2020 bài tập giải tích ii

2020

BÀI TẬP GIẢI TÍCH II
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt,
phương trình vi phân.

Tạ Ngọc Ánh
Bộ mơn Tốn - Khoa CNTT - HVKTQS
(Sưu tầm và biên soạn)

1


Chương 1
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1. Khoảng cách (mêtric)
a) Giả sử d(x, y) là một mêtric trên Rn , đặt d1 ( x, y )  ln( d ( x, y )  1) , d 2 ( x, y)  min{ d ( x, y),1} và
d ( x, y )
. Chứng minh d1, d2, d3 cũng là mêtric trên R n .
d 3 ( x, y )
1 d ( x, y )
b) Cho các hàm d1 ( x, y )  | e x  e y |, d 2 ( x, y )  | sin x  sin y | xác định trên R. Chứng minh d 1 là
khoảng cách trên R và d 2 không là khoảng cách trên R.
2. Tôpô trong R n
1 
 1 1
a) Trong không gian R cho tập A = 1, , ,..., ,... . Xác định int( A), A ', A, A.
n 
 2 3
Đs. int(A)   , A' {0} , ( A)  A {0} , A  A  {0}

1
b) Trong không gian R cho tập hợp A  {m  : m, n  1,2,...} . Xác định int( A), A ', A, A.
n
Đs. int(A)   , A' {1,2,3,...} , ( A)  A {1,2,3,...} , A  A  {1,2,3...}
1
c) Trong không gian R cho tập hợp A ={ : n = 1,2,..}  [2,3]. Xác định int( A), A ', A, A.
n
1 1
1
Đs. int( A)  (2,3) , A'  {0}  [2,3] ,  ( A)  {2,3,0,1, , ,..., ,...} , A  A  {0}
2 3
n
d) Cho tập A  (0, 2] {3} trong R. Xác định int( A), A ', A, A.
Đs. int( A)  (0,2) , A' [0,2] , ( A)  {0,2,3} , A  [0,2]  {3}
e) Cho tập A = {( x, y)  R 2 : x 2  y 2  1} {( x,3) : 0  x  1} trong R 2 . Xác định int( A), A ', A, A.
Đs. int( A)  {( x, y) : x2  y 2  1} , A '  {( x, y) : x2  y 2  1} {( x,3) : 0  x  1} ,

( A)  {( x, y) : x2  y 2  1} {( x,3) : 0  x  1} , A  {( x, y) : x 2  y 2  1} {( x,3) : 0  x  1} .
f) Cho tập A  (0, 2] {4} trong R. Xác định int( A), A ', A, A.
Đs. int( A)  (0,2) , A' [0,2] , ( A)  {0,2,4} , A  [0,2]  {4}
1
g) Trong không gian R cho tập hợp A ={ : n = 1,2,..}  [2,4]. Xác định int( A), A ', A, A.
n
1 1
1
Đs. int( A)  (2,4) , A'  {0}  [2,4] ,  ( A)  {2,4,0,1, , ,..., ,...} , A  A  {0}
2 3
n
3. Tìm tập xác định của hàm số
a) u  x  y

b) u  1  x 2  1  y 2
4. Tìm giới hạn của hàm số
x2  y 2
a) u  2
khi ( x; y)  (0;0)
x  y2
 xy 
c) u   2
2 
x y 

e) u  ( x  y )
2

c) u  x 2  y 2  1
b) u 

xy 2
khi ( x; y)  (0;0)
x2  y 4

x

2 x2 y 2

d) u  ( x  y )sin

khi ( x; y)  (; )

f) u 

khi ( x, y)  (0;0)

2

d) u  ln xy

ln( x  e y )
x2  y 2

1
khi ( x; y)  (0;0) .
xy

khi ( x, y)  (0;0)


g) u  ( x2  y 2 )( x y ) khi ( x; y)  (; )
 1
i) lim 1  
x 
x
y a 

x2
x y

,a R

h) u 

x 0
y 0

x2

x
y

(x

0
0



j) lim x 2  y 2

Đs. e



x2 y 2

x y
x  x  xy  y 2
y 

1  x y


k) lim 1   , a  R Đs. e1/ 2
x 
2x 
y a 

m) lim

sin xy
khi ( x, y)  (0;3)
x

l) lim

y )cos( x y )
.
sin( x y )

2

n) lim
x
y

y x2
x y

x

0
0

Đs. 1

Đs. 0
y2

.

5. Xét tính liên tục của các hàm số
 x2 y
khi ( x, y )  (0, 0)

b) f ( x, y )   x 4  y 2
0
khi ( x, y )  (0, 0)


  x21y 2

khi xy  0
a) f ( x, y )  e
0
khi xy  0

c) f ( x, y )  xy  sin

 x2 y
khi x 2  y 2  0
 2
2

d) f ( x, y )   x  y
0
khi x 2  y 2  0


1
x  y2 1
2

1

 x sin khi y  0
y
e) f ( x, y)  
0
khi y  0

xy
g) f ( x, y )

x
1

2

y

2

 xy

khi | x |  | y | 0

f) f  x, y    | x |  | y |
.
0
khi | x |  | y | 0


khi (x, y )

(0, 0)

khi (x, y )

(0, 0)

xy
x
0

h) f ( x, y )

6. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0, 0) với f ( x, y )

6

y3

khi (x, y)

(0, 0)

khi (x, y )

(0, 0)

ex
x

ey
khi x
y

y

ex

khi x

y.

.

 xy 2
khi ( x, y )  (0, 0)

7. Cho hàm số f ( x, y )   x 2  y 4
Chứng minh hàm f ( x, y) liên tục theo từng biến riêng biệt
0
khi ( x, y )  (0, 0).


tại điểm 0 nhưng không liên tục tại (0;0).

8. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số
a) u  ln( x  x 2  y 2 )
b) u  x y
9. Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại O(0;0)
2

c) u  e xz x  y

 x3  2 y 3
khi ( x; y )  (0;0)

a) u   x 2  y 2
0
khi ( x; y )  (0;0)

10. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số

a) u  x  2 y 2  3xyz

b) u 

d) u  ecos

2

x  xy

e) u  arctan( x  y 2 )

( x  y )e x  y khi ( x; y )  (0;0)
b) u  
khi ( x; y )  (0;0)
0
xy
x  3y

c) u  arcsin
3

x
y

d) u  ln( x  y 2 )


11. Kiểm tra xem hàm số u  3 x3  y 3 có khả vi tại O(0;0) hay khơng ?
12. Cho hàm số f x, y   | xy | . Chứng tỏ f liên tục tại (0,0), tồn tại các đạo hàm riêng tại (0,0) nhưng không
khả vi tại (0,0).
 x4
khi x 2  y 2  0

13. Cho hàm số f  x, y    x 2  y 2
Chứng minh f có các đạo hàm riêng liên tục trên R 2 và
0
khi x 2  y 2  0.

f xy'' (0,0)  f yx'' (0,0) .

14. Cho hàm số f ( x, y)  3 x 3  y 3 . Chứng minh tồn tại các đạo hàm riêng

f
0,0  f (0,0)  1và f khả vi
x
y

trên R 2 \{(0,0)}.
xy

khi x 2  y 2  0
 2
2
15. Cho hàm số f ( x, y )   x  y
Chứng tỏ f khả vi trên R2 \ (0,0).
0
khi x 2  y 2  0.


16. Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
1.01
c) 1.023  1.973
0.99
17. Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm ẩn xác định bởi phương trình
a) xe y  yex  exy  0
b) ( x2  y 2 )2  3x2 y  y3 tính y '(0) biết y(0)  1 c) x  y  z  e z
d) xex  y 2e y  ze z  0
e) xe y  yz  ze xy  0 tại điểm (1;0), tính xấp xỉ z(1,01; 0.02).
18. Đạo hàm hàm ẩn

a) Giả sử x 2  y 2  z 2  3xyz  0 (1) và f  x, y, z   xy 2 z 3 , z  z ( x, y) là hàm ẩn xác định bởi (1).

a) ln( 3 1.03  4 0.981  1)

b) arctan

f
(1,1,1) .
Đs.  2
x
b) Phương trình xy  xz  yz  2x  2 y  z  0 xác định một hàm ẩn z  z x, y  trong một lân cận của

Tính

(0,0). Khi đó tính các đạo hàm riêng z x' , z 'y tại điểm (0,0). Đs. 2; 2
z
.
y
d) Cho y  y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình x 2  xy  2 y 2  x  y  1  0 . Khi đó tính các giá
trị y' , y' ' , y' ' ' khi x = 0 và y = 1.
Đs. 0, -2/3, -2/3
19. Tính các đạo hàm riêng cấp hai

c) Cho x  u  ln v, y  v  ln u, z  2u  v . Khi đó tính

a) u  ln( x  x  y 2 )

b) u  x3 ln( x  y)

c) u  ex ln y  sin y.ln x

d) u  x4  y 4  xy3

x2  y 2
khi ( x, y)  (0;0) và f (0;0)  0 . Tính đạo hàm riêng f xy'' (0;0) và f yx'' (0; 0) . Chỉ ra
2
2
x y
''
''
rằng f xy (0;0)  f yx (0;0) .
21. Tính vi phân cấp hai của hàm số
20. Cho f ( x, y )  xy

a) u  x4  3xy 2  y3

b) u  x 2  y 2  z 2 , chứng minh d 2u  0 .

c) u  x2  y2  3z3  xy  3xz tại điểm M (1;1;1) , tìm ma trận của dạng tồn phương d 2u(M ) với các
biến dx, dy, dz .
22. Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba
4


a) u  e x sin y
b) y  ln(1  x  y)
c) u  sin( x2  y 2 )
23. Chứng minh
a) y.z 'x  x.z ' y  0 với z  f ( x2  y 2 ) và f (t ) là hàm khả vi.

( xy )2
b) x.z "xx  y.z "xy  2 z 'x  0 với z 
c) z "xx  z "yy  0 với z  ln( x2  y 2 )
x y
2
d) z "xx .z "yy  ( z "xy )  0 với z  y. f ( x / y) và f (t ) có đạo hàm cấp hai liên tục
24. Tìm hàm z  z( x, y) thỏa mãn
a) z 'x  2  4 ye xy , z ' y  3  4 xe xy , z (0;1)  0
b) z 'x  x 2  2 xy 2  3, z ' y  y 2  2 x 2 y  3
c) z "xx  12 x 2 y  2, z ' y  x 4  30 xy 5 , z (0;0)  1, z(1;1)  2
25. Tính đạo theo hướng của vector v tại điểm M
a) u  x 2  y 2 , M (1;1), v  (3; 4)
b) u  xy 2 z 3 , M (1;2;3), v  (1;2;2 5)
26. Đổi biến khi tính đạo hàm, đạo hàm riêng
a) Cho phương trình x 2 y' ' xy' y  0 . Chứng minh nếu đổi biến x  e t thì phương trình trên trở thành
d2y
 y 0.
dt 2

b) Chứng minh nếu đổi biến x  tgt , y 





2
u
, ở đây u = u(t) thì phương trình 1  x 2 y' '  y trở thành
cos t

1
u ' 'u cos 3 t  u hoặc u’’=0.
4
cos t
cos t
6y
c) Cho phương trình y ' ' '  3 . Chứng minh nếu đổi biến t = ln|x| thì phương trình trên trở thành
x
3
2
d y
d y
dy
 3 2  2  6y  0 .
3
dt
dt
dt
d2y
 n2 y  0 .
d) Chứng minh nếu đổi biến x = cost thì phương trình 1  x 2 y' ' xy'n 2 y  0 trở thành
2
dt
27. Tìm cực trị của hàm số
a) u  x3  3xy 2  30x 18 y
b) u  4( x  y)  x2  y 2
c) u  x  y  xe y



d) u  x3  3xy 2 15x 12 y

e) u  x4  y4  x2  2xy  y 2
1
h) u  8 x  x 4  y 2 (1  x 2 )
4
2
k) u  x  y 2  3z 2  2x  8 y  6z
m) u  x3  y 2  z 2  12xy  2z

g) u  x2  xy  y 2  x  y  1

j) u  x4  y 4  3( x  y)2
l) u  x2  3 y 2  z 4  12 y  8z  2
28. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số
a) u  x2  y 2 với x2  y 2  1
c) u  x2  12xy  2 y 2 với 4 x2  y 2  25
e) u  cos2 x  cos2 y với x  y 



f) u  xy ln( x2  y 2 )
i) u  x3  y3  3xy

b) u  x  y 2 với xy  y3  4  0
d) u  x  3 y  y 2 với x2  y 2  xy  3
x  y  1
f) u  x  y 2  2 z khi 
 z  xy  1


4

 x2  y 2  z 2  1
x2 y 2

 z2  1
h) u  xyz với 
9
4
x  y  z  0
29. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng
g) u  x2  y 2  z 2 với

5


b) u  x2  y 2 trong miền

a) u  x  y trong miền x2  y 2  25

x2 y 2

1
4
9

c) u  x2 y  xy 2  3xy trong miền 0  x  4, 0  y  3

d) u  3xy  2 x2  2 y 2 trong miền D  ( x, y) : x 2  y 2  9

f) u  x2  xy  y 2 trong miền x  y  1

e) u  x2  xy  y 2  2x trong miền x2  y 2  0

f) u  x  y  z trong miền x2  y 2  z  1
30. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
2
a) y3  4xy  5 y  x3 12  0 tại điểm M (1; 2)
b) x  ( x  y )e x  y 3  0 tại điểm M (0;1)
c) x  2t 2 , y  3t , z  et 1 tại điểm M (2;3;1) , viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện.
31. Tìm tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong
a) x2  3 y2  2z 2  0 tại điểm M (1;1; 2)
b) xy  z  0 tại điểm M (1;1;1)
Chương 2
TÍCH PHÂN BỘI
1. Tính các tích phân
a. I   ( x 2  xy)dxdy với D giới hạn bởi y  x, y  2 x, x  2

(Đs I  10 )

D

b. I   xydxdy với D giới hạn bởi x  y  4  0, x2  2 y

(Đs I  90 )

D

c. I  
D

xy
dxdy với D là tam giác có các đỉnh là O(0,0), A(3,3), B(3,0).
x  y2

(Đs I 

2

d. I   cos( x  y) dxdy với D xác định bởi D  0  x   , 0  y    x .

9 ln 2
)
4

(Đs I   )

D

e. I  
D

x
x2
dxdy
y

,yx
với
D

giới
hạn
bởi
x2  y2
2

(Đs I  ln 2 .)

f. I   ( x 2  y)dxdy với D giới hạn bởi y  x2 , x  y 2

(Đs I 

D

33
)
140

2. Đổi thứ tự lấy tích phân
1

3 y 2

0

2

a. I   dy
b. I   dx
0

c.  dy
0

f ( x, y )dx

2x



1

f ( x, y )dy

2 x  x2

1 y



(Đs I   dx
0

y
2

1

1



1
2

f ( x, y )dx

 1 y 2

2x



2

f ( x, y )dy 

1

0

1 1 y 2

(Đs I   dy



0

y2

2

0

1 x 2

1

0

(Đs I   dx



3 x 2

 dx  f ( x, y)dy   dx 
1
2

0

3

2

f ( x, y )dx 



2

f ( x, y )dy )

0

1

dy  f ( x, y )dx )
y2
2

1

1

1 x

0

0

f ( x, y )dy   dx  f ( x, y )dy )

3. Đổi biến để tính tích phân
a. I   dxdy với D giới hạn bởi y  1  x, y  2  x, y  2 x 1, y  2 x  3
D

6

(Đ/s I 

2
)
3


b. I   xdxdy với D xác định bởi x  y  x  3, 2x  1  y  2 x  5

(ĐS I  2 )

D

c. I   ( x  y)3 ( x  y)2 dxdy với D giới hạn bởi x  y  1, x  y  1, x  y  3, x  y  1

(Đs I 

D

d. I   (4 x  3  x 2  y 2 )dxdy với D giới hạn bởi x2  y 2  4x  3  0

(Đs I 

D

e. I   ln(1  x2  y 2 )dxdy với D xác định bởi x2  y 2  1, x. y  0

(Đs I 



D

f. I   (4  x 2  y 2 )e4 x

2

 y2

2

32
)
3
3
(Đs I    4  2 )
2

(Đs I 

D

D

4 x  y
2

2

với D xác định bởi x2  y 2  2 y, x  y

 y2

k. I    2  xy  x  y  dxdy với D xác định bởi 1  x2  y 2  2x
x

D 

(Đs I 

l. I   ( x  1) sin x 2  y 2 dxdy với D xác định bởi  2  x2  y2  4 2

(Đs I  6 2 )

4
3

)
3 12

D

m. I   x 2  y 2 dxdy với D là miền giới hạn bởi
D

2
2
2

x  y  a

i)  2
,a  0
2
2
x

y

4
a



(Đs I 

14 a3
)
3

ii) Đường hai cánh r  a sin 2 , a  0

(Đs I 

4a 3
)
9

n. I  

sin x 2  y 2

dxdy với D giới hạn bởi x 2  y 2   2 , x 2  y 2 

x2  y 2
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a. y 2  x, y  2x  x2
D

b. r  a cos  , r  b cos  , b  a  0

2
4

(Đs I  2 )

(Đs S 

 (b 2  a 2 )
4

)

3 a 2
c. r  a(1  cos  ), a  0
(Đs S 
)
2
3 3  2
a ).
d. r 2  2a2 cos 2, r  a ứng với phần r  a .

(Đs S 
3
e. y  0 và một nhịp của đường cycloid x  a(t  sin t ), y  a(1  cos t ),0  t  2 , a  0
(Đs S  3 a 2 )
f. ( x2  y 2 )2  a2 ( x2  y 2 ) a  0
(Đs S  a 2 )

(Đs S 

g. x2/3  y 2/3  a2/3 a  0
h. r  a sin 2 a  0
5. Tính diện tích của phần mặt:
7

2

)

(Đs I   (2e3  1) )

dxdy với D xác định bởi 1  x2  y 2  4

g. I   xydxdy với D là nửa trên của hình trịn ( x  2)2  y 2  4
dxdy



 2 ln 2  1 )

D

h. I  

20
)
3

3 a 2
)
8


(Đs S 

a. z  x2  y 2 nằm trong mặt trụ x2  y 2  1


6

(5 5  1) )

x2 y 2
nằm dưới mặt z  1

a 2 b2
x2 y 2
x2 y 2
c. z  
nằm trong mặt 2  2  1 với a, b  0
a

b
a
b
2
2
2
2
d. x  y  z  a nằm trong mặt ( x2  y 2 )2  a2 ( x2  y 2 ) a  0
e. z 2  x2  y 2 nằm trong hình trụ x2  y 2  1
6. Tính thể tích
a. Phần hình nón z 2  x2  y 2 nằm trong mặt trụ x2  y 2  1

b. z 

b.Vật thể giới hạn bởi hai mặt x2  y 2  z 2  2z, x2  y 2  z 2 lấy phần z  x 2  y 2
c. Vật thể giới hạn bởi và x  y  z  a và mặt ( x  y )  a ( x  y )
7. Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường
x y
x2 y 2
a. y 2  4 x  4 và y 2  2x  4
b.

 1 và   1
5 3
25 9
2
2
c. y  x và x  y
d. x  a(1  cos  )
8. Tính các tích phân

2

a. I   x 2  y 2 zdxdydz

2

2

2

2

2 2

2

2

2

(Đs V   )

a0

(Đs I 

với V giới hạn bởi z  0, z  y, y  x2 , y  1

(Đs I  0 )

V

b. I   xy zdxdydz

4
)
21

với V giới hạn bởi x2  y 2  z, z  1

V

c. I   x 2 dxdydz

với V giới hạn bởi

V

d. I   | xyz | dxdydz

x2 y 2 z 2
  1
a 2 b2 c 2

với V giới hạn bởi x2  y 2  z, z  4

(Đs I 

4 a3bc
)

15

(Đs I  32 )

V

e. I   z 2 dxdydz

với V xác định bởi x2  y 2  z 2  4, x2  y 2  z 2  4z (Đs I 

V

f. I   x2  y 2 dxdydz

59
)
15

với V xác định bởi x2  y 2  z 2  1, x2  y2  z 2 , z  0 (Đs I 

 2  2
16

V

g. I   zdxdydz
V

h. I   z x 2  y 2 dxdydz

1
43
với V xác định bởi 0  x  , x  y  2 x, 0  z  1  x 2  y 2 ( I 
)
4
3072

với V giới hạn bởi x2  y 2  2x, z  0, z  a  0

(Đs I 

V

i. I   x 2  y 2  z 2 dxdydz với V là miền x2  y 2  z 2  x

(Đs I 

V

j. I   ( x 2  y 2 )dxdydz

với V giới hạn bởi x2  y 2  2z, z  2

(Đs I 

với V giới hạn bởi y  x2  z 2 , y  1  x2  z 2

(Đs I 

V

k. I   x 2  z 2 dxdydz

)

V

8

16a 2
)
9


10

)

16
)
3

 2  2
16

)


l. I   ( x 2  y 2  z 2 )dxdydz với V giới hạn bởi 3( x2  y 2 )  z 2  3a2 , a  0

(Đs I 

4 3a 5
)
3

(Đs I 

4 5
(b  a 5 ) )
15

V

m. I  
V

2

1
1

x  y  z dxdydz với V là miền x  y   z   
2
4

2

2

2

2

n. I   ( x 2  y 2 )dxdydz

2

với V là miền a2  x2  y 2  z 2  b2 , z  0

V

o. I   1  x 2  y 2 dxdydz với V giới hạn bởi z  x 2  y 2 , z  a, 0  a  1
V

p. I   x 2  y 2  z 2 dxdydz với V giới hạn bởi x2  y 2  z 2  z

(Đs I 

V


10

)

x2  y 2 z 2
q. I   ( x  y  z )dxdydz với V là miền
 2 1
a2

3a
V
2

2

2

r. I   z 2 dxdydz

với V là miền x2  y 2  z 2  4

V

(Đs I 

128
)
15

s. I   ( xy  yz  xz )dxdydz với V là miền x2  y 2  z 2  4
V

t. I   ydxdydz

với V giới hạn bởi y  x2  z 2 , y  a  0

V

9. Hãy tính tích phân sau bằng cách chuyển sang

2

a. I   dx

2 x  x2



0

0

1

1 x

b. I   dx
0


0

a

dy  z x 2  y 2 dz hệ tọa độ trụ

(Đ/s I 

0

8a 2
)
9

2 x2  y 2

2

dy



z 2 dz hệ tọa độ cầu

x2  y 2

10. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
 z  x2  y 2
2
2
x  y  y

3

a.  2
b.  z  2( x 2  y 2 ) (đ/s
) c.
2
2
2


 x2  y 2  2x  0
x  y  z  1


 x2  y 2  z 2  1
 2
2
2
 x  y  z  4 d.
 x2  y 2  z 2 , z  0


11. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi
a. x2  y 2  2az, x2  y 2  z 2  3a2 , z  0, a  0
b. x  y  1, z  x2  y 2 , x  0, y  0, z  0
Chương3
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
1. Tính các tích phân đường loại I
x2 y 2
a) I   xyd với  : 2  2  1
a
b


 x2  y 2  z 2  a2

y2 
b) I   x 2 d và J    3x 2   d với  : 
2 

x  y  z  0


9

 x  y  z  3

 x  2 y  z  1
 x  4 y  z  2



 x2  y 2  z 2  a2
c) I   ( x  2 y ) d với  : 

x  y  z  0
t2
t3
, z  ,0  t 1
2
3

d) I   2 yd với C là đường cong x  t , y 
C

x2 y 2
e) I   xyd với C là cung elip 2  2  1 nằm trong góc x, y  0
a
b
C

f) I   xyd với C là đường cong x  a cos t , y  b sin t , z  ct , 0  t 
C


2

2. Tính khối lượng đường cong
x
 
a x
1
a) y   e a  e a  , 0  x  a biết khối lượng riêng là  ( x, y) 
y
2

b) x  a cos t , y  a sin t , z  bt ,0  t  2 biết khối lượng riêng là  ( x, y, z)  z 2
3. Tìm chiều dài và trọng tâm của các đường đồng chất
a) x  a(t  sin t ), y  a(1  cos t ),0  t  2
b) x  a cos t , y  b sin t , z  ct ,0  t  
4. Tính tích phân đường loại II
a) I   ( x2  2 xy)dx  ( y 2  2 xy)dy với  là đường y  x2 nối A(1;1) và B(1;1) .

(Đs I  



b) I   ( x  y)dx  ( x  y)dy với  là đường elip


x2 y 2

 1, lấy hướng dương.
a 2 b2

14
)
15

(Đs I  0 )

(2;3)

c)



I

xdy  ydx

(Đs I  9 )

( 1;3)

xdx  ydy

(2;3)



d) I 

x2  y 2

( 1;3)

(Đs I  13  10 )

2
2
 ( xy 1)dx  x ydy AB là đường x 

e) I 

AB

y2
 1 nối A(1;0) và B(0;2)
4

(Đs I 

4
)
3

f) I   ( xy  x  y )dx  ( xy  x  y )dy với C: x2  y 2  2x . Tính trực tiếp và sử dụng cơng thức Green
C

g) I 

 x dx  y dy với AB là nửa trên của đường tròn x
2

2

2

 y 2  2x nối A(0;0) và B(2;0) .

AB

h) I   2( x 2  y 2 )dx  ( x  y )2 dy với  là tam giác ABC trong đó A(1;1), B(2;2), C(1;3) .


i) I 


AB

A(2;0), B(2;0) .
j) I 

x3
 xy 2  x  x cos xy )dy
3
16
(Đs I   2 )
3

x 2  y 2 dx  y  xy  ln x  x 2  y 2


( x 2  y cos xy )dx  (



( x 1)2  ( y 1)2 1



10

với AB là cung tròn x2  y 2  4, y  0 và

dy


k) I 

 x3

4
2
2
(
xy

x


y
cos
xy
)
dx

  xy  x  x cos xy  dy

 3

x2  y 2 1

l) I 


x2 
(
xy

3
x

2
y
)
dx

y

2

x


 dy

2

x2  y 2  4



m) I 

( xy  x  y)dx  ( xy  x  y)dy

x2  y 2  4 x



n) I 

o) I 

( x 2 y )dx  xy 2 dy

x2 y 2
 1
a 2 b2
( 2;0)
x y



e

n’)


C

xdy  ydx
với C là đường cong kín đơn khơng qua O(0;0)
x2  y 2

(1  x  y)dx  (1  x  y)dy 

(2;0)

p) I   xy 2 dx  yz 2 dy  zx 2 dz trong đó C là đoạn thẳng nối O(0;0), B(2;4;5) .
C

 x 2  y 2  z 2  45
q) Vẫn tính tích phân trong p) với C là đường trịn trong khơng gian cho bởi 
.
2 x  y  0
 x2  y 2  z 2  1
r) I   zdx  xdy  ydz trong đó C là đường 
x  z  1
C
s) I   ( y 2  z 2 )dx  ( z 2  x 2 )dy  ( x 2  y 2 )dz với C là giao tuyến của các mặt x2  y 2  z 2  4 y và

C

x  y  2 y, z  0 . Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía z  0 .
 x2  y 2  z 2  9
t) I   ( y  z )dx  ( z  x)dy  ( x  y )dz với C là giao tuyến của các mặt 
. Tích phân
x  y  z  0
C
lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía x  0
 x2  y 2  1
u) I   3 ydx  3dy  zdz với C là đường trịn 
. Tích phân lấy theo chiều ngược chiều
z

1

C
kim đồng hồ nếu nhìn từ phía z  0 .
2
2
2

x  y  z  4
2
2
2
v) i   x dx  y dy  z dz với C là đường cong 
. Tích phân lấy theo chiều ngược
2


C
z  y
chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc tọa độ O.
2

2

5. Tính tích phân mặt loại I
x y z
4y
a) I   ( z  2 x  )ds trong đó S là mặt    1 với x, y, z  0 .
2 3 4
3
S
b) I   yds trong đó S là mặt z  x  y 2 với. 0  x  1,0  y  2
S

c) I   ( x 2  y 2 )ds trong đó S là mặt z 2  x2  y 2 với. 0  z  1 .
S

d) I   ( x  y  z )ds với S là phần mặt 2 x  2 y  z  2 nằm trong góc x, y, z  0
S

11


e) I   x y 2  1ds với S là phần mặt y 2  4z  16 cắt bởi x  0, x  1, z  0
S

6. Tìm khối lượng và trọng tâm của mặt z  x2  y 2 , z  1 nếu khối lượng riêng là  ( x, y, z)  z .

7. Tính tích phân mặt loại II
a) I   xyzdxdy trong đó S là phía ngồi của mặt cầu x2  y2  z 2  1; x, y  0 .
S

b) I   xdydz  dzdx  xz 2dxdy trong đó S là phía ngồi của mặt cầu x2  y2  z 2  1; x, y, z  0 .
S

(đ/s

5 2
 ).
12 15

c) I   x 2 dydz  y 2dzdx  z 2dxdy trong đó S là phía ngồi của mặt cầu x2  y 2  z 2  4 .
S

d) Tính tích phân như trong c) với S là phía ngồi của mặt nón z 2  x2  y 2 ,0  z  4 .
e) I   xdydz  ydzdx  zdxdy với S là phía ngồi mặt paraboloid z  x2  y 2 , z  1
S

f) I   xzdydz  yzdzdx  dxdy với S là phía ngồi của chỏm cầu x2  y 2  z 2  25 cắt bởi z  3
S

g) I   xdydz  ydzdx  zdxdy trong đó S là phía ngồi của mặt cầu x2  y 2  z 2  4 .
S

h) I   x3dydz  y 3dzdx  z 3dxdy trong đó S là phía ngồi của mặt cầu x2  y 2  z 2  9 .
S

i) I   xzdydz  yx 2 dzdx  zy 2 dxdy trong đó S là phía ngồi của mặt x2  y 2  9, z  0, z  9 .

S

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

y2 z2
k) I   ( y  z )dydz  ( z  x)dzdx  ( x  y )dxdy trong đó S là phía ngồi của mặt x 
 , 0  x  1.
4 9
S
Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2 2
2 2
x(1  y ) dx  y(1  x ) dy  0
12. xdy  ydx  x 2  y 2 dx
2
y 'cos 2 y  sin y  0
13. y ' 2 xy  xe  x
1
y' 

1
14. (1  x2 ) y ' 2xy  (1  x2 )3
x y
15. (1  x2 ) y ' xy  1, y(0)  0
y '  cos( x  y)
16. ( x  y  1)dx  ( x  y 2  3)dy  0
x 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0, y(0)  1
1
17. xy ' y  2 2
( x2  1) y '  y 2  4, y(1)  2
x y
sin x  cos 2 x  2
2 y'
18. y  ( y ') e  0
y' 
y2 1
19. ( y ')3  y3  3 yy '
3
x  y ' ( y ')
20. y  x( y ')2  ( y ')3
( y  x)dx  ( x  y)dy  0
21. xy '  x2e y  2
2
 y2 
22. yy ' xy  x3
y '  2

 x  y 1 
23. x  y " e y"  y "  0
x  y 1

1
y' 
24. y " 
x y3
y
12


y '  2y  z
39. 
z '  y  2z
y '  2y  z
40. z 
 y '  y  2z

25. 4 y " 2 yy " ( y ')2 1
26. yy " ( y ')2  y 2ln y  0
27. yy " ( y ')4  ( y ')2  0
28. ( y ")2  2xy " y '  0
2
sin x
29. y " y ' y  0 biết nghiệm riêng là y 
x
x
30. y " 4 y ' y  x2
31. y " 6 y ' 8 y  e x  e2 x
32. y " 4 y  x sin 2 x
33. y " y  sin x

y'  y  z

41. 
 y '  y  3z

y2
y
'


z
42. 
z '  y

2
y'  z

43. 
z2
z
'


y

x

 y '  2 y  z  2e
44. 
x

 z '  3 y  2 z  4e

34. y " 2 y  4 x 2 e x
35. Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai
nhận y1  x, y2  x 2 làm hệ nghiệm cơ bản
36. Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai
nhận y1  sin x, y2  cos x làm hệ nghiệm cơ
bản.
 y '  3y  2z
37. 
z '  2 y  z
2

y'  y  z  x
45. 
 z '   y  5z

 y '  z 1
38. 
z '  y

13


BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ
(Học viên làm ra giấy A4, viết hai mặt, nộp cho giáo viên bản viết tay vào buổi học cuối cùng)
1. Xét tính liên tục của hàm số
 2 x2 ( x2  2 y 2 )
khi x 2  2 y 2

4

4
x

4
y
f
x
,
y

a)
  

m
khi x 2  2 y 2

 x2 sin 1x cos 21y

khi x, y  0
b) f  x, y   e
1
khi x. y  0
 x2  4 y 2
khi x 2  y 2  0
sin 2
2
x

y
c) f  x, y   

 1
khi x 2  y 2  0


x2  y 2
khi  x, y   (0, 0)

2
d) f  x, y    x 2 . y 2   x  2 y 

0
khi  x, y   (0, 0)



 2
2
khi x 2  y 2  0
  x  2 y  sin 2
x  y2
e) f  x, y   

0
khi x 2  y 2  0

2. Tìm cực trị của hàm số
2
a) u  x 4  y 4  2  x  y 
x y2 z2 2
b) u  

 
 x, y, z  0
2 2x y z
c) u  x3  y 2  z 2  3x2  2 y
d) u  3x2 y  x3  y 4
e) u  arctan x2  y 2  2 y
f) u  x2  y 2  z 2  2x  4 y  6z
3. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số
y2
 z2  1
4
 x  y  1
b) u  x, y, z   x  y 2  z với điều kiện 
 z  xy  1

a) u  x2  y 2  z 2 với điều kiện x 2 

 x2  y 2  4
c) u  xy  yz với điều kiện 
 x, y , z  0 
y

z

4

y2
2
 z2  9
d) u  2 x  y  z với điều kiện x 

4
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
a) u  2x2 y  xy 2  3xy trong miền đóng 0  x  1, 0  y  2
b) u  4x2  y 2  2x  2 y trong miền D: x  0, y  0, 2 x  y  2 .
14


c) u  x2  y 2  12x  16 y trong miền D  {(x,y): x2  y 2  36}
5. Tính vi phân, đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến, đạo hàm của hàm ẩn
a) Cho z là hàm ẩn xác định bởi z  yex/ z  0 . Tính dz  0; 1 .



b) Cho u  ln 1  x 2  4 y 2  4 z 2

 và điểm A 1;1; 1 , B(0;3;1) . Tính đạo hàm của u tại điểm A theo

hướng AB . Tìm giá trị lớn nhất của
c) u  x sin(3 yz) Xác định Grad u và

U  A


.

u
tại M 0 (1;1;0) với


 i  2 j  2k .

d) z  z( x, y) là hàm ẩn hai biến xác định bởi hệ thức: yz  ez  xe y  0 . Tính dz 1;0  . Áp dụng tính
gần đúng z  0,95;0, 05  .
e) y = y(x) là hàm số ẩn xác định từ biểu thức:

x3
 y 3  xy  1  0 . Tính d 2 y tại điểm x  0 .
27

6. Tính tích phân bội
a)

 ze
V

b)

x2  y 2

 x 2  y 2  z 2  4
dxdydz với V xác định bởi 
2
2
 z  x  y

 ( x  y) ( x  y) dxdy
3

với

D

là

miền

được

giới

hạn

bởi

các

D

x  y  1, x  y  3, x  y  1, x  y  1
2x
dxdy D là miền x2  y 2  4, x  0, y  0
c) 
2
2
4 x  y
D

d)

 xyzdxdydz với V là miền

V

e)



x2 y 2

 z2  1
9
4

x 2  4 y 2  9 z 2 dxdydz , trong đó V là miền x2  4 y2  9z 2  1, x, y, z  0 .

V

f)

 z

x 2  y 2 dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ x2  y 2  2x, 0  z  4 .

V

7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
a) z  x2  y 2 1 và z  3
b) x 2  y 2  z 2  2 3 xyz nằm trong góc x, y, z  0
c) z  x2  y 2 , 2 y  z  8
d) ( x2  y2  z 2 )2  4z( x2  y 2 ) nằm trong góc x, y, z  0
e) 2z  x2  y 2 , z  8  x2  y 2

f) ( x  2)2  y 2  4, x2  y 2  z 2  16
g) x2  y 2  4 và x2  z 2  4
8. Tính diện tích
a) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( x2  y 2 )2  2 x3
2

 x2 y 2 
b) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong     2 xy ( x  0, y  0)
 4 9 

15

đường

thẳng


c) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong  x 2  y 2   2  x 2  y 2 
2

d) Mặt paraboloid z  x2  y 2 nằm trong mặt trụ x2  y 2  4
e) Mặt cầu x2  y 2  z 2  9 nằm trong mặt trụ x2  y 2  3x
9. Tính tích phân đường, tích phân mặt
a)

 (x

2

 y )ds với AB là nửa phía trên trục hồnh của cung trịn x2  y 2  1

AB

b)

  y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy

với S là mặt mặt nón x 2  y 2  z 2  0  z  2  có pháp

S

tuyến hướng ra phía ngồi.
2
2
2
2
2
2
c)  x dydz  y dzdx  z dxdy với S là mặt nón x  y  z

 0  z  1 có pháp tuyến hướng ra phía

S

ngồi.
d)

  y  z  dx   z  x  dy   x  y  dz

trong đó C là đường x2  y 2  4 ,

C

x z
  1 chiều lấy tích phân
2 3

ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz.
2
2
e)  xdydz  ydzdx  zdxdy với S là mặt ngồi của hình trụ x  y  4,0  z  2 có pháp tuyến hướng
S

ra phía ngồi
2
2
x y
x y
f)   x  1 e dx  xe dy với OA là cung x  y  2 x

 y  0

theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0).

OA

g)

 x

3

y 2  z 2 dydz với S là biên của miền V : x2  y 2  z 2 ,0  x  2 có pháp tuyến hướng ra phía

S

ngồi.
2
2
2
2
h)   -x y  2 x  y  dx   xy  x  2 y  dy với OA là nửa cung tròn x  y  2 y,  x  0  chiều từ
OA

O(0,0) đến A(0,2)
2
2
2
2
2
 2

i) I    x  y dx  y xy  ln( x  x  y dy  trong đó L là đường trịn  x  2    y  2   4 lấy
L
theo chiều dương.
 x  y  dx   x  y  dy
với C là đường tròn bán kính R  3 bao quanh gốc tọa độ. Trong trường
j) 
x2  y 2
C

hợp này có áp dụng cơng thức Green được khơng?
2
2
2
k) Tìm điều kiện của m để tích phân đường  (3x  2 y )dx  (mxy  3 y  4)dy không phụ thuộc vào





AB

đường cong nối A(1;3) và B(2;4) . Hãy tính tích phân đó.
10. Giải phương trình, hệ phương trình vi phân
a) y  3 y  2 y  4xex
2x
b) y  4 y  3 y   x  1 e

y " 4 y ' y  x2
d) y " 6 y ' 8 y  e x  e2 x
e) y " 4 y  x sin 2 x
f) y " y  sin x
c)

16


g) y " 2 y  4 x 2 e x
h) y  5 y  4 y  e x  x  3
2

1
với y  0   1, y  0   2
1  ex
j) y  3 y  2 y  xe3 x
 x  2 x  y
k) 
 y '  x  2 y
 x  2 x  y
l) 
 y  x  4 y

i)

y  y 

y '  2y  z
z '  y  2z

m) 

y '  2y  z
z '  y  2z

n) 

y'  y  z
o) 
 z '  y  3z
1

ln x
p) y ' y 
x
x
2
q) xy  y  x sin x

r)

1  x y  dx  x  y  x  dy  0
2

2

(1  x2 ) y ' 2xy  (1  x2 )3
t) (1  x2 ) y ' xy  1, y(0)  0
u) (1  x2 y)dx  x2 ( y  x)dy  0
y
y

v) y  x sin   x  y sin
x
x

s)

w)  sin 2 y  x 2  dx  x sin 2 ydy  0 bằng cách nhân thêm thừa số tích phân
y

với điều kiện y 1 

x
2
x
y) xy  2 y  xy  e bằng phép đổi biến z  x. y

1
x2

x) xy  y  x sin

z) x2 y " xy ' y  x bằng phép đổi biến x  et
Chúc các em ngày càng tiến bộ, học tập đạt kết quả cao!

17