Đề và đáp án môn Toán thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2014

1

NHểM C MễN THI TT NGHIP THPT NM 2014
MễN TON
Thi gian lm bi: 120 phỳt, khụng k thi gian phỏt

Cõu 1 (3.0 im): Cho hm s:
2x 3
y .
x 1




a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti cỏc giao im ca (C) v
ng thng y = x 3.
Cõu 2 (2.5 im).
a. Gii phng trỡnh:


2
2 2
log x 3log (2x) 1 0, x .



b. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s:
2 2
1
f(x) x x 4x x .

4


Cõu 3 (1.5 im). Tớnh tớch phõn:




1
x
0
I 1 xe dx.

Cõu 4 (1.0 im). Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti
A, SC
2
= 20a
2
. Hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn mt phng (ABC) l trung im
M ca cnh AB. Gúc gia ng thng SC v (ABC) bng 60
0
. Tớnh theo a th
tớch khi chúp S.ABC.
Cõu 5 (2.0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(1; 1; 0) v
mt phng (P) cú phng trỡnh:
(P): 2x 2y + z 1 = 0.
a. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua A v vuụng gúc vi (P).
b. Tỡm ta im M thuc (P) sao cho AM vuụng gúc vi OA v di on
thng AM bng ba ln khong cỏch t A ti (P).
Ht

2







Chúc các em học sinh !
Những ng
ời học trò đáng mến,
những ng
ời đã và đang miệt mài học tập
vì một t
ơng lai huy
thành công trong mọi dự định tốt đẹp.
Lấ H
NG






Chúc các em học sinh !

ời học trò đáng mến,

ời đã và đang miệt mài học tập

ơng lai huy
hoàng hơn,
thành công trong mọi dự định tốt đẹp.


NG
C VNG DANH THI
3

P S V LI GII CHI TIT
Cõu 1.

HNG DN: Ta ln lt:
Vi cõu a) s dng lc kho sỏt hm phõn thc bc
nht trờn bc nht.
Vi cõu b):
Thit lp phng trỡnh honh giao im tỡm
honh tip im:
2x 3
x 3
x 1



Giỏ tr x
0
.
Vit phng trỡnh tip tuyn bit tip im:

(d): y = y(x
0
)(x x
0
) + y
0.

LI GII CHI TIT:
a. Ta lần lợt có:
1.
Hàm số xác định trên

D \ 1 .



2.
Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận:
x
lim y 2


nên y = 2 là đờng tiệm cận ngang.
x 1
limy


nên x = 1 là đờng tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:

2
1
y' 0, x D
(x 1)
hàm số nghịch biến trên D.
x



1

+

y'








y
2

+

-


2

3.
Đồ thị của hàm số: th hm s nhn im I(1; 2) lm tõm i xng.
Lấy thêm các điểm A(0; 3) và B(2; 1).
Bn c t v hỡnh.
b. Phng trỡnh honh giao im ca (C) v ng thng y = x 3 l:
2x 3
x 3
x 1



x 1
2x 3 (x 3)(x 1)



x
2
2x = 0
x 0
.
x 2

Ta ln lt:
Vi x = 0 ta c tip tuyn:
(d
1
): y = y
(0)
(x 0) + y
(0)
(d
1
): y = x 3.
4

Vi x = 2 ta c tip tuyn:
(d
2
): y = y
(2)
(x 2) + y
(2)
(d
2
): y = x + 1.
Vy, tn ti hai tip tuyn (d
1
), (d

2
) tha món iu kin u bi.
BI TON TNG T SNG TO
Em hóy bt u vi hm s

x 2
(C): y .
x 1




Hm s cú tõm i xng I(1; 1).
Ly im A(0; 2)(C) suy ra B(2; 4)(C) v (AB): y = 3x 2.
Phỏt biu bi toỏn: Cho hm s:
x 2
(C): y .
x 1




a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti cỏc giao im ca (C) v ng
thng y = 3x 2.

Sỏng to:
1. Cho hm s:
x 2
(C) : y .

x 2




a. Kho sỏt v v th hm s.
b. Vit phng trỡnh tip tuyn (d) ca (C) sao cho (d) v hai tim cn ca
(C) ct nhau to thnh mt tam giỏc cõn.
2. Cho hàm số:
x 1
(C) : y .
x 1




a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Chng minh rng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều lập với hai đờng
tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
c. Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đờng
tiềm cận một tam giác có chu vi bé nhất.
3. Cho hàm số (C) và đờng thẳng (d)có phơng trình:
(
x
(C) : y
x 1


v (d): y = ax + b.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b. a, b phải thoả mãn điều kiện gì để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) ?
c. Giả sử điều kiện trên đợc thoả mãn. Khi đó (d) cắt Ox, Oy tại A, B, khi đó:
Chứng tỏ OAB có diện tích không đổi.
Chứng tỏ rằng điểm giữa AB là tiếp điểm của (d) với (C).
Khi nào thì khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (d) là lớn nhất ?
5

Câu 2.

HƯỚNG DẪN: Ta lần lượt:
 Với câu a) định hướng chuyển phương trình về log
2
x.
 Với câu b) ta sử dụng ẩn phụ
 
2
t 4x x , t 0; 2 .
  

Chuyển bài toán về dạng cơ bản “Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn”.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:
a. Điều kiện x > 0.
Biến đổi phương trình về dạng:
 
2
2 2
log x 3 1 log x 1 0   
2

2 2
log x 3log x 2 0   

  
2 2
log x 1 log x 2 0   
2
2
log x 1
log x 2
 



 

1
x
2
.
1
x
4











Vậy, phương trình có hai nghiệm
1 1
x , x .
2 4
 

Cách trình bày khác: Điều kiện x > 0.
Biến đổi phương trình về dạng:
 
2
2 2
log x 3 1 log x 1 0   
2
2 2
log x 3log x 2 0.   

Đặt
2
t log x
 , phương trình có dạng mới:
t
2
+ 3t + 2 = 0
t 1
t 2
 




 


2
2
log x 1
log x 2
 



 

1
x
2
.
1
x
4











Vậy, phương trình có hai nghiệm
1 1
x , x .
2 4
 

b. Viết lại hàm số dưới dạng:
 
2 2
1
f(x) x 4x 4x x .
4
   

Đặt
2
t 4x x 
thì t  0 và:
 
2
t 4 4 4x x
   
 
2
4 2 x
  
 2
suy ra t [0; 2].

Khi đó, bài toán được chuyển về việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số:
 
2
1
f(t) t t, t D 0; 2 .
4
    

6

1
f '(t) t 1 0, t D.
2
     

Suy ra:
 Maxf(x) = Maxf(t) = f(0) = 0, đạt được khi x = 0.
 Minf(x) = Minf(t) = f(2) = 3, đạt được khi x = 2.
 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ  SÁNG TẠO
a. Giải phương trình:

 
2
2 3
log x 3log (2x) 5 0, x .
   


b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2 2
1
f(x) x x 2x x .
2
   

Câu 3.

HƯỚNG DẪN: Tách I thành hai tích phân đơn;

 
 

1
2
1 1
x
0 0
I
I
I dx xe dx.

 LỜI GIẢI CHI TIẾT: Biến đổi I về dạng :

 
 

1
2
1 1

x
0 0
I
I
I dx xe dx.
(1)
Trong đó:
 
1
1
0
I x 1
(2)
và với I
2
ta đặt:
x
u x
dv e dx





x
du dx
.
v e








Khi đó:
 

1
1
x x
2
0
0
I xe e dx
 
1
x
0
e e
= 1. (3)
Thay (2), (3) vào (1) ta được I = 0.
 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ  SÁNG TẠO
Tính tích phân:

 
 

1
x

0
I 1 x e dx.

7

Câu 4.

HƯỚNG DẪN: Đọc kĩ đầu bài rồi phác thảo hình vẽ.
 Xác định g(SC, (ABC)).
 Thiết lập công thức tính VS.
ABC
.
 LỜI GIẢI CHI TIẾT: Bạn đọc tự vẽ hình.
Ta có ngay

0
g(SC, (ABC)) SCM 60 .
 

S.ABC ABC
1
V SM.S
3


2
1
SM.AC .
6


(1)
Trong đó:

SM SC.sinSCM

0
SC.sin 60

a 15.
 (2)
SC
CM
2

a 5.

CM
2
= CA
2
+ AM
2
2
2
AC
AC
4
 

2

2
4CM
AC
5
 
 AC = 2a. (3)
Thay (2), (3) vào (1) ta được:
 
2
S.ABC
1
V a 15. 2a
6

3
2a 15
.
3


 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ  SÁNG TẠO
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = a. Hình
chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của cạnh BC. Góc
giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng 60
0
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
Câu 5.

HƯỚNG DẪN: Ta lần lượt:
 Với câu a) phương trình đường thẳng (d) được cho bởi:

P
Qua A(1; 1; 0)
(d) :
vtcp n (2; 2; 1)









 Với câu b) giả sử điểm M(a; b; c), ta lần lượt sử dụng các
điều kiện:
 M(P)
 MAOA
 Độ dài đoạn thảng AM bằng ba lần khoảng cách từ A
tới (P).
8


LỜI GIẢI CHI TIẾT: Mặt phẳng (P) có vtpt
P
n (2; 2; 1).



a. Đường thảng (d) đi qua A và vuông góc với (P) dc cho bởi :
P

Qua A(1; 1; 0)
(d) :
vtcp n (2; 2; 1)








x 1 2t
(d) : y 1 2t , (t ).
z t
 


    






b. Trước tiên:
d(A, (P))
2 2 2
2.1 2.( 1) 1
2 ( 2) 1
  


  
= 1.
Khi đó với M(a; b; c) ta lần lượt có:
 Vì M(P) nên:
2a  2b + c  1 = 0. (1)
 Vì MAOA nên:
AM.OA 0
 
 a  b  2 = 0. (2)
 Vì độ dài đoạn thảng AM bằng ba lần khoảng cách từ A tới (P):
2 2 2
(a 1) (b 1) c 3    

 (a  1)
2
+ (b + 1)
2
+ c
2
= 9. (3)
Giải hệ tạo bởi (1), (2), (3) ta được M(1; 2; 3).
 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ  SÁNG TẠO
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1) và mặt phẳng (P)
có phương trình:
(P): 2x + y  2z  1 = 0.
a. Viết phương trình tham số của đường thảng đi qua A và vuông góc với (P).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho AM vuông góc với OA và độ dài
đoạn thảng AM bằng ba lần khoảng cách từ A tới (P).
Hết

Tôi viết tài liệu này dành tặng người vợ xinh đẹp cùng
hai con gái bé nhỏ của tôi trong ngày hè tôi xa nhà.