Hsg 2009 20010 1

Đề thi học sinh giỏi năm học 2009-2010
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phót
Bài 1 (4 điểm)
a/ Tính:
3

A= 54

7

3 3

11 13
5 5

11 13

1

2
5

4



1 1

3 4
5 5


6 8

b/ Cho 3 số x, y, z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:

yz x zx y x y z


x
y
z

Hãy tính giá trị biểu thức:


x

y

z




B = 1  1  1  .
y
z
x








Bài 2 (4 điểm)
1
2
 y   x 2  xz  0
2
3
b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì 3n 2  2n 2  3n  2n chia hết cho 10.

a/ Tìm x, y, z biết:

x

Bài 3 (4 điểm)
Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh
máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6
phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng
nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong.
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E
sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:
a/ AC=EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho: AI=EK.
Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c/ Từ E kẻ EH  BC (H  BC). Biết góc HBE bằng 500; góc MEB bằng 250, tính các

góc HEM và BME ?
Bài 5 (2 điểm):
Tìm x, y  N biết:

36  y 2 8  x  2010 

2

Híng dÉn chÊm 2009-2010


Bài

ý
a

1
4 điểm
b

Ni dung
1 1 1
3 3
3
1 1 1 3 1  1  1 
3 x135





 
 
4
11
13

 2 3 4
4 11 13  2 3 4
x13
= 45x11
5 5
5
5 5 5 + 1 1
x129
1  5 1 1 1


 
5 
 
   
7 11 13 4 6 8
 7 11 13  2  2 3 4  7 x11x13
3 x135
7 x11x13 2 189 2 189 x5  172 x 2 1289
= 4 x11x13 x 5 x129 + 5 = 172  5 =
= 860
172 x5

Ta có:

Điểm
2

+5

yz x zx y xy z
yz
zx
x y



 1
 1
1
x
y
z
x
y
z
y  z z  x x  y 2 x  y  z




2
x
y

z
xyz
x y yz zx

x 
y 
z
.
.
 B  1    1    1   
y
z
x
y 
z 
x

x y zx yz

.
.
2.2.2 8
z
y
x

Vậy B=8
a Áp dụng tính chất A  0
2

4 điểm


1
 1
 x  2 0
 x  2 0



2
2

  y  0   y  0
3
3


 x 2  xz 0
 x  x  z  0





2

0,5
0,5
0,5

0,5
0,25

1

x 2

2

  y 
3

1

 z  x  2


Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
b Ta có: 3n 2  2n 2  3n  2n = (3n 2  3n )  (2n2  2n )
3n  32  1  2n  22  1

1,5

0,25
0,75
0,5

 3n .10  2 n .5 = 10.(3n – 2n-1)

3

0,5
Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương
0,25
Suy ra điều phải chứng minh.
Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được 0,5
theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi
người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1
trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6.
1,0
1 1 1
5 4 6

Do đó ta có: x : y : z  : : 12 :15 :10 .
4điểm

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x
y
z
xyz
555
  

15  x 180; y 225; z 150 .
12 15 10 12  15  10 37

4

Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần

lượt là: 180, 225, 150.
a (2 điểm)

0,75
0,75
0,75
0,25


Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt )

A


góc AMC =góc EMB
(đối đỉnh)
BM = MC
(gt )
Nên: AMC = EMB (c.g.c)
 AC = EB

I
M

B

C
H

0,75
0,25
0,5

K

Vì AMC = EMB
=> Góc MAC bằng góc MEB
(2 góc có vị trí so le trong được
tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE)
b Suy ra AC // BE .
(2 điểm)
Xét AMI và EMK có :
AM = EM (gt)
6 điểm


= MEK
(vì AMC EMB ); AI = EK (gt )
MAI

Nên AMI EMK ( c.g.c ). Suy ra AMI = EMK

E


Mà AMI + IME
= 180o (tính chất hai góc kề bù)



+ IME
= 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c  EMK
(1,5 điểm)
 = 90o ) có HBE

Trong tam giác vuông BHE ( H
= 50o


= 90o - HBE
= 90o - 50o =40o
 HBE

0,5

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5
(1.0đ)
0,5




= HEB

- MEB
= 40o - 25o = 15o
 HEM

là góc ngồi tại đỉnh M của HEM
BME



Nên BME
= HEM
+ MHE
= 15o + 90o = 105o

5

(định lý góc ngồi của tam giác)
2
2
Ta có: 36  y 2 8  x  2010   y 2  8  x  2010  36 .
Vì y 2 0

2

 8  x  2010  36  ( x  2010) 2 

36
8

0,25

0,25

2

Vì 0 ( x  2010) 2 và x  N ,  x  2010  là số chính phương nên
 ( x  2010) 2 4 hoặc ( x  2010) 2 1 hoặc ( x  2010) 2 0 .
2 điểm

 x 2012
+ Với ( x  2010) 4  x  2010 2  
 x 2008
 y 2
 y 2 4  
 y  2 (loai )

0,5

2

0,25


0,25

+ Với ( x  2010)2 1  y 2 36  8 28 (loại)
 y 6

2
+ Với ( x  2010)2 0  x 2010 và y 36  
 y  6 (loai )

Vậy ( x, y ) (2012; 2); (2008; 2); (2010;6).

0,25
0,25