Toán bt về tiệm cận của đồ thị hs nâng cao

HQ MATHS – 0827.360.796 –

DẠNG

Bài tập tiệm cận của đồ thị hàm số nâng cao

x −3
. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn
x − 3mx + (2m 2 + 1) x − m
3

2

 −2020; 2020 của tham số m
A. 4039 .
Câu 2:

Cho hàm số y =

Câu 3:

để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận?

B. 4040 .

20 + 6 x − x 2

x 2 − 8 x + 2m
hai đường tiệm cận đứng
A. m   6;8 ) .

C. 4038 .

D. 4037 .

. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số có đúng

C. m  12;16 ) .

B. m  ( 6;8 ) .

D. m  ( 0;16 ) .

Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A. 6 .
Câu 4:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Cho hàm số y =

B. 5 .

(x
y=

2

− 4 ) ( x − 3) ( x 3 + 1)

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 1:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

4

f ( f ( x ) − 1)
C. 3 .

là
D. 4 .

Cho đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d như hình vẽ dưới đây:

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

1


HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 5 .
Câu 5:

B. 4 .

cận ngang
A. 4 .

2x + 7 − 3 4x + 5
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm
f ( x ) −1
B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

3
2
Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

g ( x) =

A. 3 .
HQ MATHS –

D. 2 .

Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Đồ thị hàm số g ( x ) =

Câu 6:

C. 3 .

2

x 2 − 3x + 2 x − 1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x  f 2 ( x ) − f ( x ) 

B. 5 .

C. 6 .

D. 4 .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

3x 2 − x − 2
Đồ thị của hàm số g ( x ) = 2
có bao nhiêu đường tiện cận đứng
3 f ( x) − 6 f ( x)

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Cho hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
x2 − 4 x2 + 2x
y=
2
 f ( x )  + 2 f ( x ) − 3 có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?

(

)(

)

A. 5 .
Câu 8:

B. 2 .

Biết đồ thị hàm số y =

A.

C. 3 .

3x + 1 + ax + b

( x − 5)

−4841
.
152

B.

2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 7:

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

D. 4 .

khơng có tiệm cận đứng. Tính a2 + b3

−4814
.
152

C.

4841
.
152

D.

4814
.
152

3
a
a c

4  x− 2
1 −c
Biết rằng tích phân I =   1 + x + 2  .e x dx = 3.e b − e d , trong đó các phân số ; tối
b d
3
x 
1

HQ MATHS – 0827.360.796 –

2

Câu 9:

3

giản. Hãy xác định phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y =

25
.
3

B. y =

25
.
53

C. y =

25
.
9

ax + b
.
cx + d

D. y = 3 .

Câu 10: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Tổng các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g ( x ) =

(

2020

)

f f ( x) + 1 − m

có 4 đường

tiệm cận bằng
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

3


HQ MATHS – 0827.360.796 –
A. 15 .

B. 1 .

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

C. 13 .

D. 11 .

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x) =

6 x − 3 + mx − 2 m − 3
3x 3 − 14 x 2 + 20 x − 8

có đúng hai đường tiệm cận?

Câu 12:

B. 2 .

C. 3 .

(
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số: f ( x ) =
A. 0 .

3

D. Vô số.

)

9 − x2 − 2 ln ( x + 1)
x3 − x

B. 1 .

là:

C. 2 .

D. 3 .
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 13: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như sau

Gọi M , m lần lượt là số tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y=

(x

2

)

− 2 x − 3 . x 2 − x . x 4 − 17 x 2 + 16

(

f ( x ) − 2 . 2 x 2 − 3x

A. 2 M = 3m .
Câu 14: Đồ thị hàm số y =

)

. Khi đó mệnh đề nào đúng?

B. M = 3m .

( 2x − 3)

( x + 2 − 1).(

x2 + 2x − 8
4x + x + 4 + 2x
2

C. M = 2m .

)

D. M = m .

có tổng số đường tiệm cận đứng, tiệm cận

ngang là
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 6 .

 x2 − 2 x + 2
khi x  2

2
Câu 15: Đồ thị hàm số y = f ( x ) =  x ( x − 2 )
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

2
 4 x + x + 1 + 2 x khi x  2

A. 1 .

HQ MATHS –

4

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

A. 1 .


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) =

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

4 x3 − 20 x 2 + ( m + 24 ) x − 2m
20 x2 + 14 x + 9 − (14 x + 11) 2 x 2 + 1

có đồ thị là ( C ) . Gọi S là tập hợp

các giá trị của m để ( C ) có đúng một tiệm cận đứng. Tổng các giá trị trong S là
B. −3 .

A. −1 .

C. −5 .

Câu 17: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên

D. −7 .

và có đúng hai đường tiệm cận ngang

y = −5, y = 1 . Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có đúng một

B. m = −2 .

A. m = 1 .
Câu 18: Cho hàm số f ( x ) = x.

(

3

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

đường tiệm cận ngang.
D. m = 3 .

C. m = 2 .

)

ax 3 + bx 2 − 1 − 2 x 2 − x + 1 . Biết rằng đồ thị hàm số có một đường

tiệm cận ngang bằng y =

5
. Giá trị a + b thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
4

A. ( −5; −3 ) .

B. ( −3;0 ) .

.

Câu 19: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b , c , d 
2

)

có đồ thị như hình vẽ sau đây:

HQ MATHS – 0827.360.796 –

3

D. ( 3; 5 ) .

C. ( 0; 3 ) .

Đồ thị hàm số g ( x ) =
A. 2

x ( x − 2)

f

2

( x) − 2 f ( x)

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 4.

C. 3.

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y =

D. 1.

x −1
có 3 đường
x − 2mx + 4
2

tiệm cận.
A. m  2 .

B. −2  m  2 .

m  2

 m  −2
C.  

.
5

m  2

m  2
D. 
.
 m  −2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

5


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 21: Gọi S là tập các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số y =
hai đường tiệm cận. Số phần tử của S là:
A. 2 .
B. 3 .

x −1
có đúng
x − 2mx + m 2 − 2m − 6
2

C. 0 .

D. 1 .

Gọi S là tập các giá trị nguyên của m thuộc khoảng ( −2019; 2020 ) để đồ thị hàm số
g ( x) =

( x + 1)

( f ( x ) − 2) ( x

2

f ( x)

− 2mx + m + 2 )

có 5 đường tiệm cận (tiệm cận đứng hoặc tiệm cận

ngang). Số phần tử của tập S là
A. 2016.
B. 4034.

C. 4036.

D. 2017.

g ( x) =

(x

2

− 2x) 1− x

( x − 3)  f 2 ( x ) + 3 f ( x )

A. 4 .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 23: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 3 .

C. 5 .

D. 6 .

BẢNG ĐÁP ÁN
1.B

2.B

3.A

4.C

5.B

6.C

7.D

8.A

9.B

10.D

11.B

12.C

13.C

14.A

15.C

16.C

17.C

18.D

19.

20.

21.

22.

23.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
HQ MATHS –

Chọn B
6

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a  0 ) có đồ thị như hình dưới đây.

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Ta có lim y = lim y = 0, suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →+

x →−

Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm
3
2
2
cận đứng, hay khi x − 3mx + (2m + 1) x − m = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 3.

Ta có x3 − 3mx 2 + (2m2 + 1) x − m = 0  ( x − m ) ( x 2 − 2mx + 1) = 0

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

x = m

2
 f ( x ) = x − 2mx + 1 = 0 ( 2 )
Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 khi phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm phân
m  1

  m  −1
   0
m 2 − 1  0



 m  −1
5

biệt khác 3 và m khi  f ( 3)  0  32 − 6m + 1  0  m 

.

3
m  1

 m 2 − 2m 2 + 1  0


 f ( m)  0
m  1




Câu 2:

Chọn B
Ta có tập xác định của hàm số phải thỏa mãn 6 x − x 2  0  0  x  6 .
Điều kiện để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là phương trình x 2 − 8 x + 2m = 0 có 2 nghiệm
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 0  x1  x2  6 .
2
Ta có: x 2 − 8 x = −2m . Đặt f ( x ) = x − 8 x .

Ta có bảng biến thiên của hàm f ( x ) trên đoạn  0; 6  .

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Vì m là số nguyên thuộc đoạn  −2020; 2020 nên có 4038 giá trị của tham số m .

Yêu cầu bài toán  −16  −2m  −12  6  m  8 .
Câu 3:

Chọn A
4
3
2
Hàm số bậc bốn có dạng y = ax + bx + cx + dx + e ( a  0 ) . Ta có:

y = 4ax3 + 3bx 2 + 2cx + d .
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

7


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Từ đồ thị trong hình vẽ đã cho ta thấy: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
( −1;0 ) , ( x0 ; y0 ) , ( 2;0 ) với 0  x0  1; y0  0 . Ngoài ra đồ thị hàm số đi qua các điểm

4
3
2
Suy ra bậc bốn y = f ( x ) = x − 2 x − 3x + 4 x + 4 .

Ta có: f ( x ) = x 4 − 2 x3 − 3x 2 + 4 x + 4 = ( x + 1) ( x − 2 ) .
2

Từ đó ta có hàm số

(x
y=

f ( f ( x ) − 1)

2 2

2

2

− 4 ) ( x − 3) ( x3 + 1)
4

(( x + 1) ( x − 2) −1)
2

2

2

2

2

( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 3)( x + 1) ( x 2 − x + 1)
4

( x + 1) ( x − 2 ) ( ( x + 1) ( x − 2 )

4

 y = g ( x) =

4

2

4

2

−3

)

2

( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 3)( x + 1) ( x 2 − x + 1)
( x + 1) ( x − 2 )
4

(

4

4

(x

2

− x−2− 3

Xét ( x + 1) ( x − 2 ) x 2 − x − 2 − 3

8

f

(( x + 1) ( x − 2) ) (( x + 1) ( x − 2) − 3)

4

HQ MATHS –

(x
 y=

4

4

4

 y=

− 4 ) ( x − 3) ( x 3 + 1)

( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 3)( x + 1) ( x 2 − x + 1)

4

 y=

2

2

4

) (x
2

2

) (x
2

2

− x−2+ 3

− x−2+ 3

)

2

)

2

.

 x = −1
x = 2


x = 1+


= 0  x = 1−



1+
x =


1−
x =


9+4 3
= x1
2
9+4 3
= x2 .
2
9−4 3

= x3
2
9−4 3
= x4
2

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

 y ( −1) = 0
−4a + 3b − 2c + d = 0

a = 1
32a + 12b + 4c + d = 0

y
2
=
0
 ( )
b = −2

 y −1 = 0

a − b + c − d + e = 0
 ( )

 c = −3 .
Từ đó ta có: 

 y ( 2) = 0
16a + 8b + 4c + 2d + e = 0
d = 4
 y −2 = 3
16a − 8b + 4c − 2d + e = 3

 ( )

e = 4
81a + 27b + 9c + 3d + e = 3
 y ( 3) = 3


Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

( −2;3) , ( 3;3) .


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Ta có: lim g ( x ) = − ; lim g ( x ) =
x →−1

x→2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

−256
; lim g ( x ) = − ; lim g ( x ) = + ; lim g ( x ) = − ;
x → x2
x → x3

81 x → x1

lim g ( x ) = − ; lim g ( x ) = 0 .
x →

x → x4

Suy ra đồ thị hàm số có 5 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
Chọn C

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 f ( x) = 0
Xét phương trình 3 f 2 ( x ) − 6 f ( x ) = 0  
.
 f ( x ) = 2
Dựa vào đồ thị ta suy ra:

 x = −2
Phương trình f ( x ) = 0  
, với x = −2 là nghiệm đơn và x = 1 là nghiệm kép.
x = 1
Suy ra: f ( x ) = a ( x + 2 )( x − 1) , ( a  0 ) .
2

x = 0

Phương trình f ( x ) = 2   x = m ( −2  m  −1) , các nghiệm đều là nghiệm đơn.
x = n n  1
( )



HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 4:

Suy ra f ( x ) − 2 = ax ( x − m )( x − n ) , ( a  0 ) .
Khi đó: g ( x ) =

=

3a

2

( x − 1)( 3x + 2 ) =
( x − 1)( 3x + 2 )
3 f ( x )  f ( x ) − 2  3a 2 ( x + 2 )( x − 1)2 x ( x − m )( x − n )

( 3x + 2 )
, ( a  0)
x ( x + 2 )( x − 1)( x − m )( x − n )

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có 5 đường tiệm cận đứng
3
2
Cách 2: Chọn hàm số f ( x ) . Ta có f ( x ) = ax + bx + cx + d

Đồ thị hàm số qua 4 điểm A ( −2;0 ) , B ( −1; 4 ) , C ( 0; 2 ) , D (1;0 ) .

a = 1
b = 0

3
suy ra 
hay f ( x ) = x − 3 x + 2
c = −3
 d = 2
 Khi đó:

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

9


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

3x 2 − x − 2
3x 2 − x − 2
3x 2 − x − 2
g ( x) = 2
=
=
3 f ( x ) − 6 f ( x ) 3 f ( x ) ( f ( x ) − 2 ) 3 ( x3 − 3x + 2 )( x3 − 3x )
=

( x − 1)( 3x + 2 )
2
3 ( x + 2 )( x − 1) x ( x 2 − 3)

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có 5 đường tiệm cận đứng

5

x  −
4
Hàm số g ( x ) xác định khi 
 f ( x )  1

Ta có y = f ( x ) là hàm bậc ba và dựa vảo bảng biến thiên ta có y = a ( x 2 − 1)

y=

a 3
x − ax + b .
3

 a
− +a+b = 3
a = 3
 y ( −1) = 3  3


 y = x3 − 3x + 1

y

1
=
−
1
a
b
=
1
(
)


 − a + b = −1
 3

2 7
4 5
+ 3 −3 5 + 6
2
2x + 7 − 3 4x + 5
x
x x =0
lim g ( x ) = lim
= lim x
3
x →+
x →+
x
→+
3 1

1
x − 3x + 1 − 1
1− 2 + 3 − 3
x
x
x

 y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

(

)(

)

4 x2 − 8x + 4 f ( x ) + 1
2x + 7 − 3 4x + 5
g ( x) =
= 2
f ( x) −1
f ( x) −1 2x + 7 + 3 4x + 5

(

=

=

=

4 ( x − 1)

2

( f ( x ) + 1)

( f ( x ) − 1) ( f ( x ) + 1) ( 2 x + 7 + 3

(

)(

)(

4 ( x − 1)

2

)

4x + 5

)

( f ( x ) + 1)

(

x x + 3 x − 3 ( x + 2 )( x − 1) 2 x + 7 + 3 4 x + 5

(

)(

2

(

)

4 f ( x) +1

)

(

)

x x + 3 x − 3 ( x + 2) 2x + 7 + 3 4x + 5

)

)

 x=0
5
(vì x  −
x x + 3 x − 3 ( x + 2) 2x + 7 + 3 4x + 5  
4
x = 3

(

HQ MATHS –

10

)(

)

(

)

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Chọn B

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 5:


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 lim+ g ( x ) = −
 x →0
 x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

lim
g
x
=
+
(
)
 x→0−

 lim+ g ( x ) = +
 x→ 3
 x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

lim
g
x
=
−
(
)
 x→ 3−

Vậy đồ thị hàm số có tiện cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là y = 3
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Chọn C

Điều kiện xác định của hàm số g ( x ) là x  1 .

x = 0

Xét phương trình x  f 2 ( x ) − f ( x ) = 0  x. f ( x ) .  f ( x ) − 1 = 0   f ( x ) = 0 .
 f x =1
 ( )
Xét phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm kép x = 2 và nghiệm đơn x = 1 .

 x = a, 1  a  2
Xét phương trình f ( x ) = 1 có ba nghiệm đơn  x = b, 1  b  2, b  a . Ta thấy
 x = c, c  2

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 6:

 lim f ( x ) = +
 x→+

f ( x ) = −
 xlim
→−

Nên khơng mất tính tổng qt, ta có
+ f ( x) = 0 

( x − 1)( x − 2 )

+ f ( x) = 1 

( x − a )( x − b )( x − c ) = 0

2

=0

Do đó:
g ( x) =

x 2 − 3x + 2 x − 1
x 2 − 3x + 2 x − 1
=
2
x  f 2 ( x ) − f ( x )  x ( x − 1)( x − 2 ) ( x − a )( x − b )( x − c )

Khi đó
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

11


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 lim+ g ( x )
 x →0

+
không tồn tại giới hạn  x = 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x )
lim
g
x
(
)

 x → 0−
+ lim+ g ( x ) = lim+
x →1

x →1

x 2 − 3x + 2 x − 1
x ( x − 1)( x − 2 ) ( x − a )( x − b )( x − c )
2

= + .

 x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) .


x 2 − 3x + 2 x − 1
g ( x ) = lim+
= −
 xlim
2
→a+
x →a x x − 1 x − 2

( )(
) ( x − a )( x − b )( x − c )

+
x 2 − 3x + 2 x − 1
 lim g x = lim
= +
(
)
2
 x →a−
x →a− x x − 1 x − 2
x
−
a
x
−
b
x
−
c
(
)(
)
(
)(
)(
)

 x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) .


x 2 − 3x + 2 x − 1
g ( x ) = lim+
= +
 xlim
2
→b +
x →b x x − 1 x − 2
( )(
) ( x − a )( x − b )( x − c )

+
x 2 − 3x + 2 x − 1
 lim g x = lim
= −
(
)
2
 x →b −
x →b − x x − 1 x − 2
x
−
a
x
−
b
x
−
c

(
)(
)
(
)(
)(
)

 x = b là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) .


x 2 − 3x + 2 x − 1
g ( x ) = lim+
= +
 xlim
2
→c +
x →c x x − 1 x − 2
( )(
) ( x − a )( x − b )( x − c )

+
x 2 − 3x + 2 x − 1
 lim g x = lim
 x →c− ( ) x →c− x x − 1 x − 2 2 x − a x − b x − c = −
( )(
)(
)(
)(
)


 x = c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) .

+ lim g ( x ) = lim
x →

x →

x 2 − 3x + 2 x − 1
x ( x − 1)( x − 2 ) ( x − a )( x − b )( x − c )
2

=0.

 y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g ( x ) .

Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có 6 đường tiệm cận.
Câu 7:
HQ MATHS –

Chọn D
12

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –


x 2 − 3x + 2 x − 1
g

x
=
lim
= −
(
)
 xlim
2
→ 2+
x → 2+ x x − 1 x − 2
( )(
) ( x − a )( x − b )( x − c )

+
x 2 − 3x + 2 x − 1
 lim g x = lim
= +
(
)
2
 x → 2−
x → 2− x x − 1 x − 2
x
−
a
x
−
b
x
−

c
(
)(
)
(
)(
)(
)


Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g ( x ) .


HQ MATHS – 0827.360.796 –
Ta có:

(x

)(

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

)

( x − 2 )( x + 2 ) x ( x + 2 ) = ( x − 2 )( x + 2 ) x
y=
=
.

2
2
2
 f ( x )  + 2 f ( x ) − 3
 f ( x )  + 2 f ( x ) − 3  f ( x )  + 2 f ( x ) − 3
2

− 4 x2 + 2x

2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

 x = m, m  −2

x=0

2
 f ( x) = 1
  x = n, n  2 .
Xét  f ( x )  + 2 f ( x ) − 3 = 0  
f
x
=
−
3
(
)



x=2


x = −2
Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm x = 0; x = 2 là các nghiệm kép (nghiệm bội 2).
Do đó đa thức  f ( x )  + 2 f ( x ) − 3 có bậc là 8.
2

1
( x − 2 )( x + 2 ) x
= 2
y= 2 2
.
2
2
a x ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x − m )( x − n ) a x ( x − 2 )( x − m )( x − n )
2

Suy ra

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng là x = 0, x = 2, x = m, x = n .
Chọn A
Xét hàm số f ( x ) = 3x + 1 + ax + b có f  ( x ) =

3
2 3x + 1

+a

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Câu 8:

Để hàm số khơng có tiệm cận đứng: f ( x ) = ( x − 5 ) .g ( x )
2


 3.5 + 1 + a.5 + b = 0
5a + b = −4
b=
 f ( 5 ) = 0







3
−3
+a=0
 f  ( 5 ) = 0
a = 8
a =


 2 3.5 + 1

2

−17
8
−3
8

3

 −1   −3 
−4814
Nên a2 + b3 =   +   =
152
 2   2 

Câu 9:

Chọn B
3

Ta có I =  e

x−

2

1
3

2

2

2

x− 2

4  x− 2

4  x− 2
dx +   x + 2 .e x dx = I1 + I 2 , với I1 =  e x dx ; I 2 =   x + 2 .e x dx .
x 
x 
1
1
1

3

x2

3

3

3

3

3

2


2

4  x − x2

x− 2
x
2
du =  1 + 3  e dx


Tính I1 =  e x dx . Đặt u = e
.
x 

1
dv = dx

3
v = x

3

x−

Ta có I1 = x.e

2

x−

2
x

3

2

1
3

25
1 −353

4  x − x2
9
−   x + 2 .e dx = 3e − e − I 2 .
3
x 
1
3

2

3

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

13


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

1 −353
Do vậy I = I1 + I 2 = 3e − e .
3
25
9

Ta có a = 25; b = 9; c = 53; d = 3. Suy ra hàm số y =
Khi đó đồ thị hàm số y =

25 x + 9
.
53 x + 3

25 x + 9
25
có phương trình đường tiệm cận ngang y = .
53 x + 3
53

Câu 10: Chọn D

)

nghiệm phân biệt.

(

)

(

)

Đặt h ( x ) = f f ( x ) + 1 . Khi đó, h ( x ) = f  ( x ) . f  f ( x ) + 1 .
 x  1,2
 f ( x) = 0
 f ( x) = 0
 f ( x) = 0



h ( x ) = 0  
  f ( x ) + 1 = 1   f ( x ) = 0   x  x1 ; x2 ; x3  .
 f  f ( x ) + 1 = 0



 x  x4 ; x5 ; x6 
 f ( x ) + 1 = 2
 f ( x ) = 1

(

(x

1

)

 x 4  1  x 5  x 2  2  x 3  x6 )

(

)

Ta có h ( x1 ) = h ( x2 ) = h ( x3 ) = f f ( x1 ) + 1 = 2 ;

(

(

)

)

(

)

h ( x4 ) = h ( x5 ) = h ( x6 ) = f f ( x4 ) + 1 = −1 ; h (1) = f f (1) + 1 = 14 ; h ( 2 ) = f f ( 2 ) + 1 = −13

Bảng biến thiên:

(

)

Căn cứ vào bảng biến thiên để phương trình f f ( x ) + 1 − m = 0 có ba nghiệm phân biệt thì:
 2  m  14
.

 −13  m  −1

Câu 11: Chọn B

HQ MATHS –

14

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

(

Để đồ thị hàm số g ( x ) có 4 đường tiệm cận thì phương trình f f ( x ) + 1 − m = 0 có 3

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Ta thấy đồ thị hàm số g ( x ) có 1 đường tiệm cận ngang là y = 0 .


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp


1
x  2

6 x − 3 + mx − 2m − 3
= 0 với mọi m 
Điều kiện xác định:  x  2 . Ta có xlim
→+ 3 x 3 − 14 x 2 + 20 x − 8

2
x 
3


.

Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 0 .
6 x − 3 + mx − 2m − 3

( x − 2 ) ( 3x − 2 )
2

.
Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Ta có y = f ( x) =

u cầu bài tốn trở thành, tìm m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng x = 2
2
hoặc x = .
3
Nếu

6 x − 3 + mx − 2m − 3 nhận x =

2
3
là nghiệm thì m = − . Khi đó
3
2

3
6x − 3 − x
−3
2
lim
= lim+
= − .
2
x → 2+
x→2

3

x
−
2

3
x
−
2
( )(
)
4 ( x − 2 )  6x − 3 + x 
2 


Suy ra x = 2 là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.
Nếu



6
6 x − 3 + mx − 2m − 3 = ( x − 2 ) 
+ m  nhận x = 2 là nghiệm kép thì m = −1 .
 6x − 3 + 3


Khi đó lim +
2
x → 
 3

lim
x→2

6x − 3 − x − 1

( x − 2 ) ( 3x − 2 )

6x − 3 − x − 1

( x − 2 ) ( 3x − 2 )
2

Suy ra x =

2

= lim
x→2

= lim +
2
x → 
 3

( 3x − 2 ) (

( 3x − 2 ) (

−1
6x − 3 + x + 1

−1
6x − 3 + x + 1

)

=−

)

= −

HQ MATHS – 0827.360.796 –

3
6x − 3 − x
−3
9
2
lim
= lim
=
2
2
2

3  32
x→ ( x − 2 ) ( 3x − 2 )
x→
3
3 4( x − 2)
 6x − 3 + 2 x 



1
24

2
là đường tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.
3


3
Vậy có hai giá trị của m  −1; −  thỏa mãn bài toán.
2


Câu 12: Chọn C
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

15


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Tập xác định: D = ( −1; + ) \0;1 .
Ta có :
3


2
 9 − x − 2  ln ( x + 1)


= 0.
lim
3
x→+
x −x

(

)

3

2
1 − x2 ln ( x + 1)
 9 − x − 2  ln ( x + 1)


= lim
lim
3 −x


2
+
+
x

x→ −1
x→ −1 x2 − 1 x  3 9 − x2 + 23 9 − x2 + 4 





) (

(

=

)

− ln ( x + 1)
= −.
lim


2
+
x→ −1 x  3 9 − x2 + 23 9 − x2 + 4 





)

(

3

2
 9 − x − 2  ln ( x + 1)


= lim
lim
3
x −x
x→1+
x→1+

(1 − x2 ) ln ( x + 1)


2
2 − 1 x  3 9 − x2 + 23 9 − x2 + 4 
x
( )( )



− ln ( x + 1)
1
= lim
= ln 2.
 12

2
x→1+  3
3
2
2
x
9−x
+ 2 9 − x + 4





(

)

3

2
 9 − x − 2  ln ( x + 1) 1

= ln 2 .
Tương tự lim 
3
12
x −x
x→1−

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận y = 0 và x = −1 .

Câu 13: ChọnC
Từ giả thiết, ta có f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 4 .

HQ MATHS –

16

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”



HQ MATHS – 0827.360.796 –

3

3

2
2
 9 − x − 2  ln ( x + 1)
 9 − x − 2  ln ( x + 1)


.
= lim 
= 2−39
lim−
3
2
x

x −x
x −1
x→0
x→0−

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

3

3

2
2
 9 − x − 2  ln ( x + 1)
 9 − x − 2  ln ( x + 1)


.
= lim 
= 2−39 .
lim
3
2
x
x −x
x −1
x→0+
x→0+

HQ MATHS – 0827.360.796 –

(x
Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = g ( x ) =

2

)

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

− 2 x − 3 . x 2 − x . x 4 − 17 x 2 + 16

(

x − 3x 2 + 2 . 2 x 2 − 3x
3

)

.

x2 − x  0
 x  −4
 4

2
  −1  x  1 − 3  0 .
Điều kiện xác định:  x − 17 x + 16  0
 3

x  4
2
2
 x − 3x + 2 . 2 x − 3 x  0


(

)

1
là tiệm cận ngang của ( C ) .
2

x →0

−

x →0

2

(x

−

)

− 2 x − 3 . 1 − x . x 4 − 17 x 2 + 16

)(

)

− 3x 2 + 2 . − x . ( 2 x − 3 )

3

= −

HQ MATHS – 0827.360.796 –

 đường thẳng y =

(x
lim g ( x ) = lim

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp



2 3 
1
17 16

 1 − x − 2 . 1 − x . 1 − 2 + 4 1
x 
x
x
 lim g ( x ) = lim 

=
x →+
 x→+
2

3 2 
3

 1 − x + 3  . 2 − x 
x 



Ta có: 

2 3 
1
17 16

1 − − 2  . − 1 −  . 1 − 2 + 4




x x 
x
x
x

1

 lim g ( x ) = lim
=
x →−
2

3 2 
3
 x→−
−  1 − + 3  . 2 − 

x x 
x



 đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của ( C ) .

lim − g ( x ) = lim

(

x → 1− 3

)

(

x → 1− 3

(x

)

−

2

)

− 2 x − 3 . x 2 − x . x 4 − 17 x 2 + 16

(

x − 3x 2 + 2 . 2 x 2 − 3x
3

)

= −

 đường thẳng x = 1 − 3 là tiệm cận đứng của ( C ) . Vậy M = 2; m = 1 nên M = 2m .

Câu 14: Chọn A
Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = f ( x ) =

Ta có ( x + 2 − 1) .

(

( 2x − 3)

( x + 2 − 1).(

x2 + 2x − 8
4x2 + x + 4 + 2x

)

.

 x + 2 = 1
 x = −1
x+2 =1


  x = −3 .
4x + x + 4 + 2x = 0  
 x  0
2
 4 x + x + 4 = −2 x
x + 4 = 0
 x = −4

2

)

Suy ra tập xác định của hàm số y = f ( x ) là: D = ( −; −4 )   2; + ) .

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

17


HQ MATHS – 0827.360.796 –
+) lim − y = lim −
x →( −4 )

x →( −4 )

( 2x − 3)

( x + 2 − 1).(

x2 + 2x − 8
4x2 + x + 4 + 2x

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

)

( 2x − 3 ) ( −x + 2 )( −x − 4 ) ( 4x + x + 4 − 2x )
( −x − 3) .( x + 4 )
( 2x − 3) −x + 2 ( 4x + x + 4 − 2x )
= +
( x + 3). −x − 4
2

= lim −

x →( −4 )

2

= lim −
x →( −4 )

)

(

( 2x − 3)
2x − 3) x + 2x − 8
(
= lim
+) lim y = lim
( −x − 3).( 4x + x + 4 + 2x )
2

x →−

x →−

x2 + 2x − 8

4x2 + x + 4 − 2x

( −x − 3 )( x + 4 )

x →−

2

(




2 8 
1 4
− 4 + + 2 − 2

 − 1 + − 2 

x x 
x x


 = + .
= lim ( 2 x − 3 ) . 

x →−

3 
4


−
1
−

1
+

x 
x 







Suy ra đường thẳng y =

1
là tiệm cận ngang của ( C ) .
2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Câu 15: Chọn C

Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = f ( x ) ; lim y = lim
x →+

x →+

x2 − 2 x + 2
x( x − 2)

2

1
1
2
−2 5 + 6
x
x
x =0.
= lim
2
x →+

2
1 − x 



Suy ra ( C ) nhận đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang.

lim y = lim

x →−

x →−

(

)

4 x + x + 1 + 2 x = lim

2

x →−

Suy ra ( C ) nhận đường thẳng y = −
HQ MATHS –

18

x+1
4x + x + 1 − 2x
2

= lim

x →−

1+
− 4+

1
x

1 1
+
−2
x x2

1
là tiệm cận ngang.

4

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

1
=− .
4

)

HQ MATHS – 0827.360.796 –


3
2 8
2 −  1+ − 2

( 2x − 3) x + 2x − 8 = lim  x  x x
1
+) lim y = lim
= .
x
→+
x →+
x →+
 2

1 
1 4
( x + 1) . 4x2 + x + 4 + 2x

 1 + x  .  4 + x + 2 + 2 
x



2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Suy ra đường thẳng x = −4 là tiệm cận đứng của ( C ) .


HQ MATHS – 0827.360.796 –
lim+ y = lim+

x→2

x→2

x2 − 2 x + 2
x( x − 2)

2

= lim+
x→2

x4 − 4 ( x + 2 )

(

x ( x − 2 ) x2 + 2 x + 2
2

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

)

= lim+
x→2

x3 + 2x2 + 4x + 4

(

x ( x − 2 ) x2 + 2 x + 2

)

= + .

Suy ra ( C ) nhận đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.
Câu 16: Chọn C

 350 x2 + 245x +

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Ta có 20 x 2 + 14 x + 9 + ( 14 x + 11) 2 x 2 + 1 = 0 ( 1)

315 35
+ (14 x + 11) 2 x 2 + 1 = 0
2
2

2


35 

35  35
1225
7
315
35
  14 x +  + 2  14 x +  .
2 x2 + 1 +
2 x2 + 1 + x2 +
2 x2 + 1 +
=0
4 
4  4
16
8
8
8



(

)

2


35 35
 7
315
35
  14 x +
+
2 x2 + 1  + x2 +
2x2 + 1 +
= 0 ( 2) .
4
4
8
8

 8

Nhận thấy phương trình (2) vơ nghiệm nên phương trình (1) vơ nghiệm.

=

20 x 2 + 14 x + 9 + ( 14 x + 11) 2 x 2 + 1

y=

4 x 2 − 12 x + m

)

2

2

)

20 x 2 + 14 x + 9 + (14 x + 11) 2 x 2 + 1

=

(

2 ( x − 2 ) 4 x 2 − 12 x − 5

)

20 x 2 + 14 x + 9 + ( 14 x + 11) 2 x 2 + 1

( x − 2 ) ( 4x − 12x + m ) 
.  20 x
2 ( x − 2 ) ( 4 x − 12 x − 5 ) 
2

2

(

+ 14 x + 9 − ( 14 x + 11) 2 x 2 + 1

2

8 x 4 − 56 x 3 + 118 x 2 − 5x − 40

Khi đó hàm số y = f ( x ) =

2

2

2

2

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Do đó 20 x + 14 x + 9 − (14 x + 11) 2 x
2

( 20x
+1 =

.

+ 14 x + 9 + (14 x + 11) 2 x 2 + 1 


.  20 x 2 + 14 x + 9 + (14 x + 11) 2 x 2 + 1  .

2 ( x − 2 ) 4 x − 12 x − 5 

(

2

)

Hàm số y = f ( x ) có TXĐ là D =

 3  14 
\ 2;
.
2 


Dễ thấy để đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) có đúng 1 tiệm cận đứng thì phương trình
4 x 2 − 12 x + m = 0 ( 1) phải có đúng hai trong ba nghiệm 2;

3  14
.
2

Nếu ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì x1 + x2 = 3 

. Do đó, ( 1) phải có hai nghiệm là

3  14

, suy ra m = −5 . Do đó S = −5 .
2

Vậy tổng các giá trị trong S là −5 .
“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS –

19


HQ MATHS – 0827.360.796 –

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 17: Chọn C
Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai đường tiệm cận ngang y = −5, y = 1 .
 Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có hai đường tiệm cận ngang y = −5 + m, y = 1 + m

Do đó đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có đúng một đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi hai
đường thẳng y = −5 + m, y = 1 + m đối xứng qua trục Ox
 −5 + m + 1 + m = 0  m = 2 .

x →+

5
 lim  x.
x →+ 

4


b
1 1
 lim x 2 .  3 a + − 1 − 2 1 − + 2

x →+
x
x x


Suy ra
lim  x.


x →+

(

3

 5
=
 4


3

a − 2 = 0  a = 8 . Thay lại ta được

(

3

)

5
8 x 3 + bx 2 − 1 − 2 x 2 − x + 1  =
 4

(

)

5
ax 3 + bx 2 − 1 − 2 x 2 − x + 1  =
 4

)

5
 lim  x. 3 8 x 3 + bx 2 − 1 − ( 2 x − 1) + ( 2 x − 1) − 4 x 2 − 4 x + 4  =
 4
x →+ 




 5
b + 12 ) x 3 − 6 x 2

(
−3x
 lim 
+
=
2
x →+
2
 3 8 x 3 + bx 2 − 1 + ( 2 x − 1) 3 8 x 3 + bx 2 − 1 + ( 2 x − 1)2 ( 2 x − 1) + 4 x − 4 x + 4  4



)

(


 −3
−3x
5
=
Do lim 
và lim f ( x ) = nên
x →+ 
2
x
→+
 4
4
 ( 2 x − 1) + 4 x − 4 x + 4 



lim 
x →+



(

3

8 x 3 + bx 2 − 1

)

2

( b + 12 ) x
+ ( 2 x − 1)



 phải hữu han.
2
3
8 x 3 + bx 2 − 1 + ( 2 x − 1) 


3

− 6x2

Do đó ( b + 12 ) = 0  b = −12 thay lại ta được


lim 
x →+



(


 −1
=
2
2
2
3
8 x 3 − 12 x 2 − 1 + ( 2 x − 1) 3 8 x 3 − 12 x 2 − 1 + ( 2 x − 1) 


)

Thay lai được lim f ( x ) = −
x →+

HQ MATHS –

20

−6 x 2

5
không thỏa mãn
4

“Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân.”

HQ MATHS – 0827.360.796 –

Trường hợp 1: lim f ( x ) =

Dạy học từ tâm – Nâng tầm sự nghiệp

Câu 18: Chọn D