Hsg huyện thiệu hóa 2016 2017 unprotected

PHỊNG GD&ĐT THIỆU HĨA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2016 - 2017

Đề chính thức

Mơn: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 15 tháng 4 năm 2017

Câu 1: (4,0 ®iĨm) Tính hợp lí
7
 18 4 5 19

  
 25 25 23 7 23

b)

7 8 7 3 12
   
19 11 19 11 19

c) (-25) . 125. 4 .(-8). (-17)

d)

7 10 7 9
2
 

 
35 19 35 19 35

a)

Câu 2: (3,0 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau:
a.
b.

1
1 
1 
1  
1

A  1 
 1 
 1 
... 1 
.
2
1.3  
2.4  
3.5  
2015.2017 
1
B = 2x2 – 3x + 5 với x  2 .

c. C =

0

 2015 
2 x  2 y  13x 3 y 2  x  y   15 y 2 x  x 2 y  
 , biết
 2016 





x – y = 0.

Câu 3: (4,0 điểm)
1. Tìm x, y biết:

2

1

 2 x    3 y  12 0.
6


2. Tìm x, y, z biết:

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z



4
3
2

và x + y + z = 18.

Câu 4: (3,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0.
2. Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101.
Tính f(100).
Câu 5: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngồi tam giác
ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB
và DC.
a) Chứng minh rằng: ADC = ABE.
b) Chứng minh rằng: DIB = 600.
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN
đều.
d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC vng tại A có AB= 3cm, AC=4 cm. Điểm I nằm trong tam
giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC. Gọi M là chân đường vng góc kẻ từ I đến
BC. Tính MB .
---------------- Hết ---------------

PHỊNG GD&ĐT THIỆU HĨA
HƯỚNG DẪN CHẤM

MƠN TỐN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2016 - 2017

Câu
Câu 1

4đ

Điểm

Nội dung

a
1®

7
 18 4 5 19

  
= =
 25 25 23 7 23
 7  18
4 19 5  25 23 5
5 5
( 
)(  ) 

  1  1  
25 25
23 23 7
25 23 7

7 7
7 8 7 3 12
b)     = =
19 11 19 11 19
7 8 7 3
12 7 8 3
12 7 12
(    )   (  )    1
19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19

a)

b
1đ

c) (-25) . 125. 4 .(-8). (-17) = (-25). 4.125.(-8) .(-17)
= (-100).(-1000).(-17) = -1700000
7 10 9
2
7
2
5 1
7 10 7 9
2
(  )

 
d) 35 19  35 19  35 =
=
35 19 19 35 35 35 35 7

a.

1
1 
1 
1  
1

A  1 
 1 
 1 
... 1 

2
1.3  
2.4  
3.5  
2015.2017 
1  2 2   3 3   4 4   2016 2016 
  .   .   . ...
.

2  1 3   2 4   3 5   2015 2017 
1  2 2   3 3   4 4   2016 2016  2016
  .   .   . ...
.
.

2  1 3   2 4   3 5   2015 2017  2017

(3,0đ)

0,5

1
1
1
nên x = hoặc x = 2
2
2
1
1
1
Với x = thì B = 2.( )2 – 3. + 5 = 4
2
2
2
1
1
1
Với x = - thì B = 2.(- )2 – 3.(- ) + 5 = 7
2
2
2
1
1
Vậy B = 4 với x = và B = 7 với x = - .
2
2

0,25
0,5
0,25

0

 2015 
2 x  2 y  13x 3 y 2  x  y   15 y 2 x  x 2 y  

 2016 
2 x  y   13x 3 y 2  x  y   15 xy  x  y   1 1 (vì x



c. C =

3
(4,0đ)

1. Vì

2

1

 2 x   0
6


với  x;



3 y  12 0

d
1đ

0,5

b. Vì x 
2

c
1đ

– y = 0).

với  y, do đó:

10
0,5

2

1

 2 x    3 y  12 0
6


2

1

 2 x    3 y  12 0 .
6


1
2 x  0
6

và

với  x, y. Theo đề bài thì

Từ đó suy ra:

3 y  12 0



1
x
12

0,25

2

1

 2 x    3 y  12 0
6


và

y   4.

Vậy

1
x
12

Khi đó
và

y   4.

2. Ta có:

0,5
0,75

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z


4

3
2

Suy ra:

4 3 x  2 y  3 2 z  4 x  2 4 y  3 z  12 x  8 y  6 z  12 x  8 y  6 z



0
16
9
4
29

0,5


Do đó:

Từ (1)

3x  2 y
x y
0  3 x  2 y  
4
2 3
2z  4x
x z
0  2 z  4 x  

3
2 4
x
y z
và (2) suy ra 2  3  4 .

(1)

0,25

(2)

0,25
0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x  y  z 18
  
  2.
2 3 4 234
9

4
(3,0đ)

Suy ra: x = 4; y = 6; z = 8.

0,5
0,25

1. Ta có: x – 2xy + y – 3 = 0
 2x – 4xy + 2y – 6 = 0  2x – 4xy + 2y – 1 = 5
 2x(1 – 2y) – (1 – 2y) = 5  (2x – 1)(1 – 2y) = 5
Lập bảng :
2x – 1
1
5
-1
-5
1 – 2y
5
1
-5
-1
x
1
3
0
-2
y
-2
0
3
1
Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn
Vậy  x; y    1; 2 ,  3;0,  0;3,   2;1 .
2. Ta có: f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101
= x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … –
101x + 101
= x 9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x –

100) + … + x(x – 100) – (x – 101)
Suy ra f(100) = 1.

0,75

0,5
0,25
0,5
0,5
0,5

E

A

D

Câu 5.
a

0,5

K
I
B

Câu
4.b

C



Ta có: AD = AB; DAC
và AC = AE
BAE
Suy ra ADC = ABE (c.g.c)


Từ ADC = ABE (câu a)  ABE
,
ADC


mà BKI
(đối đỉnh).
AKD


Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK
= 600 (đpcm)
DAK

0,75 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

E

A

D

N

J

Câu 4.
c

K

B

Câu 4.
d

Câu 5

M

I
C



Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN và ACM

AEN


ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN và CAM
EAN


= 600. Do đó AMN đều.
MAN
CAE
Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB  BIJ đều  BJ = BI và
 DBA



= 600 suy ra IBA
, kết hợp BA = BD
JBI
JBD



IBA = JBD (c.g.c)  AIB
= 1200 mà BID
= 600
DJB

= 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE
 DIA
Vì I nằm trong tam giác ABC cách đều 3 cạnh nên I là giao 3

đường phân giác trong tam giác ABC.
Tam giác ABC vng tại A nên tính BC=5 cm.
CM được CEI CMI  CM CE .
Chứng minh tương tự:AE=AD, BD=BM.
Suy ra MB = (BC+AB-AC)/2 = 2

0,5 đ
0,5 đ

1
0.25
0.25
0,25
0,25