Hsg thcs hồ tùng mậu 2016 2017

TRƯỜNG THCS HỒ TÙNG MẬU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MƠN THI: TỐN
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4,5 điểm)
4  1 2 4  1 5 
1) Tính giá trị của biểu thức: A  :     :  

9  15 3  9  11 22 
1
 3
 12
2) Tìm x, biết:   1  x  : 2
6
 5
 13
3) Tính giá trị của biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn:
(x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 0

Câu 2: (4,5 điểm)
x y
y z
 ;

và 2 x  y  z  14.
3 4
6 8
2

2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 0.
3
3
1 3 2
1  1
 1
3) Tìm số nguyên x, biết rằng: .15  .5 x  3 : 7  6  .   2 
7
3 7 5
2  3
 2

1) Tìm các số x, y, z biết:

Câu 3: (5,0 điểm)
1) Cho các số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết :
a c e
 
b d
f

1
2

và
1
3

1
4

af – be = 1

2) Cho A 1     ... 

Chứng minh : d ≥ b + f

1
1 1 1
1
A
2013
, B 1     ... 
. So sánh
với 1
.
4026
3 5 7
4025
B
2014

Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C).
Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vng góc với BC kẻ từ D cắt
BA tại M. Đường vng góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N. MN cắt BC tại I.
1) Chứng minh rằng: DM = EN.
2) Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN.
3) Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vng góc với MN tại I.
Chứng minh rằng: BMO CNO . Từ đó suy ra điểm O cố định.
Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao




cho DAE
.
ECB
 ABD (E nằm giữa B và D). Chứng minh rằng DAE
.............. Hết.............

MƠN THI: TỐN


Câu

Hướng dẫn

4  3 4  3 4   5  22 
 .

1) (1,5đ) A  :  :
  4
9 5 9 22 9  3
3 
3
13 12
3
2) (1,5đ) Ta có:   1  x  .  x  3
5
6 13
5

Câu1:
4
2014


3) (1,5đ) Vì (x - 2)
0; (2y – 1)
0 với mọi x, y nên
4,5đ
4
2014
4

(x - 2) + (2y – 1)
0 . Mà (x - 2) + (2y – 1) 2014  0
1
Suy ra (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2014 = 0 suy ra x = 2, y =
2

Khi đó M = 44.
x y
y z
x y
z
 ;

  
3 4
6 8
9 12 16

x y
z 2x y
z
2x  y  z
 14

 1
Vậy:      
9 12 16 18 12 16 18 12  16 14

1) (1,5đ) Từ

Suy ra x = -9; y = -12; z = -16.
2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x +
Dễ thấy x – 2 < x +
Câu2:
4,5đ

2
2
) > 0 suy ra x – 2 và x + cùng dấu.
3
3

2
cùng dương  x – 2 > 0  x > 2.
3
2
2
2

 x – 2 và x + cùng âm  x + < 0  x < 3
3
3
2
Vậy x > 2 hoặc x < .
3
3
1 3 2 3  1
2 3
3)(1,5đ) Ta có .15  .5  .  15  5   .21 9
7
3 7 5 7  3
5 7
1  1
 1
 3 : 7  6  .   2  14
2  3
 2
Do đó: 9  x  14 vì x nguyên nên x   9;10;11;12;13;14

Câu3: 1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014
(5.0đ) (Vì x + y = 0)
2)(2,0đ) Vì p(x) 5 với mọi x nguyên nên p (0) = d  5.
p (1) = a + b + c + d 5 (1)
p (- 1) = - a + b - c + d 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 2(b + d) 5 và 2(a + c) 5 .
Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = 1 nên b+ d 5 suy ra b 5.
p (2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d  5; b 5. nên 8a + 2c 5,
kết hợp với 2(a + c) 5 suy ra 6a 5 suy ra a 5 vì (6,5) = 1. từ đó c 5.
Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.

Ta có

1,5
1,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25

2
nên ta có:
3

 x – 2 và x +

1 1 1
1
C  A  B     ... 
2 4 6
4026
1 1 1
1
1 1
1
1

B 1     ... 
 1    ... 
  C (1)
3 5 7
4025
4 6
4026 2

3)(1,5đ) Đặt

Điểm

0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
1,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,5

Lại có

2013 1 1 1
1 1 1 1
1
    ...      ... 
C
2
4026
2  2 2    2 2 4 6

0,25

2013 sohang

1
C
 
2 2013

(2)

C
 C  2013B  2014C
2013
C 2013
CB
2013
A

2013

1
 1
Do đó: 
B 2014
B
2014
B
2014

0,5

Từ (1) và (2) suy ra B 

A

M

B

I

C

E

D

N

Câu4: 1) (1,5đ)
O
(4,5đ) Tam giác ABC cân tại A nên ABC  ACB;
Do đó: MDB NEC ( g.c.g )  DM EN


NCE
 ACB; (đối đỉnh)

2) (1,5đ)Ta có MDI NEI ( g .c.g )  MI NI
Vì BD = CE nên BC = DE .
Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN
Suy ra BC < MN.
3)(1,5đ) Ta chứng minh được:

ABO ACO (c.g.c)  OC OB, ABO  ACO
.
MIO NIO (c.g .c)  OM ON .

1,5
0,5
0,5
0,5
0,5

Lại có: BM = CN, do đó BMO CNO(c.c.c)
0,25





, Mà: MBO
 MBO
 NCO
 ACO suy ra NCO
 ACO ,
0,5
mà đây là hai góc kề bù nên CO  AN.
Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường 0,25
vng góc với AC tại C nên O cố dịnh.


A

F
G

D

E
H
B

C

Câu5:
(1,5đ) Vẽ AF vng góc BD, CG vng góc BD, CH vng góc với AE. Ta có
ABF CAH (cạnh huỳen – góc nhon). Suy ra: AF = CH.
ADF CDG (ch  gn) suy ra AF = CG.

Từ đó ta có CH = CG.

0,25



CEH CEG (ch  cgv)  CEH
CEG
;






Mà CEG
EBC
 ECB
; CEH
EAC
 ECA
;




Do đó: EBC
 ECB
EAC
 ECA

; (1)

0,5





Măth khác: EBA
 EBC
ECB
 ECA
; (2)






ECB
 EBA
EAC
 ECB
EBA
 ECB
lấy (1) trừ (2) theo vế ta có:


 EBA
ECB




Mà DAE
.
ECB
 ABD nên DAE

0,5
0,25

Giải: d = d( af – be ) = adf – bed = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed ) = f( ad – bc ) + b ( cf – ed )
≥ f.1 + b.1 = f + b

Chú ý:
1. Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
2. Bài hình khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì khơng chấm điểm.