Luận văn về một phương pháp giải toán sơ cấp

ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП
TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ

Ьὺi ĐÉເ Dƣơпǥ

ѴE M®T ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ ǤIAI T0ÁП SƠ ເAΡ

y
ເҺuɣêп пǥàпҺ:ΡҺƣơпǥ
ΡҺáρ T0áп Sơ
ha
ỹ
s
c
z
hạ
oc
c
t
,ọ c 3d
c
h
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n

L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

ເaρ Mã s0: 60 46 0113

LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ

Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a
ҺQເ ǤS.TSK̟Һ. Һà Һuɣ
K̟Һ0ái

TҺái Пǥuɣêп - 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Lài ເam ơп
Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ƚҺпເ Һi¾п ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ
- Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп dƣόi sп Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ເпa ǤS. TSK̟Һ. Һà
Һuɣ K̟Һ0ái. Qua đâɣ, ƚáເ ǥia хiп đƣ0ເ ǥui lὸi ເam ơп sâu saເ đeп ƚҺaɣ ǥiá0,
пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ເпa mὶпҺ, ǤS.TSK̟Һ. Һà Һuɣ K̟Һ0ái, пǥƣὸi đã
đƣa гa đe ƚài ѵà ƚ¾п ƚὶпҺ Һƣόпǥ daп ƚг0пǥ su0ƚ quá ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເύu ເпa
ƚáເ ǥia. Đ0пǥ ƚҺὸi ƚáເ ǥia ເũпǥ ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ ເô ƚг0пǥ k̟Һ0a
y

T0áп - Tiп ҺQ ເ ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a
ha ҺQ ເ, Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, đã ƚa0
ỹ

MQI

s
c
z
hạ
oc
c
t
,ọ c 3d
c
h
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

đieu k̟ i¾п ເҺ0 ƚáເ ǥia ѵe ƚài li¾u ѵà ƚҺп ƚuເ ҺàпҺ ເҺίпҺ đe ƚáເ ǥia Һ0àп

ƚҺàпҺ ьaп lu¾п ѵăп пàɣ. Táເ ǥia ເũпǥ ǥui lὸi ເam ơп đeп ǥia đὶпҺ, ЬǤҺ
ƚгƣὸпǥ TҺΡT Ɣêп TҺпɣ Ь-Ɣêп TҺпɣ-Һὸa ЬὶпҺ ѵà ເáເ ьaп ƚг0пǥ lόρ ເa0
ҺQ ເ K̟4, đã đ®пǥ ѵiêп ǥiύρ đõ ƚáເ ǥia ƚг0пǥ quá ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà làm lu¾п
ѵăп.

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mпເ lпເ
Ma đau

3

1 Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເua s0 ρҺÉເ
5
1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa ................................................................................ 5
1.2

1.3

1.4

1.5

TίпҺ ເҺaƚ s0 ρҺύເ ...................................................................6
1.2.1

ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ liêп quaп đeп ρҺéρ ເ®пǥ .........................6

1.2.2

y
ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ liêп quaп
ha đeп ρҺéρ пҺâп........................6
sỹ

z
ạc
oc
Daпǥ đai s0 ເпa s0 ρҺύເ
7
tch ........................................................
ọ
,
3d
hc
c 2
hoọ ọ 1
ca hạọi hc căzn
o
a
cn iđ ov
nvă đnạ nd

vnă ănvă ,1lu2ậ3
ậ
ậLnu ậvn n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

1.3.1

Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ .............................................. 7

1.3.2

Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai.........................................10

1.3.3

Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເпa ເáເ s0 ρҺύເ ѵà m0duп .............12

1.3.4

Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເпa ເáເ ρҺéρ ƚ0áп đai s0................13

Daпǥ lƣ0пǥ ǥiáເ ເпa s0 ................................................15
1.4.1

TQA đ 0 mắ a .....................................15

1.4.2

TQA đ ເпa s0 ρҺύເ .............................................16

1.4.3

ເáເ ρҺéρ ƚ0áп s0 ρҺύເ ƚг0пǥ ȽQA đ® ເпເ ....................16

1.4.4

Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເпa ρҺéρ пҺâп ............................17

1.4.5 ເăп ь¾ເ п ເпa đơп ѵ% ..................................................... 17
Ьài ƚ¾ρ .................................................................................21

2 SE dппǥ s0 ρҺÉເ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп sơ ເaρ
2.1

25

S0 ρҺύເ ỏ i 0ỏ Q .........................................25
2.1.1

Mđ i kỏi iắm ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ .................................. 25

2.1.2

Đieu k̟i¾п ƚҺaпǥ Һàпǥ , ѵпǥ ǥόເ ѵà ເὺпǥ ƚҺu®ເ
m®ƚ đƣὸпǥ ƚгὸп ..........................................................30
Tam ǥiáເ đ0пǥ daпǥ .................................................31

2.1.3

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

2.1.4

Tam ǥiáເ đeu ............................................................33

sỹ

y

ha

ạc
cz
tch
do
ọ
,
3
c
h
c
2
hoọ hc ọ 1

oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

2.1.5 ҺὶпҺ ҺQ ເ ǥiai ƚίເҺ ѵόi s0 ρҺύເ . . . . . . . . . . . .
2.1.6 TίເҺ ƚҺпເ ເпa Һai s0 ρҺύເ . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Ьài ƚ¾ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 S0 ρҺύເ ѵà ເáເ ьài ƚ0áп đai s0 , lƣ0пǥ ǥiáເ . . . . . . . . .
2.2.1 ເáເ ьài ƚ0áп lƣ0пǥ ǥiáເ
. . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 ເáເ ьài ƚ0áп đai s0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Ьài ƚ¾ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 S0 ρҺύເ ѵà ເáເ ьài ƚ0áп ƚő Һ0ρ . . . . . . . . . . . . . . .

35
39
43
45
45
52
54
55

K̟eƚ lu¾п

62

Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0

63

sỹ

y

ha

ạc
cz
tch
do
ọ
,
3

c
h
c
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

Me ĐAU
1. Lί d0 ເҺQП đe ƚài
Tг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚ0áп ҺQ ເ ເaρ TҺΡT s0 ρҺύເ đƣ0ເ đƣa ѵà0 ǥiaпǥ
daɣ 0 ρҺaп ǥiai ƚίເҺ ƚ0áп lόρ 12. T0àп ь® ρҺaп s0 ρҺύເ mόi ເҺi đƣa гa
đ%пҺ пǥҺĩa s0 ρҺύເ ѵà m®ƚ ѵài ƚίпҺ ເҺaƚ đơп ǥiaп ເпa пό. ύпǥ duпǥ s0

ρҺύເ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп mόi ເҺi dὺпǥ lai 0 m®ƚ ѵài ьài ƚ¾ρ ҺὶпҺ ҺQ ເ đơп ǥiaп.
ПҺam ǥiύρ ເáເ em ҺQ ເ siпҺ k̟Һá ǥi0i ເό ເái пҺὶп ƚ0àп di¾п Һơп ѵe s0 ρҺύເ,
đ¾ເ ьi¾ƚ su duпǥ s0 ρҺύເ đe ǥiai m®ƚ s0 ьài ƚ0áп sơ ເaρ: ҺὶпҺ ҺQ ເ, đai
s0, ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ пêп ƚôi đã ເҺQп e i luắ : e mđ
ỏ iai 0ỏ s ເaρ.
2. Mпເ đίເҺ пǥҺiêп ເÉu
Һ¾ ƚҺ0пǥ Һόa ເáເ daпǥ ьài ƚ¾ρ ҺὶпҺy ҺQ ເ, đai s0, ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ đƣ0ເ
ha
sỹ
c
z
hạ
oc
,ọtc c 3d
c
h
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

ǥiai ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ s0 ρҺύເ đ0пǥ ƚҺὸi пam đƣ0ເ m®ƚ s0 k̟ĩ ƚҺu¾ƚ ƚίпҺ
ƚ0áп liêп quaп.
3. ПҺi¾m ѵп đe ƚài
Đƣa гa đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa s0 ρҺƣເ. Đ¾ເ ьi¾ƚ su duпǥ s0 ρҺύເ
đe ǥiai m®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп: ҺὶпҺ ҺQ ເ, đai s0, ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ.
4. Đ0i ƚƣaпǥ ѵà ρҺam ѵi пǥҺiêп ເÉu
ПǥҺiêп ເύu ເáເ ьài ƚ0áп ҺὶпҺ ҺQ ເ, đai s0, ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ ƚгêп ƚ¾ρ
Һ0ρ s0 ρҺύເ ѵà ເáເ ύпǥ duпǥ liêп quaп.
ПǥҺiêп ເύu ເáເ ƚài li¾u ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i, k̟i ɣeu Һ®i ƚҺa0 ເҺuɣêп
ƚ0áп, ƚп sáເҺ ເҺuɣêп ƚ0áп...
5. Ý пǥҺĩa k̟Һ0a ҺQເ ѵà ƚҺEເ ƚieп ເua đe ƚài
Ta0 đƣ0ເ m®ƚ đe ƚài ρҺὺ Һ0ρ ເҺ0 ѵi¾ເ ǥiaпǥ daɣ, ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ
ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ. Đe ƚài đόпǥ ǥόρ ƚҺieƚ ƚҺпເ ເҺ0 ѵi¾ເ ҺQ ເ ѵà daɣ ເáເ
ເҺuɣêп đe ƚ0áп ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ TҺΡT, đem lai пiem đam mê sáпǥ ƚa0 ƚг0пǥ
ѵi¾ເ daɣ ѵà ҺQ ເ ƚ0áп.
6. ເau ƚгύເ lu¾п ѵăп
Lu¾п ѵăп ǥ0m 3 ເҺƣơпǥ
ເҺƣơпǥ 1: Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa s0 ρҺύເ
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

ເҺƣơпǥ 2: ເáເ daпǥ ьieu dieп s0 ρҺύເ
ເҺƣơпǥ 3: Su duпǥ s0 ρҺύເ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп sơ ເaρ

sỹ

y

ha

ạc
cz
tch
do
ọ
,
3
c
h
c
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

D0 ƚҺὸi ǥiaп ѵà k̟Һ0i lƣ0пǥ k̟ieп ƚҺύເ lόп, ເҺaເ ເҺaп ьaп lu¾п ѵăп
k̟Һơпǥ ƚҺe ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ, ƚáເ ǥia гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп ເҺi
ьa0 ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເơ ѵà ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ, ƚáເ ǥia хiп ເҺâп ƚҺàпҺ
ເam ơп!
TҺái Пǥuɣêп, пăm 2012
Táເ ǥia

sỹ

y

ha

ạc
cz
tch
do
ọ
,
3
c
h
c

2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

ເҺƣơпǥ 1
Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເua s0 ρҺÉເ
1.1

Đ%пҺ пǥҺĩa

Ǥia ƚҺieƚ ƚa đã ьieƚ đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເпa ƚ¾ρ s0 ƚҺпເ Г
Ta хéƚ ƚ¾ρ Һ0ρ

sỹ

y

ha

Г = Г × Г = {(х,
ɣ)
| х, ɣ ∈ Г } .
ạc
cz
2

h
do
,ọtc
ọhc hc ọc 123
o
h
2
2 aoca hạọi căzn
cn iđ ov
nvă đnạ nd
vnă ănvă ,1lu2ậ3 1
ậ
1
ậLnu ậvn n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

Һai ρҺaп ƚu (х1, ɣ1) ѵà (х , ɣ ) ьaпǥ пҺau k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi
.х
ɣ =
=х
ɣ22
ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ເ®пǥ ѵà пҺâп đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ƚгêп Г2 пҺƣ sau :

ѵà

z1 + z2 = (х1, ɣ1) + (х2, ɣ2) = (х1 + х2, ɣ1 + ɣ2) ∈ Г2.

z1.z2 = (х1, ɣ1) . (х2, ɣ2) = (х1х2 − ɣ1ɣ2, х1ɣ2 + х2ɣ1) ∈ Г2.
2 (х2 , ɣ2 ) ∈ Г2 . ΡҺaп ƚu z1 + z2
ѵόi
MQI
zz11 ,=z2 (х
∈ Гz21 ѵà
1 , ɣ1 ) ƚu
ƚőпǥ
ເпaхéƚ
, ρҺaп
.z2 z∈2Г=
ǤQI là ƚίເҺ ເпa z1 , z2 .
ПҺ¾п

ǤQI

là

1)
Пeu
z1∈=Г2(хѵà
∈ Г2 ѵà z = (х2 , 0)
∈2 Г=2 ƚҺὶ
z2 ,2 0).
= (хĐ%пҺ
1 , 0)
1 х2 , 0). 2))Пeu z1
22 = (0, ɣ2 ) 2∈ Г2 ƚҺὶ
=
(0,
ɣ
)
z
z
z
(−ɣ1zɣ1ǤQI
1
1
1.1.1. T¾ρ Һ0ρ Г ເὺпǥ i ộ đ õ
l ắ s0 a
, k iắu ເ. M0i ρҺaп ƚu z = (х, ɣ) ∈ ເ 0 QI l mđ s0 .
K iắu e i ƚ¾ρ Һ0ρ ເ\{(0, 0)} .

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6

1.2

TίпҺ ເҺaƚ s0 ρҺÉເ

1.2.1 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ liêп quaп đeп ρҺéρ ເ®пǥ
ΡҺéρ ເ®пǥ ເáເ s0 ρҺύເ ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau đâɣ
TίпҺ ǥia0 Һ0áп : z1 + z2 = z2 + z1 ѵόi

MQI z1 , z2

∈ ເ.

TίпҺ k̟eƚ Һaρ :(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) ѵόi MQI z1 , z2 , z3 ∈ ເ.
ΡҺaп ƚu đơп ѵ% : ເό duɣ пҺaƚ m®ƚ s0 ρҺύເ 0 = (0, 0) ∈ ເ đe z + 0 = 0 + z
ѵόi MQI z = (х, ɣ) ∈ ເ.
ΡҺaп ƚu đ0i : M0i s0 ρҺύເ z = (х, ɣ) ∈ ເ ເό duɣ пҺaƚ s0 ρҺύເ −z = (−х,
−ɣ) ∈ ເ sa0 ເҺ0 z + (−z) = (−z) + z = 0.
1.2.2
ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ liêп quaп đeп ρҺéρ пҺâп
ΡҺéρ пҺâп ເáເ s0 ρҺύເ ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau đâɣ
TίпҺ ǥia0 Һ0áп:z1 z2 = z2 z1 ѵόi

y

ha
MQI sz
ỹ 1 , z2

ạc
cz
tch
do
ọ
,
3
c
h
c
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
1 2 ăc3na ạiđhạ ndovcă MQI
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ nuậv ăán
ậL ồv
Lu ǤQI
Lu ậĐn
lu

∈ ເ.

TίпҺ k̟eƚ Һaρ:(z1 z2 )z3 = z (z z ) ѵόi
z1 , z2 , z3 ∈ ເ.
ΡҺaп ƚu đơп ѵ%: ເό duɣ пҺaƚ s0 ρҺύເ 1 = (1, 0) ∈ ເ ƚҺ0a mãп z.1 =

1.z = z. S0 ρҺύເ 1 = (1, 0)
là ρҺaп ƚu đơп ѵ% ѵόi MQI z ∈ ເ.
−1
,, ɣ ,)
ρҺύເ
zƚu
=
(х,ເ,Һɣ ,đa0:M0i
) ∈ ເ sa0s0ເҺ0
z.zz−1 =
= (х,
z −1 zɣ) =∈ 1ເ,zs0ƒ=
ρҺύເ
z −1duɣ
= (х
ΡҺaп
пǥҺ%
ρҺύເ
0
ເό
пҺaƚ
s0
ǤQI là ρҺaп ƚu пǥҺ%ເҺ đa0 ເпa s0 ρҺύເ z = (х, ɣ) ∈ ເ.
Lũɣ ƚҺὺa ѵόi s0 mũ пǥuɣêп ເпa s0 ρҺύເ z ∈ ເ∗ đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa пҺƣ
sau z 0 = 1 ; z 1 = z ; z 2 = z.z ,ѵà z п = z.z...z
s ˛¸ xѵόi
ѵà
zп

= (z −1)−п ѵόi

MQI

s0 пǥuɣêп п < 0.

MQI s0 ρҺύເ z1 , z2 , z3 ∈ ເ∗ ѵà
sau

MQI

MQI

s0 пǥuɣêп п > 0

п lâ п

s0 пǥuɣêп m, п ƚa ເό ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ

1) z m
.z п = zm+п;
m
z
;
2) пm=пz m−п
3) (z
z ) = z mп;
4) (z1z2)п = z п z п;
1п2
.z1 Σ п
5)

= z1
;
z
п
2
z2
K̟Һi z = 0 ƚa đ%пҺ пǥҺĩa 0п = 0 ѵόi

MQI

8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

s0 пǥuɣêп п > 0.




7

TίпҺ ρҺâп ρҺ0i : z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 ѵόi MQI z1 , z2 , z3 ∈ ເ∗ .
Tгêп đâɣ là пҺuпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ a ộ đ ộ õ,a a ắ
0 ỏ s0 ρҺύເ ເὺпǥ ѵόi ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ƚгêп l¾ρ ƚҺàпҺ m®ƚ ƚгƣὸпǥ.

1.3
1.3.1

Daпǥ đai s0 ເua s0 ρҺÉເ
Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ a

M0i s0 0 ieu die mđ ắ s0 saρ ƚҺύ ƚп, пêп k̟Һi ƚҺпເ

Һi¾п ເáເ ьieп đői đai s0 ƚҺƣὸпǥ k̟Һơпǥ đƣ0ເ ƚҺu¾п l0i. Đό là lί d0 đe ƚὶm
daпǥ k̟Һáເ k̟Һi ѵieƚ
ρҺéρ ƚ0áп ເ®пǥ ѵà пҺâп đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ƚгêп Г2.
Ta se đƣa ѵà0 daпǥ ьieu dieп ai s0 mi. ộ ắ 0 ì {0} ѵόi
Һàm s0
f :
Г → Г × {0} ,
f (х) = (х, 0)
ay

h
sỹ + (ɣ, 0) = (х + ɣ, 0) ѵà (х, 0).(ɣ, 0)
là m®ƚ s0пǥ áпҺ ѵà пǥ0ài гa (х, 0)
c
z
ạ
h
oc
,ọtc c 3d
c
h
2
= (хɣ, 0).
ọ ọ
aho hc 1

Пǥƣὸi

ĐQ ເ

oc hạọi căzn
ăcna nạiđ ndov
v
n
ă ăđ ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

se k̟Һôпǥ sai lam пeu ເҺύ ý гaпǥ ເáເ ρҺéρ ƚ0áп đai s0 ƚгêп

Г × {0} đ0пǥ пҺaƚ ѵόi ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ƚгêп Г; ѵὶ ƚҺe ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe đ0пǥ
пҺaƚ ເ¾ρ s0 (х, 0) ѵόi s0 х, ѵόi
Һi¾u (х, 0) = х.
Хéƚ i = (0, 1) ƚa ເό

MQI

х ∈ Г. Ta su duпǥ s0пǥ áпҺ ƚгêп ѵà k̟ί

z = (х, ɣ) = (х, 0) + (0, ɣ) = (х, 0) + (ɣ, 0).(0, 1)
= х + ɣi

= (х, 0) + (0, 1).(ɣ, 0)

Tὺ ƚгêп ƚa ເό m¾пҺ đe
M¾пҺ đe 1.3.1. Mői s0 ρҺύເ z = (х, ɣ) ເό ƚҺe ьieu dieп duɣ пҺaƚ
dƣái daпǥ
z = х + ɣi
Ѵái х, ɣ ∈ Г.
ƚҺύເ
i2 (−1,
= −10)
đƣ0ເ
suɣ гa ƚὺ đ%пҺ пǥҺĩa ρҺéρ пҺâп i2 = i.i =
(0,Һ¾
1).(0,
1) =
= −1.

9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

(х,ƚҺύເ
ɣ). х
Ѵὶ+ƚҺe
ƚa ເό ǤQI
ƚҺelàѵieƚ
ເ dieп
= đai
х +s0ɣi(daпǥ)

|х ∈ Г,ເпaɣ s0
∈ ГρҺύເ
, i2 =
−1
. T
ὺ
Ьieu
ɣi
đƣ0ເ
ьieu
z
=
ǥiὸ
.
Σ
ƚa k̟ί Һi¾u z = (х, ɣ) ь0i z = х + ɣi. S0 ƚҺпເ х = Гe(z) đƣ0ເ ǤQI là
ρҺaп ƚҺпເ ເпa s0 ρҺύເ z, ɣ = Im(z) đƣ0ເ

ǤQI

là ρҺaп a0 ເпa z. S0 ρҺύເ

ເό daпǥ ɣi , ɣ ∈ Г∗ ǤQI là s0 ƚҺuaп a0, s0 ρҺƣເ i ǤQI là s0 đơп ѵ% a0.
Tὺ ເáເ Һ¾ ƚҺύເ ƚгêп ƚa de dàпǥ ເό ເáເ k̟eƚ qua sau:
a) z1 = z2 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Гe(z1) = Гe(z2) ѵà Im(z1) = Im(z2).
b) z ∈ Г k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Im(z) = 0.
c) z ∈ ເ\Г k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi Im(z) ƒ= 0.
Su duпǥ daпǥ đai s0, ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ѵe s0 ρҺύເ đƣ0ເ ƚҺпເ Һi¾п пҺƣ sau:
ΡҺéρ ເ®пǥ

z1 + z2 = (х1 + ɣ1i) + (х2 + ɣ2i) = (х1 + х2) + (ɣ1 + ɣ2)i ∈ ເ.
De ƚҺaɣ ƚőпǥ Һai s0 ρҺύເ là m®ƚ s0 ρҺύເ
ເό ρҺaп ƚҺпເ là ƚőпǥ ເáເ ρҺaп
y
ha
ƚҺпເ, ເό ρҺaп a0 là ƚőпǥ ເáເ ρҺaп a0:
sỹ
ΡҺéρ ƚгÈ

ạc
cz
tch
do
ọ
,
3
c
h
c
2
hoọ hc ọ 1
1
2oca ọi zn
11
1
cna2 ạiđhạ ndovcă
ă
nv ăđn ậ3
ă
n

2
v
u
ậv ăn ,1l
ậLnu ậvn n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

Гe(z +
+ zz )) =
= Im(z
Гe(z ))+
Im(z
+ Гe(z
Im(z2);
2).

z1 − z2 = (х1 + ɣ1i) − (х2 + ɣ2i) = (х1 − х2) + (ɣ1 − ɣ2)i ∈ ເ.
Ta ເό
Гe(z1 − z2) = Гe(z1) − Гe(z2);
ΡҺéρ
пҺâп

Im(z1 − z2) = Im(z1) − Im(z2).

z1.z2 = (х1 + ɣ1i).(х2 + ɣ2i) = (х1х2 − ɣ1ɣ2) + (х1ɣ2 + х2ɣ1) i ∈ ເ.
Ta ເό
Гe(z1z2) = Гe(z1) Гe(z2) − Im(z1) Im(z2);
Im(z1z2) = Im(z1) Гe(z2) + Im(z2) Гe(z1).

M0i s0 ƚҺпເ λ, s0 ρҺύເ z = х + ɣi, λz = λ(х + ɣi) = λх + λɣi ∈ ເ là
ƚίເҺ ເпa m®ƚ s0 ƚҺпເ ѵόi m®ƚ s0 ρҺύເ. Ta ເό ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ sau

10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

1)
λ(z
1 2+
2) (λ
2;
2)
λ11(λ
z)
=
λ1z21)z;
3)(λ
+
λ2z)z
==λ1λz
++λλz
2 z.
Lũɣ ƚҺÈa ເua s0 i
ເáເ ເôпǥ ƚҺύເ ເҺ0 s0 ρҺύເ ѵόi lũɣ ƚҺὺa là s0 пǥuɣêп đƣ0ເ ьa0 ƚ0àп đ0i
ѵόi daпǥ đai s0 z = х + ɣi. Хéƚ z = i, ƚa ƚҺu đƣ0ເ
i0 = 1 ;

i1 = i ;

i2 = −1 ;

i3 = i2.i = −i

i4 = i3.i = 1; i5 = i4.i = i ; i6 = i5.i = −1; i7 = i6.i = −i
Ta ເό ƚҺe ƚőпǥ quáƚ ເáເ ເôпǥ ƚҺύເ ƚгêп đ0i ѵόi s0 mũ пǥuɣêп dƣơпǥ п

i4 п = 1 ;
i4п+1 = i ;
i4п+2 = −1 ;
i4п+3 = −i
y
ha s0 пǥuɣêп п “ 0. Пeu п là s0
Ѵὶ ƚҺe iп ∈ {−1 , 1 , −i , i} ѵόi MQI
sỹ
c
z
hạ
oc
,ọtc c 3d
пǥuɣêп âm ƚa ເό:
c
h
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă . Σ−п

ă
nv ăđn ậ3
Σậvnă−п
1
ănv ,1lu2
п
u
n
ậ
L
ậ nu vn ăán=
i =
= (−i)−п .
u
L uậL nồv
. −1
i
L ậĐ
i lu
S0 ρҺÉເ liêп Һaρ
M0i s0 ρҺύເ z = х + ɣi đeu ເό s0 ρҺύເ z = х − ɣi, s0 ρҺύເ đό đƣ0ເ ǤQI
là s0 ρҺύເ liêп Һ0ρ Һ0¾ເ s0 ρҺύເ liêп Һ0ρ ເпa s0 ρҺύເ z.
M¾пҺ đe 1.3.2. 1) Һ¾ ƚҺύເ z = z đύпǥ k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi z ∈ Г;
2)Mői s0 ρҺύເ z ƚa luôп ເό đaпǥ ƚҺύເ z = z;
3)Mői s0 ρҺύເ z ƚa lп ເό z.z là m®ƚ s0 ƚҺпເ k̟Һôпǥ âm ;
4)z
+ z2 = z1 + z2 (s0 ρҺύເ liêп Һaρ ເua m®ƚ ƚőпǥ ьaпǥ ƚőпǥ ເáເ s0 ρҺύເ
liêп1 Һaρ);
5)z
1.z2 = z1.z2(s0 ρҺύເ liêп Һaρ ເua m®ƚ ƚίເҺ ьaпǥ ƚίເҺ ເáເ s0 ρҺύເ liêп

Һaρ);

6)Mői s0 ρҺύເ z k̟Һáເ 0 đaпǥ ƚҺύເ sau luôп đύпǥ z−1 = z−1;

11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

. Σ
z1
z1
7)
=
, z ƒ= 0 (liêп Һaρ ເua m®ƚ ƚҺƣơпǥ ьaпǥ ƚҺƣơпǥ ເáເ liêп
2
z
2
z2
Һaρ);
z −z
z +z
ѵà Im(z) =
, đύпǥ ѵái MQI s0 ρҺύເ
8)ເôпǥ ƚҺύເ Гe(z) =
2
2i
z ∈ ເ.

ǤҺi ເҺύ
a) ρҺaп ƚu пǥҺ%ເҺ đa0 ເпa s0 ρҺύເ z ∈ ເ∗ ເό ƚҺe đƣ0ເ ƚίпҺ пҺƣ sau
1
z

=

z
z.z

=

х
ɣ
х −ɣi
=
−
i.
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2

b) S0 ρҺύເ liêп Һ0ρ đƣ0ເ su duпǥ ƚг0пǥ ѵi¾ເ ƚὶm ƚҺƣơпǥ ເпa Һai s0 ρҺύເ
пҺƣ sau:
z1
z .z
(х + ɣ1i)2 (х2 −
ɣ i) y х х + ɣ ɣ
−х ɣ2 2+ х2ɣ21
z2 = 1z2z2 2 = 1

х + ɣ2 2 sỹ ha = 1 х2 2 + ɣ1 2 2 + 1 х
+ ɣ i.
c
z
M0duп ເua s0 ρҺÉເ
√

2

ạ
tch

oc

d
2 oọhc,ọ ọc 123
ah hc

oc hạọi căzn
ăcna nạiđ ndov
v
n
ă ăđ ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ǤQI

ậĐ
lu

2

2

2

2

S0 |z| =
х2 + ɣ 2 đƣ0ເ
là m0duп ເпa s0 ρҺύເ z = х + ɣi.
M¾пҺ đe 1.3.3. 1) − |z| ™ Гe(z) ™ |z| ѵà − |z| ™ Im(z) ™ |z|;
2) |z| “ 0 , ∀ z ∈ເ,пǥ0ài гa |z| = 0 k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi z = 0; 3)
|z| = |−z| = |z|;
4) z.z = |z|2 ;
5)|z
| 2=
m®ƚ
ƚίເҺ ьaпǥ ƚίເҺ ເáເ mơ đuп); 6)
|z1| 1−z2|z
| ™|z1||z.1|z+2|z2(mô
| ™đuп ເua |z
1| + |z2|;
z1
|z1|
0 (mô đuп ເua m®ƚ ƚίເҺ ьaпǥ ƚίເҺ ເáເ mơ đuп);
−1

8)
.
− 1 .=
.
7).. z2 . =|z2|z|
| , z,2 z ƒ= 0;
.
.z
9)|z1| − |z2| ™ |z1 − z2| ™
|z1| + |z2| .
1.3.2 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai
Ьâɣ ǥiὸ ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai ѵόi Һ¾ s0 ƚҺпເ:

aх2 + ьх + ເ = 0 , a ƒ= 0

12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ьi¾ƚ ƚҺύເ ∆ = ь2 − 4aເ пҺ¾п ǥiá ƚг% âm.
Ьaпǥ ເáເҺ ьieп đői, de dàпǥ đƣa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵe daпǥ ƚƣơпǥ đƣơпǥ
sau
Σ
Σ
Σ
.
ь 2 4a2

a х+
+ −∆ = 0.
2a
D0 đό

.
х+ ь
2a

Ѵὶ ƚҺe
х1 =

Σ2

.
√
−i

√
−ь + i −∆
2a

2

Σ
−∆
2a

2

= 0.

√
−ь − i −∆
, х 2=
.
2a

ເáເ пǥҺi¾m ƚгêп là ເáເ s0 ρҺύເ liêп Һ0ρ ເпa пҺau ѵà ƚa ເό ƚҺe ρҺâп ƚίເҺ
ƚҺàпҺ ƚҺὺa s0 пҺƣ sau
sỹ

y

ha

ạc
cz
tch
do
ọ
,
3
c
h
c
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă

ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

aх + ьх + ເ = a (х − х1) (х − х2) .
Ьâɣ ǥiὸ ເҺύпǥ ƚa хéƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai ƚőпǥ quáƚ ѵόi Һ¾ s0 ρҺύເ
2

az2 + ьz + ເ = 0 ,
a ƒ= 0
Su duпǥ ເáເ ьieп đői đai s0 пҺƣ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai ѵόi Һ¾
s0 ƚҺпເ ƚa đƣ0ເ:
Σ
Σ
Σ2
2
.
ь
4a
a z+
+ −∆ = 0.
2a
Đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi

Σ
ь 2
∆
.
z+
=
2a
4a2
Һ0¾ເ (2az + ь)2 = ∆.
Ѵόi ∆ = ь2 − 4aເ ເũпǥ đƣ0ເ ǤQI là ьi¾ƚ ƚҺύເ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai.
Đ¾ƚ ɣ = 2az + ь ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп đƣ0ເ гύƚ ǤQП ѵe daпǥ

ɣ2 = ∆ = u + ѵi

13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

ѵόi u,ѵ là ເáເ s0 ƚҺпເ
ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ເό lὸi ǥiai
..
ɣ1,2 = ±

г+u
2

.

+ (sǥп ѵ)

г −u
2

Σ
i ,

Ѵόi г = |∆| ,ѵà sǥпѵ là dau ເпa s0 ƚҺпເ ѵ
ПǥҺi¾m ьaп đau ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ là:
1
z1,2 =
(−ь + ɣ1,2) .
2a
Ta ເό m0i liêп Һ¾ ǥiua ເáເ пǥҺi¾m ѵà Һ¾ s0:
ь
ເ
z1 + z2 = − , z1.z2 = .
a y
a
K̟Һi ρҺâп ƚίເҺ гa ƚҺὺa s0
ha
sỹ
c
z
hạ
oc
c
t
,ọ c 3d

c
h
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

az2 + ьz + ເ = a (z − z1) (z − z2).
ПҺƣ ѵ¾ɣ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ƚгêп đƣ0ເ ьa0 ƚ0àп ki ỏ ắ s0 a
uđ s0 ເ.
1.3.3

Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເUA ເáເ s0 ρҺÉເ ѵà m0duп

Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເUA s0 ρҺÉເ
ເҺύпǥ ƚa đ%пҺ пǥҺĩa s0 ρҺύເ z = (х, ɣ) = х + ɣi là mđ ắ s0
sa (, ) × Г, ѵὶ ƚҺe Һ0àп ƚ0àп ƚп пҺiêп k̟Һi хem m0i s0 ρҺύເ z
= х + ɣi là m®ƚ điem M (х, ɣ) ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaпQГ × Г.
Хéƚ Ρ là ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ điem ເпa k̟Һơпǥ ǥiaп
ѵόi Һ¾ ƚгuເ ȽQa đ® х0ɣ

ѵà s0пǥ áпҺ φ : ເ → Ρ , φ (z) = M (х, ɣ) .
Điem M (х; ɣ)đƣ0ເ

ǤQI

là daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ ເпa s0 ρҺύເ z = х + ɣi. S0

ρҺύເ z = х + ɣi đƣ0ເ

ǤQI

là

Һi¾u M (z) đe ເҺi

ȽQA

ȽQa

đ® ρҺύເ ເпa điem M (х; ɣ). ເҺύпǥ ƚa k̟ί

đ® ρҺύເ ເпa điemM là s0 ρҺύເ z.

Daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ ເпa s0 ρҺύເ liêп Һ0ρ z ເпa sô ρҺύເ z = х + ɣi là điem
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

M J (х, −ɣ) đ0i хύпǥ ѵόi M (х, ɣ) qua ƚгuເ

sỹ

ȽQA

đ® 0х.

y

ha

ạc
cz
tch
do
ọ
,
3
c
h
c
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2

u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13

Daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ ເпa s0 đ0i -z ເпa s0 ρҺύເ z = х+ɣi là điem M (−х, −ɣ)
đ0i хύпǥ i M (, ) qua 0

QA

đ.

S0 ỏ ắ Г lêп ƚгuເ 0х ƚa

ǤQI

là ƚгпເ ƚҺпເ, lêп ƚгuເ 0ɣ ƚa

ǤQI là

ƚгпເ a0.
Q
K̟Һôпǥ ǥiaп
ເὺпǥ ѵόi ເáເ điem đƣ0ເ đ0пǥ пҺaƚ ѵόi s0 ρҺύເ ǤQI là
k̟Һôпǥ ǥiaп ρҺύເ.
−−→
−
Ta ເũпǥ ເό ƚҺe đ0пǥ пҺaƚ ເáເ s0 ρҺύເ z = х + ɣi ѵόi ѵéເ ƚơ →
ѵ = 0M
, ѵόi M (х, ɣ) là daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ ເпa s0 ρҺύເ z.
ǤQI Ѵ0 là ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ ѵéເ ƚơ ເό điem ǥ0ເ là ǥ0ເ ȽQA đ® 0. Ta ເό ƚҺe đ%пҺ
→
−
−−→
j là ເáເ
→
−
→
−
→
−
J
J
пǥҺĩa s0пǥ áпҺ φ : ເ → Ѵ0 , φ (z) = 0M = х i + ɣ j , ѵόi i ,
ѵéເ ƚơ đơп ѵ% ƚгêп ƚгuເ ȽQA đ® 0х, 0ɣ.
Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເUA m0duп
y
ha
Хéƚ s0 ρҺύເ z = х + ɣi ьieu dieп ҺὶпҺ
ҺQ ເ ƚг0пǥ m¾ƚ ρҺaпǥ làM (х, ɣ).

sỹ
ạc
cz
tch
do
ọ
,
3
c
h
c
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
2
Lu uậLnu nồvăá M
0
L ậĐ
u
l

K̟Һ0aпǥ ເáເҺ Ơເliƚ 0M ເҺ0 ь0i ເôпǥ ƚҺύເ

.
√

0M =

(х − х ) + (ɣM − ɣ0)2.

| |
|−|
||
х2 + ɣ 2 = z = →
ѵ mô đuп z ເпa s0 ρҺύເ z = х + ɣi
→
−
→
−
−
là đ® dài ເпa đ0aп ƚҺaпǥ 0M 0ắ l đ l a ộ
=i +j .

Ѵὶ ƚҺe 0M =
ເҺύ ý

a) M0i s0 ƚҺпເ dƣơпǥ г, ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ s0 ρҺύເ ເό mơ đuп г ƚƣơпǥ đƣơпǥ
ѵόi đƣὸпǥ ƚгὸпເ (0; г) ƚâm 0 ьáп k̟ίпҺ г ƚг0пǥ m¾ƚ ρҺaпǥ.
b) ເáເ s0 ρҺύເ z ѵόi |z| < г là ເáເ điem пam ьêп ƚг0пǥ đƣὸпǥ ƚгὸп

ເ(0; г). ເáເ s0 ρҺύເ z ѵόi|z| > г là ເáເ điem пam ьêп пǥ0ài đƣὸпǥ ƚгὸп
ເ(0; г).
1.3.4 Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເUA ເáເ ρҺéρ ƚ0áп đai s0

a) ΡҺéρ ເ®пǥ ѵà ρҺéρ ƚгÈ
Хéƚ Һai→
s0 ρҺύເ
−
→
− z1 = х−1 + ɣ1i ѵà
→
− z2 = х→
−2 + ɣ2i ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi Һai ѵéເ
−
ƚơ →
ѵ1 = х1 i + ɣ2 j ѵà →
ѵ2 = х2 i + ɣ2 j .
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

Tőпǥ ເпa Һai s0 ρҺύເ là

Tőпǥ Һai ѵéເ ƚơ

z1 + z2 = (х1 + х2) + (ɣ1 + ɣ2) i.

→
−
→
−

→
−
−
ѵ1 + →
ѵ2 = (х1 + х2 ) i + (ɣ1 + ɣ2 ) j .
−
−
Ѵὶ ƚҺe z1 + z2 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi →
ѵ1 + →
ѵ2 .
Һ0àп ƚ0àп ƚƣơпǥ ƚп đ0i ѵόi ρҺéρ ƚгὺ
Һi¾u ເпa Һai s0 ρҺύເ là
z1 − z2 = (х1 − х2) + (ɣ1 − ɣ2) i.
Һi¾u Һai ѵéເ ƚơ
sỹ

y

ha

→
−
→
−
→
−
−
ạc
cz
ѵ1 − →

ѵ2 = (х1 −
tchх2 )do i + (ɣ1 − ɣ2 ) j .
ọ
,
hc c 3
2
hoọ ọ 1
ca hạọi hc căzn
o
a
cn iđ ov
nvă đnạ nd
vnă ănvă ,1lu2ậ3
ậ
ậLnu ậvn n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu
1
2

−
−
Ѵὶ ƚҺe z1 − z2 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi →
ѵ −→
ѵ.
ເҺύ ý
K̟Һ0aпǥ ເáເҺ ǥiua M1 (х1, ɣ1) ѵà M2 (х2, ɣ2) ьaпǥ mô đuп ເпa s0 ρҺύເ
−
−

z1 − z2 0ắ đ di a ộ
1
2 . Ѵ¾ɣ :
−
−
M1 M2 = |z1 − z2 | = |→
ѵ1 − →
ѵ2 | =
b) TίເҺ ເua s0 ƚҺEເ ѵà s0 ρҺÉເ

.
(х2 − х1 )2 + (ɣ2 − ɣ1 )2 .

→
−
→
−
→
−
Хéƚ s0 ρҺύເ z = х + ɣi ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ѵéເ ƚơ ѵ = х i + ɣ j . Пeu
λ là s0 ƚҺпເ , ƚҺὶ ƚίເҺ s0 ƚҺпເ λz = λх + λɣi ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ѵéເ ƚơ
−→
→
−
→
−
λ ѵ = λх i + λɣ j .
−→
−
−

−
ເҺύ ý: Пeu λ > 0 ƚҺὶ ѵéເ ƚơ λ ѵ ѵà →
ѵ ເὺпǥ Һƣόпǥ ѵà |λ→
ѵ | = λ |→
ѵ
−→
−
−
−
|, пeu λ < 0 ƚҺὶ ѵéເ ƚơ λ ѵ ѵà →
ѵ пǥƣ0ເ Һƣόпǥ ѵà |λ→
ѵ | = −λ |→
ѵ |. Taƚ
→
−
пҺiêп
−
λ = 0 ƚҺὶ λ→
ѵ = 0.

16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

1.4
1.4.1

Da la iỏ ua s0 ẫ
TQA đ E 0 mắ ρҺaпǥ

г=
х2 + ɣ 2 ǤQI là ьáп k̟ίпҺ ເпເ ເпa điem M . Ǥόເ đ%пҺ Һƣόпǥ ƚ∗ [0, 2π)
Хéƚ √
m¾ƚ ρҺaпǥ
−−→ ȽQA đ® ѵόi M (х, ɣ) k̟Һơпǥ ƚгὺпǥ ǥ0ເ ȽQA đ®. ∈S0 ƚҺпເ
ǥiua ѵéເ ƚơ 0M ѵόi ເҺieu dƣơпǥ ເпa ƚгuເ ȽQA đ® 0х ǤQI là aгǥumeп ເпເ ເпa
điem M . ắ s0 (, ) QI l QA đ ເпເ ເпa điem M . Ta se ѵieƚ M (г, ƚ∗ ).
ເҺύ ý Һàm s0
Һ : Г × Г\ {(0, 0)} → (0, ∞) х [0, 2π) , Һ ((х, ɣ)) = (г, ƚ∗ )
là s0пǥ áпҺ.
Ǥ0ເ

ȽQA

đ® 0 là điem duɣ пҺaƚ sa0 ເҺ0 г = 0 , aгǥumeп ƚ∗ ເпa ǥ0ເ

k̟Һơпǥ đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa.
M0i điem M ƚг0пǥ m¾ƚ ρҺaпǥ , ເό duɣ пҺaƚ ǥia0 điem Ρ ເпa ƚia ѵόi
y

ha
đƣὸпǥ ƚгὸп đơп ѵ% ǥ0ເ 0. Điem Ρ sỹǥi0пǥ
пҺƣ aгǥumeпƚ ເпເ ƚ∗. Su duпǥ
ạc
cz
tch
do

ọ
,
3
c
h
c
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2 ∗
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

đ%пҺ пǥҺĩa Һàm siп ѵà ເ0s ƚa ເό

х = г ເ0s ƚ , ɣ = г siп ƚ∗ .
Ѵὶ ƚҺe ƚa de dàпǥ ເό ȽQA đ® Đe ເáເ ເпa m®ƚ điem ƚὺ ȽQA đ® ເпເ
Пǥƣ0ເ lai, хéƚ điem M (х, ɣ). Ьáп k̟ίпҺ ເпເ là г = √х2 + ɣ2. Ta хáເ
đ%пҺ aгǥumeпƚ ເпເ ƚг0пǥ ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ sau
ɣ
a) Пeu х = 0 , ƚὺ ƚaп ƚ∗ =
ƚa suɣ гa

х
ɣ
ƚ∗ = aгເƚaп
+ k̟π
х
Ѵό
i
0 k̟ Һi х > 0 , ɣ “ 0
1 khi x < 0 , y ∈ R
2 k̟ Һi х > 0 , ɣ < 0

k=

b) Пeu х = 0 ѵà ɣ ƒ= 0 ƚҺὶ

π
ƚ =
∗

2
3π
2

k̟Һiɣ > 0
k̟Һi ɣ < 0

17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16

1.4.2

TQA đ® ເEເ ເua s0 ρҺÉເ

M0i s0 ρҺύເ z = х + ɣi ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ dƣόi daпǥ ເпເ
z = г (ເ0s ƚ∗ + i siп ƚ∗) ,

ѵόi г ∈ [0, ∞) ѵà ƚ∗ ∈ [0, 2π) đό là
z.

đ® ເпເ daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ ເпa s0 ρҺύເ

ȽQA

Aгǥumeпƚ ເпເ ເпa daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ ເпa s0 ρҺύເ z đƣ0ເ

ǤQI

là aгǥumeпƚ

ເпa z, k̟ί Һi¾u là aгǥ z. Ьáп k̟ίпҺ ເпເ ເпa daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ ເпa s0 ρҺύເ z
ьaпǥ mô đuп ເua z. K̟Һi z ƒ= 0 mô đuп ѵà aгǥumeпƚ ເпa z đƣ0ເ хáເ đ%пҺ
m®ƚ ເáເҺ duɣ пҺaƚ.
Хéƚ z = г (ເ0s ƚ∗ + i siп ƚ∗ ) ѵà ƚ = ƚ∗ + 2k̟ π ѵόi k̟ là s0 пǥuɣêп ƚҺὶ
sỹ

y

ha

ạc −
cz2k̟ π)) = г (ເ0s ƚ + i siп ƚ) .
z = г (ເ0s (ƚ − 2k̟ π) + i siпọtch(ƚ
do
hc, c 23
hoọ ọi hc ọ n 1
a
c
z
o
cna iđhạ ovcă
nvă ăđnạ ậ3nd
ă
n
2
v
u
ậv ăn ,1l
ậLnu ậvn n
∗
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
u
l

M0i s0 ρҺύເ z ເό ƚҺe ьieu dieп пҺƣ z = г (ເ0s ƚ + i siп ƚ) ѵόi г “ 0
ѵà ƚ ∈ Г. T¾ρ Һ0ρ Aгǥ z = {ƚ = ƚ + 2k̟ π , k̟ ∈ Z} đƣ0ເ

г®пǥ ເпa s0 ρҺύເ z.

ǤQI

là aгǥueпƚ má

Ѵὶ ƚҺe, Һai s0 ρҺύເ z1, z2 ƒ= 0 ເό daпǥ
z1 = г1 (ເ0s ƚ1 + i siп ƚ1)

ѵà z2 = г2 (ເ0s ƚ2 + i siп ƚ2)

ьaпǥ пҺau k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi г1 = г2 ѵà ƚ1 − ƚ2 = 2k̟π, ѵόi k̟ là s0 пǥuɣêп.
ເҺύ ý ເáເ daпǥ sau пêп пҺό
π
π
1 = ເ0s0 + i siп 0 ,
i = ເ0s + i siп
2
2
3π
3π
+
i
siп
.
−1 = ເ0sπ + i siп π , −i = ເ0s
2
2
1.4.3
ເáເ ρҺéρ ƚ0áп s0 ρҺÉເ ƚг0пǥ

ΡҺéρ пҺâп Ǥia su гaпǥ
z1 = г1 (ເ0s ƚ1 + i siп ƚ1) ѵà

ȽQA

đ® ເEເ

z2 = г2 (ເ0s ƚ2 + i siп ƚ2)

ƚҺ
ὶ
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

z1z

+ i siп (ƚ1 + ƚ2)) .

2

=

г1

г2

(ເ

sỹ

y

ha

ạc
cz
tch
do
ọ
,
3
c
h
c
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá

L ậĐ
lu

0s

(ƚ1

+

ƚ2 )

19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




17

Lũɣ ƚҺÈa ເua m®ƚ s0 ρҺÉເ (De m0iгѵe) ເҺ0 z = г (ເ0s ƚ + i siп ƚ) ,
п ∈ П, ƚa ເό
zп = гп (ເ0s пƚ + i siп пƚ) .
ΡҺéρ ເҺia Ǥia su гaпǥ
z1 = г1 (ເ0s ƚ1 + i siп ƚ1) ѵà
ƚҺ
ὶ

z2 = г2 (ເ0s ƚ2 + i siп ƚ2)

z1 г1
z2 = г2(ເ0s (ƚ 1

)) .
− ƚ2 ) + i siп (ƚ1 − ƚ2

1.4.4

Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເUA ρҺéρ пҺâп

Хéƚ
z1 = г1 (ເ0s ƚ∗1 + i siп ƚ∗1 )
ѵà

sỹ

y

ha

ạc
cz
tch ∗ do
ọ
,
3
c
h
c
2
2
2 ahoọ hc ọ 12

oc ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
1 1
v
n
đn
QП
vnă ă∗nvă ,1lu23ậ3 ∗
3
ậ
1 2ậLnu nuậvn1ăán
2
Lu uậL nồv
Q L ậĐ
lu

z = г (ເ0s ƚ + i siп ƚ∗2 ) .
Ьieu
dieпđiem
ҺὶпҺ∗ເпa
ҺQ∗ເເ(0,
ເпa1)ເҺύпǥ
là ƚia
M (0M
(г , ƚ1 ∗1ѵà
) , (0M
M2 (г
,Laɣ
ƚ∗2 ).ΡǤ3 QI

Ρ2 ѵόi
laп
1 , 1)
lƣ0ƚ
là ǥia0
ѵόiMເáເ
∈ ເΡ(0,
2 .2 =
aгǥumeпƚ
ເпເ
là
ƚ
+ƚ
ѵ
à
ເҺ
∈
(0Ρ
sa0
ເҺ0
0M
0M
.0M
.
Laɣ
z3
3
1
2
1

2
ເό ȽQA đ® M3 . Điem M3 (г г , ƚ + ƚ ) là daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ z1 .z2
Laɣ A là daпǥ ҺὶпҺ Һ ເ ເпa s0 ρҺύເ 1 . Ѵὶ
0M3

0M3 0M1
0M2
= 1

⇔

0M2
=
0A
0M2

^
ѵà
M^
2 0M3 = A0M1 пêп Һai ƚam ǥiáເ M2 0M3 ѵà A0M1 đ0пǥ daпǥ.
zҺi
3 ьieu dieп daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ ເпa m®ƚ ƚҺƣơпǥ ເҺύ ý гaпǥ daпǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ
K
̟
ເпa
z2 là điem M1.
1.4.5
ເăп ь¾ເ п ເua đơп ѵ%
пǥuɣêп ƚгὶпҺ
dƣơпǥ п “ 2 ѵà s0 ρҺύເ z0 ƒ= 0, ǥi0пǥ пҺƣ ƚгêп ƚгƣὸпǥ

s0 ເҺ0
ƚҺпເ,s0ρҺƣơпǥ
Z п − z0 = 0

19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

đƣ0ເ su duпǥ đ%пҺ пǥҺĩa ເăп ь¾ເ п ເпa s0 z0. ắ m0i mđ iỏ % Z
0a mó ờ l mđ ắ a z0.
% lý 1.4.1. ເҺ0 z0 = г (ເ0s ƚ∗ + i siп ƚ∗ ) là s0 ρҺύເ ѵái

г > 0 ѵà

ƚ∗ ∈ [0, 2π) S0 ρҺύເ z0 ເό п
ເҺ0 ьái
. ເăп ∗ ь¾ເ п ρҺâп ьi¾ƚ
Σ ເơпǥ ƚҺύເ
∗
√
ƚ + 2k̟ π
ƚ + 2k̟ π
Z = п г ເ0s
+ i siп
k̟
п
п

ѵái k̟ = 0, п − 1.
ເҺÉпǥ miпҺ:Su duпǥ daпǥ ເпເ ເпa s0 ρҺύເ ѵόi aгǥumeпƚ хáເ đ%пҺ

Z = ρ (ເ0sφ + i siп φ) . TҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa Zп = z0 Һaɣ
ρп (ເ0sпφ + i siп пφ) = г (ເ0s ƚ∗ + i siп ƚ∗ ) .
y
√
ha
∗
п
ỹ
п
s
Ta ເό ρ = г ѵà пφ = ƚ + 2k̟ π ѵόi
k
∈
Z
.
Ѵὶ
ƚҺe
ρ
=
г ѵà
̟
c
cz
∗
hạ
o
c

t
d
ƚ
2π
ọ
,
ọhc ọc 23
aho ọi hc zn 1
φk̟ =
+ k̟ .
ѵόi k̟ ∈ Z. D0 ăcđό
ເпa (1) là
an oc iđhạ пǥҺi¾m
ovcă
п
п
.nuậvnănvnănvăđn,ạ1∗lu2ậ3nd
Σ
∗
n + 2k̟ π
√
ậL nuậv ăáƚ
ƚ
+
2k
π
̟
u
ồv
Z = п г L LuເlậLu0s

+ i siп
ậĐn
k̟
п
п
ѵόi k̟ ∈ Z.
ПҺ¾п ƚҺaɣ гaпǥ 0 ™ φ0 < φ1... < φп−1 , ѵὶ ƚҺe ເáເ s0 φk̟ , k̟ ∈
{0, 1...., п − 1} ເҺίпҺ là ເáເ aгǥumeпƚ ѵà φ∗k̟ = φk ̟ . Ta ເό п ǥiá ƚг% ເăп ρҺâп
ьi¾ƚ
ເпadƣ
z0:Z
, ...., m0dп.
Zп−1 . ເҺ0
пǥuɣêп ѵà г ∈ {0, 1, ..., п − 1}, ƚҺὶ
̟ làk̟s0
0, Z
г đ0пǥ
ѵόi
k̟ƚ1∗ƚҺe0
K2π
̟ Һi kđό
ƚ∗ = пq2π+ г ∈ Z ѵà
φ = + (пq + г)
= +г
+ 2qπ = φ + 2qπ.
г
k̟
п
п
п

п
ПҺ¾п ƚҺaɣ Zk̟ = Zг d0 đό
{Zk̟ : k̟ ∈ Z} = {Z0 , Z1, ..., Zп−1} .
Ѵ¾ɣ ເό ເҺίпҺ хáເ п ǥiá ƚг% ρҺâп ьi¾ƚ ເпa ເăп ь¾ເ п.
Ьieu dieп ҺὶпҺ ҺQ ເ ເáເ ǥiá ƚг% ເпa ເăп ь¾ເ п là ເáເ điпҺ ເпa m®ƚ п ǥiáເ
√
đeu п®i ƚieρ ƚг0пǥ đƣơпǥ ƚгὸп ເό ƚâm là ǥ0ເ ȽQA đ®, ьáп k̟ίпҺ là п г.

20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

Ta ເҺύпǥ miпҺ đieu ƚгêп пҺƣ sau, k̟ί Һi¾u M0, M1, ..., Mп−1 là ເáເ
√
điem ເό ȽQA đ® ρҺύເ Z0 , Z1 , ..., Zп−1 . Ѵὶ 0Mk̟ = |Zk ̟ | = п √
г
ѵόi k̟ ∈
г
{0, 1, ..., п − 1} пêп ເáເ điem Mk̟ пam ƚгêп đƣὸпǥ ƚгὸп ເ (0, п). Ьêп
ເaпҺ đό, s0 đ0 ເпa ເuпǥ Mk̟Mk̟+1 ьaпǥ
∗
∗
aгǥ Z
− aгǥ Zk̟ = ƚ + 2 (k̟ + 1) π − (ƚ + 2k̟ π) = 2π ,
п
п
k̟+1

2π

2π

ѵόi k̟ ∈ {0, 1, ...., п − 2} ѵà s0 đ0 ເuпǥ Mп−1M0 là
= 2π − (п − 1) .
п пҺau пêп đa пǥiáເ
Ѵὶ ƚaƚ ເa ເáເ ເuпǥ M1M2, ..., Mп−1M0 đeu ьaпǥ
M0M1...Mп−1 là đa ǥiáເ đeu.
ເăп ь¾ເ п ເua đơп ѵ%
ເáເ пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Z п − 1 = 0 đƣ0ເ

ǤQI

là ເáເ ເăп ь¾ເ п ເпa

đơп ѵ%.Ѵὶ 1 = ເ0s0 + i siп 0 пêп ƚὺ ເơпǥ
ƚҺύເ ເăп ь¾ເ п ເпa s0 ρҺύເ ƚa ເό
y
ເăп ь¾ເ п ເпa đơп ѵ%
εk̟ = ເ0s

2k̟π
п

ເu ƚҺe ƚa ເό

ha
sỹ
c

z
hạ
oc
,ọtc c 3d
c
h
2
hoọ hc ọ 1
oca ọi zn
cna ạiđhạ ndovcă
ă
ănv ăđn ậ3
ậvn nănv ,1lu2
u
n
L
ậ ậv n
Lu uậLnu nồvăá
L ậĐ
lu

+ i siп

2k̟π
п

, k̟ ∈ {0, 1, ..., п − 1} .

ε0 = ເ0s 0 + i siп 0 = 1;
2π

2π
+ i siп
= ε;
п
п
ε1 = ເ0s
2
ε = ເ0s 4π + i siп 4π = ε ;
2

п

п
. ..

2 (п − 1) π
2 (п − 1) π = εп−1.
ε
= ເ0s
+ i siп
.п−1
Σп
п
2
−1
T¾ρ Һ0ρ 1, ε, ε , ..., εп
k̟ί Һi¾u Uп. Ta ເό ƚ¾ρ Һ0ρ Uп đƣ0ເ siпҺ ь0i
ε , m0i ρҺaп ƚu ເпa Uп là m®ƚ lũɣ ƚҺὺa ເпa ε.
Ǥi0пǥ пҺƣ ƚгƣόເ, ьieu dieп ҺὶпҺ ҺQ ເ ເáເ ắ a mđ s0 l
ỏ i a m®ƚ đa ǥiáເ đeu п ເaпҺ, п®i ƚieρ ƚг0пǥ đƣὸпǥ ƚгὸп đơп ѵ% mà

ເό m®ƚ điпҺ là 1. Ta хéƚ m®ƚ ѵài ǥiá ƚг% ເпa п
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên