Hsg huyện hoài nhơn 2010 2011

UBND HUYỆN HỒI NHƠN
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề chính thức)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2010 – 2011
Mơn: TỐN 7
Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề)

Bài1: (4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10.
Bài2: (3điểm)
2
3
4
2009
2010
Cho 2 đa thức : P  x  1  x  x  x  x  ...  x  x
và
1
1
Q  x  1  x  x 2  x 3  x 4  ...  x 2009  x 2010 . Giá trị của biểu thức P    Q   có dạng biểu
 2

diễn hữu tỉ là

 2

a
; a,b  N ; a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a5
b

Bài3: (3 điểm)
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
a b b c c d d a



Hãy tìm giá trị của biểu thức: M=
c d d a a b b c

Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Bài4: (4điểm)
Cho M 

a
b
c


với a, b, c > 0.
a b b c c a

a) Chứng minh M > 1.
b) Chứng tỏ rằng M không phải là số nguyên.
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy
điểm E sao cho CE = BD. Gọi I là trung điểm của DE. chứng minh ba điểm B, I, C thẳng
hàng.
Bài6: (2,5 điểm)
Cho ABC cân tại A, có A 1000 , tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Chứng
minh:
AD + BD = BC.


ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
m)điể1(4

Bài

Đáp án
3 – 2 +3 – 2 = (3 + 3 ) – (2 + 2n )
= 10. 3n – 5. 2n
Vì n nguyên dương nên 2n  2 => 5. 2n  10 và 10. 3n  10
Vậy: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n  10
n+2

n+2

n

1

n

n+2

1

n

 1  1

3

 1

5

 1

2009

Đặt A P    Q   2           ...   
 2
 2
 2  2  2
 2
3

2 (3điểm)

 1 1

 1
suy ra 4 A 10        ...   
 2  2
 2
Từ ( 1) và ( 2) suy ra 3 A 8   1 
 
 2
( 2 điểm)

Điểm
1,0đ
1,5đ
1,0đ
0,5đ

n+2

( 1)

2007

(2)
8

2009

 A

1
2

3

2009



22012  1 a

3.22009 b

3,0đ

Ta thấy: 22012  1 41006  13 ; 22012 – 1 và 22009 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên
22012 – 1 = 3a.
3a = 22012 – 1 = 16503 – 1. Vì 16503 có chữ số tận cùng là 6 nên 3a có chữ số
tận cùng là 5 suy ra số này chia hết cho 5. 3,5 là 2 số nguyên tố cùng nhau
nên a5 .
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
 1

 1=
 1
1
=>
a
b
c
d
a b c  d a b c  d a b c  d a b c d



=>
a
b
c
d

Nếu a+b+c+d 0 thì a = b = c = d, khi đó: M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

3 (3điểm)

Từ

Nếu a+b+c+d = 0 thì a + b = - (c+d); b+c = - (d+a);
c+d = - (a+b); d+a = -(b+c). Khi đó: M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = - 4.
a
a
b
b

c
c

;

;

a b a b  c b  c a b c c  a a b c
a
b
c
a b c



1
=> M 
a b b c c a a b c

a) Vì a, b, c > 0 nên:

4 (4điểm)

Vậy: M > 1
 a

1,0đ

0,5đ
0,5đ

1,0đ
1,0đ
1,0đ

(1)
b

c   b

c

a 





b) Mà: 
 +

 a b b c c a   a b b c a c 
b   b
c   c
a 
 a



= 
 

 
 =3
 a b a b   b c b c   c a c a 
c
a 
 b


Vì 
 > 1 (tương tự câu a)
 a b b c a c 
b
c 
 a


Suy ra: M = 
(2)
 < 2.
 a b b c c a 

Từ (1) và (2) suy ra: 1< M < 2 nên M không phải là số nguyên.

1,0đ

0,5đ
0,5đ


Học sinh vẽ hình đúng

5 (3,5 điểm)

0,5đ

Kẻ DF//AC (F thuộc BC)
 Góc DFB = Góc ACB (2 góc đồng vị)
Mà: Góc ABC = Góc ACB (tam giác ABC cân)
 Góc DFB = Góc ABC => Tam giác DBF cân tại D
 DB = DF, mà DF = CE (gt)
 DF = CE
 IDF IEC (c-g-c)
 Góc DIF = Góc EIC
Vậy: 3 điểm B, I, C thẳng hàng (vì 3 điểm D, I, E thẳng hàng)
HS vẽ hình đúng
A

1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

6 (2,5 điểm)

D

Trên cạnh BC lấy 2điểm E,F sao cho:
BE = BA và BF = BD.
HS chứng minh được: AD = DE

HS chứng minh được: DFE cân tại D
Suy ra: DE = DF
HS chứng minh được: DFC cân tại F
Suy ra: DF = FC.
Suy ra: DE = FC
Suy ra: AD + BD = BC.

B

Chú y: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa.

E

F

C

0,5đ
0,5đ
1,0đ