Luận văn một số ứng dụng của các phép đo yếu và giá trị yếu

B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘ I 2

P H Ạ M T H Ị H IỀ N

M Ộ T SỐ Ứ N G D Ụ N G C Ủ A C Á C P H É P Đ O Y E U
VÀ G IÁ T R Ị Y Ế U

Chuyên ngành:

V ật lý lý th u y ế t và V ật lý to á n

Mã số:

60 44 01 03

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ K H O A H Ọ C VẬT C H A T

Người hướng dẫn khoa học
T S . Trần T h á i H oa

H À N Ộ I, 06 - 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo T.s Trần Thái Hoa,
thầy đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn em trong suốt thời gian em thực hiện đề
tài này.
Qua đây, cho phép em được bày tỏ sự biết ơn chân thành đến những thầy cô giáo
đã giảng dạy em trong suốt những năm học tập tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

2,các thầy cô Phòng Sau đại học, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Vật lí đã giảng
dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập để em hoàn thành tốt
đề tài này.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn
bè đã luôn giúp đỡ động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội, ngày

tháng 08 năm 2015
Tác giả

Phạm Thị Hiền


LỜI CAM ĐOAN

Luận văn tố t nghiệp “ M ộ t số ứng d ụ n g của các ph ép đo yếu và giá trị
y ế u ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo T.s
Trần T h ái H oa.
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác.Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp
đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày

tháng 08 năm 2015
Tác giả

Phạm Thị Hiền


M Ụ C LỤ C

Lời cảm ơ n ...................................................................................................................................
Lời cam đ o a n .............................................................................................................................
M ở đ ầ u ...........................................................................................................................................1
C hương 1. T ổng quan về p h ép đo y ếu , giá tr ị y ế u .......................................................... 3
1.1. Phép đo yếu ..........................................................................................................................3
1.2. Giá trị yếu ........................................................................................................................... 14
1.3. Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu ....................................................................... 16
C hương 2. M ột vài hướng n gh iên cứu m ới tron g vật lí lượng t ử .........................10
2.1. Hướng của dòng thời gian

........................................................................................... 10

2.2. Dãy phép đ o ......................................................................................................................... 12
2.3. Phép đo Von Neumann ................................................................................................... 14
2.4. Một số tính chất của hệ lượng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo ... 20
C hương 3. M ột vài ứng d ụ n g ................................................................................................. 24
3.1. Giải thích nghịch l í ............................................................................................................ 24
3.2. Phép đo thành phần của hạt cós p i n ............................................................................. 36
2
3.3. ứng dụng của phép đo yếutrong lý thuyết lượng t ử .................................................. 39
K ết luân

...................................................................................................................................41

Tài liệu th am khảo

42


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay trên thế giới và Việt Nam, các hướng nghiên cứu về vật lí lý thuyết
đang gặp không ít khó khăn về nhân lực và vật lực cũng như hướng nghiên cứu. Khoa
học thông tin lượng tử đã và đang trở thành một trong những lĩnh vực thu hút được
nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học vật chất. Đề tài nghiên cứu của tôi về
“M ộ t số ứng d ụ n g của các p h ép đo yếu và giá t r ị y ế u ” là một vấn đề mới hứa
hẹn nhiều đóng góp cho lĩnh vực vật lí lượng tử và vạch ra những lý thuyết mới làm
nền tảng cho vật lí thực nghiệm.
Đề tài nghiên cứu mang tính chất lượng tử sâu sắc,kết luận về lý thuyết cũng
như ứng dụng của đề tài sẽ đưa đến giá trị thực tiễn về việc đo đạc.

2. M ục đích, nhiệm vụ n gh iên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc tìm hiểu các phép đo yếu, các
giá trị yếu áp dụng chúng trong một số vấn đề vật lí và đề ra các ứng dụng của chúng
trong vật lí lượng tử.

3. Đ ối tượng và phạm v i n ghiên cứu
Vật lý lượng tử và các vấn đề đo đạc trong vật lý lượng tử.

4. P hư ơng pháp n gh iên cứu
Sử dụng các phương pháp của vật lý lượng tử, vật lý lý thuyết và vật lý toán.

2

5. D ự kiến đóng góp mới
Trên cơ sở tìm hiểu về các phép đo yếu, các giá trị yếu có thể đề xuất các ứng
dụng trong đo đạc các đại lượng vật lí.


3

Chương 1

TỔNG QUAN VỀ PHÉP ĐO
YẾU, GIÁ TRỊ YẾU
1.1.

P h ép đo yếu
Trong cơ học lượng tử, phép đo yếu là một loại đo lường, trong đó đại lượng cần

đo thể hiện yếu, hệ lượng tử cần đo liên kết hoặc tương tác yếu với máy đo. Sau khi
đo, số đo con trỏ của thiết bị đo được dịch chuyển bởi cái gọi là “giá trị yếu”. Vì vậy,
một con trỏ ban đầu chỉ tại số 0 trước khi đo sẽ chỉ vào giá trị yếu sau khi đo. Hệ
thống hầu như không bị nhiễu loạn bởi cách đo. Mặc dù điều này có vẻ mâu thuẫn với
bất kì khái niệm cơ bản nào, đặc biệt là nguyên lý bất định của Heisenberg.
Lí thuyết “đo yếu” lần đầu tiên được đề xuất bởi nhà vật lí Yakir Ahanorov cùng
nhóm cộng sự của ông tại trường Đại học Tel Aviv, Israel năm 1988. Lí thuyết trên
phát biểu rằng người ta có thể đo “yếu” một hệ và từ đó thu được một số thông tin về
một tính chất mà không gây nhiễu đáng kể với tính chất bổ sung và do đó không gây
nhiễu đối với sự phát triển tương lai của toàn bộ hệ. Mặc dù thông tin thu được đối
với mỗi phép đo là tối thiểu, nhưng nếu lấy trung bình nhiều phép đo sẽ mang lại một

ước tính chính xác của số đo của tính chất đó mà không gây nhiễu đối với kết cục của
nó [2].
Năm 2011, các nhà Vật lí tại Trung tâm Nghiên cứu quốc gia (NRC) ở OttawaCanada, khẳng định họ đã có thể sử dụng phép đo yếu để tái hiện trực tiếp hàm sóng
của một hệ lượng tử, mô tả một hệ lượng tử diễn biến như thế nào theo thời gian [9].
Cũng trong năm 2011 một nhóm gồm các nhà nghiên cứu quốc tế vừa lập được
bản đồ quỹ đạo hoàn chỉnh của những photon đơn lẻ trong thí nghiệm hai khe Young
nổi tiếng. Kết quả trên là bước tiến quan trọng đầu tiên hướng đến việc đo các thông


4

Số bổ sung nhau của một hệ lượng tử - cái hiện nay được xem là không thể, theo hệ
quả của nguyên lí bất định Heisenberg [9].
Theo định nghĩa phép đo yếu đôi khi được sử dụng để đo một hệ lượng tử với
mục đích thông tin phản hồi và kiểm soát. Ví dụ, phép đo yếu liên tục được sử dụng
để hướng một chất khí nguyên tử cực mạnh vào một trạng thái lượng tử đã được chọn.
Định nghĩa mở rộng cũng bao gồm một loại đo lường mà được xem là một phép đo,
một quan sát vĩ mô gồm các quan sát bằng kính hiển vi của nhiều hệ con giống hệt
nhau, mỗi một hệ trong số đó chỉ tương tác một cách tối thiểu với thiết bị đo. Việc đo
từ tính của một tập hợp lớn spin là một ví dụ tự nhiên. Một ví dụ phổ biến khác là
phép đo tần số vô tuyến ở trạng thái lỏng các thí nghiệm cộng hưởng hạt nhân.
Trong điều kiện của post-selectedban đầu, phép đo yếu được ứng dụng vào hai
lĩnh vực: Đầu tiên là phân tích một cách đơn giản hóa hiện tượng hoặc các thí nghiệm
tồn tại trước trong đó nó được nhận thấy rằng một phép đo yếu đã thực sự tồn tại.
Lĩnh vực thứ hai của ứng dụng là nghiên cứu hiện tượng một cách hàn lâm không
giống với phép đo chuẩn. Các nghiên cứu này có nhiều kết quả mà bao gồm việc đưa
đến một quan điểm thống nhất mới thể hiện qua cách giải quyết nghịch lí Hardy [7,8].
Quá trình của phép đo yếu được mô tả lần đầu bởi Aharonov và nhóm cộng sự
sử dụng mô hình đo lường Von Neumann. Điều này dẫn đến sự chỉ trích rằng kết luận
của họ không phổ quát cho tấ t cả các loại phép đo và đặc biệt, các dự đoán của họ chỉ

đơn giản là được tạo ra từ mô hình đơn giản Von Neumann. Kể từ những ngày đầu,
phép đo yếu đã được mở rộng đa dạng hóa hơn các loại phép đo khác, nên bây giờ nó
có sức thuyết phục, mặc dù không kết luận, nhưng bằng chứng cho thấy phép đo yếu
th ậ t sự phổ quát [3].

1.2.

G iá trị yếu

1.2.1.

G iá tr ị yếu

Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu, không chỉ đặc biệt vì chúng rất khác các
kết quả của phép đo chuẩn mà là một phần tử của cấu trúc mới đơn giản và phong
phú tồn tại trong thế giới lượng tử.Giá trị yếu giúp giải thích các hiện tượng lượng tử
kỳ lạ và tìm kiếm những hiệu ứng mới mà có thể ứng dụng thực tế. Các giá trị yếu
được xác định cho tấ t cả các biến và cho tấ t cả các tiền sử có thể có của hệ lượng tử.
Chúng tự xuất hiện trong tấ t cả các liên kết coi như là đủ yếu.
Nếu |<Ê>i) và |<Ê>2) là các trạng thái cơ học lượng tử pre-selected và post-selected,


5

giá trị yếu của toán tử A có thể quan sát được định nghĩa là [4]:
^<0*1 A
(1.1)

Ảw=

Khi áp dụng phương trình (1.1), các trạng thái đầu và cuối được cho là tương
đương với hệ lượng tử ngay trước và ngay sau phép đo yếu. Bất kỳ sự phát triển của
hệ giữa phép đo yếu thực tại (tại thời điểm í0) và pre-selected (tại thời điểm íi) hoặc
post-selected (tại thời điểm t 2) phải nằm trong các trạng thái.
Khi trạng thái post - selected | $ 2) và trạng thái pre - selected |<É>i) tới trực giao
tức là ($1 I $ 2) = 0, không thể đo được giá trị yếu A w. Giá trị yếu của các phép đo trở
nên lớn khi trạng thái tiến tới gần trực giao với trạng thái và không phụ thuộc vào giá
trị của đại lượng cần đo. Trong cách này, bằng việc lựa chọn trạng thái, giá trị yếu của
toán tử được thực hiện lớn tùy ý và các hiệu ứng nhỏ khác có thể được khuếch đại.

1 .2.2.

T ín h chất của giá tr ị yếu

Giá trị yếu có một số tính chất chung với các tính chất của giá trị trung bình
chuẩn [2].
a. Nếu không có post - selected, giá trị yếu bằng với giá trị trung bình chuẩn của
quan sát được đo yếu:

/1

I I

(1 .2 )

%

($1 I * 1)

Vì trạng thái đầu không bị nhiễu loạn bởi phép đo yếu và không có post-selected

|$ i) = 1* 2).
b. Nếu pre-selected hoặc (nếu) post-selected là một giá trị riêng của kết quả phép
đo yếu thì giá trị yếu bằng với giá trị riêng tương ứng:

Aw =

(a-i I $ 1)

(a-i I $ 1)

—

(1.3)

Một phép đo thông thường của toán tử Ả sau pre-selection trong trạng thái |í2j)
sẽ chắc chắn trở thành ai} bất kể post-selected được thực hiện sau. Tương tự như
vậy, nếu trạng thái là post-selected trong |í2j) thì một phép đo thông thường trước
của toán tử A phải trở thành dị và rút gọn trạng thái thành \a,i). Do đó, giá trị
yếu bằng giá trị trung bình chuẩn của toán tử A trong trạng thái này.


6

c. Các giá trị yếu có quan hệ tuyến tính trong các hình thức tương tự như toán tử
mô tả các phép đo
ơ w — ( a i + 0 B ) W—

($1 \aA + /3i?| $ 2)
($1 I $ 2)

(1.4)

Giá trị trung bình chuẩn liên quan trong cách thức tương tự.
d. Như giá trị trung bình chuẩn, giá trị yếu của tích hai quan sát không nhất thiết
phải bằng với tích của các giá trị yếu cho hai quan sát
($1 À

ÀỒ $ 2)
<$! I $ 2) ( A B ị

<$! I $ 2)

* ( A U B ) W=
v /wv /w

<$! I $ 2) <$! I $ 2)

(1.5)

Thực hiện một cách riêng, mỗi tính chất trong bốn tính chất này không là điều
ngạc nhiên vì chúng phù hợp với giá trị trung bình chuẩn. Tuy nhiên, vì các phép
đo yêu không nhiễu loạn hệ được đo, tấ t cả các tính chất này phải được giữ đồng
thời (không giống như phép đo mạnh sử dụng để đogiá trị trung bình chuẩn). Ví
dụ, nếu |<&2) = b và |<É>i) = a thì A w = a và B w = b (tính chất ò) và Cw = a + b
trong đó

c

= Ả + B (tính chất c). Điều ngạc nhiên, vì Ả và B giao hoán, nói

chung a + ò sẽ nằm ngoài phạm vi của giá trị riêng của. Hơn nữa A , B và

c

có

thể được đo yếu đồng thời mặc dù chúng không giao hoán. Vì vậy, ta có tính chất
thứ 5 tách từ các tính chất của giá trị trung bình chuẩn.
e. Giá trị yếu tồn tại trong m ặt phẳng phức

Aw =

($1 I $ 2)

(1 .6 )

Tử số và mẫu số là các số phức.

1.3.

G iá trị yếu là kết quả của phép đo yếu
Với quá trình đo chuẩn Von Neumann, Hamilton mô tả tương tác với một thiết

bị đo là:
H = -g(t)qA
Trong

đóg(t) là hàm chuẩn

biến chuẩn (chính tắc)

(1.7)

hóa với sự hỗ trợ nhỏ gần thời gian đo lường, và q là một

của thiết bị đo với momen liên hợp p . Sau sự tương tác (1.7)

trên, có thể xác định giá trị của A từ giá trị cuối của p [3].
A = P f - Pin = 5p

( 1 .8 )


7

Với Pf ứng với trạng thái sau, pin ứng với trạng thái trước khi đo.
Phép đo chính xác bất kì của Ả làm nhiễu loạn cần thiết trong một cách không
thể kiểm soát các giá trị quan sát không thể giao hoán với A, đây là do thực tế phép
đo chính xác của Ả yêu cầu giá trị của p cố định xác định trong khoảng thời gian của
phép đo. Do đó, sự bất định trong q trong suốt tương tác phép đo mô tả trong phương
trình (1.7) lớn tùy ý [6].
Có thể sửa đổi các quá trình đo Von Neumann bởi sự yếu tương tác (1.7). Điều
này có thể làm được bằng cách chuẩn bị một trạng thái đầu của thiết bị đo mà xác
suất tìm thấy q lớn là đủ nhỏ. Bây giờ chứng minh rằng “phép đo yếu” của Ả biểu diễn
trên tập hợp hệ pre-selected trong trạng thái !<&!) và hệ post-selected trong trạng thái
1^ 2), sẽ mang lại kết quả mà gọi là “giá trị y ế u ” của A.

(1.9)
Để kết thúc vấn đề này xét một tập hợp hệ bao gồm cả pre-selected và postselected. Tất cả các phần tử của tập hợp được mô tả bởi cùng một cặp hàm sóng
và |<É>2) biểu diễn cùng phép đo trong mỗi một hệ với một thiết bị đo riêng biệt.

Hamilton tương tác là:
Hi = - 9 (t) qịAị

(1 .10 )

Trong đó chỉ số ỉ đề cập cho hệ thứ i trong tập hợp hoặc thiết bị đo thứ ỉ. Để
thuận tiện, đưa trạng thái đầu của từng thiết bị đo tới hệ Gaussian.

4 ( Aq ) 2\
Thực hiện đo Pi với mỗi thiết bị đo sau tương tác. Sau đó thực hiện đo trạng thái
cuối, phép đo post-selected trong hệ tập hợp và thu thập các kết quả Pi chỉ của hệ đó
mà trạng thái cuối là |<E>2) •
Để đơn giản hóa các bằng chứng sau, cần lưu ý rằng sự thay đổi trậ t tự thời gian
giữa các phép đo Pi và phép đo post-selected sẽ không ảnh hưởng đến kết quả của
chúng. T h ật vậy, sau tương tác phép đo trên, không có tương tác hơn nữa giữa các hệ
của tập hợp và thiết bị đo tương ứng, và do đó, bất kì tương tác trên hệ không ảnh
hưởng tới kết quả của các phép đo được thực hiện trên bất kì hệ khác.
Chuỗi các sự kiện này, trong đó đo Pi ở post-selected để phân tích đơn giản hơn.
Nó cũng phù hợp với một phương pháp thực tế để thực hiện các phép đo loại này.
Trạng thái của mỗi thiết bị đo đã được chọn sau được đưa ra đến yếu tố chuẩn hóa,


bởi hàm sóng sau (bỏ qua chỉ số i đề cập đến mỗi hệ riêng).
^

! exp b

/

Hd t ị <É>2^ exp

= ($2 |exp (iqA)I $ 1) exp

4(A gý
(1 .12 )

oo / . \ fl
=

E

,

n\

—

n=0

< * 2 |>lB | * i ) e x p

4(A
oo / • \ fl
n\

n=0

Trong đó (j4n)

4(Ag):

= ($2 |^4n| ^>i )/(^ >2 I ^ i ) (như định nghĩa ở phương trình (1-9)). Các

biểu thức cuối có thể được viết lại như hàm sóng đầu của thiết bị đo nhân với eiqAw
cộng với giới hạn hiệu chỉnh là không đáng kể với nhỏ.
oo / . \n
($2 I $ l)

- ^ - ( An )v exp

4(A q)

n=0

,* , $* i )Xe x p iq " '
= ($2
exp rL ($2 I $ i) J
L 4(A q)
oo / . \ fl

(1.13)

+ ( f 2 | 4 > i ) E 1!ĩỉí \r [ ( ' 4” ) w - ( ^ n “ p - 74
n= 0

J í * „ J._______ | 1 / •
Quan tâm đến 1biểu diễn
trạng thái

„

,1 : 4 , V - *
___
của thiết
bị đo, bằng
cách lấy A q như vậy cho

tấ t cả n > 2 .
(2A qỴ

r ( n / 2)
(n - 2)!

p

n)w -

(^w)n| «

1

(1.14)

Bỏ qua sự đóng góp của các điều chỉnh trong biến đổi Fourier (1.12) và do đó
hàm sóng cuối của thiết bị đo trong các biểu diễn p là gần đúng tốt
exp - ( A qý

p

($2 m $ 1)
($2 I $ 1)

Phân bố xác suất của p là hệ Gaussian với khoảng rộng A p = (2Aq)

(1.15)
tâm tại p =

R e (Ẩ w) .
Giá trị yếu của A , A W như định nghĩa ở (1.9) có thể có, cũng có thể một phần
tưởng tượng. Phần này ảnh hưởng đến sự phân bố của các biến q cổ điển. T h ật vậy,
trong các biểu diễn q trạng thái của thiết bị đo sẽ đưa ra là:
[q + 2(Aợ)2Im (Ẩw)]
exp

4(A qỴ

(1 .1 6 )


9

Do đó, phân bố xác suất của q là hệ Gausian với khoảng rộng A q tâm tại
q = —2(AI m ( A w) từ một phép đo duy nhất. Tuy nhiên, thực hiện phép đo trên một tập hợp N
hệ sẽ làm giảm sự bất định của kết quả bởi một nhân tố -ụ=. Vì vậy, bằng cách lấy N
đủ lớn ^ 2 A дл/iV^

•c Re (j4w) , I m ( A w) khi đó có thể đo giá trị phức của A w với độ

chính xác mong muốn bất kì.
Yêu cầu (1.14) đảm bảo rằng kết quả của phép đo là A w được xác định bởi phương
trình (1.9). Đặc biệt,nếu trạng thái đầu hoặc cuối là trạng thái riêng của A, thì (1.14)
được thỏa mãn. Trong trường hợp này có thể như vậy bởi vì đó là giá trị yếu, trong
trường hợp đặc biệt này, cũng là giá trị “ mạnh” của A.
Có thể lập luận rằng một giá trị yếu thu được sau một vài thao tác toán học trên
tập hợp và không có ý nghĩa vật lí. Để nhấn mạnh “ thực tế” của giá trị yếu, lưu ý
rằng sau tương tác (1 .10) của một tập hợp các thông số vật lí của hệ giống hệt nhau
với một tập hợp các thiết bị đo có một biến vật lí của các thiết bị đo mà loại bỏ giá
trị yếu của các biến đo. Thực tế quan sát có 1 giá trị trung bình bằng A w, trong khi
sự bất định có thể bỏ qua khi số lượng các phần tử trong tập hợp lớn.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, luận văn này đã trình bày tổng quan lý thuyết về phép đo yếu
và giá trị yếu, đồng thời giới thiệu một số tính chất của giá trị yếu. Tiếp theo, luận
văn sẽ trình bày về một vài hướng nghiên cứu mới trong vật lí lượng tử.


10

Chương 2

MỘT VÀI HƯỚNG NGHIÊN c ứ u
MỚI TRONG VẬT LÍ LƯỢNG TỬ
2.1.

H ướng của dòng thờ i gian
Cuộc sống hàng ngày trải qua “mũi tên thời gian”, đây cũng là một trong những

vấn đề đầy thách thức của vật lí lý thuyết. Các định luật vật lí “vi mô” bao giờ cũng

đề ra nghiêm túc và được công nhận rộng rãi là đối xứng với hướng của thời gian, đây
là hình thức bất biến với nghịch đảo thời gian [3].
Trên thực tế, qua các báo cáo của các định luật của các nguyên lí tự nhiên trong
2 lĩnh vực là nhiệt động lực học và nghiên cứu vũ trụ cho thấy rằng không có đối xứng
trong thời gian tự nhiên. Theo nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học thì entropi của hệ
cô lập chỉ có thể tăng theo thời gian, tức tăng hướng tới tương lai. Một lĩnh vực khác
là nghiên cứu vũ trụ, cũ trụ đang mở rộng hướng tới tương lai. Chúa cho rằng hai hiện
tượng không đối xứng cũng có thể có quan hệ nhân quả, có liên quan tới nhau. Một
tác động thời gian không đối xứng thứ ba, ưu thế của bức xạ ra trong tự nhiên qua
bức xạ tới, có thể được coi là một khía cạnh đặc biệt của định luật thứ hai [3].
Trong lý thuyết lượng tử định luật động học của chuyển động, hoặc phương trình
Schrödinger hoặc phương trình Heisenberg, là đối xứng thời gian giống bản sao cổ điển
của chúng, phương trình chuyển động Hamilton. Mặc dù nói đã được cho rằng sự bất
đối xứng trong hướng của thời gian, và thậm chí nhiệt động lực học không thể nghịch
đảo, đi vào lý thuyết lượng tử thông qua lý thuyết của phép đo. Lý thuyết lượng tử
thông thường của phép đo liên quan đến dự đoán xác suất kết quả cụ thể của phép
đo tương lai trên cơ sở kết quả quan sát trước đó. Trong phần này không đi sâu vào
nghiên cứu quá trình đo lường mà xem xét tính chất của sự đối xứng về thời gian trong


11

lý thuyết lượng tử của phép đo, trong đó sự tương tác đặc biệt giữa hệ thống nguyên
tử và thiết bị vĩ mô cho ta biểu thức chuẩn của xác suất các giá trị được cung cấp bởi
lý thuyết thông thường. Lý thuyết liên quan đến chính là tập hợp được chọn đối xứng
(“lý thuyết đối xứng thời gian”) chỉ chứa biểu thức đối xứng thời gian với xác suất của
các quan sát.

2 .1.1.

C hu yển độn g lượng tử là đối xứ n g th ờ i gian

Trong cơ học lượng tử chuyển động lượng tử Q M được mô tả bởi phương trình
Schrodinger

= -iff (t) I* (t))
t

—i j H (r)dr
tQ

* (io)) = ư ( t 0, t ) \ V ( t ) )

(2 .1 )

(2 .2 )

Nhận xét từ hai phương trình (2.1) và (2.2) thấy rằng thời gian - đối xứng:

2.1.2.

T hời gian - k h ôn g đối xứ ng là do M P (M P - tiê n đề p h ép đo)

Theo cơ học lượng tử thời gian- không đối xứng xuất hiện thông qua Measurement
Postulate (tiên đề phép đo - định đề đo lường)(MP): một phép đo trên một hệ thay
đổi trạng thái của nó trong một phương pháp gián đoạn, điều đó không thể mô tả bằng
phương trình Schrödinger
Giả sử

Ian) = an |an) j được đo trên |\Ịj). Nếu kết quả an được biết, với xác

suất
p n = \{an I * ) | 2

(2.3)

thì Ịí') được rút gọn như Ịí') —> Ian) (|a„) = |n) là biểu diễn của Ịí') trong A - biểu
diễn) Độc lập với những gì là Ịí'). Quá trình ngược lại Ian) —> Ịí') là hoàn toàn không
chắc chắn: thời gian là không đối xứng.


12

2.2.

D ãy phép đo

2 .2.1.

D ãy ph ép đo th eo qu y ước M P

Xét hai phép đo (trên |ф)) của Ả tại tị và в tại t 2 > tị. Xác suất thu được b tại
t 2 tùy thuộc vào kết quả đo Ả tại tị. Nếu a được thu tại tị, thì |ф) => |a). Vì vậy xác
suất thu được b tại t 2 và a tại tị là:
p ( b / a ) = | ( ò I a )|2 =

(ò I а ) ( а I b)

(2.4)
= Tr(\b) ( b ị a ) (a\) = T r (DbD a)

trong

đóD abiểu thị toán tử lũy đẳng với D a = l-Da) (-Dai Giả sửthực hiện một chuỗi

các phép đo A , . . . , В mang lại kết quả a , . . . ,b. Thì xác suất mà kết quả tiếp theo của
С mang lại с là
P { c / a , . . . , b) = \{c I ò)|2 = T r (D cD b)

(2.5)

Kết quả này độclập trạng thái tiên nghiệm phép đo b.
Xét phép đo A , .. ., В , c , D ,nếu phép đo A , . . . , в mang

lại a , . . . , b, thì xác suất để

kết quả của с , D là c, d là:
p ( c , d / a , . .. ,b) = p ( c / a , . . . , b ) p ( d / a , . . . ,b, c)

= \ ( c \ b ) \ 2 \ ( d \ c )\2

=

( с I ố) (ố I c) ( d I с) ( с I d)

=

( d I с) ( с I b) {b I с) ( с I d)

= T r ( \ d) {d I с) ( с I 6 ) {b I c) ( c | )

p (c, d / a , b ) = T r ( DdD cD bD c)

(2.6)

Điều này cũng độc lập với trạng thái tiên nghiệm phép đo b và không phụ thuộc
vào kết quả của thành phần của tập hợp sau đó để thực hiện các phép đo cụ thể. Kết
luận: quy ước MP cho phép dự đoán xác suất của kết quả tương lai (c, d) dựa trên kết
quả hiện tại (ò), không phụ thuộc vào quá khứ ( a , .. . ).


13

Từ kết luận trên cho nhận xét về sự cần thiết trong lý thuyết lượng tử để xây
dựng tập hợp với đặc tính xác suất được xác định rõ ràng. Nếu trong cơ học cổ điển ta
phải giải quyết một hệ không gian pha có thể tích hữu hạn Í2, thì ta có thể xác định
m ật độ xác suất tiên nghiệm trong không gian pha đó là bất biến với biến đổi chính
tắc, m ật độ xác suất là không đổi Í2_1. M ật độ này có thể thay đổi với bất kì hạn chế
nào áp đặt lên hệ, và bằng phương pháp suy luận có được xác suất ngẫu nhiên. Nói
cách khác, trong một không gian pha hữu hạn người có thể xây dựng lý thuyết thống
kê. Bởi vì trong hệ vật lí thực tế không gian pha có thể tích vô hạn, m ật độ xác suất
chuẩn chuyển đổi - bất biến là không tồn tại, từ đây người ta dẫn đến xây dựng phân
bố xác suất để phù hợp với điều kiện khác nhau của tập hợp.
Trong lý thuyết lượng tử cũng tương tự như vậy, đối với không gian Hilbert là
hữu hạn, m ật độ ma trận bất biến được chuẩn hóa từ ma trận đơn vị, các ma trận
khác được rút ra để đáp ứng tấ t cả các trường hợp khác. Cho hệ vật lí thực, không
gian Hilbert là vô hạn, nên không có tập hợp chuẩn tồn tại độc lập với bất kì thông
tin về hệ vật lí. Vậy cần xây dựng các tập hợp của hệ có tính chất hạn chế nhất định,
dẫn đến tập hợp với đặc điểm xác suất không rõ ràng, đây cũng là mâu thuẫn nội bộ
có thể loại trừ một số giả thiết. Rõ ràng các giả thuyết về lý thuyết thông thường hợp
lí với phép đo lượng tử và được chấp nhận.

2 .2.2.

D ãy p h ép đo k h ôn g quy ước M P

Bây giờ xét dãy phép âo A, B ,

, c , D , điều thú vị là trong tập hợp hệ với trạng

thái đầu và trạng thái cuối cố định tương ứng với các giá trị riêng đặc biệt a và b, yêu
cầu xác suất p ( d \ b , . . . , c\à) = ? mà kết quả của các phép đo trung gian B , c

chắc

chắn là ò , c . Xác suất này tìm được là
и

p ( b , .... c , d / a )

b , . . . , c a ) = = -----v ’
’ ’
E b/ c- p 0 ', ••; C ' , d / a )

(2.7)

______ _____

Từ công thức (2.6) ta suy ra công thức quan trọng
\ \ —
T r (DdD c . . . D bD aD bD . . . D c)

= —— —r —— - — ^ — — — -----------------------------— —
1 '
£ b, c, T r { D dD c, . . . D v D aD v . . . D c,)

Phương trình (2.8) thỏa mãn

-

T>ÍJ\U
v

p [ d ỏ , . . .. c a ) =

( 2 .8 )

y

’

p (d\b, ...,c\a) = 1 cho cố định a,d. Điều thú vị

là không những quá khứ (a), như trong lý thuyết quy ước, mà còn tương lai ảnh hưởng
hiện tại

(ò, c. . . t ương

lai bay lùi trở lại kết hợp với quá khứ để mang lại kết quả của

hiện tại,

tức, dòng thời gian tiến triển trong cả hai hướng (tiến và lùi).

Xác suất của vết xoay tròn:
p ( a \ c, . . . b \ d ) = p ( d \ b , . . . c \ a )

( 2 -9 )


14

Suy ra tình huống với pre-selected và post-selected là hiển nhiên là đối xứng thời gian:
quá khứ và tương lai quan trọng tương tự với hiện tại.

2.3.

P h ép đo V on N eu m a n n

2 .3.1.

P h ép đo th ô n g th ư ờ n g (“m ạ n h ”)

Xét các phép đo thực hiện trên một tập hợp pre-selected, muốn đo Ố ^Ố Ibn) = bn |òj)^
của trạng thái lượng tử li'i) tại tị.
Cho
1 * 0

=

X > n l & n ) ; Z > n | 2 =

1

(2.10)

n

Ví dụ: tại thời điểm ti chuẩn bị một thiết bị trong trạng thái |<É>i) mà tương tác với
li'i) qua Hamilton tương tác
H(t) = -g5{T - t)PB

(2.11)

Với g là độ lớn liên kết p , Q thiết bị momem có hình thức giống toán tử
Q \q) = Q\ q) ,
(2 .12 )
P\p)

xác định rõ

= p Ip ) .

như sau
/ Ip) p — representation
(2.13)

l*i) = '
„ f d q $ 1(q) |ạ) q — representation
là biến đổi Fourier ngược của $ i(p )
*1 (p) = {p I $ i ) = J d Q

$ 1 (p) = { q \ $ i ) =

k)

(2 -14)

J dq (ợ|$ 1 (p) Ip)

(2.15)

đưa !<&!(]?)) hệ Gaussian tâm tại 0 với chiều rộng A p = 2A trong không gian p
4>iM = ----- (2.16)
(A V 2tt) 7
* i(« ) = ( ^ ) 1/2e - 41«'
V lĩ

(2.17)


15

Mà chiều rộng A 9 = ^ trong không gian q Cho t > tỵ
1^ 1) 1* 1) -> \T) = e - i ĩ í HÌT)dT\ y 1) 1*0

(2.18)
- p 2/ 4 A 2

IT) = e ^ pồ 1 * 0 1 * 0 = eisPỒ Y , a n Ibn) [ dp— ị 1/ 2
(a V
J

(A
V22 tt)

=

^2 aneiaPÊ Ibn) J dp

- p 2/ 4 A 2

n

=

J2 n

dp

( a V 2 7 )1/2
1

|p>

Ip )

- p 2/ 4 A 2

(2.19)

( a V Ĩ Ĩ t)

dp ------—
“ « / dp----Ặ 77z ei3pbn e~pì /4A2 Ip) IK)
(A
aV
J
V 22 t t )

= £

= Y s «n /

n

_ g * S P Ỉ > n g - p 2 / 4 A 2 |p ) | ò n )

àp-7— p

( a V 27t
27 ) 1/2

J

Làm thế nào biến đổi biểu diễn p sang biểu diễn q, đưa vào f dq
|T) = £ a „

n

= £

|(jf) ( q I =

1

/ «'«l«) <«l f dP— ^ ĩ ĩ ĩ ‘ “, l ' ‘ ~, ' ỉ‘A' lí) 1»«)
(A V Ỉ Ĩ) ;

J

“ . / d« I«) I đ p ị í ì ,
1
1
( A 1/ 2Ĩ )

IrilM

(2 .20 )

gispfc* g - p 2/ 4 A 2 ; t ứ C ) «V ị t r f , h à m

Với $2 (ợ) biến đổi Fourier ngược của
(A-\/27r)

đ i^m

1/2

sau tương tác
-A ^ ( q - g b n )

(2 .21 )

V 7T
Phân bố xác suất trong không gian —q là:
Pp(q) = Km

=

E

* > n \ ế 2(q)\2 (bm I bn)

n

a *ma n $a(g) 5mn =

-> P , ( 1 ) =

y/TĨ

K

l V

K | 2 ế 2(q)

“ 1'« -» « ’

(2 .22 )

Giải thích vật lý
Thông thường A q = 1/A «c g (khoảng cách giữa lân cận bn là của 0 (1 )), tức:
X

=

gA

1,

tương ứng

g

rộng hoặc / và A lớn (tức, A q nhỏ

AV2

) —>

P p ^ 1(p) bao

2

quanh gbn với khối lượng —-7=\an\ . Giới hạn A —> oo (Aq —> 0) phản ánh phép đo
V 7T

chính xác phù hợp với MP trong QM theo nghĩa

(i) -Pp> 1 (ợ) luôn chỉ vào một trong gbn, tức, kết quả đo B luôn là một giá trị riêng bn
của B.
(ii) Ppx>>1( 5 = bn) = \an \2 (nhớ l^ i) =

Ibn) )•

(iii) nếu kết quả là B = bn thì hệ sụp đổ khi trước |òn)

2 .3.2.

C ác p h ép đo th ô n g th ư ờ n g k h ôn g làm việc

Điều gì sẽ xảy ra nếu X = gA < 1 ( j nhỏ hoặc/ và Ag lớn). Xét

n

A ^ 2 y * |a |2e-2A2(92-2gbn+gHl)
n

(2.23)
n

AV 2
n

Vì A 2g2b2n -C 2A 2gbn và do đó 4A 2gbn -C 1 nên


17

trong đó B =

J2n |a „ |26„ = \Ồ Ỵ Do vậy
P Ba< 1 (ợ) « Ế ị Ị e -2 ^(< i-aẼ f

(2.25)

y/Tĩ

Trong chế độ tương tác yếu
tới giá trị trung bình Ỗ = ^2

1 chồng chất (2.25) gần một Gausian đơn đạt

X -C

\ a n \2 bn

và người ta không thể xác định giá trị riêng

của bn. Thậm chí phép đo B là không dễ dàng thực hiện. Trong trường hợp g -C 1 và
A = 0 (1 ) sự thay đổi của con trỏ là không quan sát được. Trong trường hợp g = 0(1)
và A

1 độ lệch của con trỏ là lớn để cho phép đo duy nhất hầu như không nhận

được thông tin nên sự lặp lại phép đo nhiều lần là điều cần thiết.

2 .3 .3 .

P h ép đo V on N eu m a n n tro n g trư ờ ng hợp đặc b iệ t - p h ép đo “y ế u ”

Phép đo thực hiện trên một tập hợp cả pre-selected và post-selected. Bây giờ,
tại t 2 > t đo một vài

c

7^ B và post-select của hệ trong một trạng thái nhất định

№ 2 ) = \ c = c) = E m 7m Ibm).
Trạng thái chưa chuẩn hóa thiết bị tương ứng với pre-selected và post-selected là :
-ifH(r)dr

/

1^ 2) = ( * 2| e

11

\

1* 1 ) 1* 1 )

(2-26)

trạng thái chuẩn hóa thiết bị là
1* 2) =

l$'a)

J-

(2.27)

V K * 'a I ^ > | 2
Với |<$'2 I $ ;2)|2 xác suất của post-selected. Xét | $ 72) trong chi tiết
—i f ỉ ỉ ị T )ẩT
ff
11
.
..
-ifH(r)dT
№ 2) =
= ỵ ^ 7'ĩm
L ({bm\
bm I e 11
‘1a " lÒ")
p
a " /lÒ")dp / ------------------dp - -------------.. l1/2
^ i^/ 2e~p
ì il
J
((aV27t)
a V 2tt)
n

= 5^7™ {bm \eigpÊ 5 ^ a n Ibn) í dp----- e~pV 4A2 Ip)

„
n

1^ 2) =

i
m

=

n

I ò") /
7

(AV2tt)

eigpbe~pỉ/ ịAỈ \p)

7 > n ổ m n / dp----- 1/2e7
(A V 2tt)

T 'n a «
n

a»

n

= X]
m

(2.28)

(aV27t)

<ỉ>m|ei9jìổ l&n) / dp----- — e_p2/ 4A2 |p)
(AV27Tj

= X] X]
m

J

„

Ip)

/

! / 2 eígpòe~p2/ 4A2 |p)
( a V 27t)

( 2 . 29 )


18

Biến đổi sang biểu diễn q
(2.30)

(2.31)
Phép đo trên một tập hợp cả pre-selected và post-selected là đặc biệt quan trọng
cho

X

-C 1 (g nhỏ hoặc Ag lớn). Hãy xét trường hợp này từ (2.30)

1^ 2) =

AV2

XI T > .
AV2
V 7T
W

// dqe

- A 2 ( q - g b n)

/« < « £ 7

k)

|
n

2

V 7T

V 7T

Ị M Ỵ , 7 > n e - A2^ 2- 2^ +s2i^ 2 k)
n

e -AVg2AV»
/

V?

/

/

Tỉ

7>'
7> n ( l + 2A 25òn) |ợ)

dge_AV ^
n

/

/

d g e _ A V S

7 > n

+

2 A 23 5 ^ 7 > n ò „ ) k )

n

W
l*'a) =

2

vv

/

J
- A 2ợ2 / \ ^ *
dge
9 (2 ^ 7 > n

n

, o A2 \ '
*
+ 2A 3 2 ^ 7 > n

^

.

—

I \
) k)

2^m Tma m

Kí hiệu
51'tn
mbm
—* m 7ma
im
(*)
E m7
Cho

I «

1

J

1^ 2) » Y

dqe AV(X Ì 7 > „ + 2A 23
n

= ^

Z

7> n-B U)) k)
n

7 X / dge“ A V (l + 2 A 2g B w) \q)

I
n

W 2
y/ir

7n«n J d q e - ^ e 2^ 3^
n

( 2 . 32 )


19

W 2
y/lĩ

№ 2) =
Cho

- A 2 (g2 - 2 g B „ )

(2.33)

k)

1
l* y »

E 7 > „ / d q e - ^ ' - “ - ì ' I,)
(2.34)

n

Chú ý rằng:
(2.35)

J 2 ^ n a n bn = < * 2 | Ổ | * 2)

(2.36)

n

Khi đó phương trình trên viết lại
{*2\Ồ 1^ 1)

(2.37)

( ^2 I * i)

|$'a) = <^2 I * i ) \

Từ { &2 I $ ' 2) =

Ị

J dqe A*(g sB“)2 Iq)

(2.38)

! I tf2)
(2.39)

-» C

(2.40)

‘ M = 1(9 I $ 2 > | 2 = ' ự 2 ''

M à được so s án h với P ĩ f ' 1(q) = K# I ^ 2) 12 = —l = e 2A2^9 gB™
'> tr ong (2. 16) .

V 7T
Chú ý, B € [òmin, òmax], nhưng B w sẽ là rất lớn, bên cạnh phạm vi cho phép {òmi„, òmax}
(một điều kì lạ) cho 1(^2 I ^ 1)1 -c 1 —> g B w thay đổi lớn cả khi cho g nhỏ. Kết quả là
xác suất post-selected nhỏ 1(^2 I ^ i )|2 -c 1 —> cần lặp lại phép đo nhiều lần.
Cũng chú ý thay đổi “nhỏ” do nhiễu loại gây ra và “lớn” vì nhiễu loạn
2

Ppp{q) oc

P M =

AV 2
V 7T

V 7T

n „ - A 2 ( g - g b n )ỵ
ln a ne

=*.

2A H q - g Ẽ Ý
v

y/T Ĩ


20

Kết luận: Để thực hiện được các phép đo yếu cần hai điều kiện
(i) ĩ < 1 (hàm chuẩn hóa g rất nhỏ hoặc chiều rộng phân bố là rất nhỏ)
(ii) thực hiện đồng thời cả pre-selected và post-selected.

2.4.

M ột số tín h chất của hệ lượng tử tro n g khoảng thời gian
giữa hai phép đo

2 .4.1.

K h ái quát

Một mô tả của các hệ lưởng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo liên tiếp
đã được thực hiện. Với hai hàm sóng, trước pre-selected (được chọn trước) bởi phép đo
đầu và thứ hai post-selected (được chọn sau) bởi phép đo cuối, mô tả hệ lượng tử tại
một thời điểm duy nhất. Nó chỉ ra rằng làm thế nào phương pháp này đưa đến một
khái niệm mới: giá trị yếu của một quan sát. Các giá trị yếu này là kết quả của một
đặc điểm mới của hệ lượng tử giữa hai phép đo. Chúng là kết quả của một quá trình
đo chuẩn mà thực hiện một số yêu cầu của “sự yếu”, gọi đó là phép đo yếu. Ý nghĩa
vật lý, nhờ công thức toán học và sự thành công của việc sử dụng thực tế của phép đo
yếu đã được khám phá [2].
Gần đây các nhà nghiên cứu phát triển một hệ lượng tử trong khoảng thời gian
giữa hai phép đo. Mô tả này đã khám phá ra một số khía cạnh mới của lý thuyết lượng
tử.
Trong cách tiếp cận mới, chỉ định một hệ lượng tử tại một thời điểm cho hai
hàm sóng (thay vì một hàm sóng). Ngoài ra cùng với hàm sóng chuẩn, chúng tôi xét
một hàm sóng khác, phát triển từ tương lai đến quá khứ. v ề hình thức hai hàm sóng
được giới thiệu bởi Ahanorov, Bergman và Lebonitz để đơn giản hóa phép tính toán
xác suất trong việc tìm kiếm kết quả đưa ra trong một phép đo được thực hiện trong
thời gian trung gian giữa hai phép đo khác [2].
Kết quả quan trọng nhất trong cách tiếp cận này là khả năng định nghĩa một
khái niệm mới: giá trị yếu của một biến lượng tử. Nó là một đặc tính vật lý của một
hệ lượng tử giữa hai phép đo, tức là, đặc tính của một hệ lượng tử thuộc một tập hợp
là cả pre-selected and post-selected. Đặc tính này có thể biểu thị chính nó thông qua
phép đo mà đáp ứng một số yêu cầu của “sự yếu”. Thực tế, ảnh hưởng của một tương
tác bất kỳ đủ yếu sẽ phụ thuộc rất nhiều vào giá trị yếu. Giá trị yếu của một biến có
thể khác nhau đáng kể từ giá trị riêng của một toán tử liên quan. Vì vậy đặc tính này
của phép đo yếu có thể dùng như một chương trình mở rộng mới.

21

2 .4.2.

N g h ịch đảo th ờ i gian

Trong phần này luận văn sẽ thảo luận về mô tả hệ lượng tử ở khoảng thời gian
giữa hai phép đo là đối xứng theo nghịch đảo thời gian. Trước hết, hãy thảo luận về
tính đối xứng thời gian của phương pháp chuẩn. Trong lí thuyết lượng tử của các định
luật động lực là đối xứng thời gian như là một bản sao cổ điển của chúng, cụ thể,các
phương trình chuyển động Hamilton. Sự bất đối xứng đi vào thông qua lý thuyết của
các phép đo. Sự “sụp đổ” của một hàm sóng là một phần của quá trình đo không phải
là (ít nhất trong cách tiếp cận chuẩn) đối xứng thời gian: hàm sóng tồn tại trước khi
phép đo “sụp đổ”, nói chung, một hàm sóng mới phù hợp với kết quả của phép đo.
Trong cách tiếp cận chuẩn, nó không rõ ràng làm thế nào để khôi phục lại đối xứng
nghịch đảo thời gian vì không có trạng thái phát triển ngược lại trong thời gian. Ví dụ
sau sẽ làm rõ sự khác biệt giữa hai hướng thời gian [2].
Giả sử ta có tập hợp hạt có spin —1/2, mà ta tìm thấy ở thời điểm t, trong trạng
thái ơx = 1 , ta có thể dự đoán rằng xác suất tìm thấy ơy = 1 ngay sau đó là —1 / 2 .
Tuy nhiên, ta không thể xác định xác suất tìm thấy

ơy

= 1 ngay trước thời điểm t

cũng là —1/2. Nó có thể xảy ra với tấ t cả các hạt trong tập hợp được chuẩn bị trong
trạng thái ơy = —1 , trong trường hợp không có hạt sẽ được tìm thấy với ơy = 1 hoặc
nó có thể là tấ t cả các hạt đã được chuẩn bị với
mang lại

ơy

(Ty

= 1 và sau đó tấ t cả chúng đều

= 1 . v ẫ n có thể xác định bởi xác suất tìm thấy ơx = 1 trước thời điểm t

là 1 , tuy nhiên, cho kết quả các phép đo các quan sát khác đưa vào lý giải trạng thái
của hệ trước thời điểm t. Giả định rằng một trạng thái tồn tại, và nếu không hiểu nó
là gì, thì không thể tìm thấy xác suất cho các kết quả của hầu hết các phép đo.
Với phép đo sau thời điểm t, vấn đề này không phát sinh vì không giả định có
trạng thái (thậm chí không biết) đến từ tương lai. Vì vậy, sự khác biệt giữa quá khứ và
tương lai không phải là một đặc tính nội tại của lý thuyết lượng tử, nhưng nó là đặc
trưng phương pháp về mũi tên thời gian. Tuy nhiên, nếu nhiệm vụ là mô tả hệ lượng
tử giữa 2 phép đo liên tiếp, biết các điều kiện biên trong tương lai cũng như trong quá
khứ(giả định rằng cả hai phép đo được hoàn thành). Do đó đối với khoảng thời gian
trung gian, có một sự đối xứng hoàn toàn dưới sự nghịch đảo thời gian. Sự đóng góp
mô tả hệ lượng tử từ kết quả của phép đo đầu là hàm sóng thông thường phát triển từ
quá khứ tới tương lai, từ phép đo đầu tới phép đo cuối. Vì tính đối xứng dưới nghịch
đảo thời gian, sự đóng góp của phép đo cuối tương tự như: Hàm sóng phát triển ngược
trở lại trong thời gian từ phép đo cuối đến phép đo đầu.
Xét hệ lượng tử giữa các phép đo của hai biến A và B. Tại thời điểm tỵ một quan
sát A được đo và không suy biến, một giá trị riêng a đã được tìm thấy, tại thời điểm