Luận văn: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ docx

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************





VŨ THỊ THANH HẬU




MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************


VŨ THỊ THANH HẬU



MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.40


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH. Hà Huy Khoái




Thái Nguyên, năm 2009


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
70
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n
X[1], X[2], , X[n] m j j
m = X[j] = max
1≤k≤n
X[k]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X[n]
m = X[n] j = n X[n] X[n − 1]
n −1 = 0 n = 1 X[n −1] ≤ X[n]
X[n] X[n − 2]
X[n − 1] X[n] X[n − 1]
m = X[n −1] j = n −1
j
j ←− n, k ←− n − 1, m ←− X[n]
k = 0
X[k] ≤ m
m j ←− k, m ←− X[k] m

k k ←− k −1
←−
X[1], X[2], , X[n]
m j
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1 0
2
1 0 1 n
k 1 0 k
n k k = [log
2
n]
0 1
f(n) g(n)
f(n) g(n) f(n) = O(g(n))
f = O(g) C > 0 n f(n)
g(n) f(n) < C.g(n)
f(n) = a
i
n
i
+ a
i−1
n
i−1
+ . . . + a
1
n + a
0

a
i
> 0
f(n) = O(n
i
)
f
1
(n) = O(g(n)), f
2
(n) = O(g(n)) f
1
(n) + f
2
(n) = O(g(n))
f
1
(n) = O(g
1
(n)), f
2
(n) = O(g
1
(n)) (f
1
f
2
)(n) = O(g
1
g

1
(n))
lim
n→∞
f(n)
g(n)
O(log
d
n) n d
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
k
O(k
d
) k
O(n
α
), α > 0
n
(
√
lognloglogn)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n
10
10
10
12
10
15
10

23
10
9
10
29
10
15
10
39
10
25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n n n = a.b
1 < a b < n n a b
n
n = p
1
p
2
. . . p
s
= q
1
q
2
. . . q
r
p
1
, p

2
, . . . , p
s
q
1
, q
2
, . . . , q
r
p
i
1
p
i
2
. . . p
i
u
= q
j
1
q
j
2
. . . q
j
v
q
j
1

q
j
1
q
j
1
b = 0 a
r ←− a mod b a ←− b b ←− r
u, v (u
1
, u
2
, u
3
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(u, v) = u
3
= uu
1
+ vu
2
(v
1
, v
2
, v
3
) (t
1

, t
2
, t
3
)
ut
1
+ vt
2
= t
3
uv
1
+ vv
2
= v
3
uu
1
+ vu
2
= u
3
(u
1
, u
2
, u
3
) ←− (1, 0, u) (v

1
, v
2
, v
3
) ←− (0, 1, v)
v
3
= 0 v
3
= 0
q ←− [
u
3
v
3
]
(t
1
, t
2
, t
3
) ←− (u
1
, u
2
, u
3
) − q(v

1
, v
2
, v
3
)
(u
1
, u
2
, u
3
) ←− (v
1
, v
2
, v
3
) (v
1
, v
2
, v
3
) ←− (t
1
, t
2
, t
3

)
∈ N n
n ϕ(n)
ϕ(4) ϕ(5) ϕ(6) ϕ(7) ϕ(8)
m, n
ϕ(m, n) = ϕ(m) ϕ(n)
m, n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
r m
(m, r) = d > 1 r
m.n km + r
1 ≤ k ≤ n − 1, d|(km + r) d|m, d|r.
m.n
r (m, r ) = 1
r, m + r, , (n −1)m + r (r, m) = 1
n
n modulo m
m
m.n ϕ(m, n) = ϕ(m) ϕ(n)
m a b
modulo m m a − b
a modulo m
a ≡ b (mod m)
a ≡ b (mod m) k,
a = b + km
a ≡ a (mod m)
a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m)

a ≡ b (mod m)
b ≡ c (mod m)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a ≡ c (mod m)
a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m)
a ± c ≡ b ± d (mod m), a.c ≡ b.d (mod m)
ax ≡ b (mod m)
gcd(a, m) = 1 x ≡ a
−1
b (mod m)
gcd(a, m) = g
g b
(a/g)x ≡ (b/g) (mod m/g) (a/g, m/g) = 1
g b
p a a
p
≡ a (mod p)
p a a
p−1
≡ 1 (mod p)
6
5
≡ 6 (mod 5) 6
5−1
≡ 1 (mod 5) 10
5−1
≡ 0 (mod 5)
gcd(a, m) = 1 a
ϕ(m)
≡ 1 (mod m)
{r
1

, r
2
, . . . , r
ϕ(m)
}
modulo m {ar
1
, ar
2
, . . . , ar
ϕ(m)
}

(a, m) = 1
(r
i
, m) = 1, i = 1, . . . , ϕ(m)
.
⇒ (r
1
r
2
. . . r
ϕ(m)
, m) = 1
r
i
≡ r
j
(mod m) (i = j) → ar

i
≡ ar
j
(mod m)
{r
1
, . . . , r
ϕ(m)
}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ar
1
.ar
2
. . . ar
ϕ(m)
≡ r
1
.r
2
. . . r
ϕ(m)
(mod m)
a
ϕ(m)
.r
1
.r
2
. . . r

ϕ(m)
≡ r
1
.r
2
. . . r
ϕ(m)
(mod m)
(r
i
, m) = 1 r
1
.r
2
. . . r
ϕ(m)
a
ϕ(m)
≡ 1 (mod m)
ϕ(m) = m − 1
gcd(c, m) = 1 a ≡ b (mod ϕ(m)) a, b
c
a
≡ c
b
(mod m)
e, d e.d ≡ 1 (mod ϕ(m))
c m (c
e
)

d
≡ c (mod m)
709
23
mod 3137
2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
4
709
1
(mod 3137) = 709
709
2
(mod 3137) = 761
709
4
(mod 3137) = 761
2
(mod 3137) = 1913
709
8
(mod 3137) = 1913
2
(mod 3137) = 1827
709

16
(mod 3137) = 1827
2
(mod 3137) = 161
2
4
, 2
2
, 2
1
, 2
0
modulo 3137
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
709
23
(mod 3137) = 709.761.1913.161. (mod 3137) = 907
p a ≤ p
(mod p) x x
2
≡ a (mod p)
p = 11 a = 4
3
2
≡ 9 (mod 11) 8
2
≡ 9 (mod 11)
p > 2 a
L(a, p) := [
a

p
] = a
p−1
2
(mod p)
L(a, p) := [
a
p
] =





0 p
1 p
−1
p
a p
n = p
1
.p
2
. . . p
k
p
i
, i = 1, k
n
J(a, n) = L(a, p

1
)L(a, p
2
) . . . L(a, p
k
)
n J(a, n) = L(a, n)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a b b > 0
a = ba
0
+ r
0
, (0 ≤ r
0
< b)
b = r
0
a
1
+ r
1
, (0 ≤ r
1
< r
0
)
. . . . . . . . .
r
n−3

= r
n−2
a
n−1
+ r
n−1
, (0 ≤ r
n−1
< r
n−2
)
r
n−2
= r
n−1
a
n
a
b
a
b
= a
0
+
r
0
b
= a
0
+

1
b
r
0
= . . . = a
0
+
1
a
1
+
1
. . . + a
n−1
+
1
a
n
a
b
a
b
= [a
0
; a
1
, . . . , a
n
]
[a

0
; a
1
, . . . , a
n
]
x a
0
= [x]
x
0
= x − a
0
a
1
= [
1
x
0
], x
1
=
1
x
0
− a
1
i = 1, 2, . . . a
i
= [

1
x
i−1
], x
i
=
1
x
i−1
− a
i
x
i
= 0 x
x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x = a
0
+
1
a
1
+
1
. . . +
1
a
n
+ . . .
x = a

0
+
1
a
1
+
+
1
a
2
+
+ . . . +
1
a
n
+
+ . . .
a
i
a
i
x = [a
0
; a
1
, . . . , a
n
] = a
0
+

1
a
1
+
+
1
a
2
+
+ . . . +
1
a
n
x = [a
0
; a
1
, . . . , a
n
, . . .]
k x :
C
k
= [a
0
; a
1
, . . . , a
k
]

a
0
, a
1
, . . . , a
n
, . . . a
1
, . . . , a
n
> 0
b
0
= a
0
, b
1
= a
1
b
0
+ 1, q
0
= 1, q
1
= a k ≥ 2,
b
k
= a
k

b
k−1
+ b
k−2
, q
k
= a
k
q
k−1
+ q
k−2
(i) C
k
= [a
0
; a
1
, . . . , a
k
] =
b
k
q
k
(ii) k ≥ 1 b
k
q
k+1
− b

k+1
q
k
= (−1)
k+1
b
k
q
k
√
n α
0
=
√
n α
k
, Q
k
, P
k
α
k
=
P
k
+
√
n
Q
k

a
k
= [α
k
]
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P
k+1
= a
k
Q
k
− P
k
, Q
k+1
=
n − P
2
k+1
Q
k
b
2
k
− nq
2
k
= (−1)
k+1

Q
k+1
P
k
, Q
k
, ∈ Z
∗
, ∀k
x =
√
n
α
i
=
1
x
i−1
, i ≥ 1
i = 1
1
x
0
=
1
x − a
0
=
1
√

n − a
0
=
a
0
+
√
n
(n − a
2
0
)
=
P
1
+
√
n
Q
1
= α
1
i ≥ 1
1
x
i
=
1
1
x

i−1
− a
i
=
1
α
i
− a
i
.
=
1
P
i
+
√
n
Q
i
− a
i
=
1
√
n − (a
i
Q
i
− P
i

)
Q
i
=
1
(
√
n − P
i+1
)
Q
i
=
P
i+1
+
√
n
(n − P
2
i+1
)
Q
i
=
P
i+1
+
√
n

Q
i+1
= α
i+1
i + 1
√
n = [a
0
; a
1
, . . . , α
k+1
]
√
n =
α
k+1
b
k
+ b
k−1
α
k+1
q
k
+ q
k−1
α
k+1
=

P
k+1
+
√
n
Q
k+1
√
n =
(P
k+1
+
√
n)b
k
+ Q
k+1
b
k−1
(P
k+1
+
√
n)q
k
+ Q
k+1
q
k−1
nq

k
+ (P
k+1
q
k
+ Q
k+1
q
k−1
)
√
n = (P
k+1
b
k
+ Q
k+1
b
k−1
) + b
k
√
n
nq
k
= P
k+1
b
k
+ Q

k+1
b
k−1
,
b
k
= P
k+1
q
k
+ Q
k+1
q
k−1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
q
k
b
k
b
2
k
− nq
2
k
= (−1)
k+1
Q
k+1
b

k
q
k
√
n b
2
k
(mod n)
2
√
n
P
k
<
√
n, Q
k
> 0, ∀k ∈ N
P
0
= 0 <
√
n, Q
0
= 1 > 0; P
1
= a
0
<
√

n, Q
1
= n − a
2
0
> 0
P
k
<
√
n, Q
k
> 0 k ≥ 1
Q
k
=
n − P
2
k+1
Q
k+1
=
√
n + P
k+1
Q
k+1
(
√
n − P

k+1
) = α
k+1
(
√
n − P
k+1
)
α
k
> 1, ∀k ∈ N Q
k
> 0
P
k+1
<
√
n Q
k+1
−
n − P
2
k+1
Q
k
> 0
P
k
<
√

n, Q
k
> 0, ∀k ∈ N
α
k
=
√
n + P
k
Q
k
Q
k
< α
k
.Q
k
=
√
n + P
k
<
√
n +
√
n = 2
√
n, ∀k ∈ N
b
2

k
≡ b
2
k
− nq
2
k
(mod n) |b
2
k
− nq
2
k
| = Q
k+1
< 2
√
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P
C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
modulo
C ≡ P + 3 (mo d 29)
8 15 13 12 16 11 5 11 1 17 5 1 5 24 11 3 29 5 18 1
11 18 16 15 19 14 8 14 4 20 8 4 8 27 14 6 3 8 21 4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
k
C ≡ P + k (mod 29)
C ≡ aP + b (mod 29)

a, b (1; 29) (a, 29) = 1
P ≡ a
−1
(C − b) (mod 29) C, a, b
[
[
[
[
[
[
[
[
[
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên