Tài liệu lý thuyết và bài tập tự luyện ôn tập kiểm tra học kỳ 2 giải tích lớp 12 trần thông file word có đáp án chi tiết doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.34 MB, 76 trang )
1
A.TÍCH PHÂN
PHẦN 1: TĨM TẮT LÝ THUYẾT
I.Ngun hàm
1.Định nghĩa. Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, nếu F'(x) = f(x), với mọi x K .
Định lý. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) là
f(x)dx F(x) C , trong đó F(x) là một nguyên hàm của
f(x), C là hằng số bất kỳ.
d. Bảng nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp
kdx=kx C, k R
1
dx
.x 1 C( 1)
1
dx
x ln x C(x 0)
dx
x 2 x C
x
x
e dx e C
x
Nguyên hàm của hàm số hợp u=u(x)
kdu=ku C, k R
1
du
.u 1 C( 1)
1
du
u ln u C(x 0)
du
u 2 u C
u
u
e du e C
u
ax
a dx ln a C(0 a 1)
cos xdx sin x C
au
a du ln a C(0 a 1)
cosu du sinu C
sin xdx cos x C
sinudu cosu C
x
dx
cos
2
dx
tan x C; 2 cot x C
x
sin x
u
du
cos
2
dx
tanu C; 2 cotu C
u
sin x
Ngồi ra cịn một số cơng thức thường gặp là.
1 (ax b)k 1
(ax b) dx a k 1 C,(a 0, k 1);
1 ax b
ax b
e
dx
e
C;
a
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
k
1
1
ax b dx a ln ax b C,a 0.
1
cos(ax
b)dx
sin(ax b) C
a
2. Một số tính chất của nguyên hàm
Định lý. Nếu F(x), G(x) tương ứng là một nguyên hàm của f(x), g(x) thì
a.
f '(x)dx f(x) C
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx F(x) G(x) C ;
c. a.f(x)dx a f(x)dx=aF(x)+C(a 0).
b.
3. Một số phương pháp đổi nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm
số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là
f(u)du F(u) C thì f[u(x)]dx F[u(x)] C .
b. Phương pháp tích phân từng phần
Một số dạng thường gặp:
Dạng 1.
P(x).e
ax b
dx, P(x)sin(ax b)dx, P(x)cos(ax b)dx
Cách giải: Đặt u = P(x), dv eax bdx (dv = sin(ax+b)dx, dv = cos(ax+b)dx)
Dạng 2.
P(x)ln(ax b)dx
Cách giải: Đặt u = ln(ax+b), dv = P(x)dx.
II. Tích phân
1. Định nghĩa Cho hàm f(x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một
nguyên hàm của f(x) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và ký hiệu là
b
b
a
a
f(x)dx . Trong trường hợp a < b thì f(x)dx là tích phân của f trên [a;b].
2. Tính chất Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số thuộc K.
a
f(x)dx 0
a
b
b
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
a
c
a
c
b
b
b
a
a
a
b
a
a
b
f(x)dx f(x)dx
b
b
a
a
k.f(x)dx k f(x)dx
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
3. Một số phương pháp tính tích phân
Phương pháp đổi biến số: Cơng thức đổi biến số
b
u(b)
a
u(a)
f[u(x)]u'(x)dx f(u)du . Trong đó f(x) là
hàm số liên tục và u(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên J;
a, b J .
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1: Đặt ẩn phụ u = u(x) (u là một hàm của x)
Cách 2: Đặt ẩn phụ x = x(t) (x là một hàm số của t)
Đối với nguyên hàm nói chung và tích phân nói riêng cần chú ý một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn
phụ như sau :
Dấu hiệu
Có thể chọn
Hàm số có mẫu
Đặt t là mẫu
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3
Hàm f (x, (x))
Đặt t (x)
Hàm f (x, n (x), m (x))
Đặt t mn (x)
Hàm f (x)
a sin x b cos x
csin x d cos x e
Đặt t tan
x
2
Hàm lẻ với sinx
Đặt t = cos x
Hàm lẻ với cosx
Đặt t = sin x
Hàm chẵn với sinx và cosx
t = tan x
2
a x
x a sin t, 2 t 2
x a cos t, 0 t
2
a
, t ; t 0
x
sin t 2
2
a
, 0 t ; t
x
cos t
2
x a tan t, 2 t 2
x a cot t, 0 t
x2 a2
x2 a2
ax
a x
hoặc
a x
ax
Đặt x = a cos 2t
(x a)(b x)
Đặt x a (b a) sin 2 t
Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a,b là hai số thuộc K thì
b
b b
u(x)v '(x) dx u(x)v(x) v(x)u '(x) dx .
a a
a
4. Ứng dụng của tích phân
Tính diện tích hình phẳng
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
b
f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S f (x) dx .
a
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x =
b
b là S f (x) g(x) dx
a
Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải "phá" dấu giá trị tuyệt đối.
b
a
Nếu f (x) 0; x [a; b ] thì S f (x) dx f (x)dx
a
b
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4
b
b
Nếu f (x) 0; x [a; b ] thì S f (x) dx (f (x))dx
a
a
Chú ý: Muốn "phá" dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có hai cách làm như
sau:
- Cách 1: Dùng định lí "dấu của nhị thức bậc nhất", định lý "dấu của tam thức bậc hai" để xét dấu các biểu
thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f (x) 0, f (x) 0 trên đoạn [a;b].
- Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b] để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó.
Nếu trên đoạn [a;b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía "trên" trục hồnh thì f (x) 0; x [a; b ]
Nếu trên đoạn [a;b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía "dưới" trục hồnh thì f (x) 0; x [a; b ]
b
b
- Cách 3: Nếu f(x) khơng đổi dấu trên [a;b] thì ta có S f (x) dx f (x)dx
a
a
Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các
b
điểm a, b là V S(x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng
a
vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ là x [a; b] và S(x) là một hàm liên tục.
Tính thể tích khối trịn xoay.
Hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x),
trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên một khối trịn xoay. Thể
b
2
tích V được tính bởi cơng thức V f (x)dx .
a
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d quay
d
2
quanh trục tung tạo nên một khối trịn xoay. Thể tích V được tính bởi cơng thức V g (y)dy .
c
PHẦN 2: BÀI TẬP MINH HỌA
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5
Dạng 1: Tích phân hàm hữu tỷ
2
2
x
dx
Bài 1: Tính tích phân I 2
x 7x 12
1
2
Hướng dẫn: I (1
1
2
16
9
)dx (x 16 ln x 4 9 ln x 3 ) 1 25ln 2 16ln 3 .
1
x 4 x 3
2
dx
Bài 2: Tính tích phân I 5
.
x x3
1
1
1 1
x
3 2
Hướng dẫn: Ta có 3 2
x (x 1)
x x x 1
1
1
3
1
3
2
I ln x
ln(x 2 1) ln 2 ln 5 .
2
2x
2
2
2
8
1
1 xdx
Bài 3: Tính tích phân I
0 (x 1) 3
Hướng dẫn:
1
x
x 1 1
1
(x 1) 2 (x 1) 3 I (x 1) 2 (x 1) 3 dx .
Ta có:
3
3
0
(x 1)
(x 1)
8
(x 1) 2
dx
Bài 4: Tính nguyên hàm I
(2x 1) 4
1 x1
Hướng dẫn: Ta có: f (x) .
3 2x 1
1
x7
dx
Bài 5: Tính tích phân I
(1 x 2 )5
0
2
'
3
1 x 1
x 1
.
I
C
9 2x 1
2x 1
2
2
Hướng dẫn: Đặt t 1 x dt 2xdx I
1 (t 1)3
1 1
dt . 5 .
5
21 t
4 2
1
5
3 6
Bài 6: Tính tích phân I x (1 x ) dx
0
1
dt
1 6
1 t 7 t8
1
Hướng dẫn: Đặt t 1 x dt 3x dx dx 2 I t (1 t)dt
.
3x
30
3 7 8 168
3
2
1
5
3 6
Bài 7: Tính tích phân I x (1 x ) dx
0
1
dt
1 6
1 t 7 t8
1
Hướng dẫn: Đặt t 1 x dt 3x dx dx 2 I t (1 t)dt
.
3x
30
3 7 8 168
2
x 2001
I
.dx
Bài 8: Tính tích phân
2 1002
1 1 x
3
2
1
Hướng dẫn: Ta có: I
1
x 2000 .2xdx
2
2 2000
2 2 . Đặt t 1 x dt 2xdx
2
(1
x
)
(1
x
)
0
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6
2
2
1 (t 1)1000
1
I 1000 2 dt 1
21 t t
2 1
1
t
1000
d 1
1
1
.
t 2002.21001
1 5
2
x 2 1
dx
x 4 x 2 1
1
1
1 2
2
x 1
1
1
x
Hướng dẫn: Ta có 4
. Đặt t x dt 1 2 dx
2
x x 1 x 2 1 1
x
x
2
x
Bài 9: Tính tích phân I
1
4
dt
I 2
. Đặt t tan u dt du I du .
4
t 1
0
cos 2 u
0
Dạng 2: Tích phân hàm vơ tỷ
x
dx .
Bài 1: Tính ngun hàm I
3x 9x 2 1
x
dx x(3x
Hướng dẫn: Ta có I
3x 9x 2 1
2
3
Lại có I1 3x dx x C1
9x 2 1)dx 3x 2dx x 9x 2 1dx
3
1
1
I 2 x 9x 2 1dx 9x 2 1d(9x 2 1) (9x 2 1) 2 C 2
18
27
3
1
I (9x 2 1) 2 x 3 C .
27
Bài 2: Tính nguyên hàm I
Hướng dẫn: Ta có
Lại có: I1
x
x2 x
1 x x
x2 x
1 x x
2
1 x x
dx
dx
x2
1 x x
dx
x
1 x x
dx.
dx
4
3
Đặt t 1 x x t 2 1 x x x 3 (t 2 1)2 x 2dx= t(t 2 1)dt
3
4 2
4 3 4
4
4
3 (t 1)dt 9 t 3 t C 9 1 x x 3 1 x x C1
Đối với I 2
x
1 x x
dx
2 d(1 x x) 4
1 x x C2
3 1 x x
3
3
4
Vậy I 1 x x C
9
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
7
Bài 3: Tính tích phân I
3
3
0
x 3
x 1 x 3
dx
Hướng dẫn:
2
2
2
2t 3 8t
1
3
dt (2t 6)dt 6 dt 3 6 ln
Đặt t x 1 2tdu dx I 2
t 1
2
1 t 3t 2
1
1
Bài 4: Tính tích phân I
3
2x2 x 1
0
x 1
dx
x 1 t x t 2 1 dx 2tdt
Hướng dẫn: Đặt
2
2
4t 5
2 54
2(t 2 1) (t 2 1) 1
I
2tdt 2 (2t 4 3t 2 )dt
2t 3
t
1
1
5
1 5
Bài 5: Tính tích phân I
5
x
1
x2 1
3x 1
dx
Hướng dẫn: Đặt t 3x 1 dx
3tdt
3
2
t2 1
1
4
3
2tdt 2 1 3
I 2
.
t
3
9 3
t
1
2
.t
3
4
t 1 4 100
9
t ln
ln
t 1 2 27
5
2
1
3
2
Bài 6: Tính tích phân I (x 1) 2x x dx
0
1
1
0
0
3
2
2
2
Hướng dẫn: I (x 1) 2x x dx (x 2x 1) 2x x (x 1)dx .
2
15
2
2x3 3x 2 x
Đặt t 2x x 2 I
Bài 7: Tính tích phân I
0
x x 1
2
dx
Hướng dẫn:
1
1
1 x 1 x2
1 x 1 x2
1 1
dx
dx 1 dx
2
2
2x
2 1 x
1 (1 x) (1 x )
1
Ta có: I
1
1
1
1 x2
dx
2x
1
1
1 1
1
1
+ I1 1 dx ln x x
2 1 x
2
1
+ I2
1
1
2
t 2dt
1 x2
2
2
2
0
dx . Đặt t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx I 2 2
2(t 1)
2x
2
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
8
Vậy I = 1.
Bài 8: Tính tích phân I
2
4 x2
dx
x
1
Hướng dẫn: Ta có: I
2
4 x2
xdx . Đặt t 4 x 2 t 2 4 x 2 tdt xdx
x2
1
0
0
0
t( tdt)
t2
4
t 2
I
dt
(1
)dt
t
ln
t 2 4 t 2 4
t 2
4 t2
3
3
3
0
3
2 3
3 ln
2
3
3
x2
I
dx
Bài 9: Tính tích phân
2
2
(1
1
x
)
(2
1
x)
0
4
Hướng dẫn: Đặt 2 1 x t I 2t 16
3
Bài 10: Tính tích phân I
1
dx
(1 x ).
3
0
3
3
3
42 36
4
2 dt 12 42 ln
t
3
t
Hướng dẫn: Đặt t 1 x I
3
1 x3
2
2
dt
dt
2
4
3
1 2 3
t .(t 1)
t (t 1) 3
1
3
t2
2
3
2
3
3
=
2
1
3
dt
2
1 3
t2. t3 1 3
t
2
dt
1
1
1 3
t
4 dt
t
1
3
2
1 3
t4 1 3
t
2
1
3dt
u
1
1
Đặt u 1 3 du 4 I du u du
3
30
3
t
t
0
1
2
2
3
1
2
2
3
1
u3
1
3
1 1
1
1
2 u 3 2 3
2
0
0
2 2
x4
I
dx
Bài 11: Tính tích phân
1 2
3
x x x 1
Hướng dẫn: Đặt t x 2 1
3
3 4
3
3
(t 2 1)2
t 2t 2 1
1
19
2 4 2
I 2
dt 2
dt t 2dt 2
dt
ln
3
4
t
2
t
2
t
2
4
2
2
2
2
2
27
Bài 12: tính tích phân I
x 2
x
1
3
x
2
dx
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
9
Hướng dẫn:
3
3
2
t3 2
2t
1
2 5
Đặt t x I 5 2
dt 5 1 2
2 dt 5 3 1 ln
t t 1 t 1
3 12
1 t(t 1)
1
6
2
5
2
2
Bài 13: Tính tích phân I (x x ) 4 x dx
2
2
2
2
5
2
2
5
2
2
2
Hướng dẫn: I (x x ) 4 x dx x 4 x dx x 4 x dx A B.
2
2
2
2
+ Tính B =
x
2
5
4 x 2 dx . Đặt t = -x. Tính được A = 0.
2
4 x 2 dx . Đặt x = 2sint. Tính được B 2 .
x
+ Tính A =
2
2
Vậy: I 2 .
3
Bài 14: Tính tích phân I
2
1
Hướng dẫn: I
+ Tính I1
2
1
+ Tính I 2
2
1
I2
2
2
3
dx
4
1 2x
3
2x
2
4
dx
1
4 x 2 dx
2x 4
4 x 2 dx
2x 4
2
3 4
7
x dx .
21
16
4 x2
dx . Đặt x = 2sint dx = 2costdt.
2x 4
2
2
6
6
1 cos tdt 1
1
1
3
2
2
cot
t
dt
cot
t.d(cot
t)
2
8 sin 4 t
8
8
8
sin t
2
6
1
(7 2 3)
16
Vậy: I
Bài 15: Tính tích phân I
3
x 2 1dx
2
x
u x 2 1 du
dx
2
Hướng dẫn: Đặt
x 1
dv dx
v x
3
3
3
x
1
2
x x 1
x.
dx 5 2 x2 1
dx
2
2 2
x2 1
x
1
2
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
10
= 5 2
3
2
I
x 2 1dx
3
2
dx
x2 1
5 2 1 ln x x 2 1
3
2
5 2
1
ln( 2 1) ln 2
2
4
Dạng 3: Tích phân hàm lượng tam giác
8cos2 x sin 2x 3
Bài 1: Tính nguyên hàm I
dx
sin x cos x
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
11
Hướng dẫn:
(sinx cosx)2 4 cos2x
I
dx (sinx cosx 4(sinx cosx) dx 3cos x 5sin x C
sin x cos x
cot x t 2 tan 2x
Bài 2: Tính nguyên hàm I
dx
sin 4x
2 cot 2x 2 tan 2x
2 cot 4x
cos 4x
1
Hướng dẫn: I
dx
dx 2 2 dx
C
sin 4x
sin 4x
2sin 4x
sin 4x
cos2 x
8
Bài 3: Tính nguyên hàm
I
dx
sin 2x cos2 x 2
Hướng dẫn
1 cos 2x
cos 2x
4
1
4
1
dx
I
dx =
dx
2
2 2 1 sin 2x
2 2 1 sin 2x
sin
x
cos
x
4
4
8
8
cos 2x
4
1
1
dx
= 1 ln 1 sin 2x cot x 3 C
dx
4
8
2 2
3 4 2
2 2 1 sin 2x
sin
x
4
8
dx
Bài 4: Tính tích phân I
2 3 sinx cosx
3
1
dx
1
dx
1
I
I
Hướng dẫn:
2
4
4 3
2 x
1
cos
x
2sin
3
3
3
2 6
Bài 5: Tính tích phân I
6
2sinx
0
6
1
3
dx
6
1
2
6
cos
3
1
1
dx
dx
dx
20
0 sin x sin
0 sin x sin
sin x sin
3
3
3
x x
x
x
cos
cos
sin
6
6
6
2 6
2 6
1
1
2 6 2 6
dx
dx
dx
20
20
x
x
x
x
0
2 cos .sin
sin
cos
2 6
2 6
2 6
2 6
Hướng dẫn: I
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
12
x
x
ln sin 6 ln cos 6 .....
2 6 0
2 6 0
2
Bài 6: Tính tích phân I cos2x(sin 4 x cos 4 x)dx
0
2
2
Hướng dẫn: I cos2x 2 1 sin 2 2x dx 1 1 1 sin 2 2x d(sin 2x) 0
2
0
Bài 7: Tính tích phân I
2
0
2
4sin3 x
1 cos x dx
2
0
Hướng dẫn:
Ta có
4sin3 x 4sin3 (1 cosx)
4sin x 4sin x cos x 4sin x 2sin 2x
1 cos x
sin 2 x
2
0
I (4sin x 2sin 2x)dx 2
2
Bài 8: Tính tích phân I 1 sin xdx
0
2
2
2
2
x
x
x
x
x
Hướng dẫn: I sin cos dx sin cos dx 2 sin dx
2
2
2
2
2 4
0
0
0
32
2
x
x
2 sin dx sin dx 4 2
2 4
2 4
3
0
2
sin 2xdx
Bài 9: Tính nguyên hàm I
3 4sinx cos2 x
2sin x cos x
1
Hướng dẫn: Ta có I
dx . Đặt t = sin x I ln sin x 1
C
2
sin x 1
2sin x 4sin x 2
dx
Bài 10: Tính nguyên hàm I 3
sin x.cos5 x
dx
dx
Hướng dẫn: I 3
8 3
3
2
sin x.cos x.cos x
sin 2x.cos2 2x
3
3 3
1
3 2
1
4
C
Đặt t = tan x. I t 3t t dt tan x tan x 3ln tan x
t
4
2
2 tan 2 x
Bài 11: Tính nguyên hàm I
Hướng dẫn:
2011
sin 2011 x sin2009 x
cot xdx
sin 5 x
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
13
1
2011
Ta có:
cot 2 x
sin 2 x cot xdx
I
sin4 x cot xdx
sin 4 x
2
2011 4024
2011 8046
2011
Đặt t = cotx I t 2011 (1 t 2 )tdt
t
t 2011 C
4024
8046
4024
2011
2011 8046
2011
cot
x
cot 2011 x C .
4024
8046
2011
1
2
Bài 12: Tính tích phân I sin x(2
1 cos2x )dx
2
Hướng dẫn:
2
2
2
2
Ta có: I 2sin xdx sin x 1 cos2xdx H K
+ H = 2sin
2
2
xdx (1 cos2x)dx
2
2
2
sin x 2 cos x 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
2
2 2
2
2
2
2
2
3
2
I
2
3
Bài 13: Tính tích phân I
2
sin 2x
(2 sinx)
2
0
Hướng dẫn: I
2
2
sin 2x
(2 sinx)
0
dx
2
sin xcosx
dx 2
dx
2
(2
sinx)
0
3
3
1 2
t 2
2 3
3 2
I
2
dt
2
dt
2
ln
t
2
ln
Đặt t = 2 + sinx
2
2
t
t
2
3
t
t
2
2
2
Bài14: Tính tích phân I
4
sin
0
4
Hướng dẫn: I
0
sin 4x
6
x cos6 x
dx
1
4
1
dx. Đặt t 1 3 sin 2 2x I 2 1 dt 4 t 2
1
3
4
3 t
3
3
1
1 sin 2 2x
4
4
sin 4x
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
14
4
sinx 1 cos2 x
I
Bài 15: Tính tích phân
cos2 x dx
3
Hướng dẫn:
4
4
4
0
sin x
sin x
sin x
sin x
I 2
1 cos2 x.dx 2 sin x .dx 2 sin x .dx 2 sin x .dx
cos x
cos x
cos x
0 cos x
3
3
4
0
sin 2 x
sin 2 x
7
= 2 dx 2 dx
12
cos x
0 cos x
3
3 1
3
2
Bài 16: Tính tích phân I 3sinx 2 cosx dx
3
(sin x cos x)
0
Hướng dẫn:
2
2
(cos t sin t)
(cosx sinx)
Đặt x t dx dt I 3cos t 2sin t dt 3cosx 2sinx dx
3
3
2
0
2
0
2
2
3sinx 2 cosx
3cosx 2sinx
1
1
2I I I
dx
dx
dx 1 I
3
3
2
2
0 (sin x cos x)
0 (cos x sin x)
0 (sin x cos x)
xsinx
dx
2
0 1 cos x
Bài 17: Tính tích phân I
Hướng dẫn:
( t)sin t
sin t
dt
dt 1
Đặt x t dx dt I
2
2
1
cos
t
1
cos
t
0
0
sin t
d(cos t)
2
2I
dt
I
2
2
8
4 4
0 1 cos t
0 1 cos t
Bài 18: Tính tích phân I
3
cos x
0
sinx
3 sin 2 x
dx
Hướng dẫn:
Đặt t 3 sin 2 x 4 cos2 x. Ta có: cos2 x 4 t 2 và dt
3
3
sin x
sin x.cos x
I
dx
dx
2
2
2
0 cos x 3 sin x
0 cos x 3 sin x
15
2
dt
4 t
3
2
sin x cos x
3 sin x
2
1
4
15
2
1
dx
t 2
3
1
dt
t 2
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
15
1 t 2
ln
4 t 2
15
1
15 4
ln
2 ln
4
15
4
3
Bài 19: Tính tích phân I
4
3 2 1
(ln( 15 4) ln( 3 2))
3 2 2
tan x
cos x
1 cos2 x
6
dx
Hướng dẫn:
4
Ta có: I
cos2 x
6
4
tan x
1
1
cos2 x
tan x
dx
dx
2
2
cos x tan x 2
6
1
1
u
u
2
du 2 dx I
dx
t
u
2
dt
du
Đặt u = tan x
.
Đặt
2
cos x
2
u 2
1
u 2
3
3
I dt t
7
3
3
7
7 3
3
Bài 20: Tính tích phân I
3
3
3
7
3
x sinx
dx
2
x
cos
3
Hướng dẫn: Sử dụng cơng thức tích phân từng phần ta có:
1
x 3
I xd
cos x cosx
3
3
3
3
3
dx
4
dx
J
J
,
với
cosx 3
cos x
3
3
3
dx
dt
1 t 1 2
2 3
ln
ln
Để tính J ta đặt t = sinx. Khi đó J
2
2 t 1
1 t
2 3
3
cos x
3
3
2
2
3
Vậy I
3
2
4
2 3
ln
3
2 3
2
Bài 21: Tính tích phân I 1 sin x .e x dx
1 cos x
0
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
16
x
x
1 sin x 1 2sin 2 cos 2
1
x
tan
Hướng dẫn: Ta có
x
x
1 cos x
2
2 cos2
2 cos2
2
2
2
2
e dx
x
I
ex tan dx e 2
x 0
2
0 2 cos2
2
x
Dạng 3: Tích phân hàm mũ logarit
Bài 1: Tính nguyên hàm I
e2x
1
ex
dx
Hướng dẫn: Đặt t ex e x t 2 ex dx 2tdt
t3
2
2
I 2
dt t 3 t 2 2t 2 ln t 1 C e x e x 2ln e x 1 C
1 t
3
3
2
x
(x x)e
Bài 2: Tính nguyên hàm I
dx
x e x
Hướng dẫn:
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
17
(x 2 x)e x
xe x .(x 1)e x
x
x
x
I
dx
dx . Đặt t x.e 1 I x.e 1 ln xe 1 C
x
x
x e
xe 1
ln(1 x 2 ) x 2011x
I
dx
x 2 1
Bài 3: Tính nguyên hàm
ln ex 2 e
2 x
ln(1 x ) 2011x
dx . Đặt t ln(x 2 1) 1
Hướng dẫn: I 2
(x 1) ln(x 2 1) 1
1 t 2010
1
1
1
dt t 1005ln t C ln(x 2 1) 1005ln(ln(x 2 1) 1) C
2
t
2
2
2
e
x
xe 1
dx
Bài 4: tính tích phân J x
x(e
ln
x)
1
e
x
e
d(e ln x)
ee 1
x
J
ln
e
ln
x
ln
Hướng dẫn:
1
e x ln x
e
1
I
ln 2
2e3x e 2x 1
I
dx
Bài 5: Tính tích phân:
3x
2x
x
e
e
e
1
0
ln 2
ln 2
3e3x 2e 2x e x
3e3x 2e 2x e x (e3x e 2x e x 1)
dx
1 dx
Hướng dẫn: I
3x 2x x
3x
2x
x
e e e 1
e e e 1
0
0
ln(e3x e 2x e x 1)
ln 2
ln 2
14
x
ln11 ln 4 ln
0
0
4
3ln 2
Bài 6: Tính tích phân I
(
0
3ln 2
Hướng dẫn: I
0
x
dx
3
e x 2) 2
x
dx
e3
e 3 ( 3 e x 2) 2
ln15
Bài 7: Tính tích phân I
e
3ln 2
x
1 x
3 3 1
. Đặt t e 3 dt e 3 dx I ln
3
4 2 6
(e2x 24e x )dx
x
e x 1 5e x 3 e x 1 15
Hướng dẫn:
3
4sin 3 x 4sin x 1 cos x
Ta có
4sin x 4sin x cos x 4sin x 2sin 2x
1 cos x
sin 2 x
2
0
I (4sin x 2sin 2x)dx 2
2
Bài 8: Tính tích phân I 1 sin xdx
0
Hướng dẫn: Đặt t e x 1 t 2 1 e x e x dx 2tdt
4
4
4
(2t 2 10t)dt
3
7
I
2
dt (2t 3ln t 2 7 ln t 2 ) 3 = 2 3ln 2 7 ln 6 7 ln 5 .
2
t 4
t 2 t 2
3
3
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
18
ln 3
e 2x dx
I
Bài 9: Tính tích phân
x
x
ln 2 e 1 e 2
Hướng dẫn: Đặt t e x 2 e 2x dx 2tdt
1
1
1
1
(t 2 2)tdt
2t 1
d(t 2 t 1)
I 2 2
2 t 1 2
dt
2
(t
1)dt
2
t t 1
t t 1
t 2 t 1
0
0
0
0
1
1
2
2
= (t 2t) 2 ln(t t 1) 2ln 3 1
0
0
ln 3
2e3x e 2x
dx
Bài 10: Tính tích phân I x
4e x 3 1
0 e
Hướng dẫn:
3x
2x
2
3x
2x
3x
2x
3x
2x
Đặt t 4e 3e t 4e 3e 2tdt (12e 6e ) dx (2e e ) dx
tdt
3
9
9
9 8 ln 5
1 tdt 1
1
1
1
dt (t ln t 1) 1
3 1 t 1 3 1 t 1
3
3
ln 5
e 2x
dx
Bài 11: Tính tích phân I x
e 1
ln 2
2
t3
2 20
2tdt
x
2
x
2
t
e
1
t
e
1
dx
I
2
(t
1)d
2
Hướng dẫn: Đặt
t
x
e
3
1 3
1
I
2
2x 2 x
dx
Bài 12: Tính tích phân I x
4 4 x 2
1
x
x
x
x
x
x 2
Hướng dẫn: Đặt t 2 2 4 4 2 (2 2 ) 4 I
1
81
ln
4ln 2 25
1
6x dx
I
Bài 13: Tính tích phân
9 x 3.6 x 2.4 x
0
x
3
3
1
dx
x
2
2
1
dt
ln15 ln14
Hướng dẫn: I 2x
. Đặt t 3 .I
x
2
3
0 3
ln 3 ln 2 1 t 3t 2
ln 3 ln 2
2
3 2
2
2
Bài 14: Tính tích phân I
e
ln x 3 2 ln 2 x
dx
x
1
e2
2
2
e
e
1
dx
d(ln x)
1
Hướng dẫn: I
d(ln x) 2 ln 2 ln3
x ln x(1 ln x) e ln x(1 ln x) e ln x 1 ln x
e
e2
Bài 15: Tính tích phân I
dx
x ln x ln ex
e
e2
e2
e2
dx
d(ln x)
1
1
(
)d(ln x) 2 ln 2
Hướng dẫn: I
x ln x(1 ln x) e ln x(1 ln x) e ln x 1 ln x
e
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
19
Bài 16: Tính tích phân I
e
x
1
log32 x
1 3ln x
2
dx
Hướng dẫn:
3
ln x
ln 2
e
e
e
3
log2 x
1
ln 2 x
ln xdx
I
dx
dx= 3
.
2
2
x
ln 2 1 1 3ln 2 x
1 x 1 3ln x
1 x 1 3ln x
1
dx 1
Đặt: 1 3ln 2 x t ln 2 x t 2 1 ln x.
tdt
3
x 3
1 1 3 2
4
t t
Suy ra I
3
3
9 ln 2 3
1 27ln 2
Bài 17: Tính tích phân I
e
Hướng dẫn:
e
x (x 2)ln x
dx
x(1
ln
x)
1
e
e
ln x
ln x
dx
2
dx
e
1
2
dx
x(1
ln
x)
x(1
ln
x)
1
1
1
e
2
ln x
t 1
dx
J
dt 1 ln 2
.
Đặt
t
=
1
+
lnx
x(1
ln
x)
t
1
1
Vậy: I e 3 2 ln 2 .
e3
2x ln 2 x x ln x 2 3
dx
Bài 18: Tính tích phân I
x(1
ln
x)
2
e
Tính J
e3
e3
1
dx 2 ln xdx 3ln 2 4e3 2e 2
Hướng dẫn: I 3
x(1 ln x)
e2
e2
Bài 19: Tính tích phân I
5
ln( x _1 1
x 1
2
x 1
dx
Hướng dẫn: Đặt t ln( x 1 1) 2dt
e3
Bài 20: Tính tích phân I
x
1
ln x
3
1 ln x
dx
x 1 x 1
ln 3
I 2 dt ln 2 3 ln 2 2
ln 2
dx
dx
2tdt và ln3 x (t 2 1)3
x
2
2 6
2
2
3
4
2
(t 1)
t 3t 3t 1
1
15
I
dt
dt (t 5 3t 3 3t )dt ln 2
t
t
t
4
1
1
1
Hướng dẫn: Đặt t 1 ln x 1 ln x t 2
2
Bài 21: Tính tích phân I esin x .sin 2xdx
0
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
20
2
u sinx
sin x
dv e cos xdx
Hướng dẫn: I 2 esin x sin x cos xdx . Đặt
0
du cos xdx
sin x
v e
I 2sin xesin x
2
sin x
sin x
2 e .cos xdx 2e 2e
2 2
0
0
0
1
2
Bài 22: Tính tích phân I x ln(x x 1)dx
0
2x 1
du 2
dx
u ln(x x 1)
x
x
1
Hướng dẫn: Đặt
2
dv xdx
v x
2
1
2
3
2
1 1 2x x
x
I ln(x 2 x 1) 2
dx
2
0 2 0 x x 1
2
1
1
1
1
1
1
2x 1
3
dx
3
3
ln 3 (2x 1)dx 2
dx 2
ln3
.
2
20
4 0 x x 1
4 0 x x 1 4
12
8
Bài 23: Tính tích phân I
3
ln x
x 1
dx
Hướng dẫn:
u ln x
Đặt
dx
dv
x 1
+ Tính J
8
3
dx
8 8 x 1
du
I
(2
x
1.ln
x)
2
dx 6 ln8 4 ln3 2J
x
x
3
3
v 2 x 1
x 1
dx
x
Đặt:
3
3
3
t
t2
1
1
t18
t x 1 J 2
2tdt 2 2
dt 2
2 ln3 ln 2
dt 2t ln
t
1
t
1
t
1
t
1
t
1
2
2
2
3
Từ đó: I = 20ln2 – 6ln3 – 4
Bài 24: Tính tích phân I
2
ln(x 1)
dx
x2
1
u ln(x 1)
Hướng dẫn: Đặt
dx
dv 2
x
dx
du
2
dx
3
x 1 I 1 ln(x 1) 2
3ln 2 ln3
x
2
1 1 (x 1)x
v 1
x
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
