Hsg thcs thạch đồng 2017 2018

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
MƠN: TỐN 7
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi :03/2018
(Thời gian làm bài: 120 phút)

THCS THẠCH ĐỒNG
ĐỀ HSG TOÁN 7

Bài 1. (4,0 điểm).
13
19  23
2
 8
.  0,5  .3    1  :1
15
 15 60  24
20
100
b) So sánh: 16 và 2

a) Tính: A = 1

Bài 2. (3,0 điểm).
1
1
a) Tìm x biết: 2 x  7  1
2

2

b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 1.3n  4.3n 13.35
Bài 3. (4,5 điểm).
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
a b bc c d d a
biết Q = c  d  d  a  a  b  b  c

a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:
Tính giá trị biểu thức Q,

x
y
z
t



với x, y, z, t là các số
x  y  z x  y t y  z t x  z t
tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10  1025 .

b) Cho biểu thức M 

Bài 4. (6,5 điểm).

1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vng góc với đường
thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:


a) BAM
và BH = AI.
= ACM

b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc  = 90 0. Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC).
Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt
cạnh BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
Bài 5. (2,0 điểm).
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và  1  x 1 ,  1  y 1 ,
 1  z 1 . Chứng minh rằng đa thức x 2  y 4  z 6 có giá trị khơng lớn hơn 2.
-----Hết----Họ và tên thí sinh: …………………………….. Số báo danh: ..............
Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.


HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
Bài 1.

a) 2,0 đ

b) 2,0 đ

Nội dung

7 47 47
:
+ Biến đổi: A  
5 60 24
7 2
= 
5 5
=1
+ Biến đổi: 1620 24.20 280

0,50

+ Có 280  2100 vì (1 < 2 ; 80 < 100)

1,0

Vậy 1620  2100

0,5

1,0

0,50
0,5

Bài 2.

3,0 đ

1

1
1 => 2 x  7 1
2
2
a) 2,0 đ => 2 x  7 1 hoặc 2 x  7  1
=> x 4 hoặc x 3
Vậy x 4 hoặc x 3 .
+ Biến đổi được 3n.(3 1  4) 13.35
=> 3n 36
b) 1,0 đ => n = 6
KL: Vậy n = 6
+ Ta có 2 x  7 

Bài 3.

b)
(2,0 đ)

0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

4,5 đ
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d




+ Biến đổi:
a
b
c
d

a)
(2,5 đ)

Điểm
4,0 đ

2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
 1
 1
 1
1
a
b
c
d
a b c  d a b c  d a b c  d a b c d




a
b
c
d
+ Nếu a + b + c + d  0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4
+ Nếu a + b + c + d = 0
thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)
=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4
+ KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d  0
Q = - 4 khi a + b + c + d = 0

0,5
0,25
0,25
1,0
0,25
0,25

x
x
+ Ta có: x  y  z  x  y
y
y

x  y t x  y

0,1

z
z


y  z t z t

t
t

x  z t z t

 M<

(
10

x
y
z
t

)(

)
xy xy
zt zt

+ Có M < 2

10

=> M < 2

0,25

10

(Vì M > 0) mà 2 = 1024 < 1025

0,5


Vậy M10 < 1025

0,25
A

I

Bài 4.

0,25

D
B

C

M
H

1.a/
2,75 đ

1.b/
2,0 đ


* Chứng minh: BAM
 ACM
+ Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)


+ Lập luận được: BAM
CAM
450
+ Tính ra được ACM 450

=> BAM
 ACM

0,25

* Chứng minh: BH = AI.


+ Chỉ ra: BAH
)
 ACI (cùng phụ DAC
+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)

0,5

0,5
0,25
0,25

0,75
0,25

b) Tam giác MHI vuông cân.
+ Chứng minh được AM  BC
+ Chứng minh được AM = MC


+ Chứng minh được HAM
ICM
+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)
=> HM = MI
(*)





+ Do HAM = ICM => HMA IMC => HMB
(do AMB  AMC 900
IMA

+ Lập luận được: HMI
(**)
900

Từ (*) và (**) => MHI vuông cân

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

A

2)

0,25

1,5đ

B

E

H

D

C

+ Chứng minh được :
AEC  ABC  BAE








HAD
 DAC
 BAE
EAH
 HAD
 DAC
EAC

 và HAC

(Vì B
cùng phụ với BAH
)

Bài 5.
2,0 đ

Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE
(*)
+ Tương tự chứng minh được AB = BD

(**)
+ Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC
+) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y 0
=> z = - x - y 0
2
4
6
+) Vì  1  x 1 ,  1  y 1 ,  1  z 1 = > x  y  z  x  y  z
=> x 2  y 4  z 6  x  y  z
=> x 2  y 4  z 6  2 z
+)  1  z 1 và z 0 => x 2  y 4  z 6 2
KL: Vậy x 2  y 4  z 6 2

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25