Chương 16 LTTC truong dh UEH

CHƯƠNG 16. SỰ THƯƠNG LƯỢNG
16.1 Việc thương lượng được mô hình như một trị chơi mở rộng
16.2 Ví dụ minh họa: giao dịch ở chợ
16.3 Mơ hình tiên đề Nash
16.4 Mối quan hệ giữa mơ hình chiến lược và mơ hình tiên đề
Điều kiện tiên quyết: Chương 5 và Phần 4.1.3, 6.1.1 và 7.6
Trong nhiều tình huống, các thành viên cùng nhau chia “một cái bánh”. Một nhà tư bản và
một công nhân được thuê sẽ cùng chia tổng lợi nhuận được tạo ra bởi kết quả sản xuất; nhà
lập pháp chia thuế cho các chương trình ngân sách được đánh giá bởi quốc hội; một người
mua một món hàng và người bán chia nhau cùng một số tiền mà trong đó sự định giá của
người mua về món hàng vượt quá sự định giá của người bán. Trong chương này tơi thảo
luận hai mơ hình khác nhau, để diễn tả quá trình “thương lượng” giữa các thành viên tham
gia trong những tình huống này. Một mơ hình là một trị chơi mở rộng (xem Chương 5).
Mơ hình khác đưa ra một cách tiếp cận chưa được sử dụng trong những chương trước: nó
xem xét kết quả tương thích với một danh sách các đặc điểm có thể nhận dạng bề ngồi.
Mặc dù các mơ hình này rất khác nhau, kết quả của chúng khá gần nhau.
16.1 Việc thương lượng được mơ hình như một trị chơi mở rộng
16.1.1 Mở rộng trò chơi tối hậu thư
Một điểm bắt đầu cho lý thuyết về thương lượng là “trò chơi tối hậu thư” đã nghiên cứu ở
Phần 6.1.1. Trong trò chơi này, hai người chơi chia nhau một cái bánh kích thước c mà cả
hai cùng coi trọng. Trong suốt phần này, tôi cho c 1 . Người chơi 1 đưa ra cách chia
miếng bánh thành ( x1 , x2 ) , với x1  x2 1 , và 0  xi 1 , với i 1, 2 . Người chơi 2 có thể
chấp nhận việc phân chia này, trong trường hợp đó người chơi 2 sẽ nhận phần x2 và người
chơi 1 nhận x1 ; hoặc từ chối việc phân chia nó, khi đó cả hai đều khơng được nhận gì cả.
Trị chơi này có một cân bằng hồn hảo trị chơi con duy nhất, trong đó người chơi 1 đề
nghị chia thành (1, 0), và người chơi 2 chấp nhận đề nghị này. Kết quả của cân bằng này là
người chơi 1 nhận cả chiếc bánh.
Điều gì đã dẫn đến kết quả chỉ nghiêng về một phía? Người chơi 2 khơng có quyền lực bởi
vì chỉ có một lựa chọn khác với việc chấp nhận lời đề nghị của người chơi 1, là từ chối nó,
mà điều này cũng dẫn đến khơng đạt được miếng bánh nào. Thay vì như thế, giả sử rằng
chúng ta cho người chơi 2 quyền lựa chọn một đề nghị ngược trở lại, sau khi từ chối đề

nghị của người chơi 1, và người chơi 1 có thể chấp nhận hoặc từ chối. Như thế, ta có trị
chơi như ở Đồ thị 466.1, với Y nghĩa là “chấp nhận” và N là “từ chối”.
Trong trò chơi này, người chơi 1 khơng có quyền lực; đề nghị của người chơi 1 tại điểm
bắt đầu trò chơi là khơng thích hợp. Mọi trị chơi con theo đó người chơi 2 từ chối đề nghị
của người chơi 1 là một biến thể của trò chơi tối hậu thư, trong đó người chơi 2 di chuyển
trước.
465


Đồ thị 466.1 Một mơ hình mở rộng của trị chơi tối hậu thư trong đó người chơi 2 sau khi từ chối đề
nghị của người chơi 1, có thể đưa ra một đề nghị ngược trở lại. Phần tam giác màu xám ở đỉnh biểu
diễn tính liên tục của những đề nghị có thể của người chơi 1; tam giác xám ở đáy biểu diễn tính liên
tục của đề nghi ngược lại có thể của người chơi 2 sau khi từ chối đề nghị x của người chơi 1. Đường
màu đen chỉ ra ba quá khứ cuối cùng không xác định (gọi là ( x, X ) , ( x, N , y, Y ) và ( x, N , y, N ) ).

Vì thế, mọi trị chơi con dạng này có một cân bằng hồn hảo trị chơi con duy nhất, trong đó
người chơi 2 đề nghị khơng chia cho người chơi 1 gì cả, và người chơi 1 chấp nhận tất cả
đề nghị này. Sử dụng quy nạp lùi, hành động tối ưu của người chơi 2 sau đề nghị ( x1 , x2 )
bất kỳ của người chơi 1 mà x2  1 là từ chối (N). Vì thế, trong mọi cân bằng hồn hảo trị
chơi con, người chơi 2 đều đạt được nguyên chiếc bánh.
Khi mở rộng trò chơi này thành trò chơi mà trong đó các người chơi lần lượt đưa ra đề nghị
trong nhiều chu kỳ, kết quả tương tự sẽ xảy ra: trong mọi cân bằng hồn hảo trị chơi con,
người chơi nào đưa ra đề nghị trong chu kỳ cuối cùng sẽ được cả chiếc bánh. Đặc điểm của
mơ hình này có kết quả này là sự thiên lệch của các người chơi về thời điểm chấp thuận.
Thương lượng trên thực tế tốn thời gian, và thời gian là tiền bạc, vì thế ta có thể giả thiết
một cách hợp lý là sự ưa thích của các người chơi khơng có đặc tính này, nhưng đúng hơn
là biểu lộ khuyên hướng là sớm đồng ý. Phần kế tiếp khám phá kết quả của một dạng cụ thể
của trị chơi khơng kiên nhẫn.
16.1.2 Trò chơi chu kỳ xác định với các đề nghị lần lượt và các người chơi không kiên
nhẫn

Giả sử rằng người chơi lần lượt đưa ra các lời đề nghị, mỗi chu kỳ một lần, và mỗi người
chơi i xem kết quả mà mình được nhận cả chiếc bánh sau t chu kỳ, cũng tương đương như
t
trường hợp được nhận một phần  i chiếc bánh ngay lập tực, với 0   i  1 và i 1, 2 . Như
thế, giả sử rằng mỗi người chơi i chiết khấu giá trị tương lai bằng một hằng số chiết khấu
 i . (Xem lại Phần 14.2 khi thảo luận về sự ưa thích với nhân tố chiết khấu).
Giới hạn hai chu kỳ Xem xét trị chơi trong đó chỉ có 2 chu kỳ: nếu người chơi 2 từ chối
đề nghị ban đầu của người chơi 1, người chơi 2 có thể đưa ra một lời đề nghị khác, nếu như
cũng bị người chơi 1 từ chối, thì trị chơi kết thúc với hàm thưởng phạt bằng 0 cho cả hai
người chơi. Trò chơi này được minh họa như trên Đồ thị 467.1.

466


Đồ thị 467.1 Trò chơi thương lượng hai chu kỳ với đề nghị lần lượt trong đó người chơi i sử dụng
nhân tố chiết khấu  i để chiết khấu cho hàm thưởng phạt tương lai

Ta có thể tìm các cân bằng hồn hảo trị chơi con của trị chơi này bằng cách sử dụng quy
nạp lùi, như Phần 16.1.1. Trò chơi con bắt đầu sau quá khứ mà trong đó người chơi 2 từ
chối đề nghị ban đầu của người chơi 1, thì tương tự như trị chơi tối hậu thư. Nó có một cân
bằng hồn hảo trị chơi con duy nấht, trong đó người chơi 2 sẽ đề nghị (0, 1) và người chơi
1 chấp nhận tất cả đề nghị. Cân bằng này tạo kết quả cho hàm thưởng phạt, nếu nhìn từ
điểm bắt đầu trị chơi, là 0 cho người chơi 1 và  2 cho người chơi 2.
Bây giờ xem xét trò chơi con theo sau đề nghị ban đầu của người chơi 1. Nếu người chơi 2
từ chối đề nghị đó, hàm thưởng phạt của người chơi 2 là  2 , như ta đã thấy ở trên. Vì thế,
tốt nhất là người chơi 2 nên từ chối bất cứ đề nghị nào mà tạo cho người chơi 2 một hàm
thưởng phạt nhỏ hơn  2 , và chấp nhập lời đề nghị nào mà tạo cho người chơi 2 một hàm
thưởng phạt lớn hơn  2 ; người chơi khơng có sự thiên lệch giức chấp nhận và từ chối lời đề
nghị (1   2 ,  2 ) .
Cuối cùng, xem xét đề nghị ban đầu của người chơi 1. Người chơi 2 chấp nhận lời đề nghị

( x1 , x2 ) bất kỳ, với x2   2 . Vì thế, khơng có lời đề nghị nào như thế là tối ưu, vì: người
chơi 2 sẽ chấp nhận giảm một chút, miễn là lượng bánh được nhận lớn hơn  2 , vì thế người
chơi 1 có thể tăng phần của mình một chút bằng cách đề nghị người chơi 2 ít hơn. Khơng
có lời đề nghị nào mà dành cho người chơi 2 nhỏ hơn  2 là đề nghị tối ưu, vì: người chơi 2
từ chối lời đề nghị đó, và trong trị chơi con kế tiếp người chơi 2 sẽ đưa ra đề nghị (0, 1), và
khi người chơi 1 chấp nhận, thì người chơi 1 chỉ nhận được 0. Vì thế, chỉ có một đề nghị có
thể của người chơi 1 trong cân bằng hồn hảo trị chơi con này là (1   2 ,  2 ) . Tơi cho rằng
thật ra trị chơi có một cân bằng hồn hảo trị chơi con trong đó người chơi 1 đưa ra lời đề
nghi này, và trong cân bằng này người chơi 2 cũng chấp nhận lời đề nghị. Nếu người chơi 2
từ chối nó, hàm thưởng phạt của người chơi 1 sẽ là 0, vì thế người chơi 1 có thể tăng hàm
thưởng phạt của người chơi 2 bằng cách tăng phần đề nghị chia cho người chơi 2 cao hơn
 2 , sẽ khiến cho người chơi 2 chấp nhận đề nghị của người chơi 1.
Tóm lại, trị chơi có một cân bằng hồn hảo trị chơi con trong đó
 Đề nghị ban đầu của người chơi 1 là (1   2 ,  2 )
467


Người chơi 2 chấp nhận tất cả những đề nghị mà trong đó người chơi 2 có thể nhận
được ít nhất là  2 , và từ chối tất cả những đề nghị ít hơn  2
 Người chơi 2 đề nghị (0, 1) sau quá khứ bất kỳ mà trong đó người chơi 2 từ chối đề
nghị của người chơi 1.
 Người chơi 1 chấp nhận tất cả đề nghị của người chơi 2 tại cuối trò chơi (sau quá khứ
mà người chơi 2 từ chối đề nghị khởi đầu của người chơi 1)
Kết quả của cân bằng này là người chơi 1 đưa ra đề nghị (1   2 ,  2 ) , và người chơi 2 chấp
nhận, hàm thưởng phạt của người chơi 1 là 1   2 , và người chơi 2 là  2 . Điều này cũng
phù hợp với trực giác đó là có một động cơ để đạt đến một sự động ý mà trong đó sự khơng
kiên nhẫn của các người chơi dẫn đến kết quả là hàm thưởng phạt của người chơi 1 sẽ
dương. Sự đe dọa từ chối người chơi 1 của người chơi 2 chỉ có thể xảy ra nếu người chơi 1
đề nghị ít hơn  2 , bởi vì sự từ chối sẽ dẫn đến việc trì hỗn, và cũng làm giảm giá trị chiếc
bánh còn  2 .



? BÀI TẬP 468.1 (Thương lượng hai chu kỳ với chi phí trì hỗn là hằng số) Tìm một (hoặc
nhiều) cân bằng hồn hảo trị chơi con của biến thể của trò chơi trong phần này, khi hàm
thưởng phạt của người chơi i khi người chơi nhận được lời đề nghị ( y1 , y2 ) trong chu kỳ 2
là yi  ci , với 0  ci  1 (chứ không phải là  i yi ) và hàm thưởng phạt của người chơi i tại
quá khứ cuối cùng bất kỳ mà kết thúc khi từ chối là  ci (chứ không phải là 0), với i 1, 2 .
(Hàm thưởng phạt có thể âm, nhưng lời đề nghị vẫn phải là một cặp số khơng âm).
Giới hạn nhiều chu kỳ
Ta có thể mở rộng trò chơi trên bằng cách cho các người chơi
đề nghị lần lượt nhiều lần, chứ không phải chỉ là 2 chu kỳ. Đối với giới hạn bất kỳ, trị chơi
có một chu kỳ xác định, vì thế ta có thể sử dụgn quy nạp lùi để tìm tập các cân bằng hồn
hảo trị chơi con. Như đối với giới hạn hai chu kỳ, trị chơi có một cân bằng hồn hảo trị
chơi con duy nhất, trong đó người chơi 2 lập tức chấp nhập đề nghị ban đầu của người chơi
1, đề nghị này phụ thuộc vào giới hạn
Ví dụ, xem xét trò chơi giới hạn ba chu kỳ.
 Dựa vào phân tích của trị chơi hai chu kỳ, trị chơi con bất kỳ nào theo sau quá khứ mà
trong đó đề nghị ban đầu của người chơi 1 bị từ chối, sẽ có một cân bằng hồn hảo trị
chơi con duy nhất, trong đó đề nghị của người chơi 2 là (1 ,1  1 ) , mà người chơi 1
2
chấp nhận, kết quả là cặp hàm thưởng phạt (1 ,  2 (1  1 )) .
 Toàn bộ trị chơi có một cân bằng hồn hảo trị chơi con, trong đó người chơi 1 đề nghị
người chơi 2 một lượng bánh là  2 (1  1 ) tại điểm bắt đầu trò chơi (khiế cho người
chơi 2 không thể thiên lệch giữa việc chấp nhận và từ chối). Người chơi 2 sẽ chấp nhận
đề nghị này, tạo ta cặp hàm thưởng phạt (1   2 (1  1 ),  2 (1  1 )) .
? BÀI TẬP 468.2 (Trò chơi thương lượng ba-chu kỳ với chi phí trì hỗn hằng số) Tìm một
(hoặc nhiều) cân bằng hồn hảo trị chơi con của ht trị chơi trong Bài tập 468.1, trong đó
trị chơi có thể kết thúc trong 3 chu kỳ, và chi phí khi trì hỗn một chu kỳ đối với mỗi người
chơi là ci . (Giải bài toán khi c1 c2 , và c1  c2 ).
16.1.3 Trị chơi chu kỳ khơng xác định với các đề nghị lần lượt và các người chơi khơng

kiên nhẫn
Định nghĩa Một dạng khác của mơ hình trên giả sử rằng mỗi người chơi, sau khi từ chối
một lời đề nghị, ln ln có cơ hội đưa ra lời đề nghị khác. Như thế, khơng có giới hạn;
468


các người chơi có thể lần lượt đưa ra lời đề nghị mãi mãi. Trị chơi này khơng có chu kỳ
xác định: mọi chuỗi không xác định ( x1 , N , x 2 , N ,...) trong đó mọi đề nghị xt , với
t 1, 2,... bị từ chối, là một quá khứ cuối cùng có thể. Mọi quá khứ cuối cùng khác là xác
định và ở dạng ( x1 , N , x 2 , N ,..., x t , Y ) : đối với một vài giá trị t, tất cả lời đề nghị cho đến
chu kỳ t  1 đều bị từ chối, và lời đề nghị ở chu kỳ t được chấp nhận. Trò chơi được gọi là
trò chơi thương lượng với các đề nghị lần lượt.
ĐỊNH NGHĨA 469.1 (Trò chơi thương lượng với các đề nghị lần lượt) Trò chơi thương
lượng với các đề nghị lần lượt là trò chơi mở rộng sau với thơng tin hồn hảo
Người chơi Hai người thương lương 1 và 2
Quá khứ cuối cùng Mọi chuỗi ở dạng ( x1 , N , x 2 , N ,..., x t , Y ) khi t 1 , và mọi chuỗi
(không xác định) ở dạng ( x1 , N , x 2 , N ,...) , với mỗi x r là một phần của miếng bánh (cặp các
con số mà có tổng bằng 1).
P ( ) 1 (người chơi 1 thực hiện đề nghị đầu tiên) và
Hàm người chơi
1 neu t chan
P( x1 , N , x 2 , N ,..., x t ) P( x1, N , x 2 , N ,..., x t , N ) 
,
2 neu t le
Sự ưa thích Với i 1, 2 , hàm thưởng phạt của người chơi i đối với quá khứ cuối cùng
( x1 , N , x 2 , N ,..., x t , Y ) là  it  1 xit , với 0   i  1 , và hàm thưởng phạt của người chơi i đối với
mọi quá khứ cuối cùng ( x1 , N , x 2 , N ,...) (không xác định) là 0.
Hai chu kỳ đầu tiên của trò chơi tương tự như trò chơi hai chu kỳ ở Đồ thị 467.2, ngoại trừ
là sự từ chối của người chơi 1 đối với lời đề nghị trong chu kỳ 2 sẽ không kết thúc trò chơi
(với hàm thưởng phạt (0, 0)), mà sẽ dẫn đến trị chơi con trong đó di chuyển đầu tiên là đề

nghị của người chơi 1. Cấu trúc của trị chơi con này cũng như cấu trúc của tồn bộ trò
chơi: người chơi 1 đưa ra đề nghị, người chơi 2 có thể chấp nhận hoặc từ chối; và rồi nếu
người chơi 2 từ chối lời đề nghị đó, người chơi 2 có thể đưa ra lời đề nghị khác, và người
chơi 1 có thể chấp nhận hoặc từ chối;… Thật ra, trò chơi con này là như nhau trong tồn bộ
trị chơi. Như thế, khơng chỉ là các người chơi, quá khứ cuối cùng, và hàm người chơi là
như nhau trong trị chơi con đó cũng như trong tồn trị chơi, mà cả sự ưa thích của người
chơi cũng thế. Hàm thưởng phạt của các người chơi khác nhau trong tồn trị chơi và trị
chơi con. Ví dụ, sự chấp nhận của người chơi 2 đối với đề nghị ( x1 , x2 ) của người chơi 1
trong chu kỳ đầu tiên của trò chơi tạo ra hàm thưởng phạt ( x1 , x2 ) , trong khi sự chấp nhận
của người chơi đối với đề nghị ( x1 , x2 ) của người chơi 1 trong chu kỳ đầu tiên của trò chơi
2
2
con tạo ra hàm thưởng phạt (1 x1 , 1 x2 ) . Nhưng sự ưa thích của các người chơi là như
nhau trong trị chơi và cả trong trò chơi con: đối với số k bất kỳ, mỗi người chơi i khơng có
sự thiên lệch giữa việc nhận k đơn vị hàm thưởng phạt sau t chu kỳ trì hỗn, với việc nhận
 it k đơn vị hàm thưởng phạt ngay lập tức.
Tương tự, tất cả các trò chơi con bắt đầu với lời đề nghị từ người chơi 1 (bao gồm cả trò
chơi toàn bộ) là đồng nhất như nhau. Hơn nữa, tất cả trò chơi con bắt đầu với lời đề nghị
của người chơi 2 cũng đồng nhất với nhau. Vì lý do này, ta nói rằng cấu trúc của trị chơi ổn
định.
Cân bằng hồn hảo trị chơi con
Bởi vì trị chơi này khơng có chu kỳ xác định, ta
khơng thể sử dụng quy nạp lùi để tìm các cân bằng hồn hảo trị chơi con của nó. Thay vào
469


đó, tơi lập luận rằng cấu trúc ổn định của trò chơi dẫn đến một dạng chắc chắc cho một cân
bằng, và rồi kiểm tra rằng một cân bằng dạng đó sẽ tồn tại
Chiến lược của một người chơi trong trị chơi này khá phức tạp. Ví dụ, một chiến lược của
người chơi 1 đưa ra một đề nghị trong chu kỳ 1; một đáp ứng (chấp nhận hoặc từ chối) đối

với mọi quá khứ dạng ( x, N , y ) , với x là một đề nghị (của người chơi 1) trong chu kỳ đầu
tiên và y là một đề nghị (của người chơi 2) trong chu kỳ thứ hai; một đề nghị ngược lại theo
sau mọi quá khứ dạng ( x, N , y, N ) ;…Cụ thể, mặc dù mỗi người chơi đối diện với cùng một
trò chơi con khi đưa ra một đề nghị, người chơi chắc chắc không bị giới hạn là phải đưa ra
cùng một lời đề nghị khi đến lượt của mình. Ví dụ, đề nghị của người chơi 1 tại điểm bắt
đầu trị chơi có thể khác với đề nghị sau quá khứ ( x, N , y, N ) , và nó có thể phụ thuộc tùy ý
vào các giá trị của x và y.
Tuy nhiên, cấu trúc ổn định của trị chơi giúp chúng ta có suy luận hợp lý rằng trị chơi có
một cân bằng hồn hảo trị chơi con trong đó mỗi người chơi ln ln đưa ra cùng một đề
nghị và luôn luôn chấp nhận cùng một tập các đề nghị - như thế, chiến lược của mỗi người
chơi là ổn định. Việc mà cấu trúc của trị chơi là ổn định dẫn đến khơng có trị chơi nào cần
phải có một cân bằng trong chiến lược ổn định, cũng khơng có các cân bằng trong các chiến
lược mà không ổn định. Nhưng chiến lược ổn định chắc chắn cung cấp mọt điểm bắt đầu
hợp lý trong việc tìm kiếm một cân bằng.
Chiến lược ổn định được chỉ định bằng cách đưa ra một đề nghị mà người chơi luôn luôn
thực hiện và tiêu chuẩn mà người chơi luôn luôn sử dụgn để chấp nhận các lời đề nghị.Trực
giác chỉ ra rằng trong một cân bằng mỗi người chơi chấp nhận các lời đề nghị mà đưa đến
cho người chơi một hàm thưởng phạt đủ cao và từ chối tất cả các lời đề nghị khác. Một cặp
chiến lược ổn định mà trong đó mỗi người chơi sử dụng một tiêu chuẩn như thế này để
chấp nhận các lời đề nghị sẽ có dạng sau:



*
Người chơi 1 luôn luôn đề nghị x* và chấp nhận lời đề nghị y nếu và chỉ nếu y1  y1
*
Người chơi 2 luôn luôn đề nghị z * và chấp nhận lời đề nghị w nếu và chỉ nếu w2 w2

đối với một vài lời đề nghị w* , x* , y * , và z * .
Ta có thể tìm được các giá trị của các lời đề nghị này sao cho cặp chiến lược là một cân

bằng hoàn hảo trị chơi con hay khơng? Ta thấy rằng trong trò chơi chu kỳ xác định, mọi đề
nghị được chấp nhận trong một cân bằng. Dự đoán hợp lý là điều này cũng đúng đối với trị
*
*
*
*
chơi khơng xác định, vì thế x2 w2 và z1  y1 . Nếu khơng có bất đẳng thức nào là chặt
chẽ, một trong các người chơi sẵn sàng chấp nhận ít hơn phần mình được đề nghị, vì thế
người đề nghị có thể tăng hàm thưởng phạt của mình để giảm lời đề nghị. Vì thế, đối với
*
*
*
*
cân bằng ta cần có x2 w2 và z1  y1 . Với những điều kiện này, cặp chiến lược mà chúng
ta đang xem xét là cặp chiến lược là trong đó:
*
 Người chơi 1 ln luôn đề nghị x* và chấp nhận lời đề nghị y nếu và chỉ nếu y1  y1
*
 Người chơi 2 luôn luôn đề nghị y* và chấp nhận lời đề nghị x nếu và chỉ nếu x2 x2 .
Bây giờ xem xét một trị chơi con trong đó di chuyển đầu tiên là một đáp ứng của người
chơi 2 đối với đề nghị của người chơi 1. Nếu người chơi 2 từ chối đề nghị của người chơi 1,
chiến lược của người chơi 2 là đưa ra một đề nghị y * , mà người chơi 1 chấp nhập, tạo ra
*
cho người chơi 2 hàm thưởng phạt y2 với một chu kỳ trễ. Vì thế tốt nhất là người chơi 2 từ
*
*
chối bất kỳ đề nghị x nào mà x2   2 y2 , và chấp nhận bất kỳ đề nghị x nào mà x2   2 y2 , và

470

*
không thiên lệch giữa việc chấp nhận hoặc từ chối đề nghị x nào mà x2  2 y2 . Vì thế, ta
cần có
x2*  2 y2*
(471.1)
để cho cặp chiến lược này là một cân bằng hồn hảo trị chơi con. Bằng lập luận đối xứng
cho trò chơi con mà trong đó di chuyển đầu tiên là đáp ứng của người chơi 1 đối với đề
nghị của người chơi 2, ta cần có
y1* 1 x1*
(471.2)
*
*
*
*
Ta có x2 1  x1 và y2 1  y1 , vì thế hai bất đẳng thức trên dẫn đến kết quả
1 2
x1* 
1  1 2
 (1   2 )
y1*  1
1  1 2
Lập luận này chỉ ra rằng nếu cặp chiến lược mà ta đang xem xét là một cân bằng hồn hảo
*
*
trị chơi con, thì x1 và y1 được cho trong hai phương trình trên.

Thật ra, cặp chiến lược này thật ra là một cân bằng hồn hảo trị chơi con như tơi sẽ chỉ ra
dưới đây. Hơn nữa, nó chỉ có một cân bằng hồn hảo trị chơi con (cụ thể, vì thế trị chơi
khơng có cân bằng hồn hảo trị chơi con mà trong đó chiến lược của các người chơi là

khơng ổn định). Như thế, ta có kết quả sau.
ĐỊNH ĐỀ 471.3 (Cân bằng hồn hảo trị chơi con của trò chơi thương lượng với các đề
nghị lần lượt) Trò chơi thương lượng với các đề nghị lần lượt có một cân bằng hồn hảo
trị chơi con duy nhất, trong đó
*
 Người chơi 1 ln ln đề nghị x* và chấp nhận lời đề nghị y nếu và chỉ nếu y1  y1
*
 Người chơi 2 luôn luôn đề nghị y * và chấp nhận lời đề nghị x nếu và chỉ nếu x2 x2 ,
với
 1   2  2 (1  1 ) 
x1* 
,

 1  1 2 1  1 2 
  (1   2 ) 1  1 
y1*  1
,
.
 1  1 2 1  1 2 

Kết quả này của cặp chiến lược cân bằng đó là người chơi 1 đề nghị x* tại điểm bắt đầu trò
chơi, và người chơi 2 lập tức chấp nhận đề nghị này.
Tôi đã lập luận rằng nếu một cặp chiến lược ổn định mà trong đó mọi đề nghị được chấp
nhận sẽ là một cân bằng hồn hảo trị chơi con, nó có dạng như được cho trong kết quả.
Bây giờ tôi lập luận rằng cặp chiến lược này thật ra là một cân bằng hồn hảo trị chơi con.
Đầu tiên, tôi kết luận không cần chứng minh kết quả sau, lập luận này tuân theo Định đề
439.2 (Phát biểu về đặc tính một sự chệch hướng có thể xem ở trang 438).
ĐỊNH ĐỀ 471.4 (Đặc tính một sự chệch hướng của các cân bằng hồn hảo trị chơi con của
trò chơi thương lượng với các đề nghị lần lượt) Hồ sơ chiến lược trong trò chơi thương
lượng với các đề nghị lần lượt là một cân bằng hoàn hảo trị chơi con nếu và chỉ nếu nó

thỏa đặc tính một sự chệch hướng.

471


Kí hiệu cặp chiến lược trong Định đề 471.3 bằng s* . Trị chơi có hai dạng trị chơi con: một
dạng là lần di chuyển đầu tiên là một đề nghị, và một dạng khác là lần di chuyển đầu tiên là
một đáp ứng đối với một lời đề nghị.
Đầu tiên xem xét trị chơi con trong đó di chuyển đầu tiên là một lời đề nghị. Giả sử đó là
*
đề nghị của người chơi 1, và chiến lược của người chơi 2 cố định là s2 . Nếu người chơi 1
*
*
sử dụng chiến lược s1 , hàm thưởng phạt của người chơi là x1 . Nếu người chơi chệch
*
hướng khỏi s1 trong chu kỳ đầu tiên của trò chơi con, người chơi sẽ đạt kết quả tệ hơn do
lập luận sau đây.
*
 Nếu người chơi 1 đưa ra đề nghị cho người chơi 2 nhiều hơn x2 trong chu kỳ đầu tiên, thì
*
người chơi 2 chấp nhận đề nghị đó, và hàm thưởng phạt của người chơi 1 sẽ nhỏ hơn x1
*
 Nếu người chơi 1 đưa ra đề nghị cho người chơi 2 ít hơn x2 trong chu kỳ đầu tiên, thì
*
*
người chơi 2 từ chối đề nghị đó, đưa ra đề nghị ( y1 , y2 ) . Người chơi 1 chấp nhận đề nghị
*
*
đó, đạt được hàm thưởng phạt 1 y1 , nhỏ hơn x1 .

Lập luận đối xứng chỉ ra rằng người chơi 2 không thể có được lợi ích do chệch hướng trong
chu kỳ đầu tiên của trò chơi con mà bắt đầu bằng việc người chơi 2 đưa ra đề nghị.
Bây giờ xem xét một trị chơi con trong đó di chuyển đầu tiên là đáp ứng đối với một lời đề
nghị. Giả sử rằng người thực hiện việc trả lời là người chơi 1, và chiến lược của người chơi
*
2 cố định là s2 . Kí hiệu ( y1 , y2 ) là đề nghị mà người chơi 1 đang trả lời. Chiến lược của
*
người chơi 1 là chấp nhận lời đề nghị nếu và chỉ nếu y1  y1 . Nếu người chơi 1 từ chối lời
đề nghị, người chơi đề nghị x* , mà người chơi 2 chấp nhận, vì thế hàm thưởng phạt của
*
*
người chơi 1 là 1 x1 , bằng với y1 . Vì thế, khơng có sự chệch hướng trong chu kỳ đầu tiên
của trò chơi con nào làm tăng hàm thưởng phạt của người chơi 1. Lập luận tương tự chỉ ra
rằng người chơi 2 cũng khơng thể đạt được lợi ích khi chệch hướng trong chu kỳ đầu tiên
của trị chơi con mà trong đó người chơi 2 đáp ứng với một lời đề nghị.
Ta kết luận rằng s* là một cân bằng hoàn hảo trị chơi con. Việc chứng minh nó là duy nhất
(vì thế, trị chơi khơng có cân bằng hồn hảo trị chơi con nào mà trong đó chiến lược của
các người chơi là không ổn định) khá phức tạp, tôi bỏ qua việc này.
Đặc tính của cân bằng hồn hảo trị chơi con Cân bằng s* có một vài đặc tính đáng chú
ý sau:
Tính hiệu quả
Người chơi 2 chấp nhận đề nghị đầu tiên của người chơi 1, vì thế thỏa
thuận đạt được ngay tức khắc; khơng có việc lãng phí xảy ra do sự trì hỗn. Đặc tính này
của cân bằng có thể nhìn thấy bằng trực giác, nếu các người chơi được thơng tin đầy đủ về
sự ưa thích của người chơi khác. Nếu kết quả không đạt được ngay lập tức, sẽ có một kết
quả khác mà cả hai người chơi thích hơn; nếu họ có thơng tin hoàn hảo, một người phải
mong đợi rằng các người chơi đều nhận thức đầy đủ và theo đuổi kết quả khác này. Tuy
nhiên, một vài biến thể của mơ hình mà người chơi vẫn được thông tin đầy đủ, sẽ có nhiều
cân bằng hồn hảo trị chơi con trong đó thỏa thuận không đạt được ngay lập tức (trường

1

hợp c1 c2 c trong Bài tập 473.2 tạo ra nhiều cân bằng như thế khi c  .
3

*
Ảnh hưởng của sự thay đổi về tính kiên nhẫn Với một giá trị  2 , giá trị x1 đã cho, hàm
thưởng phạt cân bằng của người chơi 1 tăng khi 1 tăng đến 1. Như thế, cố định tính kiên

472


nhẫn của người chơi 1, phần bánh được chia của người chơi 1 tăng khi người chơi 1 trở nên
kiên nhẫn hơn. Tương tự, cố định tính kiên nhẫn của người chơi 1, phần bánh được chia của
người chơi 2 tăng đến 1 khi người chơi 2 kiên nhẫn hơn.
Thuận lợi của người di chuyển đầu tiên Nếu 1  2  , thì chỉ có sự bất đối xứng
trong trị chơi này, đó là người chơi 1 di chuyển trước. Hàm thưởng phạt cân bằng của
người chơi 1 là (1   ) /(1   2 ) 1/(1   ) > ½, và sẽ tiến đến ½ khi  tiến đến 1. Vì thế,
nếu người chơihơn thiếu kiên nhẫn như nhau, thuận lợi do di chuyển đầu tiên của người
chơi 1 khá nhỏ, và kết quả hầu như đối xứng.
? BÀI TẬP 473.1 (Những đề nghị một chiều) Xem xét biến thể của trò chơi thương lượng
với các đề nghị lần lượt, là trò chơi mà trong đó người chơi 1 đưa ra các lời đề nghị: trong
mỗi chu kỳ, người chơi 1 đưa ra một lời đề nghị, mà người chơi 2 có thể chấp nhận – nghĩa
là trò chơi kết thúc, hoặc từ chối – nghĩa là sẽ dẫn đến một chu kỳ mới mà trong đó người
chơi 1 tiếp tục đưa ra lời đề nghị khác. Xem xét cặp chiến lược mà trong đó người chơi 1
luôn luôn đề nghị ( x1 ,1  x1 ) và người chơi 2 luôn luôn chấp nhận lời đề nghị ( y1 , y2 ) nếu
và chỉ nếu y2 1  x1 . Tìm các giá trị x1 sao cho cặp chiến lược này là một cân bằng hồn
hảo trị chơi con. (Một cặp chiến lược là cân bằng hồn hảo trị chơi con của trị chơi này
nếu và chỉ nếu nó thỏa đặc tính một sự chệch hướng).
? BÀI TẬP 473.2 (Trò chơi thương lượt với các lời đề nghị lần lượt, và hằng số chi phí của

độ trễ). Marx (1973, 65) viết rằng “Tiền lương được xác định bởi sự chiến đấu đối kháng
giữa giai cấp tư bản và giai cấp công nhân. Chiến thắng là tất yếu cho nhà tư bản. Nhà tư
bản có thể sống mà không cần công nhân lâu hơn là cơng nhân sống khơng cần nhà tư bản”.
Có thể ơng nghĩ rằng đây là một biến thể của trò chơi thương lượng với đề nghị lần lượt mà
tron gđó mỗi người chơi i sẽ tiêu tốn ci trong mỗi chu kỳ trì hỗn (hơn là sự chiết khấu đối
với hàm thưởng phạt), như trong Bài tập 468.1 và 468.2. Chỉ ra rằng nếu c1  c2 , thì trị
chơi có một cân bằng hồn hảo trị chơi con trong đó người chơi 1 luôn luôn đề nghị (1, 0)
(Thật ra trong trường hợp này trị chơi khơng có cân bằng hồn hảo trị chơi con nào khác).
Và cũng chỉ ra rằng nếu c1 c2 c , thì với mọi giá trị z1 với c  z1 1 , trò chơi có một cân
bằng hồn hảo trị chơi con trong đó người chơi 1 luôn luôn đề nghị ( z1 ,1  z1 ) . (Trong cả
hai trường hợp, một cặp chiến lược là một cân bằng hồn hảo trị chơi con nếu và chỉ nếu
nó thỏa đặc tính một sự chệch hướng).
16.1.4 Rủi ro đổ vỡ sự thương lượng
Trong một vài trường hợp, một người thương lượng được thúc đẩy để đạt đến thỏa thuận
bởi vì người đó nghĩ rằng có một cơ hội, độc lập với hành vi của mình và hành vi của đối
thủ, là các thương lượng này sẽ kết thúc một cách bất ngờ. Ví dụ, người chơi có thể sợ rằng
miếng bánh hiện có sẽ có thể biến mất do hành động của một người thứ ba, hoặc đối thủ
của mình gặp một cơ hội bất ngờ, và khơng cịn quan tâm tới việc thương lượng với mình
nữa.

473


Đồ thị 474.1 Hai chu kỳ đầu tiên của biến thể của trò chơi thương lượng với các đề nghị lần lượt
trong đó sự thương lượng có thể đổ vỡ với xác suất  , sau khi một lời đề nghị bị từ chối.

Ta có thể mơ tả ý tưởng này trong một biến thể của trò chơi thương lượng với đề nghị lần
lượt mà trong đó sau mỗi đề nghị bị từ chối, một di chuyển tình cờ sẽ kết thúc quá trình
thương lượng với xác suất   0 . Với sự hiện diện của yếu tố ngẫu nhiên này, ta cần cung
cấp cho các người chơi sự ưa thích dựa vào sự ngẫu nhiên trong việc chia chiếc bánh.

Giả sử rằng sự ưa thích của mỗi người chơi i được biểu diễn bằng giá trị kỳ vọng của hàm
thưởng phạt Bernoulli ui , được xác định dựa trên lượng bánh mà người chơi nhận được (vì
thế sự định giá của người chơi đối với cách chia ( x1 , x2 ) là ui ( xi ) ). Kí hiệu hàm thưởng
phạt Bernoulli của các người chơi là (b1 , b2 ) khi sự kiện thương lượng bị chấm dứt, và giả
sử rằng có một vài cách chia miếng bánh ( x1 , x2 ) sao cho 0 bi  ui ( xi ) đối với mỗi người
chơi i. (Như thế có một vài cách chia miếng bánh được ưa thích hơn sự đổ vỡ đối với cả hai
người chơi; và đối với mỗi người chơi, sự đổ vỡ không tệ hơn là không được nhận miếng
bánh nào). Khả năng đổ vỡ đặt áp lực lên các bên để đạt đến sự thỏa thuận ngay cả trong
trường hợp họ không mất kiên nhẫn; tôi giả sử rằng 1  2 1 . Hai chu kỳ đầu tiên của trò
chơi được minh họa như trong Đồ thị 474.1.
Bằng lập luận tương tự như đối với trò chơi thương lượng với các lời đề nghị lần lượt, trị
chơi này có một cân bằng hồn hảo trị chơi con duy nấht. Trong cân bằng này,
 Người chơi 1 luôn luôn đề nghị xˆ ( ) và chấp nhận một lời đề nghị y nếu và chỉ nếu
y1  yˆ1 ( )
 Người chơi 2 luôn luôn đề nghị yˆ ( ) và chấp nhận một lời đề nghị x nếu và chỉ nếu
x2 xˆ2 ( ) ,
Với mỗi người chơi không có sự thiên lệch giữa từ chối và chấp nhận đề nghị cân bằng của
người chơi khác, vì thế
u1 ( yˆ1 ( )) (1   )u1 ( xˆ1 ( ))   b1
(474.1)
u2 ( xˆ2 ( )) (1   )u2 ( yˆ 2 ( ))   b2

474


Đồ thị 475.1 Ví dụ minh họa lời đề nghị xấp xỉ của mỗi người chơi (và được người chơi khác chấp
nhận) trong biến thể của trò chơi thương lượng với các lời đề nghị lần lượt trong đó có một xác suất
dương nhỏ mà sau khi từ chối lời đề nghị bất kỳ, sự thương lượng sẽ đổ vỡ .

Ví dụ, nếu cả hai người chơi đều trung hịa rủi ro, với ui ( xi ) xi đối với mỗi người chơi i,

thì
1  b2  (1   )b1
xˆ1 
2 
(1   )(1  b2 )  b1
yˆ1 
2 
Khi giá trị  gần bằng 0, thuận lợi của người chơi 1 vì thực hiện lời đề nghị đầu tiên là khá
nhỏ, do khả năng bị chen ngang và chấm dứt sự thương lượng. Trong trường hợp này, cả xˆ1
và yˆ1 đều gần với

1
2

1

(1  b2  b1 ) , hoặc b1  (1  b1  b2 ) . Vì thế, các lời đề nghị đươc thực
2

hiện trong cân bằng hồn hảo trị chơi con khi xác suất đổ vỡ gần bằng 0 và các người chơi
trung hòa rủi ro, là cả hai sẽ gần với
1
1


 b1  (1  b2  b1 ), b2  (1  b1  b2 )  (475.1)
2
2



Như thế, các người chơi chia đều phần bánh vượt quá tổng b1  b2 mà họ nhận được trong
trường hợp đổ vỡ. (xem Đồ thị 475.1).
16.1.5 Các lựa chọn bên ngoài
Trong một vài tình huống, một bên thương lượng có quyền q vỡ lương lượng và theo
đuổi một , người mua hàng thương lượng với người bán, có quyền khởi đầu cự thương
lượng với một người bán hàng khác; một công ty thương lượng với một liên minh có quyền
chấm dứt thương lượng và bán tài sản của nó.
Xem xét một biến thể của trò chơi thương lượng với các lời đề nghị lần lượt trong đó một
bên, ví dụ như người chơi 2, khi đáp ứng đối với một lời đề nghị, có thể theo đuổi một lựa
chọn bên ngồi mà tạo ra cho người chơi 2 hàm thưởng phạt cố định v2 . Giả sử rằng nếu
người chơi 2 theo đuổi quyền chọn này, hàm thưởng phạt của người chơi 1 sẽ là 0. Hai chu
kỳ đầu tiên của trò chơi được minh họa trên Đồ thị 476.1, trong đó O là hành động của
người chơi 2 khi lựa chọn bên ngoài.

475


Đồ thị 476.1 Hai chu kỳ đầu tiên trong biến thể trò chơi của trò chơi thương lượng với lời đề nghị
lần lượt trong đó người chơi 2 có thể đáp ứng với một lời đề nghị bằng cách lựa chọn bên ngồi.

Trước khi nghiên cứu trị chơi này, xem xét một biến thể của trò chơi khi chu kỳ là xác
định. Khi chỉ có một chu kỳ (là một biến thể của trò chơi tối hậu thư), người chơi 1 phải đề
nghị người chơi 2 ít nhất là v2 để ngăn chặn việc người chơi 2 có lựa chọn từ bên ngồi, mà
điều đó sẽ khiến hàm thưởng phạt của người chơi 1 bằng 0. Bằng một lập luận tương tự như
đối với trò chơi tối hậu thư, trong cân bằng hồn hảo trị chơi con duy nhất, người chơi 1 đề
nghị chính xác là v2 , vì thế hàm thưởng phạt của người chơi 1 là 1  v2 .
Trong trị chơi có hai chu kỳ, sự tồn tại quyền chọn bên ngồi khơng làm thay đổi đề nghị
của người chơi 2 ở chu kỳ thứ hai – người chơi 2 vẫn đề nghị lấy tất cả chiếc bánh – nhưng
nó khiến cho người chơi 1 phải đề nghị chia cho người chơi 2 ít nhất là v2 trong chu kỳ đầu

tiên để ngăn chặn việc người chơi 2 lựa chọn bên ngồi. Vì thế, nếu  2  v2 , thì việc lựa
chọn bên ngồi là tối hơn đối với người chơi 2 nếu người chơi 2 đạt được cả chiếc bánh
trong chu kỳ thứ hai, cân bằng dẫn đến đề nghị của người chơi 1 là (1  v2 , v2 ) . Tuy nhiên,
nếu  2  v2 , lựa chọn bên ngoài của người chơi 2 là khơng thích hợp: cân bằng hồn hảo trò
chơi con của trò chơi con mà kết quả là nếu người chơi 2 khơng lựa chọn bên ngồi, thì tạo
cho người chơi 2 hàm thưởng phạt lớn hơn lựa chọn bên ngoài, và người chơi 1 cần đề nghị
người chơi 2 giá trị  2 trong chu kỳ đầu tiên, như là trong trị chơi khơng có lựa chọn bên
ngồi.
Bài học đó là nếu quyền chọn bên ngồi của người chơi 2 tạo cho người chơi 2 một hàm
thưởng phạt cao hơn hàm thưởng phạt cân bằng trong trò chơi con mà theo sau một quyết
định từ bỏ quyền chọn, thì sự tồn tại của quyền chọn sẽ ràng buộc đề nghị của người chơi 1;
ngược lại nó khơng ảnh hưởng đến đề nghị của người chơi 1. Nói tóm lại, gọi x* là đề nghị
ban đầu của người chơi 1 trong trò chơi thương lượng với đề nghị lần lượt (khơng có quyền
chọn bên ngồi), như trong Định đề 471.3. Và ta có kết quả sau đâu đối với trị chơi có chu
kỳ khơng xác định




*
Nếu v2  x2 , thì cặp chiến lược định nghĩa trong Định đề 471.3 là một cân bằng
hồn hảo trị chơi con duy nhất của trị chơi (Người chơi 2 khơng bao giờ lựa chọn
bên ngồi).
*
Nếu v2  x2 , thì trị chơi có một cân bằng hồn hảo trị chơi con duy nhất, trong đó

476


o Người chơi 1 luôn luôn đề nghị (1  v2 , v2 ) và chấp nhận lời đề nghị y nếu và

chỉ nếu y1 1 (1  v2 )
o Người chơi 2 luôn luôn đề nghị (1 (1  v2 ),1  1 (1  v2 )) và chấp nhận lời đề
nghị x nếu và chỉ nếu x2 v2 .
Kết quả này mô tả trực giác là một quyền chọn bên ngồi của một người chơi có giá trị chỉ
nếu nó lớn hơn hàm thưởng phạt của người chơi trong cân bằng mà nó khơng có mặt. Tuy
nhiên, nó phụ thuộc vào giả thiết rằng một người chơi có thể lựa chọn bên ngoài chỉ khi đáp
ứng với một lời đề nghị của người chơi kia. Ví dụ, nếu một người chơi có thể lựa chọn bên
ngồi sau khi đối thủ của mình từ chối một lời đề nghị, hoặc cả khi đáp ứng với một lời đề
*
nghị và sau khi đối thủ từ chối lời đề nghị của mình, thì sẽ có một vài giá trị v2 nhỏ hơn x2 ,
trị chơi có các cân bằng hồn hảo trị chơi con trong đó hàm thưởng phạt của người chơi 2
*
vượt quá x2 . (Để xem chi tiết, xem nghiên cứu của Shaked 1994 và Osborne và Rubinstein
1990, trang 60-62).
16.1.6 So sánh sự phá vỡ thương lượng ngoại sinh và quyền chọn bên ngoài
Trong Phần 16.1.4 ta đã xem xét ảnh hưởng trong kết quả thương lượng có thể nếu sau sự
từ chối bất kỳ, việc thwong lượng có thể chấm dứt với một xác suất ngoài tầm kiểm soát
của một trong hai bên. Cụ thể, việc gia tăng trong giá trị hàm thưởng phạt phá vỡ thương
lượng của một bên sẽ luôn luôn làm tăng hàm thưởng phạt cân bằng của người chơi đó,
ngay cả nếu hàm thưởng phạt phá vỡ thương lượng nhỏ hơn hàm thưởng phạt cân bằng. Lý
do đó là sự gia tăng hàm thưởng phạt phá vỡ thương lượng làm tăng hàm thưởng phạt kỳ
vọng của người chơi trong trò chơi con theo sau việc từ chối một lời đề nghị. Nếu một
người chơi có thể chọn ngừng thương lượng, ta sẽ đạt được một kết quả khác. Với giả thiết
thời gian trong Phần 16.1.5, quyền chọn bên ngoài của một người chơi ảnh hưởng hàm
thưởng phạt của người chơi chỉ nếu hàm thưởng phạt mà nó tạo ra vượt quá hàm thưởng
phạt cân bằng trong trường hợp khơng có mặt của quyền chọn bên ngoài. Điểm cần lưu ý ở
đây là người chơi có thể thực hiện quyền chọn một cách hợp lý chỉ khi nó đen lại lợi ích
cho người chơi, vì thế một quyền chọn mà kém hơn hàm thưởng phạt cân bằng của người
chơi trong trường hợp khơng có quyền chọn đó, là khơng phù hợp. (Lập luận này là chủ đề
ở đaonj cuối trong Phần 16.1.5).

Biểu hiện của những kết quả này đó là khi một người sử dụng mơ hình thương lượng để
giải thích một hiện tượng kinh tế hoặc xã hội, trị chơi phải được mơ tả một cách thích hợp,
trong trị chơi mà các người chơi mà có thể dừng việc thương lượng do các sự kiện ngồi
tầm kiểm sốt của một trong các người chơi, hoặc trong trị chơi mà một trong hai người
chơi có thể chọn việc ngừng thương lượng.
16.1.7 Có nhiều hơn hai người chơi
Trò chơi thương lượng với các đề nghị lần lượt có thể mở rộng đối với ba hay nhiều người
chơi theo nhiều cách. Ví dụ, ta có thể u cầu tất cả người chơi hoặc đa số người chơi, chấp
nhập một lời đề nghị trước khi nó kết thúc. Trong mỗi trường hợp, ta có thể dễ dàng tìm
được một cân bằng hồn hảo trị chơi con trong đó chiến lược của mỗi người chơi là ổn
điịnh. Tuy nhiên, ở một khía cạnh chính, những mở rộng này ít thành cơng như trị chơi hai
người chơi: nó có nhiều cân bằng hồn hảo trị chơi con khơng ổn định, với một chuỗi rộng
477


các hàm thưởng phạt cân bằng. Một ví dụ như thế được đề cập trong nghiên cứu của
Osborne và Rubinstein (1994, trang 130-131).
16.2 Ví dụ minh họa: giao dịch trên thị trường
Trong trò chơi thương lượng với các lời đề nghị lần lượt, hai bên bị giới hạn là chỉ thương
lượng với nhau. Khi giao dịch trên thị trường, thông thường một đại lý có quyền từ bỏ đối
tác hiện tại và bắt đầu thương lượng với một đơn vị khác. Trong phần này, tơi trình bày một
vài mơ hình đơn giản trong đó một người bán có quyền giao dịch với một trong hai người
mua. Trong mỗi trường hợp, người bán ban đầu sở hữu một đơn vị hàng hóa khơng thể
phân chia, và người bán sẽ nhận một hàm thưởng phạt là p nếu giao dịch ở mức giá p, và
hàm thưởng phạt là 0 nếu không thực hiện giao dịch. Người mua gán giá tri L và H L
đối với món hàng đó, người mua với giá trị v sẽ nhận hàm thưởng phạt v  p nếu mua được
hàng ở mức giá p, và hàm thưởng phạt là 0 nếu không giao dịch. Mỗi bên sử dụng  như
một nhân tố chiết khấu hàm thưởng phạt tương lai. Ta sẽ quan tâm xem sự hiện diện của
người mua thứ hai ảnh hưởng tới mức giá được thương lượng như thế nào.
16.2.1 Sự kết hợp ngẫu nhiên

Trong mơ hình đầu tiên mà tơi sẽ thảo luận, trong mỗi chu kỳ, người bán kết hợp ngẫu
nhiên với một người mua, và gnười đưa ra đề nghị bắt cặp được xác định một cách ngẫu
nhiên. Trước khi nghiên cứu mơ hình này, xem xét giả thiết về việc người đề nghị được
chọn một cách ngẫu nhiên trong mơ hình với một người mua. Như thế, xem xét một biến
thể của trò chơi thương lượng với đề nghị lần lượt, mà trong đó tại điểm bắt đầu của trị
chơi và sau đề nghị bất kỳ nào bị từ chối, mỗi người chơi được chọn ngẫu nhiên với xác
suất ½ để đưa ra một lời đề nghị, và người chơi kia sẽ là người trả lời. Trò chơi này, cũng
như trò chơi thương lượng với các lời đề nghị lần lượt, có một cân bằng hồn hảo trị chơi
con duy nhất, trong đó mỗi người chơi đưa ra cùng một lời đề nghị khi mình là người đề
nghị và sử dụng cùng một quy tắc để chấp nhận một lời đề nghị khi mình là người đáp ứng.
Cũng như trước, trong một cân bằng, người đáp ứng khơng có sự thiên lệch giữa chấp nhận
một lời đề nghị và từ chối lời đề nghị. Kí hiệu mức giá được đề nghị bởi người bán và
người mua trong cân bằng bằng s và b. Nếu người bán chấp nhận b, hàm thưởng phạt của
người bán là b. Nếu từ chối b, thì trò chơi sẽ chuyển tới chu kỳ kế tiếp, trong đó người bán
sẽ có xác suất ½ để trở thành người đề nghị, vì thế hàm thưởng phạt là  s , và với xác suất
½ người mua sẽ là người đề nghị, vì thế hàm thưởng phạt của người bán sẽ là  b . Vì thế,
trong một cân bằng, ta sẽ có
1

1

2

2

b   s  b
Bằng lập luận tương tự đối với người mua với giá trị v, ta có
1

1

2

2

v  s   (v  s )   ( v  b ) .
Giải những phương trình này (tương tự như (471.1) và (471.2)), ta được:
1

1

2

2

b   v và s  (2   )v .

478


Cụ thể, nếu  gần bằng 1 (các người chơi rất kiên nhẫn), thfi cả hai mức giá gần bằng

1
2

v:

trong cân bằng, thặng dư v được chia thành hai phần hầu như là bằng nhau cho cả người
bán và người mua.
Bây giờ, giả sử rằng có hai người mua giống nhau ( H L v ). Xem xét trò chơi trong đó

trong mỗi chu kỳ người bán đầu tiên kết hợp ngẫy nhiên với một trong các người mua, rồi
một trong các bên được chọn một cách ngẫu nhiên để đưa ra lời đề nghị. Người đáp ứng có
thể chấp nhận lời đề nghị, trong trường hợp đó giao dịch sẽ xảy ra và trò chơi kết thúc, hoặc
từ chối lời đề nghị, khi đó trị chơi chuyển sang chu kỳ kế tiếp, trong đó người bán một lần
nữa sẽ chọn để kết hợp với một trong hai người chơi một cách ngẫu nhiên. Trị chơi này có
một cân bằng hồn hảo trị chơi con trong đó, cũng như phần trước, người đáp ứng khơng
có sự thiên lệch giữa việc chấp nhận và từ chối một lời đề nghị.
? BÀI TẬP 479.1 (Trò chơi thương lượng một người bán hai người mua với sự kết hợp
ngẫu nhiên). Tìm mức giá đề nghị bởi người bán và bởi mỗi người mua trong cân bằng
hồn hảo trị chơi con của trị chơi được mô tả ở đoạn trên. Chỉ ra rằng khi  gần bằng 1,
cả hai mức giá gần bằng v.
Kết quả trong bài tập này chỉ ra rằng khi các người chơi đủ kiên nhẫu, người bán đạt được
hầu như tất cả giá trị thặng dư: việc có mặt thêm người mua tiềm năng thứ hai làm tăng
mức giá từ gần bằng

1
2

v tới v. Quyền lực của người bán do là người mua biết rằng nếu

mình từ chối một lời đề nghị, thì sẽ có xác suất ½ là người mua khác sẽ kết hợp với người
bán trong chu kỳ kế tiếp, và mình sẽ khơng thể giao dịch tiếp.
16.2.2 Chọn đối tác
Giả sử rằng khi người bán đưa ra một lời đề nghị, người bán chọn một người mua để
thương lượng. Như thế, xem xét trò chơi sau đây. Đầu tiên, người bạn chọn một người mua.
Sau đó người bán đưa ra một đề nghị đối với người mua đó. Người mua được chọn có thể
chấp nhận lời đề nghị đó, như thế trị chơi kết thúc, hoặc từ chối, và đưa ra một lời đề nghị
khác đối với người bán. Nếu người bán từ chối lời đề nghị đó, người bán có thể tiếp tục lựa
chọn một người mua để tiến hành thương lượng trong chu kỳ kế tiếp. Sự định giá H và L
của các người mua có thể khác nhau; người mua mà định giá H là BH và người mua định

giá L là BL .
Khả năng mà người bán giao dịch với nhiều người mua khác nhau ảnh hưởng như thế nào
đến cân bằng? Câu hỏi chính là có “sự đe dọa” do người bán có thể chuyển sang thương
lượng với người mua khác nếu đối tác hiện tại từ chối lời đề nghị của mình là đáng quan
tâm. Với phân tích của chúng ta về tác động của lựa chọn bên ngoài trong Phần 16.1.5, ta
có thể dự đốn một cách chính xác là khơng có sự đe doạn. Bài tập kế tiếp u cầu bạn đọc
kiểm tra hồ sơ chiến lược trong đó người bán thương lượng với người mua BH nếu người
mua khác khơng tồn tại là một cân bằng hồn hảo trị chơi con. Thật ra, tất cả các cân bằng
hồn hảo trò chơi con tạo ra cùng một hàm thưởng phạt như cân bằng đó.
? BÀI TẬP 479.2 (Trị chơi thương lượng một người bán – hai gnười mua với sự lựa chọn
đối tác). Chỉ ra rằng hồ sơ chiến lược theo sau là một cân bằng hồn hảo trị chơi con của
trò chơi được định nghĩa ở phần này. (Hồ sơ chiến lược trong trò chơi là một cân bằng hồn
hảo trị chơi con nếu và chỉ nếu nó thỏa đặc tính một sự chệch hướng). Người bán ln luôn
479


chọn người mua BH , đề nghị mức giá H /(1   ) (đối với cả hai người mua), và chấp nhận
một mức giá nếu và chỉ nếu nó ít nhất là  H /(1   ) . Người mua BH luôn luôn đề nghị
 H /(1   ) và chấp nhận một mức giá nếu và chỉ nếu nó nhiều nhất là H /(1   ) . Người
mua BL luôn luôn đề nghị min{L,  H /(1   )} và chấp nhận một mức giá nếu và chỉ nếu
nó nhiều nhất là min{L, H /(1   )} .
Điểm quan tâm ở đây là nếu H  L , thì gnười bán ở vị trí là kẻ mạnh đối với người mua
BH , hơn là đối với người mua BL , vì thế sự đe dọa, do khi đang thương lượng với BH mà
chuyển sang BL , là khơng thể có.
Như khi ta thêm vào quyền chọn bên ngồi đối với trị chơi thương lượng với các đề nghị
lần lượt, kết quả này phụ thuộc vào tính thời gian của trị chơi. Trị chơi mà trong đó gnười
bán có thể chuyển đối tác chỉ trước khi người mua đưa ra một lời đề nghị sẽ có nhiều cân
bằng hồn hảo trị chơi con, trong đó hàm thưởng phạt của người bán vượt quá hàm thưởng
phạt khi khơng có người mua BL .
16.2.3 Các thơng báo giá cơng khai

Trong mơ hình ở Phần 16.2.1 (kết hợp ngẫu nhiên), sự hiện diện của hai người mua dẫn đến
mỗi người phải chấp nhận những lời đề nghị vì nếu người mua từ chối lời đề nghị, sẽ có
khả nănng người bán chuyển sang giao dịch với người mua khác. Vì lý do này, các người
mua đang cạnh tranh với nhau. Trong trò chơi sau đây, sự cạnh tranh của các người mua
trực tiếp hơn.
Đầu tiên, người bán thơng báo một mức giá. Người mua BH có thể chấp nhận hoặc từ chối
mức giá này. Nếu chấp nhận, người mua sẽ giao dịch với người bán và trò chơi kết thúc.
Nếu BH từ chối, người mua BL có thể chấp nhận hoặc từ chối. Nếu BL chấp nhận, sẽ tiến
hành giao dịch với người bán và trò chơi kết thúc. Nếu BL từ chối mức giá đó, các người
mua đồng thời đưa ra các mức giá khác trong chu kỳ kế tiếp. Người bán có thể chấp nhận
một trong hai lời đề nghị này, hoặc từ chối cả hai. Nếu từ chối cả hai, trong chu kỳ kế tiếp
người bán lại đưa ra một mức giá mới, và trị chơi lại tiếp tục như trước.
Nếu BL khơng tồn tại, người bạn và người mua đang chơi trò chơi thương lượng với các lời
đề nghị lần lượt, trong cân bằng hồn hảo trị chơi con, người bán đưa ra mức giá H /(1   )
và chấp nhất mức giá ít nhất là  H /(1   ) , và người mua BH luôn luôn đưa ra mức giá
 H /(1   ) và chấp nhận mức giá nhiều nhất là H /(1   ) . Trong trị chơi 3 người mà có
cả người chơi BL , có cân bằng hồn hảo trị chơi con mà trong đó người bán và người mua
BH cũng sử dụng những chiến lược này hay khơng?
Xem xét một trị chơi bắt đầu với các lời đề nghị đồng thời. Người mua BL có thể ảnh
hưởng đến kết quả chỉ nếu BL đề nghị mức giá cao hơn  H /(1   ) - là mức giá đưa ra bởi
BH . Nếu L   H /(1   ) , hàm thưởng phạt của BL khi giao dịch ở mức giá này sẽ âm, vì
thế BL tốt nhất là đưa ra mức giá cao nhất là  H /(1   ) , và mong muốn là không tiến
hành giao dịch. Trong trường hợp này, ba người chơi sẽ có một cân bằng hồn hảo trị chơi
con trong đó người bán và BH hành động như trong trường hợp khơng có BL .

480


Tuy nhiên, nếu L   H /(1   ) , BL sẽ muốn cạnh tranh với BH bằng cách đưa ra mức giá
nằm giữa  H /(1   ) và L, vì thế sẽ tiến hành giao dịch với người bán. Như thế, trị chơi ba

người khơng có cân bằng hồn hảo trị chơi con trong đó người bán và BH hành động như
trong trường hợp không có BL . Thực ra trong trường hợp này, sự cạnh tranh giữa các người
mua dẫn đến L là mức giá cả hai đề nghị, và mức giá người bán đưa ra là  L  (1   ) H .
Bài tập kế tiếp yêu cầu bạn độc kiểm tra rằng trị chơi có một cân bằng hồn hảo trị chơi
con với những tính chất này; thật ra trong mọi cân bằng hồn hảo trị chơi con người bán
đạt được cùng một mức giá.
? BÀI TẬP 480.1 (Trò chơi thương lượng một người bán hai người mua với các mức giá
thông báo công khai) Chỉ ra rằng nếu  H /(1   )  L , thì hồ sơ chiến lược sau đây là một
cân bằng hoàn hảo trò chơi con của trò chơi ba người trong phần này. Người bán luôn luôn
đưa ra mức giá p*  L  (1   ) H (lớn hơn  H /(1   ) ). Nếu các mức giá đề nghị của các
người mua khác nhau, người bán chấp nhận mức giá đề nghị cao hơn nếu mức giá này ít
nhất là p* ; nếu các mức giá người bán đề nghị là như nhau và ít nhất là  p* , người bán
chấp nhận lời đề nghị của BH ; ngược lại người bán từ chối các lời đề nghị khác của các
người mua. Cả hai người mua đề nghị mức giá L. Người mua BH chấp nhận mức giá bất kỳ
nào nhiều nhất là p* , và người mua BL chấp nhận bất kỳ mức giá nào thấp hơn L.
16.3 Mơ hình tiên đề Nash
Một cách tiếp cận hồn tồn khác khi nghiên cứu trị chơi thwong lượng là xem xét tập hợp
các kết quả thỏa một vài đặc tính “hợp lý”. Nó khơng mơ hình hóa quy trình thương lương
– chuỗi các đề nghị có thể và các đề nghị ngược lại – nhưng nó nghiên cứu các tập hợp kết
quả phù hợp với một vài giả thiết về đặc tính của kết quả và nó phụ thuộc như thế nào vào
sự ưa thích của các người chơi và các cơ hội.
Như các phần trước, giả sử rằng hai người chơi phải chia một đơn vị hàng hóa và nếu họ
khơng đạt được thỏa thuận, khơng có người chơi nào nhận được gì cả. Nếu sự ưa thích của
họ đồng nhất, ta có thể tiên đốn một cách hợp lý là mỗi người chơi sẽ nhận được một nửa
món hàng. Sự tiên đốn này dựa trên hai nguyên tắc. Đầu tiên, kết quả này là hiệu quả.
Khơng có phần nào của món hàng bị lãng phí; cụ thể các bên đạt được thỏa thuận. Thứ hai,
kết quả đối xứng. Khơng có sự khác biệt nào giữa các người chơi, và khơng có lý do nào để
chia theo một cách khác với chia đơi. Chỉ có một kết quả này thỏa cả hai nguyên tắc này là
chia đơi.
Điều gì sẽ xảy ra nếu sự ưa thích của cả hai không đồng nhất. Câu hỏi này buộc chúng ta

nghĩ về đặc tính của các sự ưa thích. Kí hiệu X là tập hợp các đồng ý có thể đạt được của
các người chơi, và D là các kết quả mà họ không đạt được thỏa thuận – gọi là các kết quả
bất đồng. Ví dụ, nếu các người chơi chia một đơn vị hàng hóa, và thất bại khơng đạt được
thỏa thuận, nghĩa là khơng có ngươi nào được nhận gì cả, X là tập hợp các phần chia có thể
của món hàng, và D là kết quả trong đó khơng có người chơi nào nhận được phần bất kỳ
của món hàng. Nói tóm lại, X có thể là tập bất kỳ, ví dụ nó có thể bao gồm các hợp đồng
mà chỉ định các hành động của người chơi trong nhiều sự kiện bất ngờ. Bất kể tính chất của
nó, ta có thể giả sử rằng mỗi người chơi có các sự ưa thích trong tập X  {D} (tập hợp tất
cả các thành phần của X, hợp với các thành phần của tập D).
Sự ưa thích của các người chơi trong các kết quả tất định dường như không chứa đủ thông
tin để cho phép chúng ta phân tích kết quả của sự thương lượng bởi vì rủi ro xuất hiện cố
481


hữu trong việc thương lượng: người thương lượng không chắc chắn về hành vi của đối thủ
và cụ thể là phải xem xét khả năng việc thương lượng có thể bị ngừng lại. Vì thế, ta xem sự
ưa thích của các người chơi là ngẫu nhiên trong tập X  {D} . Ta giả thiết rằng sự ưa thích
của mỗi người chơi được biểu diễn bằng giá trị kỳ vọng của hàm thưởng phạt Bernoulli
(xem Phần 4.1.3). Như thế, người chơi i có hàm thưởng phạt ui nằm trong tập X  {D} để
mà người chơi thích sự ngẫu nhiên z trong tập X  {D} ít nhất cũng bằng sự ngẫu nhiên
z  trong tập X  {D} nếu và chỉ nếu giá trị kỳ vọng của ui đối với sự ngẫu nhiên z ít nhất
cũng lớn bằng z  .
Cho hai hàm thưởng phạt u1 và u2 , tập hợp các thỏa thuận có thể tạo ra một tập U các cặp
hàm thưởng phạt có thể, được định nghĩa như sau:
U {(v1 , v2 ) : u1 ( x) v1 và u2 ( x) v2 đối với một vài x  X }
Và kết quả không đạt được thỏa thuận D tạo ra các cặp hàm thưởng phạt d (u1 ( D), u2 ( D))
.
Từ bây giờ, ta sẽ làm việc với tập U và cặp các hàm thưởng phạt d thay vì làm việc với X
và D. Để làm như thế, ta giả sử rằng kết quả của thương lượng chỉ phụ thuộc vào sự ưa
thích của các người chơi, không phụ thuộc vào đặc điểm nào của tập các thỏa thuận có thể.

Mục đích của chúng ta là cô lập các cặp hàm thưởng phạt đối với kết quả của sự thương
thượng, đối với mọi tập U và cặp hàm thưởng phạt d có thể.
Ta giới hạn sự chú ý đối với các cặp (U, d) thỏa các điều kiện trong định nghĩa sau đây
ĐỊNH NGHĨA 482.1 (Bài toán thương lượng), bài toán thương lượng là một cặp (U , d ) ,
với U là một tập các cặp số (tập các cặp hàm thưởng phạt thỏa thuận), và d là cặp các số
(cặp các hàm thưởng phạt không đạt được thỏa thuận), thỏa các điều kiện sau:
 d là một thành phần của U (không đạt được thỏa thuận là một kết quả có thể của
thương lượng – người chơi có thể “thỏa thuận là không đạt được thỏa thuận”).
 đối với một vài thành phần (v1 , v2 ) của U ta có v1  d1 và v2  d 2 (một vài thỏa
thuận tốt cho cả hai người chơi hơn là không đạt được thỏa thuận).
 nếu (v1 , v2 ) và ( w1 , w2 ) cả hai đều thuộc U, thì với mọi  với 0  1 , cặp hàm
thưởng phạt ( v1  (1   ) w1 ,  v2  (1   ) w2 ) cũng nằm trong U. (Tập U là tập lồi).

Đồ thị 482.1 Ví dụ minh họa bài tốn (U , d )



U có biên (nghĩa là nó là một tập con của một tập đủ lớn) và đóng (nghĩa là giới
hạn của mọi chuỗi hội tụ (v1 , v 2 ,...) là thành phần của U sẽ nằm trong U).
482


Một ví dụ của bài tốn thương lượng được biểu diễn trên Đồ thị 482.1. Giải thích hình học
về điều kiện U phải là hàm lồi đó là nếu (v1 , v2 ) và ( w1 , w2 ) cả hai đều thuộc U, thì tất cả
các điểm trên đường thẳng nối (v1 , v2 ) và ( w1 , w2 ) đều nằm trong U. (Ví dụ, hình trái tim
khơng phải là tập lồi, bởi vì đường thẳng nối đỉnh bên trái với đỉnh bên phải nằm ngoài trái
tim).
Nghiệm thương lượng tương ứng với mọi bài toán thương lượng (U , d ) là một thành phần
của U.
ĐỊNH NGHĨA 483.1 (Nghiệm thương lượng) Một nghiệm thương lượng là một hàm

tương ứng với mọi bài toán thương lượng (U , d ) là thành phần của U.
Bây giờ ta có thể phát biểu mục tiêu của chúng ta: để nghiên cứu các nghiệm thương lượng
thỏa mãn một danh sách các điều kiện “hợp lý”, hoặc “tiên đề”. Tại phần mở đầu của phần
này, tôi đã đưa ra hai tiên đề đối với một mơi trường mà trong đó các người chơi chia nhau
một chiếc bánh. Đối với môi trường tổng quát hơn mà chúng ta đang nghiên cứu, những
tiên đề này có thể phát biểu như sau
Đầu tiên, kết quả phải hiệu quả, nghĩa là khơng có thỏa thuận nào đem lại cho hai người
chơi các hàm thưởng phạt cao hơn. Dạng hiệu quả này được gọi là hiệu quả Pareto (sau
nghiên cứu của Vilfred Pareto, 1848-1923), và tiên đề đó có thể phát biểu ngắn gọn như
sau.
Tiên đề Parato (PAR) Gọi (U , d ) là bài toán thương lượng, và gọi (v1 , v2 ) và (v1, v2 ) là
các thành phần của U. nếu v1  v1 và v2  v2 , thì nghiệm thương lượng khơng gán (v1 , v2 )
vào (U , d ) .
Tiên đề này được minh họa trên Đồ thị 483.1. Nó giới hạn các thỏa thuận có thể của tập U
đối với những thỏa thuận nằm trên đường biên phải ở trên, được đánh dấu bằng đường cong
màu đen. Đối với thành phần bất kỳ của U không nằm trên đường này, có một thành phần
khác mà hàm thưởng phạt của cả hai người chơi cao hơn.

Đồ thị 483.1 Một ví dụ minh họa tiên đề hiệu quả Parato (PAR) đối với các nghiệm thương lượng.
Tiên đề này yêu cầu tằng nghiệm thương lượng gán cho nghiệm thương lượng (U , d ) một cặp hàm
thưởng phạt trong phần đường thẳng màu đen

Thứ hai, khi khơng có sự bất đối xứng giữa hai người chơi, kết quả sẽ dẫn đến cả hai người
chơi có cùng một hàm thưởng phạt. Như thế, nếu tập U hoàn toàn đối xứng, và d cho cả hai
người chơi cùng một hàm thưởng phạt, thfi kết quả của cuộc thương lượng nên cho mỗi
người chơi cùng một hàm thưởng phạt.
483


Đối xứng (SYM) Gọi (U , d ) là bài toán thương lượng với (v1 , v2 ) nằm trong U nếu và chỉ

*
*
nếu (v2 , v1 ) nằm trong U và d1 d 2 . Như thế cặp hàm thưởng phạt (v1 , v2 ) của nghiệm
*
*
thương lượng gán cho (U , d ) sẽ thỏa v1 v2 .
Tiên đề này được minh họa trên Đồ thị 484.1. Chú ý rằng nó khơng có giới hạn bất kỳ nào
đối với kết quả nghiệm thương lượng gán cho bài toán lương lượng (U , d ) mà trong đó U
khơng đối xứng hoặc d1 d 2 .
Hai tiên đề này lập tức xác định kết quả của bài toán thương lượng (U , d ) bất kỳ trong đó
U đối xứng và d1 d 2 : điểm nằm trên đường biên phải phía trên của U trong đó hàm
thưởng phạt của các người chơi bằng nhau.
Ta có thể mở rộng giới hạn của hai tiên đề bằng cách xem xét ý nghĩa của một thành phần
của U như là một cặp hàm thưởng phạt Bernoulli. Từ phần 4.12.2 ta biết rằng hàm thưởng
phạt Bernoulli là duy nhất đối với một chuyển đổi tuyến tính. Nói tóm lại, nếu có một số
  0 và  sao cho w( x )  u ( x)   và đối với tất cả x  X , thì hàm thưởng phạt
Bernoulli u và w biểu diễn cùng một sự ưa thích. Một biểu hiện đó là nếu
ui( x)  i ui ( x)   i với i 1, 2 , thì bài toán thương lượng (U , d ) và (U , d ) trong đó
U {(v1 , v2 ) : u1 ( x) v1 và u2 ( x) v2 đối với một vài x  X }
d (u1 ( D), u2 ( D))
và
U  {(v1, v2 ) : u1( x) v1 và u2 ( x) v2 đối với một vài x  X }
d  (u1( D ), u2 ( D))
biểu diễn cùng một tình huống: chỉ có biểu diễn hàm thưởng phạt khác nhau, khơng phải sự
ưa thích. Một ví dụ rõ ràng được trình bày trên Đồ thị 485.2. Một cặp hàm thưởng phạt
(v1, v2 ) là một thành phần của tập U  ở bên phải nếu và chỉ nếu v1  d1 2(v1  d1 ) và
v2  d 2 2(v2  d 2 ) đối với một thành phần (v1 , v2 ) của tập U ở bên trái. Ta có thể viết lại

Đồ thị 484.1 Một ví dụ minh họa của tiên đề đối xứng (SYM) đối với các nghiệm thương lượng.
Tiên đề này yêu cầu rằng các nghiệm thương lượng gán một điểm trên đường thẳng 45 o (đường màu

đen) đối với bài tốn (U , d ) , mà trong đó U đối xứng qua đường 45o và d nằm trên đường này.

mối quan hệ giữa các hàm thưởng phạt là v1 2v1  2d1  d1 và v2 v2  d 2  d 2 , cho phép
chúng ta thấy hàm thưởng phạt cua rmỗi người chơi trong một bài toán là một hàm tuyến
tính của hàm thưởng phạt trong bài tốn khác. Vì thế trong hai bài tốn thương lượng, sự
ưa thích của các người chơi là như nhau, bài toán chỉ khác trong biểu diễn hàm thưởng phạt
của các sự ưa thích này.
484