1.3.1. óm đối ứ S là óm ủa á 0á ị, ĩa là

óm ạ0 ởi á s0 á ủa ầ ử.
õ à Au là óm s0 á ừ ậ à0 í ậ , ọ :=
{1, 2, ..., } ì S = Au.
ý:
ã Số ầ ử ủa óm S là #S = !
ã Mỗi ầ ử S đu ó iế d-i dạ í ủa á u ị,

ĩa là 0á ị ở đó ỉ ó ai ầ ử u ỗ 0 au.

ã õ à á

ạ

L
L un
Lu un Lvu
Lu n Lvu nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ờn
oc ip
z

ã 0 S, a á đị Һµm dÊu ເđa σ ьëi:
Y σ(i)− σ(j)
.
Siǥп(σ) := ε(σ) :=
i
−
j
1≤i
ε :S {1, 1}
()

là đồ ấu óm. T0 đó {1, 1} là óm 0 ủa óm â =
\ {0}. K e là óm 0 uẩ ắ à đ-ợ ọi là óm luâ iê.
ã Mộ óm 0á ị luô â í đ-ợ à í ủa á í

ĩa là mộ 0á ị (i1, ..., i) i ij ij+1 ѵίi j < г ѵµ iг ›→ i1 пÕu
г > 1 à là
đồ ấ ếu = 1.
ã Mỗi mộ 0á ị ó mộ â í du ấ à mộ í á í

ời au.
Đị ĩa 1.3.2. Mộ â 0ạ ủa là mộ dà (1, ..., ) là á sè
Σ
ƚὺ пҺiªп пi ∈ П ѵίi пi ≥ пj пÕu i < j à i = .
Đị lý 1.3.3 ([4] Đị lý 0.1 ). Số l liê ợ ủa S ằ số () á
â 0ạ ủa .
S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

ѴÝ dơ 1.3.4. ເҺ0 п = 3 ѵ×
3=1+1+1
3=2+1
3=3

L
L uận

Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

пªп п = 3 ó â 0ạ là (1, 1, 1); (2, 1); (3). Su a S3 ó a l liê
ợ là:
1 = {id}
2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}
ເ3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




-ơ 2
á kái iệm đại số ơ sở ủa é ьiόu
diÔп пҺãm

L

L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

2.1 ΡҺÐρ ьiόu diƠп ƚuɣÕп ƚÝпҺ
ເҺ0 Ǥ lµ méƚ пҺãm, là mộ - kô ia é ơ.
Đị ĩa 2.1.1. đ-ợ ọi là é iu diễ uế í ủa 0

ếu là mộ đồ ấu ừ đế Au , ĩa là á ạ
: Au
›→ π(ǥ),

ƚҺ0¶
m·п

π(ǥǥ J ) = π(ǥ)π(ǥ J ), ∀ǥ, ǥ J .

Au đ-ợ kí iệu ởi L( ) là óm ấ ả á đẳ ấu ủa .

T0 -ờ ợ là mộ - kô ia é ơ ữu ạ iu i
dim = ì a ói ó ậ là 0ặ là é iu diƠп п ເҺiὸu .
ເҺ0 Ь = (ѵ1, ..., ѵп) lµ mộ ơ sở ủa ì i mọi F Au đ-ợ iu
diễ 0 ơ sở ởi mộ ma ậ kả ị A ấ ì , A := M(F ),
a ó mộ đẳ ấu ủa á kô ia é ơ à đẳ ấu óm
Au L(, ). D0 đó a ó mộ á iu ká -ơ đ-ơ i đị

ĩa -.

10

S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên




11

Đị ĩa 2.1.2. Mộ é iu diễ uế í iu ủa mộ óm
là mộ é liê kế mỗi ǥ ∈ Ǥ ѵίi méƚ ma ƚгËп π(ǥ) = A(ǥ) ∈ ǤL(п, ເ)

ƚҺ0¶ m·п:
A(ǥǥ J ) = A(ǥ)A(ǥ J ), , J .

ì mọi đồ ấu óm iế ầ ử đơ ị ủa óm à à ầ ử
đơ ị ủa óm kia, ê õ à iế ma ậ E à ầ ử đơ ị
e

ủa óm à õ à a ó (e) = id 0 -ờ ợ ổ quá.
ếu là óm ma ậ L(, ເ) пҺ- ƚг0пǥ ρҺÇп 1.1, ເҺόпǥ ƚa

ເã méƚ ρҺÐρ ьiόu diƠп ƚὺ пҺiªп π0 ເҺ0 ьëi:
π0(A) = A
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c inp c g
uy
3zd gh
ờn
oc ip
z

i mỗi A .

Đị ĩa 2.1.3. 0 là mộ é iu diễ uế í ủa 0 .

đ-ợ ọi là iu diễ ấ kả qu ếu ó kô ó kô ǥiaп ເ0п π− ьÊƚ
ьiÕп Ѵ0 ƚг0пǥ Ѵ .
Méƚ k̟Һ«пǥ ǥiaп ເ0п Ѵ0 ⊂ Ѵ lµ π− ьÊƚ ьiÕп пÕu ƚa ເã
π(ǥ)(ѵ0) ∈ Ѵ0, ∀ǥ ∈ Ǥ, ∀ѵ0 ∈ Ѵ0.

Tг0пǥ ƚг-êпǥ ợ, 0 := |0 là mộ é iu diễ ủa 0 0 ì
0 đ-ợ ọi là é iu diễ 0.

D0 đó a ói ằ là iu diễ ấ kả qu ếu kô ó é iu
diễ 0 s.
ã 0 là kô ia uia ứ, ĩa là đ-ợ a ị mộ í

ô -:
< ., . >: × Ѵ → ເ
(ѵ, ѵ J ) ›→< ѵ, ѵ J >

ƚҺ0¶ m·п 3 ƚÝпҺ ເҺÊƚ:
i) TuɣÕп ƚÝпҺ ƚҺe0 ьiÕп ứ ai à ả uế í e0 iế ứ ấ
.
S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

ii) Là dạ emiia, ĩa là i mọi , J ∈ Ѵ ƚa ເã
< ѵ, ѵ J >= < ѵ, J >

iii) á đị d-ơ , ĩa là: ∈ Ѵ ƚa ເã < ѵ, ѵ > ≥ 0 dÊu ” = ” х¶ɣ
гa ѵίi ѵ = 0.
ເҺ0 Ѵ = ì a -ờ sử dụ í ô -
< , >:=




ii, , .

i=1

Đị ĩa 2.1.4. Mộ ρҺÐρ ьiόu diƠп π ເđa Ǥ ƚг0пǥ Ѵ lµ uпiƚa ếu mỗi
() là uia, ĩa là i mọi , J ∈ Ѵ ѵµ ǥ ∈ Ǥ ƚa ເã:
< π(ǥ)ѵ, π(ǥ)ѵ J > = < ѵ, ѵ J > .
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

2.2 Ьiόu diễ -ơ đ-ơ

0 ai é iu diễ à J ủa 0 kô ia é ơ
-ơ ứ i J , a ầ ìm mộ á ạ đẳ ấu i
F : J

Đị ĩa 2.2.1. Mộ á ạ uế í F : J đ-ợ ọi là mộ
0á ử ệ iữa à J пÕu ѵίi mäi ǥ ∈ Ǥ, ƚa ເã

F π(ǥ) = J ()F,

ĩa là iu đồ sau là ia0 0á
F

J
()

()
J

V F V J
à J đ-ợ ọi là -ơ đ-ơ ếu ó mộ đẳ ấu F : Ѵ → Ѵ J ьƯп π ѵµ
π J ƚг0пǥ -ờ ợ đó iế là J .

S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13

ậ é: Kô ia ủa ữ 0á ử ệ iữa à J là mộ

kô ia é ơ ê -ờ . ó đ-ợ đị ĩa ởi 0m (,
J

) 0ặ (, J ). ơ ữa a ƚҺ-êпǥ sư dơпǥ k̟ Ý ҺiƯu ເ (Ѵ ) :=

ເ (Ѵ, Ѵ ) ѵµ

ເ(π, π J ) = ເ(Ѵ, Ѵ J ) = dim ເ (Ѵ, Ѵ J )

ѵµ ເ(π, J ) đ-ợ ọi là ội ủa ƚг0пǥ π J ѵµ k̟ Ý ҺiƯu ьëi mulƚ(π, π J ).
ΡҺÐρ ьiόu diƠп π ѵµ π J ѵίi ເ(π, π J ) = ເ(π J , π) = 0 đ-ợ ọi là ời au.
Ta ầ á đị á l -ơ đ-ơ ủa á é iu diễ ấ kả qu ьÊƚ
ьiÕп ເđa Ǥ.

ເ¸ເ ѵÝ dơ
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

2.3

ѴÝ dơ 2.3.1. ເҺ0 Ǥ lµ пҺãm á ma ậ ì ó é iu diễ

iê 0, ĩa là i mỗi óm ma ậ (ứ) Ǥ ⊂ ǤL(п, ເ) ເã ьiόu
diÔп ƚг0пǥ Ѵ = ເп liê kế i mọi A . õ à é iu diễ

iê là uia i = S0() 0ặ SU () - 0 -ờ ợ ổ
quá ì ó 0ặ kô là uia 0ặ kô là ấ kả qu, điu ®ã ®-ỵເ
suɣ гa ƚõ ѵÝ dơ sau:
ѴÝ dơ 2.3.2. ເҺ0 = S3, é á ầ ử ủa S3 là: id = (1), х := (1, 2),
ɣ := (1, 2, 3) гâ гµпǥ.ƚa ເã: Σ .
Σ .
Σ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
х =
=
= id
(2.1)
213
213
123
.
Σ.
Σ .
Σ
.
Σ
1
2
3
1
2
3

1
2
3
ɣ2 =
=
= 1 3 2
(2.2)
231
231
312
.
Σ.
Σ .
Σ
.
Σ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
хɣ =
=
= 2 3
(2.3)
213
231
132
.
Σ.
Σ .
Σ

.
Σ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
ɣх =
=
= 1 3
(2.4)
231
213
321

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

.

Σ.
Σ.
Σ .
Σ
.
Σ
1 2 3
1 2 3

1 2 3
1 2 3
хɣх =
=
= 1 2 3
213
231
213
231
.
Σ.
Σ.
Σ .
Σ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3
=
=
= id.
321
321
321
123

(2.5)
(2.6)

D0 đó mỗi ầ ử S3 đu ó iu diễ à í ủa á luỹ
ừa ủa à . Từ đó su a S3 =< х, ɣ > lµ пҺãm ເ0п siпҺ ьëi à .
D0 đó a dễ dà ìm đ-ợ é iu diễ 0 = , đó là é iu
diễ ầm -ờ
1() = 1, S3
à é iu diễ dÊu
π2(ǥ) = siǥп ǥ ∈ {±1}, ∀ǥ ∈ S3.

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

Ta ເὸпǥ ƚ×m đ-ợ é iu diễ 3 iu 0 ê = 3 ởi ma ậ
0á ị sau
0 0 1
(y) = A(y)
0 =1 0

1 0 0

(2.7)0

é iu diễ đó ọi là é iu diễ 0á ị. Ta ó
= =
3

3


ei

i=1

i
= e1z1 + e2z2 + e2z2 ∈ Ѵ

ƚг0пǥ ®ã e1 = ƚ(1, 0, 0), e2 = ƚ(0, 1, 0), e3 = ƚ(0, 0, 1) à z1, z2, z3 ì
0 đ-ợ 0 ởi
0() =




e(i)zi =

eiz1(i).

i

- đà iế 0 là é iu diễ uia, - kô ấ kả qu:
Đặ 1 := (e1 + e2 + e3) là kô ia 0 ấ iế ເña Ѵ . TҺËƚ
ѵËɣ:
π0(ǥ)(e1 + e2 + e3) = eǥ(1) + eǥ(2) + eǥ(3) = e1 + e2 + e3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

d0 đó 0 |1 = 1 là é iu diễ ầm -ờ 0 1. 0
=



ziei

i

ì
< e1 + e2 + e3, >=

Ta dễ dà ứ mi đ-ợ 3 = {,

zi

i

i

zi = 0} là kô ia 0

ủa à là ầ ù ủa 1 0 , mặ ká a ó




zi =

i

i

zǥ−1(i)

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths

3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

ѵίi mọi S3 ê 3 là kô ia 0 ấ iế.
Đặ a := e1 + e2 + e32 à ь := e1 + e2ξ + e3ξ2 ѵίi ξ = e2i/3, a dễ dà
ứ mi đ-ợ a, là ơ sở ủa 3 . Đặ 2 := 0 |3 a ỉ a ằ
2 là ấ kả qu.
ậ é: Tấ ả á é iu diễ 0 S3 là -ơ đ-ơ i 1, 2

0ặ 0.

í dụ 2.3.3. 0 là ậ i á độ ái à à = F()

là kô ia é ơ ủa á àm ứ f : 0ả mà i f ì
f 0 đó f á đị ởi:
f () = f ( 1 ).

ậ é: àm (()f )() := f (1) á đị mộ é iu diƠп λ

ເđa Ǥ ƚг0пǥ Ѵ .
ເҺøпǥ miпҺ. TҺËƚ ѵËɣ, (ǥǥ J ) · х = ǥ · ǥ J · х ѵµ suɣ гa
λ(ǥǥ J )f (х) = f ((ǥǥ J )−1 · х) = f (ǥ J −1 ǥ −1 · х) = f (ǥ J −1 · ǥ −1 · х)

ѵµ
λ(ǥ)λ(ǥ J )f (х) = λ(ǥ)fǥ (х) = fǥ (ǥ −1 · х) = f (ǥ J −1 · ǥ −1 · х).

J

J

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

Suɣ
гa

λ(ǥ.ǥ J )f (х) = λ(ǥ)λ(ǥ J )f (х).

Һ0µп ƚ0µп -ơ a ó â d mộ é iu diễ ủa
0 ô qua á độ ải i = F()kô ia á àm
ứ à i f = f ( Ã ) ki đó àm (()f )() := f ( Ã ) á đị mộ
é iu diƠп ρ ເđa Ǥ ƚг0пǥ Ѵ . TҺËƚ ѵËɣ
х · (ǥǥ J ) = х · ǥ · ǥ J

d0 ®ã suɣ
ρ(ǥǥ J )f (х) = f (х · (ǥǥ J )) = f (х · ǥ · ǥ J )

Suɣ гa

J

ρ(ǥ)ρ(ǥ J )f (х) = ρ(ǥ)f ǥ (х) = f (х · ǥ · ǥ J ).

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

гa ѵµ

ρ(ǥǥ J )f () = ()( J )f ().

2.4 Tổ à í eơ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп - ΡҺÐρ ьiόu diƠп
ƚҺ-¬пǥ
2.4.1 Tỉпǥ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп

ເҺ0 (π, Ѵ ) ѵµ (π J , J ) là á é iu diễ (uế í) ເđa пҺãm Ǥ ƚҺ×
ƚỉпǥ ƚгὺເ ƚiÕρ π ⊕ π J ủa à J đ-ợ 0 ởi:
( J )(ǥ)(ѵ ⊕ ѵ J ) := π(ǥ)ѵ ⊕ π J (ǥ)ѵ J , ∀ѵ ⊕ ѵ J ∈ Ѵ ⊕ Ѵ J .

ເҺ0 Ѵ = ເп , Ѵ J = ເm ѵµ π(ǥ) = A(ǥ) ∈ ǤL(п, ເ) , π J (ǥ) = AJ (ǥ) ∈
ǤL(m, ເ) ƚҺ× ƚa ເã:

.

(π ⊕ π J )(ǥ) =

A(ǥ)
0

0
AJ (g)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Σ

∈ ǤL(п + m, ເ).



(2.8)


17

2.4.2 TÝເҺ ƚeпх¬ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп

ເҺ0 (π, Ѵ ) à ( J , J ) là á é ьiόu diƠп ເđa пҺãm Ǥ ѵµ Ѵ ⊗ Ѵ J í
eơ ủa à J ì í eơ J ủa à J đ-ợ 0 ьëi:
(π ⊗ π J )(ǥ)(ѵ ⊗ ѵ J ) := π(ǥ)ѵ ⊗ π J (ǥ)ѵ J , ∀ѵ ⊗ ѵ J ∈ Ѵ ⊗ Ѵ J .

ເҺ0 Ѵ = ເп , Ѵ J = ເm ѵµ π(ǥ) = A(ǥ) ∈ ǤL(п, ເ), π J (ǥ) = AJ (ǥ) ∈

ǤL(m, ເ) ì í eơ 0 ởi í K0eke ủa ma ậ A(ǥ) ѵµ AJ (ǥ):
.

J

Σ
a1,1 AJ (ǥ) · · · a1,п AJ (ǥ)
(π ⊗ π )(g) =
aп,1 AJ (ǥ) · · Ã a, AJ ()



(2.9)

GL(nm,
ý: ếu
C).ó mộ ơ sở là (ei )iI à J ó mộ ơ sở là (fj )j J ì
J ó ơ sở là (ei fj )(i,j)IìJ .

ằ qu ạ a ó đị ĩa đ-ợ í eơ ủa iu ơ ai
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g

uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

пҺ©п ƚư à í eơ luô ó ai í ấ ia0 0á à kế ợ.
í dụ 2.4.1. 0 là mộ kô ia é ơ a iu i ơ sở là (e1, e2, e3)

ì a ó:

ã 2 ó số iu là 9 i mộ ơ sở là
(e1 e1, e1 e2, e1 ⊗ e3, e2 ⊗ e1, ..., e3 ⊗ e3)
• S2 ó số iu là 6 i mộ ơ sở lµ
(e1 ⊗ e1, e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1, e1 ⊗ e3, e2 ⊗ e2, e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2, e3 ⊗ e3)
• ∧2Ѵ ເã sè ເҺiὸu là 3 i mộ ơ sở là
e1 e2 := e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1
e1 ∧ e3 := e1 ⊗ e3 − e3 ⊗ e1
e2 ∧ e3 := e2 ⊗ e3 − e3 ⊗ e2

Tг0пǥ ƚг-êпǥ Һỵρ ƚỉпǥ quá a ó ơ sở ủa S à 0 2
-ơ ứ là

ei1.....ei :=
ei(1) .... ei(), i1 · · · ≤ iρ.
ǥ∈Sρ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18

ei1 ∧ ... ∧ eiρ :=

Σ

siǥп ǥ eiǥ(1) ⊗ .... ⊗ eiǥ(ρ), i1 < ... < iρ.

ǥ∈Sρ

ເҺό ý:
• ПÕu Ѵ là kô ia 3 iu ì S ó đồ ấ i kô ia

0 [u, , w] á đa ứ uầ ấ ậ ủa á kô ia 3 iế.
ếu là é iu diễ ủa 0 ì á ạ ei ()ei ảm si
mộ é iu diễ uế í S à 0 S -ơ ứ .
• Méƚ ƚÝпҺ ເҺÊƚ quaп ƚг0пǥ ເđa ເÊu ƚгόເ ເđa é iu diễ i iu

ữu ạ i é iu diễ iu iê 0 à i é iu diễ ấ
kả qu ởi í Teơ à qu á ổ ủa á à ầ ấ kả

2.4.3

L
L un
Lu un Lvu
Lu n Lvu nn đ
ận Lvuă nn vạăi

Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

quɣ.

ΡҺÐρ ьiόu diƠп ®èi пǥÉu

ເҺ0 Ѵ ∗ là kô ia đối ẫu ủa -kô ia é ơ Ѵ ƚҺ×:
Ѵ ∗ = Һ0m(Ѵ, ເ) = {ϕ : Ѵ → ເ, ϕ lµ ເ - ƚuɣÕп ƚÝпҺ}.

ПÕu dim Ѵ ∗ < ∞ ƚҺ× dim Ѵ ∗ = dimѴ . §Ỉƚ ϕ(ѵ) =:< ϕ, ѵ > ѵίi mäi ϕ
∈ Ѵ ∗ ѵµ ѵ ∈ Ѵ. ПÕu dim Ѵ = п i mộ ơ sở là (e1, ..., e) ì d0 dim =
ê ồ ại mộ ơ sở (e1 , ..., e ) ủa đ-ợ á ®ÞпҺ пҺ- sau:
< e∗i , ej >= δij (= 1 , i = j ѵµ = 0 , i ƒ= j)

ki đó a ọi (e1 , ..., e ) là ơ sở đối ẫu ủa .
Đị ĩa 2.4.2. ເҺ0 π lµ méƚ ρҺÐρ ьiόu diƠп ເđa Ǥ ƚг0пǥ ì é
iu diễ đối ẫu 0 đ-ợ á đị ởi:
( ())() := (( 1 )), ∀ϕ ∈ Ѵ ∗ , ѵ ∈ Ѵ.

2.4.4

ΡҺÐρ ьiόu diÔп -ơ

0 (1, 1) là é iu diễ 0 ủa é ьiόu diƠп (π, Ѵ )ເđa Ǥ . K̟Һi
®ã ρҺÐρ ьiόu diễ -ơ 0 /1 kí iệu là . đ-ợ á đị - sau:
() = () + 1, Ǥ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

ПҺËп хÐƚ: Ta dÔ ƚҺÊɣ:
π(ǥ) = 0 + Ѵ1 ⇔ π(ǥ) = π1(ǥ)

ѵµ
π(ǥ) ƒ= 0 + Ѵ1 ⇔ π(ǥ) ƒ= π1(ǥ)

Méƚ ƚÝпҺ ເҺÊƚ ເҺÝпҺ ເđa ρҺÐρ ьiόu diƠп lµ ເҺόпǥ a ó â í đ-ợ
à á é iu diễ ấ kả qu. ầ iế e0 a sẽ
ii iệu â í ấ kả qu đ-ợ ủa mộ é iu diễ.

2.5 â í ấ kả qu ủa mộ é iu diễ
ắ lại ằ mộ é iu diễ (, ) là ấ kả qu ếu ó kô
L
L un
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ

ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

ເã ρҺÐρ ьiόu diễ 0 s à0.

Đị ĩa 2.5.1. 0 (, ) là mộ é iu diễ, (, ) đ-ợ ọi là â
í đ-ợ ếu ồ ại mộ kô ia ເ0п ьÊƚ ьiÕп Ѵ1 ⊂ Ѵ ѵίi ρҺÇп ьï

ьÊƚ ьiÕп 2, ĩa là = 1 2. Tì ki ®ã ƚa ເã π = π1 + π2 ƚг0пǥ ®ã
π1 lµ ρҺÐρ ьiόu diƠп Ǥ ƚг0пǥ Ѵ1 ѵµ π2 lµ é iu diễ 0 2.
Đị ĩa 2.5.2. 0 (, Ѵ ) lµ méƚ ρҺÐρ ьiόu diƠп, (π, Ѵ ) đ-ợ ọi là kả
qu đầ đủ ếu mọi é iu diễ 0 kô ầm -ờ ủa (, ) đu

ó ầ ù ấ iế.
Đị lý 2.5.3 ([4], Đị lý 1.1). ເҺ0 (π, Ѵ ) lµ méƚ ρҺÐρ ьiόu diƠп ເđa
пҺãm ữu ạ à (1, 1) là mộ é iu diễ 0. Ki đó ồ ại
ầ ù ấ iế 2.
ứ mi. 0 <, >J là mộ í ô - 0 ì luô ồ ại í

ấ kô ia . Ta á đị mộ í ô - ấ ьiÕп lµ:
< ѵ, ѵ J >:=

Σ

< π(ǥ)ѵ, π(ǥ)ѵ J > , J .



Đặ 2 := { Ѵ,< ѵ, ѵ1 >= 0, ∀ѵ1 ∈ Ѵ1}. Гâ гµпǥ 2 là kô ia 0
ù ủa 1 à 2 là π ьÊƚ ьiÕп:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20

ເҺ0 ѵ ∈ Ѵ2, ǥ ∈ Ǥ, ƚa ເã:
< π(ǥ)ѵ, ѵ1 >=< π(ǥ−1)π(ǥ)ѵ, π(ǥ−1)ѵ1 >=< ѵ, π(ǥ−1)ѵ1 >= 0

пÕu ѵ1 ∈ Ѵ1 ƚҺ× suɣ гa π(ǥ−1)ѵ ∈ Ѵ2 . Suɣ гa Ѵ2 lµ π(ǥ−1)−ьÊƚ ьiÕп.
ເҺό ý: ເҺ0 Ǥ lµ пҺãm ƚuύ ý ѵµ (π, Ѵ ) lµ ρҺÐρ ьiόu diƠп uпiƚa ເđa Ǥ ƚҺ×

ѵίi mäi ρҺÐρ ьiόu diƠп ເ0п (π1, 1) ó ầ ù ấ iế (2, 2) ì iố
- ເҺøпǥ miпҺ ƚгªп suɣ гa:
Ѵ2 := Ѵ1⊥ = {ѵ ∈ Ѵ,< ѵ, ѵ1 >= 0 ∀ѵ1 ∈ Ѵ1}.

ѴÝ dô 2.5.4. 0 = là óm ộ á số ѵµ π lµ ρҺÐρ ьiόu diƠп

Һai ເҺiὸu ƚг0пǥ Ѵ = ເ2 ເҺ0 ьëi

.

Σ
=: A(ь).

(2.10)

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ờn
oc ip
z

s

1
01

Đặ 1 := e1 ì ó là mộ kô ia 0 ấ iế. Ki đó
A()e1 = e1, .

Đặ

.

2 := =

y

ì ó là ầ ù ấ iế ủa 1. Su a
.

A() =

+



y

=

(2.11)
.

y

.

(2.12)

i à0 đó , пǥҺÜa lµ х + ьɣ = λх ѵµ ɣ = λɣ d0 ɣ ƒ= 0 suɣ гa λ = 1.suɣ a

= 0 i mọi điu à là mâu ƚҺп.
ПҺËп хÐƚ: Mäi ρҺÐρ ьiόu diƠп (π, Ѵ ) Һ0Ỉເ kô â í đ-ợ

0ặ â í đ-ợ à ổ ủa Һai ρҺÐρ ьiόu diÔп π = π1 + π2. ເø
ƚiÕρ ụ quá ì à 0 1 à 2, - 0 -ờ ợ ổ quá
quá ì à ó kô dừ.
Đị пǥҺÜa 2.5.5. ເҺ0 (π, Ѵ ) lµ ρҺÐρ ьiόu diƠп, đ-ợ ọi là ữu ạ

ếu mọi dà kô ia 0 ấ iế i lồ au ủa đu ữu
ạ.
S hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




21

ý: T0 -ờ ợ à ồ ại mộ dà k̟Һ«пǥ ǥiaп ເ0п ьÊƚ

ьiÕп låпǥ пҺau
Ѵ = Ѵ0 ⊃ Ѵ1 ⊃ .... ⊃ Ѵп = {0}

ƚҺ0¶ m·п ρҺÐρ ьiόu diƠп i ê i/i+1 là ấ kả qu. Te0 đị lý
J0da- 0lde độ dài ủa á dà kô ia 0 ấ iế lồ au

ối đại, á
đị du ấ à đ-ợ ọi là -ơ đ-ơ l ủa .
Đị lý 2.5.6 (( ổ đ Su ), [4], Đị lý 1.2). . ếu ai ρҺÐρ
ьiόu diƠп ƚuɣÕп ƚÝпҺ (π, Ѵ ) ѵµ (π J , J ) là ấ kả qu, ì i mäi ƚ0¸п
ƚư ьƯп F ∈ ເ (π, π J ) 0ặ ằ 0 0ặ kả ị. ếu = J , π =

π J ѵµ dim Ѵ = п ì F là mộ đồ dạ ĩa là F = λid ѵίi mäi λ ∈ ເ .
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

ເҺøпǥ miпҺ. i) Ta ເã F : Ѵ → Ѵ J ѵίi

π J (ǥ)F (ѵ) = F (π(ǥ)ѵ), ∀ǥ ∈ Ǥ, ѵ ∈ Ѵ (∗)

ƚҺ
×

K̟eгF = { , F () = 0}

là kô ia ເ0п π−ьÊƚ ьiÕп ເđa Ѵ ьëi ѵ× ѵίi ѵ ∈ K̟ eгF ⇒ F (ѵ) = 0ƚõ
(∗) suɣ гa
F (π(ǥ)ѵ) = π J (ǥ)F (ѵ) = 0

пǥҺÜa lµ π(ǥ)ѵ ∈ KeF .
0à 0à -ơ ImF = {F (), là mộ kô ia 0 ấ iế
ủa J . D0 ƚÝпҺ ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ ເđa π suɣ гa K̟ eгF = {0} Һ0Ỉເ K̟ eгF = Ѵ à
d0 í ấ kả qu ủa J a ó ImF = {0} Һ0Ỉເ ImF = Ѵ J . Suɣ a F là
á ạ kô 0ặ là đẳ ấu.
ii) ếu = J ì đẳ ấu F : ó mộ iá ị iê là ∈ ເ ,
suɣ гa F J := F − λE là á ạ uế í i k eF J = {0}. Tõ i) suɣ гa
F J = 0, пǥҺÜa lµ F = E .

ý :Từ đị lý ê su гa Һai ρҺÐρ ьiόu diƠп ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ ເđa

ເïпǥ méƚ óm 0ặ -ơ đ-ơ 0ặ dời au.

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên