Chương I Bài1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phần 1. Câu hỏi trắc
nghiệm
CHỦ ĐỀ
1.

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ

1) Định lí
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng
Nếu với mọi thuộc thì hàm số đồng biến trên
Nếu với mọi thuộc thì hàm số nghịch biến trên
Nếu với mọi thuộc thì hàm số khơng đổi trên

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một
một nửa khoảng. Khi đó phải bổ sung thêm giả thiết '' Hàm số liên tục trên
đoạn hoặc nửa khoảng đó ''. Chẳng hạn:
Nếu hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [ a;b] và có đạo hàm f ¢( x) > 0 trên khoảng

( a;b) thì hàm số f ( x) đồng biến trên đoạn [ a;b].

2) Định lí mở rộng

Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng . Nếu với mọi (hoặc với mọi
) và chỉ tại một số hữu hạn điểm của thì hàm số đồng biến (nghịch
biến) trên

Chú ý: Tuy nhiên một số hàm số có f ¢( x) = 0 tại vô hạn điểm nhưng các điểm
rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu. Ví dụ: Xét hàm số y = 2x - sin2x.

Ta có

y¢= 2- 2cos2x = 2( 1- cos2x) 0, " x ẻ Ă .
yÂ= 0 Û 1- cos2x = 0 Û x = kp   ( k ẻ Â ) cú vụ hn im lm cho y¢= 0

nhưng các điểm đó rời rạc nên hàm số y = 2x - sin2x đồng biến trên ¡ .
5


Dạng 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên K . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng K thì f ¢( x) 0, " x ẻ K .
B. Nu f Â( x) > 0, " x Ỵ K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K.
C. Nếu f ¢( x) ³ 0, " x Ỵ K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K.
D. Nếu f ¢( x) 0, " x ẻ K v f Â( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm
số đồng biến trên K.
Lời giải. Theo định lí mở rộng thì đáp án C sai. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số f ( x) xác định trên ( a;b) , với x1, x2 bất kỳ thuộc ( a;b) .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số f ( x) đồng biến trên ( a;b) khi và chỉ khi x1 < x2 Û f ( x1 ) > f ( x2 ) .
B. Hàm số f ( x) đồng biến trên ( a;b) khi và chỉ khi x1 > x2 Û f ( x1 ) < f ( x2 ) .
C. Hàm số f ( x) nghịch biến trên ( a;b) khi và chỉ khi x1 > x2 Û f ( x1 ) £ f ( x2 ) .
D. Hàm số f ( x) nghịch biến trên ( a;b) khi và chỉ khi x1 > x2 Û f ( x1 ) < f ( x2 ) .
Lời giải. A sai. Sửa lại cho đúng là '' x1 < x2 Û f ( x1 ) < f ( x2 ) ''.
B sai: Sửa lại cho đúng là '' x1 > x2 Û f ( x1 ) > f ( x2 ) ''.
C sai: Sửa lại cho đúng là '' x1 > x2 Û f ( x1 ) < f ( x2 ) ''.
D đúng (theo định nghĩa). Chọn D.
Câu 3. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu hàm số f ( x) đồng biến trên ( a;b) thì hsố - f ( x) nghịch biến trên

( a;b) .
B. Nếu hàm số f ( x) đồng biến trên ( a;b) thì hsố

1
nghịch biến trên
f ( x)

( a;b) .
C. Nếu hsố f ( x) đồng biến trên ( a;b) thì hsố f ( x) + 2020 đồng biến trên

( a;b) .
D. Nếu hsố f ( x) đồng biến trên ( a;b) thì hsố - f ( x) - 2020 nghịch biến

( a;b) .
Lời giải. Ví dụ hàm số f ( x) = x đồng biến trên ( - ¥ ;+¥ ) , nhưng hàm số
1
1
=
nghịch biến trên các khoảng ( - ¥ ;0) và ( 0;+¥ ) . Do đó B sai. Chọn
f ( x) x
B.

6


Câu 4. (ĐHSP Hà Nội lần 3, năm 2018-2019) Cho hàm số f ( x) có đạo
hàm trên ¡ , thỏa mãn f ¢( x) < 0 với mọi x Î ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f ( x1 ) < f ( x2 ) với mọi x1, x2 Ỵ ¡ và x1 < x2.
B.
C.

D.

f ( x1 )
f ( x2 )

< 1 với mọi x1, x2 Ỵ ¡ và x1 < x2.

f ( x2 ) - f ( x1 )
x2 - x1
f ( x2 ) - f ( x1 )
x2 - x1

> 0 với mọi x1, x2 Î ¡ và x1 ¹ x2.
< 0 với mọi x1, x2 ẻ Ă v x1 ạ x2.

Li gii. T gi thit f Â( x) < 0 vi mi x ẻ ¡ , suy ra f ( x) nghịch biến trên ¡ .
Do đó đáp án D đúng. Chọn D.

Dạng 2. TÍNH CHẤT
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( a;b) . Mệnh đề nào sau
đây sai?
A. Hàm số y = f ( x +1) đồng biến trên ( a;b) .
B. Hàm số y = f ( x) +1 đồng biến trên ( a;b) .
C. Hàm số y = - f ( x) nghịch biến trên ( a;b) .
D. Hàm số y = - f ( x) - 1 nghịch biến trên ( a;b) .
Lời giải. Chọn A. Phép tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không làm thay đổi
khoảng đồng biến, nghịch biến. Nhưng tịnh tiến sang trái, sang phải thì thay
đổi.
Câu 6. Nếu hàm số y = f ( x)

đồng biến trên khoảng ( - 1;2) thì hàm số

y = f ( x + 2) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. ( - 1;2) .

B. ( 1;4) .

C. ( - 3;0) .

D. ( - 2;4) .

Lời giải. Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thị
của hàm số y = f ( x + 2) . Vì hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( - 1;2) nên
hàm số y = f ( x + 2) đồng biến trên ( - 3;0) . Chọn C.
Cách 2. Từ giả thiết suy ra f ¢( x) ³ 0 Û - 1< x < 2.
gia thiet

Xét g( x) = f ( x + 2) . Ta có g¢( x) = f ¢( x + 2) ³ 0 Û

Câu 7*. Nếu hàm số y = f ( x)

- 1< x + 2 < 2 Û - 3< x < 0.

đồng biến trên khoảng ( 0;2) thì hàm số

g = f ( 2x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. ( 0;2) .

B. ( 0;4) .

C. ( 0;1) .

Lời giải. Chọn C. Từ giả thiết suy ra f ¢( x) ³ 0 Û 0 < x < 2.
7

D. ( - 2;0) .


gia thiet

Xét g( x) = f ( 2x) . Ta có g¢( x) = 2 f ¢( 2x) ³ 0 Û f ¢( 2x) ³ 0 Û

0 < 2x < 2 Û 0 < x <1.

3
2
Câu 8. Cho hàm số f ( x) = x + x + 8x + cos x và hai số thực a, b sao cho a < b.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f ( a) = f ( b) .
B. f ( a) > f ( b) .

C. f ( a) < f ( b) .
D. Không so sánh được f ( a) và f ( b) .
Lời giải. Tập xác định: D = ¡ .
2
2
Đạo hàm: f ¢( x) = 3x + 2x + 8- sin x = ( 3x + 2x +1) +( 7- sin x) > 0, " x Ỵ ¡ .
Suy ra f ( x) đồng biến trên ¡ . Do đó với mọi số thực a < b Þ f ( a) < f ( b) . Chọn
C.
Câu 9. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên R sao cho f ¢( x) > 0, " x > 0. Biết

e; 2,718. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f ( e) + ff( p) < f ( 3) + ( 4) .
B. f ( e) - f ( p) ³ 0.
C. f ( e) + ff( p) < 2 ( 2) .

D. ff( 1) + f ( 2) = 2 ( 3) .

Lời giải. Từ giả thiết suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng ( 0;+Ơ ) . Do
ú
ỡù e< 3 đ f ( e) < f ( 3)
à ùớ
ắắ
đ f ( e) + ff( p) < f ( 3) + ( 4) . Vậy A đúng. Chọn A.
ïï p < 4 ® ff( p) < ( 4)
ợ
à e< p đ f ( e) < ff( p) ® e( ) -f ( p) < 0. Vậy B sai.
Tương tự cho các đáp án C và D.
2
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢( x) = x + 2, " x Ỵ ¡ . Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. ff( - 1) > ( 1) .
B. ff( - 1) = ( 1) .
C. ff( - 1) ³ ( 1) . D.

ff( - 1) < ( 1) .
2
Lời giải. Có f ¢( x) = x + 2 > 0 Þ hàm số đồng biến. Do đó ff( - 1) < ( 1) . Chọn
D.
4
2

Câu 11. Cho hàm số f ( x) = x - 2x +1 và hai số thực u, vỴ ( 0;1) sao cho u > v.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f ( u) = f ( v) .
B. f ( u) > f ( v) .

C. f ( u) < f ( v) .
Lời giải. Tập xác định: D = ¡ .

D. Không so sánh f ( u) và f ( v) được.

8


éx = 0
3
2
.
Đạo hàm: f ¢( x) = 4x - 4x = 4x( x - 1) ; f ¢( x) = 0 Û ê
ê
ëx = ±1
Vẽ bảng biến thiên ta thấy được hàm số nghịch biến trên ( 0;1) .
Do đó với u, vỴ ( 0;1) thỏa mãn u > v Þ f ( u) < f ( v) . Chọn C.
Câu 12. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến trên ¡ khi
éa = b = 0; c < 0
éa = b = 0; c < 0
A. ê
B. ê
êa > 0; b2 - 3ac < 0.
êa > 0; b2 - 3ac £ 0.
ë

ë
éa = b = 0; c > 0
éa = b = 0; c > 0
ê
.
C. ê
D.
2
êa > 0; b - 3ac < 0
êa > 0; b2 - 3ac £ 0.
ë
ë
Lời giải. Quan sát các đáp án, ta sẽ xét hai trường hợp là: a = b = 0 và a¹ 0.
· Nếu a = b = 0 thì y = cx + d là hàm bậc nhất ® để y đồng biến trờn Ă khi
c> 0.
à Nu aạ 0, ta cú yÂ= 3ax2 + 2bx + c. Để hàm số đồng biến trên ¡
ïì a > 0
ïì a > 0
Û ïí
. Chọn D.
y 0, " x ẻ Ă ùớ
ùợù D ¢£ 0 ïïỵ b2 - 3ac £ 0

Dạng 3. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 13. [KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số f ( x) có bảng
biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. ( - ¥ ;- 1) .
B. ( - 1;+¥ ) .

C. ( - 1;3) .
D. ( 3;+¥ ) .
Lời giải. Chọn C.
Câu 14. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên
sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. ( - 2;0) .
B. ( 2;+¥ ) .
C. ( 0;2) .
D. ( 0;+¥ ) .
9


Lời giải. Chọn C.
Câu 15. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu
đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( - 2;0) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( - ¥ ;0) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;2) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;- 2) .
Lời giải. Chọn C.
Câu 16. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới õy. Mnh
no sau õy ỳng?

ổ
1ử
- Ơ ;- ữ

ữ
A. Hm s ó cho ng bin trờn cỏc khong ỗ
ỗ
ữ v ( 3;+Ơ ) .
ỗ
ố
2ứ
ổ1
ử
ữ
B. Hm s ó cho ng bin trờn khong ỗ
ỗ- ;+Ơ ữ
ữ.
ỗ
ố 2
ứ
C. Hm s ó cho nghịch biến trên khoảng ( 3;+¥ ) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( - ¥ ;3) .
Lời giải. Chọn C.
Câu 17. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề
nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( - 2;+¥ ) và ( - ¥ ;- 2) .
10


B. Hàm số đã cho đồng biến trên ( - ¥ ;- 1) È ( - 1;2) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0;2) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên ( - 2;2) .
Lời giải. Hàm số đồng biến trên khoảng ( - 1;2) , mà ( 0;2) Ì ( - 1;2) nên suy ra C

đúng. Chọn C.
Câu 18. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( - ¥ ;- 5) và ( - 3;- 2) .
ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( - ¥ ;5) .
iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - 2;+¥ ) .
iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( - ¥ ;- 2) .
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến
trên khoảng ( - ¥ ;- 2) ; nghịch biến trên khoảng ( - 2;+¥ ) .
Suy ra ii) Sai;
A.

iii) Đúng;

i) Đúng (vì ( - ¥ ;- 5) Ì ( - ¥ ;- 3) ). Chọn

iv) Đúng và

Dạng 4. ĐỒ THỊ HÀM f ( x)
Câu 19. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số
f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. ( 0;1) .
B. ( - ¥ ;1) .
C. ( - 1;1) .

D. ( - 1;0) .

Lời giải. Chọn D.
Câu 20. Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục trên ¡
và có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây
sai?
A. Hàm số đồng biến trên ( 1;+¥ ) .
B. Hàm số đồng biến trên ( - ¥ ;- 1) và ( 1;+¥ ) .
11


C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 1;1) .
D. Hàm số đồng biến trên ( - ¥ ;- 1) È ( 1;+¥ ) .
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên ( - ¥ ;- 1) và

( 1;+¥ ) , nghịch biến trên ( - 1;1) nên các mệnh đề A, B, C đúng.
Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng ( a;b) thì mệnh đề D sai.
Ví dụ: Ta ly - 1,1ẻ ( - Ơ ;- 1) , 1,1ẻ ( 1;+¥ ) : - 1,1<1,1 nhưng ff( - 1,1) > ( 1,1) .
Chọn D.
Câu 21. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019)
Cho hàm số f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( 2;4) .
B. ( 0;3) .
C. ( 2;3) .

D. ( - 1;4) .

Lời giải. Chọn C.

Câu 22. (Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019) Cho
hàm số f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. ( 0;2) .
B. ( - 2;0) .
C. ( - 3;- 1) .

D. ( 2;3) .

Lời giải. Chọn D.
Câu 23. (Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019)
Cho hàm số f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh
đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
A. Nghịch biến trên khoảng ( - 1;0) .
B. Đồng biến trên khoảng ( - 3;1) .
C. Đồng biến trên khoảng ( 0;1) .
D. Nghịch biến trên khoảng ( 0;2) .
Lời giải. Chọn C.

12


Câu 24*. (Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019) Cho
hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
g( x) = - 2 f ( x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng
sau?
A. ( 1;2) .
B. ( - ¥ ;2) .
C. ( 2;+¥ ) .

D. ( - 2;2) .

Lời giải. Ta có g¢( x) = - 2 f ¢( x) .
Hàm số g( x) ng bin ị gÂ( x) 0 hay - 2. f Â( x) 0 ị f Â( x) Ê 0.
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có f ¢( x) £ 0 Û 0 £ x £ 2. Chọn A.

Dạng 5. XÉT KHOẢNG ĐỒNG BIẾN,
NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
x3
- x2 + x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
A. Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên ( - ¥ ;1) .

Câu 25. Cho hàm số y =

C. Hàm số đã cho đồng biến trên ( 1;+¥

) và nghịch biến trên ( - ¥ ;1) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên ( - ¥ ;1) và nghịch biến ( 1;+¥ ) .
2
Lời giải. Đạo hàm: y¢= x2 - 2x +1= ( x - 1) ³ 0, " x Ỵ ¡ và y¢= 0 Û x = 1.

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên ¡ . Chọn A.
Câu 26. Hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + m nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( - 1;3) .

B. ( - ¥ ;- 3) hoặc ( 1;+¥ ) .

C. ( - ¥ ;+¥ ) .

D. ( - ¥ ;- 1) hoặc ( 3;+¥ ) .

Lời giải. Ta có y¢= 3x2 - 6x - 9 £ 0 Û 3x2 - 6x - 9 £ 0 Û - 1£ x £ 3.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - 1;3) . Chọn A.
Câu 27. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?
A. y = x3 - 3x2.
B. y = - x3 + 3x2 - 3x + 2.
C. y = - x3 + 3x +1.
D. y = x3.
Lời giải. Để hàm số nghịch biến trên tồn trục số thì hệ số của x3 phải âm.
Do đó A & D khơng thỏa mãn.
2
Xét B: Ta có y¢=- 3x2 + 6x - 3 = - ( x - 1) £ 0, " x Ỵ ¡ và y¢= 0 Û x = 1.
Suy ra hàm số này luôn nghịch biến trên ¡ . Chọn B.
Câu 28. (ĐỀ MINH HỌA 2016-2017) Hàm số y = 2x4 +1 ng bin trờn
khong no trong cỏc khong sau?
ổ
ổ1
ử
1ử
.
ữ
ữ
A. ỗ
B. ỗ
C. ( - Ơ ;0) .
D. ( 0;+Ơ ) .
ỗ- Ơ ;- ữ
ỗ- ;+Ơ ữ

ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ố
ố 2
ứ
2ứ
13


Lời giải. Đạo hàm: y¢= 8x3. Hàm số đồng biến Þ y¢³ 0 Þ 8x3 ³ 0 Û x ³ 0. Chọn
D.
Câu 29. Cho hàm số y = 2x4 - 4x2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên ( - ¥ ;- 1) È ( 0;1) .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên ( - 2;0) .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên ( - 2;+¥ ) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên ( 2;+¥ ) .
éx = 0
3
2
.
Lời giải. Đạo hàm: y¢= 8x - 8x = 8x( x - 1) ; y¢= 0 Û ê
ê
ëx = ±1

Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng ( - 1;0) và ( 1;+¥ ) .
Vì ( 2;+¥ ) Ì ( 1;+¥ ) nên đáp án D đúng. Chọn D.
Câu 30. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ¡ ?
A. y = x3 + 3x2 - 4.

B. y = - x3 + x2 - 2x - 1.
C. y = - x4 + 2x2 - 2.
D. y = x4 - 3x2 + 2.
Lời giải. Hàm trùng phương không thể nghịch biến trên ¡ . Do đó ta loại C &
D.
Để hàm số nghịch biến trên ¡ số thì hệ số của x3 phải âm. Do đó loại A.
Vậy chỉ cũn li ỏp ỏn B. Chn B.
đ yÂ= - 3x2 + 2x - 2 < 0, " x Ỵ ¡ .
Thật vậy: Với y =- x3 + x2 - 2x - 1¾¾
Câu 31. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm y =

x- 2
. Chọn mệnh đề
x +1

đúng:
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;- 1) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( - ¥ ;- 1) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;+¥ ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 1;+¥ ) .
Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ { - 1} . Đạo hàm: y¢=

3

( x +1)

2

Câu 32. Các khoảng nghịch biến của hàm số y =
14

> 0 với mọi x Ỵ D. Chọn B.
2x +1
là
x- 1


A. ¡ \ {1} .

B. ( - ¥ ;1) È ( 1;+¥ ) .

C. ( - ¥ ;1) và ( 1;+¥ ) .

D. ( - ¥ ;+¥ ) .

Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ {1} . Đạo hàm: y¢=

- 3
2

< 0 với mọi x Ỵ D.

( x - 1)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - ¥ ;1) và ( 1;+¥ ) . Chọn C.
Chú ý: Sai lầm hay gặp là chọn A hoặc B. Lưu ý rằng khi kết luận hàm bậc
nhất trên bậc nhất là đồng biến (nghịch biến) trên từng khoảng xác định.
2x - 1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x+2
A. Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ \ { - 2} .

Câu 33. Cho hàm số y =

C. Hàm số đã cho đồng biến trên ( - ¥ ;0) .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên ( 1;+¥ ) .
Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ { - 2} . Đạo hàm: yÂ=

5
2

> 0 vi mi x ẻ D.

( x + 2)
Vy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - ¥ ;- 2) và ( - 2;+¥ ) .
Suy ra hàm số đồng biến trên ( 1;+¥ ) . Chọn D.

Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng
đồng biến của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:
· Hàm số đồng biến trên ( - 2;+¥ ) ;
· ( 1;+¥ ) Ì ( - 2;+¥ ) .

Suy ra hàm số đồng biến trên ( 1;+¥ ) .
Câu 34. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên
¡ ?
A. y = 3x3 + 3x - 2.
B. y = 2x3 - 5x +1.
x- 2
.
x +1

Lời giải. Đặc trưng hàm trùng phương là không đồng biến trên ¡ . Loại C.
Hàm bậc nhất trên bậc nhất cũng không đồng biến trên ¡ . Loại D.
Xét đáp án A, ta có TXĐ: D = ¡ . Đạo hàm: y¢= 9x2 + 3> 0, " x Î ¡ . Chọn A.
C. y = x4 + 3x2 .

D. y =

Câu 35. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số y = 2x2 +1. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 1;1) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;+¥ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( - ¥ ;0) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;+¥ ) .
15


Lời giải. TXĐ: D = ¡ . Đạo hàm: y¢=

2x
2x2 +1

; y¢= 0 Û x = 0.

Ta có y¢< 0 Û x < 0 và y¢> 0 Û x > 0.
Suy ra hàm số nghịch biến trên ( - ¥ ;0) , đồng biến trên ( 0;+¥ ) . Chọn B.
Câu 36. Hàm số y = 2x - x2 nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới đây?
A. ( - 1;1) .

B. ( 1;2) .

C. ( 0;1) .

Lời giải. TXĐ: D = [ 0;2]. Đạo hàm: y¢=

1- x
2x - x2

D. ( 0;2) .
; y¢= 0 Û x = 1.

Dựa vào BBT, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;2) . Chọn B.
Câu 37. Cho hàm số y = x - 1+ 4- x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên ( 1;4) .
ổ 5ử
ữ
B. Hm s ó cho nghch bin trờn ỗ
ỗ1; ữ
ữ.
ỗ
ố 2ứ
ổ
5 ử
;4ữ
ữ.
C. Hm s ó cho nghch bin trờn ç
ç
÷
ç
è2 ø
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ .

1
1
Lời giải. TXĐ: D = [1;4]. Đạo hàm: y¢=
.
2 x - 1 2 4- x
ỡù x ẻ ( 1;4)
5
ắắ
đ x = ẻ ( 1;4) .
Xột phng trỡnh yÂ= 0 x - 1 = 4- x Û ïí
ïï x - 1= 4- x
2
ợ
ổ
5 ử
ữ
Lp bng bin thiờn, suy ra c hm s nghch bin trờn khong ỗ
ỗ ;4ữ
ữ. Chn
ỗ
ố2 ứ
C.
Cõu 38*. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡ ?
2x - 1
.
A. y =
B. y = 2x - cos2x - 5.
x +1
C. y = x3 - 2x2 + x +1.
Lời

giải.

Chọn

D. y = x2 - x +1.
B.

Vì

y¢= 2+ 2sin2x = 2( sin2x +1) 0, " x ẻ Ă

yÂ= 0 Û sin2x = - 1.
16

và


Phương trình sin2x = - 1 có vơ số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm
số đồng biến trên ¡ .
Câu 39. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡ ?
x
x
.
.
A. y =
B. y =
C. y = x2 - 5x + 3.
2
x +1

x +1
Lời giải. Xét hàm số y =
Đạo hàm: y¢=

x
2

x +1

1

(x

2

+1) x2 +1

D. y = tan x.

.

> 0, " x ẻ Ă ắắ
đ hm s đồng biến trên ¡ . Chọn

B.
Câu

40*.

(ĐHSP

2 2019

f ( x) = ( 1- x

)

Hà

Nội

lần

1,

năm

2018-2019)

Cho

hàm

số

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên ( - ¥ ;0) . B. Hàm số nghịch biến trên ( - ¥ ;0) .
C. Hàm số nghịch biến trên ¡ .
D. Hàm số đồng biến trên ¡ .
Lời giải. TXĐ: D = ¡ . Đạo hàm: f ¢( x) = 2019.( - 2x) ( 1- x2 )

2 2018

Do ( 1- x

)

2018

.

³ 0, " x Î ¡ nên f ¢( x) > 0 Û - 2x > 0 Û x < 0. Chọn A.

Dạng 6. BÀI TỐN CHỨA THAM SỐ

Câu 41. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = x3 + 3x2 + mx + m đồng biến trên tập xác định.
A. m£ 1.
B. m³ 3.
C. - 1£ m£ 3.
D.
m< 3.
2
¢
Lời giải. TXĐ: D = ¡ . Đạo hàm: y = 3x + 6x + m.
Û y¢³ 0, " x ẻ Ă
YCBT
( yÂ= 0
ỡù a > 0
ỡù 3> 0
ùớ

ùớ
m 3.
ùợù D ÂÊ 0 ùợù 9- 3m£ 0

có

hữu

hạn

nghiệm)

Chọn B.
Cách giải trắc nghiệm. Quan sát ta nhận thấy các giá trị m cần thử là:
 m= 3 thuộc B & C nhưng không thuộc A, D.
 m= 2 thuộc C & D nhưng không thuộc A, B.
2
· Vi m= 3 ắắ
đ y = x3 + 3x2 + 3x + 3 ắắ
đ yÂ= 3x2 + 6x + 3 = 3( x +1) ³ 0, " x Ỵ ¡ .
Do đó ta loại A và D.
· Với m= 2 ¾¾
® y = x3 + 3x2 + 2x + 2 ắắ
đ yÂ= 3x2 + 6x + 2.
Phng trỡnh yÂ= 0 Û 3x2 + 6x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt nên m= 2 khơng
thỏa.
Câu
42.
[ĐỀ
CHÍNH

THỨC
2016-2017]
Cho
hàm
số
3
2
m
y = - x - mx +( 4m+ 9) x + 5 với
là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m để hàm số nghịch biến trên ¡ ?
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.
17


Lời giải. TXĐ: D = ¡ . Đạo hàm: y¢= - 3x2 - 2mx + 4m+ 9.
Hàm số đã cho nghch bin trờn Ă yÂÊ 0, " x ẻ Ă ( yÂ= 0 cú hu hn nghim)
mẻ Â
D ¢£ 0 Û m2 + 3( 4m+ 9) £ 0 - 9 Ê mÊ - 3 ắắắ
đ m= { - 9;- 8;...;- 3} . Chọn D.

Sai lầm hay gặp là '' Hàm số đã cho nghịch biến trên ¡ yÂ< 0, " x ẻ Ă '' . Khi
ú ra giải ra - 9 < m<- 3 và chọn B.
m 3
x - 2x2 +( m+ 3) x + m . Tìm giá trị nhỏ nhất của
3
tham số m để hàm số đồng biến trên ¡ .

A. m= - 4.
B. m= - 2.
C. m= 0.
D. m= 1.
2
¢
y
=
m
x
4
x
+
m
+
3.
Lời giải. TXĐ: D = ¡ . Đạo hàm:
u cầu bài tốn Û y¢³ 0, " x ẻ Ă ( yÂ= 0 cú hu hạn nghiệm):
Câu 43. Cho hàm số y =

TH1: · m= 0 thì y¢= - 4x + 3 ³ 0 Û x £

3
(khơng thỏa mãn).
4

ïì a = m> 0
Û m³ 1.
TH2: Ã ùớ
2

ùù D Â
ợ y = - m - 3m+ 4 £ 0
Suy ra giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là m= 1. Chọn D.
Câu 44. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để
2
3
2
hàm số y = ( m - 1) x +( m- 1) x - x + 4 nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;+¥ ) ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. TH1: · m= 1. Ta có y =- x + 4 là phương trình của một đường thẳng
có hệ số góc âm nên hàm số ln nghịch biến trên ¡ . Do đó nhận m= 1.
TH2: · m= - 1. Ta có y = - 2x2 - x + 4 là phương trình của một đường Parabol
nên hàm số khơng thể nghịch biến trên ¡ . Do đó loại m= - 1.
TH3: · m¹ ±1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;+¥ )
Û yÂÊ 0, " x ẻ Ă ( yÂ= 0 cú hữu hạn nghiệm)
Û 3( m2 - 1) x2 + 2( m- 1) x - 1£ 0, " x Ỵ ¡
ìï m2 - 1< 0
1
mẻ Â
ùớ
- Ê m< 1ắắắ
đ m= 0.
ïï ( m- 1) 2 + 3( m2 - 1) £ 0
2
ïỵ
Vậy có 2 giá trị m ngun cần tìm là m= 0 hoặc m= 1. Chọn C.
ìï a < 0

ùớ

ùợù D ÂÊ 0

Cõu 45. [ THAM KHO 2018-2019] Tập hợp các giá trị thực của tham số
m để hàm số y = - x3 - 6x2 +( 4m- 9) x + 4 nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;- 1) là
ỉ
é 3
ư
3ù
- ¥ ;- ú.
.
÷
A. ( - Ơ ;0].
B. [ 0;+Ơ ) .
C. ỗ
D. ờ- ;+Ơ ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỳ
ờ
ố
ứ
4ỷ
ở 4
Lời giải. Đạo hàm: y¢= - 3x2 - 12x + 4m- 9.
Cách 1. (So sánh nghiệm) Yêu cầu bài toán yÂÊ 0 vi mi x ẻ ( - Ơ ;- 1) .

18

3
TH1: yÂÊ 0 vi mi x ẻ Ă D ¢
£ 0 Û 36+ 3( 4m- 9) £ 0 Û m£ - .
y¢
4
TH2: y¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn - 1£ x1 < x2
ìï ( x1 +1) +( x2 +1) > 0 ïì x1 + x2 >- 2
ïì - 4 >- 2
Û ïí
Û íï
Û íï
: vô lý.
ïï ( x1 +1) ( x2 +1) ³ 0
ïï x1x2 +( x1 + x2 ) +1³ 0 ïï x1x2 +( x1 + x2 ) +1³ 0
ỵ
ỵ
ỵ
3
Vậy m£ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
4
Cách 2. (Phương pháp hàm số) u cầu bài tốn Û y¢£ 0 với mọi
x Î ( - ¥ ;- 1)
3x2 +12x + 9
,  " x Î ( - ¥ ;- 1) . ( *)
4
2
Xét hàm số g( x) = 3x +12x + 9; g¢( x) = 6x +12.
Bảng biến thiên

Û - 3x2 - 12x + 4m- 9 Ê 0, " x ẻ ( - Ơ ;- 1) Û m£

min g( x)

3
.
4
4
Nhận xét: 1) Phương pháp hàm số chỉ dùng được khi cô lập tham số m dễ
dàng.
2) Phương pháp hàm số chỉ tham khảo thêm vì bài này chưa học tới.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có ( *) Û m£

( - ¥ ;- 1)

=-

3
2
2
Câu 46*. Cho hàm số y = x - ( m+1) x - ( 2m - 3m+ 2) x + 2m( 2m- 1) . Tìm tất cả

các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên é
ë2;+¥ ) .
3
3
A. m< 5.
B. - 2 £ m£ .
C. m> - 2.
D. m< .

2
2
2
2
¢
y
=
3
x
2
m
+
1
x
2
m
3
m
+
2
.
(
)
Lời giải. Đạo hàm:
(
)
Xét

phương

trình

y¢= 0

có

D ¢= ( m+1) + 3( 2m - 3m+ 2) = 7( m - m+1) > 0, " mỴ ¡ .
2

2

2

Suy ra phương trình y¢= 0 ln có hai nghiệm x1 < x2 với mọi m.
Hàm số đồng biến trên é
ë2;+¥ ) Û phtrình y¢= 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa
x1 < x2 £ 2
ïì ( x1 - 2) +( x2 - 2) < 0 ïìï x1 + x2 < 4
Û ïí
Û í
ïï ( x1 - 2) ( x2 - 2) ³ 0
ïï x1x2 - 2( x1 + x2 ) + 4 ³ 0
ỵ
ỵ
19


ìï 2( m+1)
ïï
<4

ïìï m< 5
ï
3
3
ï
Û ïí
Û
í
3 Û - 2 £ m£ . Chọn B.
ï
ïï - ( 2m2 - 3m+ 2)
2
2
£
m
£
2( m+1)
ïï
ïï
2
ỵ
- 2.
+4³ 0
ïïỵ
3
3
Nhận xét: 1) Nếu đề bài u cầu hàm số đồng biến trên ( 2;+¥ ) thì u cầu
bài tốn vẫn là y¢= 0 có hai nghiệm x1 < x2 £ 2.
2) Có thể giải như sau:
y¢= 0 Û x1 =

Do đó ycbt Û

m+1-

7( m2 - m+1)
3

m+1+ 7( m2 - m+1)
3

£ 2Û

< x2 =

m+1+ 7( m2 - m+1)
3

.

7( m2 - m+1) £ 5- mÛ - 2 £ m£

3
.
2

1 3
x +( m- 1) x2 +( m+ 3) x - 4. Tìm tất cả các giá trị
3
thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0;3) .

Câu 47*. Cho hàm số y = -

12
12
.
C. m³ 1.
D. 1£ m£ .
7
7
2
2
¢
Lời giải. Đạo hàm: y = - x + 2( m- 1) x + m+ 3. Có D ¢= m - m+ 4 > 0, " mẻ Ă .
Suy ra phng trỡnh yÂ= 0 luụn cú hai nghiệm x1 < x2 với mọi m.
A. m³

12
.
7

B. m£

Hàm số đồng biến trên

( 0;3) Û

phtrình y¢= 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa

x1 £ 0 < 3 £ x2
ìï - 1.y¢( 0) £ 0 ïì m+ 3 ³ 0

12
Û ïí
Û íï
Û m³
. Chọn A.
ïï - 1.y¢( 3) £ 0 ïï - 9+ 6( m- 1) + m+ 3 ³ 0
7
ỵ
ỵ
Cách 2. (Phương pháp hàm số)
x2 + 2x - 3
YCBT Û y¢= - x2 + 2( m- 1) x + m+ 3 ³ 0, " x Ỵ ( 0;3) Û m³
, " x Ỵ ( 0;3) . ( *)
2x +1
12
x2 + 2x - 3
Khảo sát hàm g( x) =
trên [ 0;3], ta được max g( x) = g( 3) = .
0;3
[
]
7
2x +1
12
.
Do đó ( *) Û m³
7
3
2
Câu 48*. Cho hàm số f ( x) = x - 3( m+1) x + 3m( m+ 2) x. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên đoạn [ 0;1] ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
éx = m
2
ù; f ¢( x) = 0 Û ê
x
2
m
+
1
x
+
m
m
+
2
.
(
)
(
)
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = 3. é
ê
ú
ë
û

ê
ëx = m+ 2
Bảng biến thiên

20


ìï m£ 0
Û - 1£ m£ 0. Chọn C.
Dựa vào BBT, ta có YCBT Û [ 0;1] Ì [ m;m+ 2] Û ïí
ïïỵ m+ 2 ³ 1
4
2
Câu 49*. Cho hàm số y = x - 2( m- 1) x + m- 2 với m là tham số thực. Tìm tất
cả các giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;3) .
A. 1< m< 2.
B. 1< m£ 2.
C. m£ 1.

D. m£ 2.
éx = 0
3
2
ù; y¢= 0 Û ê
.
Lời giải. Đạo hàm: y¢= 4x - 4( m- 1) x = 4x é
êx - ( m- 1) û
ú
ë
êx2 = m- 1

ở
à Nu m- 1Ê 0 mÊ 1ắắ
đ yÂ= 0 có một nghiệm x = 0 và y¢ đổi dấu từ ''- ''
sang ''+ '' khi qua điểm x = 0 ắắ
đ hm s ng bin trờn khong ( 0;+Ơ ) nên
đồng biến trên khoảng ( 1;3) . Vậy m£ 1 thỏa mãn.
éx = 0
ê
· Nếu m- 1> 0 Û m> 1ắắ
đ yÂ= 0 ờ
ờx = - m- 1.
ờ
ờ
ởx = m- 1
Bảng biến thiên

m>1
Dựa vào bảng biến tiên, ta có YCBT Û m- 1 £ 1 Û m£ 2 ¾¾¾
®1< m£ 2 .
m£
2.
Hợp hai trường hợp ta được
Chọn D.

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x4 - 2mx2
nghịch biến trên ( - ¥ ;0) và đồng biến trên ( 0;+¥ ) .
A. m£ 0 .
B. m= 1.
C. m> 0 .

D. m¹ 0 .
éx = 0
3
2
Lời giải. Đạo hàm: y¢= 4x - 4mx = 4x( x - m) ; yÂ= 0 ờ
ờx2 = m.
ở
đ yÂ= 0 cú mt nghiệm x = 0 và y¢ đổi dấu từ ''- '' sang ''+ ''
TH1: · m£ 0 ¾¾
khi qua điểm x = 0 ắắ
đ hm s nghch bin trờn ( - Ơ ;0) v ng bin trờn

( 0;+Ơ ) .
đ y¢= 0 có ba nghiệm phân biệt: TH2: · m> 0 ¾¾
21

m; 0;

m.


Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng

(

)

(

)

(

(-

)

m;0 và

)

m;+¥ , nghịch biến trên các khoảng - ¥ ; m và 0; m . Do đó trường hợp

này khơng thỏa mãn u cầu bài tốn. Chọn A.
Cách khác. Để thỏa mãn u cầu bài tốn thì hàm số chỉ có một cực trị
Û ab
. £ 0 Û m£ 0 nhưng vấn đề cực trị ở bài này chưa học.
mx - 2m- 3
với m là
x- m
tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số
đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. Vô số.
2
- m + 2m+ 3
Lời giải. Đạo hàm: y¢=
.

2
( x - m)
Câu 51. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số y =

Hàm số đồng biến trên từng khong xỏc nh yÂ> 0, " x ạ m
mẻ ¢
Û - m2 + 2m+ 3> 0 Û - 1< m< 3 ắắắ
đ m= { 0;1;2} . Chn A.
Nhn
xột:
Sai
lm
hay
gp
mẻ Â
y 0, " x ¹ m Û - 1£ m£ 3 ¾¾¾
® m= {- 1;0;1;2;3} .

là

cho

Câu 52. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Tìm tất cả các giá trị thực của tham
x- 1
số m để hàm số y =
nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;2) .
x- m
A. m> 1.
B. m³ 1.
C. m> 2.

D. m³ 2.
- m+1
.
Lời giải. Đạo hàm: y¢=
2
( x - m)
Với - m+1< 0 Û m> 1 thì y¢< 0, " x ạ m ắắ
đ hm s ó cho nghch biến trên
từng khoảng ( - ¥ ;m) và ( m;+¥ ) .
YCBT Û ( - ¥ ;2) Ì ( - ¥ ;m) Û m³ 2 : (thỏa mãn). Chọn D.
ìï y¢< 0, " x < 2 ïìï - m+1< 0
ïì - m+1< 0
Û í
Û ïí
Û m³ 2.
Cách 2. YCBT Û ùớ
ùợù x ạ m
ù
ùùợ m 2
ợù mạ ( - Ơ ;2)
2

m x +5
Câu 53. Gọi S là tập hợp các số nguyên m để hàm số y =
nghịch biến
2mx +1
trên khoảng ( 3;+¥ ) . Tổng các phần tử của S bằng
A. 35.
B. 40.
C. 45.

D. 55.
2
ì - 1ü
ïý. Đạo hàm: y¢= m - 10m .
Lời giải. TXĐ: D = ¡ \ ùớ
2
ùợù 2mùỵ
( 2mx +1)
ù
Hm s nghch bin trờn khong ( 3;+Ơ ) yÂ< 0, " x ẻ ( 3;+¥ )

22


ùỡù m2 - 10m< 0
ùớ
,"x>3
ùù x ạ - 1
ùợù
2m

ùỡù m2 - 10m< 0
ùớ

ùù - 1 ẽ ( 3;+Ơ )
ùợù 2m

ùỡù m2 - 10m< 0
ùớ
ùù - 1 Ê 3

ùợù 2m

mẻ Â
0 < m< 10 ắắắ
đ mẻ {1;2;3...;9} . Chn C.

x2 - mx - 1
Câu 54. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
1- x
nghịch biến trên các khoảng xác định.
A. m< 0.
B. m³ 0.
C. m= 0.
D. mỴ ¡ .
Lời giải. TXĐ: D = ( - ¥ ;1) È ( 1;+¥ ) . Đạo hàm: y¢=

- x2 + 2x - m- 1
.
( 1- x) 2

Yêu cầu bài toán Û - x2 + 2x - m- 1£ 0, " x Ỵ D Û x2 - 2x +1+ m³ 0, " x Ỵ D
ìï a > 0
ìï 1> 0
Û ïí
Û ïí
Û m³ 0. Chọn B.
ïỵï D £ 0 ïỵï - 4m£ 0
Câu 55*. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

tan x - 2

tan x - m+1

æ pử
0; ữ
ữ
ng bin trờn khong ỗ
ỗ
ữ l
ỗ
ố 4ứ
A. [1;+Ơ ) .

B. ( 3;+Ơ ) .
C. [ 2;3) .
ổ pử
0; ữ
đ t ẻ ( 0;1) .
ữ
Li gii. t t = tan x, vi x ẻ ỗ
ỗ
ữắắ
ỗ
ố 4ứ
Hm s tr thnh y( t) =

D. ( - ¥ ;1] È [ 2;3) .

t- 2
3- m
ắắ

đ yÂ( t) =
.
2
t - m+1
( t - m+1)

ổ pử
ổ pử
ỗ
0; ữ
0; ữ
ữ, suy ra t = tan x ng bin trờn ỗ
ữ.
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố 4ứ
ố 4ứ
Do ú YCBT y( t) đồng biến trên khoảng ( 0;1) Û y¢( t) > 0, " t Ỵ ( 0;1)
ìï 3- m> 0
ìï 3- m> 0
ìï 3- m> 0
ém£ 1
Û ïí
, " t Î ( 0;1) Û ïí
, " t Î ( 0;1) Û ïí
Û ê

.
ê2 £ m< 3 Chọn D.
ïỵï t - m+1ạ 0
ùợù m- 1ạ t
ùù m- 1ẽ ( 0;1)
ở
ợ
Ta cú tÂ=

1
> 0, " x ẻ
cos2 x

Cõu 56*. Tỡm tt c các giá trị thực của tham số m để hàm s y =
ổ
p ử
;pữ
ữ
nghch bin trờn khong ỗ
ỗ
ữ.
ỗ
ố2 ứ
A. m - 1.
B. m> - 1.
C. m<- 1.
ổ
ử
p
;pữ

đ t ẻ ( 0;1) .
÷
Lời giải. Đặt t = sin x, với x ẻ ỗ
ỗ
ữắắ
ỗ
ố2 ứ
t +m
- 1- m
ắắ
đ yÂ( t) =
.
Hm s trở thành y( t) =
2
t- 1
( t - 1)
23

D. m£ - 1.

sin x + m
sin x - 1


ỉ
ỉ
p ư
p ư
;p÷
;p÷

÷, suy ra t = sin x nghịch bin trờn ỗ
ữ.
Ta cú tÂ= cos x < 0, " x ẻ ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố2 ứ
ố2 ứ
Do ú YCBT y( t) đồng biến trên khoảng ( 0;1) Û y¢( t) > 0, " t Ỵ ( 0;1)
ìï - 1- m> 0
Û ïí
, " t Ỵ ( 0;1) Û - 1- m> 0 m<- 1. Chn C.
ùùợ t - 1ạ 0
Nhn xét. Khi ta đặt ẩn t, nếu t là hàm đồng biến trên khoảng đang xét thì
giữ nguyên câu hỏi trong đề bài. Còn nếu t là hàm nghịch biến thì ta làm
ngược lại câu hỏi trong đề bài.
Câu 57*. Cho hàm số f ( x) =

1- x +1

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
1- x + m
số m thuộc [- 5;5] để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( - 3;0) ?
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 7.

đ t ẻ ( 1;2) .
Li gii. t t = 1- x, vi x ẻ ( - 3;0) ắắ
Hm s tr thnh f ( t) =

t +1
m- 1
ắắ
đ f Â( t) =
.
2
t +m
( t + m)

- 1

< 0, " x Î ( - 3;0) . Suy ra t = 1- x nghịch biến trên ( - 3;0) .
2 1- x
Do đó YCBT Û f ( t) nghịch biến trên ( 1;2) f Â( t) < 0, " t ẻ ( 1;2)
ïì m- 1< 0
ïì m- 1< 0
ïì m- 1< 0
Û ïí
, " t Ỵ ( 1;2) Û ïí
, " t ẻ ( 1;2) ùớ
ùợù t + mạ 0
ùợù - mạ t
ùù - mẽ ( 1;2)
ợ
ùỡù m- 1< 0
ộ- 1Ê m< 1

ù
mẻ Â
ùớ ộ- m 2 ờ
ắắ
ắắ
đ mỴ { - 5;- 4;...;0} . Chọn C.
mỴ [- 5- 5]
ờ
ùù ờ
m
Ê
2
ở
ờ
ùùợ ở- mÊ 1
Ta cú tÂ=

Dng 7. TH HÀM f ¢( x)
Câu 58*. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ¢( x) xác
định, liên tục trên ¡ và f ¢( x) có đồ thị như hình vẽ
bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ( 1;+¥ ) .
B. Hàm số đồng biến trên ( - ¥ ;- 1) và ( 3;+¥ ) .
C. Hàm số nghịch biến trên ( - ¥ ;1) .
D. Hàm số đồng biến trên ( - 1;3) .
Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số f ¢( x) , ta có nhận xét:
·

f ¢( x) đổi dấu từ ''+ '' sang ''- '' khi qua điểm x = - 1.

f ¢( x) đổi dấu từ ''- '' sang ''+ '' khi qua điểm x = 3.
Do đó ta có bảng biến thiên
·

24