Dạy học giải toán theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức của học sinh ở trường THPT thể hiện qua chủ đề ''véctơ trong không gian quan hệ vuông góc''

1
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh
===== & =====

lê thị ngọc

Dạy học giải toán
theo hớng tăng cờng bồi dỡng năng lực huy
động kiến thức đà có của học sinh
ở trờng THPt

Chuyên ngành:
Lí luận và phơng pháp dạy học bộ môn Toán
MÃ số: 60.14.10

luận văn thạc sĩ giáo dục häc

Vinh, 2010


2

Danh mục các chữ viết tắt
Viết tắt

Viết đầy đủ

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

HĐKT

Huy động kiến thức

Nxb

Nhà xuất bản

Sgk

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

HĐ

Hoạt động

PT

Phơng trình

PH&GQVĐ

Phát hiện và giải quyết vấn đề

MP

Mặt phẳng

CMR

Chứng minh rằng

NL

Năng lực



Tam giác


3
Mục lục
tra
ng
Mở đầu..........................................................................................................
1
1. Lí do chọn đề tài ..............................................................................................
1
2. Mục đích nghiên cứu.........................................................................................2
3.

Giả

tuyết

khoa

học.............................................................................................2
4.

Nhiệm

vụ

nghiên

cứu

đề

tài ..............................................................................2
5. Phơng pháp nghiên cứu ...................................................................................2
6. Đóng góp của luận văn .....................................................................................3
7.

Cấu

trúc

luận

văn ..............................................................................................3
Nội Dung
Chơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn........................................................4
1.1. Khái niệm về năng lực HĐKT, các dạng năng lực HĐKT và sự cần
thiết phải bồi dỡng năng lực HĐKT cho HS THPT............................................4
1.1.1 Khái niệm về năng lực, năng lực HĐKT..................................................... 4
1.1.2 Vai trò và sự cần thiết phải bồi dỡng năng lực HĐKT ..............................7
1.2. Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT .....................................9
1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề .............................................................................9
1.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ ..................................................................12
1.2.3 Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tơng tự.............................16
1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dới nhiều góc độ khác nhau........................19
1.3. Phát triển năng lực HĐKT cho HS thông qua việc vận dụng phơng pháp dạy
học kiến tạo, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề....................................23


4
1.3.1 Vận dụng phơng pháp dạy học kiến tạo vào dạy học toán.......................23
1.3.2 Vận dụng phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ................26
1.4. Một số tri thức định hớng năng lực huy động kiến thức.............................31
1.4.1 Tri thøc thc ph¹m trï duy vËt biƯn chøng ..............................................31
1.4.2 Tri thức phơng pháp..................................................................................34
1.5 Một số khó khăn, trở ngại trong khi dạy và học các kiến thức của hình học
không
gian...........................................................................................................37
1.6 Thực trạng về việc hình thành và bồi dỡng năng lực HĐKT trong dạy học
toán

hiện

nay .......................................................................................................39
1.7 Kết luận chơng 1.........................................................................................41
Chơng 2: Một số phơng thức tăng cờng năng lực HĐKT của
HS trong quá trình dạy giải toán ................................................42

2.1. Định hớng xây dựng các phơng thức........................................................42
2.2. Phơng thức 1: Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều hình thức khác
để huy động kiến thức phù hợp với năng lực toán học................................43
2.2.1 Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều góc độ khác nhauđể phát
huy đợc năng lực HĐKT...................................................................................43
2.2.2 Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo hớng liên tởng đến những vấn đề
quen thuộc......................................................................................................52
2.3. Phơng thức 2: Rèn luyện cho HS NLHĐ kiến thức thông qua dạy học chuỗi
bài
toán................................................................................................................56
2.4. Phơng thức 3: Chuyển hoá các liên tởng từ đối tợng này sang đối tợng khác
để giúp HS có khả năng HĐKT đà có cần thiết hơn ..................................64
2.4.1 Liên tởng tới khái niệm, định lý, công thức, qui tắc........ ................65
2.4.2 Liên tởng đến những phơng pháp hay bài toán đà từng giải
quyết....................................................................................................................6
8


5
2.5 Phơng thức 4: Khảo sát cái riêng để đi tìm cái chung, cái tổng quát... .....73
2.6. Kết luận chơng 2....................................................................................... 81
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm ....................................................82
3.1. Mục đích thùc nghiƯm ..............................................................................82
3.2. Néi dung thùc nghiƯm ..............................................................................82

3.3. Tỉ chøc thùc nghiƯm ................................................................................82
3.3.1. Líp thùc nghiƯm..............................................................................82
3.3.2. TiÕn tr×nh thùc nghiƯm....................................................................82
3.3.3. Nội dung và kết quả kiểm tra...........................................................83
3.3.3.1. Nội dung kiểm tra.................................................................83
3.3.3.2. Kết quả kiểm tra...................................................................84
3.4. Kết quả thực nghiệm..................................................................................86
3.4.1. Đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học.........................86
3.4.1.1. Đối với lớp thực nghiệm.......................................................86
3.4.1.2. Đối với lớp đối chøng...........................................................86
3.4.2. KÕt ln vỊ thùc nghiƯm s ph¹m...................................................86
3.5. KÕt ln ch¬ng 3.........................................................................................87
KÕt
luËn.......................................................................................................89


6

mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
1. Trong xu thế hội nhập và phát triển thì Giáo dục & Đào tạo lại càng đợc
Đảng và nhà nớc ta đặc biệt quan tâm, điều đó đà thể hiện rõ trong luật giáo dục
Việt Nam: Mục tiêu của giáo dục Trung học Phổ thông nhằm giúp HS củng cố
và phát triển những kết quả của giáo dục Trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn
phổ thông và những hiểu biết thông thờng về kỹ thuật và hớng nghiệp để tiếp tục
học Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc
sống lao động (Luật Giáo dục, chơng 2, điều 23). Để đạt đợc mục tiêu đó thì
GV là ngời đợc giao phó trọng trách tiếp thu những kiến thức, những phơng pháp
dạy học tiến tiến, hiện đại; Những hiểu biết của mình để truyền đạt, giáo dục cho
HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ

bản.
Ngời GV phải thực sự tâm huyết với nghề, phải luôn biết trăn trở để tìm ra
những giải pháp tích cực, có hiệu quả cao trong giảng dạy đồng thời giáo dục cho
HS phát huy ý thức tổ chức quá trình tự học, tự tìm tòi khám phá tri thức để tự
hoàn thiện bản thân. Và một trong những vấn đề mà giáo dục đang quan tâm nữa
là làm sao để HS phải biết vân dụng kiến thức đà có của mình vào thực tiễn. Để
làm đợc điều đó thì trớc hết phải đào tạo cho họ có trình độ và một năng lực nhất
định, và năng lực đó cần phải đợc bồi dỡng thờng xuyên.
2. Hiện nay năng lực HĐKT trong dạy học toán ở các trờng THPT cha đợc
quan tâm đúng mức, học sinh còn gặp một số khó khăn trong việc phát hiện cách
giải quyết vấn đề. Dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy kiến thức mà còn d¹y


7
cho học sinh cách huy động kiến thức sao cho phù hợp để khi đứng trớc một vấn
đề các em có thể biết cách lựa chọn tri thức phù hợp và đúng đắn. Song áp dụng
nh thế nào còn phụ thuộc vào năng lực HĐKT của chính các em. Với yêu cầu đổi
mới dạy học toán ở trờng THPT hiện nay đòi hỏi học sinh phải hoạt động tích
cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân.
3.Chúng tôi quan niệm các năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề
tuỳ mức độ khác nhau đợc vận dụng trong nhiều phơng pháp dạy học tích cực,
dạy học theo quan điểm phát hiện. Từ nhu cầu thực tế đó nên cũng đà có một số
công trình nghiên cứu về năng lực huy động kiến thức và cách huy động kiến
thức có hiệu quả, nhng để làm sáng tỏ vào chủ đề cụ thể về véc tơ và quan hệ
vuông góc thì cha đợc nghiên cứu.
Vì những lí do nói trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: Dạy học giải
toán theo hớng tăng cờng bồi dỡng năng lực huy ®éng kiÕn thøc cđa häc sinh
ë trêng THPT thĨ hiện qua chủ đề: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông
góc .
II. Mục đích nghiên cứu

1. Cơ sở lí luận của việc bồi dỡng năng lực huy động kiến thức.
2. Bồi dỡng năng lực huy động kiến thức đà có của học sinh thông qua dạy
học giải toán chủ đề Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
III. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở tôn trọng chơng trình SGK, nếu trong quá trình dạy học giải toán
giáo viên chú trọng tổ chức các HĐ cho học sinh nhằm phát triển năng lực huy
động kiến thức thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập môn toán nói chung,
học chủ đề Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc nói riêng ở trờng
THPT.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài
1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực huy động kiến thức, các dạng năng
lực huy ®éng kiÕn thøc.


8
2. Nghiên cứu một số phơng pháp tăng cờng năng lực huy động kiến thức của
học sinh trong dạy học giải toán theo chủ đề Véc tơ trong không gian. Quan hệ
vuông góc.
3. Huy động tổ hợp kiến thức để xây dựng và phát triển bài toán theo một
chuỗi các bài toán liên quan.
V. Phơng pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí về khoa học toán học,
giáo dục học, tâm lý học, ... liên quan đến đề tài.
2. Quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh,
thăm dò các ý kiến của giáo viên về các vấn đề nghiên cứu liên quan.
3. Thực nghiệm s phạm.
Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm và các
lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tợng.
VI. Đóng góp của luận văn:
1. Về mặt lý luận:

- Xác định đợc vai trò và sự cần thiết phải bồi dỡng năng lực huy động kiến
thức đà có của HS ở trờng phổ thông.
- Thấy đợc một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT.
- Xác định đợc các phơng thức dạy học nhằm phát triển năng lực HĐKT của
HS.
2. Về mặt thực tiễn:
- Đóng góp quá trình hình thành và phát triển tri thức ở HS.
- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, GV các trờng THPT.
VII. Cấu trục luận văn: Gồm 3 chơng
Mở đầu
Nội dung

Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chơng 2: Một số phơng thức tăng cờng năng lực huy động kiến thức
của HS trong quá trình dạy giải toán


9
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
Kết luận

.
Nội dung
Chơng1
Một số cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1.

Khái niệm về năng lực HĐKT, các dạng năng lực HĐKT và sự cần

thiết phải bồi dỡng năng lực HĐKT cho HS THPT

1.1.1 Khái niệm về năng lực, năng lực HĐKT
Một số công trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ ra rằng,
qua quá trình hoạt động HS dần hình thành tri thức, kĩ năng , kĩ xảo cho bản
thân. Và từ những nền tảng đó họ bắt đầu phát triển những khả năng của mình ở
mức độ từ thấp đến cao. Cho đến một lúc sự phát triển bên trong đủ khả năng
giải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập và trong cuộc sống thì lúc đó HS
sẽ có những năng lực nhất định.
Vậy thế nào là năng lực? Khái niệm này cho đến nay vẫn có nhiều cách
hiểu và cách diễn đạt khác nhau, dới đây là một số cách hiểu về năng lực. Theo
từ điển Tiếng Việt thì: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con ng ời hoàn
thành một loại hoạt động nào đó với chất lợng cao.
Năng lực là một khái niệm tích hợp ở chỗ nó bao hàm cả những nội dung,
những hoạt động cần thực hiện và những tình huống trong đó diễn ra các hoạt
động. Garard và Roegies đà định nghĩa: Năng lực là một tích hợp những kĩ năng
cho phép nhận biết một tình huống và đáp ứng với tình huống đó tơng đối thích
hợp và một cách tự nhiên.


10
Còn ở Việt Nam tác giả Trần Đình Châu quan niệm: Năng lực là những
đặc điểm cá nhân của con ngời đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định
và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động đó. Tác
giả Phạm Minh Hạc thì cho rằng: Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lí của
con ngời, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của
một hoạt động nào đấy.
Cho dù cách tiếp cận khác nhau nhng ta thấy năng lực biểu hiện bởi các đặc
trng:
Cấu trúc của năng lực là tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những hoạt động
thành phần có quan hệ chặt chẽ với nhau.
- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; nói đến năng lực tức

là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân.
- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ
và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo t duy có khác nhau về mức độ.
- Năng lực có thể rèn luyện và phát triển đợc.
- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau .
ở mỗi ngời có những loại năng lực khác nhau và hai ngời khác nhau thì có
những năng lực khác nhau và tố chất ở họ khác nhau.
G.Polia nói: Tất cả những t liệu, yếu tố phụ, các định lý,... sử dụng trong
quá trình giải bài toán đợc lấy từ đâu? Ngời giải đà tích luỹ đợc kiến thức đó
trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán.
Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức nh vậy là sự huy động, việc
làm cho chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức[1].
Nh vậy ta có thể hiểu huy động là việc nhớ lại có chọn lọc các kiến thức
mà mình đà có thích ứng với một vấn đề đặt ra mà mình cần giải quyết trong vốn
tri thức của bản thân.
Năng lực huy động kiến thức là gì? Chúng ta có thể hiểu nó nh sau: Năng
lực huy động kiến thức là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con ngời, đáp
ứng việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà mình đà có thích ứng với một
vấn đề đặt ra trong vốn tri thức của bản thân.Toán học là mét m«n khoa häc cã


11
tÝnh logic, hƯ thèng vµ kÕ thõa rÊt cao. Mäi kiến thức toán học đều xây dựng chặt
chẽ và có cơ sở rất rõ ràng. Tri thức trớc chuẩn bị cho tri thøc sau, tri thøc sau
dùa vµo tri thøc trớc, chúng liên kết lại với nhau nh những mắt xích.
Một kiến thức toán học mới hay một bài tập toán đợc đa ra thì nó luôn nằm
trong hệ thống toán học đó, nó không thể tách rời, không tự sinh ra một cách độc
lập mà có những cơ sở nhất định nằm trong hệ thống kiến thức đà có trớc đó. Để
giải quyết đợc vấn đề chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến thức cũ. Song
để coi kiến thức nào là phù hợp với vấn đề đặt ra, kiến thức cũ sẽ sử dụng thế

nào, đó chính là năng lực huy động kiến thức. Tất cả chúng ta - những ngời thầy
luôn phải đa ra những lời khuyên kịp thời và có ích để khuyến khích HS tìm tòi
phát hiện. Có thể bắt đầu từ những câu hỏi của G.Polya nh Ta đà gặp bài toán
này lần nào cha? Hay là ta đà gặp nó dới một dạng hơi khác [1]. Còn ngời giải
toán phải biết sắp xếp, lu trữ kiến thức trong đầu sao cho hợp lý để khi cần huy
động đợc chính xác, đầy đủ và phải biết giữ trong trí nhớ cái bản chất của những
kiến thức toán học dới dạng định lý đà chứng minh.
Nh vậy có thể khẳng định: Không HĐKT thì không thể giải đợc bài tập
toán và cao hơn nữa là không thể kiến tạo tri thức cho bản thân.
Ta có thể minh hoạ thông qua ví dụ sau:
Ví dụ1: Chứng minh rằng ba cạnh a,b,c của một tam giác bất kì thoả
mÃn bất đẳng thức:
a + b + c <2(ab+bc+ca)
Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác.HÃy huy động
những định lý đà biết, tính chất đà biết về quan hệ giữa các cạnh của tam gi¸c:
a> b-c

(1)

a
(2)

a=b + c -2bc cosA (3)
a+b = + 2m

(4)

Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trớc hết ta hÃy loại (3) và (4) vì
chúng đề cập mối quan hệ đẳng thức chứ không phải bất đẳng thức nh điều phải

12
chứng minh, ta thấy mỗi cạnh phải có bậc hai, trong đó mỗi cạnh đợc tính bình
phơng một lần. HÃy thử với (1), ta bình phơng 2 vế:
a > b + c -2bc
T¬ng tù ta cã:
b > a + c -2bc
c > a + b - 2bc
Céng theo tõng vÕ và ớc lợng ta sẽ đi đến điều phải chứng minh.
1.1.2Vai trò và sự cần thiết phải bồi dỡng năng lực HĐKTtrong dạy học
toán
Ta đà biết năng lực định hớng là tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm tòi
lời giải các bài toán đợc xác định trên cơ sở các khả năng của HS nh: khả năng
phát hiện các đối tợng và quan hệ trong mối liên hệ tơng tự; Khả năng phát hiện
ý tởng nhờ nắm quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân ; Khả năng nhìn nhận một
vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau; Khả năng nhận dạng và thể hiện các phơng pháp. Nhng năng lực HĐKT còn đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn so với
năng lực định hớng và nó bao trùm lên năng lực định hớng.
Năng lực HĐKT không phải là điều bất biến, một bài toán nếu đặt vào thời
điểm này có thể không giải đợc, hoặc giải đợc, chứng minh đợc một cách rất
máy móc, dài dòng, nhng đặt trong thời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu có
năng lực huy động kiến thức tốt, học sinh có thể giải quyết vấn đề một cách rất
độc đáo, hay.
Ví dụ 2: Giải bất phơng trình:
+ < 9 (*)
Với bài toán này nếu ra cho HS lớp 10 chắc chắn các em sẽ liên tởng đến
tri thức cội nguồn: khử hết căn bậc 2 của bất phơng trình (*). Hớng suy nghĩ đó
hoàn toàn đúng và nó phï hỵp trong mét chõng mùc khi kiÕn thøc vỊ đạo hàm
các em cha đợc trang bị. Đối với HS lớp 12( học theo chơng trình cha phân ban)
hoặc HS lớp 11(học theo chơng trình phân ban) sẽ giải quyết bài này bằng cách

sử dụng tính đơn điệu của hàm sè:


13
(*) f(x)= + - 9< 0 Tập xác định D=[ )
f’(x)= + > 0, ∀x .
NhËn thÊy f(11) = + - 9 = 0.
VËy (*) ⇔

3

x ≥ −
2

 x < 11


Tóm lại: Tập nghiệm của (*) là: - ,11 .
Nh vậy nếu biết HĐKT cộng năng lực giải quyết vấn đề tốt thì cách giải
sẽ gọn gàng hơn nhiều. HS mà liên tởng kém thì bài toán sẽ trở nên khó khăn
hoặc là giải rất dài dòng. Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, ngời
giải chỉ cần sử dụng một phần kiến thức mà mình đà có. Cần sử dụng kiến thức
nào, cần xem xét những mối liên hệ nào điều đó phụ thuộc vào khả năng chọn
lọc của ngời giải. Do vậy việc thu nhận, lu trữ kiến thức một cách khoa học cũng
là một yếu tố quan trọng cho việc HĐKT, mỗi một dạng toán, một đơn vị kiến
thức nếu biết cách sắp xÕp theo mét trËt tù thÝch hỵp nh chóng ta phân loại sách
trên giá thì khi cần đến có thể dễ dàng huy động nó.
Trong các thành phần của cấu trúc năng lực toán học, cần thiết phải rèn
luyện cho học sinh năng lực liên tởng, năng lực HĐKT và đặc biệt là ứng dụng
kiến thức vào giải quyết các bài toán, chẳng hạn khi giải một phơng trình bậc hai

đối với tan và cot thì HS phải liên tởng ngay đến việc đặt ẩn phụ để đa về giải
phơng trình bậc hai đối với ẩn phụ đó. Việc rèn luyện các năng lực cũng nh
HĐKT làm sao cho đúng mà hiệu quả l việc làm thờng xuyên của GV đối với
HS hoặc chính bản thân HS.
Khi bồi dỡng năng lực HĐKT cần yêu cầu các em phải tìm và hiểu sâu sắc
kiến thức cội nguồn của vấn đề. Việc làm này vừa có tác dụng củng cố, vừa có
tác dụng kiểm tra khả năng t duy của HS để trong trờng hợp nếu hiểu sai bản
chất sẽ đợc uốn nắn và bổ sung kịp thời.
Ví dụ 3: Tìm m ®Ĩ biÕu thøc
cã nghÜa víi mäi x.


14
HS ®· hiĨu sai dÉn ®Õn viƯc huy ®éng kiÕn thøc sai nh sau:
BiĨu thøc cã nghÜa víi mäi x ⇔ f(x)= (m+1)x2 - 2(m-1)x +3m-3 ≥ 0 ∀x
`
a > 0

⇔ ∆x ≤ 0

⇔

m + 1 > 0
 m > −1


⇔ 2 m − 1 m + 2 ≤ 0
2
)(
)

 (
 ( m − 1) − 3 ( m − 1) ( m + 1) ≤ 0



⇔ 

⇔m≥1

Ta cã kÕt quả m 1.
Đúng là: f(x)= ax2+bx+c

.

Lời giải xét thiếu trờng hợp a = 0.
Cái sai ở đây là tri thức cội nguồn nắm không vững dẫn đến là xét thiếu trờng hợp. Hoặc đôi khi hiểu một cách máy móc, áp dụng vấn đề không linh hoạt
cũng dẫn đến việc HĐKT sai.
HĐKT là một trong những thành tố quan trọng của hoạt động toán học nó
giải quyết những mâu thuẫn trong quá trình giải toán cũng nh những nhu cầu của
toán học. Việc bồi dỡng năng lực HĐKT là nhiệm vụ quan trọng trong dạy, học
toán. Nó đóng góp vào quá trình đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay.
HĐKT có thể xem là một chuỗi các hoạt động nh: HĐ lựa chọn các công
cụ thích hợp, HĐ dự đoán vấn đề, HĐ qui lạ về quen nhờ biến đổi đối tợng, HĐ
chuyển đổi ngôn ngữ. Nếu thành thạo các HĐ này chính là đà làm tốt năng lực
HĐKT học sinh sẽ hiểu sâu sắc kiến thức toán học ở trờng phổ thông, thấy đợc
mối quan hệ biện chứng giữa những nội dung kiến thức của từng chơng, mục
trong SGK, đóng góp vào sự phát triển t duy logic, t duy biện chứng, khả năng
kiến tạo tri thức cho bản thân.
1.2. Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT
1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề

Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tơc trong mét
qu·ng thêi gian, sau ®ã ®a ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra thì
ta đà làm công việc dự đoán. Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cần phải
xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trớc khi đa ra điều dự đoán của mình.


15
Theo Đào Văn Trung mô tả: Dự đoán là một phơng pháp t tởng đợc ứng
dụng rộng rÃi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự
thật đà biết để nêu lên những hiện tợng và quy luật cha biết. Hay, dự đoán là sự
nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận [32].
Dự đoán cã vai trß quan träng nh thÕ trong khoa häc, trong cuộc sống, vậy
liệu có cách nào học đợc dự đoán hay không? Theo G.Polia thì ...trừ những ngời
đợc trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có đợc
năng khiếu dự đoán đó. Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta
đa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với
các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và nh vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú
(và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự đoán đúng. Những dự đoán có thể rất
táo bạo nhng phải có căn cứ dựa trên những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ
không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều [1].
Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS
phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm. Họ cần phải đợc
rèn luyện các năng lực thành tố nh: Năng lực xem xét các đối tợng Toán học,
năng lực t duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá,
tổng quát hoá; năng lực liên tởng các đối tợng, quan hệ đà biết với các đối tợng tơng tự, quan hệ tơng tự. Chúng ta hÃy thử làm một điều dự đoán trong ví dụ sau:
Ví dụ 4: Dạy học định lí cosin trong tam giác ( Hình học 10)
Khi tính các yếu tố trong tam giác bất kì thì định lí Pitago xem ra phải
chịu bất lực, lúc này chúng ta mong mỏi có một định lí hay một công thức nào
đó để có thể giải quyết đợc nó. Bây giờ ta sẽ đi tìm kiếm, rồi dự đoán để tìm ra
mối liên hệ giữa cạnh và các góc trong tam giác.

Đặc biệt hoá là một năng lực của t duy, đôi khi nó giúp ta định hớng đợc
cách giải quyết vấn đề. Trớc hết ta xét các trờng hợp của góc A lần lợt là: 900,
1200,600,300.Gọi H là chân đờng cao xuất phát từ đỉnh B .
Trờng hợp 1: Tam giác ABC có = 1200
Khi đó có thể đa về định lí Pitago trong tam giác vuông và đi tới công thức:
a2=BC2= BH2 + HC2


16
= (AB.sin600)2 + (AB.cos602+AC)2= c2 + b2+bc (1)
Trêng hỵp 2: Tam giác ABC có = 600. Đa về định lí Pitago, ta cã:
a2 = BC2 = AH2 + HC2 = (AB.sin600)2 + (AC-AH)2
=c2 + b2 -bc (2)
Trêng hỵp 3: Tam gi¸c ABC cã =300. Ta ¸p dơng Pitago cho tam giác
vuông thì:
a2= BC2 = AH2 +HC2 = (AB.sin300) +(AC-AH)2
=c2 + b2- bc(3)
Tam gi¸c ABC cã = 900 : a2 = c2 + b2 (4) ( a là cạnh huyền ABC)
Từ (1), (2),(3), (4) hÃy dự đoán xem với tam giác ABC bÊt k× th×:
a2= c2 + b2 - bc (*), trong đó là đại lợng nào phụ thuộc vào góc A
Học sinh có thể dự đoán với ô trống là sinA, cosA,..., chẳng hạn:
+) Nếu ô trống là sinA thì = 900, (*) trở thành a2 = c2 + b2 - bc (sai).
+) Nếu ô trống là cosA thì =900, (*) trở thành a2 = c2 + b2 (đúng).
Nhng = 300 (*) trë thµnh a2 = c2 + b2 - bc không đúng với (3).Vậy
phải điều chỉnh lại (*) ®Ĩ khi cho = 300 th× (*) trïng víi (3), chẳng hạn cho ô
trống là 2cosA.
Dự đoán cuối cùng là: (**)
GV đề nghị HS chứng minh công thức (**).
Nh vậy chúng ta đà hoàn thành xong công việc trong đó có sự gợi ý, dẫn dắt
của GV và sự nổ lực của HS để có thể có những sáng tạo nho nhỏ mà dần dà thắp

sáng niềm say mê toán häc ë HS.
VÝ dơ 5: Trong kh«ng gian cho 2 tia Ax, By chÐo nhau. LÊy M thuéc Ax.
(P) qua By và song song Ax. Đờng thẳng d qua M song song với AB cắt (P) tại I.
Xác định giao điểm I và tìm tập I khi M chạy trên Ax.
Phân tích:
-Xác định giao điểm I của d với (P).
-Tìm quĩ tích của I khi M chạy trên Ax.
Dự đoán:
M chạy trên Ax thì I chạy trên đờng thẳng nào ®ã song song víi Ax.


17
Ta sẽ chứng minh phần thuận để làm rõ luận điểm này:
Thuận:
Ta dễ dàng tìm đợc I= d (P).

d
A

M

x

- Vì (P) By và (P) Ax nên từ B kẻ
Bz / Ax Bz (P).
-Vì M Ax mà d đi qua M và / AB
nên d Bz =I

B

I

ABIM là hình bình hành và AM= BI.
Khi M chạy trên Ax thì I chạy trên Bz / Ax.

z
y

Tất cả ngời giải toán đều phải xây dựng các phỏng đoán hay đề ra giả thiết
và đó chính là năng lực dự đoán vấn đề của họ. Nh vậy thì điều kiện cần để có
một năng lực dự đoán tốt là ngời giải toán phải không ngừng tích luỹ vốn tri
thức, biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ và khi họ cọ sát nhiều với dạng
toán khác nhau sẽ có thêm những kinh nghiệm quí báu cho bản thân.

1.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
Đứng trớc một vấn đề, HS có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết
hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau. Một trong những phơng án có
thể đáp ứng đợc nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán.
Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để
huy động kiến thức đối với việc giải toán. Nó đợc thể hiện qua các HĐ nh:
- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mối liên
hệ liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lợng giác hoá,...
- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phơng pháp tổng hợp
sang phơng pháp giải tích (gồm có phơng pháp véc tơ và phơng pháp toạ độ),
hoặc phơng pháp biến hình.
Ví dụ sau đây cho thấy sự cần thiết phải chuyển đổi ngôn ngữ từ đại số
sang hình học hay ta nói là phơng pháp hình häc ho¸.


18

Ví dụ 6: Giải hệ phơng trình: , với x,y,z>0
Đa số HS sẽ thấy ngợp hoặc lúng túng khi đứng trớc bài toán
này, vì thông thờng các em liên tởng đến phơng pháp đánh giá nhng
việc đánh giá lại gặp khó khăn. Để hớng dẫn HS hoạt động nhận thức
phát hiện cách giải, GV có thể yêu cầu HS xét ý nghĩa hình học của các
biểu thức ở vế trái của hệ PT trên và nhận thấy nó là bình phơng vô hớng của một véc tơ, chẳng hạn: x2008=x1004.2= (x1004)2 để các em biết dịch
chuyển ngôn ngữ, sử dụng phơng pháp véc tơ vào giải toán:
Xét trong không gian Oxyz: (x1004, y1004, z1004); (x1005,y1005,z1005)
H·y ®Ĩ ý (1),(3) ⇒ ;
VËy: . =

(2) ⇒ . = 3

⇒ cos(, ) = 1. Do đó =

Hay: x2008=x2009; y2009=y2008; z2010=z2009.
Vậy (x,y,z)=(1,1,1) là nghiệm duy nhất của hệ. Ta đà giải xong bài toán
một cách nhẹ nhàng. Nhận thấy số mũ của hệ phơng trình là các số tự nhiên liên
tiếp nhau nên nếu khái quát hoá một chút sẽ có bài toán sau:
x 2n + y 2n + z 2n = 3
 2n +1
2n +1
2n +1
Giải hệ phơng trình: x + y + z = 3
 x 2n + 2 + y 2n + 2 + z 2n + 2 =3


Trong mét số trờng hợp cần phải chuyển hoá hình thức của đối tợng cho
phù hợp với nội dung để phát hiện cách huy động kiến thức đúng đắn trong HĐ
nhận thức, việc chuyển hoá đó có khi phải nhờ đến HĐ lợng giác hoá. Ta xét ví

dụ.

Ví dụ 7: Giải hệ phơng trình:




2x
y = 1 x2

2y

z =
2
1 y

2z
x =

1 z2

Đặt x= tan, khi này hình thức bài toán ®· ®ỵc thay ®ỉi hƯ PT ®· cho
sÏ ®ỵc biĨu thị dới dạng lợng giác sau:


19
Ta cã tan8α = tanα ⇒ tan8α - tanα = = 0
7α=nπ ⇒α = . VËy x= tan ,...
VÊn ®Ị đặt ra là làm sao biết đợc bài toán lại có cách giải nh thế? Nói chung
chúng ta không có một chìa khoá vạn năng để mở ra tất cả cách giải cho các loại

bài toán mà nhiều khi muốn giải đợc nó cần phải sử dụng kinh nghiệm, phải có
vốn kiến thức, phải có năng lực t duy.
Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện đợc hay không còn phụ thuộc vào
kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang đợc ngôn ngữ
nào, nếu là bài toán hình học thì làm sao để chuyển sang đợc ngôn ngữ véc tơ
hoặc toạ độ. Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng chuyển đổi đợc ngôn ngữ.
Một trong các dấu hiệu để xác định xem một bài toán hình học có giải đợc bằng
phơng pháp véc tơ một cách thuận lợi hay không là khả năng diễn đạt các khái
niệm, các mối liên hệ giữa các yếu tố đà cho và các yếu tố cần tìm ra ngôn ngữ
véc tơ. Nếu sự phiên dịch không gặp khó khăn lớn thì việc sử dụng véc tơ để
giải bài toán đó là có cơ sở.
Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp HS có thêm những định hớng, những
đờng lối cho việc tìm tòi nhiều phơng pháp, cách giải khác nhau. Ta sẽ lấy ví dụ
để minh hoạ cho điều đó.
Ví dụ 8: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD. Gọi I,J lần lợt là trung điểm
của AD và BB. Chứng minh rằng: I J AC.
Cách1: (Phơng pháp vectơ)
Đặt = ; = ; = . Ta cã , , đôi một vuông góc và
= = = a>0.
Theo qui tắc h×nh hép:

D’

= + +

I

Ta cã: = + + =
. ’ = - a2+ a2- a2 =0.

C

A

B



Do đó IJ AC
J

Cách 2:(Phơng pháp toạ độ)

C

D
A

B


20
Không mất tính tổng quát ta cho cạnh lập phơng bằng 1. Chọn hệ toạ độ
ĐềCác vuông góc có gốc là A và các trục Ax, Ay, Az lần lợt chứa các cạnh AB,
AD, AC. Khi đó toạ độ các ®Ønh: A(0,0,0) ; B(1,0,0); C(0,1,0); A ’(0,0,1);
B’(1,0,1); C’(1,1,1) ; D’(0,1,1).
Ta cã: I(0, ,1) ; J(1,0, ) ⇒ =(1,- ,- );

=(1,1,1)

Do ®ã: . = 1- - = 0 ⇒ ⊥ ⇒ IJ AC
1.2.3 Năng lực qui lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tơng tự
Tơng tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán đợc gọi
là tơng tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phơng pháp giải; hoặc cùng giả thiết,
hoặc cùng kết luận; hoặc đợc đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tợng có tính chất giống nhau. Khai thác chức năng của bài tập tơng tự là một
trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trò khắc sâu kiến
thức đà học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
Biến đổi về dạng tơng tự là một HĐ biến đổi đối tợng, HĐ này thể hiện
trong tiến trình ngời giải toán phải làm bộc lộ đối tợng của HĐ ( các khái niệm
toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tợng toán học, các quan hệ giữa
chúng). Những HĐ đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tợng, sao cho các tri thức mới tơng thích với các tri thức đà có; từ chủ thể xâm
nhập vào đối tợng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với t cách là sản
phẩm của HĐ nhận thức. Để sự tìm tòi đợc thuận lợi, nhiều khi cũng cần có
những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể.
Việc biến đổi đối tợng sẽ dẫn đến những bài toán tơng tự. Có rất nhiều
dạng tơng tự, ví dụ sau đây thể hiện một sự biến đổi để đa về dạng tơng tự đÃ
biết:
Ví dụ 9:

Giải phơng trình = x2-5

Với bài toán này nếu ta cứ đem bình phơng hai vế để khử căn bậc hai thì sẽ
đợc một phơng trình bậc 4 không đầy đủ. Khi đó HS sẽ thấy mất phơng hớng giải
quyết vấn đề. Vậy phải làm cách nào? ý nghĩ thông minh nhất lúc này là tìm
cách biến đổi để đa phơng trình về dạng quen thuộc đà biết cách giải. Có thể


21
bằng cách này hay cách khác nhng nếu thật để ý và táo bạo một chút thì ta xem 5
là ẩn và x là tham số. Đặt 5 = t ( t >0)

PT ⇔ = x2- t ⇔
Gi¶i PT: t-x = (x2 - t)2 ⇔ t2-(2x2+1)t +x4+x =0 lµ mét PT bậc hai ẩn t.
Từ đó có thể dễ dàng tìm đợc x.
Biến đổi về dạng tơng tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài
toán với kiến thức đà có thể hiện ở các góc độ khác nhau. Việc biến đổi đó có thể
thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tơng thích với tri thức đà có của HS hoặc là
biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán phẳng với bài toán
không gian. Việc làm này thể hiện ở việc xét cái tơng tự giữa những vấn đề trong
không gian đối với những vấn đề trong mặt phẳng: cái tơng tự với mặt phẳng là
đờng thẳng, mặt cầu là đờng tròn, cái tơng tự tứ diện là tam giác,...Khi nghiên
cứu một đối tợng cần phải xem xét nó trong mối liên hệ với các đối tợng khác và
cần xét kĩ cái cha biết để huy động những kiến thức gần nhất với bài toán đang
giải hoặc ít ra là đà giải bài toán tơng tự.
Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu một mặt phẳng vuông góc với đờng thẳng
nối tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với đỉnh A, cắt các cạnh AB, AC,
AD tại các điểm tơng ứng M, N, P thì sáu điểm B, C, D, M, P thuộc mặt cầu.
Trớc khi giải quyết bài toán này ta có thể giải bài toán phẳng tơng tự sau:
Nếu đờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối tâm vòng tròn ngoại tiếp với đỉnh
A của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, AC tại các điểm M, N tơng ứng thì bốn
điểm B, C, N, M thuộc một đờng tròn.
Trong quá trình giải các bài toán, bằng HĐ phân tích có định hớng cần
nhìn thấy mối liên hệ giữa các bài toán không những về tính chất của kết luận,
về công cụ sử dụng để giải bài toán mà cần phát hiện đợc mối liên hệ cấu trúc
của bài toán: Nhìn thấy một bài toán là bộ phận của bài toán khác hay kết luận
của bài toán cần chứng minh có thể suy ra từ bài toán đà biết.
Ví dụ 11: Cho tam giác vuông ADB ( =1v).Vẽ đờng cao DE. Gọi M, J tơng ứng là trung điểm của DE và BE. Chứng minh AM DJ.
Lời giải:
Ta có thể sử dụng phơng pháp Vectơ để giải quyết bài toán trên.

22
Việc đầu tiên là HS phải biết chuyến đổi ngôn ngữ. Từ giả thiết:
DE AB = 0 và

=0

A

AD DB = 0
Do M, J lần lợt là trung điểm DE, EB nên:
= ( + )( + )
= ( )
= [( - ) + ] = . =0

E

Suy ra: AM ⊥ DJ ⇔ ( + )= 0 (1)
J
MDE AB, gọi
Ví dụ 12: Cho tam giác cân ABC tại A vẽ đờng cao AD, vẽ
B
M là trung điểm DE. Chøng minh CE ⊥ AM.
D A
Lêi gi¶i:
Tacã: CE ⊥ AM ⇔ . = 0
⇔ ( - )=0
⇔ ( + )=0
(2)
So sánh 2) ta có kết luận 2 bài toán

E

tơng đơng. Nhận thấy DJ là đờng trung bình của tam giác CEB nên
M
DJ CE do vậy CE AM DJ AM .

J

C
Nh vậy khi xác định năng lực HĐKT thì khả năng biến đổi vấn đề, biến
B
D
đổi các bài toán đóng vai trò rất quan trọng. Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến
đổi các bài toán HS có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ
về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tơng tự đà giải.
1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dới nhiều góc độ khác nhau
Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện
chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dới nhiều góc độ,
có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau. Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi
ngôn ngữ bằng cách: đại số hoá, lợng giác hoá, hình học hoá; hoặc chuyển đổi
trong nội tại của một ngôn ngữ nh: chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang
ngôn ngữ véc tơ, toạ độ, biến hình. Hoặc có thể nhìn nhận nó dới nhiều cái
riêng khác nhau, chẳng hạn nhìn tam giác là một tứ giác có một cạnh bằng
không, một tứ giác có một góc bằng 1800, cái tơng tự nh tứ diện trong không
gian,...hoặc xem xét, đặt nó trong môi trờng không gian khác, chẳng hạn có thể
nghiên cứu hình chóp trong hình hộp, đờng tròn trong một mặt cầu,...


23
Nếu đứng trớc một vấn đề mỗi ngời làm toán có thói quen nhìn nhận theo

nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đà có thì sẽ
hình thành dần nên trong họ một t duy nhạy bén, sắc xảo một niềm tin sẽ giải
quyết đợc vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cách giải ở
những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra.
Ví dụ 13: Đáy của hình chóp S.ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng
bất kì cắt cạnh bên của hình chóp tại các điểm K,L,M,N bắt đầu từ SA.
Chứng minh: + = +
Khi nhìn vào kết luận của bài toán HS rất dễ liên tởng đến định lí Talet nhng có môt mâu thuẫn là không có dấu hiệu về tỉ lệ giữa các cạnh. Cần phải có sự
t duy khác để huy động kiến thức phù hợp với yêu cầu đặt ra.
HS dễ dàng chứng minh đợc KM, LN, SO đồng qui tại I,mặt khác 2 tam
giác có chung đáy và ®êng cao tØ lƯ víi nhau t¬ng ®¬ng víi diƯn tích 2 tam giác
đó tỉ lệ. Nhng ở bài toán này không nhìn thấy đờng cao thì ta có thể thay thế
công thức nào khác để tính diện tích?
Bài toán đợc giải nh sau:
Cách 1:
Gọi dt SAO = dt SOC =S ; dt ∆SKI =S1 ;

dt ∆SIM= S2

V× diƯn tÝch ∆SKI vµ dt ∆SAO tØ lƯ víi nhau:
= =

hay = (1)

T¬ng tù: = (2)
=

hay = (3)

Céng (1),(2): = ( + )

S

= ( )(4)
Thế (3) vào (4):

= + (5)

Chứng minh tơng tự cho SBD, SNL ta đợc:
+ = (6)
Từ (5),(6) + = + (®pcm).

M

L
I
K

N
B

A

C
O
D


24
Rõ ràng việc HĐKT phải đúng đắn, linh hoạt và nếu càng có nhiều cách

huy động khác nhau thì càng có nhiều khả năng giải quyết vấn đề đà đặt ra.
Bằng những hoạt động t duy khác, GV đa ra cho HS hớng tìm tòi mới:
Cách2: Sử dụng kiến thức: Nếu điểm M thuộc (ABC) thì có 3 số x,y,z mà
x+y+z=1 : = x +y +z với mọi điểm O.
Chọn hệ véc tơ gốc{ , , }.
Đặt =m ;

=n;

= p;

=q.

Ta ph¶i chøng minh : m+p = n + q
Do ABCD là hình bình hành nên: + = +
Ta có = = ( + - ) = + Mặt khác: K,L,M,N cùng thuộc mặt phẳng nên + - = 1
hay: q + n = m + p (đpcm).
Cách 3: Dùng thể tích để chứng minh hệ thức
Đặt V = VSABCD. Ta cã : VSKMN + VSKLM = VSKNL + VSLNM
⇔

. . . + . . . =
= ...+ . . .

Chia hai vế cho . . . . ta đợc
+ = + (đpcm).
Đôi khi ngời làm toán còn phải xem xét bài toán dới góc độ khác tức là
chuyển từ việc giải bài toán đại số hoặc giải tích trở về giải bài toán hình học.
Chẳng hạn từ một tri thức đà biết : Với hai véc tơ , khác thì
. = . .cos( ,)

Chó ý cos( ,) ≤ 1 ta có thể suy ra các bất đẳng thức:
. .(I) ;

. .(II)

Ta xét trong hệ toạ độ Đêcac vuông góc =(x1;y1;z1) và =(x2;y2;z2) thì
biểu thức giải tích của (I),(II) lµ:
x1x2+y1y2+z1z2 ≤ . (I’)
≤

. (II’)


25
Các bất đẳng thức trên gợi ý cho việc vận dụng chúng vào giải một số bài
toán nh: chứng minh bất đẳng thức, giải bất phơng trình, hệ phơng trình hoặc bài
toán cực trị.
Ví dụ 14 :Giải bất phơng trình
+ + 12
Lời giải: Tập xác định của vế trái là x .
Xét các véc tơ = ( ; ; ) vµ = (1;1;1)
ta cã = = 4 và = .
Theo (I) bất phơng trình đà cho luôn đợc thoả mÃn.Vậy nghiệm của bất
phơng trình là: x .
Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy nếu biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều
hớng, ngời giải toán biết liên tởng, huy động kiến thức phù hợp sẽ mang lại một
cách giải quyết vấn đề tốt đẹp nhất.
Ví dụ 15:(Bài toán lớp 7) Cho tỉ lệ thức = . BiÕt r»ng xy = 90. TÝnh x, y.
C¸ch1: HiĨn nhiên x 0. Nhân cả hai vế của = víi x,
ta cã: = ⇔ = = 18 ⇔ x2 = 36. Do ®ã x= ± 6 ⇒ y = 15.

Cách 2: Đặt = = k thì x=2k, y=5k. Thay các giá trị này vào xy = 90 ta có
kết quả trên.
*Vận dụng làm bài tập sau: Tìm x, y, z biết: = = , với xyz=12.
Với bài toán này mà chỉ nhìn ở cách giải thứ nhất sẽ không cho kết quả
mong đợi, nó chỉ đợc giải quyết khi ta áp dụng cách giải thứ 2. Nh vậy biết nhìn
bài toán dới nhiều góc độ, khía cạnh khác nhau không những củng cố đợc kiến
thức mà còn rèn luyện, bồi dỡng thêm khả năng HĐKT ở HS.
Việc tăng cờng mối liên hệ giữa các chơng, mục trong một môn học cũng
hình thành nên các cách giải quyết khác nhau cho một vấn đề.
Ví dụ 16: Để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc trong không gian ta
có thể thùc hiƯn b»ng nhiỊu c¸ch:
C¸ch 1: Sư dơng mèi quan hệ song song, vuông góc (thể hiện trong hai chơng quan hƯ song song, quan hƯ vu«ng gãc)