luận văn thạc sỹ toán: dạy học giải bài tập toán theo hướng tăng cường khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề

Mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài
Luật giáo dục (Năm 2005) đã nêu: Phơng pháp giáo dục phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học, bồi dỡng
năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên
. (Điều 2 khoản 5). Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh
phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng
cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động sáng tạo (Điều 27
khoản 1).
Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học; khả năng làm việc theo
nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến
tình cảm; đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh. (Điều 28
khoản 2).
Trớc những yêu cầu đòi hỏi của xã hội đã đợc cụ thể hoá trong Luật
giáo dục, việc hình thành và phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn
đề là quan trọng và cần thiết đối với học sinh phổ thông.
Thực tế giảng dạy toán hiện nay ở các trờng phổ thông cho thấy học
sinh thụ động nhiều trong giải toán, thờng phụ thuộc vào thầy hoặc các
thuật toán định sẵn, cha phát huy đợc tính độc lập, sáng tạo, ngời thầy còn
hạn chế trong việc dẫn dắt học sinh tìm ra lời giải đứng trớc bài toán cho
sẵn (Rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề) và hớng dẫn học sinh xây dựng
đề toán (Rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề). Để góp phần giải quyết
thực trạng trên chúng tôi lựa chọn đề tài: Dạy học giải bài tập toán học ở
trờng phổ thông theo hớng tăng cờng khả năng phát hiện và giải quyết vấn
đề cho học sinh.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Tìm các biện pháp s phạm để tăng cờng khả năng phát hiện và giải
quyết vấn đề cho học sinh khi dạy học giải bài tập toán học ở trờng trung

học phổ thông.
2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn toán
và vấn đề rèn luyện t duy cho học sinh qua dạy học bài tập toán.
- Đề xuất một số biện pháp s phạm để tăng cờng cho học sinh khả
năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong khi dạy học bài tập toán.
- Thực hiện vài biện pháp s phạm đã đề xuất khi dạy học một số nội
dung cụ thể.
3. Phơng pháp nghiên cứu
3.1. Phơng pháp quan sát điều tra
Tìm hiểu tình hình thực tế dạy và học nội dung bài tập toán ở các tr-
ờng THPT
Tìm hiểu năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của các đối tợng
học sinh trong các trờng THPT.
3.2. Phơng pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu luật giáo dục xác định rõ mục tiêu và phơng pháp giáo
dục và phơng pháp dạy học.
Nghiên cứu lý thuyết về phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề và các phơng pháp dạy học tích cực khác.
Nghiên cứu các hình thức và thao tác t duy toán học, vận dụng trong
giải bài tập toán phổ thông.
Từ đó đề ra các biện pháp s phạm để tăng cờng khả năng phát hiện và
giải quyết vấn đề.
3.3. Phơng pháp thực nghiệm s phạm
Tổng kết, đánh giá kết quả các giờ dạy bài tập toán theo phơng pháp
dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
4. cấu trúc của luận văn
Chơng 1. Cơ sở lý luận
1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
2.1 Đặc điểm dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

2.2 Những hình thức và cấp độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
2.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
2. Rèn luyện t duy học sinh qua giải toán
1.1 Rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp
1.2 Rèn luyện kỹ năng so sánh tơng tự
1.3 Rèn luyện kỹ năng khái quát hoá, đặc biệt hoá
1.4 Rèn luyện t duy thuật giải
1.5 Rèn luyện t duy hàm
1.6 Rèn luyện t duy sáng tạo
Chơng 2. Một số các giải pháp s phạm nhằm tăng cờng khả
năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh:
1. Một số biện pháp s phạm tăng khả năng giải quyết
vấn đề cho học sinh
1.1. Khai thác triệt để giả thiết của bài toán để tìm lời giải
1.2. Tìm nhiều lời giải cho bài toán
1.3. Tìm sai lầm của một lờ giải bài toán
2. Một số biện pháp s phạm tăng khả năng phát hiện
vấn đề cho học sinh
2.1. Sử dụng đặc biệt hoá, khái quát hoá và tơng tự hoá
2.2. Sáng tác bài toán
2.3. Chuyển đổi bài toán
Chơng 3. thực nghiệm s phạm
1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm
2. Nội dung và phơng pháp thực nghiệm
3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
4. Một số nhận xét sau thực nghiệm
Kết luận
Chơng 1
Cơ sở lý luận
1. dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

trong môn toán
1.1. Đặc điểm dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Học sinh đợc đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là
đợc thông báo tri thức dới dạng có sẵn.
Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo tận lực huy
động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ
không phải chỉ nghe giáo viên giảng một cách thụ động
Mục tiêu dạy học không chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của
quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát
triển khả năng tiến hành những quá trình nh vậy hay học sinh đợc học bản
thân việc học.
1.2. Những hình thức và cấp độ dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề
1.2.1. Ngời học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề
Giáo viên chỉ tạo tình huống gợi vấn đề, ngời học tự phát hiện và giải
quyết vấn đề đó . Hình thức này phát huy đợc cao độ nhất tính độc lập của
học sinh.
1.2.2. Ngời học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề
Hình thức này có sự hợp tác giữa giáo viên với học sinh, học sinh với
học sinh. Quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề không diễn ra đơn lẻ, có
thể học theo nhóm, tổ hoặc làm dự án.
1.2.3. Giáo viên và học sinh vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn
đề
Hình thức này giống với vấn đáp, học sinh phải trả lời các câu hỏi
của giáo viên. Nhng khác với vấn đáp ở chỗ những câu hỏi giáo viên đa ra
là một tình huống gợi vấn đề, việc phát hiện và giải quyết vấn đề diễn ra
chủ yếu nhờ các tình huống này, không phụ thuộc vào câu hỏi của giáo
viên.
1.2.4. Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề
Hình thức này mức độ độc lập của học sinh thấp hơn các hình thức

trên, khi đó giáo viên là ngời tạo tình huống gợi vấn đề sau đó lại phát hiện
và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết.
Những hình thức trên đợc sắp xếp theo mức độ độc lập của học sinh
trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề vì vậy nó cũng là cấp độ dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề theo phơng diện này, tuy nhiên trong
dạy học luôn có sự đan xen, pha trộn giữa các hình thức dạy học với nhau.
1.3. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Bớc 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề:
Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề, thờng do thầy tạo ra
Giải thích và chính xác hoá tình huống để hiểu đúng vân đề đặt ra
Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bớc 2: Tìm giải pháp
Khi phân tích vấn đề cần làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái
phải tìm, khi đề xuất và thực hiện hớng giải quyết vấn đề cùng với việc thu
thập và tổ chức dữ liệu, huy động tri thức thờng hay sử dụng những phơng
pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận nh hớng đích, qui lạ về quen,
đặc biệt hoá, chuyển qua những trờng hợp suy biến, tơng tự hoá, khái quát
hoá, suy xuôi, suy ngợc tiến, suy ngợc lùi.
Phơng hớng đợc đề xuất không phải là bất biến trái lại có thể phải
điều chỉnh, có thể bác bỏ cho đến khi hợp lý.
Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hớng giải quyết vấn đề là hình
thành đợc một giải pháp. Việc tiếp theo là kiểm tra tính đúng đắn của giải
pháp và tìm giải pháp tối u nhất.
Tìm một cách giải quyết vấn đề thờng thực hiện theo sơ đồ sau:


Bớc 3: Trình bày giải pháp
Khi đã giải quyết đợc vấn đề đặt ra học sinh phải trình bày lại toàn
bộ từ việc phát biểu vấn đề cho đến giải pháp khi trình bày, phải tuân thủ
các chuẩn mực đề ra.

Bớc 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
Tìm hiểu những khả năng ứng dụng hệ quả
Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tơng tự hoá, khái
quát hoá, lật ngợc vấn đề và giải quyết nếu có thể.
3. Rèn luyện t duy học sinh qua giải toán
2.1. Rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp
Đứng trớc một bài toán học sinh phải đặt ra cho mình câu hỏi : Giả
thiết bài toán cho điều gì? kết luận của bài toán yêu cầu gì? muốn giải
quyết yêu cầu của bài toán ta phải làm gì ? vận dụng kiến thức nh thế nào,
muốn thế ta phải thực hiện thế nào? Đứng trớc một lời giải của bài toán
học sinh phải biết tự đặt câu hỏi: Bài toán tại sao lại đợc giải nh vậy? dựa
Kết thúc
+
Bắt đầu
Phân tích vấn đề
Đề xuất và thực hiện h ớng giải quyết
Hình thành giải pháp
Giải pháp đúng
_
trên cơ sở nào? giải bài toán tổng quát nh thế nào? liệu có cách giải nào
khác không? nếu thay đổi một số giả thiết thì bài toán thay đổi thế nào? các
trờng hợp đặc biệt của bài toán ra sao?
Rèn năng lực phân tích và tổng hợp cho học sinh là yếu tố rất quan
trọng trong dạy học, học sinh có năng lực này sẽ nhìn nhận các bài toán
một cách hệ thống, biết phán đoán, biết cách suy luận để tìm lời giải
không những cho bài toán cụ thể mà còn cả hệ thống bài toán, biết nêu bài
toán tổng quát dẫn đến khả năng giải quyết vấn đề đợc phát huy cao độ
nhất.
Phân tích là phơng pháp suy luận đi từ cái cha biết đến cái đã biết trong
các lời giải bài tập toán thờng hay sử dụng phép phân tích:

Phân tích đi lên (Suy ngợc lùi): để chứng minh mệnh đề A ta suy ng-
ợc lại cần phải chứng minh A
1
, muốn chứng minh A
1
ta phải chứng minh A
2
cứ nh vậy cho đến khi có A
k
là mệnh đề đúng ta dừng lại. Khi trình bày
lời giải lại theo trình tự ngợc lại từ A
k
ta suy ra đến A
1
. Ta có sơ đồ sau:
A
k


A
k-1




A
1
.
Phép phân tích đi lên thờng dùng để tìm lời giải. Đây là một trong
cách thức để tìm ra lời giải của bài toán một cách thông dụng và phổ biến

nhất, qua bớc phân tích này học sinh sẽ tìm ra cách giải quyết một vấn đề .
Giáo viên rèn luyện cho học sinh năng lực này giúp cho học sinh dễ dàng
tìm ra lời giải cho một bài toán, thờng là những bài toán mà cha biết thuật
toán để giải nó.
Phép phân tích đi xuống (Suy ngợc tiến): Giả sử đã có A ta suy ra
A
1
tức là A

A
1
; từ A
1


A
2
; từ A
k-1

A
k
khi nào gặp A
k
sai thì dừng
lại khi đó kết luận A là sai. Còn A
k
đúng thì không kết luận đợc gì. Phép
phân tích này thờng dùng trong chứng minh phản chứng, muốn phủ định
một vấn đề ta thờng sử dụng phơng pháp này từ đó suy ra muốn chứng

minh một mệnh đề ta thờng giả thiết mệnh đề phủ định.
Phép tổng hợp là phơng pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái cha
biết . Nếu A là hệ thức cần chứng minh ta suy theo sơ đồ sau:
A
k


A
k-1




A
1


A.
Thờng dùng phép tổng hợp khi trình bày lời giải sau quá trình phân
tích. Hay còn gọi là suy xuôi, học sinh nắm vững phơng pháp tổng hợp dẫn
đến việc khái quát hóa một dạng toán đi từ các bài toán cụ thể, từ đó phát
hiện đợc những lời giải cho bài toán tổng quát; khi gặp những bài toán
thuộc dạng đó, học sinh dễ dàng nhận ra đờng lối chung để giải nó.
2.2. Rèn luyện kỹ năng so sánh, tơng tự
Đứng trớc nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhng có một số điểm
chung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận học sinh phải biết liên hệ
lôgic với nhau qua phép so sánh và tơng tự. Từ đó tăng khả năng phân biệt,
nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đờng lối giải các dạng bài toán
đó.
So sánh bao gồm hai thành phần chính đó là phát hiện đặc điểm

chung và phát hiện đặc điểm khác nhau giữa các bài toán. Nhờ đó có thể
phát hiện hàng loạt bài toán có cách giải hoặc ý tởng giải giống nhau. Qua
đó luyện tập cho học sinh phép tơng tự. Không những thế còn phát triển
cho học sinh hàng loạt bài toán giống nhau để đi đến dạng tổng quát của nó
hoặc từ một bài toán tổng quát có thể đi vào giải từng bài toán cụ thể. Rèn
luyện kỹ năng này giúp học sinh phân biệt các ý tởng của các dạng bài toán
mà cùng vận dụng một kiến thức những suy nghĩ theo nhng hớng khác
nhau hoặc so sánh lời giải các bài toán trong cùng một dạng giúp cho học
sinh hiểu sâu hơn về dạng toán đó.
2.3. Rèn luyện kỹ năng khái quát hoá, đặc biệt hoá
Khái quát hoá là thành phần cơ bản của năng lực toán học, năng lực
này chỉ có thể hình thành và phát triển trong hoạt động, Những dạng khái
quát hoá thờng gặp có thể đợc biểu diễn theo sơ đồ sau:
Đặc biệt hoá là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối
quan hệ chung riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể từ đó tìm đợc nhiều tr-
ờng hợp riêng lẻ từ một bài toán xuất phát.
Các kỹ năng này giúp học sinh có cách nhìn tổng quát về các bài
toán sau khi giải. Trên cơ sở đó, học sinh có thể phát triển thành các bài
toán mở rộng hơn, hoặc trong mỗi trờng hợp có thể xét bài toán ở các trờng
hợp đặc biệt.
Khái quát hoá
Khái quát hoá từ cái
riêng lẻ đến cái tổng quát
Khái quát hoá từ cái tổng
quát đến cái riêng lẻ
Khái quát hoá tới cái
tổng quát đã biết
Khái quát hoá tới cái tổng
quát ch a biết
Từ đó việc suy luận đến lời giải sẽ nhanh chóng hơn đối với các

dạng toán đó.
2.4. Rèn luyện t duy thuật giải
Thuật giải là một qui tắc chính xác và đơn trị, qui định một số hữu
hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối tợng
sao cho sau một số hữu hạn bớc thực hiện các thao tác đó ta thu đợc kết
quả mong muốn.
T duy thuật giải là phơng thức t duy biểu thị khả năng tiến hành các
hoạt động sau:
HĐ 1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp
với một thuật giải.
HĐ 2: Phân tích một quá trình thành những thao tác đợc thực hiện
theo một trình tự xác định.
HĐ 3: Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tợng
riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tợng.
HĐ 4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
HĐ 5: Phát hiện một thuật giải tối u để giải quyết một công việc.
Trong dạy học hệ thống những qui định nghiêm ngặt đợc thực hiện
theo một trình tự chặt chẽ dẫn tới cách giải quyết đúng đắn một bài toán.
Trong dạy học bài tập toán cái khó khăn lớn nhất, phổ biến nhất cho học
sinh đại trà là các dạng toán cha biết thuật giải. Trong chơng trình THPT đa
số các bài toán đều có thuật giải để giải quyết, còn lại một số ít các bài
toán dành cho học sinh giỏi phát huy trí tuệ của mình. Do vậy việc trang bị
thuật giải một dạng toán cho học sinh là vấn đề quan trọng, cần thiết. Học
sinh nắm vững thuật giải một dạng toán thì về cơ bản học sinh đó sẽ giải
quyết đợc bài toán thuộc dạng đó. Tạo điều kiện cho học sinh lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kỹ năng kỹ xảo trong việc giải quyêt một bài toán.
2.5. Rèn luyện t duy hàm
Các hoạt động đặc trng cho t duy hàm đó là:
HĐ 1: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tơng ứng.
HĐ 2: Nghiên cứu những sự tơng ứng .

HĐ 3: Lợi dụng những sự tơng ứng.
T duy hàm thể hiện ở sự nhận thức đợc tiến trình những tơng ứng
riêng và chung giữa các đội tợng toán học hay những tính chất của chúng
rèn luyện t duy hàm cho học sinh tạo điều kiện phát triển những hoạt động
trí tuệ sau:
Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng
những tơng ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kỹ
năng toán học.
Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động t duy hàm trở thành
những khả năng gợi động cơ nội tại toán học trong các giờ dạy học giải bài
tập toán.
Hình thành ở học sinh những biểu tợng, tiến tới những tri thức về t-
ơng ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những
tri thức phơng pháp.
2.6. Rèn luyện t duy sáng tạo
T duy sáng tạo là dạng t duy độc lập tạo ra ý tởng mới, độc đáo và có
hiệu quả giải quyết vấn đề cao thể hiện là giải pháp lạ, hiếm và duy nhất.
Rèn luyện cho học sinh t duy sáng tạo trong giải bài tập toán nhằm
tăng cờng năng lực khám phám kiến thức trong mỗi dạng toán tạo điều
kiện phát huy năng lực tiềm ẩn của mỗi học sinh; tạo cho học sinh môi tr-
ờng nghiên cứu khoa học; học sinh năng động trong việc chuyển từ hoạt
động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác vận dụng linh hoạt các hoạt
động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá
Học sinh có t duy sáng tạo thể hiện trong các suy nghĩ không dập
khuôn, không áp dụng máy móc, có kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng vận
dụng linh hoạt vào hoàn cảnh mới, có khả năng thoát khỏi ảnh hởng, kìm
hãm của những kinh nghiệm, phơng pháp, cách nghĩ có từ trớc; dễ dàng
nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới
của đối tợng quen biết.
Rèn luyện t duy sáng tạo trong hoạt động dạy học giải bài tập toán

còn thể hiện ở sự đa dạng của các cách xử lý khi giải bài toán; khả năng
xem xét đối tợng theo nhiều khía cạnh khác nhau; khả năng tìm ra những
liên tởng và kết hợp mới; nhìn ra những mối liên hệ có trong những sự kiện
bên ngoài tởng nh không có liên hệ với nhau; khả năng tìm ra giải pháp lạ
tuy đã biết các giải pháp khác.
T duy sáng tạo tập trung vào sự tìm ra những lời giải, những sản
phẩm hay quá trình độc đáo, t duy sáng tạo đợc ghi nhận nhờ những tiếp
cận tởng tợng, phân kỳ đối với bài toán và trực giác là nguồn cung cấp ý
tởng hữu ích.
Theo Lecne: Sự sáng tạo là quá trình con ngời xây dựng cái mới về
vật chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem nh là hệ thống
các thao tác hoặc hành động đợc mô tả thật chính xác và đợc điều hành
nghiêm nghặt.
Rèn luyện t duy sáng tạo là một trong các vấn đề thiết yếu trong việc
tăng cờng khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy
học bài tập toán ở các trờng phổ thông trong xu hớng dạy học hiện nay.
Chơng 2
Một số biện pháp s phạm nhằm tăng cờng
khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho
học sinh trong quá trình dạy học bài tập
toán học
1. Một số biện pháp s phạm tăng cờng khả năng giảI
quyết vấn đề cho học sinh
1.1. Khai thác triệt để giả thiết của bài toán để tìm lời giải
Một bài toán mà học sinh cha biết lời giải hay cha biết thuật giải là
một vấn đề đối với học sinh; giáo viên có thể đa ra ngay thuật giải và làm
mẫu sau đó cho học sinh luyện tập nhiều lần cứ nh vậy học sinh sẽ đợc
truyền thụ kiến thức một cách thụ động không phát huy tối đa khả năng
nhận thức của học sinh. Song nếu dẫn dắt học sinh tự tìm ra thuật giải đó
mới giúp học sinh hiểu rõ và sâu hơn bài học, tạo điều kiện cho học sinh

phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc giải toán và nghiên
cứu lời giải bài toán.Tạo cho học sinh niềm tin, niềm say mê học tập.
Giải bài tập toán là một kỹ thuật thực hành vận dụng lý thuyết một
cách linh hoạt, chính xác và sáng tạo. Có thể theo một đờng lối mẫu mực,
cũng có thể phải tìm tòi một số yếu tố nào đó chẳng hạn nh mối liên hệ
giữa giả thiết và kết luận, điều kiện ràng buộc của các dữ kiện. Dạy học ph-
ơng pháp tìm lời giải bài tập toán theo Polya : Có thể hình dung qua các b-
ớc sau:
Bớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Phân tích các dữ kiện của bài toán để phát hiện vấn đề trong bài
toán.
Bớc 2: Xây dựng chơng trình giải
Bài toán này có thuộc dạng quen thuộc hay không? hay có bài toán
nào liên quan đến nó không? bài toán này vận dụng đợc các kiến thức nào?
dữ kiện của bài toán cho biết những thông tin gì? có cần các yếu tố phụ,
yêú tố trung gian để giải quyết hay không?
Bớc 3: Thực hiện chơng trình giải
Kiểm tra lại các bớc có đúng không có thể chứng minh tính đúng
đắn của lời giải hay không?
Bớc 4: Trở lại lời giải.
* Trong quá trình giải bài toán nên làm cho học sinh biết các nội
dung của logic hình thức một cách có ý thức, xem nh vốn thờng trực quan
trọng để làm việc với toán học cũng nh để sử dụng trong quá trình học tập
liên tục, thờng xuyên. Để thực hiện điều này sau khi giải xong mỗi bài toán
cần có phần nhìn lại các phơng pháp đã sử dụng để giải. Dần dần những
hiểu biết về logic sẽ thâm nhập vào ý thức của mỗi học sinh. Hệ thống hoá
các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để học sinh
thấy đợc những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và các mô hình đó.
* Để tăng cờng rèn luyện t duy cho học sinh trong giờ dạy học giải
toán giáo viên đa ra các bài toán, học sinh tự tìm tòi ra cách giải, trao đổi,

thảo luận trong tập thể học sinh; đa ra ý kiến đã đợc thống nhất hay cha
thống nhất. Giáo viên làm trọng tài để tổng kết những cách giải đúng, cách
giải gọn gàng, độc đáo, cũng nh phát biểu ý kiến về những điều học sinh
cha thống nhất.
Trong bốn bớc giải bài tập toán trên thì bớc tìm hiểu nội dung bài
toán tạo tiền đề cho việc tìm ra lời giải. Do vậy giả thiết của bài toán phải
đợc khai thác triệt để. Muốn vậy học sinh phải luôn trả lời các câu hỏi
trong sự suy nghĩ là: giả thiết bài toán cho ta biết những thông tin gì? các
thông tin đó liên quan gì đến các kiến thức đã đợc học? các thông tin đó
liên quan gì đến yêu cầu của bài toán?
Một số ví dụ về khai thác giả thiết để tìm lời giải
1.1.1. Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến số
Trong phơng pháp đổi biến số để tính tích phân I =
( )
b
a
f x dx

ta thờng
dùng ẩn phụ, quy trình gồm các bớc:
Bớc 1: Chọn x = u(t) hoặc t = v(x) với u(t) và v(x) là các hàm số
thích hợp
Bớc 2: Lấy vi phân dx = u(t)dt hoặc dt =v(x)dx
Bớc 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử là g(t)dt sau đó tính các cận
, tơng ứng theo a và b
B4 : Tính tích phân I=
( )g t dt

thay cho việc tính tích phân trên
Nh vậy vấn đề ở đây là bài toán dạng nào thì vận dụng đợc phơng
pháp đổi biến số này và việc chọn ẩn phụ dựa vào các dấu hiệu gì? ta phải
tìm hiểu bài toán đã cho để phát hiện ra điều đó. Việc đặt ẩn phụ rất đa
dạng tuỳ thuộc vào hàm số đã cho dới dấu tích phân; nhiều khi còn phụ
thuộc vào cận a và b nữa. Dới đây là một số dấu hiệu và các gợi ý đặt ẩn
phụ khi dạy học sinh giải bài tập tính tích phân :
* Phép đổi biến số dạng 1:
Khi đặt x = u(t):
Cần chú ý các vấn đề sau:
+ f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
+ x=u(t) là hàm đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [; ]
+ Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn [; ]
+ u() = a ; u() = b
Khi đó ta có:
( ). ( ( )). '( ).
b
a
f x dx f u t u t dt


=

ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:
+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn
+ Phát hiện và đặt x = u(t) cho đúng là vấn đề then chốt của phơng
pháp giải bài toán tính tích phân.
Giáo viên cho học sinh nhận xét giả thiết để tăng cờng khả năng phát
hiện lời giải dựa trên một số gợi ý:
- Những bài toán có dạng nh thế nào thì vận dụng phơng pháp đổi

biến số đợc.
- Các dạng quen thuộc nào để vận dụng phơng pháp đổi biến số
Sau đây là một số dấu hiệu đổi biến số cần rèn luyện cho học sinh:
STT Dấu hiệu của hàm
dới dấu tích phân
Gợi ý cách đổi biến số trong giải
toán
1
f(
2 2
a x

)
x= | a |.sint hoặc x=| a |.cost
2
f(
2 2
x a

)
x
sin
a
t
=
hoặc x
a
cost
=
3

f(
2 2
a x
+
)
x= | a |.tant hoặc x=| a |.cott
4
f(
a x
a x

+
)
f(
a x
a x
+

)
x=a.cos2t
Một số ví dụ khai thác giả thiết trong bài toán tính tích phân
bằng phép đổi biến số dạng 1
Bài toán 1. Tính tích phân sau:
1
2
1
2
1 .I x dx

=

HD Giải: Vấn đề then chốt của các bài toán dạng này là đặt ẩn phụ
thế nào? tại sao lại nghĩ đến việc đặt ẩn phụ?
Giáo viên có thể dẫn dắt học sinh dựa vào đặc điểm của các hàm số
dới dấu tích phân cụ thể đối với hàm số y=
2
1 x
có tập xác định [ -1;
1 ] ta liên tởng đến tập giá trị của hàm số lợng giác sinx hoặc cosx. Chẳng
hạn cách đặt ẩn phụ và dẫn đến việc đổi biến số tính tích phân nh sau:
Đặt x = sint, ta có dx = costdt với t
;
6 2





Khi đó:
2
2
6
1 sin .cos .I t t dt



=

2

6
cos .cos .t t dt



=

2
2
6
cos .t dt



=

2
6
1 2
.
2
cos t
dt



+
=

2

6
sin 2 3
( ) /
2 4 3 8
t t




= + = +
.
Bài toán 2. Tính tích phân sau:
2 2 2
0
. .
a
I x a x dx
=

với a >0
HD Giải: Bài toán tích phân này có biểu thức hàm số phức tạp hơn
tổng quát hơn trớc hết phải cho học sinh thấy thành phần nào cần quan tâm
đến khi tìm hớng giải bài toán này, có liên hệ đợc gì với bài toán trên hay
không? từ đó học sinh có thể liên hệ giữa các biểu thức
2
1 x
và

2 2
a x

khi giả thiết cho a > 0 .
Đặt x= a.sint ta có dx = a.cost.dt với t
0;
2




khi đó:
2 2 2 2 2
0
.sin . sin . .cos .
a
I a t a a t a t dt
=


4 4 4
2
2
0
0
1 .
. (1 4 ). .( .sin 4 ) /
8 8 4 16
a a a
cos t dt t t

= = =

.
Bài toán 3. Tính tích phân sau:
1
2
0
1
dx
I
x
=
+

HD Giải: Với bài toán này hàm số dới dấu tích phân ta liên hệ với
các công thức:

2
2
1
1 tan
cos


+ =
và (tan

) =
2
1

cos

Nhờ các dấu hiệu trên ta có suy nghĩ tới việc đổi biến số nh sau:
Đặt x = tant ta có
dx
=

2
2
1
. (1 tan )dt t dt
cos t
= +

với t
0;
4




Khi đó:
1
2
4 4
2 2
0 0 0
1 tan
.
1 1 tan 4

dx t
I dt dt
x t


+
= = = =
+ +

.
Bài toán 4. Tính tích phân sau:
0
.
a
a x
I dx
a x

+
=


với a >0
HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân với tập xác định [-a; a) ta
liên hệ với công thức :
1 cos2
cot
1 2
+ +
= =

a x t
t
a x cos t
từ đó có cách đổi biến
số nh sau:
Đặt x= a.cos2t. Khi x = -a thì t=
2

. Khi x= 0 thì t =
4

Và dx = -2a.sin2t.dt
Suy ra:
4 4
2
2 2
2 . cot .sin 2 . 4 .


= =

I a t t dt a cos t dt
2
2
4
4
1 2
2 (1 2 ). 2 ( .sin 2 ) / .( )
2 2

a cos t dt a t t a






= + = + =

.
Bài toán 5. Tính tích phân sau:
2
2
2
3
1
dx
I
x x
=


HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân có tập xác định
+( ;1) (1; )
ta có
<
1
1
x
ta liên tởng đến sinx và cosx cũng có tập giá

trị [-1; 1]. khi đó ta có cách đổi biến số của bài toán nh sau:
Đặt
1
cos
x
t
=
với t
;
6 4





2
1
.sin .dx t dt
cos t
=
Suy ra:


=


2
4
6
2

1
.sin .
1 1
. 1
cos
t dt
cos t
I
t cos t
=
2
4
6
1
.sin .
sin
1
.
cos
t dt
cos t
t
t cost



=
4
4
6

6
/
12
dt t





= =

.
*Bài toán tơng tự:
Các bài toán này khi khai thác giả thiết với các hàm số cho dới biểu
thức tích phân ta cũng hớng đến cách giải tơng tự.
Bài 1. Tính tích phân sau:
1
2
2
0
.
4
x
I dx
x
=


.
HD : Đặt x= 2.cost hoặc x= 2.sint

Bài 2. Tính tích phân sau:
2 2 2
0
( )
a
dx
I
a x
=
+

a>0.
HD: Đặt x = a.tant
Bài 3. Tính tích phân sau:
3
2
2
2
3
2
9 2
.
x
I dx
x
+
=

.
HD: Đặt

2. 3.tanx t
=
Bài 4. Tính tích phân sau:
1
3
2 3
0
.
(1 )
x
I dx
x
=
+

HD: Đặt x = tant.
Bài 5. Tính tích phân sau:
1
2
0
ln(1 )
.
1
x
I dx
x
+
=
+

HD: Đặt x = tant
* Phép đổi biến số dạng 2
Khi đặt t = u(x):
Cần chú ý các vấn đề sau:
. f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] với các biến là: u(a) và u(b).
. Hàm số t = u(x) đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [a;b] .
. Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn [; ].
. Các giá trị u(a) =

; u(b) =

.
Khi đó ta có:
( ( )). '( ) ( ).


=

b
a
f u x u x dx f t dt
.
ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:
+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn.
+ Phát hiện và đặt t = u(x) cho đúng vấn đề của phơng pháp giải bài
toán.
Trong phơng pháp này chủ yếu là học sinh xác định đợc thành phần
nào là f(u(x)), thành phần nào là u(x). Do vậy giáo viên cần dẫn dắt học
sinh nhận biết các thành phần đó trong mỗi bài toán tính tích phân.
Giáo viên cho học sinh phát hiện các dấu hiệu đặc trng khi chọn hàm

u(x) trong phép đổi biến số.
Một số dấu hiệu đặt ẩn phụ dạng 2 theo bảng gợi ý sau:
STT Dấu hiệu của hàm dới dấu
tích phân
Gợi ý cách đặt ẩn phụ trong
giải toán
1 f(ax+b) t = ax+b
2 f(x
n+1
)x
n
t = x
n+1
3
f(
x
).
1
2 x
t =
x
4
f(lnx)
1
x

t = lnx
5 f(cosx).sinx t = cosx
6 f(sinx).cosx t = sinx
7

f(tanx)
2
1
cos x
t = tanx
8
f(cotx)
2
1
sin x
t =cotx
9 f(e
x
)e
x
t = e
x
10
f(
1
x
x

)(
2
1
1
x
m
) t =

1
x
x

Một số ví dụ khai thác giả thiết trong bài toán tính tích phân bằng
phép đổi biến số dạng 2:
Bài toán1. Tính tích phân sau:
1
2007
0
(1 ) .I x dx
= +

.
HD Giải: Do d(x+1) = dx nên vai trò của x+1 tơng tự x khi lấy vi
phân
mà đã biết nguyên hàm của x
2007
.
Đặt 1+x = t ta có: dt = dx, t
[ ]
1;2
Khi đó:
2008
2
2
2007 2008
1
1
1 2 1

. . /
2008 2008
I t dt t

= = =

Bài toán này có thể liên hệ tới nguyên hàm của hàm hợp từ đó dẫn đến
việc tính tích phân. Các thành phần khác có thể thay đổi thành các bài toán
khác hay ta có thể giải bài toán tổng quát sau:
Tính tích phân sau:
(1 . ) . với n N
b
n
a
I x dx

= +

Bài toán 2. Tính tích phân sau:
2
1
2
. 1
dx
I
x x
=
+

HD Giải: Với bài toán này hàm số dới dấu tích phân cho ta thấy mối

quan hệ giữa biểu thức trong căn và biểu thức bên ngoài cụ thể khi lấy vi
phân ta có: d(x
2
+1) = 2x.dx suy ra
2
1
. ( 1)
2
x dx d x= +
từ đó ta có giải pháp
sau:
Đặt
2
1t x= +
. Khi đó
2 2 2 2
1 ; x 1, x.dx=t.dtt x t= + =
Suy ra:
+
= =
+
5
2
1 1 ( 5 ).( 2 1)
.ln ln
2 1 2
t
t
Bài toán 3. Tính tích phân sau:
2

1
ln
.
(ln ) 1
e
x
I dx
x x
=
+



HD Giải: Ta nhận thấy rằng (lnx) =
1
x
khi đó dễ nhận ra u(x) = lnx
việc còn lại là vận dụng phơng pháp đổi biến số.
Đặt t = lnx t
[ ]
0;1
,
1
.dt dx
x
=
.
Khi đó
2
1

1 1
2
2 2
0 0
0
. 1 (1 ) 1 1
. .ln( 1) / .ln2
1 2 1 2 2
t dt d t
I t
t t
+
= = = + =
+ +

.
Bài toán 4. Tính tích phân sau:
=
+

1
2
0
.
sin 7.sin 10
cosx dx
I
x x
HD Giải: Ta nhận xét thấy hàm số dới dấu tích phân có chứa cosx và
các lũy thừa của sinx và (sinx) = cosx nên ta nhận thấy:

u(x) = sinx do đó cách giải bài toán nh sau:
Đặt t = sinx thì t
[ ]
0;1

= =


1
0
1 1 1 1 8
. ( ). .ln
3 5 2 3 5
I dt
t t
Bài toán 5. Tính tích phân sau:


=


4
2
0
tan
( ) . (0 < x < )
(1 tan ).cos 4
t
x
I t dx

x x
HD Giải: Ta cũng nhận thấy rằng (tanx) =
2
1
cos x
. Khi đó dễ nhận ra
u(x) = tanx . Suy ra cách giải bài toán bằng phơng phơng pháp đổi
biến số nh sau:
Đặt t = tanx ta có
2
1
.dt dx
cos x
=
suy ra:
4
tan tan
2
2 2
0 0
1
( ) . ( 1 ).
1 1
t t
t
I t dt t dt
t t
= = + +

tan
3
0
1 1 1 1
( .ln ) / tan tan .lntan( )
3 2 1 3 2 4
t
t t
t t t t
t


= + + = +
+
.
Bài toán 6. Tính tích phân sau:
ln3
0
1
x
dx
I
e
=
+

.
HD Giải: Vấn đề làm mất căn thức trong các biểu thức hàm số bằng
cách đặt biến mới cũng là một ý tởng gợi cho học sinh cho việc đổi biến số

trong bài toán này.
Đặt
2 x 2
1 t 1 e 1
x x
t e e t= + = + =

2
2
.
1
t
dx dt
t
=

, t
2;2


Khi đổi biến nh vậy vấn đề khi chuyển về biến mới thì biểu thức hàm
số trong tích phân mới không còn căn thức và dễ dàng tìm đợc nguyên
hàm.
Khi đó:
2
2 2
2
2 2
2
2 1 1 1 3 2 2

. ( ). ln / ln
1 1 1 1 3
t
I dt dt
t t t t
+
= = = =
+ +

.
Bài toán 7. Tính tích phân sau:
1
2
0
1 3
.ln .
9 3
x
I dx
x x
+
=


Giải: Đặt
2
3 3-x 3+x 6.dx
ln dt= .( )'.dx=
3 3+x 3-x 9-x
x

t
x
+
=

, t
[ ]
0;ln2
Suy ra:
2
ln2
1 ln2
2
2
0 0
0
1 3 1 1
.ln . . . / .ln 2
9 3 6 12 12
x t
I dx t dt
x x
+
= = = =


Bài toán 8. Tính tích phân sau:
2
2
4

1
1
.
1
x
I dx
x

=
+

HD Giải: Nhờ các kết quả:


=
+
+
2
2
4
2
2
1
1
1
với x 0
1
1
x
x

x
x
x

(
1
x
x
+
) =
2
1
1
x

và (
1
x
x
+
)
2
=
2
2
1
2x
x
+ +
Ta có

2
2
4
1
1
.
1
x
I dx
x
+
=
+

=
2
2
1
2
2
1
1
.
1
x
dx
x
x

+

Đặt
2 2
2 2
1 1 1
dt=(1- ) t =x + +2
x x
t x dx
x
= +
t
5
2;
2



Khi đó
5 5
2 2
2
2 2
1 (t+ 2) ( 2)
. .
2
2 2 ( 2).( 2)
dt t
I dt
t
t t

= =

+

( Đây là tích phân của hàm hữu tỷ quen thuộc)

5
2
2
1 2 1 (5 2 2).(2 2)
ln / = .ln
2 2 2 2 2 6 2
t
t
+
=
+
.
Bài toán 9. Tính tích phân sau:
4
1
1
.
1
o
x
I dx
x
+

=
+

.
HD Giải: Dựa vào biểu thức của hàm số dới dấu tích phân ta xem xét
việc làm mất căn thức trong biểu thức hàm số là mấu chốt cơ bản của vấn
đề.
Thông thờng các hàm số chứa căn thức thì một trong cách làm mất
căn là đặt cả căn thức làm ẩn phụ vậy ta có cách đổi biến sau đây:
Đặt
4 3
4
t , dx= 4t .t x x dt= =
với t
[ ]
0;1
Suy ra
3
1 1
2
2 2 2
0 0
(1 ). 1 2 1
4. = 4. (t 1 . ).
1 2 1 1
t t dt t
I t dt
t t t
+
= + +

+ + +


3 2
1
2
0
1
4.( .ln(1 ) arctan )/
3 2 2
t t
t t t= + + +

1 1
4.( .ln2 )
4 2 6

=
.
Các bài toán tơng tự:
Bài 1. Tính tích phân sau:

3
1
2 3
0
.
( 1)
x dx
I

x
=
+

HD: Từ biểu thức của hàm số dới dấu tích phân ta dẫn đến cách đổi biến
quen thuộc:
Cách 1: Đặt t= x
2
+1
Cách 2: Đặt x= tant
Bài 2.Tính tích phân sau:

1
2
2
1
2
(2 3) 4 12 5
dx
I
x x x

=
+ + +

HD: Do (
2
4 12 5x x+ +
) =
2

2(2 3)
4 12 5
x
x x
+
+ +
Đặt
2
4 12 5t x x= + +
Bài 3. Tính tích phân sau:

2
2 2 2 2
0
sin .cos .
( a; b 0 )
.cos .sin
x x dx
I
a x b x

=
+

HD: Đặt
2 2 2 2
cos sint a x b x= +
Bài 4. Tính tích phân sau:
2
0

2cos sin 3
dx
I
x x

=
+ +

HD: Đặt
tan
2
x
t =
Bài 5. Tính tích phân sau:
1
0
.
1
x
x
e dx
I
e


=
+

HD: đặt
1

x
u e

= +
Tính tích phân sau:
2
0
2cos .
3 2sin
x dx
I
x

=
+

HD: đặt t = sinx.
Qua các bài toán trên cho thấy nếu khai thác tốt giả thiết thì học sinh
dễ tìm đợc lời giải bởi vì trong giả thiết chứa các gợi ý cho lời giải. Vấn đề
tìm ra lời giải là điều kiện cần để giải quyết bài toán còn trình bày lời giải
là điều kiện đủ. Nh vậy khai thác triệt để giả thiết của một bài toán là một
trong các giải biện s phạm cho việc tăng cờng khả năng giải quyết vấn đề
cho học sinh phổ thông.
1.1.2 Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần
Bài toán tính tích phân:
( )
b
a
f x dx

, trong đó f(x) có dạng:
f(x) = u(x).v(x)
Thờng giải bài toán này bằng cách vận dụng công thức tính tích phân
từng phần sau đây:
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]
thì:
[ ]
( ). '( ). ( ).( ) / ( ). '( ).
b b
b
a
a a
u x v x dx u x x v x u x dx=

.
Vấn đề đặt ra ở đây là:
- Làm thế nào cho học sinh chọn đúng các hàm u(x) và v(x) trong
công thức.
- Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn khi sử dụng
công thức tích phân từng phần nh thế nào?
Cốt lõi của phơng pháp này là đa việc tìm nguyên hàm của hàm có
dạng: u(x).v(x) khó về việc tìm nguyên hàm của hàm số có dạng
u(x).v(x) dễ hơn.
Muốn xác định đúng đờng lối giải bài toán ta phải nghiên cứu kĩ giả
thiết của bài toán, khai thác triệt để dạng của hàm số đã cho dới biểu thức
tích phân.
* Một số ví dụ khai thác giả thiết để vận dụng công thức tính
tích phân từng phần:
Bài toán 1. Tính tích phân sau:
2

0
.cos3 .I x x dx

=

HD Giải: Biểu thức của hàm số dới dấu tích phân có dạng tích của hàm đa
thức và hàm lợng giác ta có nhận xét là:
Nếu qua phép đạo hàm thì bậc của hàm đa thức sẽ giảm.
Nếu coi một hàm là u(x) và một hàm là v(x) thì việc tìm nguyên hàm
của hàm u(x).v(x) phải đơn giản hơn u(x).v(x). Vậy chọn hàm đa thức
đóng vai trò u(x) trong phơng pháp trên là phù hợp. Từ đó suy ra cách giải
sau:
Đặt u = x ; dv = cos3x.dx suy ra du = dx ; v =
1
3
sin3x
Ta có: