Hướng dẫn giải bài tập Toán đại cương a2

BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
CHƯƠNG I
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
BÀI TẬP:
1. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; (tính theo )
Giải:
Ta có: ;
⇒
= = =
2. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
3. Cho hàm f(x, y) = .Tìm ;
4. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
5. Cho hàm:
Page 1
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
f(x, y) = .
Tìm ; ;
Do:


6. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng giá trị các biểu thức sau:
a. B = cos29
o
.tg137
o
b. C = sin32
o
.cotg133
o
c. D = cos28

o
.cotg136
o
Giải:
a. B = cos29
o
.tg137
o
Ta đặt hàm f(x, y) = cosx.tgy
Lúc này:
⇒
&
Ta có:
f(x, y) = cosx.tgy
• = –sinx.tgy
⇒
•
Page 2
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
⇒
⇒
=
⇒ A
b. C = sin32
o
.cotg133
o
Ta đặt hàm f(x, y) = sinx.cotgy
Lúc này:

⇒
&
Ta có:
f(x, y) = sinx.cotgy
• = cosx.cotgy
⇒
•
⇒
⇒
=
⇒A

c. D = cos28
o
.cotg136
o
Ta đặt hàm f(x, y) = cosx.cotgy
Lúc này:
Page 3
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
⇒
&
Ta có:
f(x, y) = cosx.cotgy
• = sinx.cotgy
⇒
•
⇒
⇒

=
⇒A

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
A. CỰC TRỊ TỰ DO
BÀI TẬP:
Khảo sát cực trị tự do của hàm số f(x, y) với:
1. f(x, y) = 2 +
Page 4
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
2. f(x, y) = xy
2
(2 – x – y) với
3. f(x, y) =
GIẢI:
1. f(x, y) = 2 +
• Tìm điểm dừng:
Ta có: &
Nên:
Hệ này không tồn tại vì khi (x, y) = (0, 0) thì không xác định được và . Nên ta xét
hiệu:
f(x, y) – f(0, 0) = 2 + – (2 +
= > 0, (x, y) (0, 0)
(là đk để luôn tồn tại)
Vậy: f(x, y) – f(0, 0) > 0
Hay: f(x, y) > f(0, 0), (x, y) (0, 0)
Kết luận: điểm P(0, 0) là điểm cực tiểu của f với f
min
= f(0, 0) = 2 + = 2

Ghic chú: N thì kết luận ngay P(0, 0) là điểm cực đại.
2. f(x, y) = xy
2
(2 – x – y) với
•
Tìm điểm dừng:
Ta có &
Nên: (*)
Giải hệ (*), ta có 3 cặp nghiệm:
Page 5
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
(loại) ; (loại);
Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P
•
Tính đạo hàm riêng cấp 2:
•
Tại điểm dừng P , ta đặt:

= B
2
– AC = < 0
mà A = < 0
Kết luận: P là điểm cực đại của f với:
f
max
= f =
3. f(x, y) =
•
Tìm điểm dừng:

Ta có
Nên: (*)
Giải hệ (*), ta có 1 cặp nghiệm:
Như vậy, f(x, y) có 1 điểm dừng là: P
•
Tính đạo hàm riêng cấp 2:
Page 6
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
•
Tại điểm dừng P , ta đặt:

= B
2
– AC = 0
•
Xét hiệu:
o f(x, y) – f(0, 0) = –
=
o f(x, y) – f(–1, –1) = –
=
Không xét được dấu của f(x, y) không có cực trị.
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:
BÀI TẬP:
Khảo sát cực trị hàm số:
1. f(x, y) = 2x
2
+ 12xy + y
2
với điều kiện: x

2
+ 4y
2
= 25
Giải:
f(x, y) = 2x
2
+ 12xy + y
2
với điều kiện: x
2
+ 4y
2
= 25
• Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:
L(x, y) = f(x, y) +
= 2x
2
+ 12xy + y
2
+ (x
2
+ 4y
2
– 25)
• Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
(Không giải được hệ pt)

Page 7
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

















2. f(x, y) = x
2
+ 12xy + 2y
2
với điều kiện: 4x
2
+ y
2
= 25
• Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:

L(x, y) = f(x, y) +
= x
2
+ 12xy + 2y
2
+ (4x
2
+ y
2
– 25)
• Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
(Không giải được hệ pt)








CHƯƠNG 2
TÍCH PHÂN BỘI
Page 8
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
BÀI TẬP:
Tính các tích phân kép:
D:
nên:
Đặt: y = x

D:
nên:
Page 9
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
y
1
y = 2 – x
x
2
y = x
2
x = 1
y
x
y =
y =
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
• Xác định góc ứng với
Ta có:
= =
Vậy: D:
Page 10
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
y = x
y = x
x
y
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
Đặt: D:

(do phương trình:

Lúc này: D:
?????????????
Đổi biến: D:
Page 11
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
y
x


y
y = x
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
Lúc này: D:
Đổi biến: D:

(*)

(**)
Kết hợp(*) với (**) :
Lúc này: D:
Page 12
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
x

y
x
y = x
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

CHƯƠNG III
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
BÀI TẬP
Tính các tích phân đường sau:
Ta có:
y =
Lúc này:
Page 13
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
y
1
2
A
B
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
Đặt: t = 1 + 4x
2

với
Lúc này:
Ta có phương trình tham số của :
•

•
Mặt khác, ta có:

Page 14
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
x
y

2
x1
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
Suy ra:

= 8
Ta có phương trình tham số của :
•
r = 2

•
Mặt khác, ta có:

Suy ra:
Page 15
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
x
y
2
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.


Ta có phương trình tham số của :
•
r = 1

•
Mặt khác, ta có:

Suy ra:

Page 16
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
x
y
1
x
y
1
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.


;
Ta có: =

= (cost – 2sint)
2
+(sint + 2cost)
2
+ 1
cos
2
t + – 4costsint + 4sin
2
t + sin
2
t + 4costsint + 4cos
2
t + 1
1 + 4(cos
2

t + sin
2
t) + 1 (cos
2
t + sin
2
t = 1)
6
Do đó:
Page 17
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.
BS: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
Page 18
Email: Chương hàm số nhiều biến có lời giải.